Travaux Pratiques de Mécanique

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1 Travaux Pratiques de Mécanique TP L1-S2 Phys103 Arne Keller Elias Khan Univ. Paris-Sud

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3 Table des matières I Présentation générale du dispositif pour les TP1 et TP2 6 I.1 Banc à coussin d air I.2 Remarques importantes II TP1 : mouvements de translation rectiligne 9 II.1 Configuration du Matériel II.1 Mouvement rectiligne uniforme II.1.1 Expérimentation II.2 Mouvement rectiligne uniformément varié II.2.1 Principe du dispositif II.2.2 Modélisation II.2.3 Expérimentation III TP2 : Chocs à une dimension 13 III.1 Configuration du matériel III.2 Modélisation III.3 Expérimentation IV TP3 : Le pendule simple 17 IV.1 Configuration du Matériel IV.2 Modélisation du pendule IV.3 Expérimentation : pendule simple vertical IV.4 Expérimentation : pendule incliné V TP4 : Référentiels en rotation pseudo forces 21 V.1 Pendule de Foucault V.1.1 Modélisation V.1.2 Expérimentation V.2 Plateforme en rotation V.2.1 Configuration du Matériel

4 4 Table des matières V.2.2 Modélisation V.2.3 Expérimentation VI TP5 : Mesure du moment d inertie d un solide 26 VI.1 Configuration du Matériel VI.2 Modélisation VI.3 Expérimentation A Documents 29 A.1 Incertitudes dans les mesures A.2 Elements de mécanique A.3 Eléments théoriques relatifs au TP A.4 Eléments théoriques relatifs au TP A.5 Eléments théoriques relatifs au TP A.6 Eléments théoriques relatifs au TP A.7 Eléments théoriques relatifs au TP

5 Ce fascicule présente les cinq séances (Chapitres 2 6) de travaux pratiques (TP) de physique du second semestre de licence à l université Paris Sud 11. Le premier chapitre est une description générale du dispositif expérimental utilisé pour les travaux pratiques TP1 et TP2. Chaque chapitre est en général divisé en 3 sections. La première est une description du dispositif expérimental, la seconde présente une modélisation de l expérience et la dernière présente l expérimentation que vous devez effectuer. De plus, à chacune des séances est associée une annexe (Annexes A3 A7) qui introduit les éléments théoriques nécessaires à la compréhension du TP et à sa modélisation. L annexe A1 est une introduction aux incertitudes dans les mesures et l annexe A2 introduit des notions générales de mécanique qui seront approfondies dans le cours et les travaux dirigés (TD). Le chapitre ainsi que les annexes correspondantes doivent impérativement être étudiés avant la séance de TP. L objectif de ces séances est de se retrouver face à une situation concrète en relation directe avec des notions abstraites que vous avez étudié (ou allez étudier) en cours et en TD. On s appliquera particulièrement dans la confrontation entre les résultats expérimentaux et les prédictions du modèle. C est dans cette confrontation que l estimation et le calcul des incertitudes est crucial. A la fin de chaque séance de travaux pratiques vous donnerez à votre enseignant un compte rendu de TP qui sera noté. Ce compte rendu sera en général composé des éléments suivants : Une brève introduction. Pour chaque manipulation une description de la façon dont on fait les mesures. Les résultats bruts des mesures (avant tout traitement). Par exemple : vous mesurez des temps et des longueurs et non pas directement des vitesses. L évaluation des incertitudes sur les mesures. Les résultats après traitements (calcul des vitesses ou des énergies cinétiques par exemple). Cette partie pourra comporter des graphiques et des calculs d incertitudes. Souvent il y aura une comparaison avec un modèle théorique. Une conclusion (vos mesures sont elle en adéquation avec le modèle théorique?). Vous pourrez disposer de vos comptes rendus lors des duex séances d interrogation de TP à la fin du semestre. 5

6 Chapitre I Présentation générale du dispositif pour les TP1 et TP2 I.1 Banc à coussin d air I.2 Remarques importantes On présente ici le dispositif expérimental qui sera utilisé pour les TP1 (Mouvements Rectilignes) et le TP2 (Chocs).

7 Présentation générale du dispositif pour les TP1 et TP2 7 I.1 Banc à coussin d air Le dispositif expérimental comprend les éléments suivants : un banc soufflant : rail creux (2 m) percé de trous permettant de créer (grâce à une soufflerie) le coussin d air qui réduit les frottements lors du glissement du mobile. Le rail est muni d un ruban gradué qui permet de repérer la position des cellules (voir ci-dessus) ; une soufflerie ; un lanceur à une extrémité du rail qui permet de reproduire des conditions initiales quasiment identiques. Ce lanceur peut être monté dans deux positions : Fixé au rail dans un sens (partie noire aimantée vers le rail), il permet un lancement avec différentes vitesses initiales selon l enfoncement du poussoir. En le dévissant du rail et en le positionnant dans l autre sens, le lanceur permet la libération du chariot avec une vitesse initiale quasi nulle. Le lanceur est branché sur le compteur de telle sorte qu à la libération du mobile, un signal est envoyé au chronomètre qui démarre l horloge. L instant t = 0 est donc déterminé par le lanceur. un ensemble de 4 cellules photoélectriques infrarouges alimentées sous 5 V. Ces cellules, montées sur des supports individuels, sont positionnées le long du rail en fonction de l expérience réalisée et permettent de caractériser le mouvement d un mobile sur le banc ; le passage du mobile coupe le rayon lumineux propre à chaque cellule et un signal est alors envoyé au chronomètre. un chronomètre à 4 canaux qui peux fonctionner sur deux modes : Un mode permettant de mesurer le temps écoulé entre l instant t = 0 (instant du lancement du mobile) et l instant où le mobile occulte une cellule photoélectrique. Un mode permettant de mesurer la durée d occultation d une cellule photoélectrique. deux mobiles profilés (190 ± 1 g) munis d un écran rectangulaire (100 ± 0, 5 mm ; 10±1 g) provoquant l occultation des cellules photoélectriques lors de leur passage. Ces mobiles peuvent être munis de différents accessoires : des surcharges de 50 ± 1 g et 10 ± 1 g permettant de modifier la masse des chariots, différents embouts (10 ± 1 g) : élastique, plat, aiguille, fiche, aimant. Ces embouts doivent être placés, si possible, sur les trous de fixation inférieurs des

8 8 Présentation générale du dispositif pour les TP1 et TP2 mobiles afin de minimiser l arc-boutement des mobiles en cas de choc. Aussi bien pour les surcharges que pour les embouts, vous penserez à les placer de façon symétrique, de part et d autre du chariot pour maintenir son équilibre! une butée de fin de course permettant de réaliser un mouvement aller-retour ; un système de poulie, un plateau (1, 0 ± 0, 1 g) ; un ensemble de masses additionnelles (1, 0 ± 0, 1g) permettant d entraîner le mobile ; I.2 Remarques importantes Vous utilisez un matériel de précision qui est fragile. Les manipulations sont donc à effectuer avec le plus grand soin possible. Toute dégradation de matériel entraînera des erreurs inévitables dans vos mesures, ainsi que dans celles de vos camarades qui travailleront ensuite sur cette expérience. Ne jamais faire glisser les mobiles sur le rail sans mettre en route au préalable la soufflerie avec un débit d air suffisant pour que le mobile ne frotte pas sur le rail. Manipuler le mobile (changement d embout, de surcharges, d écran...) sur la table et non sur le banc. C est le même boîtier (le chronomètre) qui permet l alimentation des cellules et la mesure (fils bleus et rouges pour l alimentation, fil jaune pour la détection des occultations et dés-occultations). Les cellules ont été connectées à l avance, vous n avez pas à changer les branchements. Pensez à baisser la soufflerie lorsqu elle n est pas utilisée pour une expérience.

9 Chapitre II TP1 : mouvements de translation rectiligne II.1 Configuration du Matériel II.1 Mouvement rectiligne uniforme II.1.1 Expérimentation II.2 Mouvement rectiligne uniformément varié II.2.1 Principe du dispositif II.2.2 Modélisation II.2.3 Expérimentation

10 10 TP1 : mouvements de translation rectiligne II.1 Configuration du Matériel 1. Mise en marche Réglez la soufflerie entre 4 et 5. Le débit d air doit être suffisant pour que le mobile ne frotte pas sur le rail. Il n est pas utile de mettre la soufflerie au maximum. Fixez un écran sur la partie supérieure d un mobile puis placez le mobile sur le banc. Positionnez les 4 cellules de détection à intervalles réguliers le long du rail. Vérifiez le libre passage du mobile sous les cellules photoélectriques en veillant à bien les positionner : pour ne pas risquer d entraver le mouvement, pour que l écran occulte bien le faisceau. 2. Fonctionnement du chronomètre Le chronomètre est muni d un bouton central qui permet de travailler avec 6 modes de déclenchement des horloges. Pour cette première partie, vous aurez besoin d utiliser les 2 premiers modes, correspondant aux 2 positions les plus à gauche. Sauf indications contraires, vous vous placerez en configuration ( ). En utilisant le lanceur avec vitesse initiale, comparez les mesures que vous obtenez avec chacun des 2 modes. N oubliez pas d appuyer sur RESET entre chaque mesure! De façon succincte mais rigoureuse, décrivez dans votre compte-rendu le fonctionnement de ces 2 modes. Dans chaque cas, déterminez comment les horloges sont déclenchées et arrêtées et ce que représentent les valeurs affichées. II.1 Mouvement rectiligne uniforme II.1.1 Expérimentation Le but de cette première manipulation est de réaliser un mouvement rectiligne uniforme.

11 II.2 Mouvement rectiligne uniformément varié 11 Avec le matériel dont vous disposez, proposez une méthode permettant de réaliser simplement un mouvement uniforme et assurez vous que les conditions nécessaires sont bien remplies. 1. Sans calcul ni traitement de mesures, vérifiez que le mouvement du mobile est uniforme. On choisira pour cela le mode du chronomètre le plus approprié. 2. Pour différentes positions du bouton poussoir du lanceur, déterminez la valeur de la vitesse du mobile. S agit-il d une vitesse moyenne ou instantanée? 3. Quelles sont les incertitudes de mesures? En déduire l incertitude sur les valeurs des vitesses obtenues. Conclure. 4. Déterminer l énergie cinétique du mobile ainsi que son incertitude. Est-elle constante au cours du mouvement? Que dire de l énergie mécanique du mobile. 5. On utilise maintenant l autre mode du chronomètre. Reprendre les deux questions précédentes. 6. Comparer les deux méthodes. II.2 Mouvement rectiligne uniformément varié Documents : Document A.3.1 II.2.1 Principe du dispositif Pour réaliser un mouvement uniformément varié, on utilise le dispositif schématisé ci-dessous. Le rail est horizontal et le mobile est tiré par un fil. Ce fil, qui passe sur une poulie, est tendu par des masses posées sur un petit plateau. II.2.2 Modélisation Dans l annexe l annexe A.3.1 on montre que l accélération a du mobile est donnée par a = m m + M g (II.2.1) où m est la masse du plateau, M la masse totale du mobile et g l accélération de la pesanteur.

12 12 TP1 : mouvements de translation rectiligne 1. Déterminer l expression de la force T qu exerce le fil sur le mobile. 2. Déterminer l expression du travail W de T quand le mobile parcourt une distance d. 3. Déterminer l expression de la vitesse et de la position du mobile en fonction du temps t. II.2.3 Expérimentation 1. Proposez une méthode pour vérifier que le mouvement du mobile est bien uniformément accéléré. 2. Mettez en œuvre la méthode choisie et déduisez-en par une détermination graphique la valeur de l accélération a exp du mobile. 3. Déterminez l incertitude δa exp sur la valeur mesurée a exp. 4. En tenant compte des incertitudes sur les valeurs des masses m et M, déterminez l incertitude δa sur la valeur théorique de l accélération a. 5. Etant donnée ces incertitudes, peut-on dire que vos mesures sont conformes à la théorie? 6. Déduisez de vos mesures la variation d énergie cinétique entre les passages du mobile au premier et au dernier capteur. Comparez ce résultat au travail W de T entre ces deux mêmes instants. Ce résultat vous parait-il cohérent? Que dire de l énergie mécanique du mobile au cours du mouvement?

13 Chapitre III TP2 : Chocs à une dimension III.1 Configuration du matériel III.2 Modélisation III.3 Expérimentation Dans ce TP, on se propose d étudier du point de vue dynamique et énergétique, différentes situations de collision à une dimension : deux solides se déplacent selon une direction donnée et entrent en interaction avec ou sans contact, avec rebond ou avec accrochage.

14 14 TP2 : Chocs à une dimension III.1 Configuration du matériel Vous utiliserez : 2 cellules photoélectriques, chacune permettant de détecter deux passages d un mobile. Elles doivent alors être placées sur les entrées 1 et 3. (N.B. : il n est pas nécessaire de débrancher les cellules connectées aux voies 2 et 4) et elles doivent être espacées d au moins 50 cm de façon que le choc ait lieu entre les cellules et que la détection des passages des mobiles soit complète (occultation et dés-occultation). le chronomètre dont le bouton central doit alors être placé sur la position 3 : Remarques importantes : l interprétation des valeurs affichées dépend de l expérience réalisée. Un affichage qui reste à indique que la cellule n a pas été occultée. Ceci est par exemple le cas lorsqu un mobile vient heurter un 2ème mobile au repos. Après le choc, les deux mobiles continuent dans le même sens et le 1 er mobile ne repasse pas devant le premier capteur. Les durées affichée sont toujours positives mais les vitesses correspondantes peuvent être négatives. III.2 Modélisation Documents : Document A.4.1 Document A.4.2 Document A.4.3 Document A.4.4 Les concepts essentiels à la compréhension de ce TP sont réunis dans les annexes citées ci-dessus. La lecture de ces annexes est bien sur obligatoire! On rappel ici les résultats important pour ce TP : 1. conservation de la quantité de mouvement : La quantité de mouvement d un système isolé se conserve au cours du temps. En particulier, lors du chocs des deux mobiles, si ceux-ci peuvent être considérés comme un système isolé, la somme des quantités de mouvement des mobiles est la même avant et après le choc : p 1 + p 2 = p 1 + p 2 où p i = m i v i (i = 1, 2) est la quantité de mouvement du mobile i avant le choc (les quantités primées désignent des quantités mesurées après le choc).

15 TP2 : Chocs à une dimension choc élastique : Le choc est dit élastique lorsque les masses de chacun des mobiles restent les même avant et après le choc et lorsque l énergie cinétique initiale totale du système constitué des deux mobiles est entièrement restituée au système après le choc. on aura donc aussi : où E ci = 1 2 m iv 2 i = p2 i E ci = 1 2 m iv 2 2m i i = p 2 i 2m i E c1 + E c2 = E c1 + E c2 (i = 1, 2) est l énergie cinétique du mobile i avant le choc et (i = 1, 2) est l énergie cinétique du mobile i après le choc. III.3 Expérimentation 1. Essai préliminaire. Effectuez un premier choc élastique en lançant très doucement les mobiles l un vers l autre. Le choc doit avoir lieu entre les cellules. Relevez les durées d occultation et affectez les aux événements respectifs. Etant donné l incertitude estimée sur la vitesse au cours du TP1 (voir Chapitre II) et étant données les incertitudes sur les masses, en déduire l incertitude sur la quantité de mouvement et sur l énergie cinétique des mobiles considérés. 2. Etude de différents chocs. Réalisez les chocs suivants : Choc avec accrochage (aiguille cire) Choc avec rebond élastique (embout plat élastique) Choc par répulsion sans contact (aimant aimant) On ne traitera que le cas où l un des mobiles est au repos. Pour chacun de ces chocs vous noterez dans un tableau les données suivantes : Vitesses, quantités de mouvement et énergie cinétique de chacun des mobiles avant et après le choc ; ainsi que les incertitudes correspondantes. Quantité de mouvement et énergie cinétique totale du système constitué des deux mobiles avant et après le choc ; ainsi que les incertitudes correspondantes. Puis vous répondrez aux questions suivantes en justifiant précisément votre réponse : (a) Le choc est-il élastique ou inélastique? (b) Vos expériences sont-elles conformes aux prédictions concernant la conservation de la quantité de mouvement et de l énergie cinétique? 3. Transfert d énergie cinétique. On se propose d étudier le transfert d énergie cinétique d un mobile ayant une vitesse initiale v 1 sur un mobile repos (v 2 = 0). Dans l annexe A.4.4, on montre que le rapport R = E c2 E c1 caractérisant le taux de transfert de l énergie cinétique est donné par R = E c2 = 4 m ( m ) 2 1 E c1 m 2 m 2 où E c1 est l énergie cinétique initiale du mobile en mouvement et E c2 est l énergie cinétique après le choc du mobile qui était initialement au repos.

16 16 TP2 : Chocs à une dimension (a) Réalisez plusieurs chocs élastiques pour un rapport de masse m 1 m 2 variant de 0.5 à 2. Dans chaque cas, mesurez les valeurs des vitesses et en déduire les valeurs des énergies cinétiques des mobiles avant et après le choc, ainsi que les incertitudes associées. (b) Représentez sur un graphe l évolution de R (exprimé en pourcentage) en fonction du rapport des masses des mobiles m 1 m 2. On représentera aussi les incertitudes correspondantes. (c) Tracez sur ce même graphe la courbes théorique correspondante. On représentera aussi sur ce graphe les incertitudes attachées aux valeurs théoriques. Conclure. (d) Dans quelles conditions le transfert d énergie est il maximal? minimal? (e) Donnez des exemples de la vie quotidienne pour les deux cas.

17 Chapitre IV TP3 : Le pendule simple IV.1 Configuration du Matériel IV.2 Modélisation du pendule IV.3 Expérimentation : pendule simple vertical IV.4 Expérimentation : pendule incliné Cette séance est dédiée à l étude du pendule. Les résultats expérimentaux seront confrontés au modèle dit du pendule simple. Dans une première partie on mesurera la période du pendule, dans le but de déterminer pour quelles valeurs de l amplitude l approximation des petites oscillations est elle applicable. Dans une seconde partie on considérera un pendule mais où le plan d oscillation n est plus vertical.

18 18 TP3 : Le pendule simple IV.1 Configuration du Matériel Le pendule est constitué d une tige rigide qui peut tourner autour d un axe fixe. Le pendule oscille dans un plan. l axe de rotation est fixé sur un disque gradué par l intermédiaire d une vis. En desserrant cette vis il est possible d incliner le plan des oscillations par rapport à la verticale. A l extrémité de la tige est attachée un cylindre de masse m, à une distance l réglable. L amplitude des oscillations du pendule est mesurée à l aide d un comparateur d angle gradué en acier. La période des oscillations sera mesurée à l aide d un chronomètre numérique. La masse m = ± 0.1 g. Pour mesurer la période du pendule, on mesurera le temps correspondant à une dizaine d oscillations, pourquoi? Attention : il faut impérativement desserrer la vis centrale AVANT toute modification du plan d oscillation du pendule. La tige étant rigide, il faut éviter de travailler avec des grandes oscillations car la tige peut percuter vos collègues et provoquer des blessures graves. Faites toujours attention où vos collègues se trouvent avant de faire une expérience. IV.2 Modélisation du pendule Documents : Document A.5.1 Les concepts essentiels à la compréhension de ce TP sont réunis dans l annexe citée ci-dessus. La lecture de ces annexes est bien sur obligatoire! On rappelle ici les points essentiels pour ce TP : Le modèle : Pour décrire le pendule, on considère le modèle du pendule simple. Ce modèle consiste à négliger la masse de la tige et à considérer le cylindre de masse m ponctuel et situé au centre de masse du cylindre. On néglige aussi les frottements. Dans quelles conditions expérimentales ce modèle sera une description fidèle du dispositif? Vérifiez que ces conditions sont effectivement satisfaites.

19 TP3 : Le pendule simple 19 Limite des petites oscillations : Dans la limite des petites oscillations, la période T 0 du pendule est donnée par l expression suivante : l T 0 = 2π g. (IV.1) Cette expression est remarquable pour deux raisons : La période T 0 ne dépend pas de la masse m. La période T 0 ne dépend pas de l amplitude des oscillations. La première restera valable que si les frottements peuvent être négligés. La seconde n est valable que si l amplitude des oscillations est suffisamment faible. Ecart à l approximation des petits angles : Si l amplitude des oscillations n est plus suffisamment faible, la période T du pendule peut s écrire sous la forme d une série (voir Eq. (A.5.7)). La période T 1, compte tenu de la première correction à l approximation des faibles amplitudes est : ( ) T 1 = T θ2 0, (IV.2) 16 où θ 0 est l amplitude du pendule. Plan des oscillations incliné : Incliner le plan des oscillations du pendule simple d un angle φ par rapport à la verticale est équivalent à diminuer la valeur de l accélération de la pesanteur d un facteur cos φ. Dans le limite des petites oscillations la période T 0 (φ) du pendule incliné est donnée par : l T 0 (φ) = 2π g cos φ. (IV.3) IV.3 Expérimentation : pendule simple vertical 1. Mesurez la période T exp du pendule pour plusieurs valeurs de l amplitude θ 0 [5, 70 ]. Pour chaque valeur de θ 0 on fera plusieurs mesures de la période et on estimera l incertitude δt sur la mesure de la période. On reportera ces résultats dans un tableau. 2. Mesurez l et calculez la valeur théorique T 0 de la période du pendule dans l approximation des petits angles. Compte tenu de l incertitude δl et δg, calculer δt 0 l incertitude sur T Faire un graphique sur du papier millimètre représentant la période T exp en fonction de θ 0. On reportera sur ce graphique la valeur théorique T 0 de la période dans la limite des petits angles. On tracera aussi les incertitudes de mesure ainsi que l incertitude sur la valeur théorique δt Pour quelles valeurs de l amplitude θ 0 l expression théorique T 0 donnée par l équation (IV.1), est elle suffisante pour décrire vos résultats de mesure? Justifier précisément votre réponse. 5. Pour quelles valeurs de θ 0 l expression T 1, donnée par l équation (IV.2), est elle suffisante pour décrire vos résultats de mesure? Justifier précisément votre réponse.

20 20 TP3 : Le pendule simple IV.4 Expérimentation : pendule incliné 1. Mesurez la période T exp des oscillations du pendule incliné, pour plusieurs valeurs de l angle d inclinaison φ du plan des oscillations par rapport à la verticale. Pour chaque valeur de φ, on estimera l incertitude sur la mesure de la période. On restera dans le régime des faibles amplitudes d oscillation. 2. Faites un graphique qui permet de comparer simplement vos mesure avec l expression théorique donnée par l équation (IV.3). Conclure.

21 Chapitre V TP4 : Référentiels en rotation pseudo forces V.1 Pendule de Foucault V.1.1 Modélisation V.1.2 Expérimentation V.2 Plateforme en rotation V.2.1 Configuration du Matériel V.2.2 Modélisation V.2.3 Expérimentation Cette séance est dédiée à l étude des référentiels en rotation, elle s articule en deux parties : Une première partie où l on met en évidence la rotation de la terre en mesurant la rotation du plan des oscillations d un pendule de Foucault. Une seconde partie permettant la mesure de la pseudo force centrifuge qui s exerce sur un mobile sur une plateforme en rotation.

22 22 TP4 : Référentiels en rotation pseudo forces V.1 Pendule de Foucault Le but du TP est de déterminer la latitude de la salle de TP en mesurant l angle dont a tourné le plan des oscillations du pendule, pendant un certain temps. V.1.1 Modélisation Documents : Document A.6.2 Vous trouverez dans l annexe citée ci-dessus les éléments théoriques concernant le pendule de Foucault. La lecture de cette annexe est bien sur obligatoire pour la compréhension de ce TP. On rappelle dans cette section les points suivants : L expérience du pendule de Foucault est une démonstration locale de la rotation de la Terre sur elle même. L expérience montre que le plan des oscillations du pendule n est pas fixe mais qu il tourne. Cette rotation du plan des oscillations, peut être interprétée comme l effet de la force de Coriolis sur le pendule en mouvement. En effet la Terre tournant sur ellemême, elle ne constitue pas un référentiel galiléen, le mouvement d un mobile dans un tel référentiel est soumis à des forces d inertie dont la force de Coriolis. Soient T le temps que met le plan des oscillations à faire un tour complet et T 0 le temps que met la Terre à faire un tour sur elle même (T 0 est appelé le jour sidéral, T 0 = 23h 56 mn 4 s ou encore T 0 = s). On démontre que : T = T 0 sin λ (V.1.1) V.1.2 Expérimentation 1. Mesurer l angle α 0 (par rapport à une direction arbitraire) que fait le plan des oscillations du pendule en début de séance. Evaluer l incertitude de mesure δα 0 2. Dans quel sens le plan d oscillation du pendule va tourner? expliquer pourquoi. 3. Après un certain temps τ (τ 3 h), mesurer à nouveau cet angle qu on notera α 1. On note α = α 1 α 0 l angle de déviation. On estimera les incertitudes de mesure δτ et δα 1. On donnera aussi l incertitude δα sur l angle α. 4. En déduire le temps T que met le plan des oscillations à faire un tour complet, ainsi que l incertitude δt. 5. En utilisant l équation (V.1.1) en déduire la latitude λ de la salle de TP. 6. Calculer l incertitude δλ en fonction de l incertitude δt (on négligera l incertitude sur T 0 ). Donner la valeur de δλ. V.2 Plateforme en rotation

23 V.2 Plateforme en rotation 23 V.2.1 Configuration du Matériel Une plateforme horizontale (A1) tourne autour d un axe vertical (A2). Ce dernier est entraîné par l intermédiaire d une courroie, par un moteur à vitesse réglable (B). Sur la plateforme, un chariot (C) est susceptible de se déplacer. Lorsque la plateforme tourne à vitesse constante, le centre de masse du chariot décrit une trajectoire circulaire uniforme avec une vitesse angulaire ω. La plateforme est un référentiel non-galiléen, puisqu il est en rotation par rapport à la Terre qui est considérée comme un référentiel galiléen. Le chariot est donc soumis à la force d inertie centrifuge. Cette dernière est compensée (quand le chariot est immobile par rapport à la plateforme) par la tension exercée par un fil et mesurée par un Newton-mètre (D), qui donne le module de cette force agissant sur le chariot durant la rotation. La masse du chariot est 50 g, celles des masses additionnelles noires 50 g et celle des masses argentées 10 g. Le moteur possède un potentiomètre permettant de faire varier la vitesse de rotation, ainsi que deux boutons pour démarrer la rotation dans un sens ou dans l autre. Attention : Ce dispositif expérimental est très fragile. Augmenter très progressivement la vitesse de rotation de la plate-forme, pour éviter de détériorer le Newton mètre. Vérifier toujours que le fil qui retient le mobile reste bien dans le col de la poulie. Ne pas dépasser la force maximale de 2 N. V.2.2 Modélisation Documents : Document A.6.1 Vous trouverez dans l annexe citée ci dessus, les éléments théoriques nécessaires à la compréhension de ce TP. En considérant que le plateforme est horizontale et l axe de rotation vertical, dans l annexe A.6.1, on montre que la norme de la pseudo-force centrifuge f qui s applique sur le centre de masse du chariot s écrit de la façon suivante : f = mω 2 r, (V.2.1)

24 24 TP4 : Référentiels en rotation pseudo forces où m est la masse du chariot, ω est la vitesse angulaire de la plateforme et r la distance entre le centre de masse du chariot et l axe de rotation. Pourquoi, la salle de TP est-elle considérée ici comme un référentiel galiléen? alors que dans l étude du pendule de Foucault, on tient compte explicitement de la rotation de la Terre sur elle même, et que cette dernière ne constitue pas un référentiel galiléen. V.2.3 Expérimentation L objectif est de chercher empiriquement l expression de la pseudo-force centrifuge qui agit sur le chariot. On écrira la norme de la force centrifuge sous la forme f = Am α r β ω γ, où A est une constante sans dimension. Le but du TP est de déterminer les exposants α, β et γ. 1. Etalonnage du Newton mètre : Il est nécessaire d étalonner le Newton mètre, c est-à-dire établir la correspondance entre la valeur de la force lue sur les graduations, et celle s exerçant sur l appareil. Utiliser les masses de 50 g et de 10 g pour étalonner le Newton mètre, à l aide des petits plateaux (m = 1 g) à votre disposition. 2. Mesure de γ : On veut mesurer la force f pour plusieurs valeurs de la vitesse angulaire, tout en gardant r et m constants. Il est facile de garder la masse constante mais plus difficile de vérifier que la distance à l axe r reste la même pour des vitesses angulaires différentes. On propose donc le protocole suivant : On choisi une distance r que l on veut garder constante. La plateforme étant à l arrêt, on place le Newton mètre de façon à ce qu il mesure une force f = f 0 non nulle lorsque le chariot est positionné à la distance r. On met la plateforme en mouvement et on règle la vitesse angulaire ω de telle sorte que la force affichée sur le Newton mètre soit justement f 0. On mesure alors la période de rotation T de la plateforme à l aide du chronomètre et on en déduit la vitesse angulaire ω. Justifier que ce protocole permet effectivement de mesurer f en fonction ω en gardant r constant. Faites l acquisition d un premier couple (f, T ), où T est la période de rotation, avec une masse de 50 g sur le chariot. Attendre une dizaine de secondes que le Newton mètre se stabilise avant de débuter une mesure. Est-il préférable de mesurer la période sur un tour ou sur plusieurs tours? Justifier précisément votre réponse. Augmentez petit à petit la vitesse de rotation et mesurer ainsi quatre points (f,t ) ainsi que les incertitudes associées. Tracez ln(f) en fonction de ln(ω) sur du papier millimétré. En effectuant une régression linéaire du type y = ax + b, déduisez-en la pente de la droite, et évaluez l incertitude correspondante, en considérant les droites de pentes maximun et minimum. La valeur de l exposant γ mesuré est il en accord avec l expression théorique de l Eq. (V.2.1)?

25 V.2 Plateforme en rotation Mesure de α : Le principe de la manipulation est semblable à celui de la question précédente, mais cette fois, il faut faire varier la masse totale du chariot, tout en conservant la même vitesse de rotation et la même distance r. Surchargez le chariot avec une masse de 150 g et positionnez-le à une distance r d environ 15 cm. Choisissez une période de rotation d environ 1 s et mesurez f. Quel protocole expérimental imaginer pour effectuer les mesures à r constant? Discutez-en avec l enseignant. Coupez l alimentation du moteur sans modifier le réglage de la vitesse de rotation. Diminuez la masse de la surcharge et vérifiez que la période de rotation est inchangée (l ajuster si nécessaire). Faites une nouvelle acquisition. Refaites ainsi 3 ou 4 mesures, pour des masses de plus en plus faibles. Tracez f(m). Effectuez une régression linéaire. Quelle relation lie f et m? Vos mesures sont elles en accord avec la valeur théorique de α.

26 Chapitre VI TP5 : Mesure du moment d inertie d un solide VI.1 Configuration du Matériel VI.2 Modélisation VI.3 Expérimentation Le but de ce TP est de déterminer le moment d inertie, par rapport à un axe de rotation, de différents solides. Pour cela on mesurera la période des oscillations de torsion du solide autour de l axe.

27 TP5 : Mesure du moment d inertie d un solide 27 VI.1 Configuration du Matériel Solide Ressort spirale Le dispositif expérimental est présenté sur la figure ci-contre. Il est constitué du solide à étudier, fixé sur un axe qui est solidaire d un ressort à spirale. Lorsqu on tourne l axe, le ressort exerce un couple de rappel (i.e un couple qui tend à faire revenir le solide dans sa position initiale). Ce dispositif permet d étudier le mouvement d oscillation de torsion du solide autour de l axe. Plusieurs solides sont disponibles : disque, cylindre plein, cylindre creux, sphère et une barre avec des masses amovibles. Vous avez aussi à votre disposition un dynamomètre, un chronomètre et une balance. Attention : Pour des raisons de sécurité et pour ne pas endommager le ressort, ne pas tourner plus de 2 tours (θ 4π). Vérifiez que la vis qui fixe le solide sur l axe est bien serrée. VI.2 Modélisation Documents : Document A.7.1 Document A.7.2 Les éléments théoriques nécessaires à la compréhension de ce TP sont présentés dans les annexes citées ci-dessus. Comme toujours, la lecture de ces annexes est obligatoire pour la compréhension de cette séance de travaux pratique. On rappelle dans cette section les points suivants : 1. Le couple de rappel Γ du ressort est proportionnel à l angle de torsion θ. Le couple est la projection sur l axe de rotation Oz du moment de la force de rappel M, on a donc : Γ = M. k = Dθ, (VI.1) où D est la constante de torsion qui est caractéristique du ressort spiral. L unité de D est le Newton mètre (N.m.). 2. On montre que la période T des oscillations de torsion du solide autour d un axe fixe est donnée par : I T = 2π D, (VI.2) ou I est le moment d inertie du solide par rapport à l axe de rotation et D est la constante de rappel de torsion.

28 28 TP5 : Mesure du moment d inertie d un solide VI.3 Expérimentation 1. Mesure du couple : Fixez la barre sur l axe en son centre. Pour mesurer le couple (ou moment de la force par rapport à l axe) de rappel du ressort on fixera le dynamomètre sur la barre, à une distance r de l axe de rotation. On fera tourner la barre d un angle θ en tirant sur l autre extrémité du dynamomètre. La direction du dynamomètre sera maintenue horizontale et perpendiculaire à la barre, pourquoi? Pour une valeur de θ fixée on mesure la norme de la force F qui s exerce sur le dynamomètre, puis on en déduit le couple. Pour une valeur de θ fixée et différentes valeurs de r, faites plusieurs mesures de la force de rappel et calculez le couple. Compte tenu des incertitudes de mesure, vérifier que le couple de dépend pas de r. 2. Détermination de D : (a) Première méthode (statique) : Fixez la barre sur l axe. A l aide du dynamomètre, mesurez la force de rappel du ressort et en déduire le moment de la force par rapport à l axe, pour plusieurs valeurs de l angle θ [0, 4π]. Vérifiez la relation (VI.1) et en déduire D ainsi que son incertitude absolue δd et son incertitude relative δd D. (b) Seconde méthode (dynamique) : Fixez les deux masses amovibles à la barre, et fixer le tout sur l axe de façon symétrique, de telle sorte que le centre de masse soit confondu avec l axe de rotation. En utilisant la relation A.7.3, montrer qu en mesurant la période des oscillations T en fonction de la distance r des masses à l axe de rotation, on peut déterminer la constante de torsion D et le le moment d inertie I 0 de la barre seule. Pour mesurer la période de rotation, on tournera la barre d un demi-tour, puis on mesurera à l aide du chronomètre la période de rotation. La masse de chacune des masses amovibles sera déterminée à l aide de la balance. 3. Moment d inertie de plusieurs solides : Mesurer la période d oscillation de torsion T de plusieurs solides et en déduire, en utilisant la relation (VI.2), le moment d inertie I par rapport à l axe de rotation. En tenant compte des incertitudes, comparer les valeurs obtenues avec les valeurs théoriques (voir table ci-dessous). Pour mesurer la période de rotation, on tournera le solide d un demi-tour, puis on mesurera à l aide du chronomètre la période de rotation. Solide r (cm) I Cylindre plein 4.9 mr 2 /2 Cylindre creux r e /r i = 5.0/4.6 m(r 2 e + r 2 i )/2 Sphère 7.0 2mr 2 /5 Les masses des différents solides seront déterminées à l aide de la balance.

29 Annexe A Documents A.1 Incertitudes dans les mesures A.2 Elements de mécanique A.3 Eléments théoriques relatifs au TP A.4 Eléments théoriques relatifs au TP A.5 Eléments théoriques relatifs au TP A.6 Eléments théoriques relatifs au TP A.7 Eléments théoriques relatifs au TP

30 30 Documents A.1 Incertitudes dans les mesures Document A.1.1 Incertitudes dans les mesures 1. Origine des erreurs de mesures : Au cours d une expérience, les erreurs de mesures peuvent provenir de plusieurs sources : (a) de la façon de faire la mesure. Par exemple si vous mesurez une durée entre deux évènements à l aide d un chronomètre, il y aura une incertitude sur l instant de déclenchement du chronomètre. Ce type d incertitude doit être évaluée sur place (en effectuant plusieurs mesures par exemples). (b) de l appareil de mesure lui même, par exemple, la précision du chronomètre. Cette incertitude est en général donnée par le constructeur. 2. Définition : Au cours d une expérience, on mesure une grandeur physique G et on obtient la valeur G exp. On estime que la valeur exacte G ex de G doit se trouver dans l intervalle [G exp δg, G exp + δg] où δg > 0 est l incertitude absolue sur G. δg L incertitude relative sur G sera définie par le rapport G exp. L incertitude relative s exprime souvent en pourcentage. La dimension de l incertitude absolue δg est la même que celle de G. L incertitude relative n a pas de dimension. 3. Calculs d incertitude : Souvent, la grandeur physique que l on cherche à évaluer n est pas mesurée directement. Par exemple on ne mesure pas la vitesse v d un mobile mais son déplacement l pendant un temps t. v est une fonction des quantités mesurées : v = l. De façon générale, on mesure des grandeurs t x, y, z, avec les incertitudes respectives δx, δy, δz, et la grandeur G cherchée est une fonction de x, y, z, : G = f(x, y, z, ). La question est la suivante : connaissant les valeurs mesurées x exp, y exp, z exp, et les incertitudes associées δx, δy, δz, comment évaluer l incertitude sur G? Supposons que G ne dépend que d une quantité mesurée x : G = f(x). Si x exp est la mesure obtenue pour x, on obtient pour G la valeur expérimentale G exp = f(x exp ). La valeur exacte de x peut s écrire x ex = x exp + x où x est dans l intervalle [ δx, +δx]. La valeur exacte de G sera donc donnée par : G ex = f(x ex ) = f(x exp + x). En général (si l expérience est bien faite) l incertitude δx (et donc aussi x ) est très petite devant x exp. On peut donc approcher la valeur exacte de G par son développement limité au premier ordre : G ex f(x exp ) + df dx (x exp) x, où df dx (x exp) désigne la dérivée de la fonction f calculée en x = x exp. En utilisant la définition G exp = f(x exp ) on peut écrire cette dernière équation de la façon suivante : G ex G exp df dx (x exp) x.

31 A.1 Incertitudes dans les mesures 31 L incertitude sur G sera définie par le maximum de la valeur absolue du membre de droite : δg df dx (x exp) δx. On généralise au cas où G est une fonction de plusieurs quantités mesurées de la façon suivante : Soit G = f(x, y), et soit x exp, y exp les quantités mesurées. On définit G exp = f(x exp, y exp ) la valeur expérimentale de G (nous nous contentons du cas à 2 variables (x et y), mais le cas à N variables se traite de la même façon). La valeur exacte de G pourra s écrire : G ex = f(x ex, y ex ) = f(x exp + x, y exp + y), où δx x +δx et δy y +δy. On peut approcher l expression de G ex par son développement limité au premier ordre (d une fonction à plusieurs variables) : où f G ex f(x exp, y exp ) + f x (x exp, y exp ) x + f y (x exp, y exp ) y, (x x exp, y exp ) désigne la dérivée partielle de la fonction f par rapport à x évaluée en x = x exp et y = y exp (la dérivée partielle f s obtient en dérivant la x fonction f(x, y) par rapport à x en considérant que y est une constante). On pourra écrire : G ex G exp f x (x exp, y exp ) x + f y (x exp, y exp ) y, (A.1.1) qui exprime (de façon approché) l écart entre la valeur exacte et la valeur mesurée de G. L incertitude sur G est définie de la façon suivante : δg f x (x exp, y exp ) δx + f y (x exp, y exp ) δy c est un majorant de la valeur absolue du membre de droite de l équation A.1.1. En conclusion : Soit G une grandeur physique dépendant de plusieurs quantités mesurées x, y, z, : G = f(x, y, z, ) l incertitude absolue δg sur G est calculée de la façon suivante : δg = f x δx + f y δy + f z δz + où les dérivées partielles sont calculées en x = x exp, y = y exp, z = z exp, et δx, δy, δz, sont les incertitudes associées aux quantités mesurées respectives x, y, z,.

32 32 Documents 4. Exemple : On veut mesurer la vitesse v d un mobile. Pour cela on mesure le temps t = 10 ± 1 s qu il met pour parcourir une distance l = 12.0 ± 0.5 cm. La vitesse v est la grandeur G cherchée. C est une fonction de l et t : v = f(l, t) = l t. On a t exp = 10 s, l exp = 12.0 cm, δt = 1 s et δl = 0.5 cm. La valeur expérimentale v exp de la vitesse est donnée par : v exp = l exp t exp = = 1.2 cm/s. Pour calculer l incertitude sur v on calcule les dérivées partielles de la fonction f(l, t) = l t : f l (l, t) = 1 t f t (l, t) = l t. 2 L incertitude sur la vitesse sera donnée par : δv = f l (l exp, t exp ) δl + f t (l exp, t exp ) δt = 1 t exp δl + = 1 10 l t 2 exp δt = = 0.17 cm/s. 102 On écrira finalement : v = 1.2 ± 0.2 cm/s. Remarque : Nous n avons pas écrit v = 1.2 ± 0.17 cm/s pourquoi? 5. Incertitude relative : Pour calculer l incertitude relative on peut calculer δg l incertitude absolue δg et évaluer le rapport G exp. Il est souvent plus simple d obtenir une relation qui permet d exprimer l incertitude relative sur G en fonction des incertitudes relatives sur les quantités mesurées δx, δy, δz,. x y z Pour obtenir cette relation supposons qu au lieu de chercher l incertitude sur G, on cherche l incertitude absolue sur la grandeur L = ln(g) = ln[f(x, y, z, )] (ln désigne la fonction logarithme népérien). Dans un premier temps on peut considérer que la grandeur L ne dépend que de la variable G par l intermédiaire de la fonction logarithme. L incertitude absolue sur L s écrit donc : δl = dl dg δg = d ln(g) δg dg δg = G. L incertitude absolue sur L = ln(g) est justement l incertitude relative sur G. L incertitude relative s obtient par la dérivée logarithmique de G. On aura donc : δg G = ln[f(x, y, )] x δx + ln[f(x, y, )] y δy + (A.1.2)

33 A.2 Elements de mécanique 33 Dans le cas particulier où la fonction f(x, y, z, ) est un produit de puissances des quantités x, y, z,, l expression A.1.2 se simplifie. En effet, considérons que la grandeur G, dont on cherche à calculer l incertitude relative, dépend des quantités mesurées de la façon suivante : G = f(x, y, z) = x l y m z n, où l, m et n sont des entiers relatifs (positif ou négatifs), alors : ln[f(x, y, z)] = x x ln(xl y m z n ) = x [l ln(x) + m ln(y) + n ln(n)] = l x. De la même façon on obtient : y ln[f(x, y, z)] = m y ; z ln[f(x, y, z)] = n z. En utilisant l équation A.1.2, on obtient l incertitude relative sur G : δg G δx δy δz = l + m + n x y z, qui s exprime très simplement en fonction des incertitudes relatives sur les quantités mesurées. En conclusion : Si la grandeur physique G dépend des quantités mesurées x, y, z de la façon suivante : G = x l y m z n, alors l incertitude relative δg s exprime directement en fonction des G incertitudes relatives δx, δy, δz, des quantités mesurées : x y z δg G δx δy δz = l + m + n x y z + 6. Exemple : Reprenons l exemple précédent et calculons l incertitude relative δv v sur la vitesse du mobile. Les incertitudes relatives sur les quantités mesurées sont : δl = 0.5 δt 4% et = 1 = 10%. Comme v = l = l 12 t 10 t l t 1 on a δv = δl + δt. v l t Donc donc δv = 14%. On vérifie que δv = δv 14 v = 1.2 = 0.17 cm/s ; v v 100 qui est bien le résultat que nous avions obtenu précédemment. A.2 Elements de mécanique

34 34 Documents Document A.2.1 Cinématique 1. Référentiel : On appelle référentiel un système d axes lié à un solide indéformable. Un observateur, immobile par rapport à ce référentiel, pourra décrire le mouvement d un objet : mouvement de la Terre dans un référentiel héliocentrique, mouvement d un satellite dans un référentiel géocentrique, ou d un ballon dans un référentiel terrestre. 2. Repère : Une fois le référentiel choisi, il est nécessaire de définir un repère, c est-à-dire une base orthonormée de vecteurs, permettant de déterminer les coordonnées du point matériel dont on étudie le mouvement. Il permet également de définir les composantes de tout vecteur associé au mouvement de ce point (vitesse, force, etc...). Ainsi, la position d un point M est définie dans un référentiel par les coordonnées du vecteur OM, où O est un point fixe du référentiel. 3. Equation horaire et trajectoire : Le mouvement d un point M conduit à étudier l évolution de ce dernier au cours du temps et à donner l équation horaire du mouvement par OM(t) ou ses composantes dans le repère choisi. La courbe décrite par un point M au cours du mouvement est appelée trajectoire. 4. Vitesse : Si, à la date t 1, le point M occupe la position M 1, et à la date t 2 la position M 2, la vitesse moyenne v moy : M 1 M 2 v moy = = OM, t 2 t 1 t où on a noté OM la variation du vecteur position OM 2 OM 1 = M 1 M 2 ; et t = t 2 t 1. La notion de vitesse instantanée découle de cette définition. En effet, en prenant des positions séparées par un intervalle de temps t de plus en plus court, on se rapproche de la vitesse à une date donnée. On définit alors la vitesse instantanée comme étant : OM v(t) = lim = d OM(t). t 0 t dt 5. Accélération : De la même façon, on définit le vecteur l accélération instantanée comme la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse : a(t) = d d2 v(t) = OM(t). dt dt 2 Document A.2.2 Dynamique 1. 1ère loi de Newton : Dans un référentiel galiléen, un système isolé, c est à dire qui n est soumis à aucune force, est soit au repos, soit animé d un mouvement de translation rectiligne et uniforme. Ce principe postule l existence de référentiels galiléens et en donne une définition à partir du mouvement d un système isolé. Pour les expériences qui seront effectuées dans le TP1, les effets du mouvement de la Terre (rotation

35 A.2 Elements de mécanique 35 sur elle-même, mouvement autour du Soleil) seront négligés. Ainsi, le référentiel du laboratoire sera considéré comme galiléen. En revanche, dans le TP3 où nous étudierons le mouvement d un mobile dans un référentiel non galiléen en rotation, le principe d inertie ne sera plus vérifié. 2. Seconde loi de Newton : Dans un référentiel galiléen, l accélération a d un point matériel, de masse m, soumis à une force F est donnée par : m a = F. 3. Théorème du centre d inertie : Le centre d inertie (ou centre de masse) G d un système de N points matériels M i de masse m i, repérés par leurs vecteurs positions OM i (i = 1, 2, N) est définie par : M OG = N i=1 m i OM i, où M est la masse totale du système de N points matériels : M = N i=1 m i. Dans un référentiel galiléen, l accélération a G du centre d inertie d un système matériel obéit à la relation suivante : M a G = N i=1 F ext i, où F ext i est la force extérieure qui s applique au point M i. 4. 3ème loi de Newton : Lorsqu un solide exerce une force sur un autre solide, ce dernier exerce sur le premier solide une force de même norme de même direction, mais de sens opposé. Document A.2.3 Energie 1. Travail d une force : Le travail W AB ( F ) d une force F constante, sur un déplacement rectiligne AB est définie par le produit scalaire entre les vecteurs force et le vecteur déplacement : W AB ( F ) = F. AB. Cette définition sera suffisante pour les travaux pratiques. Elle sera généralisée en cours au cas d une force non constante et à un déplacement curviligne quelconque. 2. Energie cinétique : L énergie cinétique E c d une masse m animée d une vitesse v est définie par : E c = 1 2 m v Théorème de l énergie cinétique : Dans un référentiel galiléen, la variation d énergie cinétique d un solide entre deux instants t A et t B est égale au travail

36 36 Documents des forces extérieures sur le déplacement du centre d inertie du solide entre les deux instants considérés : E c (t B ) E c (t A ) = W AB ( F ), où A et B sont les positions du centre d inertie du solide aux instants t A et t B respectivement. Document A.2.4 Dimensions et Unités en mécanique Grandeurs scalaires Dimensions Unités (MKSA) Symboles Longueur L Mètre m Masse M Kilogramme kg Temps T Seconde s Angle 1 Radian rad Fréquence T 1 Hertz Hz Vitesse angulaire T 1 Radian par seconde rad.s 1 Energie ML 2 T 2 Joule J Travail ML 2 T 2 Joule J Puissance ML 2 T 3 Watt W Grandeurs vectorielles Dimensions Unités (MKSA) Symboles Vitesse LT 1 Mètre par seconde m.s 1 Accélération LT 2 Vitesse par seconde m.s 2 Quantité de mouvement MLT 1 kg.m.s 1 Moment cinétique ML 2 T 1 kg.m 2.s 1 Force MLT 2 Newton N A.3 Eléments théoriques relatifs au TP1 Document A.3.1 Modélisation du mouvement rectiligne uniformément varié TP : Mouvement uniformément accéléré : dispositif expérimental L objectif est de déterminer l accélération du mobile dans le dispositif (voir II.2.1), représenté sur la figure suivante :