Modélisation des actions mécaniques

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1 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 1/14 Modélisation des actions mécaniques 1) BJECTIFS....3 ) CTINS MECNIQUES : GENERLITES ) MISE EN EVIENCE....3 ) EFINITIN UNE M ) CLSSIFICTIN ES M...3 Les actions mécaniques de contact (qui agissent sur la surface) Les actions mécaniques à distance (qui agissent sur le ) ) MELISTIN LCLE ET GLBLE ES M....4 Modèle local réalisé par des champs de vecteurs df Modèle global réalisé par des champs de torseurs ère étape : Notion de résultante : R pièce doigt dfpiècedoigt... 4 ème étape : Notion de moment résultant : M,piècedoigt Q dfpiècedoigt..5 Bilan : Torseur de l action mécanique globale... 5 Remarque : Calcul du moment d un glisseur par la méthode du «bras de levier» ) CTIN MECNIQUE ISTNCE : CS E L PESNTEUR ) HYPTHESE U SLIE HMGENE : ( Q ) cste ) MELE LCL : dfpes 1.g. dv ) MELE GLBL....6 Notion de poids : Rpes 1 m. g V.G Q.dv... 6 Notion de centre de gravité : m.g Expression globale : T pes G MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

2 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page /14 4) CTIN MECNIQUE E CNTCT ) NTIN HERENCE ET FRTTEMENT...7 4) MELISTIN ES CTINS MECNIQUES E CNTCT SURFCIQUE....7 Mise en évidence : Comportement d un colis sous une poussée latérale F Colis au repos... 7 dhérence (équilibre stable)... 7 dhérence limite (équilibre strict ou instable)... 7 Frottement (glissement)...7 Récapitulatif sur l évolution des actions tangentielles d adhérence T a et de frottement T f... 8 Modèle local : Lois de Coulomb... 8 Cas de l adhérence (équilibre stable)... 8 Cas de l adhérence limite (équilibre strict ou instable)... 8 Cas du frottement (glissement)... 8 Coefficients d adhérence et de frottement :... 9 Modèle global ) MELISTIN ES CTINS MECNIQUES E CNTCT PNCTUEL er cas : ucun mouvement ni de tendance au mouvement ème cas : Glissement ou tendance au glissement (Rappel des lois de Coulomb) ème cas : Pivotement ou tendance au pivotement ème cas : Roulement ou tendance au roulement Cas général : Combinaison de tous les mouvements ou tendance aux mouvements ) MELISTIN ES M E CNTCT VEC L HYPTHESE SNS FRTTEMENT/HERENCE Choix de la prise en compte ou non de ces résistances au mouvement Modélisation locale des actions mécaniques de contact surfacique sans frottement/adhérence Modélisation des actions mécaniques de contact ponctuel sans frottement/adhérence Bilan ) CTIN MECNIQUE TRNSMISSIBLE PR UNE LIISN PRFITE ) BJECTIF...1 5) RPPEL SUR LES LIISNS PRFITES ) ULITE TRSEUR CINEMTIQUE / TRSEUR E L CTIN MECNIQUE TRNSMISSIBLE PR UNE LIISN PRFITE...1 Étude de l action mécanique transmissible par une glissière Généralisons ) TBLEU GENERL ES TRSEURS CINEMTIQUE ET E L CTIN MECNIQUE TRNSMISSIBLE PR UNE LIISN PRFITE...13 Complète ou encastrement Glissière de direction x ppui plan de normale z Linéaire rectiligne de ligne de contact,x et de normale z Ponctuelle de point de contact et de normale z Pivot glissant d axe,x Pivot d axe,x Hélicoïdale d axe,x et de pas p Rotule de centre Rotule à doigt de centre et de rotation interdite,y Linéaire annulaire de centre et de direction x MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

3 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 3/14 n supposera comme dans le chapitre précédent que les solides sont géométriquement parfaits et indéformables. 1) bjectifs. Tout mécanisme est dimensionné pour pouvoir être utilisé pendant un temps donné. r, la durée de vie d une pièce dépend généralement : de l environnement dans lequel elle se trouve, de ses dimensions, du matériau utilisé, mais aussi des actions appliquées sur celle-ci, Ces actions peuvent être mesurées mais cela demande : la construction d un prototype, la mise en place d un laboratoire de mesure, trop coûteux n va donc essayer de «PRÉVIR» les actions appliquées sur un mécanisme en utilisant des modèles mathématiques et des lois physiques. ) ctions mécaniques : Généralités. 1) Mise en évidence. Tout système est en permanence soumis à des actions. Exemple de la pince Schrader : L action du poignet sur la pince, l action de la pièce sur la pince n appelle ces ctions : ctions Mécaniques. ) éfinition d une M. n appelle ction Mécanique (notée M) toute cause capable : - de maintenir un corps au repos, - de créer ou modifier un mouvement, - de déformer un corps. Modèle global (voir page 4) Modèle local (voir page 4) Robot Schrader 3) Classification des M. n distingue : Les actions mécaniques de contact (qui agissent sur la surface). Elles s appliquent directement sur la surface du solide (action ponctuelle ou surfacique). Exemples : Entre deux solides (action de liaison). Entre un solide et un fluide (action de pression) Les actions mécaniques à distance (qui agissent sur le ). Elles s exercent au niveau de son (action volumique). Exemples : ttraction terrestre (action de la pesanteur). Champ magnétique d un aimant (action magnétique) Pince Schrader seule MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

4 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 4/14 4) Modélisation locale et globale des M. L étude des actions mécaniques repose sur des modèles différents suivant l objectif recherché. Modèle local réalisé par des champs de vecteurs df. Principe de ce modèle : Représenter localement toutes les actions mécaniques élémentaires en tout point Q où elles agissent : c'est-à-dire sur un élémentaire dv ou une surface élémentaire ds. bjectif de ce modèle : Etudier des pressions de contact, et des déformations de solides (notions qui sortent du cadre de votre programme) Modélisation par un champ de vecteurs df : Exemple de l action mécanique élémentaire de contact de la pièce sur le doigt de la pince : Q df pièce doigt Cette action mécanique élémentaire est modélisée en son point d application Q par un vecteur lié dfpièce doigt dont les caractéristiques sont : un point d'application Q, une direction, un sens, une intensité dont l unité est le NEWTN (N). Modèle global réalisé par des champs de torseurs. Principe de ce modèle : Représenter globalement les actions mécaniques (dans le cas de solides indéformables). bjectif de ce modèle : Etudier l'équilibre ou le mouvement (avec actions mécaniques) de solides indéformables. Cette représentation fait disparaître l effet local, mais est très efficace pour appliquer les lois de la Mécanique : Principes fondamentaux de la Statique (PFS) ou de la ynamique (PF). Modélisation par un champ de torseurs (résultante + moment) : 1 ère étape : Notion de résultante : R df (Q. pièce doigt pièce doigt ) Exemple de l action mécanique de contact de la pièce sur le doigt de la pince : Rpièce doigt Cette action mécanique est modélisée en un point particulier par un vecteur lié Rpièce doigt (appelée résultante) dont les caractéristiques sont : un point d'application, une direction, un sens, une intensité dont l unité est le NEWTN (N). R pièce doigt dfpiècedoigt ( pièce doigt R est la somme de tous les petits df pièce doigt ) où est le domaine sur lequel s exercent les actions mécaniques élémentaires (une surface ou un ). MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

5 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 5/14 ème étape : Notion de moment résultant : M,piècedoigt Q dfpiècedoigt. La modélisation de l action mécanique par une résultante en 1 point particulier est : suffisante pour un point appartenant au support de l action, puisqu elle prend en compte l action de tirer ou pousser. insuffisante pour un point n appartenant pas au support de l action, puisqu elle ne prend pas en compte l action de tordre, tourner, visser ou dévisser. En effet si on s intéresse à l effet de l action mécanique précédente au point, celle-ci a tendance à : - pousser le doigt dans une direction verticale parallèle à Rpièce doigt. - faire tourner le doigt autour de l axe z. Par conséquent, nous modéliserons l action mécanique de la pièce doigt en : Y X M,pièce doigt par une résultante Rpièce doigt qui a tendance à pousser dans une direction (résultante inchangée par rapport à celle modélisée en ) et par un ème vecteur lié (appelée moment et notée Rpièce doigt d M,pièce doigt qui a tendance à faire tourner autour d un axe et dont les caractéristiques sont : un point d'application, une direction, un sens, une intensité dont l unité est le NEWTN MÈTRE (N.m). R pièce doigt dfpiècedoigt et M,piècedoigt Q dfpiècedoigt où est le domaine sur lequel s exercent les actions mécaniques élémentaires (une surface ou un ). Bilan : Torseur de l action mécanique globale. Lorsque l on s intéresse, pour une résultante, à un point différent d un des points de son support, on dit que la résultante induit un moment par rapport à ce point. insi, pour traduire avec précision les effets d une action mécanique en n importe quel point d un solide, il faut caractériser cette action mécanique par une Résultante et un Moment (ceux-ci pouvant être nul). C est pourquoi, nous utiliserons l outil mathématique qui permet de regrouper ces informations : le torseur. Le torseur d action mécanique est défini en un point donné par ces «deux éléments de réduction» : une résultante R indépendante du point d'expression du torseur. un moment M fonction du point choisi. T df1 R 1 1 M,1 Q df 1 Y Remarque : Calcul du moment d un glisseur par la méthode du «bras de levier». X d M,1 M,1 R1 M,1 (d.x?.y) ( R1.y) M,1 d. R1.z M,1 d. R1 Rpièce doigt d est appelé bras de levier (distance entre le point et le support de la résultante au point ). MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

6 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 6/14 3) ction mécanique à distance : Cas de la pesanteur. 31) Hypothèse du solide homogène : ( Q ) cste Q solide, la masse volumique reste constante : ( Q ) cste (Hypothèse qui n est pas valable pour du béton par exemple). 3) Modèle local : df 1.g. dv pes. Soit un solide 1, de V, placé dans le champ de pesanteur g tel que g g.z (Par défaut, on prend : g 9,81m.s ). Le champ de la pesanteur est orienté suivant la verticale descendante. Il produit en tout point Q du solide 1 une action mécanique élémentaire df 1 pes proportionnelle au élémentaire dv entourant Q : dfpes 1.g.dv.g.dv (car solide homogène) 1 dv Q z df 1 pes NB : Pour les solides dont une dimension est négligeable (plaque) ou pour les solides unidimensionnels (fil), l'élément élémentaire est une surface (ds) ou une ligne (dl). 33) Modèle global. Notion de poids : Rpes 1 m. g. Selon la définition d une résultante : R df.g.dv.g. dv pes 1 pes1.g.v m. g (poids du solide 1 noté parfois P 1 ) Notion de centre de gravité : V.G Q.dv.,pes 1 pes1 Pour simplifier l expression de ce moment, on choisit de l exprimer non au point mais en un point G, tel que GQ.dv 0. insi en ce point G, M GQ.dv G,pes 1.g 0. Le point G peut être également définit en faisant intervenir le point, origine du repère : 0 GQ.dv (G Q).dv G.dv Q.dv V.G Q.dv V.G Selon la définition d un moment : M Q df Q.g.dv Q.dv. g Le point G ainsi défini, appelé centre de gravité, est le barycentre des points Q chacun pondéré du facteur dv. Q.dv m.g Expression globale : T. pes1 G 0 Le torseur de la pesanteur est donc un torseur glisseur dont l expression la plus simple est obtenue en G. L axe central du torseur passe par le centre de gravité et est vertical. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

7 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 7/14 4) ction mécanique de contact. 41) Notion d adhérence et frottement. 1/ Le frottement ou l adhérence sont des phénomènes qui tendent à s opposer au mouvement ou, à la tendance au mouvement relatif de pièces en contact. / S il existe un mouvement relatif entre les pièces en contact, on dit qu il y a frottement. 3/ S il existe une tendance au mouvement relatif entre les pièces en contact (mais sans mouvement ), on dit qu il y a adhérence. 4/ L équilibre strict se situe juste avant le mouvement (il n y a pas encore de mouvement). 4) Modélisation des actions mécaniques de contact surfacique. Mise en évidence : Comportement d un colis sous une poussée latérale F. F 0 F faible F F lim ite F F lim ite dhérence dhérence limite Frottement Colis au repos (équilibre stable) (équilibre strict ou instable) (glissement) Vitesse de glissement V g 0 V g 0 Lorsque qu une action F tend à faire glisser le colis/sol, il existe une action tangentielle d adhérence T a (égale et opposée à F) qui s oppose à la tendance au glissement. Cette action tangentielle d adhérence va faire incliner l action du solcolis d un angle a par rapport à la normale. Si F devient trop grand, le colis se mettra à glisser. onc, cette action tangentielle d adhérence a une limite T a limite (égale et opposée à F limite ) à partir de laquelle l opposition au glissement ne sera plus suffisante. Le colis se met à glisser sur le sol dans le même sens que F. Il existe une action tangentielle de frottement T f (quasi constante) < F qui s oppose au glissement. N schématise la résultante des actions de pression exercées par le sol sur le colis et P schématise le poids du colis. T a schématise la résultante des actions tangentielles d adhérence exercées par le sol sur le colis. T f schématise la résultante des actions tangentielles de frottement exercées par le sol sur le colis. T a F N P Ta lim ite Flimite angle d'adhérence a alimite angle d'adhérence limite ite Talimite Ta tan a alimite tan alimite cste N N avec a limite coef. d adhérence T f constant et Tf T a lim ite Le glissement se fera à vitesse : - uniforme si F=T f - accélérée si F>T f. a lim angle de frottement f a lim ite T tan f f f cste N avec f coef. de frottement MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

8 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 8/14 Récapitulatif sur l évolution des actions tangentielles d adhérence T a et de frottement T f. L action tangentielle de frottement T f est à l origine des pertes d énergie par frottement. Si l objet est arrêté il faudra, pour le remettre en mouvement, fournir une action F > a limite.n. Les différentes phases sont résumées sur le graphique : Modèle local : Lois de Coulomb. Les lois de Coulomb permettent de faire la synthèse du paragraphe «mise en évidence» au niveau local. Soient deux solides S1 et S en contact sur une surface S. L action mécanique élémentaire df 1 de S1 sur S au point Q se projette sur la normale et dans le plan tangent commun à S1 et S en Q telle que : df1 dn1 dt1 où dn 1 caractérise l'action élémentaire de pression (normale au contact) dn 1 p. ds dt 1 caractérise l'action élémentaire de résistance au glissement (tangent au contact) dt1 alimite.dn1 Cas de l adhérence (équilibre stable) Cas de l adhérence limite (équilibre strict ou instable) Cas du frottement (glissement) Vitesse de glissement VQ / 1 0 Vitesse de glissement VQ / 1 0 Vitesse de glissement VQ / 1 0 Cône d adhérence S Cône d adhérence S Cône de frottement S dn 1 df 1 dn 1 df 1 dn 1 df 1 Tendance au glissement de /1 a limite a Tendance au glissement de /1 a limite Glissement de /1 f Q Q VQ / 1 Q ds dt 1 ds dt 1 ds dt 1 S1 S1 S1 a (angle d adhérence) alimite (angle d adhérence limite) f (angle de frottement) dt a limite. dn1 1 avec coef d adhérence alimite tanalimite L action mécanique élémentaire df 1 se situe NS le cône d adhérence (de sommet Q et de demi-angle au sommet L action élémentaire d adhérence dt 1 s oppose à la tendance au glissement de /1. dt a limite. dn1 1 avec coef d adhérence a limite tanalimite L action mécanique élémentaire df 1 se situe SUR le cône d adhérence )(de sommet Q et de demi-angle au sommet alimite L action élémentaire d adhérence ) alimite dt 1 s oppose à la tendance au glissement de /1. dt f. dn1 1 avec coef de frottement f tan f L action mécanique élémentaire df 1 se situe SUR le cône de frottement (de sommet Q et de demi-angle au sommet f ) L action élémentaire de frottement dt 1 s oppose au glissement de /1 : VQ /1 dt1 0 (colinéaire) VQ /1 dt1 0 (de sens opposé) MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

9 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 9/14 Coefficients d adhérence et de frottement : a limite et f ne dépendent : ni de l intensité des actions exercées, ni de l étendue des surfaces en contact. Ils dépendent essentiellement : de la nature du couple de matériaux en contact, de la rugosité des surfaces en contact, de la lubrification (sec ou lubrifié), de la température au niveau des surfaces en contact qui peut favoriser des microsoudures ou la rupture du film d huile si le contact est lubrifié, de la vitesse de glissement Toutefois, en première approximation, on considère que le paramètre prépondérant concerne uniquement la nature du couple de matériaux en contact. dhérence a limite = tan a limite Frottement f = tan f Matériaux en contact sec Lubrifié sec Lubrifié cier sur acier 0,18 0,1 0,15 0,09 cier sur fonte 0,19 0,10 0,16 0,08 à 0,04 cier sur bronze 0,11 0,10 0,10 0,09 Téflon sur acier 0,04 0,04 Fonte sur bronze 0,10 0,0 0,08 à 0,04 Nylon sur acier 0,35 0,1 Bois sur bois 0,65 0,0 0,40 à 0,0 0,16 à 0,04 Métaux sur bois 0,60 à 0,50 0,10 0,50 à 0,0 0,08 à 0,0 Métal sur glace 0,0 Pneu voiture sur route 0,80 0,60 0,30 à 0,10 sur sol mouillé NB : Le coefficient d adhérence est toujours supérieur au coefficient de frottement ( a limite f ). Mais étant donné le grand nombre de paramètres qui interviennent dans leur détermination, on considère souvent, par mesure de simplification, que ces deux coefficients sont égaux et nommés ou f. Modèle global. df1 R T 1 surface 1 Ce torseur n a, à priori, aucune particularité. M,1 Q df 1 surface () 43) Modélisation des actions mécaniques de contact ponctuel. Tout le raisonnement qui a été effectué pour un contact surfacique (où le seul mouvement relatif est du glissement) peut être appliqué à un contact ponctuel (où le mouvement relatif peut-être cette fois-ci du glissement, du roulement ou du pivotement). Par analogie avec les lois de Coulomb où : le glissement donne naissance à une résistance au glissement modélisée par une résultante tangentielle (de résistance au glissement), le roulement donnera naissance à une résistance au roulement modélisée par un moment de résistance au roulement, le pivotement donnera naissance à une résistance au pivotement modélisée par un moment de résistance au pivotement. M1, Mr1, V / 1 S Mp,1 S1 N1 r / 1 p / 1 / 1 R1 T1 L action mécanique de 1 est modélisée en, point de contact entre 1 et, par le torseur suivant : R 1 N 1 T T 1 1 M,1 Mp,1 Mr,1 où N1 est la résultante normale de pression, T1 est la résultante tangentielle (de résistance au glissement), Mp,1 est le moment de résistance au pivotement en, Mr,1 est le moment de résistance au roulement en. Ces vecteurs sont obtenus par projection sur la normale et sur le plan tangent commun en à 1 et. NB1 : En réalité le contact ne se fait pas sur un point mais sur une surface de petite dimension (car la pression serait infinie). NB : / 1 p / 1 r / 1 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

10 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 10/14 1 er cas : ucun mouvement ni de tendance au mouvement. N T ème cas : Glissement ou tendance au glissement (Rappel des lois de Coulomb). N T T avec T1 a limite. N1 si V / 1 0 (non glissement) 0 T 1 f. N1 si V / 1 0 (glissement) coefficient de frottement (sans dimension) T1 s oppose au glissement de /1 : /1 T1 0 (colinéaire) V V /1 T1 0 (de sens opposé) 3 ème cas : Pivotement ou tendance au pivotement. N T 1 1 avec Mp,1 a limite. N1 si p / 1 0 (non pivotement) Mp,1 Mp,1 f. N1 si p / 1 0 (pivotement) paramètre de résistance au pivotement (exprimé en m) Mp,1 s oppose au pivotement de /1 : p / 1 Mp,1 0 (colinéaire) p / 1 Mp,1 0 (de sens opposé) 4 ème cas : Roulement ou tendance au roulement. N T 1 1 avec Mr,1 a limite. N1 si r / 1 0 (non roulement) Mr,1 Mr,1 f. N1 si r / 1 0 (roulement) paramètre de résistance au roulement (exprimé en m) Mr,1 s oppose au roulement de /1 : r / 1 Mr,1 0 (colinéaire) Mr 0 (de sens opposé) r / 1,1 Cas général : Combinaison de tous les mouvements ou tendance aux mouvements. Voir figure page précédente. R 1 N 1 T T 1 1 M,1 Mp,1 Mr,1 n utilise toujours les mêmes relations pour T1, Mp,1 et Mr,1 en fonction de N1. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

11 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 11/14 44) Modélisation des M de contact avec l hypothèse sans frottement/adhérence. Choix de la prise en compte ou non de ces résistances au mouvement. ans la plupart des problèmes, on ne prend pas en compte ces résistances au glissement, pivotement et roulement. En effet, les calculs issus des modèles (prise et non prise en compte) diffèrent très peu. En revanche, dans d autres cas, où on utilise justement cette propriété de résistance au mouvement avec bénéfice (freins, embrayages, courroies, arc-boutement, équilibre ou stabilité de certains mécanismes...), il est primordial de les prendre en compte. Enfin, dans certains mécanismes, nous en tiendrons compte aussi pour en diminuer leurs effets (résistance au mouvement, pertes d énergie, mauvais rendement...). Modélisation locale des actions mécaniques de contact surfacique sans frottement/adhérence. Soit deux solides S1 et S en contact sur une surface S. S df1 dn1 df 1, l action mécanique élémentaire de S1 sur S au point Q, est portée par la normale au plan tangent commun à S1 et S en Q. Elle n a pas de composante tangentielle. Q ds S1 Modélisation des actions mécaniques de contact ponctuel sans frottement/adhérence. Soit deux solides S1 et S en contact ponctuel. R1 N1 En réalité le contact ne se fait pas sur un point, mais sur une surface de petite dimension (car la pression serait infinie). S R1, l action mécanique de S1 sur S au point, est portée par la normale au plan tangent commun à S1 et S en. Elle n a pas de composante tangentielle. () S1 Bilan. Toutes les actions mécaniques (élémentaires pour un contact surfacique, ou globales pour un contact ponctuel) sont normales aux plans tangents communs aux contacts. Ceci revient à considérer que f a limite 0 f alimite 0 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

12 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 1/14 5) ction mécanique TRNSMISSIBLE par une liaison parfaite. 51) bjectif. Nous allons nous intéresser aux possibilités de transmission d actions entre les pièces constituant une liaison parfaite (compte tenu de la géométrie des surfaces de contact). 5) Rappel sur les liaisons parfaites. Une liaison parfaite est définie par : des surfaces de contact géométriquement parfaites, des jeux de fonctionnement nuls entre les surfaces de contact, un contact entre surfaces supposé sans adhérence. 53) ualité torseur cinématique / torseur de l action mécanique TRNSMISSIBLE par une liaison parfaite. Étude de l action mécanique transmissible par une glissière. Soit la liaison glissière de direction x supposée parfaite entre les pièces 1 et : Quels sont les mouvements élémentaires possibles? Translation suivant la direction x. Peut-on transmettre une action de 1 sur suivant ce degré de liberté? Non. En revanche peut-on transmettre une action de 1 sur suivant les 5 degrés de liaison? ui, les composantes de la résultante Y, Z et les composantes du moment L, M et N sont transmises d une pièce à l autre. insi il existe une dualité entre le torseur cinématique et le torseur de l action mécanique transmissible par la liaison glissière : Forme générale du Torseur cinématique 0 v x,p /1 / P (x,...,...) V Forme générale du Torseur de l action mécanique transmissible 0 L, 1 T 1 Y1 M, 1 Z 1 N, 1 (x,y,z) Généralisons. Lorsqu un degré de liberté est supprimé entre solides 1 et, il en résulte alors une composante dans le torseur de l action mécanique transmissible de 1 (qui empêche le mouvement). MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

13 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 13/14 54) Tableau général des torseurs cinématique et de l action mécanique transmissible par une liaison parfaite. Parmi toutes les liaisons envisageables, la norme NF EN IS (mai 95) a retenu les plus courantes. Nom Représentation spatiale x z y z x Représentation plane y x z y Validité de la forme générale des Torseurs Forme générale du Torseur cinématique Forme générale du Torseur de l action mécanique transmissible Complète ou encastrement ou de l espace V 0 / P (...,...,...) pour tout point P de l'espace X1 T 1 Y1 Z 1 L,1 M,1 N,1 (x,y,z) Glissière de direction x de l espace V 0 /1 0 0 P v x,/1 0 0 (x,...,...) pour tout point P de l'espace 0 T 1 Y1 Z 1 L,1 M,1 N,1 (x,y,z) ppui plan de normale z Linéaire rectiligne de ligne de contact,x et de normale z (ou alors cylindreplan de ligne de contact,x et de normale z ) de l espace du plan (,x,z) 0 vx, /1 0 L, 1 V /1 0 v T y, /1 1 0 M, 1 P (,z) z,/1 0 Z 1 0 P (,z) (x,y,z) (x,y,z) pour tout point P de la normale pour tout point P de la normale (,z) (,z) V x,/1 /1 0 z,/1 0 0 T 1 0 M, 1 v x, /1 Z 1 0 v P (,z) (x,y,z) y, /1 0 (x,y,z) pour tout point P de la normale (,z) Ponctuelle de point de contact et de normale z (ou alors sphèreplan de point de contact et de normale z ) de la normale (,z) V x,/1 /1 y,/1 z,/1 v x, /1 v y, /1 0 (x,y,z) 0 0 T Z P (,z) 1 0 (...,...,z) pour tout point P de la normale (,z) MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010

14 Cours 07 - Modélisation des actions mécaniques Page 14/14 Pivot glissant d axe,x ou de l axe (,x) x,/1 vx,p /1 / P (,x) (x,...,...) V pour tout point P de l'axe (,x) 0 T 1 Y1 Z 1 0 M,1 N,1 (x,y,z) Pivot d axe,x ou de l axe (,x) V x,/1 0 / P (,x) (x,...,...) pour tout point P de l'axe (,x) X1 T 1 Y1 Z 1 0 M,1 N,1 (x,y,z) Hélicoïdale d axe,x et de pas p ou ou de l axe (,x) p x,/1 x,/1. / P (,x) (x,...,...) V pour tout point P de l'axe (,x) X1 T 1 Y 1 Z 1 Pint 0 R1.V pas à droite : p X1. M, 1 N, 1 (x,y,z) M,1. / 1 p X1. x, / 1. L,1. x, / 1 0 (rad) p(mm) p p pas à gauche : x. vx x. p (rad) x(mm) X1.( x, / 1. ) L,1. x, / 1 0 Pas à droite p et p vx x. L X. / 1 Pas à gauche p v x. et p x L X. Rotule de centre (ou alors sphérique de centre ) Seulement en x, / 1 V / 1 y, / 1 0 T z, / (x,y,z) X1 1 Y1 Z (x,y,z) Rotule à doigt de centre et de rotation interdite,y (ou alors sphérique à doigt de centre et de rotation interdite,y ) Linéaire annulaire de centre et de direction x (ou alors sphèrecylindre de centre et de direction x ) x, /1 0 V /1 T en Seulement Seulement z, /1 0 (x,y,z) x,/1 x, /1 V /1 y,/1 0 T 1 en z,/1 v 0 (x,y,z) X1 Y1 Z 1 0 Y1 Z 1 0 M,1 0 (x,y,z) (x,y,z) MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 31/03/010