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2 Maquette de couverture : Graphir Maquette intérieure : Frédéric Jély Mise en page : CMB Graphic Dessins techniques : Gilles Poing Hachette Livre 008, 43, quai de Grenelle, 790 Paris Cedex ISBN : Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays Le Code de la propriété intellectuelle n autorisant, aux termes des articles L -4 et L -, d une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective», et, d autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d exemple et d illustration, «toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite» Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l éditeur ou du Centre français de l exploitation du droit de copie (0, rue des Grands-Augustins 7006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 4 et suivants du Code pénal

3 > Sommaire NOMBRES ET CALCULS Calcul numérique Calcul littéral 8 3 Arithmétique 4 Racine carrée Équations et équations produit nul 8 6 Inéquations Systèmes d équations ORGANISATION ET GESTION DES DONNÉES, FONCTIONS 7 Notion de fonction 6 8 Proportionnalité et fonction linéaire 9 9 Fonction affine 34 0 Statistiques 38 Probabilités 4 GÉOMÉTRIE Le théorème de Thalès et sa réciproque 4 3 Trigonométrie dans le triangle rectangle 49 4 Angles inscrits polygones réguliers 3 Géométrie dans l espace 6 GRANDEURS ET MESURES 6 Aires et volumes Grandeurs composées 60

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5 Chapitre SC Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire JE REVOIS LE COURS ÉCRITURES FRACTIONNAIRES a, b, c et d désignent quatre nombres relatifs ; avec c 0, avec b 0 et d 0, avec b 0, c 0 et d 0, a c + b c = a + b et a c b c = a b a b c d = a c a b : c d = a d c c b d b c SC Calculer, puis simplifier si possible le résultat a A = b B = 8 6 c C = 3 d D = A = B = C = D = A = B = 0 C = D = A = B = C = D = 6 3 A = 7 B = C = D = 6 3 SC Calculer et donner le résultat sous la forme la plus simple a A = b B = 4 8 c C = 4 8 : 3 d D = 39 : 4 ( 3 3 ) A = B = C = D = r 3 i 39 3 q 3 t 3 A = B = 3 4 C = D = A = B = C = D = 9 3 SC Calculer et donner le résultat sous la forme la plus simple a A = 3 b B = 4 ( A = B = C = ) 3 + ) ( ) c C = : ( ) ( ) ( : ) ( A = B = C = : 4 4 A = B = C = A = B = 4 C = 0 3 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre Calcul numérique

6 SC Définition des puissances JE REVOIS LE COURS PUISSANCES D UN NOMBRE RELATIF a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif non nul a n désigne le produit de n facteurs égaux à a : a n = a a ; a = a ; pour a 0, a 0 = n facteurs Pour a 0, a n désigne l inverse de a n, donc a n = r wq a n 4 SC Calculer a 3 = = 43 b ( 4) 3 = ( 4) ( 4) ( 4) = 64 c 6 = = 64 d ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = e ( ) = f ( 3 ) 3 = = ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) = 7 8 SC Calculer a 3 = = 3 = b ( 4) 3 = 3 = ( 4) 64 c 4 = d ( ) = = 4 6 ( ) = = e ( ) = f ( 3 ) = = = = = ( ) = ( 3 ) = 6 SC Calculer chaque expression a A = (7 + 3) 3 b B = c C = 4 d D = ( ) 4 A = 0 3 B = C = 6 D = 0 4 A = 000 B = 34 C = 6 D = 0,000 7 SC Calculer chaque expression a A = (6 ) b B = 6 c C = (0 : 4) d D = 0 : 4 A = 4 B = 6 4 C = D = 0 : 6 A = 6 B = C = D = 30 8 Donner l écriture scientifique de chaque nombre a = 3, 0 7 b 0, = 6, 0 6 c =,4 0 d 0,00 48 =, e = 4 0 f 0,0 = 0 6 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

7 SC Utilisation des règles de calcul sur les puissances JE REVOIS LE COURS CALCULER AVEC DES PUISSANCES a et b désignent deux nombres relatifs non nuls n et p désignent deux nombres entiers relatifs a n a p = a an = a (a n ) p = a (ab) n = a b ( a a p b ) n = a n n + p n p n p n n b n 9 SC Écrire chaque produit sous la forme a n a 4 3 = + = b = 3 c 7 7 = d 4 = e = 3 3 f 3 = 0 SC Écrire chaque quotient sous la forme a n a 8 = = b = 3 c 7 = 7 d 34 = e 3 3 = f 4 3 = SC Écrire chaque puissance sous la forme a n a ( 3 ) 4 = = b (3 4 ) = 3 c (7 3 ) = d ( 8 ) 3 = 4 e (3 4 ) 4 = 3 6 f ( ) = SC Pour chaque expression, déterminer une écriture sans parenthèses a (3x) = 3 x = 9x b (y) = 3y c ( 4z) 3 = 64z 3 d ( x 3 ) 4 = x 4 3 = x 4 e ( 4 8 y y 3 4 ) 3 = f ( z ) = 64 z 3 SC Écrire chaque expression sous la forme a n a 3 = ( 3) = b ( 7) = ( 4) 4 c ( ) ( 3) = 6 d 3 x = (3x) e 4 y 4 = (y) 4 f 49z = (7z) 4 SC Écrire chaque expression sous la forme a a 36 = 6 = ( ) b x = c = 6 6 ( 4 ) x 9 3 ) d x² = (x) e 8y = (9y) f ( 4z 9 = z 3 ) ( Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre Calcul numérique 7

8 Chapitre # JE REVOIS LE COURS TITRE DÉVELOPPER UNE EXPRESSION EN UTILISANT LA DISTRIBUTIVITÉ Développer revient à transformer un produit en une somme algébrique k, a, b, c et d désignent des nombres relatifs, k(a + b) = ka + kb (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd a + (b + c d) = a + b + c d a (b + c d) = a b c + d Développer, puis réduire les expressions a A = 4(x + 3) (8x ) b B = (x + 7)(3 x) A = 4 x ( ) 8x + ( ) ( ) B = x 3 + x ( x) ( x) A = 4x + 6x + B = x x² + 7x A = x + 4 B = x² + 8x + c C = (x + 3)(x ) (4x )(x 9) C = x x + x ( ) + 3 x + 3 ( ) [4x x ] + 4x ( 9) + ( ) x + ( ) ( 9) C = x² 0x + 3x [4x² ] 36x x + 9 C = x² 7x 4x² + 36x + x 9 C = x² + 30x 4 d D = (x 7) + (4x )(7 3x) D = x + ( ) ( 7) + [4x 7 + [4x ( 3x) + ( ) 7 + ( ) ( 3x)] D = x [8x x² 4 + 6x] D = x x x² 4 + 6x D = x² + 9x + e E = (x + 3)(x ) ( + x)(x 9) E = x x + x ( ) + 3 x + 3( ) [( ) x + ( ) ( 9) + x x + x ( 9)] E = x² x + 3x [ x x 9x] E = x² x + 3x + x 9 x + 9x E = 8x 4 f F = (x )(x ) ( 7 + x)( 4 + 3x) F = x x + x ( ) + ( )x + ( )( ) [( 7)( 4) + ( 7)3x + x ( 4) + x 3x] F = x² 0x x + [8 x 8x + 6x²] F = x² 0x x x + 8x 6x² F = 9x² + 4x 6 8 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

9 JE REVOIS LE COURS TITRE FACTORISER UNE EXPRESSION EN UTILISANT LA DISTRIBUTIVITÉ Factoriser revient à transformer un produit en une somme algébrique k, a, b désignent des nombres relatifs k a + k b = k (a + b) Réduire chaque expression en montrant les étapes a A = x² 8x² 9x² 3x x + 6x + b B = x² 9x + 7x² x + 4 x² + x A = ( 8 9)x² + ( 3 + 6)x + B = x² 7x² x² 9x x + x A = 6x² + x B = ( 7 )x² + ( 9 + )x B = 3x² 3x Factoriser chaque expression après avoir fait apparaitre un facteur commun a C = a 30 = a = (a ) b D = 8x² 3x = x 8x x 3 = x (8x 3) c E = 7x + 7 = 7 x + 7 = 7 (x + ) d F = x² + x = x 3x + x E = 7(x + ) F = x (3x + ) = x(3x + ) 4 Factoriser après avoir souligné en rouge le facteur commun à chaque terme a G = (x + )(7x 3) 3) + (x (x + + )(x 4) 4) b H = (x + 3)(x + 4) 4) 6(x + + 4) 4) G = ()[() x + 7x 3 + ()] x 4 H = (x + 4)[(x + 3) 6] G = (x + )[7x 3 + x 4] H = (x + 4)[x + 3 6] G = (x + )(9x 7) H = (x + 4)(x 3) c I = (x + 7)(x + ) (9x + 4)(x + ) d J = (3x )² + (3x )(7x 4) I = ()[() x + x + 7 ()] 9x + 4 J = (3x )(3x ) + (3x )(7x 4) I = (x + )[x + 7 9x 4] J = (3x )[3x + (7x 4)] I = (x + )( 8x + 3) J = (3x )(3x + 7x 4) J = (3x )(0x 9) e K = (3x + ) (3x + )(x + 7) f L = (x + 3)² (x + 3)(x 4) K = (3x + )(3x + ) (3x + )(x + 7) L = (x + 3)(x + 3) (x + 3)(x 4) K = (3x + )[3x + (x + 7)] L = (x + 3)[(x + 3) (x 4)] K = (3x + )(3x + x 7) L = (x + 3)(x + 3 x + 4) K = (3x + )(x ) L = (x + 3)(3x + 7) g M = (3x + )(4x + ) (4x + )² h N = (x + 3)² + (x + 3) M = (3x + )(4x + ) (4x + )(4x + ) N = (x + 3)(x + 3) + (x + 3) M = (4x + )[(3x + ) (4x + )] N = (x + 3)[(x + 3) + ] M = (4x + )[3x + 4x ] N = (x + 3)[x ] M = (4x + )( x + ) N = (x + 3)(x + 4) Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre Calcul littéral 9

10 SC Utilisation des identités remarquables pour transformer une expression littérale JE REVOIS LE COURS DÉVELOPPER UNE EXPRESSION EN UTILISANT LES IDENTITÉS REMARQUABLES a et b désignent des nombres relatifs (a + b)² = ² a + ab + ² b (a b)² = a² ab + b² (a + b)(a b) = a² b² SC Développer les expressions a A = (x + 4)² b B = (7 + a)² c C = (3x + )² A = x² + x 4 + 4² B = 7² + 7 a + a² C = (3x)² + 3x + ² A = x² + 8x + 6 B = a + a² C = 9x² + 30x + 6 SC Développer les expressions a D = (x )² b E = (3 b)² c F = (4x 7)² D = x² x + ² E = 3² 3 b + b² F = (4x)² 4x 7 + 7² D = x² 0x + E = 9 6b + b² F = 6x² 6x SC Développer les expressions a G = (x + 9)(x 9) b H = (x + 6)(x 6) c I = (8 a)(8 + a) G = x² 9² H = (x)² 6² I = 8² (a)² G = x² 8 H = x² 36 I = 64 4a² 8 SC Développer et réduire chaque expression a J = (x 3)² + (x )(x + ) b K = (3x + 7)(3x 7) (3x + 7)² J = (x)² x 3 + 3² + [(x)² () ] K = (3x)² 7² [(3x)² + 3x 7 + 7²] J = (x)² x 3 + 3² + (x² ) K = 9x² 49 (9x² + 4x + 49) J = x² 30x x² K = 9x² 49 9x² 4x 49 J = 6x² 30x + 8 K = 4x 98 9 SC On considère l expression L = (3x ) + (x + )(3x ) a Développer et réduire L b Calculer L pour x = 3 L = (3x) (3x)() + + [x 3x + x( ) + (3x) + ( )] L = ( 3) + 7( 3) 4 L = 9x² 6x + + (6x² x + x ) L = 9 4 L = 9x² 6x + + 6x² x + x L = 3 L = x² + 7x 4 L = 0 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

11 JE REVOIS LE COURS TITRE FACTORISER UNE EXPRESSION EN UTILISANT LES IDENTITÉS REMARQUABLES a et b désignent des nombres relatifs a² + ab + b² = (a + b)² a² ab + b² = (a b)² a² b² = (a + b)(a b) 0 Factoriser les expressions suivantes a A = x² + 8x + 8 b B = 9x² + 60x + 00 A = ()² x + x 9 + ()² 9 B = ()² 3x + 3x 0 + ()² 0 A = ( x + )² 9 B = (3x + 0) c C = x² + x + d D = 4x² + 0x + C = (x) + x + () D = (x) + x + () C = (x + ) D = (x + ) Factoriser les expressions suivantes a E = x² 4x + 49 b F = x² 0x + E = ()² x x 7 + ()² 7 F = ()² x x + ² E = ( x )² 7 F = (x ) c G = x² 0x + 00 d H = 9x² 30x + G = (x) x 0 + (0) H = (3x) 3x + () G = (x 0) H = (3x ) Factoriser les expressions suivantes a I = 49 36x² b J = (x + )² 4 I = ()² 7 ()² 6x J = ()² () x + I = ()() 7 + 6x 7 6x J = ()() x + + x + J = (x + 3)(x ) c K = 4x d L = 9 (3x ) K = () (x) L = (3) (3x ) K = ( x) ( + x) L = [3 (3x )][3 + (3x )] L = (3 3x + )(3 + 3x ) L = ( 3x + 4)(3x + ) 3 Factoriser les expressions suivantes a M = (3x + )² ( 7x)² b N= x² + (x + )(x ) M = [(3x + ) + ( 7x)][(3x + ) ( 7x)] N = (x )(x + ) + (x + )(x ) M = [3x + + 7x][3x + + 7x] N = (x + )[(x ) + (x )] M = ()() 4x + 7 0x + 3 N = (x + )(x + x ) N = (x + )(x 7) Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre Calcul littéral

12 Chapitre # 3 SC Déterminer les diviseurs communs à deux entiers JE REVOIS LE COURS DIVISIBILITÉ a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b 0 Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres entiers positifs q et r tels que : a = b q + r et r b On dit que b est un diviseur de a lorsqu il existe un nombre entier positif n tel que a = n b Un nombre premier est un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs : et lui-même ) Effectuer la division euclidienne de 4 par ) Dans la division euclidienne de 4 par 7, le quotient entier est 46 et le reste Donc, 4 = SC Compléter les égalités suivantes, puis donner la liste des diviseurs du nombre a 4 = 4 4 = 4 = = 4 6 b 4 = 4 4 = 3 4 = 9 c 36 = = 8 36 = 3 36 = = 6 6 d 4 = 4 4 = 4 = = 6 7 Les diviseurs de 4 sont,, 3, 4,, 6, 8, 4 Les diviseurs de 4 sont, 3,,, 9, 4 Les diviseurs de 36 sont,,, 3, 4,, 6, 9, 8, 36 Les diviseurs de 4 sont,,, 3, 6, 7 4,, 4 3 Donner la liste des diviseurs de chaque nombre, puis préciser si le nombre est premier a Les diviseurs de 4 sont :,, 7, 4 ; 4 n est pas un nombre premier b Les diviseurs de 3 sont :, 3 ; 3 est un nombre premier c Les diviseurs de 3 sont :, 3 ; 3 est un nombre premier d Les diviseurs de sont :,,, ; n est pas un nombre premier 4 SC a Les diviseurs de 8 sont,, 3, 6, 9, 8 Les diviseurs communs à 8 et 7 sont, 3, 9 Les diviseurs de 7 sont, 3, 9, 7 b Les diviseurs de 30 sont,, 3,, 6, 0,, 30 Les diviseurs de sont,, 3, 4, 6, c Les diviseurs de 8 sont,, 4, 7, 4, 8 Les diviseurs de sont,, q r w q q r w r w Les diviseurs communs à 30 et sont,, 3, 6 Les diviseurs communs à 8 et sont Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

13 JE REVOIS LE COURS TITRE NOTION DE PGCD a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs Les nombres a et b admettent au moins un diviseur commun : le nombre Le PGCD de a et b est le plus grand des diviseurs commun aux nombres a et b Compléter a Les diviseurs de sont, 3, 7, ; les diviseurs de 3 sont,, 7, 3 Les diviseurs communs à et 3 sont, 7 Donc, PGCD ( ; 3) = 7 b Les diviseurs de 0 sont,, 4,, 0, 0 ; les diviseurs de 6 sont,, 4, 8, 6 Les diviseurs communs à 0 et 6 sont,, 4 Donc, PGCD (0 ; 6) = 4 6 Compléter le calcul du PGCD de 7 09 et 9 par l algorithme d Euclide 709 = ; d où : PGCD (709; 9) = PGCD (9; 34) 9 = ; d où : PGCD (9; 34) = PGCD (34 ; ) 7 34 = ; d où : PGCD (34 ; ) 7 = 7 Donc, PGCD (7 09 ; 9) = 7 7 Compléter le calcul du PGCD de 3 40 et 6 9 par l algorithme d Euclide 69 = ; d où : PGCD (69; 340) = PGCD (340; 979 ) 304 = et 34 ; d où : PGCD (340; 979) = PGCD (979; 34) 979 = ; d où : PGCD (979; 34) = PGCD (34; 33) 34 = ; d où : PGCD (34; 33) = 33 Donc, PGCD (69; 340) = 33 8 Un fleuriste dispose de 4 jacinthes et de 68 anémones Il désire confectionner des bouquets identiques Chaque bouquet doit être composé du même nombre de jacinthes et du même nombre d anémones ) Calculer le nombre maximum de bouquets que pourra confectionner le fleuriste 68 = PGCD (68; 4) = PGCD (4; 74) 4 = PGCD (4; 74) = PGCD ((74; 37) 74 = PGCD (74; 37) = 37 Donc, PGCD (4 ; 68) = 37 Le fleuriste pourra confectionner au maximum 37 bouquets ) Calculer la composition de chaque bouquet 4 = 3 et = Chaque bouquet est composé de 3 jacinthes et de 8 anémones Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre 3 Arithmétique 3

14 SC Simplifier une fonction JE REVOIS LE COURS FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES Deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à Une fraction est irréductible lorsqu elle ne peut plus être simplifiée Si le numérateur et le dénominateur d une fraction sont premiers entre eux, alors cette fraction est irréductible Si l on divise le numérateur et le dénominateur d une fraction par leur PGCD, alors on obtient une fraction irréductible 9 ) Les diviseurs de sont, 3,, Les diviseurs de sont,, Donc, PGCD ( ; ) = Les nombres et ne sont pas des nombres premiers entre eux ) Les diviseurs de 0 sont,, 4,, 0, 0 Les diviseurs de 33 sont, 3,, 33 Donc, PGCD (0 ; 33) = Les nombres 0 et 33 sont des nombres premiers entre eux 3) a Les diviseurs de 46 sont,, 3, 46 Les diviseurs de 6 sont,, 3, 6 Donc, PGCD (46 ; 6) = b Rendre irréductible la fraction = = SC Simplifier chaque fraction = 3 = = = 0 = = 3 36 = 3 = 3 ) Calculer le PGCD de 7 et 4 7 = PGCD( 7 ; 4) = PGCD(4 ; ) 4 = + 4 PGCD(4 ; ) = PGCD( ; 4) = PGCD( ; 4) = PGCD(4 ; ) 4 = PGCD(4 ; ) = Donc, PGCD (7; 4) = ) La fraction 4 est-elle irréductible? Justifier la réponse PGCD (7; 4) = 7 Les nombres 7 et 4 sont premiers entre eux Donc, la fraction 4 est irréductible 7 ) Calculer le PGCD de 0097 et = PGCD(0 097 ; 73) = PGCD(7 3 ; 77) 73 = PGCD(7 3 ; 77) = PGCD( 77 ; 693) 77 = PGCD( 77 ; 693) = 693 Donc, PGCD( ; 73) = ) Rendre irréductible la fraction = = 9 4 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

15 Chapitre 4 SC Déterminer à l aide de la calculatrice la racine carrée d un nombre positif JE REVOIS LE COURS DÉFINITION ET PREMIERE PROPRIÉTÉ a désigne un nombre positif La racine carrée du nombre a est le nombre positif dont le carré est a La racine carrée de a se note a On a : a 0 ( a ) = a a = a SC Déterminer à l aide de la calculatrice la valeur arrondie au centième de chaque nombre a 96 9,78 b 34,8 c 7,,74 d 0,0 0,4 e 3 9,9 f 3, g 3,9 h,9 3 Calculer sans utiliser la calculatrice a 6 = 4 b 8 = 9 c 44 = d 49 = 7 e 4 9 = f 0, = 0, g 0,09 = 0,3 h = 3 i 0 = 0 j 7 = 7 k 37 = 37 l ( 6) = 36 = 6 3 Réduire chaque expression a = ( 3 + ) 4 = 7 b 3 3 = ( ) 3 = 3 3 c = ( 7 + 4) = 3 d = (3 + 7) = e = ( + 3) 7 + (3 ) = 7 4 Développer et réduire chaque expression a A = ( + 3) b B = 3 (4 3 ) c C = 3 7 ( 7 ) A = + 3 B = C = ( 3 7) ( 7) A = ()² + 3 B = 4 3 ()² 3 C = ( 7)² A = + 3 B = C = B = 0 3 C = d D = ( + 3 )² e E = (7 )² f F = ( 3 8 )( ) D = ()² ()² 3 E = 7² 7 + ( )² F = ( 3)² ( 8)² D = E = F = 3 8 D = E = 4 F = Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre 4 Racine carrée

16 JE REVOIS LE COURS REGLES DE CALCUL a et b désignent deux nombres positifs a b = a b a Pour b 0, b = a b a + b a + b Calculer a 8 = 8 = 6 = 4 b 0 = 0 = 00 = 0 c 4 = 9 6 = 9 6 = 9 = 3 d 3 3 = = 3 = = e = 0 f = 00 8 = = = = 9 4 = 3 6 Calculer a (3 )² = 3² ( )² = 9 = 4 b = = 6 c ( 4 3 )² = ( 4)² ( 3)² = 6 3 = 48 d 7 9 = 7 9 = Écrire les nombres suivants sous la forme a avec a entier relatif a 8 = 4 = 4 = = b 8 = 9 = 9 = 3 = 3 c 7 = 36 = 36 = 6 d 8 = 64 = 64 = 8 8 Écrire A sous la forme a 3 et B sous la forme b avec a et b entiers relatifs a A = b B = A = B = A = B = A = B = A = ( ) 3 B = A = 3 B = ( 4 + 4) = 6 9 Développer et réduire chaque expression a C = ( + 3 )² b D = ( 7 )² c E = ( 3)( + 3) C = ( )² ( 3)² D = ( 7)² 7 + ( )² E = ( )² ( 3)² C = D = E = 3 C = + 6 D = 3 E = d F = (3 )² e G = ( ) (8 7 6 ) f H = (7 3 )² F = ()² ()² G = (8 7)² ( 6)² H = (7 3)² ( )² F = ² 3 ()² G = 8² ( 7)² ² ( 6)² H = 7² ( 3)² 4 F = G = H = + ² ( )² F = G = H = G = 44 H = H = Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

17 JE REVOIS LE COURS LES DIFFÉRENTS TYPES DE NOMBRES 0 Écrire chacun des nombres suivants dans le bon cadre, , , 36 0 π 0, 3 Nombres entiers naturels Nombres entiers relatifs Nombres décimaux Nombres rationnels, , 0 4 3,4 8 8, π 3 7 Nombres irrationnels ) a Trouver trois nombres décimaux qui ne soient pas entiers :, ; 0,63 ; 8 b Donner trois nombres rationnels qui ne soient pas décimaux : 3 ; ; 7 6 c Touver trois nombres irrationnels : ; π ; 6 ) Écrire le nombre 3 sous la forme : 6 a d un nombre à virgule : 3,0 b d une fraction : c d une racine carrée : 69 Dans chaque cas, déterminer si les nombres sont entiers, décimaux, rationnels, irrationnels a A = b B = A = B = A = B = ( ) 0 7 A = 7 B = A = B = 0 = 0,0 A est un nombre rationnel B est un nombre décimal c C = 3 ( 4 ) 3 0 d D = ( 3 + 6) : ( 6 + 6) : 6 C = D = 7 C = ( )² 3 0 D = C = D = =,4 C = 60 D est un nombre décimal C est un nombre entier relatif Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre 4 Racine carrée 7

18 Chapitre JE REVOIS LE COURS RÉSOUDRE UNE ÉQUATION Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle un nombre inconnu est désigné par une lettre Résoudre une équation à une inconnue x, revient à trouver toutes les valeurs du nombre x qui vérifient l égalité Chacune de ces valeurs est une solution de l équation Résoudre chacune des équations suivantes a x + = 8 b x = 8 c x 3 = 3 x + = 8 x = 8 x = x = 6 x = 4 x = 6 Vérification : 6 + = 8 Vérification : 4 = 8 Vérification : 6 3 = 3 L équation admet une solution : L équation admet L équation admet 6 une solution : 4 une solution : 6 d x 3 = 3 e x + 3 = 8 f (x + 3) = 8 3 x = 3 3 x = 8 3 x + = 8 3 x = 39 x = x + = 8 x = x = 3 x = 3 x = 3 Vérification : 39 3 = 3 Vérification : = 8 Vérification : ( ) = 8 = 8 L équation admet une L équation admet une L équation admet une solution : 39 solution : 3 solution : 3 g 3x + = x 6 h 3(x + ) = (x 6) 3x + = x 6 3x + 6 = x x + x = x + x 8 3x + x + 6 = x + x x = 8 8x = 30 6 x = 8x = 4 x = 3 Vérification : 3x + = 3 + = Vérification : 3(x + ) = 3 = x 6 = 6 = (x 6) = ( 3) = L équation admet une solution : L équation admet une solution : 3 8 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

19 JE REVOIS LE COURS ÉQUATION PRODUIT NUL a, b, c et d désignent des nombres relatifs Une équation de la forme (ax + b)(cx + d) = 0 est une équation produit nul d inconnue x Si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul Compléter la résolution de l équation (x + 4)(3x 9) = 0 Étape : Résolution Étape : Vérification L équation (x + 4)(3x 9) = 0 est une équation produit ( ( ) + 4)(3 ( ) 9) = 0 ( 6 9) nul Or, si un produit de deux facteurs est nul, alors = 0 ( ) = 0 l un, au moins, de ses facteurs est nul ( 3 + 4)(3 3 9) = () D où : x + 4 = 0 ou 3x 9 = 0 = 0 0 = 0 x = 0 4 ou 3x = x = 4 ou 3x = 9 Étape 3 : Conclusion x = 4 ou x = 9 L équation (x + 4)(3x 9) = 0 admet deux solutions : 3 x = ou x = 3 et 3 3 Résoudre l équation (4x + 8)(x 6) = 0 Étape : Résolution L équation (4x + 8)(x 6) = 0 est une équation produit nul Or, si un produit de deux facteurs est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul D où : 4x + 8 = 0 ou x 6 = 0 4x = 0 8 ou x = x = 8 ou x = 6 x = ou x = 3 Étape : Vérification (4 ( ) + 8)( ( ) 6) = 0 ( 4 6) = 0 ( 0) = 0 ( )( 3 6) = (+ 8) 0 = 0 0 = 0 Étape 3 : Conclusion L équation (4x + 8)(x 6) = 0 admet deux solutions : et 3 4 Résoudre l équation (7x 9)(3x ) = 0 Étape : Résolution L équation (7x 9)(3x ) = 0 est une équation produit nul Or, si un produit de deux facteurs est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul D où 7x 9 = 0 ou 3x = 0 7x = ou 3x + = 0 + 7x = 9 ou 3x = x = 9 7 ou x = 3 Étape : Vérification ( )(3 9 ) = 0 ( ) = 0 7 (7 3 9)(3 ) = ( ) 0 = 0 3 Étape 3 : Conclusion L équation (7x 9)(3x ) = 0 admet deux solutions : 9 7 et 3 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre Équations et équations produit nul 9

20 On considère l expression A = x(x + 3) 4x ) Prouver que A = x(x ) A = x(x + 3) 4x = x (x + 3 4) = x(x ) ) Résoudre l équation A = 0 Étape : Résolution Étape : Vérification L équation x(x + 3) 4x = 0 est une équation produit nul Or, si un produit de deux facteurs est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul D où : x = 0 ou x = 0 x = 0 ou x + = 0 + x = 0 ou x = x = 0 ou x = 0 ( 0 ) = 0 ( ) = 0 ( )= ( ) 0 = 0 Étape 3 : Conclusion L équation x(x ) = 0 admet deux solutions : 0 et 6 On considère l expression B = (x + 3)(4x ) (x + 3)(x + ) ) Factoriser l expression B B = (x + 3)[(4x ) (x + )] = (x + 3)[4x x ] = (x + 3)(x 6) ) Résoudre l équation B = 0 Étape : Résolution Étape : Vérification L équation (x + 3)(4x ) (x + 3)(x + ) = 0 est une ( 3 + 3)( ( 3) 6)= 0 ( ) = 0 équation produit nul Or, si un produit de deux (3 + 3)( 3 6) = ( ) 0 = 0 facteurs est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs Étape 3 : Conclusion est nul L équation (x + 3)(4x ) (x + 3)(x + ) = 0 admet D où : x + 3 = 0 ou x 6 = 0 deux solutions : 3 et 3 x = 3 ou x = x = 3 ou x = 6 x = 3 ou x = 3 7 On considère l expression C = x 36 ) Factoriser l expression C C = (x)² 6² = (x 6)(x + 6) ) Résoudre l équation C = 0 Étape : Résolution Étape : Vérification L équation x 36 = 0 est une équation produit ( 6 6)( 6 + 6) = 0 ( ) = 0 nul Or, si un produit de deux facteurs est nul, alors ( l un, au moins, de ses facteurs est nul ( 6 ) 6)( ( 6 + 6) = ( ) 0 = 0 ) Étape 3 : Conclusion D où : x + 6 = 0 ou x 6 = 0 L équation x 36 = 0 admet deux solutions : 6 x = 6 ou x = et 6 x = 6 ou x = 6 x = 6 ou x = 6 0 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

21 8 Manon : «J ai calculé le triple de la somme d un nombre et de» Julie : «J ai calculé la moitié de la somme de ce même nombre et de 4» Sachant que Manon et Julie ont trouvé le même résultat, déterminer ce nombre Résolution du problème ) Choix de l inconnue : on appelle x le nombre choisi par Manon et Julie ) Mise en équation a Écrire le triple de la somme du nombre x et de (x 3 + ) b Écrire la moitié de la somme de ce même nombre et de 4 (x + ) 4 c Les résultats sont les mêmes (x 3 + ) = (x + ) 4 3) Résolution de l équation 4) Vérification 3(x + ) = (x + 4) 3(x + ) = 3 0,4 =, On a alors : 3x + 6 = x + (x + 4) =,4 =, 4 ) Conclusion 3x x = x + 6 x La solution de l équation est le nombre,6 x = 4 Manon et Julie ont trouvé le nombre,6 x = 4 Soit : x = 8 ou x =,6 9 Choisir un nombre, puis calculer son triple et lui retrancher 4 Calculer le carré du nombre ainsi obtenu Quels nombres choisir au départ pour que le résultat final soit égal à 64? Résolution du problème ) Choix de l inconnue : on appelle x le nombre choisi ) Mise en équation a Écrire le triple du nombre x et lui retrancher 4 3 x 4 b Écrire le carré du nombre ainsi obtenu (x 3 ) 4 c Le résultat final est égal à 64 (x 3 ) 4 = 64 3) Résolution de l équation ( x 3 )² 4 = 64 ou ( x 3 )² 4 64 = 0 (3x 4)² 8² = 0 [(3x 4) 8][(3x 4) + 8] = 0 (3x )(3x + 4) = 0 C est une équation produit nul Or, si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul 3x = 0 ou 3x + 4 = 0 3x = ou 3x = 4 x = 4 ou x = 4 3 4) Vérification (3 4 4)² = 8² = 64 4)² = ( 8)² = 64 (3 ( 4 3) ) Conclusion Les solutions de l équation sont 4 et 4 3 On peut choisir au départ les nombres 4 et 4 3 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre Équations et équations produit nul

22 Chapitre 6 JE REVOIS LE COURS INÉQUATIONS Résoudre une inéquation à une inconnue x, revient à trouver toutes les valeurs du nombre x qui vérifient l inégalité Chacune de ces valeurs est une solution de l inéquation Les nombres a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b Si c > 0, alors les nombres a c et b c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b Si c < 0, alors les nombres a c et b c sont rangés dans l ordre contraire des nombres a et b On considère l inéquation 3x + x 6 Dans chaque cas, déterminer si le nombre x proposé est solution de l inéquation a Pour x = b Pour x = 3 3x + = 3 + = 3x + = 3 ( 3) + = 9 + = 7 x 6 = 6 = 6 = x 6 = ( 3) 6 = 6 = 9 Or,, donc : Or,, 7 9 donc : est solution de l inéquation 3 n est pas solution de l inéquation Résoudre chaque inéquation a + x 0 b x 0 x + x > 0 0 x x 4 Les solutions de l inéquation sont tous les nombres Les solutions de l inéquation sont tous les strictement supérieurs à nombres strictement supérieurs à 4 c x 0 d x 0 x 0 x 0 x 4 x x Les solutions de l inéquation sont tous les Les solutions de l inéquation sont tous les nombres strictement inférieurs à 4 nombres strictement inférieurs à e x 3 f x 0 x 3 x 0 Les solutions de l inéquation sont tous les Les solutions de l inéquation sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 3 nombres supérieurs ou égaux à 0 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

23 JE REVOIS LE COURS REPRÉSENTATION DES SOLUTIONS 0 0 La partie colorée représente les nombres x tels que : x La partie colorée représente les nombres x tels que : x 0 0 La partie colorée représente les nombres x tels que : x La partie colorée représente les nombres x tels que : x 3 Dans chaque cas, graduer la droite et représenter en rouge les solutions de l inéquation a x 3 b x c x 3 d x e x f x 4, 0, 4, 0 4 Résoudre chaque inéquation et représenter ses solutions sur une droite graduée a x + 3 b 3x < 4 x + 3 3x x 4 3x 9 x x 3 Les solutions de l inéquation sont tous les nombres Les solutions de l inéquation sont tous les strictement supérieurs à nombres strictement inférieurs à c 4x d x 7 3 4x x x x 0 x 3 x Les solutions de l inéquation sont tous les Les solutions de l inéquation sont tous nombres inférieurs ou égaux à 3 les nombres supérieurs ou égaux à Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre 6 Inéquations Systèmes d équations 3

24 JE REVOIS LE COURS RÉSOUDRE UN SYSTEME a, b, c, d, e et f désignent des nombres relatifs ax + by = c est un système de deux équations à deux inconnues x et y dx + ey = f r w q Résoudre un système de deux équations à deux inconnues x et y, revient à trouver tous les couples de nombres (x ; y) qui sont simultanément solutions des deux équations r3x y = 7 Dans chaque cas, déterminer si le couple proposé est solution du système w q x + y = a Pour (4;,) b Pour (; ) 3x y = 3 4, = 7 3x y = 3 ( ) = 7 x + y = 4 +, = 4, x + y = + ( ) = Or,, 4, donc : le couple (4;,) n est pas Donc, le couple (; ) est solution du système solution du système r x 3y = 7 (E ) 6 Compléter chaque étape pour résoudre par substitution le système w q x + y = 9 (E ) ) Dans l équation (E ), j exprime x en fonction de y x = 3 y + 7 ) Dans l équation (E ), je remplace x par y (y 3 + ) 7 + y = 9 3) J obtiens une équation à une inconnue y que je résous 6 y y = 9 y + 4 = 9 y = 9 4, y = 33 d où y = 3 4) Pour obtenir x, je remplace la valeur de y dans l équation x = 3 y +, 7 d où x = ) Vérification : x 3y = 3 ( 3) = 7 et x + y = ( ) + ( 3) = 9 6) Conclusion : le système admet une solution, le couple ( ; ) 3 r x + 9y = 4 7 Compléter chaque étape pour résoudre par addition le système w q 4x + 3y = 8 r x + 9y = 4 ( ) 4x 8y = 48 w q 4x + 3y = 8 + 4x + 3y = 8 0x y = 30 Donc : y = r x + 9y = 4 ( ) x 9y = 4 w q 4x + 3y = x + 9y = 4 0x + 0y = 30 Donc : x = 3 Vérification : x + 9y = ( 3) + 9 = = 4 et 4x + 3y = 4 ( 3) + 3 = + 6 = 8 Conclusion : le système admet une solution, le couple ( 3 ; ) 4 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

25 8 Résoudre par la méthode la mieux appropriée chaque système rx y = (E ) r x 4y = 7 (E ) a w b w q3x + y = 6 (E ) q 3x + 0y = (E ) Dans l équation (E ), y = x r x 4y = 7 x 0y = 3 w Dans l équation (E ), 3x + (x ) = 6 q 3x + 0y = + 3x + 0y = J obtiens une équation à une inconnue x que je x = 33 résous 3x + 0x = 6 d où : x = 3 3x = 6 + r x 4y = 7 3 x y = w 3x = 8, d où : x = 8 q 3x + 0y = + x + 00y = 0 3 y = x, d où : y = 7 88y = 3 Vérification : x y = = d où : y = 8 et 3x + y = Vérification : x 4y = 3 3 = = 7 et 3x + 0y = 3 3 Conclusion : le système admet une solution, = le couple ( 8 3 ; 7 3 ) Conclusion : le système admet une solution, le couple ( 3 ; 8 ) 9 Pour un spectacle, la famille Adam, composée de 4 adultes et de 3 enfants, a payé 06 euros Pour le même spectacle, la famille Barnabé, composée de adultes et de enfants, a payé 4 euros Quel est le tarif enfant? le tarif adulte? On appelle x le prix payé par un adulte et y le prix payé par un enfant r4x + 3y = 06 On doit résoudre le système w qx + y = 4 r 4x + 3y = 06 4x + 3y = 06 r 4x + 3y = x + 6y = 4 w w q x + y = 4 ( ) + 4x 4y = 8 q x + y = 4 ( 3) + 6x 6y = 34 y = x = 70 d où : y = d où : x = 3 Vérification : 4x + 3y = = 06 et x + y = 3 + = 4 Conclusion : le système admet une solution, le couple (3; ) Le tarif enfant est, le tarif adulte 3 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre 6 Inéquations Systèmes d équations

26 Chapitre # 7 JE REVOIS LE COURS TITRE LES NOTATIONS On considère la fonction f qui, à un nombre, associe le double de son carré Par exemple, au nombre 3, la fonction f associe le double du carré de 3, c est-à-dire le double du nombre, 9 donc le nombre 8 On note f : 3 8 On écrit l égalité f (3) = 8 La fonction f, au nombre x, associe le double du carré de x, c est-à-dire le double de, x² donc le nombre x² La fonction f se note f : x x² On écrit l égalité f(x) = x² On considère les fonctions f, g, h, i et j telles que : f : 3 3x g (x) = x h : x x i (x) = ( x ) j : x x Compléter les phrases suivantes avec les fonctions f, g, h, i ou j a La fonction qui, à un nombre, associe la moitié de son carré est la fonction h b La fonction qui, à un nombre, associe sa moitié est la fonction g c La fonction qui, à un nombre, associe l opposé de son inverse est la fonction j d La fonction qui, à un nombre, associe son triple est la fonction f e La fonction qui, à un nombre, associe le carré de sa moitié est la fonction i Une fonction est définie de plusieurs façons : par une phrase, par une notation, par une égalité Compléter le tableau suivant Par une phrase Par une notation Par une égalité La fonction f, à un nombre, associe son carré f : x x f (x) = x La fonction g, à un nombre, associe son opposé g : x x g (x) = x La fonction h, à un nombre, associe son inverse h : x x h (x) = x La fonction i, à un nombre, associe la moitié de son opposé i (x) = x i (x) = x La fonction j, à un nombre, associe le carré de son double j : x (x) j(x) = (x) La fonction k, à un nombre, associe l inverse de son carré k : x x k (x) = x 6 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

27 JE REVOIS LE COURS TITRE LE VOCABULAIRE On considère la fonction définie par f : x x² On a f (4) = ()² 4 = 6 = 8 et f ( 4) = ()² 4 = 6 = 8 On dit que l image par la fonction f du nombre 4 est le nombre 8 On dit que le nombre 4 est un antécédent par la fonction f du nombre 8 Le nombre 4 est aussi un antécédent par la fonction f du nombre 8 3 On considère la fonction g telle que : g : 3 g() = 0 g : g( ) = g : 0 g(3) = 3 Compléter les phrases suivantes a L image par la fonction g du nombre est le nombre b Un antécédent du nombre par la fonction g est le nombre c L image du nombre 0 par la fonction g est le nombre d Un antécédent par la fonction g du nombre 0 est le nombre e L image par la fonction g du nombre est le nombre f Citer plusieurs antécédents du nombre par la fonction g : les nombres et 0 g Citer un nombre qui a pour image lui-même par la fonction g : le nombre 3 4 On considère la fonction h définie par h : x x² ) a h(3) = ()² 3 = 9 = 8 = 7 b h(0) = 0² = 0 = c h( ) = ( )² = = = d h() = ² = 4 = 8 = 7 e h( ) = ( )² = 4 = 8 = 7 ) Quelle est l image par h du nombre? h ( ) = ( ) = 4 = = L image du nombre par la fonction h est le nombre On considère la fonction i telle que i(x) = x x + ) Compléter le tableau de valeurs suivant x i(x) 0 ) Montrer que est un antécédent du nombre par la fonction i i ( ) = 3 = + 3 = 4 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre 7 Notion de fonction 7

28 JE REVOIS LE COURS TITRE LA REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION On considère une fonction f On note ( f ) sa représentation graphique dans un repère ) a En bleu, sur le graphique : 6 écrire, sur l axe des abscisses ; placer le point A de ( f ) d abscisse, ; écrire l ordonnée du point A b L image du nombre, par la fonction f est donc 4 le nombre 0, 3 ) a En vert, sur le graphique :, C B écrire, sur l axe des ordonnées ; placer les points B et C de ( f ) d ordonnée, ; écrire l abscisse du point B ; écrire l abscisse du point C, b Les antécédents du nombre, par la fonction f, 0 3 3, 4 sont donc les nombres, et 3, 0, A 6 On a tracé, dans le repère ci-dessous, la représentation graphique ( g ) de la fonction g ) Compléter en bleu ce graphique afin de déterminer l image du nombre 3 par la fonction g L image du nombre 3 par la fonction g est, 6 ) Compléter en vert ce graphique afin de déterminer les antécédents du nombre par la fonction g Les antécédents du nombre par la fonction g sont les nombres ; 0 et, 4 3) Compléter en rouge ce graphique afin de déterminer g( 0,) 3 g( 0,) =,,, 4) Déterminer graphiquement les nombres x qui vérifient l égalité B C D g(x) = 0 Les nombres qui vérifient l égalité g(x) = 0 sont les nombres, ; 0, et 0 0, 3,8 ) Donner une valeur approchée de l antécédent par la fonction g du nombre Un antécédent par la fonction g du nombre est environ,8 8 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

29 Chapitre 8# SC Reconnaître la proportionnalité dans une situation de vie courante JE REVOIS LE COURS DÉFINITION ET PREMIERE PROPRIÉTÉ a est un nombre relatif donné Une fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui, à un nombre x, associe le produit de ce nombre par a On note f : x ax ou f(x) = ax Une situation de proportionnalité est modélisée par une fonction linéaire Son coefficient est le coefficient de proportionnalité SC a Léo achète, kg de pommes à,30 le kg La fonction qui modélise cette situation est : f : x,3x x représente la masse en kilogrammes f (x) représente le prix en euros pour x kg La fonction f est-elle linéaire? Pourquoi? La fonction f associe au nombre x le produit x par,3 ; c est une fonction linéaire de coefficient,3 Le prix est proportionnel à la masse b Jade possède une carte d abonnement à un ciné-club qu elle a payée 0 Elle achète ensuite le billet à 4, La fonction qui modélise cette situation est : g : x 0 + 4,x x représente le nombre de billets g(x) représente le prix en pour x billets La fonction g est-elle linéaire? Pourquoi? La fonction g n est pas linéaire car l image de x par la fonction g n est pas le produit de x par un nombre Le prix n est pas proportionnel au nombre de billets ) a Déterminer la fonction p qui modélise le périmètre du rectangle ci-contre en fonction de la longueur EF p : x 6 + x b La fonction p est-elle linéaire? Si oui, préciser son coefficient La fonction p n est pas linéaire ) a Déterminer la fonction A qui modélise l aire du même rectangle en fonction de la longueur EF A : x 3x b La fonction A est-elle linéaire? Si oui, préciser son coefficient E H x F 3 G La fonction A est linéaire et de coefficient 3 3 Déterminer dans chaque cas, si la fonction est linéaire Si oui, préciser son coefficient a f(x) = x x f(x) = 3x La fonction f est linéaire et de coefficient 3 b g(x) = 3(x + 7) 0 g(x) = 3x 0 = 3x 3 La fonction g n est pas linéaire c h(x) = x(6 x) + x² h(x) = x x² + x² = x La fonction h est linéaire et de coefficient Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre 8 Proportionnalité et fonction linéaire 9

30 JE REVOIS LE COURS TITRE IMAGE ET ANTÉCÉDENT f est une fonction linéaire de coefficient a f(x) est l image du nombre x par la fonction f L antécédent du nombre n par la fonction f est le nombre x tel que f (x) = n 4 On considère la fonction linéaire de coefficient 4 ) Compléter le tableau suivant x 0, f(x) ) a Quelle est l image de par la fonction f? 8 puis de par la fonction f? 4 b Quel est l antécédent de par la fonction f? 0, puis de par la fonction f? 4 6 On considère la fonction g : x,x ) Calculer les images des nombres 3 ; ; a g(3) =, 3 = 7, L image de 3 par la fonction g est 7, b g( ) =, ( ) =, L image de par la fonction g est, c g ( ) =, = = 4 = 6, L image de par la fonction g est 6, ) a Calculer l antécédent de 0 par la fonction g On cherche x tel que g(x) = 0 Or g(x) =,x D où,x = 0 0 x =, x = 4 L antécédent du nombre 0 par la fonction g est 4 b Calculer l antécédent de 30, par la fonction g On cherche x tel que g(x) = 30, Or g(x) =,x D où,x = 30, x = 30,, x =, L antécédent du nombre 0 par la fonction g est, c Calculer l antécédent de par la 4 fonction g On cherche x tel que g(x)= 4 Or g(x) =,x D où,x = 4 x = 4 : (,) = 4 : ( ) x = 4 ( ) = 0 L antécédent du nombre 4 par la fonction g est 0 6 h est une fonction linéaire telle que h(7) = Calculer le coefficient de la fonction h h est une fonction, linéaire donc h(x) = ax Pour calculer a, on sait que : h(7) = a 7 et h(7) = D où a 7 = On en déduit que a = 7 Donc, la fonction h est définie par h : x x 7 7 i est une fonction linéaire telle que i ( 8) = 6 Calculer le coefficient de la fonction i i est une fonction linéaire, donc i(x) = ax Pour calculer a, on sait que : i( 8) = a ( 8) et i( 8) = 6 D où a ( 8) = 6 On en déduit que a = 6 8 = 6 8 = 3 4 Donc, la fonction i est définie par i : x 3 4 x 30 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

31 SC Caractériser graphiquement la proportionnalité JE REVOIS LE COURS REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION LINÉAIRE La représentation graphique dans un repère d une fonction linéaire de coefficient a est une droite passant par l origine du repère 8 SC En observant les représentations graphiques ci-dessous, préciser si les fonctions qu elles représentent sont linéaires Justifier chaque réponse Non linéaire Linéaire Non linéaire Linéaire La droite ne passe C est une droite qui Ce n est pas C est une droite qui pas par l origine passe par l origine une droite passe par l origine (d ) (d) 9 ) On considère la fonction f : x x 6 A a La fonction f est, linéaire donc sa représentation graphique est une droite (d) passant par l origine du repère Pour la tracer, il suffit donc de déterminer les coordonnées d un deuxième point Pour x =, 3 on a f() 3 = 3 = 6 Donc, le point A ( 3 ; ) 6 appartient à (d) b Tracer ci-contre la représentation graphique de la fonction f ) Sur le même repère ci-contre, représenter graphiquement les fonctions 0 3 C 3 B suivantes : g : x,x et h : x 3 x La fonction g est linéaire, donc sa représentation La fonction h est linéaire, donc sa représentation graphique est une droite (d ) passant par l origine du repère Pour la tracer, il suffit donc de déterminer les coordonnées d un deuxième point graphique est une droite (Δ) passant par l origine du repère Pour la tracer, il suffit donc de déterminer les coordonnées d un deuxième point Pour x =, on a g() =, = 3 Pour x = 3, on a h(3) = 3 3 = Donc, le point B( ; 3) appartient à (d ) Donc, le point C(3 ; ) appartient à (Δ) Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre 8 Proportionnalité et fonction linéaire 3

32 JE REVOIS LE COURS TITRE LECTURES GRAPHIQUES 0 On a représenté ci-contre des fonctions linéaires f, f et f 3 respectivement par les droites (d ), (d ) et (d 3 ) ) En traçant les pointillés nécessaires, trouver l image de chacun des nombres suivants par la fonction f a 3 b, c 3 d, ) En traçant les pointillés nécessaires, trouver l image de chacun (d ) 4 3 (d ) (d 3 ) des nombres suivants par la fonction f a, 3 b c 4 d 3) En traçant les pointillés nécessaires, trouver l image de chacun des nombres suivants par la fonction f 3 a 3 b 3 c 0, On a représenté ci-contre deux fonctions linéaires g et g respectivement par les droites (Δ ) et (Δ ) ) En traçant les pointillés nécessaires, donner l antécédent de chacun des nombres suivants par la fonction g a 3 6 b 4 8 c 6 ) En traçant les pointillés nécessaires, donner l antécédent de chacun des nombres suivants par la fonction g a 6 8 b 3 4 c Les droites (d ), (d ), (d 3 ), (d 4 ) et (d ) sont les représentations graphiques respectives des fonctions f, f, f 3, f 4 et f Déduire graphiquement le coefficient de chaque fonction a f : x 3 x b f : x x f c 3 : x x f d 4 : x 3 4 x f e : x 3 x (d ) (d ) 4 3 (d 4 ) (d ) (d 3 ) 3 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

33 SC3 Calculer une augmentation ou une réduction de a % JE REVOIS LE COURS ÉVOLUTION EN POURCENTAGE Augmenter un nombre positif de p % revient à multiplier ce nombre par + p 00 Une augmentation de p % est modélisée par la fonction linéaire f : x ( + p 00 ) x p est un nombre compris entre 0 et 00 Diminuer un nombre positif de p % revient à multiplier ce nombre par p 00 Une diminution de p % est modélisée par la fonction linéaire f : x ( p 00 ) x SC3 Pour les exercices 3 à 8, compléter 3 a Augmenter de 00 %, c est augmenter de la même quantité, ce qui revient à multiplier par b Augmenter de 0 %, c est augmenter de la, moitié ce qui revient à multiplier par, c Diminuer de 0 %, c est diminuer de la, moitié ce qui revient à diviser par d Diminuer de %, c est diminuer de, un quart ce qui revient à multiplier par La population d une ville a augmenté de 0 % Elle est désormais de habitants Combien y avait-il d habitants avant cette augmentation? 30000, = Avant l augmentation, il y a avait habitants dans cette ville Gaëtan a acheté une veste à 86 Elle était soldé à 0 % Quel était son prix de départ? 86 = 7 Le prix initial de la veste était 7 6 a Une augmentation de % est modélisée par la fonction linéaire f : x, x b Une diminution de 0 % est modélisée par la fonction linéaire f : x 0,90 x c Une diminution de % est modélisée par la fonction linéaire f : x 0,7 x d Une augmentation de 30 % est modélisée par la fonction linéaire f : x,3 x e Une augmentation de % est modélisée par la fonction linéaire f : x,0x f Une diminution de 8 % est modélisée par la fonction linéaire f : x 0,8x 7 Le volume d un solide a augmenté de 3 % Il est désormais de, cm 3 Quel était son volume initial? La fonction modélisant une augmentation de 3 % est : f : x,03 x f(x) =, d où,03x =, x =,,03 = 0 Le volume initial était de 0 cm 3 8 Pendant la période des soldes, un commerçant accorde une remise de 0 % à la première démarque, puis une remise de 0 % sur le prix soldé Calculer la réduction globale en pourcentage sur ces deux démarques La fonction modélisant une diminution de : 0 % est f : x 0,80x 0 % est g : x 0,90x g(0,80x) = 0,90 (0,80x) = 0,90 0,80x = 0,7x 0,7 = 0,8 = 8 00 La réduction globale est de 8 % Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre 8 Proportionnalité et fonction linéaire 33

34 Chapitre # 9 JE REVOIS LE COURS TITRE RECONNAÎTRE UNE FONCTION AFFINE a et b désignent deux nombres relatifs donnés Une fonction affine est une fonction qui, à un nombre x, associe le nombre ax + b On note f : x ax + b On écrit ainsi f(x) = ax + b Toutes les fonctions linéaires sont des fonctions affines f(x) = ax = ax + 0 ; b = 0 Toutes les fonctions constantes sont des fonctions affines f(x) = b = 0x + b ; a = 0 On considère les quatre fonctions suivantes f : x x + 4 g : x 4x + h : x 4x i : x 4x ) À quelle fonction correspond le processus : «Je multiplie par 4, puis j ajoute»? Le processus correspond à la fonction h : x 4x ) Trouver le processus associé à chacune des autres fonctions Pour f, le processus est «je multiplie par ( ) puis j ajoute 4» Pour g, le processus est «je multiplie par 4 puis j ajoute» Pour i, le processus est «je multiplie par ( 4) puis j ajoute ( )» On considère les cinq fonctions suivantes f : x 3x + g : x 6 h: x 8 x i : x x j : x 9 9 x ) a Parmi ces cinq fonctions, trouver une fonction non affine j est une fonction non affine b Justifier la réponse j est une fonction de la forme j(x) = a et non j(x) = ax + b x ) Pour chacune des autres fonctions, justifier qu elle est affine a f est affine car elle est de la forme f(x) = ax + b avec a = 3 et b = b g est affine car elle est de la forme g(x) = ax + b avec a = 0 et b = 6 (De plus, g est constante) c h est affine car elle est de la forme h(x) = ax + b avec a = et b = 8 d i est affine car elle est de la forme i(x) = ax + b avec a = et b = 0 (De plus, i est linéaire) 9 3) a Quelle fonction est linéaire? i est linéaire car elle est de la forme i(x) = ax avec a = 9 b Quelle fonction est constante? g est constante car elle est de la forme g(x) = b avec b = 6 34 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit

35 JE REVOIS LE COURS TITRE DÉTERMINER UNE IMAGE OU UN ANTÉCÉDENT PAR UNE FONCTION AFFINE a et b désignent deux nombres relatifs donnés f : x ax + b est une fonction affine Pour calculer l image du nombre x par la fonction f, on multiplie x par a puis on ajoute b Si f est une fonction affine non constante, alors tout nombre admet un antécédent par la fonction f et cet antécédent est unique 3 On considère la fonction affine f telle que f(x) = 6x + Calculer l image par la fonction f du nombre : a 4 ; b 3 ; c 0 ; d 7 6 a f(4) = 6 () 4 + = 4 + = 9 L image du nombre 4 par la fonction f est 9 b f( 3) = 6 ( 3) + = 8 + = 3 L image du nombre 3 par la fonction f est 3 c f(0) = = 0 + = L image du nombre 0 par la fonction f est f ( 7 6) = 6 ( 7 6) + = 7 + = d L image de 7 par la fonction f est 6 4 On considère la fonction affine f telle que f(x) = x + 7 Déterminer l antécédent par la fonction f du nombre : a 4 ; b 3 ; c 0 ; d 3 a On cherche x tel que : f(x) = 4 On a : x + 7 = 4 b On cherche x tel que : f(x) = 3 On a : x + 7 = 3 x = 4 7 x = x = x = x = x = x = L antécédent de 4 par la fonction f est 3 L antécédent de 3 par la fonction f est c On cherche x tel que : f(x) = 0 d On cherche x tel que f(x) = 3 On a : x + 7 = 0 On a : x + 7 = 3 x = 7 x = 3 7 x 7 = x = 3 L antécédent de 0 par la fonction f est 7 x = 9 3 x = 9 6 L antécédent de 3 par la fonction f est 9 6 Hachette Livre, Mathématiques 3 e, cahier d activités, collection Phare La photocopie non autorisée est un délit Chapitre 9 Fonction affine 3

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