CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse

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1 CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f() = ² ) Domaine de définition Elle est définie sur ℝ complet (on peut toujours multiplier deu nombres entre eu). 2) Sens de variation Elle est strictement croissante sur [ ; [ et décroissante sur ] ; ] Démonstration : Soient a et b deu réels avec a > b. On aura f(a) f(b) = a² b² = (a b) (a b), d'où : Si a et b sont positifs, a b sera positif, donc la différence f(a) f(b) = a² b² sera du même signe que a b, donc positive. La fonction est donc croissante. Si a et b sont négatifs, a b est négatif et f(a) f(b) = (a b) (a b) sera du signe contraire de a b soit négatif, la fonction est donc décroissante. 3) Tableau de variation f() = ² 4) Courbe représentative Pour tout réel, f() = ()² = ² = f() La fonction est donc paire, et sa courbe est donc symétrique par rapport à l ae (Oy), ae des ordonnées. Cette courbe s appelle une "parabole". page /7

2 Si on la renverse vers le bas (ce qui revient à étudier f() = ²), c est la trajectoire d un projectile lancé en l air, qui monte puis qui retombe. 4) Propriétés a) Comparaison entre et ² Graphiquement : comparez la courbe avec la droite y = /< : ² > < < < : ² < \> : ² > Que déduisezvous sur et ²? ² > ² < ² > Par le calcul : ² = ( ), on étudie son signe à l'aide d'un tableau de signes : ² Ce qui confirme les résultats constatés sur le graphique. Eemples Comparer : ½ et (½)² ; 2 et 2² ;,9 et,9² ; 3 et (3)² ;, et (,)². b) Équations et inéquations Résoudre graphiquement, puis par calcul I) II) III) IV) V) ² = 4 ² > 3 ( )² 2² = 9 3( 2)² /3 Eercices : Page 8 N 2, 3, 4, 5, 7, 9,, B) La fonction inverse : f() = / ) Domaine de définition Attention : on ne peut pas calculer f() = / pour =! Donc la fonction inverse est définie seulement sur ℝ \ {}=ℝ* = ] ; [ a ] ; [. 2) Sens de variation La fonction f() = / est strictement décroissante sur chacun de ses deu intervalles de définition. Démonstration : b a =. a b ab Si a et b sont positifs, a b > donc f(a) f(b) a le même signe que b a, qui est négatif. La fonction f est donc décroissante sur ] ; [. Si a et b sont négatifs, a b > aussi, donc f est décroissante aussi sur ] ; [. Soit a et b réels non nuls avec avec a > b, on a f(a) f(b) = page 2/7

3 3) Tableau de variation f() = / Quand (valeur absolue de ) est très grand, / = / est très petit et se rapproche donc de zéro. Eemples : / =, ou /2 =,5. On dit que la fonction / "tend vers zéro" quand "tend vers plus l infini". On écrit : quand. Si au contraire devient très proche de zéro, / devient très grand ("tend vers l infini"), et donc / devient très grand en positif (tend vers plus l'infini) si >, ou très grand en négatif (tend vers moins l'infini) si <. On dit que quand tend vers zéro en étant négatif (on écrit ), f() tend vers moins l'infini (on écrit f() ) et que quand tend vers zéro en étant positif ( ), f() tend vers plus l'infini (f() ). 4) Courbe représentative Cette courbe (en rouge cidessus) s appelle une "hyperbole". Elles est symétrique par rapport au point O, car f() = / est ce qu'on appelle une fonction impaire car = ). f() = f() (en effet, on a page 3/7

4 5) Propriétés = Dire que y= cette fonction est donc impaire (comme on l'a vu cidessus) équivaut à dire que = y (démonstration facile) Ceci implique que la courbe possède aussi une symétrie aiale par rapport à la première bissectrice (droite d'équation y = ), puisque l'on peut intervertir les coordonnées en restant sur la courbe. Étant de plus impaire, cela veut dire qu'elle est aussi symétrique par rapport à la seconde bissectrice du repère (droite d'équation y = ). 6) Applications a) Comparer / et 2 quand > 2 ² 2 = 2 =, du signe de ² 2 = ( )², nul seulement pour =. L hyperbole de f() = / est donc audessus de la droite y = 2 pour > et elle la touche pour =. De même, on montre qu elle est toujours audessous de la droite y = 2 pour < (c est immédiat par symétrie de l hyperbole par rapport à ) et elle la touche pour =. Eemples : Calculer / et 2 pour = ½ ; 2/3 ; ;,. Calculer / et 2 pour = 2/3 ; ;,2. b) Équations, inéquations Résoudre graphiquement, puis par le calcul : =5 I) Solution : d où = 5 puis = donc = =,2 5 5 <5 II) Indice pour le calcul : distinguer les cas < et > =,5 III) 2 <5 IV) =7,2 V) =,5 VI) 3 2< <3 VII) [ ; 2[ VIII) 2 3 = IX) X) 3 page 4/7

5 C) Fonctions associées ) Fonctions f() = a ² b a) Cas où a = f() = ² b : cette fonction est juste une fonction f() = ², décalée de b vers le haut si b > ou décalée de b vers le bas si b <. Eemples : b) a Cette fois, en plus du décalage vertical produit par le b, la courbe sera plus "pointue" si a > ou plus ouverte si a <, et elle sera tournée vers le haut si a > et vers le bas si a <. Eemples : page 5/7

6 2) Fonctions f() = a/ b a) a = La courbe sera la même que pour f() = /, mais décalée vers le haut si b > ou vers le bas sinon. b) a Cette fois, en plus du décalage vertical produit par le b, la courbe sera plus déformée : si a > elle collera moins au aes, ou elle en sera plus proche si a <. Si a <, la courbe s inverse par rapport à l ae (O) : le côté gauche passe audessus et le côté droit passe audessous de l ae des abscisses. page 6/7

7 Eercices : Fonction Carré : page 8, N, 3, 4, 5, 8, Fonction Inverse : page 9, N 4, 6, 7, 2, 23, 8 Problèmes : page, N 25 et 26 Courbes : page 2, N 48 et 49 page 3, N 5, 53, 54 Eemple de devoir : 69 page 5 et 66 page 4 page 7/7