MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année.

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1 MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié conforme au programme 00, regroupe les documents distribués au élèves en cours d année. Année 0-0

2 Année 0-0 T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES)

3 TABLE DES MATIÈRES I ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE 5 DÉRIVATION 6 I Nombre dérivé II Fonction dérivée EXERCICES CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS I Fonction continue II Résolutions d équations EXERCICES LIMITES 30 I Notion de limite II Limites de fonctions usuelles III Règles opératoires sur les limites IV Limite par comparaison EXERCICES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 4 Activité I Ajustement affine d une série statistique à deu variables EXERCICES PRIMITIVES D UNE FONCTION 54 Activités I Primitives II Calculs de primitives EXERCICES LOGARITHME NÉPÉRIEN 6 Activité I Fonction logarithme népérien II Propriétés algébriques III Étude de la fonction logarithme népérien IV Étude d une fonction ln(u) EXERCICES PROBABILITÉS 83 I Modéliser une epérience aléatoire II Probabilités conditionnelles III Variable aléatoire IV Loi binomiale A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

4 Année 0-0 TABLE DES MATIÈRES T le ES EXERCICES CALCUL INTÉGRAL 08 Introduction I Intégrale d une fonction II Propriétés de l intégrale III Intégrale et moenne EXERCICES FONCTION EXPONENTIELLE 3 I Définition et premières propriétés II Propriétés algébriques de la fonction eponentielle III Étude de la fonction eponentielle IV Eponentielle d une fonction : ep(u) V Eponentielle de base a EXERCICES II ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ 48 0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES 49 Activités : Introduction I Graphes premières définitions Activité : Chaîne eulérienne II Chaînes, ccles ; conneité III Coloration des sommets d un graphe IV Plus court chemin EXERCICES GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE 77 I Vecteur de l espace II Repérage dans l espace III Équations cartésiennes de l espace EXERCICES FONCTION DE DEUX VARIABLES 88 I Fonction de deu variables II Sections de surface EXERCICES RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE 07 I La démonstration par récurrence EXERCICES SUITES 0 I Suites premières définitions II Comportement global d une suite III Limite d une suite IV Suites particulières EXERCICES GRAPHES PROBABILISTES 9 I Définitions II Évolution d un état au cours du temps EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

5 PREMIÈRE PARTIE ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE A. YALLOUZ 5

6 Chapitre DÉRIVATION I Nombre dérivé Définition Tangente à une courbe II Fonction dérivée Définition Dérivées des fonctions de référence Dérivées et opérations Dérivée d une fonction composée Dérivée et variations d une fonction EXERCICES Dérivées et opérations Applications à l économie Dérivées de fonctions composées A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

7 Lcée Camille SEE Année 0-0 DÉRIVATION T le ES I NOMBRE DÉRIVÉ DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. f() f(a) Lorsque le rapport admet une limite réelle quand tend vers a en restant dans I, on dit que la a fonction f est dérivable en a et cette limite réelle, notée f (a), est appelée le nombre dérivé de f en a. On note alors : f f() f(a) (a)=lim a a TANGENTE À UNE COURBE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. La droite passant par le point A(a; f(a)) de la courbe C f et de coefficient directeur f (a) est appelée la tangente à la courbe C f au point d abscisse a. f(a) j 0 i a A PROPRIÉTÉ Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. L équation réduite de la tangente à la courbe C f au point A d abscisse a est : = f (a) ( a)+ f(a) EXEMPLE La courbe C f tracée ci-dessous est la courbe représentative d une fonction f définie sur R Par lecture graphique, déterminer f (0), f () et f (3). A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

8 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES. Le nombre dérivé f (0) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 0. Or cette droite passe par les points de coordonnées (0; 3) et (; ). Son coefficient directeur a est : Ainsi, f (0)= a= 3 0 =. La tangente à la courbe C f au point d abscisse est parallèle à l ae des abscisses. Donc f ()=0 3. La droite tangente à la courbe C f au point d abscisse 3 passe par les points de coordonnées (3;0) et (5;3). Son coefficient directeur a est a= = 3 Le nombre dérivé f (3) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 3. Donc f (3)= 3 REMARQUE La courbe représentative d une fonction f peut avoir une tangente en un point a sans que la fonction soit dérivable en a. La courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à la droite d équation = 0 en 0. Or la fonction racine carrée n est pas dérivable en 0 en effet : 0 lim = lim = lim =+ 0 ce n est pas une limite finie donc la fonction racine carrée n est pas dérivable en 0. j 0 i II FONCTION DÉRIVÉE DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque pour tout réel appartenant à I, f est dérivable en, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui associe à tout réel appartenant à I son nombre dérivé f () est appelée la fonction dérivée de f sur l intervalle I. Elle est notée f. DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE f définie sur... f() f () f dérivable sur... R k 0 R R a+b a R R n n n R pour n entier n R R n [0; + [ n n+ R R pour n entier n ]0; + [ A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

9 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES 3 DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS Si et v sont deu fonctions dérivables sur I, alors il en est de même pour u+v, ku (k constante réelle), u v et u (si v() 0 sur I) v RÈGLES (u+v) = u + v (ku) = k u (uv) = u v+uv ( u v) = u v uv v EXEMPLES )(. Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f()= (+ ). Calculer f (). 3 Sur ]0; + [ f est dérivable comme produit de deu fonctions dérivables. f = uv d où f = u v+uv. Avec pour tout réel appartenant à l intervalle ]0;+ [, u()=+ 3 d où u ()= 3 v()= d où v ()= Soit pour tout réel appartenant à l intervalle ]0;+ [, f ()= ( 3 )+ ) (+ 3 = = Ainsi, f est la fonction définie sur ]0;+ [ par f ()= Soit f la fonction définie sur R par f()= Calculer f (). Sur R f est dérivable comme somme et quotient de deu fonctions dérivables. f = u v d où f = u v uv v. Avec pour tout réel, Soit pour tout réel, u()=4 3 d où u ()=4 v()= + d où v ()= f ()= 4( + ) (4 3) ( + ) = ( + ) = ( + ) Ainsi, f est la fonction définie sur R par f ()= ( + ) A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

10 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES 4 DÉRIVÉE D UNE FONCTION COMPOSÉE THÉORÈME (admis) Soit u et g deu fonctions telle que la composée f = g u est définie sur un intervalle I. Si u est dérivable sur I et g est dérivable en u(), alors la composée f = g u est dérivable sur I et f ()= u () g [u()] EXEMPLE Soit f la fonction définie sur I =[ ;] par f()=. f = u avec u()=. La fonction u est dérivable sur I et la fonction racine carrée g(x) = X est dérivable sur ]0;+ [ donc f est dérivable pour tout réel de l intervalle I tel que u() > 0. Soit f est dérivable sur l intervalle ] ; [. La dérivée de la fonction racine carrée est g (X)= X. D où f = u u. On a u ()=. D où pour tout réel de l intervalle ] ;[, f ()= = Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur ] ;[ par f ()= NOUVELLES FORMULES DE DÉRIVÉES Par application du théorème sur la dérivée d une fonction composée on obtient les formules suivantes : Si u est dérivable sur un intervalle I de R, alors pour tout entier natuel n non nul, la fonction f = u n est dérivable sur I et f = u nu n = nu u n. Si u est dérivable sur un intervalle I de R et ne s annule pas sur I, alors pour tout entier natuel n non nul, la fonction f = u n est dérivable sur I et f = u n nu = un+ u n+. Si u est dérivable sur un intervalle I de R et strictement positive sur I, alors la fonction f = u est dérivable sur I et f = u u = u u. EXERCICE Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes ( définies et ) dérivables sur R : f()=( +3) 3 f()= (5+) + + f()= + f()= + + ( +) 5 DÉRIVÉE ET VARIATIONS D UNE FONCTION THÉORÈME Soit f une fonction dérivable et monotone sur un intervalle I de R. Si f est constante sur I, alors pour tout réel appartenant à I, f ()=0. Si f est croissante sur I, alors pour tout réel appartenant à I, f () 0. Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel appartenant à I, f () 0. Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée. A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

11 Lcée Camille SEE Année 0-0 DÉRIVATION T le ES THÉORÈME Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R et f la dérivée de f sur I. Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I. Si f est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I. THÉORÈME 3 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de R et 0 un réel appartenant à I.. Si f admet un etremum local en 0, alors f ( 0 )=0.. Si la dérivée f s annule en 0 en changeant de signe, alors f admet un etremum local en 0. a 0 b f () f() 0 + minimum a 0 b f () + f() 0 maimum REMARQUES. Dans la proposition. du théorème 3 l hpothèse en changeant de signe est importante. Considérons la fonction cube définie sur R par f()= 3 qui a pour dérivée la fonction f définie sur R par f ()=3. f (0)=0 et pour tout réel non nul, f ()>0. La fonction cube est strictement croissante sur R et n admet pas d etremum en 0.. Une fonction peut admettre un etremum local en 0 sans être nécessairement dérivable. Considérons la fonction f définie sur R par f()= +. f est une fonction affine par morceau, f admet un minimum f() = or f n est pas dérivable en. 0 0 POINT MÉTHODE En pratique, pour étudier les variations d une fonction f dérivable sur son ensemble de définition D f : on détermine la dérivée f de f ; on étudie le signe de f sur D f ; on applique le théorème sur chacun des intervalles de D f où le signe de f est constant ; on dresse le tableau des variations en indiquant les etremums, s il a lieu et éventuellement les limites au bornes de son ensemble de définition. A. YALLOUZ (MATH@ES)

12 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES EXERCICE La courbe C f ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On note f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe coupe l ae des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point de coordonnées ( ; 0) ; la courbe admet au point B d abscisse une tangente parallèle à l ae des abscisses ; l ae des abscisses est asmptote à la courbe C f. 3 B A C f À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim f() et lim f() b) Déterminer f (0) et f ().. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f. Déterminer laquelle courbe C courbe C courbe C 3 EXERCICE Soit f la fonction définie sur ] ;+ [ par f()= 8+7. On note f la dérivée de la fonction f. + Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée C f, est donnée en annee ci-dessous à titre indicatif.. Calculer f ().. Étudier le signe de f (). 3. Donner le tableau des variations de f. 4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. Tracer sur le graphique donné en annee, la tangente T. A. YALLOUZ (MATH@ES)

13 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES ANNEXE (C f ) 0 EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur R par : f()= On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère.. Calculer la dérivée de la fonction f.. Étudier les variations de f. 3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. EXERCICE 4 Soit f la fonction définie sur l intervalle] ;+ [ par f()= +. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal. On note f la dérivée de la fonction f.. Calculer f ().. Étudier le signe de f (). 3. Donner le tableau des variations de f. EXERCICE 5 Soit C la fonction définie pour tout élément de l intervalle ]0;6] par C()=0, La fonction C modélise le coût total de production, eprimé en euro, de centaines d articles fabriqués par jour. Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée C T, est donnée en annee.. La recette totale en euros pour centaines d articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par R()=00 3. a) Tracer sur le graphique joint en annee, la courbe Γ représentative de la fonction R. b) Par lecture graphique, déterminer : l intervalle dans lequel doit se situer la production pour qu il ait un bénéfice ; la production 0 pour laquelle le bénéfice est maimal.. Le bénéfice est la fonction B définie sur l intervalle ]0; 6] par B() = R() C(). a) Calculer B (). b) Étudier les variations de la fonction B. A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

14 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES c) En déduire la production 0 (arrondie à l article près) pour laquelle le bénéfice est maimal. Quel est le montant arrondi à l euro près, de ce bénéfice maimal? ANNEXE 900 C T EXERCICE 6 PARTIE A. Vérifier que pour tout réel, =( 3)( + 6+8).. En déduire le signe du polnôme P()= PARTIE B Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de ]0;5]. Le pri de revient d une pièce, eprimé en euros, dépend de q et est donné par l epression : f(q)= q3 + 6q + q+08 q. Combien coûte, en moenne, à l euro près, la production de 400 pièces?. On désigne par f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (q). b) En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction f. c) En déduire le nombre d unités à fabriquer pour que le pri de revient d une pièce soit minimal. Quel est alors le montant en euros du coût total de production? EXERCICE 7 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie Mars 0) L entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en mètre de large et pour une longueur eprimée en kilomètre, étant compris entre 0 et 0. A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

15 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES Le coût total de production en euros de l entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur par la formule C()= Le graphique de l annee donne la représentation graphique de la fonction C. Les deu parties A et B de cet eercice sont indépendantes PARTIE A : Étude du bénéfice Si le marché offre un pri p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l entreprise CoTon pour la vente d une quantité est égal à R()= p.. Tracer sur le graphique de l annee la droite D d équation =400. Epliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le pri p du marché est égal à 400 euros.. Dans cette question on suppose que le pri du marché est égal à 680 euros. a) Tracer sur le graphique de l annee la droite D d équation =680. Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues, l entreprise CoTon réalise un bénéfice si le pri p du marché est de 680 euros. b) On considère la fonction B définie sur l intervalle [0 ; 0] par B() = 680 C(). Démontrer que pour tout appartenant à l intervalle [0 ; 0] on a : B ()= c) Étudier les variations de la fonction B sur [0 ; 0]. En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l entreprise CoTon est maimum. Donner la valeur de ce bénéfice. PARTIE B : Étude du coût moen On rappelle que le coût moen de production C M mesure le coût par unité produite. On considère la fonction C M définie sur l intervalle ]0 ; 0] par C M ()= C().. Démontrer que pour tout appartenant à l intervalle ]0 ; 0] on a : C M()= 30( 5)( + +5 ).. a) Démontrer que pour tout appartenant à l intervalle ]0 ; 0], C M () est du signe de( 5). En déduire les variations de la fonction C M sur l intervalle ]0 ; 0]. b) Pour quelle quantité de tissu produite le coût moen de production est-il minimum? Que valent dans ce cas le coût moen de production et le coût total? A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

16 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES ANNEXE EXERCICE 8 Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes dérivables sur leur ensemble de définition : 5. f est définie sur R par f ()= f est définie sur ]0;+ [ par f ()= (+ ) 3. f 3 est définie sur R par f 3 ()= + EXERCICE 9 Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f()=. Calculer f ().. Étudier les variations de la fonction f. ( ) 3 EXERCICE 0 A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

17 Lcée Camille SEE Année 0-0 DÉRIVATION T le ES. Soit u la fonction définie sur l intervalle ]0;+ [ par u()=+. Calculer u ().. Soit g une fonction définie et dérivable sur l intervalle ]0;+ [. On note g la dérivée de la fonction g. On sait que g()= et pour tout réel >0, g ()=. Donner le tableau des variations de la fonction g. 3. On considère la fonction f définie sur ]0; + [ par f() = g[u()]. On admet que f est dérivable sur ]0;+ [ et on note f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f(). b) Calculer f (). c) La courbe C f ci-dessous représente la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. La tracer sur le graphique ci-dessous. 4 3 C f O 3 4 EXERCICE Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est eacte. Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d une fonction f dérivable sur R. On sait que : la droite D est tangente à la courbe C f au point A( ;) ; la courbe C f admet deu tangentes parallèles à l ae des abscisses au points d abscisse et 3. 4 D 3 A On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f alors : f ( )= f ( )= 3 f ( )> f (0) C f A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

18 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES. L équation f ()=0 admet : une solution deu solutions tois solutions 3. f est définie sur R par : f ()= 3( 3)( + ) +9 f ()= 3( 3) (+) +7 f ()= 3(3 )(+) Soit g la fonction définie sur R par g()=[f()]. Au point d abscisse, la tangente à la courbe représentative de la fonction g a pour équation : =9+9 = 6+3 = 6 EXERCICE. Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ;+ [ par f()= +. On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan. a) À l aide d un tableau, étudier le signe de f() suivant les valeurs du réel. b) On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (). c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 0.. Soit g la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction carrée, g est définie sur l intervalle ] ;+ [ par g()=[ f()]. On note C g sa courbe représentative dans un repère du plan. On note g la dérivée de la fonction g. Calculer g (). EXERCICE 3 Soient u la fonction définie pour tout réel par u()= et g une fonction définie et dérivable sur l intervalle ] ;+ [. On note g la dérivée de la fonction g.. On sait que g(3)= 0 et pour tout réel >, g ()= + a) Donner le tableau des variations de la fonction g. b) Étudier le signe de g().. On considère la fonction f définie sur ]0;+ [ par f()=g[u()]. a) Calculer f(). b) On admet que f est dérivable sur ]0;+ [ et on note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (). c) La courbe C f ci-dessous représente la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal. 3 C f A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

19 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. La tracer sur le graphique précédent. EXERCICE 4 La courbe (C) ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On note f la dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe (C) coupe l ae des ordonnées au point A(0; ) ; la courbe (C) admet pour asmptote l ae des abscisses ; la tangente en A à la courbe (C) coupe l ae des abscisses au point d abscisse 4. 0 (C). À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim f() et lim f(). + b) Déterminer f(0) et f (0).. Soit g la fonction définie sur R par g()= f(). Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse 0. EXERCICE 5 Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d une fonction f dérivable sur ]0;+ [. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : La courbe C f admet pour asmptotes les aes du repère ; la courbe C f admet une tangente parallèle ( à l ae des abscisses au point A d abscisse ; la tangente à la courbe C f au point B ; 3 ) passe par le point de coordonnées (4; 0) A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

20 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES A B (C f ) 0. À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim f() et lim f(). 0 + b) Déterminer f(), f(), f () et f ().. On considère la fonction g définie sur ]0;+ [ par g()=[ f()]. a) Quel est le sens de variation de la fonction g sur ]0;+ [? b) Déterminer les valeurs de g () et g (). c) Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse. EXERCICE 6 Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d une fonction f dérivable sur R. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la droite D d équation = 8 est asmptote à la courbe C f en+ ; la courbe C f admet une tangente parallèle à l ae des abscisses au point A(3;). C f D A 0 A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

21 Année 0-0 DÉRIVATION T le ES À partir du graphique et des renseignements fournis :. Déterminer lim + f().. Déterminer f(3) et f (3). 3. Une seule des trois propositions suivantes est eacte, déterminer laquelle. a. f () f (4)<0 b. f () f (4)=0 c. f () f (4)>0 4. Quelle est parmi les trois courbes tracées ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f? 0,5 0 0 Courbe C Courbe C 0 Courbe C 3 5. On considère la fonction h inverse de la fonction f. C est-à-dire la fonction h définie sur R par h()= f(). a) Calculer h (3) b) Quelle est parmi les trois courbes de la question 4, celle qui représente la fonction h? A. YALLOUZ (MATH@ES)

22 Chapitre CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS I Fonction continue Définition Théorème II Résolutions d équations Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de la valeur intermédiaire EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES)

23 Lcée Camille SEE Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES I FONCTION CONTINUE DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I.. Dire que f est continue en a signifie que lim a f()= f(a). Dire que f est continue sur l intervalle I signifie que f est continue en tout réel appartenant à I. Graphiquement, une fonction continue est celle dont la courbe représentative peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou) La fonction f est défine et continue sur R La fonction f n est définie sur [;3] f n est pas continue sur R La fonction f est défine sur R mais f n est pas continue en 3 THÉORÈME Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. Si f est dérivable en a alors, f est continue en a. Démonstration Pour tout réel appartenant à I, a Par conséquent, lim f() f(a)= lim a a f() f(a)=( a) [ ( a) f() f(a) Or si f est dérivable en a alors, lim = f (a) a a donc si f est dérivable en a alors, f() f(a) a ] f() f(a) f() f(a) = lim( a) lim a a a a lim f() f(a)= lim ( a) a a f (a)=0 d où lim a f()= f(a), ce qui prouve que f est continue en a. CONSÉQUENCES On admettra les deu propriétés suivantes qui se déduisent du théorème précédent :. Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.. Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de fonctions de référence est continue sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie. REMARQUE La réciproque du théorème est fausse : Une fonction peut être continue en un réel a sans être dérivable en ce réel. Par eemple la fonction f définie sur R par f() = est contine en 0 mais n est pas dérivable en 0. 0 A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

24 Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES II RÉSOLUTIONS D ÉQUATIONS THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES f(a) f(b) k k a j 0 i f(a) b a j f(b) 0 i b f est continue sur [a; b] Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f() = k admet une ou plusieurs solutions. f est définie sur [a; b] mais f n est pas continue sur [a; b] Il eiste des réels k compris entre f(a) et f(b) tels que l équation f() = k n admet pas de solution. THÉORÈME (admis) Si f est une fonction continue sur un intervalle[a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f() = k admet au moins une solution c appartenant à[a; b]. THÉORÈME DE LA VALEUR INTERMÉDIAIRE THÉORÈME Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a, b deu réels appartenant à I, a<b. Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f() = k admet une solution unique c appartenant à[a; b]. Démonstration Soit k un réel compris entre f(a) et f(b). Eistence Par hpothèse, f est continue sur [a; b] alors d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f() = k admet au moins une solution c appartenant à[a; b].. Unicité Supposons que l équation f()=k admette deu solutions distinctes c et c appartenant à[a;b] Par hpothèse, f est strictement monotone sur [a;b] alors c c f (c ) f (c ) Ce qui aboutit à une contradiction puisque f (c )= f (c )=k Donc c = c, ce qui prouve que l équation f()=k admet une solution unique dans [a;b] REMARQUES. Si f est continue et strictement monotone sur [a;b] et f(a) f(b)<0, alors l équation f()=0 admet une solution unique dans [a; b]. Le théorème s applique aussi lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle de la forme [a;b[, ]a;b], ]a;b[,[a;+ [, ]a;+ [,] ;b] ou ] ;b[ : si une borne a ou b de l intervalle est ouverte, alors on remplace l image f(a) ou f(b) par la limite de f en cette borne ; si une borne de l intervalle est (ou + ) alors on considère la limite de f en (ou + ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

25 Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES EXERCICE Soit f une fonction dérivable sur chacun des intervalles où elle est définie. Le tableau des variations de la fonction f est donné ci-dessous : f(). a) La fonction f est-elle continue sur ] 3; + [? b) Donner un intervalle où f est continue mais pas monotone. c) Donner deu intervalles où f est continue et strictement monotone.. a) Déterminer le nombre de solutions de l équation f() = 0. b) L équation f() = admet-elle une solution unique? 3. On note f la dérivée de la fonction f. Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse. a) L équation f ()= 0 peut avoir plusieurs solutions sur ]5;+ [ b) f ( ) f (0) 0 c) f ( ) f (3) 0 4. Parmi les cinq propositions suivantes, quelles sont celles qui sont eactes? a) lim f()= 3 b) lim f()= c) lim 3 f()=+ d) lim 5 + f()= e) lim f()=5 + EXERCICE Dans chacun des cas suivants, tracer, dans un repère du plan, une courbe pouvant représenter une fonction f définie sur l intervalle [ ; 3] et vérifiant les informations données. f est continue et décroissante sur[ ; 3], et l équation f() = admet une infinité de solutions dans[ ; ].. f est continue sur [ ;3] n est pas monotone sur [ ;3], et l équation f()=0 admet une solution unique dans [ ;3]. 3. f est continue sur [ ;3] avec f( ) = 3, f(3) = et l équation f() = 0 admet deu solutions dans [ ;3]. 4. f n est pas continue sur [ ;3] et pour tout réel k compris entre f( ) et f(3) l équation f() = k admet une solution unique dans [ ; 3]. EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur R par f()= On note f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (). b) Étudier le signe de f (). c) Donner le tableau des variations de f.. Montrer que l équation f() = 7, admet une solution unique α dans l intervalle [ 4; 3]. Donner, à l aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α au diième près. A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

26 Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES EXERCICE 4 La courbe ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R O La représentation graphique permet-elle de déterminer le nombre de solutions de l équation f() =?. On admet dans cette question que l ensemble des solutions de l équation f ()=0 est S={0;4;6;8}. a) Si on suppose que f(6)= 53 quel est alors le nombre de solutions de de l équation f()=? 54 b) Si on suppose que f(6)= déteminer graphiquement une valeur approchée au diième près de chacune des solutions de l équation f() =. EXERCICE 5 Pour chacune des questions de ce QCM, une seule des trois propositions est eacte, déterminer laquelle.. Si f est une fonction strictement croissante sur R alors, l équation f() = 0 admet : a) Eactement une solution. b) Au plus une solution. c) Au moins une solution.. Si f est une fonction continue sur[a; b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l équation f() = 0 admet : a) Eactement une solution. b) Au plus une solution. c) Au moins une solution. 3. Soit f une fonction dérivable sur [a;b] et telle que l équation f() = 0 admette une solution unique c dans [a;b] alors : a) f(a) et f(b) sont de signes contraires. b) Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f est strictement monotone. c) Si la dérivée est de signe constant, alors f(a) f(b)<0. 4. Soit f une fonction continue sur I =[ ; 3] et ne s annulant pas sur I. a) Pour tout réel a appartenant à I, f( ) f(a) > 0. b) On peut avoir f( )+ f(3)=0. c) f est dérivable sur I. A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

27 Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES 5. Soit f une fonction dérivable sur I =[ ;] et telle que f( )=0, f( )= et f()=0. a) Il eiste un unique réel a appartennant à[ ;] tel que f(a)=. b) L équation f()= admet eactement deu solutions dans [ ;]. c) L équation f()= admet au moins deu solutions dans [ ;]. 6. Soit f la fonction définie sur R par f() = Sur l intervalle [ ;], l équation f()= 0 admet : a) Eactement une solution. b) Eactement deu solutions. c) Eactement trois solutions. EXERCICE 6 Soit f la fonction définie sur l intervalle [0;+ [ par : f()= On note f la dérivée de la fonction f, calculer f ().. On admet que f () 0 équivaut à [;+ [ a) Donner le tableau des variations de la fonction f. b) Montrer que l équation f()=3, admet une solution unique 0. Donner un encadrement de 0 à 0 près. EXERCICE 7 PARTIE A On considère les fonctions f et g définies et dérivables pour tout nombre réel de l intervalle ]0 ;8] par : f()= 3 + et g()= Les courbes représentatives respectives C f et C g des fonctions f et g, dans un repère orthogonal, sont tracées ci-dessous. Lire avec la précision permise par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d intersection E.. Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon plus précise, on est amené à résoudre dans l intervalle ]0 ;8] l équation g()= f(). Pour cela, on considère la fonction h définie sur l intervalle ]0 ; 8] par h() = g() f(). a) Déterminer le sens de variation de la fonction h sur l intervalle ]0 ;8]. b) Démontrer que l équation h()=0 admet une solution unique 0 dans l intervalle ]0 ;8]. c) À l aide de la calculatrice, déterminer l arrondi de 0 au centième. A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

28 Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES C f E 6 4 O C g PARTIE B Les fonctions f et g définies dans la partie A modélisent respectivement l offre et la demande d un produit : f() est la quantité, eprimée en milliers d articles, que les producteurs sont prêts à vendre au pri unitaire de centaines d euros ; g() la quantité, eprimée en milliers d articles, que les consommateurs sont prêts à acheter au pri unitaire de centaines d euros. On appelle pri unitaire d équilibre du marché la valeur de pour laquelle l offre est égale à la demande.. Quel est, eprimé à l euro près, le pri unitaire d équilibre du marché?. Quel nombre d articles, (arrondi à la centaine d articles près), correspond à ce pri unitaire d équilibre? EXERCICE 8 PARTIE A Soit f la fonction définie sur [0;0] par f()= 3 + 9,5 + 6,5.. On désigne par f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (). b) Étudier les variations de la fonction f.. Montrer que l équation f()= 0 admet deu solutions a et b dans [0;0] 3. Étudier le signe de f sur [0;0] PARTIE B Une entreprise produit milliers de pièces, étant un réel de [0;0]. Le coût total de production C, eprimé en milliers d euros, dépend de et est donné par l epression : C()= 0,53, A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

29 Année 0-0 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES La courbe représentative de la fonction C, notée C T, est donnée en annee.. Le pri de vente d un article est de 8,50 C. En admettant que toute la production soit vendue, la recette totale eprimée en milliers d euros est donnée par R() = 8,5. a) Tracer sur le graphique joint en annee, la courbe Γ représentative de la fonction R. b) Par lecture graphique, déterminer la production 0 (arrondie au millier d articles près) pour laquelle le bénéfice est maimal.. Le bénéfice est la fonction B définie sur l intervalle ]0; 0] par B() = R() C(). a) Calculer B (). b) En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction B. c) En déduire la production 0 (arrondie à l article près) pour laquelle le bénéfice est maimal. Quel est le montant arrondi à l euro près, de ce bénéfice maimal? 3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C T au point d abscisse 0. La tracer sur le graphique. ANNEXE 60 C T A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

30 Chapitre 3 LIMITES I Notion de limite Limite finie d une fonction en un réel Limite infinie d une fonction en un réel Limite finie d une fonction en l infini Limite infinie d une fonction en l infini II Limites de fonctions usuelles III Règles opératoires sur les limites Limite d une somme de deu fonctions Limite d un produit de deu fonctions Limite d un quotient de deu fonctions Formes indéterminées Limite de la composée de deu fonctions IV Limite par comparaison Théorème Théorème Théorème 3 (Théorème des gendarmes) EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 30

31 Lcée Camille SEE Année 0-0 LIMITES T le ES En terminale ES, la notion intuitive de limite permet de mettre en évidence le comportement d une fonction dans les cas suivants : Que se passe-t-il lorsque la variable est proche d une valeur a, sans pour cela l atteindre? Que se passe-t-il lorsque la variable s éloigne infiniment de 0 (limites en + ou en )? I NOTION DE LIMITE LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN UN RÉEL Soit f une fonction définie au «voisinage» d un réel a. Dire que la fonction f a pour limite le réellen a signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f() pour suffisament proche de a. On note : lim a f()=l l O a LIMITE INFINIE D UNE FONCTION EN UN RÉEL Soit f une fonction définie au «voisinage» d un réel a à droite de a (resp. à gauche de a). Dire que la fonction f tend vers+ quand tend vers a avec >a (resp. avec <a) signifie que tout intervalle ]M; + [, où M est un réel, contient toutes les valeurs de f() pour suffisament proche de a avec > a (resp. avec <a). On note : lim a >a + f()=+ ou lim a a <a + f()=+ (resp. lim f()=+ ou lim a f()=+ ) + f() f() M M O a a+h O a h a lim f()=+ a >a On a des définitions analogues lorsque la limite de f en a est lim f()=+ a <a a a+h O O a h a M M f() f() lim f()= a >a Autrement dit, lim f() =+ (ou lim a veut de 0 pourvu que soit suffisamment proche de a. lim f()= a <a a f() = ) signifie que l on peut rendre f() aussi éloigné que l on A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

32 Année 0-0 LIMITES T le ES INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si lim f() =+ ou lim f() =+ ou lim f() = ou lim f() =, on dit alors, que la droite a + a a + a d équation = a est une asmptote verticale de la courbe représentative de la fonction f. 3 LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN L INFINI. Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [A;+ [, où A est un réel. Dire que la fonction f a pour limite le réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f() pour suffisament grand. On note : lim f()=l + O m + f() l lim f()=l : f() est aussi proche que l on veut de l à condition de choisir >m +. Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] ;A], où A est un réel. Dire que la fonction f a pour limite le réel l en signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f() pour < 0 suffisament éloigné de 0. On note : lim f()=l l f() m O lim f()=l : f() est aussi proche que l on veut de l à condition de choisir <m INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si lim + f() = l (resp. lim f() = l), on dit alors, que la droite d équation = l est une asmptote horizontale de la courbe représentative de la fonction f en + (resp. en ). REMARQUE Pour déterminer la position relative de la courbe représentative de la fonction f par rapport à une asmptote D d équation = l, il suffit d étudier le signe de f() l A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

33 Année 0-0 LIMITES T le ES 4 LIMITE INFINIE D UNE FONCTION EN L INFINI Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme[a;+ [, où A est un réel.. Dire que la fonction f a pour limite + en + signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]M; + [ contient toutes les valeurs de f() pour M suffisament grand. On note : lim f()=+ + O m. Dire que la fonction f a pour limite en + signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] ; M[ contient toutes les valeurs de f() pour suffisament grand. On note : lim f()= + Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme] ;A], où A est un réel.. Dire que la fonction f a pour limite + en signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]M;+ [ contient toutes les valeurs de f() pour < 0 M suffisament éloigné de 0. On note : lim f()=+ m O. Dire que la fonction f a pour limite en signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] ;M[ contient toutes les valeurs de f() pour < 0 suffisament éloigné de 0. On note : lim f()= O M m m O M ASYMPTOTE OBLIQUE Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne + ou, et D une droite d équation =a+b. Si lim [ f() (a+b)]=0 (ou lim [ f() (a+b)]=0), on dit alors que la droite d équation =a+b + est une asmptote oblique à la courbe représentative de la fonction f en+ (ou en ). =a+b O =a+b =a+b O O O =a+b lim f()=+ + lim f()= + lim f()=+ lim f()= REMARQUE Pour étudier la position relative de la courbe représentative de la fonction f par rapport à une asmptote D d équation =a+b, il suffit d étudier le signe de la différence f() (a+b) A. YALLOUZ (MATH@ES) 33

34 Année 0-0 LIMITES T le ES II LIMITES DE FONCTIONS USUELLES FONCTION CARRÉ FONCTION CUBE O O lim =+ ; lim + =+ lim 3 =+ ; lim + 3 =+ FONCTION INVERSE FONCTION RACINE CARRÉE O O lim = 0 ; lim 0 + =+ ; lim 0 =+ lim = 0 lim =0 ; 0 lim =+ + A. YALLOUZ (MATH@ES) 34 +

35 Année 0-0 LIMITES T le ES III RÈGLES OPÉRATOIRES SUR LES LIMITES Dans tout ce paragraphe, u et v désignent deu fonctions, l et l désignent deu nombres réels, et α désigne + ou ou un nombre réel. LIMITE D UNE SOMME DE DEUX FONCTIONS Si lim u()= α l l l + + et lim v()= α l + + alors par somme lim α l+l + + À ÉTUDIER EXEMPLE Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f()= +. Étudions les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de définition. lim = et lim 0 0 >0 >0 f admet pour asmtote l ae des ordonnées. lim + =+ et =+ donc, par somme, lim f() = +. La courbe représentative de la fonction 0 >0 lim + = 0 donc, par somme, lim f()=+ + LIMITE D UN PRODUIT DE DEUX FONCTIONS Si lim u()= α l l ou et lim v()= α l + ou + ou + ou alors par produit lim α l l ± * À ÉTUDIER ± * (*) Lorsque la limite du produit est infinie, c est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat + ou. EXEMPLE ( ) Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f()=. Étudions les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de définition. lim 0 >0 = 0 et lim 0 >0 Or pour tout réel non nul, lim + =+ et =+. Nous sommes en présence de la forme indéterminée «0». lim + ( ) = et lim 0 >0 = donc, par produit, lim f()= 0 >0 = 0. Donc, lim f()=0 0 >0 3 LIMITE D UN QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS Si lim α u()= l l 0 l et lim α v()= l 0 0 alors par quotient u ) lim ()= α( v + ou + ou 0 l 0 + ou + ou l l ± * 0 ± * À ÉTUDIER À ÉTUDIER (*) Lorsque la limite du quotient est infinie, c est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat + ou. A. YALLOUZ (MATH@ES) 35

36 Année 0-0 LIMITES T le ES EXEMPLE Soit f la fonction définie sur ];+ [ par f()=. Étudions les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de définition. lim =0 et lim =0. Nous sommes en présence de la forme indéterminée «0 0». > > Or pour tout réel, Comme lim + = > = (+)( ) = +, nous pouvons conclure que, lim f()= > lim =+ et lim + + =+. Nous sommes en présence de la forme indéterminée. Comme pour pour tout réel, = et que lim = 0, il s ensuit que lim f()= > La courbe représentative de la fonction f admet pour asmtote l ae des abscisses en+. 4 FORMES INDÉTERMINÉES Il quatre formes indéterminées du tpe ; «0» ; «0 0» ;. Lorsqu on rencontre une forme indéterminée, on essaie de trouver la limite demandée en étudiant la situation. On dispose cependant de deu règles, permettant de déterminer la limite d une fonction polnôme et la limite d une fonction rationnelle en l infini. RÈGLE En+ ou en, la limite d une fonction polnôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré. EXEMPLE lim = lim + 33 = RÈGLE En + ou en, la limite d une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur. EXEMPLE lim = lim = 3 = 0 5 LIMITE DE LA COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONS Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R et v une fonction définie sur un intervalle J de R telles que pour tout réel appartenant à I, u() appartient à J. a, b et c désignent des réels ou + ou. f est la fonction v u, composée de u suivie de v. EXEMPLE ( ) Déterminer lim. > lim > = et lim Si lim a u()=b et lim X b v(x)=c, alors lim a f()=c X =+, donc lim X > ( ) =+ A. YALLOUZ (MATH@ES) 36

37 Année 0-0 LIMITES T le ES IV LIMITE PAR COMPARAISON Les théorèmes suivants sont admis THÉORÈME α désigne un réel ou + ou. f et g sont deu fonctions définies sur un intervalle I de R. Si pour tout appartenant à I, f() g() et lim g()=+, alors lim f()=+. α α EXEMPLE Déterminer lim Pour tout réel positif, d où pour tout réel positif, } {{ } f() + } {{ } g() Or lim +=+ donc d après le théorème sur les limites par comparaison, lim 9 + +=+. THÉORÈME α désigne un réel ou + ou. f et g sont deu fonctions définies sur un intervalle I de R. Si pour tout appartenant à I, f() g() et lim g()=, alors lim f()=. α α EXEMPLE Déterminer lim +. Pour tout réel, d où pour tout réel, + } {{ } f() + } {{ } g() Or lim += donc d après le théorème sur les limites par comparaison, lim += 3 THÉORÈME 3 (Théorème des gendarmes) α désigne un réel ou + ou. Soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle I de R et l un réel. Si pour tout appartenant à I, f() h() g() et lim f() = lim g() = l, α α alors lim h()=l. α l O m EXEMPLE Soit f une fonction définie sur]0;+ [ et telle que pour tout réel >0, 3+ f() Étudions les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de définition. Pour tout réel > 0, f() 3+ or lim 3+ = +, donc d après le théorème sur les limites par comparaison, lim f()=+. 0 >0 Pour tout réel >0, 3+ f() or lim 3+ + = 3 et donc d après le théorème sur les limites par encadrement, lim f()= >0 lim = lim + = 3, A. YALLOUZ (MATH@ES) 37

38 Année 0-0 LIMITES T le ES EXERCICE Déterminer les limites suivantes : lim ( ) + lim + 3 lim EXERCICE ( ) ( lim + lim + lim + ) 4 ( lim 3 + lim 4 > ) lim > ( 3+ 3 lim lim 4 > ) lim 0 >0 La courbe C f ci-dessous, représente une fonction f définie sur R. Les droites D et sont les asmptotes à la courbe respectivement en et +. 3 D Déterminer lim f() et lim f(). +. Soit g la fonction définie sur R par g()= f()+ 3. Déterminer lim g() et 4 lim g(). + - EXERCICE 3. Soit P()= + 6 et Q()= 3 deu polnômes. a) Résoudre P()=0 et Q()=0. b) En déduire une factorisation de P() et Q().. Soit f la fonction définie sur ];+ [ par f()= P() Q(). a) Déterminer lim f() et lim f(). + > b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des asmptotes? EXERCICE 4 La courbe C u ci-dessous représente une fonction u définie et dérivable sur R. On note f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe coupe l ae des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point de coordonnées ( ; 0) ; la courbe admet au point B d abscisse une tangente parallèle à l ae des abscisses ; l ae des abscisses est asmptote à la courbe C u. A. YALLOUZ (MATH@ES) 38

39 Année 0-0 LIMITES T le ES 3 B A C u À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim u() et lim u(). + b) Déterminer u (0) et u (). -4. On considère la fonction f définie sur ] ;+ [ par f()= u(). a) Étudier les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de définition. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des asmptotes? b) Déterminer f (0) et f (). 3. On considère la fonction g définie sur R par g()=[u()]. a) Étudier les limites de la fonction g en et en+. La courbe représentative de la fonction g admet-elle des asmptotes? b) Déterminer g (0) et g (). EXERCICE 5 Soit f une fonction définie sur l intervalle I = 3 ] [ ;+ et telle que pour tout réel, on a f() On considère la fonction g définie sur I par g()= f(). C f Montrer que si alors, 0 g(). Que peut-on en déduire sur la limite de g en+? A. YALLOUZ (MATH@ES) 39

40 Année 0-0 LIMITES T le ES EXERCICE 6 ] [ Soit f la fonction définie sur ;+ par : f()= On appelle C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal.. Déterminer lim f(), qu en déduit-on pour la courbe C f? +. Déterminer lim + f(). a) Déterminer les réels a, b et c tels que f()=a+b+ c 4. b) En déduire que la courbe C f admet pour asmptote la droite d équation = 3. c) Étudier les positions relatives de la courbe C f et de la droite d) Résoudre l inéquation 4 0,00. e) Calculer le plus simplement possible, une valeur approchée au millième près de l image par f de Calculer la dérivée de la fonction f. 4. Étudier les variations de f. 5. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. EXERCICE 7. Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ;+ [ par f()= +. On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan. a) À l aide d un tableau, étudier le signe de f() suivant les valeurs du réel. b) Déterminer, en justifiant avec soin, lim f() et lim f(). + + c) On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (). d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 0.. Soit g la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction carrée, g est définie sur l intervalle ] ;+ [ par g()=[ f()]. On note C g sa courbe représentative dans un repère du plan. a) Déterminer lim g() et lim g(). En déduire l eistence d asmptotes à la courbe C g. + + b) On note g la dérivée de la fonction g. Calculer g (). c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C g au point d abscisse 0. EXERCICE 8 Afin de de réduire ses coûts de fabrication, un industriel décide d investir une certaine somme tous les mois dans la maintenance de l outil de production. Si est le montant en milliers d euros que l industriel investit, le pourcentage de réduction des coûts est modélisé par la fonction f définie sur[;+ [ par f()=0,3 +0, (+) 3.. Un investissement de 00 C est-il suffisant pour réduire les coûts de 5%?. On note f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (). b) Étudier les variations de la fonction f. c) En déduire que l équation f() = 0,5 admet une solution unique. 3. Selon ce modèle, est-il possible de réduire les coûts de 40%? 4. Quelle somme, arrondie à la centaine d euros près, faut-il investir pour réduire les coûts d au moins 5 %? A. YALLOUZ (MATH@ES) 40

41 Année 0-0 LIMITES T le ES EXERCICE 9 Soit f la fonction définie sur R par f()= ( ) Étudier les limites de la fonction f au bornes de son intervalle de définition. En donner une interprétation graphique.. On désigne par f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (). b) Donner le tableau des variations de la fonction f. c) En déduire le nombre de solutions de l équation f() = Résoudre dans R l équation f() = 0. EXERCICE 0 Soit f la fonction définie sur [0;+ [ par : f()= On appelle C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal. 0 C f PARTIE A. Étudier la limite de la fonction f en +.. Montrer que la droite d équation = est asmptote à la courbe C f en +. Tracer la droite 8 3. Résoudre l inéquation + 0,0. PARTIE B On note f la dérivée de la fonction f.. Calculer f ().. Étudier les variations de la fonction f. 3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. Représenter la tangente T sur le graphique. PARTIE C. Montrer que pour tout réel k positif, l équation f() = k admet une solution unique.. Sans utiliser la calculatrice, déterminer une valeur approchée au centième près du réel 0, solution de l équation f()=000. A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

42 Chapitre 4 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES Activité I Ajustement affine d une série statistique à deu variables Nuage de points Ajustement affine par la méthode des moindres carrés EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

43 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES MODÉLISATION PAR UNE FONCTION AFFINE Le tableau ci-dessous donne l évolution du nombre de milliers d emploi en France dans deu secteurs d activités «Industrie pharmaceutique» et «Activités financières et d assurance». Trimestres 008 T 008 T 008 T3 008 T4 009 T 009 T 009 T3 009 T4 Rang i du trimestre Industrie pharmaceutique 89, 89, ,5 88, 87,4 87, 86,8 Activités financières et d assurance 89,6 88,5 80,7 8 84,7 86,5 85, 86,8 On cherche à étudier de manière conjointe, l évolution de l emploi dans ces deu secteurs. On désigne par : i le nombre de milliers d emploi dans l industrie pharmaceutique, le trimestre de rang i. i le nombre de milliers d emploi du secteur «Activités financières et d assurance», le trimestre de rang i.. Dans le plan muni d un repère orthogonal, représenter le nuage de points M i de coordonnées ( i ; i ) , , , ,5. Le point moen du nuage est le point G(;) où est la moenne des i et est la moenne des i. Calculer les coordonnées du point G, le placer dans le repère précédent. PARTIE A : Ajustement affine du nuage des points par la droite de Maer Les points M i du nuage sont rangés dans l ordre croissant des abscisses : i 86,8 87, 87,4 88, 88, , 89,6 i 86,8 85, 86,5 84,7 8 80,7 89,6 88,5 N désigne le nuage correspondant au quatre premiers points et N le nuage correspondant au quatre derniers points.. Calculer les coordonnées du point moen G du nuage N et celles du point moen G du nuage N.. Donner une équation de la droite (G G ) (arrondir les coefficients à 0 près), et la tracer dans le repère précédent. 3. Vérifier que la droite (G G ) passe par le point moen G du nuage de points. A. YALLOUZ (MATH@ES) 43

44 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES PARTIE B : Un deuième ajustement affine du nuage des points. L objet de cette partie est d effectuer un ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Soit la droite d ajustement d équation = a + b. On note δ i l écart entre le point M i du nuage et le point M de même abscisse i i appartenant à la droite : δ i = i = i (a i + b) a i + b M i =a+b δ i M On cherche à déterminer une équation de la droite telle que la somme des résidus S= 8 i= [ i (a i + b)] soit minimale. O. a) Dans un premier temps, on suppose connu le coefficient directeur a de la droite, on développe chaque terme de la somme S sous la forme d un trinôme du second degré en b : i i [ i (a i + b)] =[( i a i ) b] =( i a i ) b ( i a i )+b 89, 89,6 (89,6 89,a) b (89,6 89,a)+ b 89,6 88, ,7 88,5 8 88, 84,7 87,4 86,5 87, 85, 86,8 86,8 S= 8 i= [ i (a i + b)] S= 8 i= ( i a i ) b ( )+8b b) Montrer que la somme S est minimale pour b = 8,865 88,a. En déduire que le point moen G appartient à la droite.. a) En remplaçant b par 8,865 88,a, développer chaque terme de la somme S sous la forme d un trinôme du second degré en a. i i [ i (a i + b)] = ( i 8,865) ( i 88,) ( i 8,865) a+a ( i 88,) 89, 89,6 ( 3,65) (,9365) a+0,9 a 89,6 88, ,7 88,5 8 88, 84,7 87,4 86,5 87, 85, 86,8 86,8 S= 8 i= [ i (a i + b)] S= 8 i= ( i 8,865) a ( )+7,3a b) Montrer que la somme S est minimale pour a 3,06 (valeur arrondie au centième près). c) Donner une équation de la droite δ, la tracer dans le repère précédent. A. YALLOUZ (MATH@ES) 44 i

45 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES I AJUSTEMENT AFFINE D UNE SÉRIE STATISTIQUE À DEUX VARIABLES NUAGE DE POINTS On s intéresse à deu variables quantitatives discrètes sur une population. À chaque individu de cette population, on associe un couple ( i ; i ), où i est la valeur de la première variable et i la valeur de la seconde. L ensemble des couples ( i ; i ) forme une série statistique à deu variables. Soit ( i ; i ) une série statistique à deu variables. Dans le plan muni d un repère, l ensemble des points M i ( i ; i ) est appelé le nuage de points de la série statistique. Le point moen du nuage est le point G(;) où est la moenne des i et est la moenne des i. EXEMPLE Le graphique ci-dessous, présente le nombre de milliers d emploi dans le secteur «hébergement et restauration» (série i ) et dans la «construction» (série i ) en France entre le er trimestre 009 et le e trimestre 00. Le point G(868,7;350,4) est le point moen du nuage G AJUSTEMENT AFFINE PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS Lorsque les points M i ( i ; i ) sont approimativement alignés, on peut penser qu une relation du tpe =a+b «résume» correctement une corrélation entre les deu variables et δ G δ i =a+b δ n Or pour chaque valeur i observée, la valeur calculée correspondante =a i +b diffère de la valeur observée i d un écart résiduel δ i qui peut être positif ou négatif. On a donc pour chaque couple d observation i, la relation suivante : δ i = i (a i + b) A. YALLOUZ (MATH@ES) 45

46 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES Un ajustement affine par la méthode des moindres carrés, consiste à déterminer la fonction affine f : a+b telle que la somme S= ÉTAPE n i= On considère la somme S= En effet, donc [ i (a i + b)] soit minimale. n i= [ i (a i + b)] comme un polnôme du second degré en b. [ i (a i + b)] =[( i a i ) b] =( i a i ) b( i a i )+b n i= [ i (a i + b)] = = = n i= n i= n i= [( i a i ) b( i a i )+ b ] ( i a i ) n i= n ( i a i ) b b( i a i )+ i= n b i= ( i a i )+nb S est un polnôme du second degré en b de la forme S=A b +B b+c avec A=n, B= et C= n i= n Or i = et n i= n REMARQUE ( i a i ). Comme n>0, la somme S est minimale pour b= B A. Soit n i= b= = n n i= n i= n ( i a i ) n ( i a i ) = i n i= n n n i= = i a n i= n a i n i i= i =. Donc la somme S est minimale pour b= a b= a =a+b. D où la propriété suivante : PROPRIÉTÉ La droite d ajustement affine par la méthode des moindres carrés passe par le point moen du nuage. ÉTAPE Pour déterminer a remplaçons b par son epression, ce qui donne S= n i= [ i (a i + a)] = n i= [( i ) a( i )] Développons la somme S de manière à obtenir un polnôme du second degré en a : n [( i ) a( i )] n = [( i ) a( i )( i )+a ( i ) ] i= = = i= n i= n i= ( i ) n i= n ( i ) a a( i )( i )+ i= n i= a ( i ) ( i )( i )+a n ( i ) i= n i= ( i a i ) A. YALLOUZ (MATH@ES) 46

47 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES S est un polnôme du second degré en a de la forme S = A a + B a+c avec A = B= n i= ( i )( i ) et C = n i= et V() la variance de la deuième série statistique. Comme V()>0, la somme S est minimale pour a= B A. Soit n i= ( i ) = nv(), ( i ) = nv() où V() est la variance de la première série statistique a= n i= ( i )( i ) = nv() n n i= ( i )( i ) V() DÉFINITIONS Le nombre n n i= ( i )( i ) est appelé covariance de et. On note cov(;)= n n i= ( i )( i ) Avec cette notation, la somme S est minimale pour a= cov(;) V() La droite d ajustement affine de en par la méthode des moindres carrés d une série statistique à deu variables ( i ; i ) est la droite d équation =a+b avec a= cov(;) et b= a. V() n Où V()= i ) n i=( et cov(;)= ( i )( i ). n i= Cette droite passe par le point moen G(;) du nuage de points. n REMARQUES La droite d ajustement affine de en par la méthode des moindres carrés est aussi appelée droite de régression de en par la méthode des moindres carrés. Le lien mis en évidence entre deu variables quantitatives et par la droite d ajustement affine ne signifie pas nécessairement que l une soit la cause de l autre, mais simplement qu il eiste une corrélation dans l évolution des deu variables. La covariance est un indicateur du sens de la variation simultanée des séries quantitatives et. Si les données et les données croissent globalement en même temps, alors cov(;) 0, tandis que si la tendance des données est décroissante lorsque les données croissent alors cov(;) covariance positive covariance négative A. YALLOUZ (MATH@ES) 47

48 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES EXERCICE Le tableau suivant, donne l évolution du Produit intérieur brut (PIB) et du transport des voageurs sur le réseau TGV en France pour les années 000 à 008 : Années PIB i (milliards d euros) 44,4 497, 548,6 594,8 660, 76, 806,4 894,6 950 Transport TGV i (milliards de voageurs-km) 34,5 37, 39,6 39,3 4,3 4,5 43,8 46,5 50,3 Source INSEE.. Représenter le nuage de points M i ( i ; i ) associé à la série statistique dans le repère ci-dessous. Transport-TGV (milliards de voageurs-km) PIB (milliards d euros). On envisage un ajustement affine du nuage de points. a) À l aide de la calculatrice, donner l équation de la droite d ajustement de en par la méthode des moindres carrés, sous la forme =a+b. (Les coefficients seront arrondis à 0 4 près ) b) Tracer cette droite dans le repère précédent. 3. On admet que cet ajustement affine traduit une corrélation entre le PIB et le trafic sur le réseau TGV. Si en 009 le PIB baisse de %, donner une estimation arrondie à % près, de la variation en pourcentage du transport des voageurs sur le réseau TGV en France en 009. EXERCICE (D après sujet bac France Métropolitaine Septembre 009) Pour établir le pri unitaire le plus adapté d un produit, une société effectue une étude statistique. Le tableau suivant indique le nombre d acheteurs, eprimé en milliers, correspondant à un pri unitaire donné, eprimé en euros : Pri en euros : i Nombre d acheteurs en milliers : i A. YALLOUZ (MATH@ES) 48

49 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES. Représenter le nuage de points M i ( i ; i ) dans le plan(p) muni d un repère orthonormal d unités cm pour un euro sur l ae des abscisses et cm pour 0 milliers d acheteurs sur l ae des ordonnées.. a) Déterminer l équation =a+b de la droite (D) d ajustement affine de en, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients a et b seront arrondis à l unité. b) Tracer la droite (D) dans le plan (P). c) En utilisant l ajustement affine précédent, estimer graphiquement, à l euro près, le pri unitaire maimum que la société peut fier si elle veut conserver des acheteurs. 3. a) En utilisant l ajustement affine précédent, justifier que la recette R(), eprimée en milliers d euros, en fonction du pri unitaire d un objet, eprimé en euros, vérifie : R()= b) Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur l intervalle [0 ; + [ par f()= c) Quel conseil peut-on donner à la société? Argumenter la réponse. EXERCICE 3 Le tableau suivant donne le montant (en millions d euros) de la dépense des ménages entre les années 000 et 009 dans le secteur des «Services médicau et hospitaliers» : Année Rang de l année i Montant i PARTIE A : Un ajustement affine (Source INSEE). Tracer le nuage de points M i ( i ; i ) associé à cette série statistique dans le plan muni d un repère orthogonal A. YALLOUZ (MATH@ES) 49

50 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES. a) À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d ajustement D de en obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à l unité). b) Tracer la droite D sur le graphique. 3. En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant (en millions d euros) de la dépense des ménages dans le secteur des «Services médicau et hospitaliers» que l on peut prévoir pour 00. PARTIE B : Une autre estimation. Dans cette question, les pourcentages seront arrondis à 0,0% près a) Calculer le pourcentage d évolution du montant de la dépense des ménages dans le secteur des «Services médicau et hospitaliers» entre 007 et 009. b) En déduire le pourcentage annuel moen d augmentation du montant de la dépense des ménages dans le secteur des «Services médicau et hospitaliers» entre 007 et 009. c) On suppose que le pourcentage annuel moen d augmentation du montant de la dépense des ménages dans le secteur des «Services médicau et hospitaliers» reste constant les années suivantes. Calculer le montant (en millions d euros) de la dépense des ménages dans le secteur des «Services médicau et hospitaliers» que l on peut prévoir pour 00 (le résultat sera arrondi à l unité). En 00, le montant de la dépense des ménages dans le secteur des «Services médicau et hospitaliers» était de 3 77 millions d euros. Des deu estimations précédentes, quelle est celle qui est la plus proche de la réalité? EXERCICE 4 Le tableau suivant, donne le montant de la dépense des ménages dans deu secteurs entre les années 000 et 009 : Année Rang i i 0, 3 5,5 8,5,3 6,4 30,9 34,3 36,6 i 35,7 35,8 37, 38,6 39, 39,6 40,4 4, 40,7 39,5 Où : i est le montant en milliards d euros, de la dépense dans le secteur «Industries des équipements électriques et électroniques» l année de rang i. i est le montant en milliards d euros, de la dépense dans le secteur «Habillement, cuir» l année de rang i. Le nuage de points M i ( i ; i ) est représenté ci-dessous, dans le plan muni d un repère orthogonal A. YALLOUZ (MATH@ES) 50

51 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES. À partir des données du graphique, un ajustement affine parait-il approprié? Justifier votre réponse.. On envisage un ajustement du nuage de points à l aide d une parabole. On pose z i =( i 30) a) Compléter le tableau suivant : Année Rang i z i 400 i 35,7 35,8 37, 38,6 39, 39,6 40,4 4, 40,7 39,5 b) Donner une équation de la droite d ajustement affine de en z, obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 0 3 près) c) En déduire une relation de en fonction de sous la forme =a + b+c. d) Tracer la courbe C f d équation =a + b+c dans le repère précédent. EXERCICE 5 (D après sujet bac Pondichér 008) Un centre d appel comptait en 00 soiante-si emploés. Le tableau ci-dessous donne l évolution du nombre d emploés en fonction du rang de l année. Année Rang de l année i Nombre d emploés i On cherche à étudier l évolution du nombre d emploés en fonction du rang de l année. Une étude graphique montre qu un ajustement affine ne convient pas. On pose alors z= 3.. Recopier et compléter le tableau suivant (on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième). Rang de l année i z i 5,. Représenter le nuage de points M i ( i ; z i ) associé à cette série statistique, dans le plan muni d un repère orthonormal d unité graphique cm. Un ajustement affine vous paraît-il approprié? Justifier la réponse. 3. Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite d ajustement affine de z en par la méthode des moindres carrés (on donnera les coefficients sous forme décimale, arrondis au centième). Tracer cette droite sur le graphique précédent. 4. En utilisant cet ajustement, à partir de quelle année peut-on prévoir que l effectif de ce centre d appel dépassera 900 emploés? EXERCICE 6 PARTIE A Le tableau suivant, donne le nombre de milliers d emploi en France dans le commerce et dans l ensemble des secteurs d activité (hors agriculture, emploi public des secteurs non marchands et activités etra-territoriales) au premier trimestre de chaque année. On désigne par : i le nombre de milliers d emploi dans le commerce l année de rang i. i le nombre de milliers d emploi de l ensemble des secteurs, l année de rang i. A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

52 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES Année Rang i i i Dans le plan muni d un repère orthogonal, représenter le nuage de points M i de coordonnées ( i ; i ) Calculer les coordonnées du point moen G, le placer dans le repère précédent. 3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés. Le nuage de points montre qu un ajustement affine est justifié. a) Donner une équation de la droite de régression D de en, obtenue par la méthode des moindres carrés. b) Représenter la droite D dans le repère précédent. PARTIE B On étudie dans cette partie l évolution du nombre de milliers d emploi intérimaires. i désigne le nombre de milliers d emploi dans l itérim l année de rang i et i le nombre de milliers d emploi de l ensemble des secteurs, l année de rang i. Année Rang i i i Dans le plan muni d un repère orthogonal, représenter le nuage de points M i de coordonnées ( i ; i ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

53 Année 0-0 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES Un ajustement affine est-il justifié? PARTIE C L objet de cette partie, est d étudier la contribution des deu secteurs précédents à la variabilité de l emploi total. On note E i la variation de l emploi total entre les années de rang i et i, C i la variation de l emploi dans le commerce entre les années de rang i et i et T i la variation de l emploi dans l intérim entre les années de rang i et i. Par eemple E = = 603, C = =86 et T = =47.. Recopier et compléter le tableau suivant. Année C i 86 T i 47 E i 603. Calculer les écart-tpe des séries C et T. Dans quel secteur d activité observe-t-on la plus grande fluctuation de variation de l emploi. 3. La contribution d un secteur à la variabilité de l emploi total mesure la part des variations de l emploi total qui peut être attribuée à ce secteur. La contribution d un secteur d activité à la variabilité de l emploi est d autant plus importante que son effectif représente une grande proportion de l emploi total ou qu il varie beaucoup et en même temps que les autres secteurs d activité. Un critère pour mesurer la contribution d un secteur à la variabilité de l emploi est cov(x;e) où cov(x;e) V(E) est la covariance des séries statistiques des variations de l emploi d un secteur X et de l emploi total E et V(E) la variance des variations de l emploi total. a) Calculer les contributions du commerce et de l intérim à la variabilité de l emploi. b) Interpréter les résultats. A. YALLOUZ (MATH@ES) 53

54 Chapitre 5 PRIMITIVES D UNE FONCTION Activités I Primitives Définition Ensemble des primitives d une fonction Primitive vérifiant une condition II Calculs de primitives Primitives des fonctions usuelles Primitives des formes usuelles EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 54

55 Année 0-0 PRIMITIVES D UNE FONCTION T le ES Dans ce chapitre, nous étudirons le problème suivant : Étant donné la fonction f, trouver une fonction F telle que F = f. ACTIVITÉS. Soit f et g les fonctions définies sur R par f()= + 3 et g()= +3. Vérifier que g est la dérivée de f. Trouver d autres fonctions aant g pour dérivée.. À l aide du tableau des dérivées, trouver une fonction F aant pour dérivée la fonction f donnée dans chacun des cas suivants : a) f()= b) f()= 3 c) f()=3 d) f()= + e) f()= 3 f) f()=( ) 3. La courbe ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie sur R Parmi les cinq courbes suivantes, quelles sont celles susceptibles de représenter une fonction F aant pour dérivée la fonction f? Courbe C Courbe C Courbe C Courbe C 4 Courbe C 5 A. YALLOUZ (MATH@ES) 55

56 Année 0-0 PRIMITIVES D UNE FONCTION T le ES I PRIMITIVES DÉFINITION f est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que pour tout réel de I, F ()= f(). EXEMPLE f est la fonction définie sur R par f()=5 3 Les fonctions F et G définies sur R par F()= et G()= sont des primitives de f sur R. De façon générale, toute fonction G définie sur R par G()= 3 +5+c, où c est un réel, est une primitive de f sur R. ENSEMBLE DES PRIMITIVES D UNE FONCTION Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions G définies pour tout réel de I par G()=F()+k où k est un réel. Démonstration Soit F une primitive de la fonction f sur I et G une fonction définie pour tout réel de I par G()=F()+k où k est un réel. Alors, G ()=F ()+0= f() donc G est aussi une primitive de f sur I. Soient G et F deu primitives de f sur I montrons qu il eiste un réel k tel que pour tout réel de I, G()=F()+k. On considère la fonction H définie sur I par H() = G() F() alors, H ()=G () F ()= f() f()=0 H est la fonction nulle sur I ce qui signifie que H est une fonction constante sur I. Ainsi, pour tout réel de I, H() = k où k est un réel. Soit G() F() = k donc G() = F() + k. 3 PRIMITIVE VÉRIFIANT UNE CONDITION Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I. Soit 0 un réel de l intervalle I et 0 un réel quelconque. Il eiste une unique primitive F de f sur I telle que F( 0 )= 0. Démonstration Si G est une primitive de f sur I, alors toute primitive F de f sur I est définie par F() = G() + k avec k réel. La condition F( 0 )= 0 s écrit G( 0 )+k= 0 d où k= 0 G( 0 ). Il eiste donc une seule primtive F de f sur I telle que F( 0 )= 0, définie par F()= G()+ 0 G( 0 ). interprétation graphique Si on connaît la courbe C représentative d une primitive de f sur I, alors les courbes des primitives de f sur I se déduisent de C par une translation de vecteur k j où k est un réel. Un point M( 0 ; 0 ) étant donné, il n eiste qu une seule courbe C F de la famille passant par ce point. 0 j O i M 0 C F A. YALLOUZ (MATH@ES) 56

57 Année 0-0 PRIMITIVES D UNE FONCTION T le ES II CALCULS DE PRIMITIVES Nous admettons la propriété suivante : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Les opérations sur les fonctions dérivables et la définition d une primitive conduisent au résultats suivants : Si F et G sont des primitives des fonctions f et g sur un intervalle I, alors F+ G est une primitive de f + g sur I. Si F est une primitives de la fonction f sur un intervalle I et k un réel, alors kf est une primitive de k f sur I. PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES f()=a (a est un réel) F()=a sur R f()= n (n est un entier naturel) f()= F()= n+ n+ prochain cours sur R sur ]0; + [ f()= F()= f()= n (n entier, n>) F()= (n ) n sur ] ;0[ ou sur ]0;+ [ sur ] ;0[ ou sur ]0;+ [ f()= F()= sur ]0;+ [ PRIMITIVES DES FORMES USUELLES u est une fonction dérivable sur un intervalle I. On obtient le tableau suivant à partir de la dérivation d une fonction composée. conditions fonction f une primitive F est donnée par n entier, n>0 f = u u n F = un+ n+ u ne s annule pas sur I f = u u F = u u ne s annule pas sur I f = u F = (n entier, n>) u n (n )u n u strictement positive sur I f = u u F = u EXEMPLE Déterminer la primitive F de la fonction f définie sur R par f() = Le carré au dénominateur incite à mettre en évidence la forme u u. 4+ ( telle que F( )=0. + +) f()= + u ( soit f = + +) u avec pour tout réel, u()= + + et u ()=+. Une primitive de f sur R est F = + c où c est un réel à déterminer. Soit pour tout réel, u F()= c Or F( )=0 +c=0 c=. Ainsi, la primitive F de la fonction f sur R est la fonction définie par : F()= A. YALLOUZ (MATH@ES) 57

58 Année 0-0 PRIMITIVES D UNE FONCTION T le ES EXERCICE. Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive F de la fonction f définie sur R a) f()=3 + b) f()= 3 4+ c) f()= 3 +. Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive F de la fonction f définie sur ]0;+ [ a) f()=3+ 3 b) f()= 3 + c) f()= 3. Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive F de la fonction f ] [ a) f est définie sur ;+ 3 par f()= ( ) 3 b) f est définie sur R par f()=(+)( + 3) 3 c) f est définie sur ];+ [ par f()= ( ) EXERCICE Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée. (. f est définie sur R par f()= 5 et F ) =.. f est définie sur R par f()= 3+ et F()=0. 3. f est définie sur ]0;+ [ par f()= 3 + et F()= 4. ] [ ( ) 4. f est définie sur ;+ 4 3 par f()= ( ) et F =. 5. f est définie sur ]0;+ [ par f()= 3 et F()=. EXERCICE 3 Soit F et G les fonctions définies sur ] ;+ [ par : F()= et G()= + + Montrer que F et G sont deu primitives sur ] ; + [ d une même fonction f que l on précisera. EXERCICE 4 ] [ Soit f la fonction définie sur ;+ par f()= 4 ( + ) ] [. Montrer que la fonction G définie sur ;+ par G()= est une primitive de la fonction f. + ] [. a) Déterminer la primitive F de f sur ;+ telle que F()=0 b) Étudier les limites de F au bornes de son intervalle de définition. Interpréter graphiquement ces résultats. c) Étudier les variations de la fonction F. d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d abscisse. EXERCICE 5 On a tracé ci-dessous, dans le plan muni d un repère orthogonal, les courbes C f et C g représentatives de deu fonctions f et g définies et dérivables sur R. La droite D est tangente à la courbe C f au point A( ;0) et passe par le point de coordonnées ( 3;). A. YALLOUZ (MATH@ES) 58

59 Année 0-0 PRIMITIVES D UNE FONCTION T le ES D C f F A B 3 4 C g E C. Par lecture graphique : a) Déterminer g ( ) et f ( ). b) Une des deu fonctions est la dérivée de l autre, déterminez laquelle en justifiant votre choi. 8. g est la fonction définie sur R par g()= ( + 3). a) Déterminer une primitive de la fonction g. b) En déduire que f est la fonction définie sur R par f()= Calculer la limite de f en et en+. Interpréter graphiquement ces résultats. 4. Étudier les variations de la fonction f. 5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point B. La tracer sur le graphique précédent. EXERCICE 6 La courbe C F suivante, est la courbe représentative d une primitive F sur R d une fonction f C F. Une des trois courbes ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f. Déterminer laquelle Courbe C Courbe C Courbe C 3. La fonction G définie sur R par G()= est une primitive de la fonction f. + a) Donner l epression de F(). b) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C F au point A d abscisse. La tracer sur le graphique précédent. A. YALLOUZ (MATH@ES) 59

60 Année 0-0 PRIMITIVES D UNE FONCTION T le ES EXERCICE 7 Soit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle ]0;+ [. On sait que f() = 4 et que le signe de la fonction f est donné par le tableau suivant : signe de f() 0 + PARTIE A. Soit F la primitive de la fonction fonction f sur l intervalle ]0;+ [ telle que F(4)=. On note C la courbe représentative de la fonction F. a) Donner le tableau de variations de la fonction F. b) On suppose que la courbe C passe par le point A(;3). Donner une équation de la tangente à la courbe C au point A.. Tracer la courbe représentative d une fonction qui satisfait les conditions obtenues à la question précédente, dans un repère orthonormé du plan. (Unités graphiques cm sur chaque ae) Placer le point A ainsi que le point d abscisse 4 et tracer les tangentes à la courbe en ces points. PARTIE B f est la fonction définie sur l intervalle ]0;+ [ par f()= 6 3. a) Calculer la primitive F de la fonction f sur l intervalle ]0;+ [ telle que F(4)=. b) Vérifier que la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d abscisse a pour équation = 4+.. Déterminer lim 0 F(). Interpréter graphiquement le résultat. 3. a) Déterminer lim + F(). b) Montrer que la courbe représentative de la fonction F admet pour asmptote la droite d équation = 7. A. YALLOUZ (MATH@ES) 60

61 Chapitre 6 LOGARITHME NÉPÉRIEN Activité I Fonction logarithme népérien Définition Conséquences II Propriétés algébriques Propriété fondamentale Autres règles de calcul III Étude de la fonction logarithme népérien Variation Limites Le nombre e Courbe représentative Limites importantes IV Étude d une fonction ln(u) Définition Limites Variations Dérivée EXERCICES Propriétés Étude de fonctions Logarithme d une fonction A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

62 Lcée Camille SEE Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES TRANSFORMER LES PRODUITS EN SOMME Le but de cette activité est de déterminer les fonctions définies et dérivables sur l intervalle ]0; + [ telles que, pour tous réels a et b strictements positifs : f(ab)= f(a)+ f(b) PARTIE A La courbe C f tracée ci-dessous, est la courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ]0; + [ telle que, pour tous réels a et b strictements positifs f(ab) = f(a) + f(b). 4 C f On sait que f()= et f(8)=3. Déterminer les valeurs eactes des images de 6 ; 3 ; 0,5 ; 0,5.. Déterminer les antécédents par f de et de 0,5. 3. Déterminer f ( 8 ) ( ), f PARTIE B. Supposons qu il eiste une fonction f définie et dérivable sur ]0; + [ telle que, pour tous réels a et b strictements positifs : f(ab)= f(a)+ f(b) a) Justifier que f n est pas définie en 0. b) Quelle égalité obtient-on lorsque a = b =? En déduire la valeur de f(). c) Soit un réel strictement positif. Montrer que pour tout réel >0, f ()= f (). En posant k = f (), déduire que f est la primive qui s annule pour = de la fonction g définie sur ]0;+ [ par g()= k.. Réciproquement, soit g la fonction définie sur ]0;+ [ par g()= k avec k un réel fié. a) Justifier que la fonction g admet des primitives sur ]0;+ [. b) Soit f la primive qui s annule pour = de la fonction g sur ]0;+ [. Montrer que les fonctions f() et f(a) ont des dérivées égales. En déduire alors, que pour tout réel a>0, f(a)= f(a)+ f(). A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

63 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES I FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN La fonction f définie sur l intervalle ]0;+ [ par f() = primitives sur cet intervalle est dérivable donc continue. Elle admet donc des DÉFINITION La fonction logarithme népérien est la primitive sur ]0;+ [ de la fonction Pour tout réel strictement positif ln est le logarithme népérien de. qui s annule pour =. CONSÉQUENCES. La fonction ln est définie sur l intervalle ]0;+ [. ln=0 3. La fonction ln est dérivable sur l intervalle ]0;+ [ et pour tout réel >0, ln ()= II PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE Pour tous réels a et b strictement positifs : Démonstration ln(a b)=ln(a)+ln(b) a étant un réel strictement positif, on considère la fonction f définie sur ]0; + [ par f() = ln(a) ln f est dérivable sur ]0;+ [ comme somme et composée de fonctions dérivables. Pour tout réel >0, f ()=a a = = 0 La dérivée de la fonction f est toujours nulle, donc f est une fonction constante sur ]0; + [. En particulier f()=lna ln=lna, donc pour tout réel >0, f()=lna. Ainsi, pour tout réel >0, ln(a) ln=lna. Soit finalement pour tout réel >0, ln(a)=lna+ln AUTRES RÈGLES DE CALCUL Pour tous réels a et b strictement positifs et n entier relatif : ( ). ln = lna a ( a. ln = lna lnb b) 3. ln(a n )=nlna 4. ln( a)= lna Démonstrations. Soit a>0 alors a > 0. Or a a = donc ( ln a ) = ln lna+ln a a = 0 ln a = lna A. YALLOUZ (MATH@ES) 63

64 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES. Soit a>0 et b>0 ( ( a ln = ln a b) ) = lna+ln b b = lna lnb 3. Si n = 0, l égalité est évidente : ln ( a 0) = ln=0=0 lna Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f()=ln( n ) nln avec n entier relatif non nul. f est dérivable sur ]0; + [ comme somme et composée de fonctions dérivables. Pour tout réel > 0, f ()= n n n n = n n = 0 La dérivée de la fonction f est toujours nulle, donc f est une fonction constante sur ]0; + [. En particulier f()= ln n nln=0, donc pour tout réel >0, f()=0. Soit ln( n ) nln=0. Ainsi, pour tout réel >0 et pour tout entier n, ln( n )=nln. 4. Soit a>0 alors ( a) = a donc lna=ln ( a ) = ln a III ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN VARIATION La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur ]0; + [. Démonstration La fonction ln est dérivable sur ]0;+ [ donc continue sur cet intervalle. La dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur ]0;+ [ par ln ()=. Or si >0 alors, > 0. La dérivée de la fonction ln est strictement positive, donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+ [. PROPRIÉTÉS On déduit de ce théorème les propriétés suivantes : Pour tous réels a et b strictement positifs : lna=lnb si, et seulement si, a=b lna>lnb si, et seulement si, a>b Puisque ln=0 : Pour tout réel strictement positif : ln=0 si, et seulement si, = ln>0 si, et seulement si, > ln<0 si, et seulement si, 0<< EXEMPLE Résoudre dans R l équation ln(5 )=0 L équation est définie pour 5 > 0. Soit pour ] Pour tout réel de l intervalle 5; [ 5, ] 5; [ 5 ln(5 )=0 5 = = 4 L équation = 4 admet deu solutions et. Or ces deu solutions sont dans l intervalle L ensemble des solutions de l équation ln(5 )=0 est S={ ;} ] 5; [ 5. A. YALLOUZ (MATH@ES) 64

65 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES LIMITES. Étude de la limite en+ Soit A un réel strictement positif. Comme ln>0, nous pouvons choisir un entier n tel que n> A ln. Soit nln >A ln n > A Puisque la fonction ln est strictement croissante, pour tout réel de l intervalle [ n ;+ [ : ln>ln n > A Ainsi, ln peut être rendu aussi grand que l on veut à condition de choisir suffisamment grand. D où La fonction ln a pour limite + en + :. Étude de la limite en 0 Pour tout réel >0, ln= ln Or lim =+ et 0 + lim ( ). lim ln=+. + lnx =+ donc par composition des limites lim X ln La fonction ln a pour limite en 0 : lim 0 ln=. L ae des ordonnées est asmptote à la courbe d équation = ln ( ) =. D où 3 LE NOMBRE e La fonction ln est continue et strictement croissante sur ]0; + [ et pour tout réel >, ln ]0; + [. D après le théorème de la valeur intermédiaire, l équation ln = admet une solution unique notée e. DÉFINITION Le nombre e est le nombre dont le logarithme népérien est égal à : lne=. APPLICATION Pour tout entier relatif n, lne n = nln e=n Pour tout entier relatif n, e n est le réel solution de l équation ln=n. 4 COURBE REPRÉSENTATIVE Tangentes remarquables : =ln La tangente à la courbe représentative de la fonction ln au point (; 0) a pour équation : = La tangente à la courbe représentative de la fonction ln au point (e; ) a pour équation : O - e 3 4 = e ( e)+ = e - A. YALLOUZ (MATH@ES) 65

66 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES 5 LIMITES IMPORTANTES ln lim = 0 et lim + ln=0. 0 Démonstration. Un résultat préliminaire : Montrons que pour tout réel, ln Soit f la fonction définie sur [;+ [ par f()=ln. f est dérivable et pour tout réel, f ()= f ()= Or, pour tout réel, 0, donc f est décroissante. D autre part, f()=, donc pour tout réel, f() f() 0. Ainsi, pour tout réel, ln. Remarque : lorsque 0<<, ln<0 donc ln< Pour tout réel >0, ln. Graphiquement, la courbe représentative de la fonction ln est au dessous de la droite d équation =. Limite en + de ln Nous avons établi que pour tout réel X, lnx X. Pour tout réel, et ln 0. Donc pour tout réel, Or 0 ln 0 ln 0 ln 0 ln ln lim = 0 donc d après le théorème des gendarmes, lim + + = 0 Conséquence : Pour tout réel >0 et pour tout entier n, ln n = ln n ln Or, lim = 0 et lim = 0 donc par produit des limites + + n lim 3. Limite en 0 de ln ln + n = 0 Le théorème sur la limite d un produit de permet pas de calculer lim 0 ln. Pour tout réel >0, nous avons : Or lim =+ et 0 + lim lnx X + X ln= ( ln ) = ln = 0 donc par composition des limites lim 0 ln=0 A. YALLOUZ (MATH@ES) 66

67 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES IV ÉTUDE D UNE FONCTION ln(u) DÉFINITION Soit u une fonction définie et strictement positive sur un intervalle I. La composée de la fonction u suivie de la fonction ln est notée ln(u). EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle ];+ [ par f()=ln ( ). f est la composée de la fonction u définie sur l intervalle ];+ [ par u()= suivie de la fonction ln. LIMITES Pour étudier une limite d une fonction ln(u), on utilise le théorème sur la limite d une fonction composée. EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle ];+ [ par f()=ln ( ).. lim + =0 et lim X 0 lnx = donc par composition des limites lim ln ( ) =. lim + =+ et lim lnx =+ donc par composition des limites lim X + ln( ) =+ + 3 VARIATIONS Soit u une fonction définie et strictement positive sur un intervalle I. Les fonctions u et ln(u) ont les mêmes variations sur I. Démonstration Pour tout réel I, u()>0. Or la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+ [. D après le théorème sur les variations des fonctions composées, u et ln(u) ont les mêmes variations sur I. 4 DÉRIVÉE Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln(u) est dérivable sur I et (lnu) = u u. Démonstration La fonction u est dérivable sur I et pour tout réel I, u() > 0. Or la fonction ln est dérivable sur ]0;+ [. Donc la fonction composée f = ln u est dérivable sur I. D après la formule de dérivation d une fonction composée f = ln (u) u soit f = u u = u u EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle ];+ [ par f()=ln ( ). La fonction u définie sur];+ [ par u()= est dérivable et strictement positive sur];+ [ ; u ()=. f est dérivable sur ];+ [ et pour tout réel >, f ()= PRIMITIVES Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Une primitive de u sur I est lnu. u A. YALLOUZ (MATH@ES) 67

68 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES EXERCICE Simplifier l écriture des nombres suivants : ( ) A=ln(6) 7ln()+4ln(3)+3ln 8 B=3ln(5) ln(5)+6ln 3 ln9 4ln 3 ln 3 ln3 C = 8ln( 3)+5ln(9) ln ( 9 3 ) D= E = ln( 3 ) + ln ( 3+ ) F = ln36 ln3+ln ( 3+ ) ( 3 ) G=ln + ln H = ln 8 3ln ( ) 4 I = ln5 ln0 ( ) J = ln() ln(9) ( ) ln ln + ln(64) 7 EXERCICE Démontrer les propriétés suivantes :. Pour tout réel >, ln ( + ) = ln(+)+ln( ) (. Pour tout réel strictement positif, ln(+)=ln+ln + ) ( ) 5 3. Pour tout réel appartenant à l intervalle ] ;[, ln + ln += ln( 4 ) EXERCICE 3 Les questions suivantes sont indépendantes.. Soit a un réel tel que 0<a<. Comparer lna et lna. ( ) ( ) a+ b+. Soit a et b deu réels strictement positifs, tels que a<b. Comparer ln et ln. a b ( ) a+b 3. Soit a et b deu réels strictement positifs, montrer que ln ln ab. EXERCICE 4 Résoudre les équations suivantes après avoir précisé l ensemble des valeurs du réel pour lesquelles l équation est définie.. ln( )=ln(+)+ln3. ln ( ) = ln( ) 3. ln( )+ln(+3)=ln(3+) 4. ln =ln(4 ) ln EXERCICE 5 Résoudre les inéquations suivantes :. ln( ) ln(+) (. ln(3+) ln + ) 4 ( 3. ln + ) ln A. YALLOUZ (MATH@ES) 68

69 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES EXERCICE 6 Simplifier l écriture des nombres suivants : ( ) A=ln ( e 3) + ( e ) ; B= lne ( ) ln(e ) ln ; C=ln ( ) 4e ) ln e + ln( ; D= 3 e e ln3 EXERCICE 7 Dans chacun des cas suivants, déterminer le plus petit entier ( n solution de l inéquation : a),05 n,5 ; b) 0,9 n 0,75 ; c) + 3 ) n ; d) 0, ( EXERCICE 8 ln9 e ) n. Actuellement, le tau du livret A d épargne est égal à,5%. En supposant que ce tau reste inchangé sur le long terme, au bout de combien d années, un capital placé sur le livret A aura-t-il plus que doublé?. Un capital est placé à intérêts composés au tau annuel de 4%. Au bout de combien d années, ce capital aura-t-il augmenté d au moins 80%? 3. Le gouvernement d un pas envisage de baisser l impôt de % par an. Au bout de combien d années, l impôt aura-t-il baissé de 0%? 4. D une année sur l autre, un produit perd 5% de sa valeur. Au bout de combien d années ce produit aura-t-il a perdu plus de 40% de sa valeur initiale? 5. La population mondiale est passée à 6,9 milliards en 00. Avec un tau de croissance annuel de,4%, en quelle année la population mondiale dépassera-t-elle 9 milliards? EXERCICE 9. Résoudre les équations suivantes : a) ln + = ; b) ln + = ; c) (ln) + 3ln=. Résoudre les inéquations suivantes : a) ln + ; b) ln(+) ln( ) ; c) (ln) ln 6 EXERCICE 0 Dans chacun des cas suivants, calculer ( la) dérivée f de la fonction f définie sur ]0;+ [ : a) f()=ln ; b) f()=ln ; c) f()= ln ; d) f()=ln ; e) f()=(ln) + ln ( ) EXERCICE Dans chacun des cas suivants, étudier les limites au bornes de son ensemble de définition de la fonction f définie sur ]0; + [ : a) f()=3+ ln ; b) f()= +ln EXERCICE ; c) f()= ln Eiste-t-il un entier M tel que pour tout réel M, ln ( )? (Suggestion : Calculer EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f()= + ln ; d) f()= ln lim ln( ) ) + A. YALLOUZ (MATH@ES) 69

70 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES. Étudier les limites de f en 0 et en +.. On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (). 3. Étudier les variations de f. EXERCICE 4 PARTIE A Soit g la fonction définie sur ]0;+ [ par g()= ln().. Calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g.. Calculer g(). En déduire le signe de g() pour appartenant à l intervalle ]0; + [. PARTIE B Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f() = ln() +. On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan.. a) Calculer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat. b) Calculer la limite de f en+. c) Montrer que la droite D d équation = + est asmptote à la courbe C f en +. d) Calculer les coordonnées du point A, intersection de la droite D et de la courbe C f.. a) Montrer que pour tout réel appartenant à l intervalle ]0;+ [, f ()= g(). b) En déduire le signe de f () puis les variations de la fonction f. 3. Tracer la droite D et la courbe C f dans le repère ci-dessous EXERCICE 5 Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f()= ln. On note C f sa courbe représentative.. a) Étudier les limites de f au bornes son intervalle de définition. b) La courbe C f admet-elle des asmptotes?. a) Montrer que f ()= ln 3 A. YALLOUZ (MATH@ES) 70

71 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES b) Étudier les variations de la fonction f. 3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. EXERCICE 6 Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f() = ln() et dont la courbe représentative C f est donnée ci-dessous Calculer les limites de la fonction f en 0 et en +.. a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f (). b) Donner le tableau des variations de f. On précisera la valeur eacte du maimum de f. 3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse et la tracer sur le graphique. 4. Donner le nombre de solutions de l équation f()=0. 5. Application économique. Une entreprise produit sur commande un article. La production quotidienne peut varier de 0 à 00 articles. Le bénéfice réalisé par cette production est modélisé par la fonction f de la façon suivante : f() est le montant, eprimé en milliers d euros, du bénéfice réalisé par l entreprise pour une production de dizaines d articles. a) Combien d articles l entreprise doit-elle produire par jour pour réaliser un bénéfice maimum? Préciser alors ce bénéfice arrondi à l euro près. b) Combien d articles l entreprise doit-elle produire par jour pour ne pas travailler à perte? EXERCICE 7 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 00) PARTIE A On considère la fonction g définie sur [ ; + [ par g()=ln.. Étudier les variations de g sur [ ; + [.. Résoudre l équation g() = 0 dans [ ; + [. 3. En déduire que g()>0 si et seulement si > e. PARTIE B On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par f()= (ln )+. A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

72 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES. Déterminer la limite de f en+.. On appelle f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle [ ; + [. a) Montrer que pour tout nombre réel de l intervalle [ ; + [, f ()=4g(). b) Étudier le signe de f () sur [ ; + [ et en déduire le tableau de variations de f sur [ ; + [. 3. a) Montrer que, dans l intervalle [ ; 3], l équation f() = 0 admet une solution unique notée α. b) Déterminer un encadrement d amplitude 0 de α. EXERCICE 8 (D après sujet bac Antilles-Guanne 007) La courbe C ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur l intervalle I =]0;+ [. On note f la fonction dérivée de f sur l intervalle I. Les aes (O) et (O) sont asmptotes à C. ( ) La courbe C passe par les points A( ; ) et B e ; 0 et admet une tangente parallèle à(o) au point A B A. En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification : a) f() et f (). b) lim f() et lim f(). 0 + c) les solutions de l inéquation f() 0 et les solutions de l inéquation f () 0.. On admet que, pour tout réel de l intervalle I, f()= a+bln a) Eprimer f () en fonction des réels a et b. b) Utiliser les résultats de la question a. pour montrer que a = et b =. c) Retrouver les résultats de la question c par le calcul. où a et b sont deu nombres réels. C EXERCICE 9 On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle]0 ; + [ telle que pour tout réel de cet intervalle f() = (+ln)( ln) et dont la courbe représentative C f est donnée ci-dessous. A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

73 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES a) Résoudre l équation f() = 0. Les valeurs eactes sont demandées. b) Montrer que le signe de f() est donné pour tout réel de l intervalle ]0 ; + [ par le tableau suivant : 0 e e + Signe de f() Calculer les limites de la fonction f en 0 et en a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f () et vérifier que f ()= ln pour tout réel de l intervalle ]0 ; + [. b) Étudier les variations de f. On précisera la valeur eacte du maimum de f et la valeur eacte de pour laquelle il est atteint. 4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse et la tracer sur le graphique. 5. a) Donner le nombre de solutions de l équation f() =. b) Résoudre dans R l équation (+X)( X)=. c) En déduire les solutions de l équation f() =. EXERCICE 0 (D après sujet bac Liban 00) PARTIE A On considère la fonction f, définie sur l intervalle ]0 ; 0] par f()= ( 3e ) ln+0.. a) Déterminer la limite de f en 0. b) Calculer la valeur eacte de f ( e ), puis une valeur approchée à 0,0 près.. Montrer que, pour tout de ]0 ; 0], f ()= ln+ 3e où f désigne la dérivée de la fonction f. 3. On admet que la fonction dérivée f est strictement décroissante sur ]0 ; 0] et que son tableau de variations est le suivant : 0 e 0 f () + 0 f (0) A. YALLOUZ (MATH@ES) 73

74 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES a) À l aide du tableau de variations, donner le signe de f () pour appartenant à l intervalle ]0 ; 0]. b) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l intervalle]0 ; 0] et dresser son tableau de variations sur cet intervalle. 4. a) Montrer que, sur l intervalle [0,6 ; 0,7], l équation f() = 0 possède une unique solution notée α. À la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 0,00 près par ecès. b) Démontrer que f() est négatif pour tout ]0 ; α[ et que f() est positif pour tout ]α ; 0]. PARTIE B Une entreprise produit et vend chaque semaine milliers de DVD, appartenant à]0 ; 0]. Le bénéfice réalisé est égal à f() milliers d euros où f est la fonction étudiée dans la partie A. En utilisant les resultats de la partie A :. déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif ;. déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maimal ainsi que la valeur, à 0 euros près, de ce bénéfice maimal. EXERCICE (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 009) PARTIE I : ÉTUDE D UNE FONCTION On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle]0 ; + [ telle que pour tout réel de cet intervalle f() = 5( ln )(ln ) et dont la représentation graphique est donnée en annee.. Résoudre l équation f() = 0. Les valeurs eactes sont demandées.. a) Déterminer le signe de l epression 5( X)(X ) suivant les valeurs du réel X. b) En déduire que le signe de f() est donné pour tout réel de l intervalle ]0 ; + [ par le tableau suivant : 0 e e + Signe de f() a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f () et montrer que f 5(3 ln ) ()= pour tout de l intervalle ]0 ; + [. b) En déduire les variations de f. On précisera la valeur eacte du maimum de f et la valeur eacte de pour laquelle il est atteint. 4. Calculer les limites de la fonction f en 0 et en Donner le nombre de solutions de l équation f() = puis donner une valeur approchée arrondie à 0,0 près de ces solutions. PARTIE II : APPLICATION Une entreprise fabrique et revend des jouets. f() représente le résultat (bénéfice ou perte) en milliers d euros qu elle réalise lorsqu elle fabrique centaines de jouets, pour compris entre et 0, f désignant la fonction étudiée dans la partie I.. Déterminer, à un jouet près, les quantités à produire pour ne pas travailler à perte. Interpréter concrètement le résultat de la question I.. Comment le lit-on sur le graphique?. Cette entreprise veut réaliser un bénéfice supérieur ou égal à 000 euros. Combien de jouets doit-elle fabriquer? Justifier la réponse. A. YALLOUZ (MATH@ES) 74

75 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES EXERCICE Soit f la fonction définie sur sur R par f() = 3 5 ln( + ) +. On note C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal C f -. À partir du graphique, quel semble être : a) le tableau des variations de la fonction f ; b) le nombre de solutions de l équation f() = 0?. Étude de la fonction f. a) Calculer la limite de f en ; on admettra que la limite de f en + est +. b) Démontrer que pour tout réel, f ()= c) Donner le tableau des variations de la fonction f. On calculera les valeurs eactes du minimum et du maimum relatifs de f, puis on indiquera dans le tableau leurs valeurs arrondies à 0 3 près. 3. Déterminer le nombre de solutions de l équation f()=0. Donner les valeurs arrondies à 0 près de ces solutions. 4. Comparer vos réponses au questions. b) et 3. Epliquer. A. YALLOUZ (MATH@ES) 75

76 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES EXERCICE 3 Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.. f est définie sur ]0;+ [ par f()= et F()=.. f est définie sur ]0;+ [ par f()= et F()=. 3. f est définie sur ]0;+ [ par f()= 3 et F()=. 4. f est définie sur ]0;+ [ par f()= ln() et F(e)= f est définie sur ]0;+ [ par f()= + et F()=. EXERCICE 4 Soit f la fonction définie sur ];+ [ par : f()= Déterminer les réels a, b et c tels que f()=a+b+ c.. Déterminer la primitive F de la fonction f telle que F() =. EXERCICE 5 On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0;+ [ dont on donne la représentation graphique C f dans le repère ci-dessous. C f 4 3 A 0 e C - - T B PARTIE A Dans cette partie, on admet que : la courbe C f coupe l ae des abscisses en deu points A et C ; la droite T est tangente en A à la courbe C f ; la courbe C f admet une tangente horizontale au point B d abscisse e.. Avec la précision permise par le graphique, donner les valeurs de f(), f (), et f (e), où f est la fonction dérivée de f sur ]0;+ [. A. YALLOUZ (MATH@ES) 76

77 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f et une autre d une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction f et celle qui est associée à la fonction F. Courbe C Courbe C Courbe C 3 O O O PARTIE B Dans cette partie, on admet que la fonction f représentée ci-dessus est définie pour tout réel appartenant à ]0;+ [ par f()=(ln()) ln(). Résoudre l équation f() = 0.. a) Étudier la limite de f en +. b) Justifier que l ae des ordonnées est asmptote à la courbe représentative de f. 3. a) Calculer la dérivée f de la fonction f. b) Étudier les variations de la fonction f. 4. Soit F la primitive de la fonction f telle que F(e) = e. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d abscisse e. EXERCICE 6 Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative C f d une fonction f dérivable sur R. Les points E(;0), A( ;e) et B( ;) sont des points de C f. La tangente à C f en A est parallèle à l ae des abscisses. La tangente à C f en B passe par C( 4;0). La droite d équation = est asmptote à C f en. La fonction f est strictement croissante sur ] ; ] et strictement décroissante sur [ ; + [. C f B A C j O i E. a) Donner les valeurs de f ( ), f ( ), f () ainsi que la limite de f en. b) Déterminer f ( ) et f ( ). Soit g la fonction définie par g()= ln[ f ()] et Γ sa représentation graphique. a) Déterminer l intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en et en. En déduire les asmptotes à la courbe Γ en précisant une équation pour chacune d elles. A. YALLOUZ (MATH@ES) 77

78 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES b) Eprimer g () à l aide de f() et f (). En déduire le tableau de variations de g. c) Déterminer g( ) et g ( ), puis une équation de la tangente à Γ au point B d abscisse. EXERCICE 7 PARTIE A Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ;+ [ par f()= +. Déterminer la limite de f en+.. On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (). 3. Étudier le signe de f sur l intervalle ] ;+ [. PARTIE B Soit g la fonction définie par g()=ln[ f()] et C g sa représentation graphique.. Déterminer l intervalle I de définition de g.. Calculer les limites de g en+ et en. En déduire les asmptotes à la courbe C g en précisant une équation pour chacune d elles. 3. Eprimer g (). En déduire le tableau de variations de g. 4. Donner une équation de la tangente à la courbe C g au point d abscisse. 5. Ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal a été tracée. Tracer la courbe C g dans le même repère. C f 0 EXERCICE 8 (D après sujet bac La Réunion 009) La ville de Sirap étudie les flu de sa population et enregistre, chaque année, centaines de nouveau résidants et z centaines de résidants quittant la ville. Le tableau ci-dessous indique les flu pour cinq années : Année Rang de l année : i Nouveau résidants (en centaines) : i 9,7 0,95 0,83,95,99 Départs de résidants (en centaines) : z i 9,6,79,63,9 3,8 PARTIE A Pour la série statistique ( i ; i ) donner une équation de la droite d ajustement D de en, obtenue par la méthode des moindre carrés (arrondir les coefficients au centième). A. YALLOUZ (MATH@ES) 78

79 Lcée Camille SEE Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES PARTIE B Dans toute la suite de l eercice, on admettra le modèle d ajustement = f() et =g() avec : f()=0,3+0 pour la série ( i ; i ) et g()= ln(3+)+0 pour la série( i ;z i ). Les nuages de points et les courbes représentatives de f et g sont donnés dans la figure ci-dessous : 6 =0, =ln(3+) Série(;) Série(;z) En utilisant ces ajustements : a) Calculer à partir de quelle année le nombre de nouveau résidants dépasserait 400. b) Calculer à partir de quelle année le nombre de départs de résidants dépasserait 400. On considère la fonction d définie sur [0;0] par d()=g() f()=ln(3+) 0,3. On note d la dérivée de d.. Calculer d () et en donner une écriture sous forme d un quotient. Étudier son signe et construire le tableau de variations de la fonction d. 3. Montrer que l équation d() = 0 admet une solution unique α dans l intervalle [3; 0]. À l aide d une calculatrice, donner un encadrement de α par deu entiers consécutifs. 4. En considérant ces ajustements et en tenant compte uniquement des départs et des arrivées de résidants : a) En quelle année la ville de Sirap enregistre la plus grande baisse de sa population? Estimer alors cette baisse. b) À partir de quelle année la ville de Sirap peut-elle prévoir une augmentation de sa population? EXERCICE 9 (D après sujet bac Centres étrangers 0) PARTIE A [ On considère la fonction f définie sur l intervalle I = 0 ; 3 [ par f()=ln( +3)+. La fonction f est dérivable sur l intervalle I et on note f sa fonction dérivée.. Étudier la limite de f en 3.. a) Montrer que la fonction f est définie sur l intervalle I par f ()= b) Déterminer le signe de f () sur l intervalle I et donner le tableau des variations de f. A. YALLOUZ (MATH@ES) 79

80 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES 3. a) Montrer que, sur l intervalle [0; ], l équation f() =,9 admet une unique solution α. b) Donner une valeur approchée à 0 près par défaut de α. PARTIE B : Application de la partie A Une entreprise, fournisseur d énergie, envisage d installer un parc d éoliennes en pleine mer. L installation du parc en mer nécessite un câblage coûteu et délicat, mais le fait d éloigner les éoliennes des turbulences dues au reliefs de la côte améliore leur rendement. On note la distance en dizaines de kilomètres séparant le parc de la côte. Pour des raisons techniques, l installation doit se faire entre deu et douze kilomètres de la côte, c est-à-dire qu on a 0,,. Un service spécialisé, au sein de l entreprise, arrive à la modélisation suivante : Si l installation se fait à dizaines de kilomètres de la côte, le bénéfice en centaines de milliers d euros réalisé, par année de fonctionnement du parc, est donné par f().. a) À combien de kilomètres de la côte le fournisseur d énergie doit-il placer le parc pour que son bénéfice soit maimal? b) Déterminer le bénéfice réalisé, en euros, en plaçant le parc à cette distance.. À partir de quelle distance de la côte, eprimée en dizaines de kilomètres, le bénéfice dépasse-t-il euros? EXERCICE 30 (D après sujet bac Amérique du Nord 007) PREMIÈRE PARTIE On considère une fonction g définie sur l intervalle ] [ ; + par g() = + a ln(+b), où a et b sont deu réels. ( ) Calculer a et b pour que la courbe représentative de g dans un plan muni d un repère O; i, j passe par l origine du repère et admette une tangente parallèle à l ae des abscisses au point d abscisse. DEUXIÈME PARTIE Soit f la fonction définie sur l intervalle ] [ ; + par f()= + ln(+). On admet que f est dérivable et on note f sa dérivée. Le tableau de variations de la fonction f est le suivant : 0 + signe de f () ln( ) variations de f 0. Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.. a) Montrer que l équation f() = 0 admet une unique solution α dans l intervalle b) Donner un encadrement de α d amplitude Déterminer le signe de f() sur l intervalle ] [ ; +. [ ] ;. EXERCICE 3 Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée. A. YALLOUZ (MATH@ES) 80

81 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES. f est définie sur R par f()= + e et F(0)=. ] [. f est définie sur 3 ;+ par f ()= 3 et F()= f est définie sur R par f ()= et F(0)=ln f est définie sur ] ;+ [ par f()= +3 et F()=ln4. + EXERCICE 3 (D après sujet bac France Métropolitaine Juin 007) Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, eprimée en kilogrammes, est limitée à 0 kilogrammes. PARTIE I : ÉTUDE DES COÛTS HEBDOMADAIRES DE PRODUCTION. Le coût marginal de production est fonction de la quantité de médicament produit. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction C m définie pour les nombres réels de l intervalle [0;0] par C m () = (C m() est eprimé en centaines d euros, en kilogrammes). Étudier les variations de la fonction C m, puis dresser le tableau de variations de la fonction C m sur l intervalle [0;0].. En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction C m. Déterminer la fonction C, primitive de la fonction C m sur l intervalle [0;0] qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre 0 et 0 kilogrammes, sachant que C(0) = 0. PARTIE II : ÉTUDE DU BÉNÉFICE HEBDOMADAIRE. On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d au moins kg et que tout ce qui est produit est vendu. Le bénéfice hebdomadaire (eprimé en centaines d euros) dépend de la masse (eprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l intervalle [; 0] par B()=9 0,5 6ln(+). La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d un repère orthogonal est la courbe(γ) donnée ci-dessous (Γ) A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

82 Année 0-0 LOGARITHME NÉPÉRIEN T le ES. a) On admet que la fonction B est strictement croissante sur l intervalle [;7] et strictement décroissante sur l intervalle [7; 0]. En déduire la quantité de médicaments que l entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d euros) soit maimal. b) Calculer ce bénéfice hebdomadaire maimal en centaines d euros (arrondir à l euro).. a) Utiliser la courbe (Γ) pour déterminer un encadrement d amplitude 0,5 de la plus petite quantité 0 de médicaments que l entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d argent. b) Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de 0 approchée au centième. EXERCICE 33 PARTIE A La courbe C f tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d une fonction f définie sur l intervalle ] ;+ [. On désigne par f la fonction dérivée de f sur ] ;+ [. C f 0. La tangente à la courbe C f au point A(;0) passe par le point B(0;,5). En déduire f() et f ().. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction F. (Justifier) COURBE COURBE COURBE PARTIE B Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur ] ;+ [ par f()= Déterminer les limites de la fonction f en et en +. Interpréter graphiquement les résultats.. Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel de l intervalle ] ;+ [, f()= + a+b Soit F la primitive de la fonction f telle que F()=ln. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d abscisse. b) Calculer F(). c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d abscisse 0. A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

83 Chapitre 7 PROBABILITÉS I Modéliser une epérience aléatoire Vocabulaire et notations Probabilité II Probabilités conditionnelles Définition Formule des probabilités totales Représentation sous forme d un arbre pondéré Évènements indépendants III Variable aléatoire Loi de probabilité d une variable aléatoire Espérance, variance et écart-tpe IV Loi binomiale Épreuve de Bernoulli Loi binomiale EXERCICES Probabilités conditionnelles Variable aléatoire Loi binomiale A. YALLOUZ (MATH@ES) 83

84 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES I MODÉLISER UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE Une epérience aléatoire est une epérience dont le résultat est soumis au hasard. VOCABULAIRE ET NOTATIONS L ensemble de tous les résultats possibles d une epérience aléatoire est l univers associé à cette epérience aléatoire. On le note Ω. Chacun des résultats de cette epérience aléatoire est une éventualité ou un évènement élémentaire. Remarques :. Le résultat d une epérience aléatoire est défini par l epérimentateur. On lance un dé cubique : Si on s intéresse au chiffre inscrit sur la face supérieure, un évènement élémentaire sera l un des des chiffres,, 3, 4, 5 ou 6. L univers associé à cette epérience est Ω={,,3,4,5,6} Par contre, si on s intéresse à la parité du chiffre inscrit sur la face supérieure, un évènement élémentaire sera «pair» ou «impair». L univers associé à cette epérience est Ω={pair,impair}. L univers Ω n est pas toujours un ensemble fini. On lance une pièce de monnaie jusqu à obtenir «face» un résultat est un mot de longueur finie ou infinie formé avec les deu lettres P pour «pile» et F pour «face». Par eemple, le résultat PPPF signifie qu on a lancé quatre fois la pièce, les trois premiers lancers ont donné «pile» et le quatrième «face». Ω est l ensemble des mots de la forme } P P {{ } F, k N et du mot de longueur infinie formé avec la lettre P. k fois Un évènement associé à une epérience aléatoire est une partie de l univers Ω consituée de l ensemble des évènements élémentaires de Ω pour lesquels on sait si une propriété est vérifiée ou non à l issue de l epérience aléatoire. EXEMPLE Dans le cas d un lancer de dé cubique, les phrases «le résultat est un multiple de 3», «le résultat est 6» et «le résultat est 7» définissent trois évènements Soit Ω l univers associé à une epérience aléatoire, A et B deu évènements L évènement certain est noté Ω. L évènement impossible est noté. L évènement «A ne s est pas réalisé» est l évènement contraire de A noté A. L évènement «au moins un des évènements A ou B s est réalisé» est l évènement «A ou B» noté A B. L évènement «les évènements A et B se sont réalisés» est l évènement «A et B» noté A B. Deu évènements qui ne peuvent pas être réalisés en même temps sont incompatibles. On a alors A B=. Les évènements A et A sont incompatibles. PROBABILITÉ LOI DE PROBABILITÉ Ω désigne un univers de n éventualités {e,e,...,e n }. Définir une loi de probabilité p sur Ω, c est associer, à chaque évènement élémentaire e i un nombre réel p(e i ) = p i de l intervalle [0;], tel que : n p(e i )= p + p + + p n = i= A. YALLOUZ (MATH@ES) 84

85 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES PROBABILITÉ D UN ÈVÈNEMENT Soit Ω un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité. La probabilité d un évènement A, est le réel noté p(a) tel que : p(a) [0;] p(a) est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent. PROPRIÉTÉS Soit Ω un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.. La probabilité de l évènement certain est égale à. p(ω) =.. Si A et B sont deu évènements incompatibles alors p(a B) = p(a) + p(b) 3. Pour tout évènement A, p(a)= p(a). 4. p( )=0. 5. Si A et B sont deu évènements p(a B)= p(a)+ p(b) p(a B) ÉQUIPROBABILITÉ Soit Ω un univers fini de n éventualités. Si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité c est à dire, si p(e )= p(e )= = p(e n )=, alors l univers est dit équiprobable. n On a alors pour tout évènement A, p(a)= nombre de cas favorables nombre de cas possibles = card(a) card(ω) Notation : Soit E un ensemble fini, le cardinal de E noté card(e) est le nombre d éléments de l ensemble E. EXEMPLES. On lance deu dés équilibrés. Quel est l évènement le plus probable A «la somme des nombres obtenus est égale à 7» ou B «la somme des nombres obtenus est égale à 8»? Si on s intéresse à la somme des deu dés, l univers est Ω = {,3,4,5,6,7,8,9,0,,} mais il n a pas équiprobabilité car chaque évènement élémentaire n a pas la même probabilité. =+ alors que 5=+4 ou 5=+3 On se place dans une situation d équiprobablité en représentant une issue à l aide d un couple (a,b) où a est le résultat du premier dé et b le résultat du second dé. L univers Ω associé à cette epérience est l ensemble des couples formés avec les éléments de {,,3,4,5,6}. Les dés étant équilibrés, il a 6 = 36 résultats équiprobables (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) 3 (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) L évènement A est l ensemble des couples dont la somme des deu termes est égale à 7. D où p(a)= 6 36 = 6 A. YALLOUZ (MATH@ES) 85

86 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES L évènement B est l ensemble des couples dont la somme des deu termes est égale à 8. D où p(b)= 5 36 L évènement le plus probable est A.. Quel est le plus petit nombre n de lancers de deu dés pour que la probabilité de l évènement B «obtenir au moins un double si en lançant n fois deu dés» soit supérieure à la probabilité de l évènement A «obtenir au moins une fois un si en lançant deu fois un dé»? a) Probabilité de l évènement A Lorsqu on lance deu fois un dé il a 6 = 36 résultats équiprobables. L évènement A «obtenir au moins un si» est l évènement contraire de l évènement «n obtenir aucun si au cours des deu lancers». Or l évènement A est l ensemble des couples formés avec les éléments de{,,3,4,5}. Le nombre d éléments de A est 5 = 5 d où p ( A ) = 5 6 et b) Probabilité de l évènement B p(a)= p ( A ) = 5 6 = 36 Lorsqu on lance une fois deu dés, il a 36 couples de résultats équiprobables. La probabilité de l évènement «ne pas obtenir de double si» vaut Lorsqu on lance n fois deu dés, la probabilité de l évènement B «ne pas obtenir de double si» vaut ( ) n d où Ainsi, n est le plus petit entier tel que p(b)= p ( B ) = ( ) 35 n 36 ( ) 35 n > ( ) 35 n < ( ) 35 n ( ) 5 ln < ln ( ) ( ) 35 5 nln < ln ( ) 5 ln 36 n> ( ),9 35 ln 36 ( ) ( ) 5 5 ln ln ( ),9 donc est le plus petit entier n> ( ) est n= ln ln La probabilité de l évènement B «obtenir au moins un double si en lançant 3 fois deu dés» est supérieure à la probabilité de l évènement A «obtenir au moins une fois un si en lançant deu fois un dé» A. YALLOUZ (MATH@ES) 86

87 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES II PROBABILITÉS CONDITIONNELLES La notion de probabilité conditionnelle intervient quand pendant le déroulement d une epérience aléatoire, une information est fournie modifiant ainsi la probabilité d un évènement. ACTIVITÉ La tableau ci-dessous, répertorie les 50 plus grandes entreprises mondiales (en termes de chiffre d affaires de 00) selon le classement Fortune Global 500. ENTREPRISE PAYS BRANCHE Wal-Mart Stores États-Unis Commerce de détail Roal Dutch Shell Pas-Bas Pétrole 3 Eon Mobil États-Unis Pétrole 4 BP Roaume-Uni Pétrole 5 Toota Motor Japon Automobile 6 Japan Post Holdings Japon Services 7 Sinopec Chine Pétrole 8 State Grid Chine Electricité 9 AXA France Assurances 0 China National Petroleum Chine Pétrole Chevron États-Unis Pétrole ING Group Pas-Bas Banque/Assurances 3 General Electric États-Unis Société mite 4 Total France Pétrole 5 Bank of America Corp. États-Unis Banque 6 Volkswagen Allemagne Automobile 7 ConocoPhillips États-Unis Pétrole 8 BNP Paribas France Banque 9 Assicurazioni Generali Italie Assurances 0 Allianz Allemagne Assurances AT&T États-Unis Télécommunications Carrefour France Commerce de détail 3 Ford Motor États-Unis Automobile 4 ENI Italie Pétrole 5 J.P. Morgan Chase & Co. États-Unis Banque ENTREPRISE PAYS BRANCHE 6 Hewlett-Packard États-Unis Informatique 7 E.ON Allemagne Énergie 8 Berkshire Hathawa États-Unis Assurances 9 GDF Suez France Énergie 30 Daimler Allemagne Automobile 3 NTT Japon Télécommunications 3 Samsung Corée Technologie 33 Citigroup États-Unis Banque 34 McKesson États-Unis Santé 35 Verizon Communications États-Unis Télécommunications 36 Crédit Agricole France Banque 37 Banco Santander Espagne Banque 38 General Motors États-Unis Automobile 39 HSBC Holdings Roaume-Uni Banque 40 Siemens Allemagne Technologie 4 American International Group États-Unis Assurances 4 Llods Banking Group Roaume-Uni Banque 43 Cardinal Health États-Unis Santé 44 Nestlé Suisse * Agroalimentaire 45 CVS Caremark États-Unis Santé 46 Wells Fargo États-Unis Banque 47 Hitachi Japon Technologie 48 I.B.M États-Unis Informatique 49 Deia Belgique Banque 50 Gazprom Russie Pétrole. Un étudiant qui souhaite faire un stage, choisi au hasard une de ces cinquante entreprises : a) Quelle est la probabilité de l évènement F «la branche d activité de cette entreprise est un secteur financier (banque ou assurances)»? b) Quelle est la probabilité de l évènement E «l entreprise a son siège dans un pas de l Union Européenne»? c) Quelle est la probabilité que la branche d activité de cette entreprise soit un secteur financier et que cette entreprise ait son siège dans un pas de l Union Européenne?. Cet étudiant choisi une entreprise dont l activité principale est dans un secteur financier. (banque ou assurances) a) Quelle est la probabilité que cette entreprise ait son siège dans un pas de l Union Européenne? p(e F) On note p F (E) cette probabilité, vérifier que p F (E)= p(f) b) Quelle est la probabilité que cette entreprise ait son siège au États-Unis? 3. Cet étudiant choisi une entreprise dont le siège est dans un pas de l Union Européenne. Quelle est la probabilité que la branche d activité de cette entreprise soit un secteur financier (banque ou assurances)? Comparer avec la probabilité calculée dans la question a 4. Cet étudiant choisi une entreprise dont le siège est au États-Unis. Quelle est la probabilité que la branche d activité de cette entreprise soit un secteur financier (banque ou assurances)? Comparer avec la probabilité calculée dans la question b A. YALLOUZ (MATH@ES) 87

88 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES DÉFINITION Soient A et B deu évènements d un même univers tel que p(a) 0. La probabilité conditionnelle de l évènement B sachant que l évènement A est réalisé se note p A (B) et on a : p A (B)= p(a B) p(a) Remarque : On note aussi p(b A) la probabilité de l évènement B sachant que l évènement A est réalisé. FORMULE DES PROBABILITÉS COMPOSÉES La relation définissant la probabilité conditionnelle peut s écrire de la manière suivante p(a B)= p A (B) p(a) Cette écriture s appelle la formule des probabilités composées Soient A et B deu évènements d un même univers tels que p(a) 0 et p(b) 0. Alors : p(a B)= p A (B) p(a)= p B (A) p(b) FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES CAS DE DEUX ÉVÈNEMENTS Si A est un évènement de Ω tel que p(a) 0 et p(a), alors pour tout évènement B de Ω p(b)= p(a B)+ p(a B)= p A (B) p(a)+ p A (B) p(a) Preuve : Les évènements A B et A B sont incompatibles et B=(A B) ( A B ) d où p(b)= p(a B)+ p(a B) D après la formule des probabilités composées p(b)= p A (B) p(a)+ p A (B) p(a) A B A B A A PARTITION Soit n un entier supérieur ou égal à et {A,A,...,A n } un ensemble d évènements de probabilités non nulles d un même univers Ω. A, A,..., A n forment une partition de l univers Ω si, et seulement si, tout évènement élémentaire de Ω appartient à l un des évènements A i et à un seul. C est à dire si, et seulement si,. Pour tous entiers i et j tels que i n, j n et i j, A i A j =.. A A A n = Ω. Remarques : Un évènement A de probabilité non nulle et son évènement contraire A forment une partition de Ω. Si les évènements A,A,,A n forment une partition de Ω alors n p(a i )= p(a )+ p(a )+ + p(a n )= i= A. YALLOUZ (MATH@ES) 88

89 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES Soit n un entier supérieur ou égal à si {A,A,...,A n } est une partition de Ω alors pour tout évènement B de Ω, p(b)= p(a B)+ p(a B)+ + p(a n B) Preuve : Les évènements A, A,..., A n forment une partition de l univers Ω donc : A A A n = Ω, d où B=Ω B=(A A A n ) B=(A B) (A B) (A n B) De plus les évènements A, A,..., A n sont deu à deu incompatibles, c est à dire pour tous entiers i et j tels que i n, j n et i j, A i A j =. D où pour tous entiers i et j tels que i n, j n et i j, (A i B) (A j B)=. On en déquit que p(b)= p((a B) (A B) (A n B))= p(a B)+ p(a B)+ + p(a n B) 3 REPRÉSENTATION SOUS FORME D UN ARBRE PONDÉRÉ Une epérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré dont chaque branche est affecté d un poids qui est une probabilité. A p A (R) R p(a) p A (R) R p(b) B p B (S) S p B (S) S p(c) p C (T) T C p C (T) T La racine de l arbre est l univers Ω Les évènements qui se trouvent au etremités des branches issues d un même nœud forment une partition de l évènement situé à ce nœud. Par eemple, {A,B,C} est une partition de l univers Ω et {S,S} est une partition de l évènement B. Un chemin complet qui conduit à un sommet final, représente l intersection des évènements qui le composent. Par eemple, le chemin dont l etrémité est R représente l évènement A R. Le poids d une branche primaire est la probabilité de l évènement qui se trouve à son etrémité. Le poids d une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l évènement qui se trouve à son etrémité sachant que l évènement qui se trouve à son origine est réalisé. A. YALLOUZ (MATH@ES) 89

90 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES RÈGLES La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d un même nœud est égale à. La probabilité d un chemin est le produit des probabilités figurant sur ses branches. La probabilité d un évènement est la somme des probabilités de tous les chemins menant à un sommet où apparaît cet évènement. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES PROBABILITÉS COMPOSÉES PROBABILITÉS TOTALES p A (B) B p(a B)= p A (B) p(a) p(a) A p A (B)= p A (B) B p ( A B ) = p A (B) p(a) p(b)= p(a B)+ p ( A B ) p(a)= p(a) p A (B) B p ( A B ) = p A (B) p(a) p(b)= p ( A B ) + p ( A B ) A p A (B)= p A (B) B p ( A B ) = p A (B) p(a) 4 ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS Dire que deu évènements sont indépendants signifie que la réalisation de l évènement B ne modifie pas la réalisation de l évènement A. Les évènements A et B sont indépendants si p(a B) = p(a) p(b) Si p(a) 0 et p(b) 0 on a les équivalences : A et B indépendants p B (A)= p(a) p A (B)= p(b) III VARIABLE ALÉATOIRE Il arrive souvent qu à chaque résultat d une epérience aléatoire on associe un nombre réel. On définit ainsi une fonction de l univers Ω dans R. Par eemple le gain obtenu à l occasion d un jeu de hasard ou encore le temps d attente d un bus. En terminale ES, on ne considère que le cas où Ω est un univers fini. Une variable aléatoire X sur un univers fini Ω est une fonction de l univers Ω dans R qui prend un nombre fini de valeurs. A. YALLOUZ (MATH@ES) 90

91 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES LOI DE PROBABILITÉ D UNE VARIABLE ALÉATOIRE Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs,,..., k ; on note (X = i ) l évènement de Ω constitué des issues qui ont pour image le réel i par X. Lorsque, à chaque valeur i, on associe la probabilité de l évènement (X = i ), notée p(x = i ), on définit une loi de probabilité sur l ensemble {,,..., k }, appelée la loi de probabilité de la variable aléatoire X. On peut la représenter sous forme d un tableau de valeurs : X k p(x = i ) p(x = ) p(x = ) p(x = k ) EXEMPLE Un joueur lance deu dés cubiques équilibrés ; si il obtient un double si alors le joueur gagne 0 C, si la somme des chiffres est un nombre impair, le joueur gagne 3 C et sinon le joueur perd 5 C. On considère l epérience aléatoire suivante : on lance deu dés cubiques équilibrés et on fait la somme des chiffres obtenus. L univers de cette epérience est Ω={,3,4,5,6,7,8,9,0,,}. La loi de probabilité définie sur Ω est : Issue Probabilité L évènement (X = 0) est constitué de l issue {} donc p(x = 0)= 36. L évènement (X = 3) est constitué des issues {3,5,7,9,} d où p(x = 3)= =. Or p(x = 5)+ p(x = 3)+ p(x = 0)= ; donc p(x = 5)= p(x = 3) p(x = 0)= 36 = 7 36 D où la loi de probabilité de X : i p(x = i ) A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

92 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES ESPÉRANCE, VARIANCE ET ÉCART-TYPE Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs,,..., k La loi de probabilité de X associe à chaque i sa probabilité p i = p(x = i ) X k p(x = i ) p p p k. On appelle espérance mathématique de X notée E(X), le réel : E(X)= k i=. On appelle variance de X notée V(X), le réel : V(X)= k i= i p(x = i )= p + p + + k p k ( i E(X)) p i =( E(X)) p +( E(X)) p + +( k E(X)) p k 3. On appelle écart-tpe de X noté σ(x), le réel : σ(x)= V(X) AUTRE FORMULE DE LA VARIANCE En effet : V(X)= V(X)= = k i= k i= k i= ( i E(X)) p i = E ( X ) E (X) ( i E(X)) p i ( pi i p i i E(X)+ p i E (X) ) k =( p i i i= ) E(X) k i= p i i + E (X) = E ( X ) E(X) E(X)+E (X) = E ( X ) E (X) k p i i= Remarques : L espérance E(X) apparaît comme la moenne pondérée (au sens statistique du terme) des valeurs i affectées des poids p i. Dans le cas particulier d un jeu, l espérance E(X) est le gain moen par partie qu un joueur peut espérer obtenir s il joue un grand nombre de fois. Le signe de E(X) permet de savoir si le joueur a plus de chances de gagner que de perdre. Si E(X)=0, on dit que le jeu est équitable. L écart-tpe de X permet, lui, d évaluer le «risque» du jeu : plus l écart-tpe est grand plus le risque de perdre ou de gagner est important. EXEMPLE Dans l eemple précédent, la loi de probabilité de X est : A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

93 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES i p(x = i ) L espérance mathématique de X est : E(X)= = 7 L espérance mathématique E(X) < 0 donc le jeu est défavorable au joueur. Supposons que le joueur joue 60 parties, ( 60 7 ) = 35 Le joueur risque donc de perdre 35 C. La variance de X est : V(X)=( 5) ( 36 7 ) = L écart-tpe de X est : σ(x)= ,39 IV LOI BINOMIALE ÉPREUVE DE BERNOULLI Une épreuve de Bernoulli est une epérience aléatoire aant deu issues, l une appelée «succès» de probabilité p et l autre appelée «échec» de probabilité q= p. LOI BINOMIALE L epérience aléatoire qui consiste à répéter n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p de façon indépendante est appellée un schéma de Bernoulli. La loi de probabilité associée au nombre de succés obtenus au cours de n épreuves de ce schéma de Bernoulli est appellée la loi binomiale de paramètes n et p. UN EXEMPLE : On répète 3 fois une épreuve de Bernoulli successivement et de façon indépendante. La probabilité du succès est p(s)= p, la probabilité de l echec est p(s)= p=q. L epérience comporte huit issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l aide d un mot de trois lettres : {S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S} Pour obtenir la loi de probabilité du nombre de succès, on dresse un arbre et compte le nombre d issues contennant k succès. A. YALLOUZ (MATH@ES) 93

94 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES ISSUES p S p q S S p q p q S S S S S S S S S S S S S S S S q S p q S S p q p q S S S S S S S S S S S S S S S S La loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres 3 et p est nombre de succès k 0 3 probabilité p i q 3 3 p q 3 p q p 3 Remarque : L évènement A «obtenir au moins un succès» est l évènement contraire de l évènement F «obtenir trois échecs consécutifs» d où p(a)= q 3 A. YALLOUZ (MATH@ES) 94

95 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES EXERCICE Dans une entreprise, on a relevé qu au cours d une année : 40% des salariés ont été absents au moins jour ; 30% des salariés ont été absents au moins jours ; 5% des salariés ont été absents au moins 3 jours ; 0% des salariés ont été absents au moins 4 jours ; 5% des salariés ont été absents au moins 5 jours. On choisit au hasard un salarié de cette entreprise. Quelle est la probabilité pour que ce salarié :. n ait jamais été absent au cours de cette année?. ait été absent une seule journée au cours de cette année? 3. ait été absent au plus 3 jours? EXERCICE Une usine fabrique des articles en grande quantité, dont certains sont défectueu à cause de deu défauts possibles, un défaut d assemblage ou un défaut de dimension. Une étude statistique a permis de constater que % des articles fabriqués sont défectueu, 8% des articles fabriqués ont un défaut d assemblage et 6% des articles fabriqués ont un défaut de dimension. On choisit au hasard un article et on note : A l évènement : «Un article prélevé au hasard présente un défaut d assemblage» ; B l évènement : «Un article prélevé au hasard présente un défaut de dimension» ; A et B les évènements contraires respectifs de A et B.. Grâce au données de l énoncé : a) Donner les probabilités p(a) et p(b) ; b) Traduire par une phrase l évènement A B. Donner la probabilité de l évènement A B.. Quelle est la probabilité de l évènement «un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut»? 3. Calculer la probabilité de l évènement «un article prélevé au hasard présente les deu défauts». 4. Calculer la probabilité de l évènement «un article prélevé au hasard a au plus un seul défaut». EXERCICE 3 Un couple a deu enfants dont une fille. Quelle est la probabilité que l autre enfant soit un garçon? EXERCICE 4 Une urne contient quatre boules noires et cinq boules blanches. On tire successivement et sans remise trois boules dans l urne. Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit blanche et les deu dernières noires? EXERCICE 5 Un enfant joue avec cinq dés cubiques : trois sont équlibrés et deu sont pipés, il a une chance sur quatre d obtenir un si. L enfant choisit au hasard un dé et le lance.. Quelle est la probabilité qu il obtienne un 6?. Sachant qu il a obtenu un 6, quelle est la probabilité qu il ait choisi un dé équilibré? EXERCICE 6 Une maladie M affecte les bovins d un pas. On a mis au point un test pour détecter cette maladie. On estime que : % des bovins ont la maladie M ; Quand un bovin est malade, le test est positif dans 95 % des cas ; 98 % des bêtes saines ne réagissent pas au test. On prend un animal de ce troupeau au hasard. A. YALLOUZ (MATH@ES) 95

96 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES. Quelle est la probabilité pour un animal d être malade et de réagir au test?. On prend un animal au hasard et on lui fait passer le test quelle est la probabilité pour que le test soit positif? 3. On veut déterminer la fiabilité de ce test. Calculer la probabilité : a) pour un animal d être malade si il réagit au test ; b) pour un animal d être sain si il ne réagit pas au test. EXERCICE 7 Une maladie M affecte les bovins d un pas. On a mis au point un test pour détecter cette maladie. On estime que : 3,5 % des bovins d un troupeau sont malades et ont réagi au test ;,5 % des bovins du troupeau sont malades et n ont pas réagi au test ; 84,8 % des bêtes n ont pas réagi au test. On prend un animal de ce troupeau au hasard.. Calculer la probabilité que le test soit négatif sachant que l animal n est pas malade.. Calculer la probabilité que l animal ne soit pas malade sachant que le test est négatif. EXERCICE 8 Une maladie M affecte les bovins d un pas. On a mis au point un test pour détecter cette maladie. On estime que : 0 % des bovins d un troupeau sont malades ; 0,6 % des bovins du troupeau ont eu un test positif ; % des bovins du troupeau sont malades et n ont pas réagi au test. On prend un animal de ce troupeau au hasard.. Calculer la probabilité que le test soit négatif sachant que l animal n est pas malade.. Calculer la probabilité que l animal ne soit pas malade sachant que le test est négatif. EXERCICE 9 D après une étude de la direction du tourisme concernant l ensemble des résidents Français : Est défini comme "voage", tout départ du domicile, retour à celui-ci avec au moins une nuit passée en dehors. Ces voages se décomposent en "séjours" de deu sortes : Séjours courts définis par le fait d avoir passé entre une nuit et trois nuits en lieu fie ; Séjours longs définis par le fait d avoir passé au moins quatre nuits en lieu fie. Le mode d hébergement d un séjour peut être marchand (hôtel, camping, gîte etc...) ou non marchand. On considère que sur l ensemble des résidents Français qui ont effectué au moins un voage : Les séjours courts représentent 55% de l ensemble des séjours ; 43% des séjours longs se font en hébergement marchand ; 36,4% de l ensemble des séjours se font en hébergement marchand. On interroge au hasard, un résident Français aant effectué un voage et on note : L : «l évènement la personne a fait un séjour long» ; M : l évènement «le mode d hébergement du séjour est marchand» ; A l évènement contraire de A. Tous les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale arrondie au millième.. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour long.. Représenter la situation par un arbre pondéré. 3. a) Calculer la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour long en hébergement marchand. b) En déduire la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour court en hébergement marchand. A. YALLOUZ (MATH@ES) 96

97 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES 4. Un résident Français effectue un séjour court, quelle est la probabilité qu il choisisse un hébergement marchand? 5. On interroge au hasard, un résident Français aant choisi un hébergement non marchand au cours de son séjour. Quelle est la probabilité que le séjour de cette personne soit un séjour long? EXERCICE 0 Une entreprise fabrique un article dans deu unités de production notées A et B. L unité A, assure 60% de la production. On a constaté que : 3% des pièces provenant de l unité A présentent un défaut de fabrication ; 8% des pièces provenant de l unité B présentent un défaut de fabrication.. On prélève un article au hasard, et on note : A l évènement «la pièce provient de l unité A» ; B l évènement «la pièce provient de l unité B» ; D l évènement «la pièce présente un défaut», D l évènement contraire. a) Construire un arbre pondéré décrivant la situation. b) Calculer la probabilité qu un article présente un défaut et provienne de l unité A. c) Montrer que la probabilité qu un article présente un défaut est égale à 0,05.. L entreprise envisage de mettre en place un test de contrôle de ces articles avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 8% des articles défectueu, mais il élimine également à tort 4% des articles non défectueu. Les articles non éliminés sont alors mis en vente. On prend au hasard un article fabriqué et on note V l évènement «l article est mis en vente». a) Calculer p(v D) et p ( V D ). En déduire que la probabilité qu un article fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,9. b) L entreprise souhaite qu il ait moins de % des articles vendus défectueu. Ce contrôle permet-il d atteindre cet objectif? EXERCICE PARTIE A Le tableau ci-dessous indique l évolution des effectifs d étudiants en CPGE entre les années et : Année Rang de l année i Effectifs i Source DEPP. On donne ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique ( i ; i ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 97

98 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES Le détail des calculs statistiques à effectuer à la calculatrice n est pas demandé.. Déterminer les coordonnées du point moen G de ce nuage. Placer le point G dans le repère précédent.. La forme du nuage permet d envisager un ajustement affine. a) À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite (D) d ajustement de en, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à l unité. b) Tracer la droite (D) dans le repère précédent. 3. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deu années suivantes, estimer le pourcentage d évolution du nombre d étudiants inscrits en CPGE en 0-0 par rapport à PARTIE B Le tableau ci-dessous donne l origine scolaire des étudiants entrant en première année de CPGE en (en pourcentage) ainsi que les effectifs des nouveau entrants en première année de CPGE en : Origine des étudiants en % Term. S Term. ES Term. L Autres Nouveau entrants Filière scientifique 95, 0 0 4, Filière économique et commerciale 47,3 4, 0,7 9, Filière littéraire 3,3 54,9 0, Source DEPP. On choisit au hasard le dossier informatisé d un étudiant dans la liste des nouveau entrants en première année de CPGE en et on note : E l évènement : «Le dossier choisi est celui d un étudiant dont l origine scolaire est la terminale ES» ; C l évènement : «Le dossier choisi est celui d un étudiant de la filière économique et commerciale» ; L l évènement : «Le dossier choisi est celui d un étudiant de la filière littéraire». Les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale arrondis au millième.. Calculer les probabilités p(c) et p(l).. a) Le dossier choisi est celui d un étudiant de la filière économique et commerciale. Donner la probabilité notée p C (E) que ce soit le dossier d un étudiant dont l origine scolaire est la terminale ES. b) Définir par une phrase l évènement E C puis calculer sa probabilité. 3. Montrer que la probabilité de choisir le dossier d un étudiant dont l origine scolaire est la terminale ES est 0,39. (valeur arrondie au millième près) A. YALLOUZ (MATH@ES) 98

99 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES 4. Le dossier choisi est celui d un étudiant dont l origine scolaire est la terminale ES. Calculer la probabilité que ce soit le dossier d un étudiant de la filière économique et commerciale. EXERCICE Les deu tableau ci-dessous sont etraits d une étude de la DEPP sur le devenir un an après des entrants en re année de er ccle universitaire en Droit Sciences Économiques et AES. TABLEAU : Répartition, par discipline, des nouveau entrants à l université à la rentrée 008 Disciplines Effectifs Droit Sciences Économiques (hors AES) AES Total TABLEAU : Devenir, à la rentrée universitaire de 009, des entrants de 008 (en %) Poursuite dans la même discipline Réorientation vers une autre filière universitaire Non réinscription à l université Droit 68,3 9,,5 00 Sciences Économiques (hors AES) 59,3 0,3 30,4 00 AES 50,5 4, 35,3 00 Total On choisit de manière aléatoire un étudiant parmi les nouveau entrants de la rentée 008 dans ces trois disciplines et on note : D l évènement : «l étudiant était inscrit en Droit» ; E l évènement : «l étudiant était inscrit en Sciences Économiques» ; A l évènement : «l étudiant était inscrit en AES». S l évènement : «l étudiant poursuit ses études dans la même discipline à la rentrée 009» ; U l évènement : «l étudiant s est réorienté vers une autre filière universitaire à la rentrée 009» ; N l évènement : «l étudiant ne s est pas réinscrit à l université à la rentrée 009».. a) Justifier à l aide des données des tableau toutes les probabilités figurant dans l arbre pondéré ci-dessous : 0,56 0,86 D E 0,683 0,5 0,593 S U N S U N S A U N b) Recopier et compléter l arbre pondéré pour qu il traduise les données de l epérience aléatoire décrite dans l énoncé.. a) Calculer la probabilité que l étudiant choisi se soit inscrit en droit à la rentrée 008 et qu il poursuive ses études dans la même discipline à la rentrée 009. A. YALLOUZ (MATH@ES) 99

100 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES b) Calculer la probabilité de l évènement S. 3. L étudiant choisi poursuit à la rentrée 009 ses études dans la même discipline qu en 008. Quelle est la probabilité qu il se soit inscrit en Sciences Économiques? 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. L étudiant choisi ne s est pas réinscrit à l université à la rentrée 009. Quelle est la probabilité qu il ait été inscrit en 008 en Sciences Économiques? EXERCICE 3 Un musée propose à la vente trois sortes de billets : un billet à 9 C pour visiter uniquement les collections permanentes ; un billet à C pour visiter uniquement l eposition temporaire ou un billet à 3 C pour visiter les collections permanentes et l eposition temporaire. On sait que : 60% des visiteurs visitent l eposition temporaire. 45% des visiteurs achètent un billet à C.. Établir la loi de probabilité associée au pri d un billet.. Quelle est la recette quotidienne que peut espérer ce musée si le nombre de visiteurs par jour est en moenne de 0 000? EXERCICE 4 Un casino d organiser un jeu de dés. La mise du joueur pour participer à ce jeu est de n euros, ensuite, le joueur lance deu dés et gagne en euros, le double de la somme des deu dés. En supposant que ce jeu ait du succès, quel doit être le montant minimal de la mise du joueur pour que le casino ne perde pas d argent? EXERCICE 5 (D après sujet bac La Réunion 007) Un domino est une petite plaque partagée en deu parties. Sur chacune des parties figure une série de points. Il peut avoir de zéro à si points dans une série. Un jeu de dominos comporte 8 dominos, tous différents. Lors d une fête, on propose le jeu suivant : le joueur tire au hasard un domino parmi les 8 dominos du jeu, il gagne, en euros, la somme des points figurant sur le domino tiré. On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d être tirés. Établir la loi de probabilité des gains possibles.. Le joueur doit miser 7 C avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer récupérer ses mises à l issue d un grand nombre de parties? EXERCICE 6 (D après sujet bac Polnésie 005) Une urne contient des jetons bleus, des jetons blancs et des jetons rouges. 0% des jetons sont bleus et il a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus. Un joueur tire un jeton au hasard. S il est rouge, il remporte le gain de base. S il est blanc, il remporte le carré du gain de base. S il est bleu, il perd le cube du gain de base.. On suppose que le gain de base est euros. a) Déterminer la loi de probabilité sur l ensemble des résultats possibles. A. YALLOUZ (MATH@ES) 00

101 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES b) Calculer le gain moen que l on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.. On cherche à déterminer la valeur g 0 du gain de base, telle que le gain moen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maimal. Le résultat sera arrondi au centime d euro. Soit le gain de base en euros. a) Montrer que le problème posé revient à étudier les éventuels etremums de la fonction f définie sur [0 ; + [ par f()= 0, 3 + 0,3 + 0,6 b) On désigne par f la fonction dérivée de f sur l intervalle [0 ; + [. Déterminer f (). c) En déduire le sens de variation de f sur [0 ; + [. d) Conclure sur le problème posé. EXERCICE 7 (D après sujet bac Centres étrangers 0) Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des framboises, des groseilles et des mrtilles. Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture. Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, 9 sur 0 achètent une barquette de fruits à confiture. Lorsqu un client achète une barquette de fruits à confiture, la probabilité qu il demande une barquette de mrtilles est de 0,3 et la probabilité qu il demande une barquette de groseilles est de 0,5. Lorsqu un client achète une barquette de fruits à déguster, il ne demande jamais des groseilles et demande des framboises dans 60 % des cas. Un client achète une barquette. On notera : C l évènement «le client achète une barquette de fruits à confiture», F l évènement «le client demande des framboises», G l évènement «le client demande des groseilles», M l évènement «le client demande des mrtilles».. Reporter sur l arbre donné ci-dessous, les données de l énoncé. M C F G M F On pourra compléter l arbre avec les réponses obtenues dans les questions suivantes. C. a) Calculer la probabilité que le client demande des framboises sachant qu il achète une barquette de fruits à confiture. b) Le client achète une barquette de fruits à déguster ; quelle est la probabilité qu il demande des mrtilles? 3. Montrer que la probabilité que le client achète une barquette de framboises est égale à 0,4. 4. Le client achète une barquette de framboises. Quelle est la probabilité que ce soit une barquette de fruits à confiture? 5. Le producteur vend 5 euros la barquette de fruits à confiture, quel que soit le fruit, euros la barquette de framboises à déguster et 3 euros la barquette de mrtilles à déguster ; A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

102 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES a) On note i les valeurs possibles, en euros, du gain du producteur par barquette vendue et p i leur probabilité. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du producteur par barquette vendue. On justifiera les réponses. Valeur : i 5 3 Probabilité associée : p i b) Calculer l espérance de cette loi de probabilité. c) Déterminer le gain en euros que le producteur peut espérer pour 50 barquettes vendues? EXERCICE 8 (D après sujet bac Polnésie Septembre 0) Dans une ville, une enquête portant sur les habitudes des ménages en matière d écologie a donné les résultats suivants : 70 % des ménages pratiquent le tri sélectif ; parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40 % consomment des produits bio ; parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 0 % consomment des produits bio. On choisit un ménage au hasard (tous les ménages aant la même probabilité d être choisis) et on note : T l évènement «le ménage pratique le tri sélectif» et T son évènement contraire ; B l évènement «le ménage consomme des produits bio» et B son évènement contraire. Les résultats seront donnés sous forme décimale.. a) Donner sans justification la probabilité p(t) de l évènement T. b) Donner sans justification p T (B) et p T (B). Représenter la situation à l aide d un arbre pondéré. 3. a) Calculer la probabilité de l évènement : «le ménage pratique le tri sélectif et consomme des produits bio». b) Montrer que la probabilité que le ménage consomme des produits bio est égale à 0,3. 4. Calculer la probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu il consomme des produits bio (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au centième). 5. Les évènements T et B sont-ils indépendants? Justifier. 6. Calculer la probabilité de l évènement T B puis interpréter ce résultat. 7. Cette ville décide de valoriser les ménages aant un comportement éco-citoen. Pour cela, elle donne chaque année un chèque de 0 C au ménages qui pratiquent le tri sélectif et un chèque de 0 C au ménages qui consomment des produits bio sur présentation de justificatifs (les deu montants peuvent être cumulés). Soit S la somme d argent reçue par un ménage. a) Quelles sont les différentes valeurs que peut prendre S? (on n attend pas de justification). b) Donner la loi de probabilité de S. c) Calculer l espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat. EXERCICE 9 (D après sujet bac Pondichér 0) Un restaurant propose à sa carte deu tpes de dessert : un assortiment de macarons, choisi par 50 % des clients ; une part de tarte tatin, choisie par 30 % des clients. 0 % des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts. Le restaurateur a remarqué que : parmi les clients aant pris un assortiment de macarons, 80 % prennent un café ; A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

103 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES parmi les clients aant pris une part de tarte tatin, 60 % prennent un café ; parmi les clients n aant pas pris de dessert, 90 % prennent un café. On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note p la probabilité associée à cette epérience aléatoire. On note : M l évènement : «Le client prend un assortiment de macarons» ; T l évènement : «Le client prend une part de tarte tatin» ; P l évènement : «Le client ne prend pas de dessert» ; C l évènement : «Le client prend un café» et C l évènement contraire de C.. En utilisant les données de l énoncé, préciser la valeur de p(t) et celle de P T (C), probabilité de l évènement C sachant que T est réalisé.. Recopier et compléter l arbre ci-dessous : 0,5 M 0,8 C C T P C C C C 3. a) Eprimer par une phrase ce que représente l évènement M C puis calculer p(m C). b) Montrer que p(c) = 0, Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu il prend un café? (On donnera le résultat arrondi au centième). 5. Un assortiment de macarons est vendu 6 C, une part de tarte tatin est vendue 7 C, et un café est vendu C. Chaque client prend un plat (et un seul) au pri unique de 8 C, ne prend pas plus d un dessert ni plus d un café. a) Quelles sont les si valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client? b) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme totale dépensée par un client : Sommes s i p(s i ) 0,0 c) Calculer l espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat. EXERCICE 0 À l occasion de la fête du cinéma, le service de publicité d un quotidien propose chaque jour la possibilité de gagner une place de cinéma sous forme de cartes à gratter. Dans 3% des journau mis en vente on trouve une carte gagnante. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu un client qui a acheté pendant cinq jours ce quotidien gagne au moins une place de cinéma? EXERCICE Un atelier produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deu défauts possibles, le défaut A et le défaut B, à l eclusion de tout autre défaut. On a constaté que, parmi les pièces produites, 8 % ont le défaut A, 7 % ont le défaut B, et 0 % ont les deu défauts. A. YALLOUZ (MATH@ES) 03

104 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES. On choisit au hasard une des pièces produites. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse?. On admet que 80 % des pièces qui n ont qu un seul des deu défauts sont réparables, et que 40 % des pièces qui ont les deu défauts sont réparables. On choisit une pièce au hasard et on note : D l évènement : " La pièce a un seul défaut " ; D l évènement : " La pièce a deu défauts" ; R l évènement : " La pièce est réparable ". a) Montrer que la probabilité de l évènement : " La pièce choisie est réparable " est p(r) = 0,3. b) Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu elle n ait qu un seul défaut. c) On choisit au hasard successivement cinq pièces. On suppose que le nombre de pièces est suffisamment important pour que ces tirages s effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante. Calculer la probabilité pour que, sur les 5 pièces choisies, au moins une pièce soit réparable. EXERCICE Un organisme a chargé un centre d appel de démarcher des clients potentiels. On a constaté que 5% des clients contactés donnent suite à la demande et acceptent un rendez-vous. On contacte n clients de cet organisme d une façon indépendante et on note p n la probabilité qu au moins un des clients contactés accepte un rendez-vous.. Dans le cas où n = 3, calculer la probabilité qu aucun des trois clients contactés n accepte un rendez-vous, puis en déduire p 3.. Quel est le nombre minimal de clients à démarcher pour que la probabilité qu au moins un des clients contactés accepte un rendez-vous soit supérieure à 0,99? EXERCICE 3 D après une étude réalisée par le CNC (centre national de la cinématographie) : les films récents sortis dans l année représentent 9,5% des entrées de l ensemble des films eploités ; les films recommandés «Art et Essai» totalisent,3% des entrées ; 80,7% des entrées des films «Art et Essai» sont des films sortis dans l année. On choisit au hasard un spectateur à la sortie d un cinéma et on note : A : l évènement «le spectateur a vu un film Art et Essai» ; R : l évènement «le spectateur a vu un film récent sorti dans l année». Les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondis au millième.. Montrer que la probabilité que le spectateur choisi a vu un film «Art et Essai» sorti dans l année est égale à 0,7.. Le spectateur choisi n a pas vu un film «Art et Essai», quelle est la probabilité que ce soit un film récent sorti dans l année? 3. Le spectateur choisi a vu un film récent sorti dans l année, quelle est la probabilité que ce soit un film recommandé «Art et Essai»? 4. On interroge au hasard et de façon indépendante n spectateurs à la sortie de différentes salles de cinéma. Calculer le nombre minimal de spectateurs qu il faut interroger pour que la probabilité qu au moins un d entre n a pas vu un film récent sorti dans l année soit supérieure à 0,5. EXERCICE 4 Dans cet eercice, les résultats seront éventuellement arrondis à 0 3 près. Une étude sur la fréquentation d une salle de spectacle a permis d établir les résultats suivants : 60 % des spectateurs possèdent un abonnement ; parmi les spectateurs ne possédant pas d abonnement, 75 % ont été influencé par une critique ; A. YALLOUZ (MATH@ES) 04

105 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES 4 % des spectateurs, possèdent un abonnement et ont été influencé par une critique. À la sortie d un spectacle, on choisit un spectateur au hasard et on note : A l évènement : «le spectateur possède un abonnement» ; C l évènement : «le spectateur a été influencé par une critique».. a) Grâce au données de l énoncé, donner les probabilités suivantes p(a), p(a C) et p A (C). b) Calculer p A (C).. Démontrer que la probabilité de l évènement C est 0, Le spectateur choisi n a pas été influencé par une critique, quelle est la probabilité que ce soit un spectateur possédant un abonnement? 4. On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois spectateurs. Quelle est la probabilité qu il en ait au plus deu aant un abonnement? EXERCICE 5 Une entreprise fabrique un composant pour ordinateur en grande quantité. Une étude statistique a permis de constater que 5 composants sur mille sortant de son usine sont défectueu. L entreprise décide de mettre en place un test de fiabilité de ces articles avant leur mise en vente. Parmi les composants en parfait état, 94% réussissent le test et parmi ceu défectueu, seulement % réussissent le test. On choisit un composant au hasard et on considère les événements suivants : D «le composant est défectueu» ; T «le composant passe le test avec succès» ; Dans cet eercice, les résultats seront éventuellement arrondis à 0 4 près.. Quelle est la probabilité qu un composant soit défectueu et qu il ne réussisse pas le test?. Montrer que la probabilité qu un composant ne réussisse pas le test est égale à 0, Quelle est la probabilité qu un composant n aant pas passé le test avec succès soit défectueu? 4. On prélève au hasard trois composants qui n ont pas passé le test avec succès, on suppose que le nombre de composants est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants. Quelle est la probabilité qu un composant au moins ne soit pas défectueu? EXERCICE 6 Une entreprise fabrique des articles en grande quantité. Une étude statistique a permis de constater que 0% des articles fabriqués sont défectueu. Dans cet eercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au millième. PREMIÈRE PARTIE On prélève au hasard trois articles et on considère ces trois prélèvements comme étant indépendants.. Calculer la probabilité qu un seul des trois articles soit sans défaut.. Calculer la probabilité qu au moins un des trois articles soit sans défaut. DEUXIÈME PARTIE Les articles fabriqués peuvent présenter au maimum deu défauts notés a et b. On note : A l évènement : «Un article prélevé au hasard présente le défaut a» ; B l évènement : «Un article prélevé au hasard présente le défaut b» ; A et B les évènements contraires respectifs de A et B. On donne les probabilités suivantes : p(a) = 0,05 ; p(b) = 0,06. A. YALLOUZ (MATH@ES) 05

106 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES. Quelle est la probabilité de l évènement «un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut»?. Calculer la probabilité de l évènement «un article prélevé au hasard présente les deu défauts». 3. On prélève au hasard un article parmi ceu qui présentent le défaut a. Calculer la probabilité que cet article présente également le défaut b. 4. Les évènements A et B sont-ils indépendants? Justifier la réponse. 5. Un article sans défaut est vendu à 50C. Un article qui présente seulement le défaut a est vendu avec une remise de 30%, un article qui présente seulement le défaut b est vendu avec une remise de 40% et un article qui a les deu défauts n est pas vendu. a) Établir la loi de probabilité du pri de vente en euros, noté X, d un article. b) Quel chiffre d affaires l entreprise peut-elle espérer réaliser sur la vente de 000 articles? EXERCICE 7 Un énoncé contient 3 coquilles. À chaque relecture la probabilité de détection d une erreur aant subsisté est de 0,8.. Établir la loi de probabilité du nombre de coquilles qui subsistent après la première relecture.. Après une deuième relecture, quelle est la probabilité qu il subsiste encore au moins une erreur? EXERCICE 8 À l occasion d une kermesse, l organisateur d une loterie, dispose d une part d un sac contenant un jeton rouge et neuf jetons blancs indiscernables au toucher et d autre part d un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de à 6. Il décide des règles suivantes pour le déroulement d une partie. Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé : si le jeton est rouge, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne un nombre pair ; si le jeton est blanc, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6. À la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac. On note R l évènement «le jeton tiré est rouge» et G l évènement «le joueur gagne la partie». PARTIE A. Recopier et compléter l arbre probabiliste modélisant la situation : R G G. Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge et de gagner la partie. 3. Montrer que la probabilité de gagner une partie à cette loterie, est égale à 0,. 4. Un joueur perd la partie, quelle est la probabilité qu il ait tiré le jeton rouge? 5. Un joueur fait trois parties de façon indépendante. Calculer la probabilité qu il gagne une seule partie. 6. Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure à 0,95? R G G PARTIE B Chaque joueur paie,0 C par partie. Si le joueur gagne la partie, il reçoit un bon d achat d une valeur de 5 C, s il perd la partie, il ne reçoit rien.. On note X le gain algébrique (positif ou négatif ) de l organisateur de la loterie à l issue d une partie. Quelles valeurs peut prendre X? A. YALLOUZ (MATH@ES) 06

107 Année 0-0 PROBABILITÉS T le ES. Proposer, en epliquant votre démarche, une estimation du montant en euros, du bénéfice que peut espérer obtenir l organisateur si 300 parties ont été jouées. EXERCICE 9 (D après sujet bac Antilles Guanne 0) Dans chaque programme de construction proposé par un grand constructeur immobilier, les acquéreurs doivent choisir entre la pose de moquette, de carrelage ou de sol plastifié pour revêtir le sol du salon. Pour le revêtement des murs du salon, ils ont le choi entre peinture ou papier peint. Le recueil des choi des acquéreurs par l entreprise donne les résultats suivants : 0 % ont choisi la moquette ; 50 % ont choisi le carrelage ; les autres acquéreurs ont choisi la pose de sol plastifié. Parmi les acquéreurs aant choisi la moquette, 46 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs. Parmi les acquéreurs aant choisi le carrelage, 5 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs. 4,7 % des acquéreurs ont choisi le papier peint pour le revêtement des murs. On interroge au hasard un acquéreur de logement construit par cette entreprise. On considère les évènements suivants : M l évènement : «l acquéreur a choisi la pose de moquette» ; C l évènement : «l acquéreur a choisi la pose de carrelage» ; S l évènement : «l acquéreur a choisi la pose de sol plastifié» ; P l évènement : «l acquéreur a choisi la pose de papier peint» ; P l évènement contraire de P, correspondant à : «l acquéreur a choisi la peinture». Les résultats seront donnés sous forme décimale, et arrondis au millième.. Représenter la situation à l aide d un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l eercice.. a) Décrire l évènement M P. b) Calculer la probabilité p(m P). 3. a) Montrer que la probabilité que l acquéreur ait choisi la pose de sol plastifié et de papier peint est égale à 0,075. b) L acquéreur a choisi le sol plastifié. Calculer la probabilité qu il ait choisi le papier peint. 4. On interroge au hasard et de façon indépendante trois acquéreurs parmi tous les clients du constructeur. a) Calculer la probabilité, notée p, qu au moins un des trois acquéreurs ait choisi le papier peint. b) Calculer la probabilité, notée p, qu eactement deu des trois acquéreurs aient choisi le papier peint. A. YALLOUZ (MATH@ES) 07

108 Chapitre 8 CALCUL INTÉGRAL Introduction I Intégrale d une fonction Définition Interprétation graphique Propriétés II Propriétés de l intégrale Linéarité Relation de Chasles Ordre III Intégrale et moenne Inégalités de la moenne Valeur moenne EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 08

109 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES AIRE ET PRIMITIVE Le plan est muni d un repère orthonormé ( ) O; i, j d unité graphique cm. a et b sont deu réels tels que a<b. Dans chaque cas, on considère une fonction f définie et positive sur( l intervalle ) [a; b]. C f désigne la courbe représentative de la fonction f dans le repère O; i, j et D f le domaine compris entre la courbe C f, l ae des abscisses et les droites d équation =a et =b.. Fonction constante Soit c un réel positif. f est la fonction définie sur R par f()=c. a) Eprimer en fonction de a et de b l aire en cm du domaine D f. b) Déterminer une primitive F de f sur [a; b]. c) Calculer F(b) F(a). Que constate-t-on? c j D f C f 0 i a b. Fonction affine f est une fonction affine définie sur R par f() = m+ p où m et p sont des réels fiés avec m non nul. f est supposée positive sur[a;b]. a) Eprimer en fonction de a et de b l aire en cm du domaine D f. b) Déterminer une primitive F de f sur [a; b]. c) Calculer F(b) F(a). Que constate-t-on? j C f D f 0 i a b ÉTUDE D UNE FONCTION EN ESCALIER Supposons que le salaire net mensuel d un individu évolue au cours d une année de la façon suivante : Au er janvier son salaire initial est de 000 C, au er juillet, suite à un changement de statut, il bénéficie d une augmentation de 30 % puis à partir du 6 septembre d une augmentation de 400 C. Le salaire perçu à la fin de chaque mois tient compte du nombre d heures travaillées. L évolution du revenu, eprimé en milliers d euros, peut être modélisée par la fonction f définie sur l intervalle [0; ] par : si t [0;6], f(t)= si t ]6;8,5], f(t)=,3=,6 si t ]8,5;], f(t)=,6+0,4=3. On dit que f est une fonction en escalier. La représentation graphique C f de la fonction f est : Notons R le montant en milliers d euros du revenu annuel. a) Le revenu de cet individu est de 000 C pendant 6 mois puis de 600 C pendant,5 mois et de 3000 C pendant 3,5 mois. Soit eprimé en milliers d euros R= 6+,6,5+3 3,5=9 b) Le nombre A qui mesure le montant en milliers d euros du revenu annuel peut être obtenu à partir de la définition de la fonction f A= (6 0)+,6 (8,5 6)+3 ( 8,5)=9 A. YALLOUZ (MATH@ES) 09

110 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES On dit que A est l intégrale de la fonction f sur l intervalle [0;] et on note A= f(t)dt 0 3. Interprétation graphique : Si on prend comme unité d aire l aire du carré formé par les unités des deu aes, l aire du domaine D défini par la courbe C f représentative de la fonction f, l ae des abscisses et les droites d équation =0 et = est égale à la somme des aires des trois rectangles D, D et D u.a D D D Aire(D )=6 =, Aire(D )=,5,6=6,5 et Aire(D 3 )=3,5 3=0,5. Aire(D)= f(t)dt = 9 0 L aire du domaine D est indépendante de la subdivision choisie. On obtiendrait le même résultat avec un découpage de D en 4 rectangles de largeur 0,5. 4. Propriétés de l intégrale a) Si le revenu d un individu modélisé par la fonction f est multiplié par un nombre k, il serait modélisé par la fonction k f et le nombre qui mesure son revenu annuel serait aussi multiplié par k : 0 α f(t)dt = α f(t)dt 0 b) Supposons que dans un couple, les fonctions f et f modélisent le revenu de chacune des deu personnes. Le revenu de ce couple est modélisé par la fonction somme f + f et le revenu annuel de ce couple est égal à la somme des deu revenus annuels : 0 ( f + f )(t)dt = f (t)dt+ f (t)dt 0 0 c) Découper l année en deu périodes consécutives revient à partager l intervalle [0; ] en deu intervalles adjacents par eemple [0; 6] et [6; ]. Le revenu annuel est égal à la somme des revenus de chacune des deu périodes : 6 f()d= f()d+ f()d (8.) D où 6 f()d= f()d f()d Soit en posant f()d= f()d, on retrouve la propriété précédente () f()d= f()d+ f()d 6 0 A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

111 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES I INTÉGRALE D UNE FONCTION DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, admettant des primitives sur cet intervalle. a et b deu réels appartenant à I, et F une primitive de f sur I. On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel, noté REMARQUES b On dit que a et b sont les bornes de l intégrale b a b a f()d= F(b) F(a) b f()d se lit aussi «somme de a à b de f()d». a [ ] b La différence F(b) F(a) se note F(). Ainsi, a b a a f()d [ ] b f()d= F() = F(b) F(a) a f()d, égal à F(b) F(a). Ainsi : La variable peut être indifférement t,,... On dit que c est une variable muette. b a b b f()d= f(t)dt = f(u)du= F(b) F(a) a a Le choi de la primitive F n influe pas sur la valeur de l intégrale. En effet, si G est une autre primitive de f sur I, il eiste un réel c tel que G()=F()+c d où G(b) G(a)=(F(b)+c) (F(a)+c)=F(b) F(a) EXEMPLE Soit à calculer e ( + e ) d Une primitive de la fonction f définie sur l intervalle [;e] par f() = + e est la fonction F définie sur l intervalle [;e] par F()= ln() e D où REMARQUE : e ( + e ) [ d= ln() e [ e = ln(e) e e ] e ] = e + e = e + e 5 [ ln() e On a admis que si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur I. Dans le cadre du programme de terminale ES, on étudiera l intégrale d une fonction continue sur un intervalle. A. YALLOUZ (MATH@ES) ]

112 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Soit ( ) O; i, j un repère orthogonal du plan. L unité d aire (u.a) est l aire du rectangle unitaire OIJK avec I(0; ), J(0; ) et K(; ). a J K j u.a 0 i I b C f Si f est une fonction définie, continue et positive sur un intervalle [a; b] alors l intégrale b a f()d est égale à l aire, eprimée en unité d aire, du domaine compris entre la courbe C f, l ae des abscisses et les droites d équation =a et =b. EXEMPLE 7 Soit f la fonction définie et dérivable sur R par f() = ( + 3) + et C f sa courbe représentative dans le ( ) repère orthogonal du plan O; i, j donné ci-dessous. On admet que f est positive sur R (À démontrer en eercice) Calculer l aire en cm du domaine compris entre la courbe C f, l ae des abscisses et les droites d équation = et =. C f j - 0 i La fonction f est dérivable sur l intervalle R donc continue et pour tout réel, f() > 0. Par conséquent, l aire eprimée en unités d aire, du domaine compris entre la courbe C f, l ae des abscisses et les droites d équation = et = est égale à : 7 ( + 3) + d= = = 7 8 [ 7 ( + 3) ) ( 7 4 ] ( 7 8 Or l unité d aire est l aire d un rectangle de côtés 4cm et cm. Soit u.a = 8 cm Donc, l aire en cm du domaine compris entre la courbe C f, l ae des abscisses et les droites d équation = et = est égale à 7 8 8=7 cm. A. YALLOUZ (MATH@ES) )

113 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES 3 PROPRIÉTÉS Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R. Pour tout réel a appartenant à I. a a f(t)dt = 0 Preuve : Soit F une primitive de f sur I. a a f(t)dt = F(a) F(a)=0 Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R, a et b deu réels appartenant à I. Preuve : Soit F une primitive de f sur I. b a a f(t)dt = f(t)dt b b a f(t)dt = F(b) F(a) et a b f(t)dt = F(a) F(b) Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de R, a et b deu réels appartenant à I. Si a b et f 0 sur l intervalle [a;b], alors b a f(t)dt 0. Preuve : Soit F une primitive de f sur I. Si a b et f 0 sur l intervalle [a;b], alors F est croissante sur [a;b] donc b F(a) F(b) F(b) F(a) 0 f(t)dt 0 a Attention la réciproque est fausse : Soit f la fonction définie sur R par f()= d= [ 3 3 ( = = 0 ] ) ( + 3 ) Ainsi f()d=0 mais f( )= 3 On démontre de manière analogue la propriété suivante : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de R, a et b deu réels appartenant à I. Si a b et f 0 sur l intervalle [a;b], alors b a f(t)dt 0. A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

114 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES II PROPRIÉTÉS DE L INTÉGRALE LINÉARITÉ Soit f et g deu fonctions définies et continues sur un intervalle I de R. Pour tous réels a et b appartenant à I, et pour tout réel k Preuve : b a b b ( f(t)+g(t))dt = f(t)dt+ g(t)dt a a. Soit F et G deu primitives respectives des fonctions f et g sur I. F + G est une primitive sur I de la fonction f + g. et b a b k f(t)dt = k f(t)dt a b. Soit F une primitive de f sur I et k un réel. a b ( f(t)+g(t))dt = ( f + g)(t)dt a [ ] b = (F+ G)(t) a =(F+ G)(b) (F+ G)(a) =(F(b)+G(b)) (F(a)+G(a)) =(F(b) F(a))+(G(b) G(a)) = b a f(t)dt+ b a g(t)dt b a [ ] b k f(t)dt = (kf)(t) a =(kf)(b) (kf)(a) = kf(b) kf(a) = k(f(b) F(a)) = k b a f(t)dt INTERPRÉTATION GRAPHIQUE : Dans le cas où f et g sont continues et positives sur [a;b] C f+g C g A C f C f a A j 0 i b a A j 0 i b a A j 0 i b RELATION DE CHASLES Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R. Pour tous réels a, b et c appartenant à I b a c b f(t)dt = f(t)dt+ f(t)dt a c A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

115 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES Preuve : Soit F une primitive de f sur I Pour tous réels a, b et c appartenant à I c a f(t)dt+ b c f(t)dt =(F(c) F(a))+(F(b) F(c)) = F(b) F(a) = b a f(t)dt 3 ORDRE Soit f et g deu fonctions définies et continues sur un intervalle I de R, a et b deu réels appartenant à I tels que a b. Si pour tout réel appartenant à[a;b], f() g(), alors b a b f()d g()d a Preuve : Si pour tout réel appartenant à [a;b], f() g(), alors f() g() 0. Comme f et g sont deu fonctions définies et continues sur[a; b], la fonction f g est définie et continue sur [a; b]. Par conséquent, si a b et f g 0 alors b a ( f g)()d 0 b a b f()d g()d 0 a Attention la réciproque est fausse : Considérons les fonctions f et g définies sur R par f()= et g()= [ ] 3 3 d= 3 = (9 9 3 ) ( 3 + ) Ainsi, 3 f()d 3 3 = 4 3 et [ 3 4 d= ( 7 = = 4 ] 3 ) ( 8 ) 4 g()d mais nous ne pouvons pas conclure que sur l intervalle [ ;3], f() g() comme on peut le constater sur le graphique ci-dessous. 6 C f 4 C g j i 3 A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

116 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES III INTÉGRALE ET MOYENNE INÉGALITÉS DE LA MOYENNE Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b] de R (a<b ). Soit m et M deu réels. Si pour tout réel appartennant à l intervalle [a;b], m f() M, alors : b m (b a) f()d M (b a) a Preuve : Les fonctions définies sur [a; b] par m et M sont constantes donc continues. Si pour tout réel appartenant à [a;b] (a<b ), m f() M, alors d après la propriété de l intégration d une inégalité : b a b b b b b m d f()d M d m d f()d M d a a a a a m (b a) b a f()d M (b a) INTERPRÉTATION GRAPHIQUE : Dans le cas où f est une fonction continue et positive sur [a;b] L aire du domaine compris entre la courbe C f, l ae des abscisses et les droites d équation =a et =b est comprise entre les aires des rectangles R et R. R de côtés m et b a R de côtés M et b a a C f M R m R j 0 i b VALEUR MOYENNE Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a; b] de R (a < b ). On appelle valeur moenne de f sur [a;b] le réel µ = b f()d b a a INTERPRÉTATION GRAPHIQUE : Dans le cas où f est une fonction continue et positive sur [a;b] L aire du domaine compris entre la courbe C f, l ae des abscisses et les droites d équation = a et = b est égale à l aire du rectangle de côtés µ et b a a µ j 0 i b C f A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

117 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES EXERCICE Calculer les intégrales suivantes : a) 3 5+ e d b) 3 d c) 3 + d d) h) 3 EXERCICE 4 e ( t) dt e) ln(t) dt f) t + 7 d i) 4 3 d j) 4 t t + dt + d Soit f la fonction définie sur l intervalle [0;9] par f() = 8 et C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal. 6 M 8 4 C f a 7 8 L objet de cet eercice est de déterminer l abscisse a du point M de la parabole C f telle que l aire de la partie hachurée soit égale à k fois l aire du domaine délimité par la courbe C f et l ae des abscisses où k est un réel donné.. Eprimer l aire A du domaine délimité par la courbe C f et l ae des abscisses.. Quelle est l ordonnée du point M de la parabole C f d abscisse a? En déduire l aire T en fonction de a de la partie hachurée. 3. Déterminer a pour que T = 0,488 A. EXERCICE 3 La courbe C f tracée ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie sur [0;+ [.,0 0,8 A B C f 0,6 0,4 0, Déterminer graphiquement une valeur approchée au diième près de f()d. A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

118 Lcée Camille SEE Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES. La fonction f est définie sur [0;+ [ par f()= Calculer l aire, en cm, du domaine délimité par la courbe C f, l ae des abscisses et les droites d équation = et =. EXERCICE 4 La courbe tracée ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie sur ] ;+ [. On désigne par f la fonction dérivée de f sur ] ;+ [ et par F une primitive de f sur ] ;+ [. e - 0 e Figure. Déterminer f (e ).. Indiquer les variations de F sur l intervalle ] ; + [. 3. Une des trois courbes représentées ci-dessous est la représentation graphique d une fonction F. Courbe Courbe Courbe 3 6 4e 5ln 5 5, a) Ces trois courbes admettent au point d abscisse (e ) une tangente aant le même coefficient directeur m. Quelle est la valeur de m? b) Laquelle de ces trois courbes peut convenir? 4. Déterminer, en unités d aire, la valeur eacte de l aire du domaine hachuré sur la figure. 5. Quelle est la valeur moenne de la fonction f sur l intervalle [0; 4]? A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

119 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES EXERCICE 5 (D après sujet bac Polnésie Septembre 0) Soit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle ] 4 ; + [. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle ] 4 ; + [. La courbe Γ ci-contre est la représentation graphique dans un repère orthogonal de f, la fonction dérivée de f sur ] 4 ; + [. Cette courbe Γ passe par les points A( 3 ; 0), B( ; 0) et C(0 ;,5). PARTIE A A B C. À l aide de la représentation graphique de la fonction dérivée f, déterminer f (0) et f ( 3).. Trois courbes sont présentées ci-dessous. Une seule de ces trois courbes peut représenter la fonction f. Déterminer laquelle des trois représentations graphiques ci-dessous est celle de la fonction f, en justifiant votre réponse : Γ C C C PARTIE B On suppose qu il eiste deu entiers relatifs a et b tels que, pour tout réel appartenant à l intervalle] 4 ; + [, on a f()=a + bln(+4).. a) Soit un réel appartenant à l intervalle ] 4 ; + [. Eprimer f () en fonction de, a et b. b) Déduire des questions précédentes que a = et b = 6. On considère l intégrale I = 3 f ()d. a) Calculer la valeur eacte de l intégrale I puis en donner une valeur arrondie au diième. b) Donner une interprétation géométrique de l intégrale I. EXERCICE 6 (D après sujet bac Antilles Guanne Septembre 0) Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneau solaires photovoltaïques produisant de l électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 500. A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

120 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES Soit f la fonction définie sur l intervalle [0,5 ; 5] par f()=8ln Si représente le nombre de centaines de panneau solaires fabriqués et vendus, alors on admet que f() représente le bénéfice mensuel de l entreprise, en milliers d euros. On suppose que f est dérivable sur [0,5 ; 5], et on note f sa fonction dérivée. PARTIE A. Calculer f (). Vérifier que, pour tout nombre appartenant à l intervalle [0,5 ; 5], on a f ()= Étudier le signe de f () sur l intervalle [0,5 ; 5]. En déduire les variations de la fonction f sur l intervalle [0,5 ; 5]. 3. a) Calculer f(). b) Montrer que sur l intervalle [8 ; 9] l équation f() = 0 admet une solution unique α. Déterminer une valeur approchée par défaut de α à 0 près. c) En déduire le signe de f() pour tout appartenant à l intervalle [0,5 ; 5]. 4. Quels sont le nombre minimal et le nombre maimal de panneau que l entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire? 5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. L entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de C? Justifier la réponse. PARTIE B. On admet que la fonction G définie sur l intervalle ]0 ; + [ par G() = ln est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l intervalle ]0 ; + [. En déduire une primitive F de la fonction f sur l intervalle [0,5 ; 5].. Rappel : soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a ; b], où a<b. La valeur moenne de la fonction f sur l intervalle [a ; b] est le nombre réel m défini par m= b f()d b a a Déterminer la valeur moenne du bénéfice mensuel de l entreprise, arrondie à la centaine d euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 00 et 800 panneau solaires. EXERCICE 7 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 0) PARTIE A Soit u la fonction définie sur ] ; 4[ ]4 ; + [ par u()= Donner le signe de 5+6 pour tout de R.. En déduire le signe de u() pour tout de ] ; 4[ ]4 ; + [. 3. Factoriser 5+6. PARTIE B. En utilisant la partie A, epliquer pourquoi la fonction f telle que peut être définie pour ]4 ; + [. f()= ln ( )( 3) ( 4) A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

121 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES. Une représentation graphique de la fonction f figure ci-dessous Utiliser cette représentation graphique pour déterminer une valeur approchée, arrondie à l entier le plus proche, du nombre A = 7 On epliquera la démarche. 5 f()d. 3. Soient i, j et k les fonctions définies sur]4 ; + [ par : i()= ln( ) j()= ln( 3) k()=ln( 4) a) Vérifier que la fonction I définie sur ]4 ; + [ par I() = ( )ln( ) est une primitive de la fonction i sur ]4 ; + [. b) On admet que la fonction J définie sur ]4 ; + [ par J()=( 3)ln( 3) est une primitive de la fonction j sur ]4 ; + [ et que la fonction K définie par K() =( 4) ln( 4) est une primitive de la fonction k sur ]4 ; + [. Pour ]4 ; + [, eprimer f() à l aide de i(), j() et k(). c) En déduire l epression d une primitive F de la fonction f sur ]4 ; + [. 4. Calculer la valeur eacte de A, puis donner la valeur arrondie au centième. EXERCICE 8 (D après sujet bac Amérique du Nord 00) PARTIE A - Étude préliminaire On considère la fonction g définie sur l intervalle ]0 ; + [ par g() = ln(). ( ) On donne ci-dessous sa courbe représentative C g dans un repère orthonormé O; i, j. Cette courbe C g coupe l ae des abscisses au point d abscisse α. A. YALLOUZ (MATH@ES)

122 Année 0-0 CALCUL INTÉGRAL T le ES 4 3 α C g. Déterminer la valeur eacte de α. -4. On admet que la fonction g est strictement décroissante sur l intervalle ]0 ; + [. Donner, en justifiant, le signe de g() sur l intervalle ]0 ; + [. PARTIE B - Étude d une fonction Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f()= ln()+. ln(). Déterminer la limite de f en + (on rappelle que lim = 0). + On admettra que lim f()=. 0. a) Calculer f () et montrer que f ()= g(). b) Étudier le signe de f () et en déduire le tableau de variations de la fonction f. 3. a) Déterminer une primitive F de la fonction f sur l intervalle ]0 ; + [. On pourra remarquer que f()= ln()+. b) Soit I = 4 près. 5 PARTIE C - Application économique f() d. Déterminer la valeur eacte de I, puis en donner une valeur approchée au centième Dans cette partie, on pourra utiliser certains résultats de la partie B. Une entreprise de sous-traitance fabrique des pièces pour l industrie automobile. Sa production pour ce tpe de pièces varie entre 000 et 5000 pièces par semaine, selon la demande. On suppose que toutes les pièces produites sont vendues. Le bénéfice unitaire, en fonction du nombre de pièces produites par semaine, peut être modélisé par la fonction f définie dans la partie B, avec eprimé en milliers de pièces et f() eprimé en euros.. Déterminer, au centime près, la valeur moenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre 000 et 5000 pièces.. Dans cette question, la réponse sera soigneusement justifiée. Toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Pour quelle(s) production(s), arrondie(s) à l unité près, obtient-on un bénéfice unitaire égal à,05 C? A. YALLOUZ (MATH@ES)

123 Chapitre 9 FONCTION EXPONENTIELLE I Définition et premières propriétés Définition Premières propriétés de la fonction eponentielle II Propriétés algébriques de la fonction eponentielle Eponentielle d une somme Autres propriétés III Étude de la fonction eponentielle Dérivée et sens de variation Limites Courbe représentative Croissances comparées IV Eponentielle d une fonction : ep(u) Variation Limites Dérivée Primitives V Eponentielle de base a Définition Propriétés algébriques Dérivée Sens de variation Limites Racines n-ième d un réel strictement positif EXERCICES Étude de fonctions Eponentielle d une fonction A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

124 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES I DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS De la continuité de la fonction ln et par application du théorème de la valeur intermédiaire, on en déduit que pour tout réel b l équation ln()= b admet une solution unique a dans l intervalle ]0;+ [ b j a 0 a i b Soit pour tout réel, il eiste un unique réel >0 tel que =ln() Cette propriété, permet de définir une nouvelle fonction «réciproque» de la fonction logarithme népérien. DÉFINITION La fonction eponentielle, notée ep, est définie sur l ensemble des réels. Pour tout réel, on associe le réel strictement positif tel que : =ep() =ln() NOTATION Pour tout entier relatif n, ln(e n )=n. Ainsi, pour tout entier relatif n, ep(n)=e n. On convient d étendre cette écriture à tout réel. C est à dire que pour tout réel, on écrit ep()=e. e se lit donc «eponentielle de». PREMIÈRES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION EXPONENTIELLE Les propriétés suivantes se déduisent de la définition : Pour tout réel, e > 0. Pour tout réel et pour tout réel >0, =e =ln(). Pour tout réel, ln(e )=. Pour tout réel >0, e ln() =. EXEMPLES ln()=0 e 0 = ; e = 3 =ln3 ; L équation e = 0 n a pas de solution. II PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE D UNE SOMME Pour tout réel a et pour tout réel b Démonstration e a+b = e a e b Pour tout réel a et pour tout réel b, e a+b, e a et e b sont des réels strictement positifs. Nous avons, d une part, ln ( e a+b) = a+b. D autre part, ln ( e a e b) = ln(e a )+ln ( e b) = a+b Donc ln ( e a+b) = ln ( e a e b) e a+b = e a e b A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

125 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES AUTRES PROPRIÉTÉS. Pour tout réel a, e a = e a. Pour tout réel a et pour tout réel b, e a b = ea e b 3. Pour tout réel a et pour tout entier relatif n, e na =(e a ) n Démonstrations. Pour tout réel a, e a e a = e 0 = donc e a = e a. Pour tout réel a et pour tout réel b, e a b = e a e b = e a e b = ea e b 3. Pour tout réel a et pour tout entier relatif n, ln(e na )=na et ln(e a ) n = nln(e a )=na Donc ln(e na )=ln(e a ) n e na =(e a ) n EXEMPLES e +ln 3 = e e ln3 = 3e ; e = e ( ) = e ; e + e = e + = e + ; e e = ( e +) III ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION DÉRIVÉE La fonction eponentielle est dérivable sur R et ep ()=ep() Preuve : On admet que la fonction eponentielle est dérivable sur R. e étant strictement positif, la fonction composée définie sur R par f()=ln(ep()) est dérivable et pour tout réel, f ()= ep () ep(). Or f()= ln(e )=, donc f ()=. Ainsi, pour tout réel, ep () ep() = donc ep ()=ep()=e. VARIATION La fonction eponentielle est strictement croissante sur R Démonstration La fonction eponentielle est dérivable sur R et est égale à sa dérivée. Or pour tout réel, e > 0. On en déduit que la fonction eponentielle est strictement croissante sur R. CONSÉQUENCES Pour tout réel et pour tout réel, e = e = et e < e < A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

126 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES LIMITES Démonstrations lim + e =+ et lim e = 0. Soit f la fonction définie sur R par f()=e. La fonction f est dérivable sur R, et pour tout réel, f ()=e. Or la fonction eponentielle est strictement croissante sur R et e 0 =. Donc si 0, alors e. On en déduit le signe de f ainsi que le tableau des variations de la fonction f 0 + f () 0 + f() Le minimum de la fonction f est égal à. Donc pour tout réel, f() > 0. C est à dire pour tout réel, e >0 e >. Or lim =+ donc d après les théorèmes de comparaison, lim + + e =+. La limite de la fonction eponentielle en se déduit de sa limite en+ Si tend vers +, alors tend vers. Par conséquent Or lim + e =+ donc lim + lim e = lim + e = lim + e = 0. Soit e lim e = 0 3 COURBE REPRÉSENTATIVE lim e = 0 donc l ae des abscisses est asmptote à la courbe représentative de la fonction eponentielle en. e 0 = et la tangente à la courbe représentative de la fonction eponentielle au point d abscisse 0 a pour équation =+. La tangente à la courbe représentative de la fonction eponentielle au point d abscisse a pour équation =e. La fonction eponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Dans un repère orthonormé, leurs courbes représentatives sont smétriques par rapport à la droite D d équation =. =e e =ln j 0 i e A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

127 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 4 CROISSANCES COMPARÉES Pour tout entier naturel n non nul, Démonstrations e lim =+ et lim + e = 0 lim +. Pour tout réel strictement positif, e = e ( ln() Or lim = 0 donc lim + ln() + Ainsi, lim + lim + e =+. ( ln() ) =+ et e =+ et lim n n e = 0. ( e ln() = e ln() = e ) =+ ln() lim X + ex =+, donc par composition, e. Comme lim =+, on en déduit par passage à l inverse que + lim donc lim e = Soit n un entier naturel non nul quelconque. Pour tout réel, e = ( ) e n n ( Donc pour tout réel non nul, e ) n e n = n lim + En outre =+ et n lim e X X + X ( n n ) + ) n = ( ) n e n n n ( ) n = n n n =+, donc par composition, lim lim X n =+ donc par composition, X + e lim + e n n e n + n n ( lim + e ln() ) =+. Soit = 0. C est à dire e lim + e = 0 e n n =+ = + d où, lim + n n n e n n n =+. C est à dire lim + n =+. Ce résultat est vrai pour un entier naturel n non nul quelconque, ce qui signifie qu il est vrai pour tout entier naturel n non nul. REMARQUE : On peut résumer cette propriété à l aide de la règle opératoire : En+, l eponentielle de l emporte sur toutes les puissances de =e = 3 50 = 0 A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

128 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES IV EXPONENTIELLE D UNE FONCTION : ep(u) On considère une fonction u définie sur un intervalle I. f = ep u est la composée de la fonction u suivie de la fonction eponentielle notée également f = e u. VARIATION Les fonctions u et e u ont les mêmes variations sur l intervalle I. Démonstration La fonction eponentielle est strictement croissante sur R, par composée : si la fonction u est croissante sur I, alors la fonction e u est croissante sur I ; si la fonction u est décroissante sur I, alors la fonction e u est décroissante sur I. EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle R par f()=e. f est la composée de la fonction affine u définie sur R par u()= suivie de la fonction ep. Or la fonction u est décroissante sur R donc la fonction f est décroissante sur R. LIMITES Pour étudier une limite d une fonction e u, on utilise le théorème sur la limite d une fonction composée. EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle ];+ [ par f()=e.. lim = 0+ d où lim = et comme + + lim lim e = 0. lim =+ et + lim X + ex =+ donc par composition des limites X ex = 0 donc par composition des limites lim + e =+ 3 DÉRIVÉE Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction e u est dérivable sur I et (e u ) = e u u. Démonstration La fonction u est dérivable sur I et la fonction ep est dérivable sur R, on peut appliquer le théorème de dérivation d une fonction composée. Pour tout réel de l intervalle I (ep u) ()= ep [u()] u ()=ep[u()] u ()=e u() u () EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle R par f()=e. La fonction u définie sur R par u()= est dérivable sur R et u ()=. f est dérivable sur R et pour tout réel, f ()=e 4 PRIMITIVES Soit u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f définie par f()=u ()e u() admet des primitives sur I. L ensemble des primitives de f sur I est l ensemble des fonctions F définies par F()=e u() + k. A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

129 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES V EXPONENTIELLE DE BASE a a est un réel strictement positif et b un réel quelconque alors, e bln a eiste et e bln a = ( e lna) b = a b DÉFINITION Soit a un réel strictement positif. On appelle fonction eponentielle de base a la fonction f définie sur R par : f()=a = e ln a PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES Les règles de calcul sur les puissances s appliquent à la fonction eponentielle de base a. Pour tous réels a et b strictements positifs et pour tous réels et, on a : a + = a a ; a = a ; a = a a ; (a ) = a ; a b =(ab) Toutes ces propriétés se démontrent en revenant à la définition a = e ln a. Par eemple : a + = e (+)lna = e lna+ln a = e ln a e lna = a a 3 DÉRIVÉE Soit a un réel strictement positif. La fonction eponentielle de base a est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction : lna a Démonstration Soit a un réel strictement positif. f est la fonction définie pour tout réel par f()=a = e ln a. D où f = e u avec pour tout réel, u()=ln a et u ()=lna. La fonction f est dérivable et f ()= lna e lna = lna a 4 SENS DE VARIATION Soit a un réel strictement positif. Si 0<a<, alors la fonction f : a est strictement décroissante sur R. Si a=, alors la fonction f : a est constante et égale à sur R. Si a>, alors la fonction f : a est strictement croissante sur R. Démonstration Soit a un réel strictement positif. La fonction f définie pour tout réel par f()=a est dérivable et f ()= lna a. Pour tout réel, a > 0, donc f () est du même signe que lna : Si 0<a<, alors lna<0 d où f ()<0 et f est strictement décroissante sur R. Si a=, alors lna=0 d où f ()= 0 et f est constante R. Si a>, alors lna>0 d où f ()> 0 et f est strictement croissante sur R. A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

130 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 5 LIMITES Soit a un réel strictement positif. Si 0<a<, alors lim a =+ et Si a>, alors lim a = 0 et Démonstration lim + a = 0. lim + a =+. Soit a un réel strictement positif. Pour tout réel, a = e ln a. Si 0<a<, alors lna<0 d où : lim lna=+ et lim X + ex =+ donc par composition, lim eln a =+. lim lna= et lim + X ex = 0 donc par composition, lim + eln a = 0. Si a>, alors lna>0 d où : lim lna= et lim X ex = 0 donc par composition, lim eln a = 0. lim lna=+ et lim + X + ex =+ donc par composition, lim + eln a =+. On a tracé ci-dessous, les courbes représentatives des fonctions a dans un repère orthonormé pour a=0,5 =0,7 =0,5 = =,3 0 = 6 RACINES n-ième D UN RÉEL STRICTEMENT POSITIF Soit n un entier naturel non nul. Pour tout réel strictement positif, n = n. La moenne géométrique de n nombres strictement positifs,,, n est le nombre ( n ) n. EXEMPLES. À la fin du quatrième trimestre 0, la dette publique de la France s établit à 77,3 MdC. À la fin du quatrième trimestre 007, la dette publique était de,6 Md C. Calculons le tau annuel moen d évolution du montant de la dette : Soit = + t le coefficient multiplicateur associé au tau annuel moen d évolution du montant de la 00 dette. est solution de l équation :,6 4 = 77,3 = ( ) 77,3 4,6 Soit,09. Entre 007 et 0 le montant de la dette a augmenté en moenne de 9,% par an.. Les pourcentages d évolution annuels du montant de la dette sont données dans le tableau ci-dessous. Année tau en % 3, 6,9 0, 7,4 6,3 0,4 5, Calculons le tau annuel moen d évolution du montant de la dette : (,03,069,0,074,063,004,05) 7,056 Entre 000 et 007 le montant de la dette a augmenté en moenne de 5,6% par an. A. YALLOUZ (MATH@ES) 30

131 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE Simplifier les écritures suivantes : A=(e ) e ; B=ln( e + e ) ; C=(e + e ) (e e ) ; D=e ( e ) ; E = e+ e ; F = EXERCICE ( e + ) Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : e ; G= e+ln e ; H = e+ln 8 e ln.. e + e = 3+5. e 3 = e 3. ln(e )+e ln = 0 4. ln ( e +) ( = e e ln( +) ln e ) = 6. e + e 3 4 = 0 7. e + 3e =0 8. e + 3=e 9. e e < 0. e e. e e. e e EXERCICE 3 On cherche à déterminer. Déterminer f (). lim + e. Pour cela, on considère la fonction f définie sur R par f()=e.. Étudier les variations de f, en déduire que f admet un minimum. 3. Justifier que pour tout réel on a : e >. En déduire la limite de la fonction eponentielle en+. EXERCICE 4 (D après sujet bac France Métropolitaine Septembre 0) Une entreprise fabrique chaque mois tonnes d un certain produit, avec appartenant à l intervalle ]0; 6]. Le coût moen de fabrication, eprimé en milliers d euros, pour une production mensuelle de tonnes est donné par C(), où C est la fonction définie par :. À l aide de la calculatrice : C()= 0,0e +. a) conjecturer en terme de variations l évolution du coût moen de fabrication sur l intervalle ]0; 6] ; b) estimer le minimum du coût moen de fabrication et la production mensuelle correspondante ; c) dire s il est possible d atteindre un coût moen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode utilisée.. On désigne par C la fonction dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout nombre réel appartenant à l intervalle ]0; 6] : C ()= 0,0e 0,0e. 3. On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; 6] par : f()=0,0e 0,0e. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. a) Vérifier que pour tout nombre réel appartenant à l intervalle ]0;6] f ()= 0,0e. b) Justifier que la fonction f est strictement croissante sur l intervalle ]0; 6]. A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

132 Lcée Camille SEE Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES c) Justifier que l équation f() = 0 admet une seule solution α appartenant à l intervalle [4; 5]. Donner la valeur arrondie au diième du nombre réel α. d) Déduire des résultats précédents le signe de f() sur l intervalle ]0; 6]. 4. À l aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de α tonnes du produit. EXERCICE 5 (D après sujet bac Polnésie Septembre 0) ( ) Le plan est muni d un repère orthonormal O; i, j d unité graphique cm. On s intéresse dans cet eercice à la fonction f définie ( sur ) l ensemble des réels R par f()= +e. On note C sa courbe représentative dans le repère O; i, j.. a) Déterminer la limite de la fonction f en+. b) Déterminer la limite de la fonction f en. Interpréter graphiquement cette limite. (On rappelle le résultat : lim e = 0). On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note f sa fonction dérivée. a) Montrer que, pour tout nombre réel on a f ()=(+)e. Dresser le tableau de variations de la fonction f (la valeur de l etremum sera arrondie à 0 ). 3. Justifier que l équation f() = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [0 ; ]. Donner un encadrement de α d amplitude Démontrer qu une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 0 est =. ( ) 5. Dans le repère O; i, j tracer la droite T et la courbe C. Quelle conjecture peut-on faire sur la position de la courbe C par rapport à la droite T? 6. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Justifier la conjecture émise à la question 5. EXERCICE 6 (D après sujet bac Antilles Septembre 009) On considère une fonction f définie sur l intervalle [ ; 3] par f() = ae + b+c où a, b et c sont des réels fiés. Une partie de la courbe C représentative de f est représentée ci-dessous : 3 B D A C - -3 On dispose des renseignements suivants : A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

133 Lcée Camille SEE Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES C passe par A(0 ; ). B est le point de coordonnées ( ; 3) ; la droite (AB) est tangente à C au point A. C admet une tangente horizontale au point D d abscisse ln3.. On désigne par f la dérivée de la fonction f. Traduire les renseignements précédents par trois égalités utilisant f ou f.. En résolvant un sstème, déterminer a, b et c. 3. On admet à partir de maintenant que f()= e a) Étudier les variations de f sur l intervalle [ ; 3]. b) Montrer que f s annule eactement une fois sur [ ; ln 3] en un réel α. Donner, en justifiant, une valeur approchée au centième près de α. c) Pour la suite, on admet que f s annule eactement une fois sur [ln3 ; 3] en un réel β. Déterminer le signe de f sur l intervalle [ ; 3]. 4. a) Déterminer une primitive de f sur l intervalle [ ; 3]. b) On considère la surface S délimitée par l ae des ordonnées, l ae des abscisses, la courbe C et la droite d équation =ln3. Hachurer S sur la figure en annee. c) Déterminer, en justifiant avec soin, l aire de S, en unités d aire. On donnera la valeur eacte et la valeur décimale arrondie au centième. EXERCICE 7 (D après sujet bac Pondichér 0) La courbe C f tracée ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe C f au point A(0;3) passe par le point B(;5). La droite D d équation = est asmptote horizontale à la courbe C f au voisinage de +. 5 B 4 3 A C f D En utilisant les données et le graphique, préciser : a) La valeur du réel f(0) et la valeur du réel f (0). A. YALLOUZ (MATH@ES) 33

134 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES b) La limite de la fonction f en +.. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point A. 3. Préciser un encadrement par deu entiers consécutifs de l aire, en unités d aire, de la partie du plan située entre la courbe C f, l ae des abscisses, l ae des ordonnées et la droite d équation =. 4. On admet que la fonction f est définie, pour tout nombre réel, par une epression de la forme f()= + a+b e, où a et b sont des nombres réels. a) Déterminer l epression de f () en fonction de a, de b et de. b) À l aide des résultats de la question. a., démontrer que l on a, pour tout réel : f()=+ 4+ e. 5. Soit F la fonction définie et dérivable sur R par F()= On admet que F est une primitive de f sur R. Déterminer la valeur eacte puis une valeur approchée à 0 près de l aire, en unités d aire, de la partie du plan située entre la courbe C f, l ae des abscisses, l ae des ordonnées et la droite d équation =. Ce résultat est-il cohérent avec l encadrement obtenu à la question 3.? e EXERCICE 8 (D après sujet bac Centres étrangers 009) On considère la fonction f définie sur R par f()= 5e e + On désigne par f la fonction dérivée de f et par F la primitive de f sur R qui vérifie F(0)= 0. Dans le repère orthonormal ( d unité cm de l annee, la courbe C f tracée représente la fonction f et la droite D est sa tangente au point A 0; 5 ). PREMIÈRE PARTIE. La courbe C f admet pour asmptotes en la droite d équation =0 et en+ la droite d équation =5. En déduire lim f() et lim f(). +. Démontrer que, pour tout nombre réel, f ()= 5e (e + ). 3. Etudier le signe de f () suivant les valeurs de et en déduire le sens de variation de f sur R. 4. En utilisant le résultat de la question., déterminer une équation de la droite D. DEUXIÈME PARTIE. Pour tout réel, eprimer F() en fonction de. ( ) e+. Vérifier que F() = 5 ln. 3. Sur l annee, le domaine grisé est délimité par la courbe C f, les aes de coordonnées et la droite d équation =. Calculer l aire, en unités d aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au diième. A. YALLOUZ (MATH@ES) 34

135 Lcée Camille SEE Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES ANNEXE C f D - EXERCICE 9 PARTIE A La courbe(c) tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d une fonction f définie sur R. On désigne par f la fonction dérivée de f sur R A Au point A(0;), la courbe (C) admet une tangente parallèle à l ae des abscisses. En déduire f(0) et f (0). A. YALLOUZ (MATH@ES) 35

136 Lcée Camille SEE Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique d une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction F. Courbe Courbe Courbe 3 Courbe PARTIE B Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur R par : f()=+e.. a) Vérifier que pour tout réel, f()= e + e et déterminer la limite de la fonction f en. b) Montrer que la courbe (C) admet pour asmptote la droite d équation = en +.. a) Calculer f (). b) Étudier le signe de f () sur R puis dresser le tableau de variation complet de f. 3. Soit F la primitive de la fonction f telle que F(0)=. On note (Γ) sa courbe représentative. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe (Γ) au point d abscisse 0. b) Calculer F(). 4. On considère la surface S délimitée par l ae des abscisses, la courbe (C) et les droites d équation = et =3. a) Hachurer S sur la figure en annee. b) Déterminer, en justifiant avec soin, l aire de S, en unités d aire. On donnera la valeur eacte et la valeur décimale arrondie au centième. EXERCICE 0 PARTIE A. Étudier le signe du polnôme P(X)= 8X + X+ où X est un réel.. Soit g la fonction définie sur R par : g()= 8e + e + a) Montrer que pour tout réel, g()= 8e + e + e b) Résoudre dans R l équation : 8e + e + =0, en déduire les solutions de l équation g()=0. c) Étudier le signe de la fonction g sur R. PARTIE B Soit f la fonction définie sur R par : f ()= 8 e e +. Sa courbe représentative C f est donnée ci-dessous. A. YALLOUZ (MATH@ES) 36

137 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES B A 0 C f. Calculer les coordonnées des points A et B intersection de la courbe C f avec les aes du repère.. Étudier les limites de la fonction f en et en +. Préciser les asmptotes éventuelles à la courbe C f. 3. Calculer f (), où f est la dérivée de f. 4. Étudier les variations de f sur R. (Aide : f ()= g() (e + ) ) 5. Donner les équations des tangentes à la courbe C f au points d abscisses 3ln et 0. EXERCICE (D après sujet bac Liban 0) On considère les fonctions f,g et h définies sur R par f()=e, g()= + et h()= f() g(). On note C f la courbe représentative de la fonction f et la droite représentant la fonction g dans un repère orthonormé du plan. PARTIE A : Position relative de C f et de l une de ses tangentes.. Vérifier, par le calcul, que la tangente à C f au point d abscisse 0 est la droite.. a) Montrer que pour tout R, h ()= e. b) Étudier le signe de h () suivant les valeurs de. c) En déduire le sens de variation de la fonction h sur R. 3. En utilisant les questions. et., étudier la position relative de la courbe C f et de sa tangente au point d abscisse 0. PARTIE B : Calcul d aire. Montrer que 0 h()d= e.. Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans l évaluation. Soit a un nombre réel vérifiant a>. On appelle D le domaine colorié sur le graphique en annee. On note A l aire, eprimée en unité d aire, du domaine D. a) Déterminer en fonction de a la valeur de A. b) Déterminer la limite de A lorsque a tend vers +. A. YALLOUZ (MATH@ES) 37

138 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES C f,4,,0 0,8 0,6 0,4 0, ANNEXE -0,5 0 0,5,0,5,0,5 a 3,0 3,5-0, EXERCICE (D après sujet bac Antilles Guanne 0) PARTIE A : étude d une fonction 80 Soit f la fonction dérivable définie sur l intervalle [0 ; + [ par f() = +4e 0,3 Dans un repère orthogonal, on note C f la courbe représentative de la fonction f et D la droite d équation =7. On admet que la courbe C f et la droite D se coupent en un seul point d abscisse 0 et on donne 0 9,0. 80 D C f Calculer f(0) et la valeur arrondie au centième de f(0).. Démontrer que la fonction f est croissante sur l intervalle [0 ; + [. 3. a) Calculer la limite de f en +. En déduire que la courbe C f admet une asmptote horizontale au voisinage de+ et en donner une équation. b) Montrer que pour tout appartenant à [0 ; + [, on a f() < 80. En déduire la position relative de la courbe C f par rapport à la droite d équation =80 sur l intervalle [0 ; + [. A. YALLOUZ (MATH@ES) 38

139 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 4. À l aide du graphique, déterminer, selon les valeurs de, le signe de 7 f() pour appartenant à l intervalle [0 ; + [. PARTIE B : interprétation économique Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On utilisera les résultats de la partie A. Une entreprise peut produire chaque jour au maimum 000 thermomètres de bain pour bébé. On note le nombre de centaines de thermomètres produits chaque jour travaillé, appartenant à l intervalle [0 ; 0]. On suppose que le coût total de production par jour, eprimé en centaines d euros, est égal à f(), où f est la fonction définie dans la partie A.. Déterminer le montant des «coûts fies», c est-à-dire le montant des coûts lorsque la quantité produite est nulle.. Le coût total de production des thermomètres peut-il atteindre 800 C par jour? Justifier. 3. Le pri de vente d un thermomètre est fié à 7 C. La recette journalière, eprimée en centaines d euros, est donc donnée par R() = 7. Pour quelles productions journalières de thermomètres l entreprise réalise-t-elle un bénéfice? Justifier. EXERCICE 3 (D après sujet bac Asie 008) On considère la fonction u définie sur l intervalle ]0 ; + [ par u()= 0. Calculer les limites de u en 0 et en+.. Étudier les variations de u. On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ;+ [ par f()=e u(). 3. Calculer les limites de f en 0 et en +. Quelles conséquences graphiques peut-on en déduire? 4. Établir, en justifiant, le tableau de variations de f. 5. Résoudre algébriquement l équation f() =. 6. L équation f() = admet-elle une solution? Pourquoi? EXERCICE 4 (D après sujet bac Antilles Septembre 007) On donne ci-dessous la courbe représentative C de la fonction f définie sur [0 ; + [ par f()=e ( ) + dans un repère orthonormé du plan O; i, j d unité cm. 3 e C A. YALLOUZ (MATH@ES) 39

140 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES. Démontrer que l équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d abscisse est = +. Tracer T sur le graphique précédent.. On définit la fonction g sur l intervalle [0 ; + [ par g()= f()+. a) Démontrer que la fonction g est décroissante sur l intervalle [0; ] et croissante sur l intervalle [ ; + [. b) Calculer g(). En déduire le signe de g sur l intervalle [0 ; + [. Interpréter graphiquement le résultat. 3. a) Hachurer sur le graphique, le domaine D délimité par la courbe C, la droite T, la droite d équation = et l ae des ordonnées. b) Calculer l aire du domaine D en cm. On donnera la valeur eacte puis la valeur arrondie à 0. EXERCICE 5 La courbe C ci-dessous, appelée courbe de concentration de Lorenz, rend compte de la concentration du revenu des ménages. Cette courbe représente la fonction f définie sur l intervalle[0;] par f()=e. Ainsi, f() est le pourcentage du revenu perçue par le pourcentage des ménages aant les plus bas revenus. La droite (OA) a pour équation =. Part cumulée du revenu,0 A 0,8 0,6 0,4 A 0, O. Calculer f(0,5) et f(0,95). Interpréter les résultats. 0, 0,4 0,6 0,8,0 B Part cumulée des ménages. On appelle γ l indice de Gini égal au quotient de l aire A du domaine compris entre la courbe C et la droite (OA) par l aire du triangle OAB. a) Montrer que γ = 0 f()d. b) Vérifier que la fonction F définie sur l intervalle [0;] par F() = ( )e est une primitive de la fonction f. c) Calculer l arrondi au millième près de l indice de Gini γ. A. YALLOUZ (MATH@ES) 40

141 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE 6 On désigne par f la fonction définie sur R par f() = e 0,5. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal.. Étudier le signe de f.. a) Calculer la limite de la fonction f en. b) Vérifier que, pour tout nombre réel, f() =( X)e X avec X = 0,5. En déduire la limite de la fonction f en +. Interpréter graphiquement ce résultat. 3. On note f la fonction dérivée de la fonction f. a) Démontrer que pour tout nombre réel, f ()=( 0,5)e 0,5 b) Dresser le tableau complet des variations de la fonction f. 4. On admet qu il eiste deu réels a et b tels que, pour tout réel, la fonction F définie sur R par F()=(a+b)e 0,5 est une primitive de la fonction f sur R. a) Déterminer les valeurs eactes des réels a et b. b) Déterminer la valeur, en unités d aire, de l aire de la partie du plan délimitée par la courbe C f, l ae des abscisses, l ae des ordonnées et la droite d équation =. EXERCICE 7 On considère la fonction f définie sur R par f() = e +. On note C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan d origine O. (Unités : cm sur l ae des abscisses et 0,5 cm sur l ae des ordonnées). La partie hachurée ci-dessous est limitée par la courbe C f, l ae des abscisses, l ae des ordonnées et les droites d équation = et = C f Montrer que la droite d équation = est asmptote à la courbe C f en +.. a) Calculer f (). b) Résoudre dans R l inéquation e > 0. c) Établir le tableau des variations de la fonction f. En déduire le signe de f. 3. Calculer, en cm, l aire A de la partie hachurée. A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

142 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE 8 Le tableau suivant donne l évolution du chiffre d affaires (CA), en millions d euros, sur la période d une entreprise. Année Rang i du l année CA i Le nuage de points M i ( i ; i ) associé à cette série statistique est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal a) Déterminer une équation de la droite D d ajustement de en obtenue par la méthode des moindres carrés. Tracer la droite D dans le repère précédent b) À l aide de cet ajustement, déterminer le chiffre d affaire que cette entreprise peut prévoir en 00.. a) Calculer le pourcentage d évolution annuel moen du chiffre d affaires entre les années 00 et 008. b) Avec une augmentation annuelle de % du chiffre d affaires, quel chiffre d affaire cette entreprise peut-elle prévoir en 00? 3. Pour effectuer un ajustement eponentiel du nuage, on pose z i = ln( i ). a) Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de z i au millième. i z i 4,984 b) Déterminer une équation de la droite d ajustement de z en obtenue par la méthode des moindres carrés. (coefficients arrondis au centième). c) En déduire une relation entre et de la forme =Ae B, A et B étant arrondis au centième. 4. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes : a) Donner une estimation du chiffre d affaire de l entreprise en 00. b) À partir de quelle année, le chiffre d affaire de cette entreprise dépassera-il 500 millions d euros? EXERCICE 9 (D après sujet bac Polnésie Septembre 00) Le tableau ci-dessous donne, en milliers, le nombre de domaines en «.fr» gérés par l AFNIC, organisme qui centralise les noms de domaine Internet, pour les mois de juin des années 00 à 008 : A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

143 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES Année Rang i de l année i Nombre i des domaines en «.fr», en milliers, i 8 05,045 8,97 43,74 4,45 344, ,79 8,674 5,6 Le nuage de points associé à cette série statistique est donné ci-dessous. nombre de domaines en.fr en milliers (Source : AFNIC, 009) rang de l année Calculer, en pourcentage, l augmentation du nombre de domaines en «.fr» entre juin 00 et juin 00, arrondi à %.. a) Epliquer pourquoi un ajustement affine de en ne semble pas justifié. b) On cherche alors un ajustement eponentiel. Pour tout i 8, on pose z i = ln i. Recopier sur votre copie et compléter le tableau ci-dessous avec les valeurs de z i arrondies au centième : Rang de l année i i z i = ln i i 8 c) À l aide de la calculatrice et en utilisant les données du tableau précédent, donner une équation de la droite d ajustement de z en par la méthode des moindres carrés sous la forme z=a+b (les coefficients seront arrondis au centième). d) En déduire que =60,34e 0,35 où les coefficients sont arrondis au centième, est un ajustement eponentiel possible. 3. a) En utilisant le modèle trouvé à la question. d., quel est le nombre estimé de domaines en «.fr» en juin 009? (le résultat sera arrondi au millier). A. YALLOUZ (MATH@ES) 43

144 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES b) Si l erreur commise en utilisant le modèle proposé est inférieure à %, on considère que le modèle est pertinent. En réalité, le relevé de juin 009 de l AFNIC indiquait 4 65 domaines en «.fr». Le modèle proposé est-il pertinent? 4. a) Résoudre dans l intervalle[0 ; + [ l inéquation 60,34e 0, (le résultat sera arrondi au diième). b) En déduire, en utilisant le modèle trouvé à la question. d., à partir du mois de juin de quelle année le nombre de «domaines en.fr» dépassera 0 millions. EXERCICE 0 Les fonctions d offre et de demande d un produit sont définies sur [0;0] par : fonction d offre f()=e 4 ; fonction demande g()=e 6. Où est la quantité en milliers d articles et f() et g() sont des pri unitaires en euros.. Étudier les variations des fonctions f et g.. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d abscisse Les courbes représentatives des fonctions f et g sont données ci-dessous. Au point E d équilibre du marché, le pri p 0 en euro demandé par les consommateurs est égal au pri d offre des producteurs et la quantité échangée sur le marché en milliers d articles est égale à q 0. pri 7 offre p 0 E 0 S p q 0 demande quantité Calculer la quantité d équilibre q 0 en nombre d articles et le pri d équilibre p 0 arrondi au centime d euro près. 4. On considère les nombres I = q0 5. On admet que la quantité d équilibre q 0 est de 6 milliers d articles. 0 g()d et J = p 0 q 0. Donner une interprétation graphique de I J. a) Eprimé en milliers d euros, le surplus des consommateurs, est donné par S d = le surplus des consommateurs arrondi à l euro près. 6 0 g()d 6e. Déterminer b) L aire S p du domaine hachuré représente en milliers d euros, le surplus des producteurs. Déterminer le surplus des producteurs arrondi à l euro près. A. YALLOUZ (MATH@ES) 44

145 Lcée Camille SEE Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE (D après sujet bac Amérique du Sud 0) Une substance médicamenteuse est injectée par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent l injection, la substance est éliminée par les reins. La quantité q i de substance présente dans le sang (q i en milligrammes) à l instant t i (t i en heures) a été mesurée par des prises de sang toutes les deu heures. t i (en heures) q i (en mg) 9,9 7,5 5,5 3,9 3 PARTIE A- Modélisation par une fonction affine Le nuage de points associé à la série (t i ; q i ), est représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal. q (en mg) t (en heures). Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite (D) d ajustement affine de q en t par la méthode des moindres carrés. On donnera la valeur des coefficients arrondie au centième.. Tracer la droite (D) sur la feuille annee. 3. En supposant que ce modèle reste valable pendant heures, donner une estimation de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de heures. PARTIE B - Autre modélisation On pose i = ln(q i) ln(0).. Compléter le tableau ci-dessous. On arrondira les valeurs au centième. A. YALLOUZ (MATH@ES) 45

146 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES t i (en heures) i (au centième près). a) Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la forme = at + b de la droite d ajustement affine de en t par la méthode des moindres carrés. On arrondira a à 0 3 et b à l unité. b) Montrer que l epression de q en fonction de t obtenue à partir de cet ajustement est de la forme : q(t)= Be At (on donnera l arrondi au centième de A et la valeur de B arrondie à l unité). 3. Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; ] par f(t)=0e 0,5t. a) Étudier le sens de variation de la fonction f. b) On suppose que la quantité q de substance présente dans le sang à l instant t (t eprimé en heures) est donnée par q(t) = f(t) pour t variant de 0 à heures. Calculer à 0 près la quantité de substance présente dans le sang au bout de heures. c) En comparant les réponses trouvées à la question précédente et à la question 3 de la partie A, dire lequel de ces deu modèles vous paraît le mieu adapté à la situation. PARTIE C - Valeur moenne. Soit F la fonction définie sur l intervalle [0 ; ] par F(t)= 00 3 e 0,5t. Montrer que F est une primitive de f sur [0 ; ].. Soit I = 0 0 f(t)dt. Calculer la valeur eacte de I, puis en donner une valeur approchée au centième près. 3. En déduire, à un diième de milligramme près, la quantité moenne de substance médicamenteuse présente dans le sang pendant les 0 heures qui suivent l injection. EXERCICE (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 007) PARTIE A : On considère la fonction h définie et dérivable sur R par h()=e 7e + 6. On note h sa fonction dérivée.. a) Calculer la limite de la fonction h en. b) Calculer la limite de la fonction h en + ; (on pourra utiliser l égalité vraie pour tout réel : h()=e (e 7+6e )). [ ( )] 7. Calculer h ln, h(0) puis h(ln 6). 3. Déterminer par le calcul l image h () d un réel par la fonction h et étudier les variations de la fonction h. Dresser le tableau de variations de la fonction h et faire figurer les résultats des questions précédentes dans ce tableau. 4. En déduire le tableau des signes de la fonction h. PARTIE B : On considère les fonctions f et g définies sur R par f()=6 6e et g()=e. On note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère du plan d unités graphiques : cm en abscisses et cm en ordonnées. Les courbes C f et C g sont données en annee.. Démontrer que le point de coordonnées (ln6 ; 5) est un point d intersection des courbes C f et C g.. a) Démontrer que, pour tout réel, f() g()= h() e. b) Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes C f et C g. 3. On note D le domaine du plan limité par les courbes C f, C g et les droites d équations respectives =0 et =ln6. A. YALLOUZ (MATH@ES) 46

147 Année 0-0 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES a) Hachurer le domaine D sur le graphique donné en annee. b) Calculer la valeur eacte de l aire du domaine D en cm puis en donner une valeur approchée arrondie au centième. 5 C g C f A. YALLOUZ (MATH@ES) 47

148 DEUXIÈME PARTIE ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ A. YALLOUZ 48

149 Chapitre 0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES Activités : Introduction I Graphes premières définitions Définitions Degré d un sommet Représentation matricielle d un graphe Graphes isomorphes Activité : Chaîne eulérienne II Chaînes, ccles ; conneité Définitions Chaînes de longueur donnée Conneité Chaîne et ccle eulérien III Coloration des sommets d un graphe Nombre chromatique Encadrement du nombre chromatique Coloration gloutonne IV Plus court chemin Graphe pondéré Longueur d un chemin Algorithme de Dijkstra EXERCICES Premières définitions Chaînes, ccles ; conneité Coloration Algorithme de Dijkstra A. YALLOUZ (MATH@ES) 49

150 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES ACTIVITÉ M r et M me X assistent à une réunion. Il a trois autres couples dans l assistance et plusieurs poignées de mains ont été échangées. Personne ne serre sa propre main et les épou ne se serrent pas la main. Deu personnes quelconques de l assemblée se serrent la main au plus une fois. M r X constate que les autres personnes ont échangé des poignées de mains en nombres tous distincts. Combien de poignées de mains M r et M me X ont-ils échangé avec les autres membres de la réunion? ACTIVITÉ On a un groupe de 0 personnes. Si deu personnes se connaissent, elles se serrent la main. Si deu personnes ne se connaissent pas, elles ne se serrent pas la main. Que pensez vous de la conjecture suivante : «on peut trouver dans le groupe deu personnes qui serrent le même nombre de mains»? ACTIVITÉ 3 Comment tracer cinq segments sur une feuille, de telle manière que chaque segment en coupe eactement trois autres? I GRAPHES PREMIÈRES DÉFINITIONS De manière générale, un graphe est un ensemble de sommets et d arêtes (ou arcs) reliant ces sommets. Il eiste différents tpes de graphes, orientés ou non, ou autorisant plusieurs arcs entre deu sommets. Graphe G Graphe G Graphe G 3 Graphe G 4 DÉFINITIONS Un graphe non orienté G =(S,A) est déterminé par la donnée de deu ensembles : un ensemble fini non vide S dont les éléments sont appelés sommets un ensemble A de paires de sommets appelées arêtes. Si S={,,, n } est l ensemble des sommets d un graphe G, une arête a de l ensemble A s écrit a={ i, j } où i et j sont les etrémités de a. Les sommets i et j sont alors adjacents dans le graphe G et on dit qu ils sont incidents avec l arête a. Lorsque les deu etrémités sont confondues ( i = j ) l arête s appelle une boucle. Deu arêtes sont dites parallèles lorsqu elles ont mêmes etrémités. ORDRE D UN GRAPHE On appelle ordre d un graphe le nombre (n) de sommets de ce graphe. Par eemple : les graphes G et G sont d ordre 4 ; le graphe G 3 est d ordre 5 et le graphe G 4 est d ordre 7. GRAPHE SIMPLE Un graphe est dit simple si deu sommets distincts sont joints par au plus une arête et s il est sans boucle. A. YALLOUZ (MATH@ES) 50

151 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES GRAPHE ORIENTÉ Un graphe peut être orienté une arête est alors appelée un arc. Un arc est défini par un couple ordonné ( i, j ) de sommets. REMARQUE À tout graphe orienté, on peut associer un graphe simple. Par eemple sur un plan de ville où sont indiquées les rues en sens uniques, un piéton ne tiendra pas compte de l orientation pour se déplacer. Au graphe orienté on associe le graphe simple SOUS GRAPHE Il arrive que dans certains problèmes on ait besoin de considérer une partie d un graphe : G =(S,A ) est un sous-graphe de G=(S,A) si S est un sous ensemble de S et A un sous ensemble de A tel que les etrémités des arêtes de A sont des sommets de S. Si A est constitué de toutes les arêtes de A aant pour etrémités les sommets de S alors on dit que G =(S,A ) est le sous-graphe engendré par S. EXEMPLE s 4 s s s 5 s 6 s 3 Graphe G s 7 s 4 s 5 s 6 s 3 G est un sous graphe de G s 7 s 4 s 5 s 6 s 3 G est le sous graphe de G engendré par {S 3,S 4,S 5,S 6,S 7 } s 7 GRAPHE COMPLET Un graphe complet K n est un graphe simple d ordre n dont tous les sommets sont deu à deu adjacents. K 3 Deu représentations du K 4 K 5 A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

152 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES DEGRÉ D UN SOMMET On appelle degré d un sommet le nombre d arêtes dont ce sommet est une etrémité (les boucles étant comptées deu fois). Ce degré vaut 0 si le sommet est isolé. EXEMPLE Dans le graphe ci-contre, les degrés des sommets sont : Sommet s s s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 Degré s 4 s s s 5 s 6 s 3 s 7 DEGRÉ D UN SOMMET DANS UN GRAPHE ORIENTÉ Soit s un sommet d un graphe orienté G. On note d + (s) le degré etérieur du sommet s, c est-à-dire le nombre d arcs aant s comme etrémité initiale. On note d (s) le degré intérieur du sommet s, c est-à-dire le nombre d arcs aant s comme etrémité finale. Le degré du sommet s est : d(s)=d + (s)+d (s) EXEMPLE Dans le graphe ci-contre, les degrés des sommets sont : d + (s )= et d (s )= d où d(s )=3 d + (s )= et d (s )=3 d où d(s )=5 d + (s 3 )= et d (s 3 )=4 d où d(s 3 )=5 d + (s 4 )= et d (s 4 )= d où d(s 4 )=3 d + (s 5 )= et d (s 5 )= d où d(s 5 )=3 d + (s 6 )= et d (s 6 )=0 d où d(s 6 )= REMARQUE s s s 5 s 4 s 3 Dans un graphe orienté, la somme des degrés etérieurs et la somme des degrés intérieurs sont égales au nombre d arcs. Si on note a le nombre d arcs d un graphe orienté alors d + (s)= d (s)= a. Par eemple si dans une réunion on échange des cadeau, le nombre de cadeau offerts est égal au nombre de cadeau reçus, c est le nombre de cadeau échangés. s 6 THÉORÈME La somme des degrés de tous les sommets d un graphe est égale à deu fois le nombre d arêtes de ce graphe ; c est donc un nombre pair. Démonstration Lorsqu on additionne les degrés des sommets, une arête est comptée deu fois, une fois pour chaque etrémité. COROLLAIRE Dans un graphe, le nombre de sommets impairs est un entier pair. Démonstration Soit p la somme des degrés des sommets pairs et m la somme des degrés des sommets impairs. m+ p est égal à la somme des degrés des sommets c est donc un nombre pair donc m est un nombre pair. Or une somme d entiers impairs est paire si, et seulement si, il a un nombre pair de termes. On en déduit que le nombre de sommets impairs est un entier pair. A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

153 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES PROPOSITION Dans un graphe simple d ordre n>, il eiste deu sommets distincts s i et s j aant le même degré. Démonstration Soit G un graphe simple d ordre n>. Le degré d un sommet s quelconque du graphe G est un entier d(s) tel que : 0 d(s) n. Supposons que les degrés des sommets soient différents. Les degrés des n sommets sont les entiers {0,,,n } et il eiste un sommet s i de degré 0 et un sommet s j de degré n. Or si d(s j )=n cela signifie qu il est adjacent à tous les sommets du graphe et en particulier au sommet s i donc d(s i ) Ce qui est en contradiction avec d(s i ) 0. 3 REPRÉSENTATION MATRICIELLE D UN GRAPHE Soit G=(S,A) un graphe d ordre n dont les sommets sont numérotés de à n. La matrice d adjacence de G est égale à la matrice carrée M = (m i j ) de dimension n n où m i j est égal au nombre d arêtes d etrémités les sommets s i et s j. Dans le cas d un graphe orienté, m i j est égal au nombre d arcs aant pour origine le sommet s i et pour etrémité finale le sommet s j. EXEMPLES. s 0 0 s G La matrice d adjacence du graphe orienté G est M(G )= s s 3. s 0 0 s G La matrice d adjacence du graphe simple G est M(G )= s s 3 REMARQUES. La matrice d adjacence d un graphe non orienté est smétrique.. La diagonale de la matrice d adjacence d un graphe simple ne comporte que des La demi somme de tous les coefficients de la matrice d adjacence d un graphe non orienté est égale au nombre d arêtes de ce graphe. 4. La somme de tous les coefficients de la matrice d adjacence d un graphe orienté est égale au nombre d arcs de ce graphe. La somme des coefficients de la ligne i est égale au nombre de successeurs du sommet s i. La somme des coefficients de la colonne i est égale au nombre de prédécesseurs du sommet s i. A. YALLOUZ (MATH@ES) 53

154 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES 4 GRAPHES ISOMORPHES Deu graphes isomorphes ont la même structure : peu importe la façon dont ils sont dessinés, il est possible de déplacer les sommets pour que l un soit la copie conforme de l autre. EXEMPLE Considérons les trois graphes ci-dessous : A B C Les trois graphes ont le même ordre (6), le même nombre d arêtes (9) et les sommets des trois graphes sont tous de degré 3. Or dans B il a deu sous graphes complets d ordre 3 ce qui n est pas le cas pour les graphes A et C. Donc B n est pas isomorphe à A et C. Montrons que les graphes A et C sont isomorphes. a 3 a c c 3 c 5 a 4 a A a 5 a 6 C c c 4 c 6 Les sommets étant numérotés comme indiqué ci-dessus les deu graphes ont la même matrice d adjacence : M A = M C = Donc A et C sont isomorphes. REMARQUES Le graphe B est planaire : on peut le dessiner sans que ses arêtes se croisent. Le graphe C (ou A) est un graphe biparti : il eiste une partition de son ensemble S de sommets en deu sous-ensembles X et Y telle que chaque arête du graphe a une etrémité dans X et l autre dans Y. Ce n est pas un graphe planaire, il est impossible de le dessiner sans que ses arêtes se croisent. A. YALLOUZ (MATH@ES) 54

155 Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES ACTIVITÉ Voici le plan de trois étages d un musée. À chaque étage, un visiteur se rend compte qu il peut choisir un itinéraire passant une seule fois par chaque pièce. Pour chacun des étages : Est-il possible de faire le tour de l étage en passant eactement une seule fois par chacune des portes? Dans ce cas, où faut-il placer les portes d entrée et de sortie de l étage pour que ce parcours reste possible? er étage e étage 3 e étage ACTIVITÉ Voici un plan de la ville de Königsberg : C e d g A c D B a b f Est-il possible de se promener en ne passant qu une seule fois sur chacun des sept ponts? A. YALLOUZ (MATH@ES) 55

156 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES II CHAÎNES, CYCLES ; CONNEXITÉ Les graphes sont souvent utilisés pour modéliser des problèmes associés à des parcours ou à des successions d actions. Pour cela, on introduit la notion de chaîne. DÉFINITIONS Soit G =(S,A) un graphe non orienté. Une chaîne est une liste finie et alternée de sommets et d arêtes, débutant et finissant par des sommets, telle que chaque arête est incidente avec les sommets qui l encadrent dans la liste. Le premier et le dernier élément de la liste sont les etrémités initiale et finale de la chaîne. Si le graphe est simple, on peut définir une chaîne par la liste de ses sommets ou de ses arêtes.. La longueur d une chaîne est égale au nombre d arêtes qui la composent.. Une chaîne dont toutes les arêtes sont distinctes est une chaîne simple. 3. Une chaîne dont tous les sommets (sauf peut-être les etrémités) sont distincts est une chaîne élémentaire. 4. Une chaîne est fermée si l origne et l etrémité finale de la chaîne sont confondues. 5. Une chaîne fermée est un ccle si elle est composées d arêtes toutes distinctes. REMARQUE Les défnitions précédentes, peuvent être transposées au cas des graphes orientés. On parlera de chaîne orientée ou chemin et de ccle orienté ou circuit. EXEMPLE Dans le graphe ci-contre : La chaîne {s 0 ; s ; s 0 ; s ; s 0 ; s 3 ; s 0 ; s 4 ; s 0 ; s 5 ; s 0 } est une chaîne fermée de longueur 0. La chaîne {s ; s ; s 3 ; s 0 ; s 4 ; s 5 } est une chaîne élémentaire de longueur 5. La chaîne {s ; s ; s 0 ; s 3 ; s 4 ; s 0 ; s 5 ; s } est un ccle de longueur 7. s 3 s s 0 s 4 s 5 s CHAÎNES DE LONGUEUR DONNÉE NOMBRE DE CHAÎNES Soit G un graphe et M sa matrice d adjacence. Le nombre de chaînes de longueur n joignant le sommet i au sommet j est donné par le terme d indice i, j de la matrice M n. DISTANCE Soit G un graphe ; si et sont deu sommets de G, la distance de à notée d(,), est la longueur d une plus courte chaîne de G reliant à. REMARQUES La distance d un sommet à lui même est nulle. S il n eiste pas de chaînes joignant deu sommets et, la distance de à est infinie. DIAMÈTRE On appelle diamètre d un graphe la plus grande des distances entre deu sommets du graphe. EXEMPLE A. YALLOUZ (MATH@ES) 56

157 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES Soit M = la matrice d adjacence du graphe G ci-contre s 3 s s s 4 s 5 s 6 On obtient les nombres de chaînes de longueurs données en calculant les matrices suivantes : M 0 3 = M = M = Il a 3 chaînes fermées de longueur d origine le sommet s 3, 5 chaînes de longueur 3 entre les sommets s 4 et s 6 et chaînes de longueur 4 entre les sommets s et s La matrice des distances entre les différents sommets est D= Le diamètre du graphe est 4. 3 CONNEXITÉ Un graphe G est connee s il eiste au moins une chaîne entre deu sommets quelconques G. Autrement dit : Un graphe est connee si on peut atteindre n importe quel sommet à partir d un sommet quelconque en parcourant différentes arêtes ALGORITHME L algorithme suivant permet de déterminer tous les sommets qui peuvent être atteints à partir d un sommet. Soit G un graphe et un sommet de G : Marquer provisoirement (au craon) le sommet ; TANT_QUE des sommets sont provisoirement marqués FAIRE choisir un sommet provisoirement marqué; marquer provisoirement les sommets adjacents non marqués; marquer définitivement (à l encre) ; FIN TANT_QUE Si tous les sommets sont définitivement marqués alors le graphe est connee, sinon on a obtenu la classe de conneité du sommet. La figure suivante illustre cet algorithme sur un graphe A. YALLOUZ (MATH@ES) 57

158 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES s s s 9 s s s 9 s s s 9 s s s 9 s 3 s 8 s 3 s 8 s 3 s 8 s 3 s 8 s 4 s 5 s 6 s 7 s 4 s 5 s 6 s 7 s 4 s 5 s 6 Le graphe n est pas connee, il n eiste pas de chaîne entre les sommets s et s. s 7 s 4 s 5 s 6 s 7 4 CHAÎNE ET CYCLE EULÉRIEN DÉFINITION Un ccle eulérien (respectivement une chaîne eulérienne) dans un graphe G est un ccle (respectivement une chaîne) contenant chaque arête de G une et une seule fois. THÉORÈME Un graphe connee admet un ccle eulérien si, et seulement si, tous ses sommets ont un degré pair. Démonstration Si le graphe possède 0 ou sommet, la preuve est triviale, nous supposerons donc que l ordre du graphe est supérieur ou égal à. Si le graphe connee admet un ccle eulérien alors en chaque sommet le ccle eulérien «entrant» dans le sommet doit «ressortir» et comme les arêtes du ccle ne peuvent être utilisées qu une fois, chaque sommet est de degré pair. Réciproquement : Soit G un graphe connee dont tous les sommets sont de degré pair. Comme G possède au moins deu sommets, tous les sommets de G sont de degré supérieur ou égal à. Ceci implique qu il eiste au moins un ccle dans G. Formons un ccle C dans G ( chaîne fermée dont toutes les arêtes sont distinctes ). Si C contient toutes les arêtes du graphe alors G admet un ccle eulérien et le théorème est démontré. Dans le cas contraire, le sous graphe H de G défini par les arêtes non utilisées par C a tous ses sommets de degré pair, le ccle contenant un nombre pair d arêtes incidentes pour chaque sommet. Comme G est connee, H possède au moins un sommet commun avec le ccle C. Soit i un tel sommet. Construisons alors, de la même manière que précédemment, un ccle C dans H à partir de i. En insérant dans le ccle C à partir du sommet i le ccle C,on obtient un ccle C. Si ce ccle contient toutes les arêtes de G, C est le ccle eulérien cherché. Sinon, on continue ce processus, qui se terminera car les sommets du graphe G sont en nombre fini. THÉORÈME Un graphe connee possède une chaîne eulérienne si, et seulement si, le nombre de sommets de degré impair est égal à 0 ou. Si le nombre de sommets de degré impair est égal à, alors les deu sommets de degré impair sont les etrémités de la chaîne eulérienne Démonstration Soit G un graphe connee. Si le nombre de sommets de degré impair est nul, alors le graphe G admet un ccle eulérien. Si le nombre de sommets de degré impair est égal à. Soit s i et s j les deu sommets de degré impair. Le graphe G obtenu en ajoutant l arête s i s j au graphe G est connee et tous ses sommets sont de degré pair. G admet un ccle eulérien dont l origine est le sommet s i. Par conséquent G contient une chaîne eulérienne qui commence en s i et se termine en s j. A. YALLOUZ (MATH@ES) 58

159 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES ALGORITHME Les démonstrations précédentes permettent de construire une chaîne eulérienne dans un graphe connee dont le nombre de sommets de degré impair est 0 ou. SI deu sommets sont de degré impair ALORS construire une chaîne simple C aant pour etrémités ces deu sommets ; FIN SI SI tous les sommets sont de degré pair ALORS construire un ccle C à partir d un sommet quelconque ; FIN SI marquer les arêtes de C; TANT_QUE il reste des arêtes non marquées FAIRE choisir un sommet de C; SI il eiste un ccle d origine ne contenant aucune des arêtes marquées ALORS marquer les arêtes du ccle d origine ; remplacer dans C le sommet par le ccle d origine ; FIN SI FIN TANT_QUE EXEMPLE Le ccle{s ; s 6 ; s 5 ; s 7 ; s 3 ; s 4 ; s ; s } contient tous les sommets du graphe G ci-contre. Donc G est connee. Il n a que deu sommets de degré impair s et s 5. Il eiste une chaîne eulérienne commençant d etrémités s et s 5. s s 6 s 5 s 4 s 7 s s 3 ÉTAPE Les deu sommets de degré impair sont s et s 5 On construit une chaîne simple joignant ces deu sommets ; s 6 s 5 C={s ; s ; s 6 ; s 3 ; s 4 ; s 5 } s s 4 s 7 s s 3 ÉTAPE Le ccle simple c ={s ; s 4 ; s ; s 6 ; s 5 ; s } ne contient aucune des arêtes de la chaîne C. On fusionne la chaîne C avec le ccle c en remplaçant le sommet s dans la chaîne C par le ccle c. s s 6 s 5 s 4 s 7 C={s ; s ; s 4 ; s ; s 6 ; s 5 ; s ; s 6 ; s 3 ; s 4 ; s 5 } Il reste encore des arêtes non marquées, on recommence l étape s s 3 Le ccle c ={s 3 ; s 7 ; s 5 ; s 3 } ne contient aucune des arêtes de la chaîne C. On fusionne la chaîne C avec le ccle c en remplaçant le sommet s 3 dans la chaîne C par le ccle c. s 6 s 5 C ={s ; s ; s 4 ; s ; s 6 ; s 5 ; s ; s 6 ; s 3 ; s 7 ; s 5 ; s 3 ; s 4 ; s 5 } s s 4 s 7 Toutes les arêtes sont marquées C est une chaîne eulérienne. s s 3 A. YALLOUZ (MATH@ES) 59

160 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES III COLORATION DES SOMMETS D UN GRAPHE La coloration des sommets d un graphe est une fonction qui attribue une couleur à chaque sommet de telle sorte que deu sommets adjacents n ont pas la même couleur. Une k-coloration d un graphe G est une coloration des sommets de G utilisant k couleurs. REMARQUE Un sous-graphe est stable si ses sommets ne sont reliés par aucune arête. Une coloration avec k couleurs est donc une partition de l ensemble des sommets en k sous graphes stables. NOMBRE CHROMATIQUE Le nombre chromatique noté χ(g) d un graphe est le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour colorier les sommets, de sorte que deu sommets adjacents distincts ne soient pas de la même couleur. EXEMPLE Soit E un ensemble de candidats à un eamen et X l ensemble de toutes les épreuves possibles. Tous les candidats devant passer une épreuve i la passent ensemble. Chaque candidat ne passe qu une épreuve par jour. Quel est le nombre minimum de jours nécessaires pour que tous les candidats passent leurs eamens? (cf. Eercice 3) En prenant X comme ensemble de sommets et en traçant une arête entre les sommets i et j lorsqu un candidat au moins est inscrit au deu épreuves i et j, le problème revient à chercher le nombre chromatique du graphe. CAS PARTICULIERS. Pour le graphe complet K n, le nombre chromatique est n. Démonstration Comme un sommet donné est adjacent au n autres sommets, il faut au moins n couleurs pour obtenir une coloration valide de Kn. Avec n couleurs (une pour chaque sommet), on obtient une coloration de K n et χ(k n )=n.. Le nombre chromatique d un ccle est si la longueur de ce ccle est paire, 3 si la longueur de ce ccle est impaire. Ccle pair Ccle impair ENCADREMENT DU NOMBRE CHROMATIQUE On ne connaît pas de formule permettant de déterminer le nombre chromatique d un graphe quelconque. La plupart du temps, il faut se contenter d un encadrement du nombre chromatique. Soit G est un graphe, on note d(g) le plus grand des degrés des sommets alors : χ(g) d(g)+. Pour tout sous graphe H de G : χ(h) χ(g). Démonstration Soit d(g) le degré maimum des sommets d un graphe G. Considérons une liste de(d(g)+) couleurs. Chaque sommet du graphe est adjacent à d(g) sommets au plus, ses voisins utilisent au maimum d(g) couleurs, le nombre de couleurs déjà utilisées pour colorer ces sommets est donc inférieur ou égal à d(g). Il reste donc au moins une couleur non utilisée dans la liste de couleurs, avec laquelle nous pouvons colorer le sommet. Ainsi, χ(g) d(g)+. Soit H un sous graphe de G. Si une coloration de H nécessite k couleurs, il en va au moins de même pour le graphe G et χ(g) k. A. YALLOUZ (MATH@ES) 60

161 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES 3 COLORATION GLOUTONNE Colorier de façon gloutonne un graphe G revient à colorer les sommets de G les uns après les autres avec la plus petite couleur disponible qui ne soit pas déjà celle d un sommet adjacent. ALGORITHME DE WELSH ET POWELL Soit G un graphe d ordre n, l algorithme de Welsh & Powell consiste à colorer le graphe en visitant les sommets par ordre de degré décroissant. X est la liste des n sommets triés par ordre de degré décroissant, C est la liste des couleurs utilisées ; POUR_CHAQUE sommet X FAIRE POUR_CHAQUE couleur c de la liste C dans l ordre de création FAIRE SI le sommet n est adjacent à aucun sommet colorié par c ALORS est colorié avec la couleur c; ; FIN POUR_CHAQUE SI le sommet n est pas colorié ALORS on ajoute une nouvelle couleur c à la liste C des couleurs; le sommet est colorié avec la couleur c ; FIN SI FIN POUR_CHAQUE EXEMPLE On dresse la liste X des sommets rangés par ordre de degré décroissant X ={s ; s 4 ; s ; s 3 ; s 5 ; s 6 ; s 7 ; s 8 } La liste C des couleurs utilisées est vide C ={ } s 7 s 8 s 6 s s s 3 s 4 s 5 s ÉTAPE 7 s 6 Le sommet s n est pas colorié. s On ajoute la couleur c à la liste des couleurs C={c } s s 3 s 4 s s On attibue la couleur c au sommet s 8 5 s 7 s 6 ÉTAPE Le sommet s 4 n est pas adjacent au sommet s, il reçoit la couleur c s s s 3 s 4 s 8 s 5 s ÉTAPE 3 7 s 6 Le sommet s est adjacent au sommet s, il ne reçoit pas la couleur c On ajoute la couleur c à la liste des couleurs C={c ;c } s s s 3 s 4 s s On attibue la couleur c au sommet s 8 5 ÉTAPE 4 Le sommet s 3 est adjacent au sommets s 4 et s, il ne peut recevoir les couleurs c ou c On ajoute la couleur c 3 à la liste des couleurs C={c ;c ;c 3 } On attibue la couleur c 3 au sommet s 3 s 7 s 8 s 6 s s s3 s 4 s 5 s 7 s 6 ÉTAPES À chaque passage, les sommets s 5, s 6, s 7, s 8 peuvent recevoir la couleur c s s s3 s 4 s 8 s 5 L algorithme donne une coloration avec 3 couleurs alors que deu couleurs suffisent s 7 s 8 s 6 s s s 3 s 4 s 5 A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

162 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES IV PLUS COURT CHEMIN La recherche du meilleur itinéraire que ce soit en distance, en temps ou en coût d un point à un autre peut être modélisée par la recherche du plus court chemin dans un graphe. Dans ce paragraphe, on s intéresse à la recherche d un plus court chemin dans un graphe entre deu sommets donnés. GRAPHE PONDÉRÉ On appelle graphe pondéré, un graphe (orienté ou non) dont les arêtes ont été affectées d un nombre appelé poids (ou coût). Par analogie avec la matrice d adjacence, on peut définir la matrice des poids P(a i, j ) du graphe, dont les coefficients a i, j correspondent au poids des arêtes (ou des arcs dans le cas d un graphe orienté) : 0 si i= j a i, j = s il n eiste pas d arêtes ( ou d arc) entre les sommets i et j p i j où p i j est le poids de l arête ( ou de l arc) entre les sommets i et j On utilise le smbole pour indiquer qu il n a pas d arêtes entre deu sommets. EXEMPLE 8 A B D 3 7 E F C Les sommets du graphe étant rangés dans l ordre alphabétique : P= LONGUEUR D UN CHEMIN Soit C(,) un chemin (ou une chaîne) dans un graphe pondéré G du sommet vers le sommet. La longueur de ce chemin est égale à la somme des poids de chacun arcs ( ou de chacune des arêtes) qui le constituent. REMARQUE Cette définition généralise la définition de la longueur d une chaîne dans un graphe non pondéré, il suffit d attribuer un poids égal à à chaque arête du graphe. Dans l eemple précédent, la longueur du chemin AEBF est 7. Si on souhaite déterminer le plus court chemin du sommet A au sommet F, on peut essaer d énumérer tous les chemins ABF, AEBF, AEDF, ABCDF, AEBCDF et calculer leurs longueurs. Mais avec un graphe de taille plus importante, ceci risque de devenir rapidement impossible. Pour résoudre ce problème, on fait appel à des algorithmes. En terminale ES, on n étudie que le cas particulier où les poids de tous les arcs sont des réels positifs. 3 ALGORITHME DE DIJKSTRA E. W. Dijkstra (930-00) a proposé en 959 un algorithme qui permet de calculer le plus court chemin entre un sommet particulier et tous les autres dans un graphe pondéré dont tous les poids sont positifs. A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

163 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES L algorithme comporte une phase d initialisation. À chaque sommet on attribue un poids qui vaut 0 pour le sommet de départ et infini pour les autres sommets. Le traitement de l algorithme consiste à eaminer les sommets les uns après les autres et à sélectionner le sommet auquel on a affecté la plus petite distance du sommet de départ jusqu à. On recommence tant qu il reste des sommets à sélectionner. Soit G un graphe connee dont les arêtes sont pondérées par des nombres positifs. Notations : S la liste des sommets du graphe et s le sommet du graphe à partir duquel on veut déterminer les plus courts chemins au autres sommets. l(,) le poids de l arête entre deu sommets et δ s () la longueur d un chemin du sommets s au sommet V + () la liste des successeurs du sommet p() le prédécesseur du sommet X liste des sommets restant à traiter. E liste des sommets déjà traités. INITIALISATION : POUR_CHAQUE S FAIRE δ s ()= ; ; Poser δ s (s)=0; X = S; E = ; TRAITEMENT : TANT_QUE X FAIRE Choisir dans X le sommet avec δ s () minimum; Retirer dans X et l ajouter à E; POUR_CHAQUE V + () X FAIRE SI δ s ()>δ s ()+l(,) ALORS poser δ s ()=δ s ()+l(,); p()= ; FIN SI FIN POUR_CHAQUE FIN TANT_QUE // on eamine tous les successeurs de qui ne sont pas traités EXEMPLE Considérons le graphe suivant : 8 A B E F 6 3 D 3 C On souhaite déterminer le plus court chemin du sommet A au sommet F. A. YALLOUZ (MATH@ES) 63

164 Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES A B C D E F Sommets sélectionnés 0 A(0) 8(A) (A) E(3) 7(E) 5(E) B(7) 9(B) 5(E) 7(B) C(9) (C) 7(B) D() 5(D) F(5) Initialisation ; δ(a)=0 A est sélectionné. B et E sont les successeurs de A qui ne sont pas traités ; 0+8< donc δ(b)=8 et p(b)=a ; 0+3< donc δ(e)=3 et p(e)=a ; δ min = 3, Le sommet E est sélectionné. B et D sont les successeurs de E qui ne sont pas traités ; 3+4< 8 donc δ(b)=7 et p(b)=e; 3+< donc δ(d)=5 et p(d)=e; δ min = 7, Le sommet B est sélectionné. C et F sont les successeurs de B qui ne sont pas traités ; 9+< donc δ(c)=9 et p(c)=b ; 9+0< donc δ(f)=0 et p(f)=b ; δ min = 9, Le sommet C est sélectionné. D est le successeur de C qui n est pas traité ; 9+3< 5 donc δ(d)= et p(d)= C ; δ min =, Le sommet D est sélectionné. F est le successeur de D qui n est pas traité ; +3< 7 donc δ(f)=5 et p(f)=d ; Le sommet F est le dernier sommet traité. L algorithme de Dijkstra fournit les longueurs des plus courts chemins du sommet origine au différents sommets. Pour déterminer le plus court chemin du sommet origine à un sommet, il suffit de remonter la liste des prédécesseurs en partant de. Ainsi, le plus court chemin de A à F est un chemin de longueur 5. Comme F D C B E A on obtient que le plus court chemin de A à F est A E B C D F. A. YALLOUZ (MATH@ES) 64

165 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES EXERCICE Pour chacune des listes suivantes, déterminer s il eiste un graphe simple admettant cette liste pour liste des degrés des sommets. S il eiste un tel graphe, le dessiner, sinon epliquer pourquoi.. (,3,3,4,4,5). (,,,3) 3. (,,,4,4) 4. (,3,3,4,5,6,7) EXERCICE. Quel est le nombre d arêtes du graphe simple G si la liste des degrés des sommets est (,,3,3,4)?. Dans un graphe simple d ordre n, quel est le nombre maimal d arêtes? EXERCICE 3 Que penser des deu propositions suivantes?. «Dans une réunion il a toujours deu personnes qui connaissent le même nombre de personnes présentes à cette réunion»?. «Dans une réunion il a toujours deu personnes qui saluent le même nombre de personnes présentes à cette réunion»? EXERCICE 4 Un graphe est «planaire» si on peut le dessiner dans le plan sans que deu arêtes se croisent. Les graphes suivants sont-ils planaires? G G G 3 G 4 EXERCICE 5 Les graphes simples suivants sont-ils isomorphes?. et A B. et C D A. YALLOUZ (MATH@ES) 65

166 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES 3. et E F EXERCICE 6 Trouver deu graphes d ordre 5 qui ne sont pas isomorphes et dont les degrés des sommets sont donnés par la liste (,,,,3). EXERCICE 7 Un graphe G est biparti s il eiste une partition de son ensemble S de sommets en deu sous-ensembles X et Y telle que chaque arête de G a une etrémité dans X et l autre dans Y. Parmi les graphes suivants lesquels sont bipartis? Graphe G Graphe H Graphe I Graphe J EXERCICE 8 On désire organiser un tournoi avec 3 équipes ; Plusieurs matchs peuvent avoir lieu le même jour. Les rencontres sont données dans le tableau suivant : rencontre 7 recontre 3 rencontre 8 rencontre 3 rencontre 8 3 rencontre 4 rencontre 7 4 rencontre 0 5 rencontre 6 5 rencontre 9 5 rencontre 5 rencontre 3 6 rencontre 9 6 rencontre 3 8 rencontre 9 rencontre 9 rencontre 3 rencontre 3 Combien de journées au minimum faut-il pour organiser le tournoi? EXERCICE 9 Le calendrier d un tournoi opposant 0 équipes doit être aménagé. Les rencontres qui doivent encore être jouées sont représentées par le graphe ci-dessous. Une arête entre les sommets E i et E j signifie que les deu équipes E i et E j doivent jouer un match. Plusieurs matchs pouvant avoir lieu le même jour, combien de journées au minimum faut-il pour terminer le tournoi? Proposer un calendrier des différentes rencontres. A. YALLOUZ (MATH@ES) 66

167 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES E 7 E 6 E E E E 3 E 4 E 3 E 9 E 5 E 7 E 0 E 4 E 8 E 6 E 5 E 8 E 0 E E 9 EXERCICE 0 On considère le graphe ci-contre : a. Combien a-t-il de chaînes de longueur 3 aant pour etrémités a et b?. Dénombrer toutes les chaînes élémentaires aant pour etrémités a et f. 3. Quel est le diamètre du graphe? e d 4. Combien de ccles distincts possède-t-il? b f c EXERCICE Pour chacun des graphes suivants, eiste-t-il un ccle eulérien? une chaîne eulérienne? Graphe G Graphe H Graphe I EXERCICE. Dessiner le graphe simple d ordre 8 dont l ensemble des arêtes est : A={(;),(;3),(;3),(;4),(;7),(3;5),(3;6),(3;7),(4;5),(4;7),(5;6),(5;7),(6;7),(6;8),(7;8)} A. YALLOUZ (MATH@ES) 67

168 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES. Donner la matrice M associée à ce graphe. 3. Combien a-t-il de chemins de longueur 3 permettant de se rendre du sommet au sommet 8? Les donner tous. 4. Est-il possible de parcourir toutes les arêtes de ce graphe sans passer plus d une fois par la même arête? Si oui donner un parcours possible. 5. Eiste-il un ccle passant une fois et une seule par toutes les arêtes du graphe? EXERCICE 3. Dessiner un graphe simple dont la liste des degrés des sommets est (6,6,,,,,,,) a) qui possède une chaîne eulérienne ; b) qui ne possède pas de chaîne eulérienne.. Est-il possible d avoir un graphe qui possède un ccle eulérien si la liste des degrés des sommets est (6,6,4,,,,)? EXERCICE 4 On considère des dominos dont les faces sont numérotées 0,,, 3 ou 4.. a) En ecluant les dominos doubles, de combien de dominos dispose-t-on? b) Montrez que l on peut arranger ces dominos de façon à former une boucle fermée (en utilisant la règle habituelle de contact entre les dominos). c) Pourquoi n est-il pas nécessaire de considérer les dominos doubles?. Avec des dominos dont les faces sont numérotées de 0 à n, est-il toujours possible de les arranger de façon à former une boucle fermée? EXERCICE 5 Dans un graphe connee G, une chaîne hamiltonienne est une chaîne qui passe par chaque sommet de G eactement une fois. Si cette chaîne est un ccle on dira que c est un ccle hamiltonien. La recherche d une chaîne hamiltonienne est la modélisation du problème du voageur de commerce (trouver un chemin incluant chaque ville de sa tournée une et une seule fois). Vérifier que le graphe ci-dessous possède au moins un ccle hamiltonien. A. YALLOUZ (MATH@ES) 68

169 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES. Dans chacun des cas suivants, dessiner un graphe G connee d ordre au moins 5 tel que : a) G possède à la fois un ccle hamiltonien et un ccle eulérien. b) G possède un ccle hamiltonien et pas de ccle eulérien. c) G possède un ccle eulérien et pas de chaîne hamiltonienne. d) G n admet ni chaîne eulérienne ni chaîne hamiltonienne EXERCICE 6 On considère le graphe G ci-dessous. On note γ son nombre chromatique. A B C D E F G H I. Donner un encadrement du nombre chromatique.. Donner une coloration de ce graphe. 3. En déduire la valeur du nombre chromatique de G. EXERCICE 7 On considère le graphe G ci-dessous. On note χ son nombre chromatique. s 4 3 s s 5 s s 6 s. Donner un encadrement du nombre chromatique. s 7 s 8. En utilisant l algorithme de Welsh & Powell, donner une coloration de ce graphe. 3. Peut-on en déduire la valeur du nombre chromatique de G? EXERCICE 8 Un eamen comporte outre les matières communes, huit matières optionnelles. Les options suivies par les groupes d étudiants sont données dans le tableau suivant (une croi indique que le groupe d étudiants G suit l option O ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 69

170 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES G G G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G O O O 3 O 4 O 5 O 6 O 7 O 8 Une épreuve occupe une demi-journée. Comment organiser les épreuves des matières optionnelles de façon qu aucun étudiant n ait à passer deu épreuves en même temps et cela sur une durée miminale? EXERCICE 9. Comment colorier cette carte de telle manière que deu régions frontalières aient des couleurs différentes. Combien de couleurs au minimum faut-il prévoir? C D E B H A G F. On s intéresse au frontières séparant ces régions. Peut-on visiter toutes ces régions en franchissant une et une seule fois chacune des frontières? Si oui, proposer un parcours possible. EXERCICE 0 On considère le graphe suivant : B C D A E H G F. Le graphe est-il connee? A. YALLOUZ (MATH@ES) 70

171 Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES. Le graphe admet-il des chaînes eulériennes? Si oui, en préciser une. 3. Justifier la non-eistence d un ccle eulérien pour le graphe. Quelle arête peut-on alors ajouter à ce graphe pour obtenir un graphe contenant un ccle eulérien? 4. Soit M la matrice associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l ordre alphabétique) On donne M 3 = Déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 partant du sommet G et aboutissant au sommet E. Citer alors toutes ces chaînes. 5. Donner un encadrement du nombre chromatique χ du graphe. Déterminer ce nombre chromatique, en eplicitant clairement la démarche. EXERCICE (D après sujet bac Liban 007) Une grande ville a créé un jardin pédagogique sur le thème de l écologie, jardin qui doit être visité par la suite par la majorité des classes de cette ville. Ce jardin comporte si zones distinctes correspondant au thèmes : A : Eau B : économie d énergies C : Plantations et cultures locales D : Développement durable E : Biotechnologies F : Contes d ici (et d ailleurs) Ces zones sont reliées par des passages (portes) où sont proposés des questionnaires. Le jardin et les portes sont représentés par le graphe ci-dessous (chaque porte et donc chaque questionnaire est représenté par une arête). A F E B C D Question préliminaire : Si un visiteur répond à tous les questionnaires, à combien de questionnaires aura-t-il répondu? PARTIE A. Donner la matrice G associée à ce graphe.. Le graphe est-il complet? Est-il connee? Justifier. 3. Peut-on parcourir le jardin en répondant à tous les questionnaires et sans repasser deu fois devant le même questionnaire : A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

172 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES a) en commençant la visite par n importe quelle zone? b) en commençant la visite par la zone C (plantations et cultures)? Dans ce cas, si la réponse est positive, quelle sera la dernière zone visitée. (Dans les deu cas, a et b, justifiez votre réponse.) PARTIE B Pour illustrer chaque zone et présenter légendes et commentaires, les enfants ont décidé d utiliser des supports de couleurs différentes. Pour limiter le nombre de couleurs, on utilise des couleurs différentes seulement si les zones sont limitrophes (avec un passage entre les deu).. Donner et justifier un encadrement du nombre chromatique de ce graphe.. Déterminer alors en utilisant un algorithme adapté le nombre chromatique de ce graphe et proposer une répartition des couleurs. EXERCICE Le graphe ci-dessous indique les différentes liaisons entre plusieurs lieu. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres séparant les différents lieu. En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de A à L. A 0 B C 5 D E 6 F 3 G 0 H I J k 3 L EXERCICE 3 Eécuter l algorithme de Dijkstra sur le graphe suivant, à partir du sommet F, puis à partir du sommet A. A 9 3 B 5 5 G 3 7 F 5 6 C 6 H 8 E 4 D 4 A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

173 Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES EXERCICE 4 On considère le graphe suivant : D G C B E A F. Eiste-t-il des chaînes de longueur partant du sommet A et aboutissant au sommet C?. Le graphe admet-il des chaînes eulériennes? Si oui, en préciser une. 3. a) Donner un encadrement du nombre chromatique X du graphe. b) Déterminer ce nombre chromatique, en eplicitant clairement la démarche. 4. Le graphe pondéré ci-dessous, donne en minutes, les durées moennes des parcours entre A et C en tenant compte des sens uniques. D 8 G 8 7 C B E 9 A 0 F Un automobiliste doit se rendre de A à C. En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le plus rapide pour aller de A à C. Le retour sera-t-il plus rapide que l aller? EXERCICE 5 Sur la carte ci-dessous, sont représentés sept pas avec leurs frontières. B A C D E F G A. YALLOUZ (MATH@ES) 73

174 Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES Les questions, et 3 sont indépendantes. Toutes les réponses devront être justifiées.. On s intéresse au frontières séparant ces pas : a) Traduire cette carte par un graphe dont les sommets sont les pas et où chaque arête représente une frontière entre deu pas. b) On appelle M la matrice associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l ordre alphabétique. Une des trois matrices R, S ou T est la matrice M 3. Sans calculs, indiquer quelle est la matrice M R= S= 4 T = c) Est-il possible, dans tous les cas, de se rendre d un pas à un autre en franchissant eactement trois frontières? d) Est-il possible de visiter tous les pas en franchissant une et une seule fois chacune des frontières?. Proposer une coloration de la carte (ou du graphe) avec le minimum de couleurs afin que deu pas qui ont une frontière commune aient des couleurs différentes. 3. Une personne désire se rendre en train d une ville située dans le pas A à une autre ville du pas F. Le graphe pondéré ci-dessous donne, en heures, les durées moennes des liaisons ferroviaires eistantes entre les différents pas en tenant compte des temps d attente entre deu correspondances. A 4 B 3 7 C D 3 E 3 5 G 4 F En précisant la méthode utilisée, déterminer le trajet le plus court que cette personne devra utiliser pour son voage. Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet? EXERCICE 6 Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d activités d un quartier. Une arête reliant deu de ces sommets indique l eistence d une voie d accès principale entre deu lieu correspondants. A C E P G H B D F A. YALLOUZ (MATH@ES) 74

175 Lcée Camille SEE Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES. La municipalité décide de planter des arbres dans chaque zone, de manière à ce que dans deu zones, reliées entre elles par une voie d accès principale les espèces plantées soient d essence différente. Pour des raisons d entretien, il est préférable que le nombre d essences plantées soit le plus petit possible. On note V le nombre de variétés d arbres qu il faut utiliser. a) Donner un encadrement de V. b) Quel nombre minimal d essences différentes faudra-t-il planter?. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. a) Montrer qu un tel parcours est possible. b) Un tel parcours est-il possible pour ce candidat en partant de sa permanence électorale située en P? si oui le donner, sinon proposer un parcours possible en partant d un autre endroit. 3. Un candidat au élections municipales se trouve dans sa permanence située en zone P quand on lui rappelle qu il a un rendez-vous avec le responsable de l hôpital situé en zone H. a) Quel est le nombre minimal de voies d accès principales que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous? b) Le graphe pondéré ci-dessous donne, en minutes, les durées moennes des trajets eistants entre les différents lieu : En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous. Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet? A 7 C E P G 0 H B 4 D 5 F EXERCICE 7 (D après sujet bac Pondichér 0) Un orchestre doit effectuer une tournée passant par les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier. Le graphe Γ ci-dessous représente les différentes villes de la tournée et les autoroutes reliant ces villes, pondéré par les longueurs en kilomètres de chaque tronçon. E A C G H A. YALLOUZ (MATH@ES) D 700 B F

176 Année 0-0 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES. Est-il possible d organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d autoroute? (la réponse sera justifiée). Si oui citer un trajet de ce tpe.. On appelle M la matrice associée au graphe Γ (les sommets étant pris dans l ordre alphabétique). On donne la matrice M 3 : M 3 = Combien eiste-t-il de chemins de longueur 3 reliant B à H? (la réponse devra être justifiée). Préciser ces chemins. 3. Des contraintes de calendrier imposent en fait d organiser un concert dans la ville F immédiatement après un concert dans la ville A. Déterminer, en utilisant un algorithme dont on citera le nom, le trajet autoroutier le plus court (en kilomètres) pour aller de A à F. Préciser la longueur en kilomètres de ce trajet. A. YALLOUZ (MATH@ES) 76

177 Chapitre GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE I Vecteur de l espace Vecteurs colinéaires Vecteurs coplanaires II Repérage dans l espace Coordonnées d un point Calculs avec les coordonnées III Équations cartésiennes de l espace Équation d un plan Vecteur orthogonal à un plan Plans parallèles Sstème d équations cartésiennes d une droite EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 77

178 Lcée Camille SEE Année 0-0 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES I VECTEUR DE L ESPACE Les définitions et opérations sur les vecteurs du plan se généralisent dans l espace VECTEURS COLINÉAIRES Dire que deu vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie, qu ils ont la même direction, c est-à-dire qu il eiste un réel k tel que u = k v. Par convention, le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE : Trois points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs AB et CD sont colinéaires. VECTEURS COPLANAIRES u, v et w sont trois vecteurs de l espace tels que u et v ne sont pas colinéaires. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si, et seulement si, il eiste deu réels α et β tels que : CONSÉQUENCE : w=α u+β v Pour démontrer qu un point D appartient à un plan P défini par trois points non alignés A, B et C on montre que les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires. II REPÉRAGE DANS L ESPACE COORDONNÉES D UN POINT Dans un repère (;;z) de réels tels que ( ) O; i, j, k, pour tout point M, il eiste un unique triplet z OM = i+ j+z k M (; ; z) est le triplet de coordonnées du point M (ou du vecteur OM). est l abscisse, est l ordonnée, z est la cote. i k j O CALCULS AVEC LES COORDONNÉES Dans un repère ( ) O; i, j, k, on considère les vecteurs u(;;z) et v( ; ;z ). u= v si, et seulement si, =, = et z=z. Le vecteur somme u+ v a pour coordonnées u+ v(+ ;+ ;z+z ). Pour tout réel k, k u(k;k;kz). Soit A( A ; A ;z A ) et B( B ; B ;z B ) deu points de l espace : le vecteur AB a pour coordonnées AB( B A ; B ( A ;z B z A ). A + B le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées I ; A+ B ; z A+ z B A. YALLOUZ (MATH@ES) 78 ).

179 Année 0-0 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES DISTANCE DANS UN REPÈRE ORTHONORMÉ Dans un repère orthonormal ( ) O; i, j, k, La distance entre les points A( A ; A ;z A ) et B( B ; B ;z B ) est donnée par AB= ( B A ) +( B A ) +(z B z A ) Deu vecteurs u(;;z) et v( ; ;z ) sont orthogonau si, et seulement si, + + zz = 0. III ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DE L ESPACE ÉQUATION D UN PLAN Un plan de l espace a une équation de la forme a+b+cz=d avec a, b et c non tous nuls. Réciproquement, toute équation de la forme a+b+cz=d, où l un au moins des réels a, b et c n est pas nul, est une équation cartésienne d un plan. PLANS PARTICULIERS : Un plan admettant une équation «incomplète», c est à dire dans laquelle ne figure qu une ou deu des trois variables, et z, est parallèle à un plan de coordonnées ou à un ae de coordonnées. Plan P d équation = k Plan P d équation = k Plan P d équation z = k z z z k i O j i k j O i k j O P//(Oz) P//(Oz) P//(O) Plan P d équation a+b= d Plan P d équation a+cz= d Plan P d équation b+cz= d z z z i k j O i k j O i k j O P//(Oz) P//(O) P//(O) A. YALLOUZ (MATH@ES) 79

180 Année 0-0 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES DÉTERMINER UNE ÉQUATION CARTÉSIENNE D UN PLAN : Dans l espace muni d un repère ( O; i, j, k ), montrer que les points A(;0;3), B(; ;0) et C( ; ;) définissent un plan et déterminer une équation de ce plan. Les vecteurs AB(0; ; 3) et AC( ; ; ) ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent un plan (ABC). Déterminons une équation cartésienne du plan (ABC). MÉTHODE : Une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme a+b+cz=d où a, b, c et d sont des réels. A(;0;3) (ABC) a+3c=d B(; ;0) (ABC) a b=d C( ; ;) (ABC) a b+c=d Ainsi, a, b et c sont solutions du sstème : a+3c a b a b+c = d = d = d b a (a d)+ d a 3 c = d a b 0a 3 = a d = 4d 3 c = d a 3 = a d = d c = d 5 b = 3d 5 a = d 5 En choisissant, d = 5 on obtient a=, b= 3 et c=donc le plan (ABC) a pour équation 3+z=5 MÉTHODE : M(; ; z) est un point du plan (ABC) si, et seulement si, les points A, B, C et M sont coplanaires. C est à dire, si, et seulement si, il eiste deu réels α et β tels que AM = α AB+β AC Or AM( ;;z 3), AB(0; ; 3) et AC( ; ; ) d où = β = β = α β = α z 3 = 3α β z 3 = 3( )+( ) = β = α 3+z = 5 Ainsi, le plan (ABC) a pour équation 3+z=5 VECTEUR ORTHOGONAL À UN PLAN On dit qu un vecteur n est orthogonal (ou normal) à un plan P si la direction de n est une droite orthogonale au plan P. C est à dire une droite orthogonale à toutes les droites du plan P. Dans un repère othonormal, le vecteur n(a; b; c) est orthogonal au plan P d équation a + b + cz = d. A. YALLOUZ (MATH@ES) 80

181 Lcée Camille SEE Année 0-0 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES 3 PLANS PARALLÈLES Deu plans P et P d équations respectives a+b+cz = d et a +b +c z = d sont parallèles si, et seulement si, les coefficients a, b, c et a, b, c sont proportionnels. z z D P P P O P O Plans parallèles Plans sécants selon une droite D 4 SYSTÈME D ÉQUATIONS CARTÉSIENNES D UNE DROITE ( ) L espace est muni d un repère O; i, j, k. Un point M(;;z) appartient à une droite D de l espace si, et seulement si, ses coordonnées vérifient un sstème d équations de la forme { a+b+cz = d a +b +c z = d où a, b, c et a, b, c ne sont pas proportionnels. A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

182 Année 0-0 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES EXERCICE Dans l espace muni d un repère ( O; i, j, ) k, on considère les points A(5;0;0), B(5;9;0), C(0;9;0) et S(0;9;9). z S F G + + i O k j C A B. Placer le point E de coordonnées (6; 4; 7) dans le repère précédent.. L abscisse du point F est égale à, lire les coordonnées du point F. 3. G est un point du plan (SBC), lire les coordonnées du point G. 4. Les points E, F et G sont-ils alignés? EXERCICE Dans l espace muni d un repère. Les points A, B et C déterminent-ils un plan? ( ) O; i, j, k, on considère les points A(; ;3), B(3;;), C( ;3;) et D(6;3;0).. Calculer les coordonnées du point I milieu du segment [BC]. 3. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires? EXERCICE 3 L espace est rapporté à un repère orthonormé C( ;0;4), D(9; 5;8) et E(;;6).. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan. ( O; i, j, ) k. On considère les points A(; ;3), B( ;3;),. Le point E appartient à la droite (AB). Déterminer son abscisse et son ordonnée. 3. Montrer que les vecteurs ED et AB sont orthogonau. 4. Montrer que la droite (ED) est perpendiculaire au plan (ABC). A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

183 Année 0-0 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES EXERCICE 4 Dans l espace muni d un repère ( O; i, j, ) k, on considère les points A( ; 3; ) et B(; 3; ).. Déterminer les coordonnées du point C intersection de la droite (AB) avec le plan (O).. Déterminer les coordonnées du point D intersection de la droite (AB) avec le plan (Oz). 3. La droite (AB) est-elle sécante avec le plan (Oz)? EXERCICE 5 (D après Sujet Bac Polnésie 005) L espace est muni d un repère orthonormal ( ) O; i, j, k. La figure ci-dessous, représente un pavé droit ; le point O est le milieu de[ad]. Soit P le milieu du segment [EF]. z H G E F k D C i O j A B. a) Quel ensemble de points de l espace a pour équation z =? b) Déterminer une équation du plan (ABF). c) En déduire un sstème d équations qui caractérise la droite (EF).. a) Quelles sont les coordonnées des points A, G et P? b) Placer sur la figure le point Q de coordonnées (0;0,5;0). c) Déterminer une équation cartésienne du plan (APQ). 3. a) Construire sur la figure les segments [PQ] et [AG]. b) Le point G appartient-il au plan (APQ)? Justifier. 4. On construit la figure précédente à l aide d un logiciel de géométrie, puis on demande au logiciel de représenter le point d intersection des droites (AG) et (PQ). Quelle pourrait être la réponse de l ordinateur? A. YALLOUZ (MATH@ES) 83

184 Année 0-0 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES EXERCICE 6 Dans l espace muni d un repère ( ) O; i, j, k, on considère les points A( ; 6; 7,5) et B( ; 8; 9).. Déterminer une équation cartésienne du plan P parallèle à l ae (Oz) et passant par les points A et B.. Déterminer une équation cartésienne du plan Q parallèle à l ae (O) et passant par les points A et B. 3. Soit d la droite caractérisée par le sstème : { + = 4 3+z = Les points A et B sont-ils sur la droite d? ( 4. Dans le repère O; i, j, ) k ci-dessous, représenter les plans P et Q par leurs traces avec les plans de base ainsi que la droite (AB). z i O k j EXERCICE 7 L espace est muni d un repère ( ) O; i, j, k orthonormal représenté en annee ci-dessous.. Tracer( les droites ) d intersection du plan (P) d équation z = 5 avec les plans de coordonnées du repère O; i, j, k.. On considère le plan (Q) d équation 3+4=6. a) Préciser la nature de l ensemble des points M de l espace dont les coordonnées vérifient : { 5+5+6z = = 6 A. YALLOUZ (MATH@ES) 84

185 Année 0-0 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES b) Représenter l ensemble dans le repère ( ) O; i, j, k. 3. On donne les points D(;0;0), E(0; 3;0), F( ; 3;4) et G(0;0;4). a) Montrer que les points D, E et F déterminent un plan. b) Les points D, E, F et G sont-ils coplanaires? c) Déterminer une équation du plan (R) qui contient les points D, E, F. d) Représenter l intersection des trois plans (P),(Q) et (R) dans le repère ( ) O; i, j, k 4. Résoudre le sstème suivant et en donner une interprétation graphique. 4+3z = 5+5+6z = = 6 z k i O j A. YALLOUZ (MATH@ES) 85

186 Année 0-0 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES EXERCICE 8 (D après sujet bac France Métropolitaine Septembre 009) L espace est muni d un repère orthonormal ( ) O; i, j, k. Sur le dessin joint en annee, on a placé les points A(0 ; ; 0), B(0 ; 0 ; 6), C(4 ; 0 ; 0), D(0 ; 4 ; 0) et E(0 ; 0 ; 4). Soit (P) le plan d équation 3+z=6. Il est représenté par ses traces sur le plan de base sur le dessin joint en annee.. a) Démontrer que les points C, D et E déterminent un plan que l on notera (CDE). b) Vérifier que le plan (CDE) a pour équation + + z = 4.. a) Justifier que les plans (P) et (CDE) sont sécants. On note ( ) leur intersection. b) Sans justifier, représenter ( ) en couleur (ou à défaut en traits pointillés) sur la figure en annee. 3. On considère les points F( ; 0 ; 0) et G(0 ; 3 ; 0). ( ) On note (Q) le plan parallèle à l ae O; k et contenant les points F et G. a) Placer sur la figure en annee les points F et G. Sans justifier, représenter le plan(q) par ses traces sur les plans de base, d une autre couleur (ou à défaut en larges pointillés), sur la figure en annee. b) Déterminer les réels a et b tels que a+b=6 soit une équation du plan (Q). 4. L intersection des plans (CDE) et (Q) est la droite ( ). Sans justifier, représenter la droite ( ), d une troisième couleur (ou à défaut en très larges pointillés), sur la figure en annee. 5. On considère le sstème de trois équations à trois inconnues suivant : 3+z = 6 ++z = 4 3+ = 6 a) Résoudre ce sstème. b) Que peut-on alors en déduire pour les droites ( ) et ( )? A. YALLOUZ (MATH@ES) 86

187 Année 0-0 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES ANNEXE z B E k i O j A D C A. YALLOUZ (MATH@ES) 87

188 Chapitre FONCTION DE DEUX VARIABLES I Fonction de deu variables Définition Représentation graphique II Sections de surface Courbes de niveau Coupes verticales EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 88

189 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES Dans de nombreu contetes, l utilisation de fonctions comportant une seule variable n est pas vraiment réaliste. Par eemple, on peut étudier un coût de production avec deu facteurs : le facteur travail et le facteur capital. Si représente le coût du facteur travail et celui du facteur capital, le coût total de production est donné par la fonction f(;). I FONCTION DE DEUX VARIABLES DÉFINITION Soit I et J deu intervalles. Définir une fonction f de deu variables c est associer à chaque couple (; ), I et J, un réel et un seul, noté f(;). REPRÉSENTATION GRAPHIQUE L espace est muni d un repère et J, est la surface S d équation z= f(;). ( ) O; i, j, k. La représentation graphique d une fonction f de deu variables, I EXEMPLE On a représenté ci-dessous, la surface S d équation z= + pour [0;0] et [0;0] z 0 80 A A(7;6;z A ) est un point de la surface S, ses coordonnées vérifient l équation de la surface S. Sa cote est : Ainsi, le point S a pour coordonnées A(7; 6; 9) z A = =9 II SECTIONS DE SURFACE On considère une fonction f de deu variables, représentée dans l espace par une surface d équation z = f(; ). Pour faciliter la perception de la surface, on se sert des intersections de la surface avec des plans parallèles au plans de base A. YALLOUZ (MATH@ES) 89

190 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES COURBES DE NIVEAU Les courbes de niveau k d une fonction f de deu variables sont les intersections de la surface d équation z= f(;) avec les plans parallèles au plan (O) d équation z=k. { z = f(;) C est l ensemble des points M(; ; z) dont les coordonnées vérifient le sstème z = k EXEMPLE On a représenté ci-dessous, la surface S d équation z= + pour ]0;0] et [0;0] z courbe de niveau z=80 courbe de niveau z= Les points de la surface S situés entre les courbes de niveau z=40 et z=80 ont une cote 40 z 80. Pour déterminer la section de la surface S avec le plan d équation z=40 on résout le sstème { z = + z = 40 = 40 z = 40 0 Dans le plan d équation z=40, la courbe de niveau z=40 est la courbe d équation = 40 REMARQUE avec 0 La projection de la surface S sur le plan (O) donne les courbes de niveau z=k A. YALLOUZ (MATH@ES) 90

191 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES COUPES VERTICALES Sections de la surface S par des plans d équation = k parallèles au plan (Oz){ C est l ensemble des points M(; ; z) dont les coordonnées vérifient le sstème z = f(;) = k z Pour déterminer la section de la surface S avec le plan d équation =7 on résout le sstème { z = + = 7 { z = 7+49 = 7 Dans le plan d équation = 7, la section de la surface S est la droite d équation z = Sections de la surface S par des plans d équation = k parallèles au plan (Oz){ C est l ensemble des points M(; ; z) dont les coordonnées vérifient le sstème z = f(;) = k A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

192 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES z Pour déterminer la section de la surface S avec le plan d équation =4 on résout le sstème { { z = + z = + 4 = 4 = 4 Dans le plan d équation =4, la section de la surface S est la parabole d équation z= + 4 A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

193 Lcée Camille SEE Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES EXERCICE PARTIE A La figure ci-dessous représente la surface S d équation z= Figure z a) Le point A(; 6; 70) appartient-il à la surface S? b) Placer, sur la figure ci-dessus, le point B d abscisse et d ordonnée 4 qui appartient à S. Quelle est la cote du point B?. a) Soit =. Eprimer alors z sous a forme z= f() puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d équation =. b) Sur la figure, la courbe C représente la projection orthogonale dans le plan (Oz) d une courbe de niveau d ordonnée constante k. Déterminer la valeur de k. 00 Figure 80 z A. YALLOUZ (MATH@ES) 93

194 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES PARTIE B La fabrication d un produit dépend des durées de fonctionnement de deu machines A et B. On note : la durée de fonctionnement de la machine A, eprimée en centaines d heures ; la durée de fonctionnement de la machine B, eprimée en centaines d heures ; La quantité produite eprimée en tonnes est donnée par la relation : f(;)= avec 0< 0 et 0< 0 Les contraintes liées au horaires de travail font que la somme des durées fonctionnement des deu machines A et B est de neuf centaines d heures.. On cherche à maimiser la production sous cette contrainte. a) Vérifier que la quantité produite eprimée en tonnes sous cette contrainte de temps peut être modélisée par la fonction g définie sur l intervalle ]0;0] par g()= b) En déduire les durées de fonctionnement des machines A et B permettant d obtenir une production maimale. Préciser la quantité maimale produite eprimée en tonnes.. La direction de l entreprise envisage d augmenter d une centaine d heures la somme des durées de fonctionnement des deu machines. La figure 3 ci-dessous, représente des courbes de niveau de cote constante, projections orthogonales dans le plan (O) d une partie de la surface S d équation z= Figure a) Représenter sur la figure 3 les contraintes + = 0 et + = 9. b) Quelle sera la conclusion de la direction de l entreprise? A. YALLOUZ (MATH@ES) 94

195 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES EXERCICE (D après sujet bac Polnésie 007) Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectives et eprimées en tonnes. Le coût total de production z, eprimé en milliers d euros, est donné par la relation z= avec [0 ; 6] et [0 ; 8].. La surface S représentant le coût en fonction de et dans un repère orthogonal la feuille annee, figure. ( ) O; i, j, k est donnée sur a) Le point A(3; ; 3) appartient-il à la surface S? Justifier. b) Placer sur la figure le point B d abscisse 5 et d ordonnée qui appartient à S. c) Soit =. Eprimer alors z sous la forme z= f () puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d équation = en justifiant.. La fabrication de tonnes de savons et de tonnes des bougies parfumées engendre la contrainte + = 5. a) Quelle est la nature de l ensemble des points de l espace dont les coordonnées vérifient + = 5? b) Vérifier que, sous la contrainte +=5, z peut s écrire sous la forme z=g() avec g()=3 +3. c) Déterminer la valeur de pour laquelle g admet un minimum puis la valeur de et le coût de production z qui correspondent. On note C le point de la surface S qui correspond à ce coût minimum. d) On donne, sur la feuille annee, figure, la projection orthogonale de la surface S sur le plan (O) («vue de dessus de la surface S»). Construire sur cette figure la projection orthogonale sur le plan (O) des points dont les coordonnées vérifient +=5. Placer sur cette figure le point C, projeté orthogonal du point C sur le plan (O). FIGURE z A. YALLOUZ (MATH@ES) 95

196 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES FIGURE EXERCICE 3 (D après sujet bac Centres étrangers 0) On considère la fonction f, définie pour tout réel de l intervalle [0 ; 0] et tout réel de l intervalle [0 ; 8] par f(;)= 4. La représentation graphique de la surface (S) d équation z = f(; ) dans un repère orthonormé donnée en annee. PARTIE A ( ) O; i, j, k est. Sur le graphique de l annee colorer la courbe de niveau (Γ) de cote 0. Donner la nature de cette courbe.. Placer sur le graphique de l annee le point C d ordonnée 5 appartenant à cette courbe (Γ). Déterminer graphiquement l abscisse de ce point 3. Vérifier que le point B de coordonnées (6 ; ; 3) appartient à la surface (S). PARTIE B Les membres du bureau du foer socio-éducatif d un lcée font une étude pour déterminer quelle cotisation demander par élève au cours de l année 00. Ils voudraient investir le quart des cotisations dans la rénovation de la salle de détente, réservée au élèves. Si la cotisation s élève à euros avec 0 0 et si centaines d élèves adhèrent au foer avec 0 8, la somme allouée au travau de rénovation de la salle de détente en centaines d euros sera égale à f(;).. Quelle est la somme allouée à la rénovation de la salle de détente lorsque la cotisation est fiée à 6 euros par élève et que 600 élèves sont adhérents au foer?. Les membres du foer font l hpothèse que le nombre, en centaines d adhérents, et le nombre, en euros, sont directement liés par la relation = a) Montrer que, sous cette contrainte, on peut eprimer f(;) en fonction de la seule variable sous la forme h()=3 4. A. YALLOUZ (MATH@ES) 96

197 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES b) Déterminer pour quelle valeur de la somme allouée sera la plus élevée. c) De quelle somme en euros disposeront les membres du foer pour la rénovation dans ce cas? ANNEXE Surface (S) z EXERCICE 4 (D après sujet bac Liban 009) Une entreprise de services à la personne propose dans ses services l entretien de jardins. Pour ce service, cette entreprise a recours à des emploés à temps partiel pour une durée globale de heures, et elle loue le matériel nécessaire pour une durée globale de heures. La surface de jardin traitée en une semaine, eprimée en centaines de m, est donnée par la fonction f( ; )= où et sont eprimées en heures. Une heure de travail coûte 5 euros et une heure de location du matériel coûte 30 euros. Les contraintes matérielles imposent que 0 0 et La figure donnée en annee représente la surface S d équation z = f( ; ). La figure donnée en annee représente la projection orthogonale de la surface S sur le plan(o), les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour z variant de 0 en 0.. a) Les points A(0 ; 40 ; z A ) et B(60 ; B ; 60) sont des points de la surface S. Déterminer pour chacun la coordonnée manquante. A. YALLOUZ (MATH@ES) 97

198 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES b) Lire sur la figure les coordonnées du point C et en donner une interprétation concrète. c) Placer sur la figure le point D de coordonnées (0 ; 80 ; 40). d) Donner la nature de la courbe de niveau z = 50.. Les contraintes financières imposent de fier le coût hebdomadaire correspondant à 400 euros. a) Démontrer que et sont liés par la relation = +80. b) Quelle est la nature de l ensemble (E) des points M( ; ; z) de l espace dont les coordonnées vérifient = +80? c) Représenter l ensemble (E) sur la figure de l annee. d) En déduire graphiquement la surface de jardin maimum qu on peut traiter avec un coût hebdomadaire de 400 euros. 3. a) Vérifier que, sous la contrainte = +80, z peut s écrire sous la forme z=g(), g étant la fonction définie sur [0 ; 0] par g()= 60. b) Démontrer que sur ]0 ; 0], g ()= 80, 60 g désignant la fonction dérivée de g, puis démontrer que la fonction g admet un maimum sur l intervalle [0 ; 0]. c) En déduire le temps de travail et la durée de location hebdomadaire qui permettent de traiter une surface maimum. FIGURE z C A. YALLOUZ (MATH@ES) 98

199 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES FIGURE EXERCICE 5 (D après sujet bac Liban 008) Une consommatrice apprécie deu tpes de fruits A et B. En un mois, elle achète kilos de fruits A et kilos de fruits B ; et appartiennent à l intervalle [;0]. Son niveau de satisfaction est modélisé par la relation f(; ) = ln + ln La figure ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, la surface d équation z = f(; ) pour 0 et z Le point N, d ordonnée 5 et de cote ln30, appartient à la surface. Calculer la valeur eacte de son abscisse.. On peut estimer que le kilo de fruits A coûte 3 euros et que celui de fruits B coûte euros. La consommatrice décide de ne pas dépenser plus de 36 euros par mois pour ces fruits. A. YALLOUZ (MATH@ES) 99

200 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES a) Donner la relation entre les quantités et de fruits A et B achetées pour un montant de 36 euros. b) Montrer qu alors le niveau de satisfaction de la consommatrice est égal à ln(8,5) + ln. c) Démontrer que, sur l intervalle [;0], la fonction g définie par g() = ln(8,5)+ln admet un maimum pour une valeur 0 que l on précisera. d) Quelles quantités de fruits A et de fruits B la consommatrice doit-elle acheter dans le mois si elle veut optimiser son niveau de satisfaction tout en respectant sa contrainte de budget? EXERCICE 6 (D après sujet bac France Métropolitaine Juin 007) La production journalière d une entreprise dépend de deu facteurs : le travail de la main d œuvre et l utilisation des machines. On désigne : par la durée journalière de travail de la main d œuvre, eprimée en heure ; appartient à l intervalle ]0 ; 0] par la durée journalière d utilisation des machines, eprimée en heures ; appartient à l intervalle ]0 ; ]. La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation : f (;)= 3 avec 0< 0 et 0<. + La figure ci-dessous représente la surface (S) d équation : z= f (;) pour 0< 0 et 0<. surface (S) d équation z= 3 + z : quantité journalière produite A 4 : durée journalière d utilisation des machines : durée journalière de travail de la main d œuvre 6 z 8 4 z 6 z 4 0 z 8 z 0 6 z 8 4 z 6 z 4 0 z PARTIE : Le point A représenté par une croi est un point de la surface (S).. Déterminer graphiquement l abscisse et la cote du point A. Calculer son ordonnée (arrondie au diième).. Interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de l entreprise. PARTIE : Pour chaque heure, le coût total du travail s élève à 4 milliers d euros, et le coût d utilisation des machines s élève à millier d euros. L entreprise décide de dépenser 36 milliers d euros par jour et cherche à maimiser sa production journalière sous cette contrainte. On a alors 4 + = 36. La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la fonction g définie sur l intervalle ]0 ; 0] par g()= A. YALLOUZ (MATH@ES) 00

201 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES. On note g la fonction dérivée de g sur l intervalle ]0 ; 0]. a) Pour tout nombre réel de l intervalle ]0 ; 0], calculer g () et montrer que g ()= 4( 6)( 8) ( ). b) étudier les variations de la fonction g sur l intervalle ]0 ; 0].. a) En déduire la durée journalière de travail et la durée journalière d utilisation des machines permettant d obtenir une production journalière maimale pour un coût total de 36 milliers d euros. b) Préciser la quantité journalière maimale produite en tonnes. EXERCICE 7 (D après sujet bac Antilles Septembre 007) Une entreprise désire construire dans son hall d entrée un aquarium aant la forme d un pavé droit de hauteur 5 dm (décimètres). Ses deu autres dimensions, eprimées en dm, sont des entiers naturels et tels que ]0 ; 0[ et ]0 ; 0[. La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant au arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d aluminium dont le pri de revient est de 0,8 euro le dm. Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre. PARTIE A On décide d investir eactement 80 euros pour la construction du bâti métallique.. Montrer que, pour cet investissement, les dimensions et sont liées par la contrainte +=0.. a) Déterminer en fonction de et le volume V, eprimé en dm 3, de cet aquarium. b) En déduire le volume V en fonction de sous la contrainte précédente. 3. On définit la fonction f sur l intervalle ]0 ; 0[ par f() = V. a) Montrer que la fonction f admet un maimum sur ]0 ; 0[. b) En déduire les dimensions de l aquarium peur que son volume soit maimal ainsi que la valeur de ce volume maimal. PARTIE B Soit g la fonction définie pour tout ]0 ; 0[ et tout ]0 ; 0[ par g(, )=+0(+). On ( donne) en annee la représentation graphique de la surface d équation z = g(, ) dans un repère orthonormé O; i, j, k.. Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d équation =, parallèle au plan Justifier la réponse. ( O ; j, ) k?. Montrer que g(, ) représente en fonction des dimensions et l aire S, eprimée en dm, de la surface vitrée de l aquarium. 3. On suppose pour cette question que =. a) Calculer l aire de la surface vitrée de l aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée. b) Déterminer, à l aide du graphique, les valeurs de pour lesquelles l aire est comprise entre 400 et 500 dm. c) Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question. A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

202 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES z EXERCICE 8 (D après sujet bac Asie 008) On considère la surface S d équation z = ln(), où appartient à l intervalle[0,5; 5] et appartient l intervalle [ 3 ; 5]. Cette surface S est représentée sur l annee correspondant à cet eercice qui est à rendre avec la copie. Les cinq questions sont indépendantes l une de l autre.. On note P le plan d équation =3,5. Quelle est la nature de l intersection de la surface S et du plan P?. On désigne par C l intersection de la surface S avec le plan d équation =. Représenter la courbe C dans un repère orthonormal d unité cm. 3. Placer sur la surface S le point A d abscisse et d ordonnée 4. Calculer sa côte. 4. Lire les coordonnées du point B situé sur la surface S. 5. On considère la section C de la surface S par le plan d équation z=. a) Calculer l ordonnée du point D d abscisse 4 situé sur la section C. On donnera la valeur eacte puis une valeur approchée à 0 près. Placer le point D sur la surface S. b) Arthur pense que la nature de la section C est un morceau de parabole. A-t-il raison? Pourquoi? A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

203 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE B 3 z EXERCICE 9 (D après sujet bac La Réunion 0) Un artisan glacier fabrique des glaces et des sorbets. On appelle respectivement et les quantités de glace et de sorbet eprimées en centaines de litres, produites et vendues quotidiennement. Le coût total de production z eprimé en dizaines d euros, est donné par la relation : z= + +6, avec [0 ; 0] et [0 ; 0]. Sur l annee : la surface (S) représentant le coût de production en fonction de et de dans un repère orthogonal est donnée en figure ; la figure représente la projection orthogonale de la surface (S) sur le plan (O) ; les courbes de niveau de cette surface sont représentées pour z allant de 0 en 0.. a) C est le point de(s) d abscisse 6 et d ordonnée. Placer le point C sur la figure donnée en annee. b) Calculer la cote z du point C précédent. Interpréter le résultat obtenu. c) On suppose dans cette question que =4. Eprimer alors z en fonction de. En déduire la nature de la section de la surface (S) par le plan d équation =4. Surligner en couleur cet ensemble sur la figure. Pour des raisons de stockage et de rentabilité, la fabrication de centaines de litres de glace et de centaines de litres de sorbet engendre la contrainte : + = 0. On note (E) l ensemble des points du plan vérifiant cette contrainte. A. YALLOUZ (MATH@ES) 03

204 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES a) La figure donnée en annee, représente les lignes de niveau des coûts de production. Représenter l ensemble (E) sur cette figure. b) Vérifier que, sous la contrainte + = 0, z peut s écrire sous la forme : z=g(), avec g()= Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l évaluation. Déterminer les quantités de glace et de sorbet (en centaines de litres) qu il faudrait produire pour que le coût de production soit minimum. ANNEXE Figure z A. YALLOUZ (MATH@ES) 04

205 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES Figure EXERCICE 0 Une entreprise dispose de deu unités de fabrication A et B pour un même produit. Le coût total de production eprimé en milliers d euros de cet article pour milliers d articles produits dans l unité A et de milliers d articles produits dans l unité B est donné par f(;)=ln ( + + ). La figure ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, la surface (S) d équation z = f(;) pour 0 0 et 0 0. FIGURE z PARTIE A. Le point B(; 4; ln 5) appartient-il à la surface(s)?. Placer sur la surface le point A, d abscisse 6 et d ordonnée 3. Calculer la valeur arrondie au diième de sa cote. A. YALLOUZ (MATH@ES) 05

206 Année 0-0 FONCTION DE DEUX VARIABLES T le ES PARTIE B La demande est de 9000 articles par jour. et sont donc liés par la relation +=9.. La figure ci-dessous, représente la projection orthogonale de la surface (S) sur le plan (O), les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour z variant de à 6. a) Quelle est la nature de l ensemble(e) des points M(; ; z) de l espace dont les coordonnées vérifient + = 9? b) Représenter l ensemble(e) sur la figure ci-dessous. c) En déduire graphiquement le coût total minimal pour une production de 9000 articles. 0 FIGURE a) Vérifier que, sous la contrainte + = 9, le coût total peut s écrire sous la forme d une fonction g définie sur[0; 9] par g()=ln ( ). b) Démontrer que la fonction g admet un minimum sur l intervalle[0;9]. c) En déduire le nombre de milliers d articles produits dans l unité A et le nombre de milliers d articles produits dans l unité B pour obtenir un coût total minimum. Quel est alors le montant arrondi au millier d euros près du coût total? A. YALLOUZ (MATH@ES) 06

207 Chapitre 3 RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE I La démonstration par récurrence Principe de récurrence Remarques EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 07

208 Année 0-0 RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE T le ES Soit (u n ) la suite définie pour tout entier n par u n = 6 n + 4. Nous avons u 0 = 5, u = 0, u = 40, u 3 = 0, u 4 = 300,... Il semblerait que pour n, u n soit un multiple de 0. Procéder à une série de vérifications pour tous les entiers est évidemment impossible. En mathématique, il eiste un tpe de raisonnement, appelé raisonnement par récurrence, particulièrement adapté quand on demande de prouver une propriété dépendant d un paramètre n entier. I LA DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE PRINCIPE DE RÉCURRENCE Soit n 0 un entier naturel et P n une propriété qui dépend de l entier n. Pour démontrer que la propriété P n est vraie pour tout entier n n 0, il suffit de démontrer : que la propriété est vraie pour la valeur n 0 (Initialisation) puis, vérifier que si la propriété est vraie pour un entier n fié, alors la propriété est vraie au rang suivant n+. (La propriété est héréditaire) Le raisonnement par récurrence s apparente à la théorie des dominos : On considère une suite de dominos dont la distance entre deu dominos est telle que la chute d un domino entraîne la chute du domino suivant. Si le premier domino tombe alors tous tomberont. EXEMPLE Montrons que pour tout entier naturel n, 6 n + 4 est un multiple de 0. Notons P n la propriété 6 n + 4=0k avec k entier naturel.. Initialisation : 6 + 4=0. Donc la propriété est vraie pour n=.. Hérédité : Soit n un entier tel que 6 n + 4=0k avec k entier naturel, montrons que 6 n+ + 4 est un multiple de 0. Par hpothèse de récurence, on a 6 n + 4=0k d où 6 n+ + 4=6 6 n + 4 = 6 (0k 4)+ 4 = 60k 0 = 0 (6k ) Ainsi, 6 n+ + 4 est un multiple de 0 donc P n+ est vraie. D après le principe de récurrence pour tout entier naturel n, 6 n + 4 est un multiple de 0. REMARQUES L oubli de l initialisation peut conduire à des résultats fau. En effet, considérons la propriété P n suivante «4 n + 5 est un multiple de 5». Par hpothèse de récurence, on a 4 n + 5=5k d où 4 n+ + 5=4 4 n + 5 = 4 (5k 5)+ 5 = 0k 5 = 5 (4k 3) La propriété P n est héréditaire mais =6 donc on ne peut pas conclure que P n est vraie pour tout entier n. Le point faible du raisonnement par récurrence est qu il permet de constater l eactitude d un résultat préalablement proposé mais ne l établit pas. A. YALLOUZ (MATH@ES) 08

209 Année 0-0 RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE T le ES EXERCICE Montrer par récurrence :. Pour tout entier naturel n,. Pour tout entier naturel n, 3. Pour tout entier naturel n, n k=0 n k= n k= k= n(n+). (k )= n ( somme des n premiers entiers impairs ). k = n(n+)(n+) 6 ( somme des carrés des n premiers entiers ). 4. Pour tout entier naturel n, n 3 =( n) Indication : cela revient à démontrer que pour tout entier naturel n, n k= k 3 = n (n+). 4 EXERCICE Montrer que pour tout nombre réel >0 et pour tout entier naturel n,(+) n +n EXERCICE 3 Montrer que lorsque n personnes se serrent la main, le nombre de poignées de main échangées est n(n ) EXERCICE 4 Montrer par récurrence que pour tout réel n = En déduire que pour tout réel et pour tout entier n Indication : Dérivée n = n k= n k=0 k = n+ k k = nn+ (n+) n + ( ) EXERCICE 5 Soit (u n ) n la suite définie par u = 0 et pour tout entier naturel n, u n+ = u n +. Montrer que pour tout entier naturel n, u n = n. EXERCICE 6 Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 4 et pour tout entier naturel n, u n+ = u n. Montrer que pour tout entier naturel n, u n = ( + 3 ) n + ( 3 ) n. A. YALLOUZ (MATH@ES) 09

210 Chapitre 4 SUITES I Suites premières définitions Définition Représentation graphique II Comportement global d une suite Suites minorées - Suites majorées - Suites bornées sens de variation III Limite d une suite Suites convergentes Suites divergentes Limites et opérations IV Suites particulières Suites arithmétiques Suites géométriques Suites arithmético-géométriques EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

211 Lcée Camille SEE Année 0-0 SUITES T le ES I SUITES PREMIÈRES DÉFINITIONS DÉFINITION Une suite réelle u est une fonction de l ensemble des entiers naturels N (ou d une partie de N) dans R. On note u=(u n ) n N ; u n est le terme d indice n de la suite. Dans la notation d une suite, on peut préciser le rang à partir duquel la suite est définie. Si la suite (u n ) n N est définie pour tout entier n on la note(u n ) n 0 ou plus simplement(u n ). Si la suite est définie à partir d un certain rang k on la note(u n ) n k le premier terme de la suite est u k. DÉFINITION D UNE SUITE Une suite peut être définie : de façon eplicite en eprimant u n en fonction de n à l aide d une formule. On peut calculer n importe quel terme de la suite à partir de son indice n. Par eemple : Pour tout entier n>, u n = n+( )n n = définit la suite(u n ) n> = (3,,,,75, ). Le terme u 4 est u 4 = 4+( )4 4 par une formule de récurrence en eprimant un terme en fonction des termes qui le précèdent, et en donnant le(s) premier(s) terme(s). Dans ce cas pour calculer le terme de rang n, il est nécessaire de calculer tous les termes qui le précèdent. Par eemple : u 0 = Pour tout entier n, u n+ = 3 u n définit la suite (u n )= ( ),,,5, 7,. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ( ) Dans le plan muni d un repère O; i, j, la représentation graphique d une suite(u n ) est le nuage de points M(n;u n ) CAS D UNE SUITE DÉFINIE DE FAÇON EXPLICITE Soit (u n ) la suite définie pour tout entier n par u n = ln ( n + ). Calculons les premiers termes de la suite : u 0 u u u 3 u 4 u 5 u 6 0 ln ln5 ln0 ln7 ln6 ln37 La représentation graphique de la suite (u n ) est l ensemble des points M 0 (0;0), M (;ln), M (;ln5) etc... u 4 u 3 5 M M 0 u 9 u 0 9 M 8 8 M 7 u 7 4 M 6 u 6 M 5 u 5 M 3 4 u 4 M 3 u 3 M u M M M 3 M 4 M u M 0 u A. YALLOUZ (MATH@ES)

212 Année 0-0 SUITES T le ES CAS D UNE SUITE DÉFINIE PAR UNE RELATION DE RÉCURRENCE Dans le cas d une suite définie par récurrence, on préfère représenter les premiers termes de la suite sur l ae des abscisses en utilisant la courbe représentative de la fonction définissant la relation de récurrence. Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 5 et pour tout entier naturel n par u n+ = + 0 u n. Dans le plan muni d un repère orthogonal, on trace la droite d équation = et la courbe C f représentative de la fonction : f : + 0 C f M A M 4 A 4 M 6 A 6 M 8 A 8 A 5 A 7 M 7 M 5 A 3 M 3 u A M u u 3 u 5 u 7 u 8 u 6 u 4 u u 0 On place le terme initial u 0 sur l ae des abscisses. Comme u = + 0 u 0, alors u = f (u 0 ). Ainsi, u est l ordonnée du point M de la courbe C f d abscisse u 0. Pour obtenir u sur l ae des abscisses, on utilise la droite. Le point A de la droite, de même ordonnée que le point M, a pour coordonnées A (u ;u ). On réitère le même procédé pour obtenir u à partir de u et successivement les termes suivants de la suite. II COMPORTEMENT GLOBAL D UNE SUITE SUITES MINORÉES - SUITES MAJORÉES - SUITES BORNÉES Soit (u n ) une suite réelle.. Dire que la suite(u n ) est minorée signifie que : il eiste un entier m tel que, pour tout entier n, u n m.. Dire que la suite(u n ) est majorée signifie que : il eiste un entier M tel que, pour tout entier n, u n M. 3. Dire que la suite(u n ) est bornée signifie que la suite est minorée et majorée. A. YALLOUZ (MATH@ES)

213 Année 0-0 SUITES T le ES REMARQUES Si le réel m est un minorant de la suite (u n ), alors tous les réels inférieurs à m sont aussi des minorants de la suite (u n ). Si le réel M est un majorant de la suite(u n ), alors tous les réels supérieurs à M sont aussi des majorants de la suite(u n ). EXEMPLES. Soit (u n ) la suite définie sur N par u n = 0,5n. Pour tout entier n, 0,5n 0. On en déduit que 0,5n. Soit pour tout entier n, u n. La suite(u n ) est minorée par (elle est donc minorée par tous les réels inférieurs à ). Soit (v n ) la suite définie sur N par v n = n+ n+. La suite(v n ) est minorée par 0 car tous les termes de la suite sont positifs. D autre part, pour tout entier n, n+ n+ = n+ On en déduit que pour tout entier n, v n. La suite(v n ) est minorée par 0 et majorée par. Elle est donc bornée. SENS DE VARIATION Soit (u n ) une suite réelle et n 0 un entier.. Dire que la suite(u n ) est décroissante (resp. strictement décroissante) à partir du rang n 0 signifie que : pour tout entier n n 0, u n+ u n (resp. u n+ < u n ).. Dire que la suite(u n ) est croissante (resp. strictement croissante) à partir du rang n 0 signifie que : pour tout entier n n 0, u n+ u n (resp. u n+ > u n ). 3. Dire que la suite(u n ) est constante (ou stationnaire) à partir du rang n 0 signifie que : pour tout entier n n 0, u n+ = u n. 4. Dire que la suite(u n ) est monotone signifie que la suite est croissante ou décroissante. Pour étudier la monotonie d une suite(u n ) on peut en général : d après la définition, étudier le signe de la différence u n+ u n ; lorsque tous les termes de la suite(u n ) sont strictement positifs, comparer u n+ u n et ; lorsque la suite (u n ) est définie eplicitement en fonction de n par une epression de la forme u n = f(n), si la fonction f est monotone sur l intervalle[0;+ [ alors la suite(u n ) a le même sens de variation que la fonction f. EXEMPLES. Étudier la monotonie de la suite(u n ) définie par u 0 = et, pour tout entier naturel n, u n+ = u n + u n +. Nous avons u n+ u n = u n + donc u n+ u n > 0. La suite (u n ) est croissante.. Étudier la monotonie de la suite(u n ) définie pour tout entier naturel n par u n = n n+. La suite(u n ) est à termes strictement positifs et pour tout entier n, u n+ = n+ u n n+ n+ n = (n+) = n+ n+ n+ = + n n+ Ainsi, la suite (u n ) est à termes strictement positifs et pour tout entier n, u n+ donc la suite(u n ) est croissante. u n 3. Étudier la monotonie de la suite(u n ) définie pour tout entier naturel n par u n = n +. Soit f la fonction définie sur l intervalle[0;+ [ par f()= +, on a pour tout entier naturel n, u n = f(n). Or f ()= ( + ). Sur[0;+ [, la dérivée est négative, donc la fonction f est décroissante. Par conséquent, la suite(u n ) est décroissante. A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

214 Lcée Camille SEE Année 0-0 SUITES T le ES III LIMITE D UNE SUITE SUITES CONVERGENTES DÉFINITIONS Soit (u n ) une suite définie sur N et l un réel.. Dire que la suite (u n ) admet pour limite le réel l signifie que tout intervalle de la forme ]l r;l+r[ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang n 0. On écrit : lim u n =l +. Une suite qui admet pour limite un réel l est dite convergente. Autrement dit, une suite(u n ) est convergente vers un réellsi tous les termes de la suite à partir d un certain rang peuvent être aussi proches que voulu del. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si on représente la suite convergente par un nuage de points dans un repère, à partir d un certain rang n 0, tous les points sont dans la bande délimitée par les droites d équation =l r et =l+r. u n l+r l l r n 0 n EXEMPLE Les suites ( ( ) n et )n N n p, p N sont convergentes vers 0. n N PROPRIÉTÉS. La suite(u n ) converge vers un réellsi, et selement si, la suite(u n ) l est convergente vers un 0.. Toute suite convergente est bornée. Attention la réciproque est fausse. Un contre eemple est la suite(u n ) définie pour tout entier n par u n = ( ) n SUITES DIVERGENTES SUITES DE LIMITES+ OU On dit qu une suite (u n ) tend vers + (resp. ) si u n est aussi grand (resp. petit) que l on veut dès que n est suffisamment grand. A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

215 Année 0-0 SUITES T le ES DÉFINITION Dire qu une suite(u n ) est divergente signifie qu elle n admet pas de limite ou que sa limite est + ou. EXEMPLES. La suite(u n ) définie pour tout entier n par u n = ( ) n n a pas de limite, elle est divergente.. La suite(u n ) définie pour tout entier n par u n = n+ a pour limite +, elle est divergente. REMARQUE Étudier la nature d une suite, c est déterminer si elle est convergente ou divergente. 3 LIMITES ET OPÉRATIONS Les suites étant des fonctions particulières, les propriétés sur les limites de sommes, produits, quotients,... de suites sont les mêmes que pour les fonctions. IV SUITES PARTICULIÈRES SUITES ARITHMÉTIQUES DÉFINITION Une suite (u n ) est arithmétique s il eiste un nombre réel r tel que pour tout entier n, Le réel r est appelé la raison de la suite arithmétique. u n+ = u n + r PROPRIÉTÉ Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0 alors pour tout entier n, PREUVE u n = u 0 + nr Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0. On note P n la propriété u n = u 0 + nr. La propriété est vraie au rang 0, u 0 = u r. Soit n un entier tel que u n = u 0 + nr.(u n ) une suite arithmétique de raison r donc : u n+ = u n + r =(u 0 + nr)+ r = u 0 +(n+)r Donc P n+ est vraie. D après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u n = u 0 + nr PROPRIÉTÉ Si (u n ) une suite arithmétique de raison r alors pour tout entier n et pour tout entier p, u n = u p +(n p) r EXEMPLE Soit (u n ) la suite définie par u 0 = et pour tout entier naturel n, u n+ = u n Calculer u 4. (u n ) est une suite arithmétique de de raison 5 et de premier terme alors, 6 u 4 = = 3 A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

216 Année 0-0 SUITES T le ES VARIATIONS ET LIMITES Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r, Si r= 0 alors la suite est constante alors la suite converge et lim u n = u 0. n + Si r> 0 alors la suite est croissante alors la suite diverge et lim u n =+. n + Si r< 0 alors la suite est décroissante alors la suite diverge et lim u n =. n + SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS PROPOSITION Pour tout entier naturel n on a : On note P n la propriété n i=0 i= n(n+) Il est immédiat que P 0 est vraie Soit n un entier tel que n i=0 i= n(n+) n= n i=0 i= n(n+) Donc P n+ est vraie. n+ i=0 i= D après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, COROLLAIRE Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0, n i=0 u 0 + u + + u n = i+(n+) = n(n+) +(n+) ( n ) =(n+) + = (n+)(n+) n i=0 n i=0 i= n(n+) u i = (u 0+ u n )(n+) PREUVE Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r, n i=0 u i = = n i=0 n i=0 (u 0 + ir) u 0 + r n i=0 =(n+)u 0 + r n(n+) ( =(n+) u 0 + r n ) ( ) u0 + rn =(n+) ( ) u0 + u n =(n+) A. YALLOUZ (MATH@ES) 6 i

217 Année 0-0 SUITES T le ES SUITES GÉOMÉTRIQUES DÉFINITION Une suite (u n ) est géométrique s il eiste un nombre réel q tel que pour tout entier n, Le réel q est appelé la raison de la suite géométrique. u n+ = qu n PROPRIÉTÉ Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 alors pour tout entier n, PREUVE u n = u 0 q n Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0. Notons P n la propriété u n = u 0 q n. La propriété est vraie au rang 0, u 0 = u 0 q 0. Soit n un entier tel que u n = u 0 q n. (u n ) une suite géométrique de raison q donc : u n+ = u n q =(u 0 q n ) q = u 0 q n+ Donc P n+ est vraie. D après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u n = u 0 q n PROPRIÉTÉ Si (u n ) une suite géométrique de raison q alors pour tout entier n et pour tout entier p, u n = u p q n p MONOTONIE Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 donc : u n+ u n = u 0 q n+ u 0 q n = u 0 q n (q ) La monotonie de la suite dépend du signe de u 0, q n et(q ) Si q<0 alors q n est positif pour n pair, négatif pour n impair donc la suite n est pas monotone. Si q>0 alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produit u 0 (q ). Nous pouvons en déduire les deu théorèmes suivants THÉORÈME Soit q un réel non nul. Si q<0 alors la suite (q n ) n est pas monotone. Si q> alors la suite (q n ) est strictement croissante. Si 0<q< alors la suite (q n ) est strictement décroissante. Si q= alors la suite (q n ) est constante. THÉORÈME Soit (u n ) une suite géométrique de raison q non nulle et de premier terme u 0 non nul Si q<0 alors la suite (u n ) n est pas monotone. Si q>0 et u 0 > 0 alors la suite(u n ) a le même sens de variation que la suite (q n ). Si q>0 et u 0 < 0 alors la suite(u n ) a le sens de variation contraire de celui de la suite (q n ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

218 Année 0-0 SUITES T le ES LIMITES Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 non nul et de raison q non nulle. Si q alors la suite(u n ) n admet pas de limite. Si <q< alors la suite(u n ) converge et lim + u n = 0. Si q= alors la suite (u n ) est constante et égale à u 0. Si q> alors la suite (u n ) diverge (avec lim n + u n = si u 0 < 0 et lim u n =+ si u 0 > 0). n + SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 alors pour tout entier n, u 0 + u + + u n = n i=0 ( ) q n+ u i = u 0 q Cette formule peut se retenir de la façon suivante : La somme S de termes consécutifs d une suite géométrique de raison q est : PREUVE S=premier terme Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0. n ( q n+) Notons P n la propriété u i = u 0. i=0 q 0 ( ) q La propriété est vraie au rang 0, u i = u 0 et u 0 = u 0. i=0 q n ( ) q n+ Soit n un entier tel que u i = u 0. q Donc P n+ est vraie. i=0 n+ i=0 u i = n i=0 u i + u n+ D après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, qnombre de termes q ( ) q n+ = u 0 + u 0 q n+ q ( q n+ ) = u 0 q + qn+ ( q n+ + q n+ ) ( q) = u 0 q ( q n+) = u 0 q n i=0 ( ) q n+ u i = u 0. q 3 SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES DÉFINITION Soit a et b deu réels. La suite (u n ) définie pour tout entier n, par la relation de récurrence u n+ = au n + b et de terme initial u 0 est une suite arithmético-géométrique REMARQUE Si a= la suite est arithmétique. Si b=0 la suite est géométrique. Dans les autres cas, la suite n est ni arithmétique ni géométrique. A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

219 Année 0-0 SUITES T le ES ÉTUDIER UNE SUITE ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUE Soit a et b deu réels tels que a et b 0.(u n ) la suite définie par u 0 et pour tout entier n, u n+ = au n + b. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE On trace la courbe représentative de la fonction affine f : a + b et la droite d équation = a<0 a>0 =a+b =a+b 0 u u 3 u 5 u 7 α u 8 u 6 u 4 u u 0 0 u 0 u u u 3 u 4 u 5 u 6 α Le graphique permet d obtenir un certain nombre de conjectures à propos de la monotonie ou de la convergence de la suite. UNE SUITE AUXILIAIRE Si une suite arithmético-géométrique définie par une relation de récurrence du tpe u n+ = au n + b est convergente, alors sa limite est l unique solution de l équation a+b=. Soit = b avec a. a b Notons α le réel a. Soit (v n) la suite définie pour tout entier n, par v n = u n α On montre alors que la suite (v n ) est une suite géométrique. En effet, pour tout entier n, v n+ = u n+ α = au n + b b a = au n ab a ( = a u n b ) a = a v n Ainsi, (v n ) est une suite géométrique de raison a et de premier terme v 0 = u 0 α. Par conséquent, pour tout entier n, v n = v 0 a n. On en déduit que pour tout entier n, u n = v 0 a n + α Le résultat «pour tout entier n, u n = v 0 a n + α» permet d étudier les variations de la suite(u n ). La nature de la suite(u n ) se déduit de la suite de terme général(a n ). EXEMPLE Chloé a déposé 000 C le er janvier 00 sur un compte rémunéré au tau annuel de 3%. Depuis, le er janvier de chaque année, Chloé dépose sur ce compte 300 C. On note u n le montant, en euros, du capital dont Chloé dispose le janvier de l année 00 + n. Eprimer u n+ en fonction de u n. Pour tout entier naturel n, u n+ est le montant, en euros, du capital dont Chloé dispose au janvier de l année 00+ n+ qui, correspond au capital u n dont elle disposait au er janvier de l année 00+n, augmenté des intérêts rapportés par ce capital pendant un an et des 300 C qu elle a déposé le er janvier de l année 00+n+. Donc pour tout entier n, u n+ =,03 u n A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

220 Année 0-0 SUITES T le ES. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier n, par v n = u n Montrer que v n est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Pour tout entier n, v n+ = u n =,03 u n =,03 (u n ) =,03 v n Ainsi, (v n ) est une suite géométrique de raison,03 et de premier terme v 0 = = Eprimer u n en fonction de n. (v n ) est une suite géométrique de raison,03 et de premier terme v 0 = 000 donc pour tout entier n, v n = 000,03 n. Donc pour tout entier n, u n = 000,03 n Étude de la suite (u n ). a) Pour tout entier n, u n = 000,03 n Donc u n+ u n = 300,03 n. D où u n+ u n > 0. Par conséquent, la suite(u n ) est strictement croissante. b) Comme,03 >, lim n +,03n =+ donc lim n + 000,03n 0000=+. Soit lim u n =+. n + A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

221 Année 0-0 SUITES T le ES EXERCICE Soit (u n ) n la suite définie par u = 0 et pour tout entier naturel n, u n+ = u n +. Montrer que pour tout entier naturel n, u n = n. EXERCICE Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 4 et pour tout entier naturel n, u n+ = u n. Montrer que pour tout entier naturel n, u n = ( + 3 ) n + ( 3 ) n. EXERCICE 3 Étudier le sens de variation des suites :. u est la suite définie pour tout entier n par u n = n. v est la suite définie pour tout entier n par v n = n + n 3. w est la suite définie pour tout entier n par w n = n EXERCICE 4 Montrer par récurrence, que la suite (u n ) définie par u 0 = et pour tout entier naturel n, u n+ = u n est décroissante. EXERCICE 5 Soit (w n ) la suite définie pour tout entier naturel n par w n = 6 0,5 n.. Étudier la monotonie de la suite(w n ).. Calculer la limite de la suite (w n ). EXERCICE 6 On considère les suites définies pour n par : a) u n = n+ b) u n = n n n+ Pour chacune de ces suites :. Étudier son sens de variation. La suite est-elle bornée?. Étudier sa nature. c) u n = n + d) u n = n n + EXERCICE 7. Soit (u n ) la suite définie par u 0 = et pour tout entier naturel n, u n+ = u n Calculer u 4.. (u n ) est une suite arithmétique telle que u 0 = 64, u 5 = 4. Déterminer l entier k tel que u k = 4 3. (v n ) est une suite géométrique de raison q strictement positive telle que v 4 = 48, v 6 = Déterminer l entier p tel que v p = EXERCICE 8. Soit (u n ) la suite définie par u 0 = et pour tout entier n : u n+ = 0,6u n + a) Tracer dans le repère ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f définie pour tout réel par f()=0,6+ et la droite D d équation =. A. YALLOUZ (MATH@ES)

222 Année 0-0 SUITES T le ES 0 b) Dans ce repère, placer u 0 sur l ae des abscisses puis, en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même ae u, u, u 3, u 4 et u 5. c) Quelle conjecture peut-on émettre sur les variations de la suite(u n )? Conjecturer la limite de la suite (u n ). d) Quelle est la nature de la suite(w n ) définie pour tout entier n par w n = u n 5? e) Eprimer u n en fonction de n. f) Étudier les variations de la suite u n. g) la suite u n est-elle convergente?. Soit (v n ) la suite définie par v 0 = et pour tout entier n : v n+ = 0,6v n + a) Dans le repère précédent, construire sur l ae des abscisses les si premiers termes de la suite (v n ). b) Étudier les variations de la suite v n. c) la suite v n est-elle convergente? 3. Peut-on choisir une valeur a 0 pour laquelle la suite définie pour tout entier n par a n+ = 0,6a n + est stationnaire? EXERCICE 9 Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 300 et pour tout entier naturel n, u n+ = 0,75 u n Utiliser les droites d équations = et = 0,75+00 pour construire les quatre premiers termes de la suite (u n ). (Cette construction est à faire sur le graphique de l annee ci-dessous) Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n )?. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier naturel n, par v n = u n 800. a) Démontrer que(v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. A. YALLOUZ (MATH@ES)

223 Année 0-0 SUITES T le ES b) Eprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = ,75 n. c) La suite (u n ) est-elle convergente? 3. Une salle de spectacle propose un abonnement pour l année. En 00, il avait 300 abonnés. On estime que chaque année, il a 00 nouveau abonnés et que d une année sur l autre, 75 % des abonnés renouvellent leur abonnement. On note u n le nombre d abonnés pour l année 00+n ; on a donc u 0 = 300 et u n+ = 0,75 u n a) Dans combien d années, le nombre d abonnés sera-t-il supérieur à 790? b) Dans ces conditions, est-il possible pour le gérant de la salle de spectacle d espérer 000 abonnés? ANNEXE EXERCICE 0 Une observation faite sur la fréquentation d un stade de football a permis de constater, pour chaque année, un tau de réabonnement de 80%, ainsi que l apparition de nouveau abonnés. L objet de cet eercice est l étude du nombre annuel des abonnés, en supposant que la situation décrite par l observation reste la même au fil des ans. On note a n le nombre des abonnés à la fin de la n ième année et on précise que a 0 = A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

224 Année 0-0 SUITES T le ES. Calculer a et a. Justifier que pour tout nombre entier naturel n, on a a n+ = 0,8a n Étude graphique de la suite (a n ) n N. a) Dans le plan muni d un repère orthonormal (unité graphique : cm représente 0000 abonnés) représenter la droite D d équation =0, et la droite d équation =. Placer a 0 sur l ae des abscisses et, en utilisant les droites D et, placer sur l ae des abscisses les valeurs a, a, a 3 (laisser apparents les traits de construction). b) Quelle semble être la limite de la suite (a n ) n N? 3. Étude numérique de la suite (a n ) n N On considère la suite (u n ) n N définie par u n = a n pour tout nombre entier naturel n. a) Démontrer que la suite(u n ) n N est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, a n = ,8 n. c) Déterminer lim + a n. 4. L objectif des dirigeants du stade est d avoir au moins abonnés. Si l évolution du nombre d adhérents se poursuit selon ce modèle, dans combien d années, cet objectif sera-t-il atteint? EXERCICE On considère la suite numérique(u n ) définie par : u 0 = et u n+ = 0,4u n + 4,8 pour tout entier naturel n.. Utiliser les droites d équations = et = 0,4 + 4,8 tracées ci-dessous, pour construire les quatre premiers termes de la suite (u n ). Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n )? Soit la suite (v n ) définie, pour tout entier naturel n par v n = u n 8. a) Démontrer que la suite(v n ) est une suite géométrique de raison 0,4. b) Eprimer alors v n, en fonction de n. En déduire une epression de u n en fonction de n. c) Déterminer la limite de la suite(u n ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

225 Année 0-0 SUITES T le ES 3. Une revue spécialisée est diffusée à 000 eemplaires soit par abonnement soit par vente en librairie. Au l er janvier 007, 000 personnes sont abonnées à cette revue. Une étude statistique a permis de constater que d une année sur l autre, 80% des abonnés renouvellent leur abonnement et 40% des acheteurs non abonnés de la revue souscrivent un abonnement. Pour tout nombre entier naturel n, on note u n le nombre d abonnés à la revue, eprimé en milliers, n années après le l er janvier 007. On a donc u 0 =. On suppose que le nombre d abonnés à la revue évolue de la même façon les années suivantes. a) À partir de quelle année le nombre d abonnés sera supérieur à b) Est-il possible pour la direction de la revue d envisager un nombre d abonnés supérieur à 8 000? EXERCICE (D après sujet bac Antilles Guanne 0) Une entreprise du secteur «Bâtiments et Travau Publics» doit réduire la quantité de déchets qu elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s engage, à terme, à rejeter moins de tonnes de déchets par an. En 007, l entreprise rejetait tonnes de déchets. Depuis cette date, l entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu elle rejette de 5 % par rapport à la quantité rejetée l année précédente, mais elle produit par ailleurs 00 tonnes de nouveau déchets par an en raison du développement de nouvelles activités. Pour tout entier naturel n, on note r n la quantité, en tonnes, de déchets pour l année(007+n). On a donc r 0 = a) Calculer r et r. b) Justifier que pour tout entier n naturel on a r n+ = 0,95r n Soit (s n ) la suite définie pour tout entier naturel n par s n = r n a) Démontrer que la suite(s n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Pour tout entier naturel n, eprimer s n en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a r n = ,95 n c) La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d une année sur l autre? Justifier. d) Déterminer la limite de la suite(r n ) quand n tend vers l infini. e) Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en Dans cette question, tout trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. À partir de quelle année, le contete restant le même, l entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement? EXERCICE 3 (D après sujet bac Antilles Guanne Septembre 0) Un centre aéré, ouvert tous les mercredis après midi à partir du er septembre, propose au enfants de s inscrire chaque semaine à une activité. L une de ces activités est la natation. Une étude effectuée sur l année scolaire 009/00 montre que d une semaine sur l autre 5 % des enfants ne se réinscrivent pas à la natation, alors que dans le même temps 0 nouveau enfants s inscrivent. Le directeur se base sur les résultats de l année scolaire 009/00 pour prévoir l évolution des inscriptions pour l année scolaire 00/0. La première semaine de l année scolaire 00/0, 80 enfants se sont inscrits à la natation. On note u 0 le nombre initial d enfants inscrits à la natation, ainsi u 0 = 80. Pour tout entier naturel n, on note u n le nombre d enfants inscrits à la natation au bout de n semaines.. Montrer que u = 86.. Pour tout entier naturel n, eprimer u n+ en fonction de u n. 3. Pour tout entier naturel n, on pose a n = u n 00. Montrer que la suite (a n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Pour tout entier naturel n, eprimer a n en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a u n = ,95 n. Les questions suivantes peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. 4. Montrer que pour tout entier naturel n, on a u n+ u n = 6 0,95 n. En déduire que le nombre d inscriptions à la natation augmente toutes les semaines. A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

226 Année 0-0 SUITES T le ES 5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Après combien de semaines, le contete restant le même, le nombre d enfants inscrits à la piscine dépassera-t-il 50? EXERCICE 4 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 00) A - Observation d une suite de nombres u n n. On donne ci-dessus la représentation graphique des 6 premiers termes d une suite(u n ) dans le plan muni d un repère orthogonal. Conjecturer la limite de la suite(u n ).. Les quatre premiers termes de la suite (u n ) ont été calculés avec un tableur : n 0 3 u n 6 04,6 70,76 50,456 La suite(u n ) peut-elle être une suite géométrique? On justifiera la réponse donnée. B- Étude de la suite La suite(u n ) observée dans la partie A est définie pour tout entier naturel n par u n+ = 0,6u n + 8 et u 0 = 6.. Calculer u 4.. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier naturel n par v n = u n 0. Montrer que (v n ) est une suite géométrique. On précisera le premier terme et la raison. 3. Donner l epression de v n en fonction de n, puis l epression de u n en fonction de n. 4. Déterminer la limite de la suite (v n ) et en déduire celle de la suite (u n ). EXERCICE 5 (D après sujet bac Polnésie Septembre 008) PARTIE A Soit la suite(u n ) définie par la donnée de son premier terme U 0 = et par la relation :. Calculer U et U. pour tout entier naturel n, U n+ =,04 U n A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

227 Année 0-0 SUITES T le ES. Pour tout entier naturel n, on pose V n = U n a) Calculer V 0. b) Eprimer V n+ en fonction de V n. En déduire que la suite(v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. c) Eprimer V n en fonction de n. d) En déduire que U n = (,04) n PARTIE B On suppose que U n représente le salaire annuel d une personne pour l année 00+n, n étant un entier naturel.. Calculer le salaire annuel, arrondi à l euro, de la personne en 00.. a) Résoudre dans R l inéquation d inconnue :, b) À partir de quelle année le salaire annuel de cette personne aura-t-il doublé par rapport à celui de 00? EXERCICE 6 (D après sujet bac Antilles-Guanne 007) Dans un pas, un organisme étudie l évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un tau d accroissement naturel et annuel de 4 pour mille. De plus, chaque année, 000 personnes arrivent dans ce pas et personnes le quittent. En 005, la population de ce pas était de 75 millions d habitants. On suppose que l évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus. On note P n la population de l année 005+n eprimée en milliers d habitants.. Déterminer P 0, P et P. La suite de terme général P n est-elle arithmétique? géométrique? Justifier la réponse.. Epliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel n, P n+ =,04P n Démontrer que la suite(u n ) définie par U n = P n pour tout entier naturel n est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme. 4. Eprimer U n puis P n en fonction de n. 5. a) Combien d habitants peut-on prévoir en 00? b) Au bout de combien d années la population aura-t-elle doublé par rapport à l année 005? EXERCICE 7 (D après sujet bac Antilles Guanne 005) Dans une zone de marais on s intéresse à la population des libellules. On note P 0 la population initiale et P n la population au bout de n années. Des études ont permis de modéliser l évolution de P n par la relation : (R) Pour tout entier naturel n on a : P n+ P n+ = (P n+ P n ). On suppose que P 0 = et P = On définit l accroissement de la population pendant la n-ième année par la différence P n P n.. Calculer l accroissement de la population pendant la première année, la deuième année, la troisième année, puis en déduire P et P 3.. On considère les suites(u n ) et (V n ) définies pour tout entier naturel n par : U n = P n+ P n et V n = P n+ P n. a) Prouver que la suite (U n ) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. Eprimer U n en fonction de n. b) En utilisant la relation (R), calculer V n+ V n. En déduire que, pour tout n, on a : V n = P P 0. Calculer V n. c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a P n = (V n U n ). En déduire une epression de P n en fonction de n. A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

228 Année 0-0 SUITES T le ES d) Montrer que la suite (P n ) converge et calculer sa limite. Que peut-on en déduire en ce qui concerne l évolution de cette population au bout d un nombre d années suffisamment grand? EXERCICE 8 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 008) Lors d un jeu, Marc doit répondre à la question suivante : «Le premier jour, nous vous offrons 00 C puis chaque jour suivant, nous vous offrons 5 % de plus que la veille et une somme fie de 0 C. Au bout de combien de jours aurez-vous gagné C?». Pour tout entier naturel n non nul, on note u n le montant total en C versé à Marc le n-ième jour. Ainsi, u = 00. a) Calculer u. b) Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, u n+ =,05u n Pour tout entier naturel n non nul, on pose v n = u n a) Calculer v. b) Démontrer que la suite(v n ) est une suite géométrique et préciser sa raison. c) Eprimer v n en fonction de n puis en déduire que u n = 500,05 n 400. d) Déterminer, en fonction de n, la somme v + v + + v n. 3. Quelle réponse Marc doit-il donner? A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

229 Chapitre 5 GRAPHES PROBABILISTES I Définitions Graphe probabiliste Matrice de transition État probabiliste II Évolution d un état au cours du temps Propostion Théorème État stable Propriété EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

230 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES I DÉFINITIONS GRAPHE PROBABILISTE Un graphe probabiliste est un graphe orienté pondéré (sans arêtes parallèles) dans lequel la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet est égale à. Les graphes probabilistes sont utilisés pour modéliser l évolution d un sstème pouvant changer aléatoirement d état : les sommets du graphe sont les états possibles du sstème ; le poids d une arête orientée issue du sommet i et d etrémité j est la probabilité conditionnelle de la réalisation de l évènement j à l étape n + sachant que l évènement i est réalisé à l étape n. MATRICE DE TRANSITION La matrice de transition associée à un graphe probabiliste d ordre p est la matrice carrée M =(m i, j ) d ordre p telle que, pour tous entiers i et j vérifiant i p et j p, m i, j est égal au poids de l arête orientée d origine le sommet i et d etrémité le sommet j si cette arête eiste, et est égal à 0 sinon. Tous les coefficients sont positifs ou nuls, et pour chaque ligne la somme des coefficients est égale à. Cette matrice décrit le passage d un état au suivant. Le coefficient m i, j est la probabilité conditionnelle d être dans l état j à l instant n+ sachant que l on est dans l état i à l instant n. EXEMPLE Le tableau ci-dessous donne en pourcentage, les transitions entre l emploi, le chômage et l inactivité sur le marché du travail en France : Année 005 Année 006 Emploi Chômage Inactif Emploi Chômage Inactif Ce tableau snthétise les changements de situation entre deu années consécutives : 94% des personnes qui ont un emploi une année donnée occupent un emploi l année suivante. La matrice de transition M est : 0,93 0,03 0,04 M = 0,38 0,44 0,8 0,09 0,05 0,86 Notons respectivement E, C et I les trois états emploi chômage et inactivité. Le graphe probabiliste associé est : 0,93 E 0,38 0,03 0,09 0,04 0,44 C 0,8 0,05 I 0,86 A. YALLOUZ (MATH@ES) 30

231 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES 3 ÉTAT PROBABILISTE Un état probabiliste est une loi de probabilité sur l ensemble des états possibles. Cette loi est représentée par une matrice ligne telle que la somme des terme s est égale à. EXEMPLE D après les données de l INSEE concernant la population (5-64 ans) en France en 009, 63,7% de la population occupait un emploi et 6,8% de la population était au chômage. Notons P 0 l état probabiliste de l année 009 : ( P 0 = 0,637 0,068 ) 0,95 II ÉVOLUTION D UN ÉTAT AU COURS DU TEMPS 0,93 0,03 0,04 Considérons le sstème à trois états (emploi, chômage, inactif) dont la matrice de transition M = 0,38 0,44 0,8. 0,09 0,05 0,86 ) Soit P n = (a a a 3 l état probabiliste du sstème à l instant n 0,93 E a E 0,03 0,04 C I 0,38 E a C 0,44 C 0,8 I a3 0,09 E I 0,05 C D après la formule des probabilités totales, à l instant n+ l état probabiliste du sstème est ( P n+ = a 0,93+a 0,38+a 3 0,09 a 0,03+a 0,44+a 3 0,05 ) a 0,04+a 0,8+a 3 0,86 ) 0,93 0,03 0,04 Soit P n+ = (a a a 3 0,38 0,44 0,8 0,09 0,05 0,86 0,86 I PROPOSTION On considère un sstème qui peut se trouver dans p états,,, p avec une certaine probabilité et on étudie l évolution de ce sstème au cours du temps. ) Soit P n = (a a p l état probabiliste du sstème à l instant n, M la matrice de transition et P n+ l état probabiliste du sstème à l instant n+. Alors, pour tout entier n, on a P n+ = P n M EXEMPLE A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

232 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES Avec les données de l eemple précédent : ( ) 0,93 0,03 0,04 P = 0,637 0,068 0,95 0,38 0,45 0,7 = 0,09 0,05 0,86 En 00, environ 6,4% de la population devrait être au chômage. ( ) 0,6448 0, ,94 THÉORÈME Si M est la matrice de transition d un graphe probabiliste d ordre p, si P 0 est la matrice ligne décrivant l état initial et P n l état probabiliste à l étape n, on a P n = P 0 M n EXEMPLE Calculons le tau du chômage prévisible en 0 : ( ) 0,93 0,03 0,04 P = 0,637 0,068 0,95 0,38 0,45 0,7 0,09 0,05 0,86 ( ) 0,65 0,06 0,88 Or le tau de chômage est le rapport entre chômage et population active (emploi+chômage) soit : 0,06 0,65+0,06 0,087 En supposant qu il n ait pas de changement sur les transitions dans le marché du travail, le tau du chômage devrait être en 0 d environ 8,7% (à comparer avec le tau réel de 9,%). 3 ÉTAT STABLE Un état stable d un graphe probabiliste de matrice de transition M est un état P tel que P=PM. EXEMPLE Déterminons ( l état stable ) P du sstème emploi, chômage et inactivité sur le marché du travail. Soit P= a b c l état stable. Nous avons : ( ) ( ) 0,93 0,03 0,04 P=PM a b c = a b c 0,38 0,44 0,8 0,09 0,05 0,86 ( ) ( ) a b c = 0,93a+0,38b+0,09c 0,03a+0,44b+0,04c 0,04a+0,8b+0,86c Or P est un état probabiliste d où a+b+c=. Par conséquent a, b et c sont solutions du sstème : 0,93a+0,38b+0,09c = a 7a+38b+9c = 0 0,03a+0,44b+0,05c = b 3a 56b+5c = 0 0,07a+0,8b+0,86c = c 3a+8b 4c = 0 (L 3 = L L ) a+b+c = a+b+c = a+b+c = 7a+38b+9c = 0 3a 56b+5c = 0 a = b = 3 57 c = A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

233 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES ( 347 L état stable du sstème est P= ) ( ) Soit avec des probabilités arrondies au millième près P = 0,67 0,06 0,69. En supposant qu il n ait pas de changement sur le marché du travail, sur le long terme environ 6% de la population serait au chômage. REMARQUE 0,67 0,06 0,69 À l aide de la calculatrice, on trouve M 40 = 0,67 0,06 0,69 0,67 0,06 0,69 4 PROPRIÉTÉ Pour tout graphe probabiliste d ordre, dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l état P n converge vers un état stable P indépendant de l état initial P 0. EXEMPLE En salle des professeurs, il a deu photocopieuses qui fonctionnent indépendamment l une de l autre. Chaque photocopieuse en état de marche a une probabilité égale à 0, de tomber en panne pendant la journée. Dans le cas où une photocopieuse tombe en panne pendant la journée, elle est réparée en fin de journée et se retrouve donc en état de marche le lendemain. Supposons que l on ne puisse pas réparer plus d une photocopieuse chaque jour. On s interesse au nombre de photocopieuses en panne en début de journée. Le graphe probabilste est un graphe à deu états 0 ou : 0,04 0,96 0 0, 0,8 dont la matrice de transition est ( Soit P= a M = ) b l état stable du sstème. Nous avons : ( P=PM a ( a ( ) ( b = a ) 0,96 0,04 0,8 0, ( ) b ) ( b = 0,96a+0,8b 0,96 0,04 0,8 0, ) ) 0,04a+0,b Or P est un état probabiliste d où a+b=. Par conséquent a et b sont solutions du sstème : 0,96a+0,8b = a ( 0 L état stable du sstème est P = 0,04a+0,b = b a+b = { 0,04a 0,8b = 0 0,04a 0,8b = 0 a+b = 0,04a 0,8b = 0 a+b = a = 0 b = ). Quel que soit l état initial, au bout d un certain nombre jours, la probabilité que chaque matin aucune des deu photocopieuses ne soit en panne est égale à 0. A. YALLOUZ (MATH@ES) 33

234 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES EXERCICE Le tableau ci-dessous etrait d une étude de la Commission européenne, donne en pourcentage les transitions entre l emploi, le chômage et l inactivité sur le marché du travail dans l Union Européenne en fonction du genre : Année n+ Année n Hommes Femmes Emploi Chômage Inactif Emploi Chômage Inactif Emploi Chômage Inactif Calculer les probabilités selon son genre, pour une personne qui est en congé parental(inactif) d avoir un emploi un an plus tard et deu ans plus tard. EXERCICE Un site internet comporte 6 pages, notées A, B, C, D, E, F reliées entre elles suivant le graphe ci-dessous. F A B C D E. Le responsable du site souhaite tester les liens de pages. En partant de la page A, est-il possible de trouver un parcours passant une seule fois par tous les liens de pages?. Le responsable du site souhaite que deu pages reliées aient des couleurs différentes. Quel est le nombre minimum de couleurs nécessaires? 3. Le graphe orienté ci-dessous indique les liens direct entre les pages du site. F A B C D E a) Quel est le diamètre du graphe? b) On considère que sur chaque page, les visiteurs choisissent uniformément et au hasard de suivre un des liens proposés. ( ) Vérifier que l état stable du sstème est P= Interpréter ce résultat. A. YALLOUZ (MATH@ES) 34

235 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES EXERCICE 3 Une chaîne de magasins de prêt à porter a adopté en fonction du succès ou de l échec d un tpe de vêtement mis en vente, la stratégie commerciale suivante : En cas de succès du modèle vendu on conserve le même modèle le mois suivant. Il a alors une probabilité 0,5 de se retrouver en situation d échec. En cas d échec on change de modèle le mois suivant en adoptant une politique commerciale plus agressive (pri plus ajusté, publicité etc). Il a alors une probabilité 0,6 de se retrouver en situation de succès.. Représenter la situation à l aide d un graphe probabiliste à deu états.. On suppose qu en cas de succès d un modèle, l entreprise gagne C par article et qu en cas d échec, elle perd,0 C par article. a) En cas de succès d un modèle, quel est le gain moen sur ce modèle un mois plus tard? b) Quel est le montant du gain moen que cette entreprise peut espérer réaliser sur le long terme? EXERCICE 4 Un opérateur de téléphonie mobile propose à ses abonnés deu forfaits : une formule A qui donne droit à deu heures de communication mensuelle ; une formule B qui donne droit à un nombre illimité de communications mensuelles. On admet que d une année sur l autre, le nombre de clients de cet opérateur est stable et que : 0% des clients aant choisi la formule B changent de formule ; 30% des clients aant choisi la formule A changent de formule. En 00, 80% des clients de cet opérateur étaient abonnés à la formule A.. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice de transition. ). Pour un entier naturel n donné, on note P n = (a n b n avec a n + b n =, la matrice ligne décrivant l état probabiliste ( ) lors de l année 00+n. L état probabiliste initial est donc P 0 = 0,8 0,. a) Calculer la probabilité qu un client soit abonné à la formule A en 0. b) Montrer que, pour tout entier naturel n, a n+ = 0,5a n + 0,. 3. On pose pour tout entier n, u n = a n 0,4. a) Démontrer que la suite(u n ) est une suite géométrique de raison 0,5. b) Eprimer u n en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n : a n = 0,4 (+0,5 n ) c) Déduire de ce qui précède, la limite de la suite (a n ). Donner une interprétation concrète de ce résultat. d) À partir de quelle année, la probabilité qu un client soit abonné à la formule A sera-t-elle inférieure à 0,40? EXERCICE 5 Un industriel produit une boisson conditionnée sous deu emballages distincts A et B. Une étude effectuée auprès des consommateurs a permis d établir que d un mois sur l autre, 84% des consommateurs restent fidèles au conditionnement A contre 76% pour le conditionnement B. Au moment de l étude, les consommations des deu conditionnements sont égales. Pour tout entier naturel n, on note) a n la probabilité qu un consommateur choisisse le conditionnement A le n-ième mois après l étude et P n = (a n b n la matrice ligne décrivant l état probabiliste le n-ième mois après l étude. Ainsi, ( ) P 0 = 0,5 0,5.. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.. a) Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l ordre alphabétique des sommets. ( ) b) Montrer que la matrice ligne P est égale à 0,564 0,436. ( 3. Soit P= a ) b la matrice correspondant à l état stable, c est à dire telle que P = P M. Déterminer les réels a et b. Interpréter ce résultat. 4. À l aide de la relation P n+ = P n M, démontrer que, pour tout entier naturel n, a n+ = 0,6a n + 0,4. A. YALLOUZ (MATH@ES) 35

236 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES 5. On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n, par u n = a n 0,6. a) Démontrer que la suite(u n ) est une suite géométrique de raison 0,6. b) Eprimer u n en fonction de n et en déduire que a n = 0, 0,6 n + 0,6. c) À partir de combien de mois après l étude, la probabilité qu un consommateur choisisse le conditionnement A est-elle supérieure à 0,595? EXERCICE 6 Un industriel décide de mettre sur le marché un nouveau produit. Afin de promouvoir celui-ci, il souhaite lancer une campagne hebdomadaire de publicité. Avant le lancement de cette campagne, on contrôle l impact de cette campagne auprès d un panel de consommateurs. On trouve ceu qui ont une opinion favorable(f), ceu qui sont neutres(n) et ceu qui ont une opinion négative(r). On a constaté que d une semaine sur l autre : 8% des consommateurs aant un avis favorable adoptent une position neutre et 0% une opinion négative ; Parmi les consommateurs aant une opinion neutre, 3% émettent un avis favorable et 0% un avis négatif ; 70% des consommateurs aant un avis négatif ne changent pas d opinion et 6% adoptent un avis favorable.. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets F, N et R.... 0,8 0,. On note M la matrice de transition associée à ce graphe. Compléter M = 0,3... 0, ,7 3. L industriel décide de lancer la campagne publicitaire. ) Pour tout entier naturel n, l état probabiliste de la semaine n est défini par la matrice ligne P n = (a n b n c n, où a n désigne la probabilité qu un consommateur touché par la campagne soit favorable au produit la semaine n, b n la probabilité que ce consommateur soit neutre la semaine n et c n la probabilité que ce consommateur ait une opinion négative de ce produit la semaine n. ( ) La semaine du début de la campagne est notée semaine 0. On a P 0 = 0 0. ( a) Montrer que l état probabiliste une semaine après le début de la campagne est P = 0,3 0,58 ) 0,. b) Déterminer l état probabiliste P 3. Interpréter ce résultat. c) Déterminer l état probabiliste stable du sstème. d) En ne prenant en compte que les opinions favorables, combien de semaines devrait durer la campagne publicitaire? EXERCICE 7 (D après sujet bac Amérique du Nord 0) PARTIE A : Étude d un site Un site internet comporte 8 pages, notées A, B, C, D, E, F, G, H reliées entre elles suivant le graphe ci-dessous. A B D C E F G H Ainsi, par eemple, à partir de la page A on peut directement accéder au pages B, C et D. Par contre, la page A ne permet pas d accéder directement à la page F.. Le technicien souhaite tester les liens de pages. En partant de la page A, est-il possible de trouver un parcours passant une seule fois par tous les liens de pages? Justifier la réponse. A. YALLOUZ (MATH@ES) 36

237 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES. Pour marquer les changements de page, l administrateur du site souhaite que deu pages reliées aient des couleurs différentes. On note N le nombre minimum de couleurs nécessaires. a) Donner un sous-graphe complet d ordre maimal. b) En utilisant la question. a. et à l aide d un algorithme, montrer, que N = 3. PARTIE B : Étude de propagation d un virus d un site à l autre Le site précédent, appelé site N o, propose un unique lien vers un site partenaire, appelé Site N o, sans retour possible. De même, le site N o propose un unique lien vers un site N o 3, sans retour possible et ainsi de suite... (voir le schéma ci-dessous) : Site N o Site N o Site N o 3 Site N o n Site N o n+ Le site N o vient d être infecté par un virus informatique qui utilise les liens entre les sites pour essaer de se propager, les autres sites n étant pas encore touchés. Face à ce nouveau virus, les antivirus ne sont efficaces qu à 80 %. On note : V l état «le site est infecté par le virus» S l état «le site est sain (non infecté par le virus)». On a dessiné ci-dessous le graphe probabiliste traduisant les risques de propagation du virus d un site au suivant : V S 0. Justifier la valeur 0 indiquée sur le graphe probabiliste précédent, puis recopier et compléter ce graphe sur votre copie.. Préciser la matrice de transition M de ce graphe (première ligne pour V, deuième ligne pour S) Pour tout entier naturel non nul n, on note : P n la probabilité que le n-ième site soit infecté, Q n la probabilité que le n-ième site soit sain et X n = ( ) On a donc X = 0 (traduisant que le site N o est infecté) et X n+ = X n M. 3. a) En utilisant la relation X n+ = X n M, montrer que P n+ = 0,P n. b) En déduire P n en fonction de n. c) Déterminer la limite de la suite(p n ) lorsque n tend vers plus l infini. (P n Q n ). EXERCICE 8 (D après sujet bac Amérique du Sud 0) Franck Geek est adepte de jeu vidéo en ligne. Afin de préserver son temps de travail scolaire, il essae de se modérer. Il constate que : s il a joué un jour, la probabilité qu il ne le fasse pas le lendemain est de 0,6 ; s il n a pas joué un jour, la probabilité qu il joue le lendemain est de 0,9. Le jour de la rentrée (premier jour), Franck a décidé de ne pas jouer.. a) Quelle est la probabilité que Franck joue le deuième jour? b) Quelle est la probabilité qu il ne joue pas le deuième jour?. On note D l évènement : «Franck a joué» et E l évènement : «Franck a su résister». a) Modéliser cette situation par un graphe probabiliste. b) Donner la matrice de transition M associée à ce graphe. 3. Soit n un entier naturel non nul. Soient D n l évènement : «Franck a joué le n-ième jour» et E n l évènement : «Franck a su résister le n-ième jour». ) L état probabiliste lors du n-ième jour est alors donné par la matrice ligne P n = (d n e n où d n désigne la probabilité de l évènement D ( n et e ) n celle de l évènement E n. On a ainsi P = 0. A. YALLOUZ (MATH@ES) 37

238 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES a) Déterminer P. b) Donner la relation liant P n+ et P n. c) En déduire que, pour tout entier naturel n, d n+ = 0,5d n + 0,9. 4. Pour tout entier naturel n non nul, on pose u n = d n 0,6. a) Démontrer que la suite u est une suite géométrique. Préciser sa raison et la valeur de son premier terme. b) Eprimer alors u n puis d n en fonction de n. c) Calculer lim n + d n et interpréter ce résultat. EXERCICE 9 En 00, les clients d une banque nationale se répartissent en deu catégories distinctes :. Catégorie A, composée des clients d agence. Catégorie I, composée des clients internet (D après sujet bac Liban 0) En 00, 9 % des clients sont des clients d agence et 8 % des clients sont des clients internet. On admet que chaque année, 5 % des clients d agence deviennent clients internet et inversement % des clients internet deviennent clients d agence. On suppose que le nombre de clients de la banque reste constant au cours du temps et qu un client ne peut faire partie des deu catégories. On s intéresse à l évolution de la répartition des clients de cette banque dans les années à venir. On note pour tout entier naturel n : a n la probabilité qu un client de la banque, pris au hasard, soit un client d agence à l année 00+n, i n la probabilité ) qu un client de la banque, pris au hasard, soit un client internet à l année 00+n, P n = (a n i n la matrice correspondant à l état probabiliste de l année 00+n. On note M la matrice de transition, telle que pour tout entier naturel n P n+ = P n M. PARTIE A : État stable d un graphe probabiliste Dans cette partie, on donnera des valeurs approchées arrondies au centième.. Déterminer le graphe probabiliste correspondant à cette situation.. Donner P 0 la matrice traduisant l état probabiliste initial. ( ) 0,95 0,05 On admettra que M =. 0,0 0,99 3. a) Calculer la matrice P. b) Déterminer, à l aide de la calculatrice, la répartition des clients de la banque en Déterminer, par le calcul, l état stable de la répartition des clients. Interpréter le résultat. PARTIE B : Étude de la limite d une suite récurrente. a) À l aide de la relation P n+ = P n M, eprimer a n+ en fonction de a n et i n. b) En déduire que pour tout entier naturel n, a n+ = 0,94a n + 0,0.. On définit la suite (u n ) par u n = a n pour tout entier naturel n. 6 a) Montrer que la suite (u n ) est une suite, géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) En déduire l epression de u n en fonction de n. c) En déduire que pour tout entier naturel n, a n = ,94n + 6. d) Déterminer la limite de la suite a n lorsque n tend vers+. Interpréter le résultat. A. YALLOUZ (MATH@ES) 38

239 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES EXERCICE 0 (D après sujet bac Amérique du Nord 00) Pendant ses vacances d été, Ale a la possibilité d aller se baigner tous les jours. S il va se baigner un jour, la probabilité qu il aille se baigner le lendemain est de 0,7. S il ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu il aille se baigner le lendemain est de 0,9. Le premier jour de ses vacances, Ale va se baigner. n étant un entier naturel non nul, on note : a n la probabilité qu Ale n aille pas se baigner le n-ième jour. b n la probabilité ) qu Ale aille se baigner le n-ième jour. ( ) P n = (a n b n la matrice ligne traduisant l état probabiliste le n-ième jour. On a donc P = 0. a) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (B représentant l état «Ale va se baigner»). ( ) 0,... b) Soit M la matrice de transition associée à ce graphe. Recopier et compléter M =... 0,7. Calculer P 3, P 0 et P 0. Quelle conjecture peut-on faire? 3. a) Montrer que pour tout entier n non nul, b n+ = 0,9a n + 0,7b n. b) En déduire que : b n+ = 0,b n + 0,9. 4. On considère la suite u définie pour tout entier n non nul par u n = b n 0,75. a) Montrer que u est une suite géométrique de raison 0, ; on précisera son premier terme. b) Déterminer la limite de la suite u. c) En déduire lim n + b n. 5. On suppose dans cette question que le premier jour de ses vacances, Ale ne va pas se baigner. Quelle est la probabilité qu il aille se baigner le 0 e jour de ses vacances? EXERCICE (D après sujet bac Antilles-Guane 00) M. et M me Martin, qui habitent une grand ville, aiment beaucoup voager. Ils prévoient toujours de partir pendant l été, soit à l étranger, soit de visiter une région en France. S ils sont restés en France une année donnée, la probabilité qu ils partent à l étranger l année suivante est de 0,4. Par contre, s ils sont partis à l étranger une année donnée, la probabilité qu ils retournent à l étranger l années suivante est de 0,7. En été 009, ce couple est parti à l étranger. ) Pour tout entier naturel n, on note P n la matrice ligne (a n b n traduisant l état probabiliste l année (009+n), où a n désigne la probabilité que ce couple soit resté en France l année(009+n) et b n la probabilité que ce couple soit parti à l étranger l année(009 + n). PARTIE A. a) Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets seront notés F et E (F pour France et E pour étranger). b) En déduire la matrice de transition en prenant tout d abord F puis E pour l ordre des sommets. On notera M cette matrice.. a) Donner P 0, l état probabiliste initial, l année 009. ( ) ( ) ( ) b) On donne les résultats suivants : M 0,48 0,5 = ; M 3 0,444 0,556 = ; M 4 0,433 0,5668 =. 0,39 0,6 0,47 0,583 0,45 0,5749 En choisissant la bonne matrice, calculer P 3. En déduire la probabilité que ce couple parte à l étranger en 0 (On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième). ( ) 3. Soit P la matrice ligne donnant l état stable où et sont deu réels positifs tels que +=. Déterminer l état stable puis interpréter le résultat. PARTIE B. Montrer que pour tout entier naturel n on a : a n+ = 0,3a n + 0,3.. Pour tout entier naturel n, on pose u n = a n 3 7. a) Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. A. YALLOUZ (MATH@ES) 39

240 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES b) En déduire l epression de u n, puis celle de a n en fonction de n. c) Déterminer la limite de la suite(a n ) lorsque n tend vers+. Que retrouve-t-on? EXERCICE (D après sujet bac Liban 00) Deu chaînes de télévision A et B programment chaque semaine, à la même heure, deu émissions concurrentes. On suppose que le nombre global de téléspectateurs de ces émissions reste constant. La première semaine, 70 % de ces téléspectateurs ont regardé la chaîne A. Une étude statistique montre que : 5 % des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne A une semaine, regardent la chaîne B la semaine suivante. 0 % des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne B une semaine, regardent la chaîne A la semaine suivante. On note respectivement a n et b n les proportions de téléspectateurs des chaînes A et B la n-ième semaine et P n la matrice ligne (a n b n ). On a donc P = ( 0,7 0,3. a) Déterminer le graphe probabiliste représentant la situation. ). b) Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.. Calculer M 3 à l aide de la calculatrice, donner les résultats en arrondissant à 0 3 près. Quelle est la répartition des téléspectateurs entre les deu chaînes lors de la quatrième semaine? ( ) 3. On considère la matrice ligne P= a b, où a et b sont deu réels tels que a+b=. a) Déterminer a et b pour que P = PM. b) Interpréter les deu valeurs trouvées. 4. On admet que pour tout entier naturel n>0, on a : a n = 0,4+0,3 ( 0,75 n ). a) Résoudre l inéquation a n < 0,5. b) À partir de quelle semaine l audience de l émission de la chaîne B dépassera-t-elle celle de l émission de la chaîne A? EXERCICE 3 (D après sujet bac Polnésie 00) Dans une société, le service informatique utilise deu logiciels de gestion : d une part, le logiciel Aurora, leader du marché, et d autre part le logiciel Bestmath, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre chaque année, en janvier et en juillet, le nombre d utilisateurs des deu logiciels et fournit des rapports réguliers sur le comportement des utilisateurs. Lors de l enquête de janvier 009, le chef de réseau a constaté que 3 % des informaticiens utilisait le logiciel Aurora, les autres informaticiens utilisaient le logiciel Bestmath. Lors de chaque relevé suivant (juillet 009, janvier 00,... ), le chef du réseau informatique a constaté que 0 % des utilisateurs du logiciel Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais le logiciel Bestmath, tandis que 5 % des utilisateurs du logiciel Bestmath avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora. Les semestres sont comptés à partir de janvier 009, que l on appellera semestre 0 (juillet 009 est donc le semestre ). Pour tout entier naturel n, on désigne par : a n la probabilité qu un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora le semestre n ; b n la probabilité qu un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Bestmath le semestre n.. a) Traduire les données l énoncé par un graphe probabiliste. b) Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l ordre alphabétique des sommets. ). a) On note P 0 = (a 0 b 0 l état initial de ce graphe en janvier 009. Déterminer P 0. ( b) On appelle P l état de la société en juillet 009. Vérifier que P = 0,46 ) 0,574. c) On appelle P l état en janvier 00. Déterminer P (les résultats seront arrondis à 0 3 ). 3. Dans cette partie on étudie la suite (a n ). a) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : a n+ = 0,55a n + 0,5. b) On considère la suite(u n ) définie pour tout entier naturel n par U n = 5 9 a n. Démontrer que la suite(u n ) est géométrique, déterminer sa raison ainsi que le premier terme. c) En déduire l epression de U n puis de a n en fonction de n. A. YALLOUZ (MATH@ES) 40

241 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES ( 4. Soit P= ) l état probabiliste stable. a) Déterminer et. b) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On suppose que l utilisation du logiciel Aurora dans l entreprise progresse régulièrement de la même façon. Le distributeur du logiciel Aurora peut-il espérer que son logiciel soit utilisé un jour par plus de 60 % des informaticiens de l entreprise? EXERCICE 4 (D après sujet bac La Réunion 00) Les parties A et B sont indépendantes PARTIE A Une étude statistique est réalisée chaque trimestre sur une population composée initialement de fumeurs. Certains d entre eu s arrêtent de fumer, d autres qui ont arrêté, redeviennent fumeur. On estime que : si un individu est fumeur, la probabilité qu il arrête de fumer (qu il devienne non fumeur) le trimestre suivant est 0, ; si un individu a arrêté de fumer (il est considéré alors comme non fumeur), la probabilité qu il redevienne fumeur le trimestre suivant est 0,3. On notera X l évènement «l individu est fumeur» et Y l évènement «l individu est non fumeur».. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste et donner sa matrice de transition que l on notera M (aucune justification n est demandée, on respectera l ordre alphabétique des sommets).. Pour un entier naturel n donné, on note n la proportion ) de fumeurs dans la population et n la proportion de non fumeurs au trimestre de rang n. On note E n = ( n n la matrice ligne donnant l état probabiliste du sstème au trimestre de rang n. ( ) On étudie une population initiale où tous les individus sont fumeurs. On a donc : E 0 = 0. a) Vérifier que la proportion de fumeurs à l issue de deu trimestres est 0,7. b) Déterminer l état E 4 de la population à l issue d une année. 3. La répartition fumeurs/non fumeurs de la population converge vers un état stable : E = Déterminer cet état. ( ). PARTIE B Le chiffre d affaires d un débitant de tabac sur une période donnée est fonction de deu variables : le nombre de consommateurs, c est-à-dire de fumeurs, et le pri moen du paquet de tabac. On appelle z le chiffre d affaire en milliers d euros, le nombre de consommateurs en milliers et le pri du paquet de tabac en euros. On admettra que z=. ( ) Dans l espace, muni d un repère orthonormal O; i, j, k, on désigne par S la surface d équation z=.. Le débitant a pour clients 000 consommateurs réguliers et le pri moen du paquet de tabac est de 5 euros. a) Quel est le chiffre d affaires réalisé par le débitant? b) Soit, dans un plan P parallèle au plan de base O, la ligne de niveau z=5 de la surface S. On a tracé cette ligne de niveau sur la figure donnée en annee. Donner son équation de la forme = f(). Le nombre de consommateurs passe de 000 à 600. Quel devrait être, au centime d euros près, le nouveau pri du paquet de tabac pour que le chiffre d affaires du débitant reste égal à 5000 C? A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

242 Année 0-0 GRAPHES PROBABILISTES T le ES 0 Ligne de niveau z=5 de la surface S , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,,,3,4 A. YALLOUZ (MATH@ES) 4