2.x. L écoulement des liquides

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1 .x L écouleent des liquides près l étude de cette section, le lecteur pourra calculer le débit d un liquide dans une canalisation ainsi que la diinution graduelle de la pression causée par la résistance hydraulique (loi de Poiseuille). P E R Ç U Considérons un liquide qui s écoule dans une «canalisation» (par exeple, un tuyau ou une rivière). Un observateur est placé à côté de la canalisation : un volue de liquide V passe devant lui pendant un intervalle de teps t. r définition, le débit (sybole : D) est V D = Définition du débit t Dans le SI, D s exprie en ètres cubes par seconde ( /s). Le débit est proportionnel au odule v de la vitesse du liquide et à l aire de la section (coupe transversale) de la canalisation : D = v Relation débit-aire-vitesse Dans une canalisation sans fuites et sans ebrancheents, le débit est partout le êe. r conséquent, lorsque l aire de la section augente, la vitesse d écouleent du liquide diinue. Lorsqu un liquide s écoule dans un tuyau, la pression diinue lorsqu on se déplace dans le êe sens que l écouleent : cela crée une force dans le sens de l écouleent qui contrebalance la force de frotteent causée par la viscosité du liquide. La diinution de pression à travers une portion de tuyau est P = RD Diinution de pression dans une portion de tuyau Coe la pression anoétrique P ~ correspond à la pression absolue P oins une constante (pression atosphérique), les variations de pression sont égales : P ~ = P insi, le tere de gauche dans l équation P = RD peut aussi bien correspondre à une diinution de pression absolue qu à une diinution de pression anoétrique. Lorsque le liquide se déplace relativeent lenteent, l écouleent est lainaire (sans reous) et la résistance hydraulique est R = π r où L est la longueur de la portion de tuyau, r est son rayon et η (la lettre grecque êta) est la viscosité du liquide. Dans le SI, η s exprie en pascals ultipliés par des secondes : s. En cobinant cette équation et l équation P = RD, on obtient la loi de Poiseuille : P = D Loi de Poiseuille π r Lorsque le liquide circule trop rapideent, son écouleent devient turbulent (il se fore des reous) et la loi de Poiseuille ne s applique plus. où D est le débit du liquide R est la résistance hydraulique de la portion de tuyau. Dans le SI, R s exprie en s/. E X P O S É Dans cette section, nous allons nous intéresser à l écouleent d un liquide dans une «canalisation», par exeple, un tuyau ou une rivière. Cela nous perettra, entre autres, de décrire la circulation du sang dans le corps huain. 1/10/009 CHPITRE Dynaique.X L écouleent des liquides X1

2 Le débit fin de décrire l écouleent d un liquide dans une canalisation, il est pratique d utiliser la notion de débit (sybole : D). Dans le SI, le débit se esure en ètres cubes par seconde ( /s). À titre d illustration, le tableau ci-contre indique le débit à l ebouchure de quelques-uns des plus grands fleuves du onde. Fleuve D ( /s) azone Congo Mississippi Saint-Laurent fin de définir le débit de anière précise, il est pratique de considérer un observateur placé à un endroit le long de canalisation : pendant un intervalle de teps t, un volue de liquide V passe devant lui. r définition, le débit est V D = Définition du débit t Dans cette section, nous allons toujours supposer que le odule v de la vitesse du liquide est le êe en tout point de la section de la canalisation. Quels sont les facteurs qui influencent le débit? Prenons un fleuve coe exeple. Il est clair que le débit est proportionnel à la vitesse du courant. Pour un fleuve de taille donnée, si la vitesse du courant double, le débit double égaleent. Le débit dépend égaleent de la taille du fleuve : pour une vitesse du courant donnée, un fleuve plus large ou plus profond transportera davantage d eau. Le débit est proportionnel à l aire de la section du fleuve. (Pour un fleuve de profondeur unifore, l aire de la section correspond à la largeur du fleuve ultipliée par sa profondeur.) En fait, le débit correspond tout sipleent au produit de l aire de la section et du odule de la vitesse du liquide qui s écoule : D = v Relation débit-aire-vitesse ttention : il ne faut pas confondre le volue (V ajuscule) et le odule de la vitesse du liquide (v inuscule). On peut facileent déontrer cette équation à partir de la définition du débit. Considérons une portion de fleuve de longueur L (schéa ci-contre) : le volue de l eau dans cette portion est V = L où est l aire de la section du fleuve. r la définition du débit, L v V L L D = = = = v t t t En effet, coe t est le teps requis pour que l eau qui se trouve dans la portion du fleuve de longueur L passe devant un observateur iobile sur la rive du fleuve, le rapport L / t correspond au odule v de la vitesse du courant. Dans une canalisation sans fuites et sans ebrancheents, le débit est partout le êe. r conséquent, lorsque l aire de la section augente, la vitesse d écouleent du liquide diinue. Situation 1 : La vitesse du sang. Le cœur d lbert bat 7 fois par inute. À chaque batteent, 70 l de sang est popé par le cœur. À la sortie du cœur, le sang pénètre dans l aorte, dont l aire de la section est égale à c ; plus loin dans le réseau sanguin, le sang voyage dans plusieurs artères «en parallèle», dont la section cobinée possède une aire de 0 c. On désire déteriner le odule de la vitesse du sang dans (a) l aorte et (b) les artères. X CHPITRE Dynaique.X L écouleent des liquides

3 À chaque pulsation, le volue de sang popé est égal à 70 l. En t = 1 inute = 60 s le cœur d lbert bat 7 fois et pope un volue de sang Le débit est V = 7 70 l = 7 ( ) = 0,0050 r définition, 1 l (litre) correspond à 0,001 ; 1 l (illilitre) correspond à 1 c = V D = t = 0 5, = 8, 10 Coe il n y a pas de fuites dans le corps d lbert, le débit est le êe à chaque «étape» du réseau sanguin : à chaque seconde, 8, 10 5 de sang quitte son cœur ; 8, 10 5 circule dans son aorte ; 8, 10 5 au total circule dans l enseble des voies parallèles offertes par ses artères ; 8, 10 5 reviennent à son cœur. En (a), nous voulons déteriner le odule de la vitesse du sang dans l aorte, dont l aire de la section est /s = c = (0,01 ) = 10 r l équation D = v, nous obtenons 5 D 8, 10 v = = = 0,1 /s v = 1 c/s 10 En (b), nous voulons déteriner le odule de la vitesse du sang dans les artères, dont l aire cobinée de la section est 5 fois plus grande que celle de l aorte : Nous obtenons = 0 c 5 = 10 D 8, 10 v = = = 0,0 /s v =, c/s 10 Le sang se déplace 5 fois oins vite dans les artères que dans l aorte. Exercice.X.1 La vitesse du sang dans les capillaires. u niveau des organes, le sang voyage dans un très grand nobre de vaisseaux capillaires dont la section cobinée a une aire de 0,5. À la situation 1, quel est le odule de la vitesse du sang dans les capillaires? La résistance hydraulique À la section.11 : La pression, nous avons vu que la pression dans un liquide iobile est partout la êe à une profondeur donnée. Ce n est pas le cas quand le liquide est en ouveent : dans un liquide qui s écoule dans un tuyau horizontal, la pression diinue lorsqu on se déplace dans le êe sens que l écouleent. Cette diinution est une conséquence du frotteent entre le liquide et les parois du tuyau. Considérons un éléent de liquide E qui s écoule à vitesse constante dans un tuyau horizontal (schéa de la page suivante). Il subit une force de frotteent dans le sens contraire de son ouveent. Coe il se déplace à vitesse constante, la force résultante qui agit sur lui doit être égale à 0. r conséquent, la pression doit exercer une force dans le sens du ouveent qui contrebalance la force de frotteent. 1/10/009 CHPITRE Dynaique.X L écouleent des liquides X

4 La pression dans le liquide de part et d autre de l éléent E pousse sur lui de chaque côté ; pour que cela résulte en une force dans le sens du ouveent, il faut que la pression en aont soit plus grande que la pression en aval (P a > P av ). r conséquent, la pression doit diinuer lorsqu on se déplace dans le sens de l écouleent. sens de l écouleent P a force exercée par la pression en aont sur l éléent E E frotteent P av vitesse constante F = 0 force exercée par la pression en aval sur l éléent E Pour une portion de tuyau donné, on observe que la diinution de la pression est proportionnelle au débit D du liquide qui traverse le tuyau. insi, il est utile de décrire la diinution de pression à l aide de l équation Il est intéressant de noter le parallèle entre l équation P = RD et la loi d Oh qui décrit la diinution du potentiel électrique dans une portion de circuit : V = RI, où R est la résistance électrique de la portion de circuit et I est le courant électrique (l analogue en électricité du débit). Nous étudierons la loi d Oh au toe B, chapitre : Les circuits électriques. P = RD Diinution de pression dans une portion de tuyau Le paraètre R est la résistance hydraulique de la portion de tuyau : sa valeur dépend de la taille du tuyau (longueur et rayon) ainsi que des propriétés du liquide qui circule dans le tuyau. Dans le SI, P est en et D est en /s ; par conséquent, R est en s/. Lorsqu on utilise l équation P = RD, on s intéresse à la diinution de pression entre deux endroits. Il peut tout aussi bien s agir de la diinution de P (pression absolue) que de la diinution de P ~ (pression anoétrique). En effet, coe la pression anoétrique P ~ correspond à la pression absolue P oins une constante (pression atosphérique), la variation est la êe : P ~ = P Situation : La diinution de la pression. Du ercure (densité = 1,6) circule de gauche à droite dans un tuyau horizontal (schéa ci-contre) avec un débit de c /s. À intervalles de 50 c le long du tuyau horizontal se trouvent quatre tubes verticaux (, B, C et D) ouverts dans le haut. Dans le tube, le ercure s élève à 60 c ; dans le tube D, situé 1,5 plus loin, le ercure s élève à 0 c. On désire déteriner la résistance hydraulique de la portion de tuyau située entre le tube et le tube D. 60 c B C D 50 c 50 c 50 c 0 c Dans cette situation, les tubes verticaux jouent le rôle de anoètres. Considérons, pour coencer, le tube. La pression au soet de la colonne de liquide est égale à la pression atosphérique ; autreent dit, la pression anoétrique est égale à 0. À la base de la colonne de liquide, à une profondeur h = 60c = 0,6, la pression anoétrique est ~ P = = (1,6 10 ) 9,8 0,6 = 7, ρ gh Il s agit de la pression anoétrique dans le tuyau horizontal vis-à-vis le tube. r un raisonneent siilaire, la pression anoétrique vis-à-vis le tube D ( h = 0c = 0, ) est D ~ = = (1,6 10 ) 9,8 0, = 5,1 10 D ghd P ρ X CHPITRE Dynaique.X L écouleent des liquides

5 La diinution de pression anoétrique dans la portion de tuyau entre et D est ~ P = (7,997 5,1) 10 =, Il s agit égaleent de la diinution de la pression absolue : ~ P = P =, D après l énoncé de la situation, le débit est r l équation nous obtenons 6 D = c /s = (0,01 ) /s = 10 /s P = RD P, R = = D 6 10 R = 8,89 10 s/ 9 Il s agit de la résistance hydraulique de la portion de tuyau de 1,5 de longueur située entre le tube et le tube D. Exercice.X. La diinution de la pression, prise. À la situation, déterinez (a) la pression anoétrique dans le tuyau vis-à-vis le tube C et (b) la résistance hydraulique de la portion de tuyau entre les tubes et B. La loi de Poiseuille En 180, le physicien français Jean Louis Marie Poiseuille a appliqué les principes de de la écanique afin de décrire l écouleent du sang. Il a déontré que la résistance hydraulique peut être calculée par l équation R = π r où L est la longueur de la portion de tuyau, r est son rayon et η (la lettre grecque êta) est la viscosité du liquide, une esure de sa résistance à l écouleent. (La déonstration de cette équation dépasse le niveau de cet exposé.) En cobinant cette équation et l équation P = RD, on obtient la loi de Poiseuille : P = D Loi de Poiseuille π r Isolons la viscosité η dans la loi de Poiseuille : r P η = π 8LD 1/10/009 CHPITRE Dynaique.X L écouleent des liquides X5

6 Pour que cette équation soit cohérente du point de vue des unités, la viscosité doit s exprier, dans le SI, en pascals ultipliés par des secondes : = s ( /s) La viscosité varie de anière iportante avec la tepérature. Le tableau ci-contre indique la viscosité de certains liquides à des tepératures particulières. Liquide η ( s) eau à 0 C 0,00179 eau à 5 C 0,00089 eau à 100 C 0,0008 ercure à 5 C 0,0015 sang à 7 C 0,00 huile d olive à 5 C 0,081 La loi de Poiseuille décrit très bien l écouleent du sang dans le corps des aniaux. Toutefois, lorsqu un liquide se déplace trop rapideent, son écouleent devient turbulent (il se fore des reous) et la loi de Poiseuille ne s applique plus. L étude de l équivalent de la loi de Poiseuille pour un écouleent turbulent dépasse le niveau de cet exposé. Situation : La loi de Poiseuille. À la situation, on suppose que le ercure est à 5 C (η = 0,0015 s) et que la loi de Poiseuille s applique (le liquide s écoule sans reous). On désire déteriner (a) le rayon du tuyau horizontal et (b) le odule de la vitesse du ercure dans le tuyau. En (a), nous voulons déteriner le rayon r du tuyau horizontal. Isolons r dans la loi de Poiseuille : P = D π r r D = π P D r = π P 1 / Pour la portion de tuyau entre et D, nous avons De plus, η = 0,0015 s et D = 10 /s. insi, 6 L = 1,5 et P =, ou encore 8 0,0015 1,5 ( 10 r =, 116 (, ) 6 ) r = 8,96 1/ = 0, En (b), nous voulons déteriner le odule v de la vitesse du ercure dans le tuyau. Nous allons nous servir de la relation débit-aire-vitesse, L aire de la section du tuyau est D = v = π r =, 116 0, =,5 10 d où ou encore v = D 6 10 =,5 10 v = 1, 19 c/s = 0,01189 /s X6 CHPITRE Dynaique.X L écouleent des liquides

7 G L O S S I R E débit : (sybole : D ) le volue de liquide qui passe devant un point donné d une canalisation divisé par le teps requis ; unité SI : /s. résistance hydraulique : (sybole : R) la résistance hydraulique d une portion de tuyau correspond au rapport entre la différence de pression entre ses extréités et le débit du liquide qui le traverse ; unité SI : s/. loi de Poiseuille : loi qui et en relation la différence de pression entre les extréités d une portion de tuyau et le débit du liquide qui le traverse, pour un écouleent lainaire (sans reous). viscosité : (sybole : η, la lettre grecque êta) propriété d un liquide qui exprie sa résistance à l écouleent ; unité SI : s. Q U E S T I O N S Q1. Montrez coent obtenir la relation débit-aire-vitesse, D = v, à partir de la définition du débit, D = V/ t. Q. Dans un liquide qui s écoule dans un tuyau horizontal, la pression lorsqu on se déplace dans le êe sens que l écouleent. Q. Dans quelle situation la loi de Poiseuille ne s applique pas? E X E R C I C E S Les exercices.x.1 et.x. se trouvent dans le texte de l exposé de la section. Pour les exercices, on considère que la viscosité de l eau est égale à 0,00089 s et que l écouleent du liquide est lainaire (la loi de Poiseuille s applique)..x. Le débit et la vitesse. Une conduite d eau est coposée d un tuyau de 5 c de rayon relié à un tuyau B de 10 c de rayon. Il circule 10 litres par seconde dans le tuyau. (a) Expriez le débit dans le tuyau en /s. (b) Quel est le débit dans le tuyau B? (c) Calculez le odule des vitesses de l eau dans chacun des tuyaux..x.5 La résistance hydraulique de Claude. À la sortie du cœur, le sang de Claude est à une pression anoétrique de 100 Hg ; lorsque le sang revient au cœur, la pression anoétrique est égale à 5 Hg. Sachant que le cœur de Claude pope 5 litres de sang à la inute, calculez la résistance hydraulique de son réseau sanguin..x.6 Le débit d une seringue. De l eau jaillit de l aiguille d une seringue avec un débit de 0,5 c /s. L extréité de l aiguille est dans l air. L aiguille a une longueur de c et un rayon de 0,5. (a) Quelle est la résistance hydraulique de l aiguille? (b) Quelle est la pression anoétrique de l eau lorsqu elle coence à circuler dans l aiguille?.x.7 Le débit d une seringue, prise. L extréité de l aiguille de l exercice précédent est placée dans une veine où la pression anoétrique est égale à 10 Hg. En supposant que la pression de l eau lorsqu elle coence à circuler dans l aiguille deeure la êe, calculez le débit..x.8 Un boyau d arrosage. La pression le long d un boyau d arrosage diinue graduelleent : 50 c avant que l eau ne sorte à l air libre, la pression anoétrique est égale à 100. Le rayon du tuyau est égal à 9 et il n y a pas d ebout : l eau se déverse directeent au bout du tuyau. (a) Quel est le odule de la vitesse de l eau dans le tuyau? (b) Cobien de teps est nécessaire pour replir un seau d eau de 15 c de rayon et de 5 c de hauteur?.x.9 Le nobre de capillaires. u niveau des organes, le sang se déplace dans un grand nobre de vaisseaux capillaires. On désire odéliser cette portion du réseau sanguin en considérant qu elle est constituée de vaisseaux capillaires identiques placés en parallèle (les uns à côté des autres). Chaque capillaire a une longueur de 1, un rayon de 1 µ (µ = icro = 10 6 ) ; la pression du sang passe de 0 Hg à l entrée du capillaire à 1 Hg à la sortie. Si le cœur pope 5 litres de sang à la inute, quel doit être le nobre de capillaires? (La viscosité du sang est égale à 0,00 s.).x.10 Un élévateur hydraulique, prise. Considérez de nouveau la situation de l exercice.x. (schéa ci-dessous). Lorsque le piston de gauche s abaisse de 1 c, de quelle distance onte le piston de droite? 1.X. Le pouls de Béatrice. À chaque batteent du cœur de Béatrice, 70 l de sang est popé. À la sortie du cœur, le sang se déplace à 0 c/s dans une artère dont la section est égale à,5 c. Quel est le pouls de Béatrice, en batteents par inute? CHPITRE Dynaique.9 L écouleent des liquides X7