FICHE 3.2 : LES IDENTITÉS REMARQUABLES

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1 FICHE 3.2 : LES IDENTITÉS REMARQUABLES 1. Le carré d une somme Mise à jour : 12/12/11 (a + b)² = a² + 2 ab + b² L illustration géométrique parle d elle-même Il suffit de connaître la formule de l aire d un rectangle et celle d un carré! 2. Le carré d une différence (a b)² = a² - 2 ab + b² Là, il te faut sans doute quelques explications. Tu as remarqué que (a b)² correspond à l aire du carré vert. Or celle-ci, c est l aire du tout grand carré (a²) de laquelle on a soustrait l aire du carré jaune (b²) et celles des deux rectangles bleus ((a-b).b). Donc, (a b)² = a² - b² - 2 (a b).b = a² - b² - 2ab + 2b² = a² - 2ab + b² 3. La somme de deux carrés a² + b² n est pas factorisable (dans IR) 4. La différence de deux carrés a² - b² = (a b) (a + b) À nouveau, tu peux remarquer que l identité algébrique (a² - b²) correspond à l aire de la portion verte du carré. Or cette portion verte peut se décomposer en deux rectangles : un rouge et un saumon. Donc : a² b² = (a b) a + (a b) b Il suffit de mettre (a b) en évidence et tu obtiens a² b² = (a b) (a + b)

2 5. Le cube d une somme (a + b) 3 = a 3 + 3a²b + 3ab²+ b 3 Cette image vient de : 6. Le cube d une différence (a - b) 3 = a 3-3a²b + 3ab²- b 3 7. La somme de deux cubes a 3 + b 3 = (a + b) (a² - ab + b²) 8. La différence de deux cubes a 3 b 3 = (a b) (a² + ab + b²)

3 9. La somme de trois carrés (a + b + c) 2 = a 2 + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc Cette image vient de : Généralisation de la puissance d une somme Les identités 1, 2, 5 et 6 peuvent se généraliser par une formule délicate à écrire (c est la formule du binôme de Newton) mais très facile à appliquer. Observe par exemple le développement de (a + b) 3 = a 3 + 3a²b + 3ab² + b 3. En fait l écriture la plus complète est plutôt (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a²b + 3ab² + a 0 b 3. Mais comme tu le sais sans doute, tout nombre exposant 0 égal 1. Du coup, on a pris l habitude de ne pas écrire les termes exposant zéro. Face à cette écriture plus complète, tu peux contater que la puissance des a diminue au fur et à mesure : d abord a 3, puis a², puis a 1 (On n écrit habituellement pas a 1 puisque a 1 = a) et enfin a 0. Pour la puissance des b, c est l inverse : d abord b 0, puis b 1, puis b² et enfin b 3. Si tu veux écrire le développement de (a + b) 4, cela donne donc la structure suivante : (a + b) 4 = a 4 b 0 + a 3 b 1 +. a 2 b² + a 1 b 3 + a 0 b 4 Ce qu on écrit habituellement sous la forme (a + b) 4 = a 4 + a 3 b +. a 2 b² + a b 3 + b 4

4 Pour trouver les bons coefficients (remplir les pointillés), il faut se baser sur le triangle suivant, appelé triangle de Pascal. Mais oui, tu as compris : chaque nombre est toujours égal à la somme des deux nombres situés au dessus de lui. Par exemple 10 = Cette image vient de : Évidemment, ce triangle ne possède pas de dernière ligne Ainsi, la prochaine ligne commence par 1, ensuite 15 (1 + 14), ensuite 105 ( ), Tu auras certainement remarqué que toutes les lignes commencent et se terminent toujours par 1. On va donc lire dans la quatrième ligne de cette pyramide les coefficients de (a + b) 4. Et donc : (a + b) 4 = a a 3 b + 6 a 2 b² + 4 ab 3 + b 4 De même (a + b) 5 = a a 4 b + 10 a 3 b² + 10 a² b a b 4 + b Généralisation de la puissance d une différence Et si c est (a b) 5? Aucun problème : on alterne alors les signes dès le premier signe écrit (a - b) 5 = a 5-5 a 4 b + 10 a 3 b²- 10 a²b ab 4 - b 5

5 Bon, juste pour info, la formule générale est appelée formule du binôme de Newton et s écrit de la manière suivante : avec Tous ces symboles mathématiques ont évidemment un sens et sont très pratiques à utiliser mais ça, ce sera l objet d une prochaine fiche! Isaac Newton 4 janvier mars 1727 Tu n as pas compris quelque chose? Aide-nous à améliorer ces fiches! Tu cherches des sujets que tu n as pas trouvés? Dis-le nous! Découvre aussi notre forum sur lequel tu peux venir poser tes questions. N hésite pas à nous faire connaître : totalement gratuit. Commentaires, souhaits, remarques On t attend sur notre groupe Facebook! «Centre de remédiation scolaire Entr aide» Scanne directement ce code avec ton smartphone pour nous rejoindre sur