Le fer à cheval de Smale

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1 Le fer à cheval de Smale Selim GHAZOUANI, ENS Lyon Novembre 2010, Groupe de lecture dirigé par Alexey GLUSTYUK sur les systèmes dynamiques Le fer à cheval de Smale est un exemple de transformation continue du plan dont l étude des itérés laisse apparaitre des propriétés remarquables sur certains ensembles globalement invariants. L application fer à cheval, qu on explicitera plus tard, est une application d un rectangle de R 2 dans R 2 tel que f( ), ce qui nous permet de définir sur un certain sous ensemble de l application f 2 sur ce sous ensemble; et de la même manière on définit les itérés de la fonction f. On s interessera alors à l ensemble des points sur lequel f n est définie pour tout n. On étudiera pour un point x de cet ensemble son orbite, l ensemble des valeurs prise par les itérés de f en x. 1 Ensemble de Cantor On désigne par ensemble de Cantor certains ensembles ayant des propriétés topologiques particulières; il est possible de donner une définition générale des ensembles de Cantor mais l étude que nous nous appretons à faire ne nécessite que l introduction de notions sur les ensembles de Cantor en dimension 1. Définition 1 On appelle ensemble de Cantor toute partie de [0, 1] fermé, parfaite et d intérieur vide. Un exemple classique d ensemble de Cantor est l ensemble triadique de Cantor qui est l ensemble des nombres x appartenant à [0, 1] tel que le développement en base 3 de x ne contienne pas le chiffre 1. On pourra noter les choses suivantes : Tous les sont Cantor indénombrables : c est un bon exercice de montrer que le Cantor triadique est indénombrable. Il existe des Cantor de mesure quelconque. Leur construction repose sur le même principe que le Cantor triadique, mais la largeur de l intervalle à retirer doit être diminuée à chaque étape lors de la construction. 1

2 2 Codage pour une transformation d un espace, partitions de Markov Lors de la précédente scéance, on a vu que les points du cercle pouvaient être codés en notant l appartenance des itérés de la foncion de duplication à la partie supérieure où inférieure du cercle. On peut généraliser ce type de codage à certains ensemble moyennant des conditions sur la fonction de transformation et la partition de l ensemble d arrivée de sorte que le codage caractérise bien chaque point de l ensemble. 2.1 Partition de Markov Donnons nous E un espace topologique (dans la pratique, il s agira souvent d espaces vectoriels normés,parfois mesurables, généralement de dimension finie) et f une application continue de E dans E, telle que E est invariant par f. Soit E 0,...,E n une partition de E (les E i sont deux à deux disjoints et E = i E i). On veut pouvoir coder chaque point x par la suite ω suivante : k Z, ω(x) k = j avec j tel que f k (x) E j. Notons alors h l application de E dans [ 0, n ] Z, x ω(x). Cette application associe à x la suite définie précédement. Pour un codage efficace, on veut que cette application soit au moins injective : on impose alors la condition suivante: ω, n Z f n (E ωn ) est au plus un singleton. Cela assure que deux points x et y différents seront codés par des suites différentes. Si on note ensuite s l application de [ 0, n ] Z dans lui même qui décale chaque terme de la suite vers gauche on a l égalité suivante, quand h est bien injective : s h = h f Comme h est une bijection de E vers h(e), h conjugue s et f sur un ensemble à préciser. Ainsi suivant les propriétés topologiques de la fontion h, l étude de la fonction f peut se faire directement par l étude de la fonction s sur [ 0, n ] Z. Dans tous les cas, les points d orbites finies pour f seront les mêmes que pour s. Or pour s les suites d orbites finies sont les suites périodiques ce qui rend l étude très simple. Dans le cas particulier où h est une fonction continue de E dans [ 0, n ] Z muni de la topologie produit, il devient alors simple de déterminer les points d orbite dense, de savoir si les points d orbite finie sont dense, etc. Si de plus E est mesurable et que h conserve la mesure, on peut faire une étude presque complète des orbites par f des points de E. Une telle partition rendant le codage injectif est appelée partition de Markov. L exposé sur la duplication du cercle est une première application des idées exposées dans cette partie. 2

3 2.2 Topologie de {0,..., n} Z, fonction shift s On démontre maintenant quelques propriétés sur la fonction s introduite précédement et sur l ensemble {0,..., n} Z. Proposition 2 L ensemble {0,..., n} Z est homéomorphe à un ensemble de Cantor. Il est en effet parfait, ses composantes connexes sont les singletons et il est compact. La démonstration de cette proposition est assez simple. La compacité et le caractère parfait sont triviaux. Pour montrer que ses composantes connexes sont les singletons on peut montrer que tout cylindre ouvert est à la fois uvert et fermé: à partir de la, si U est une composante connexe elle ne peut contenir deux points différents car comme {0,..., n} Z peut être muni d une métrique, il est séparé et comme les cylindres ouverts engendrent les ouverts toute partie contenant deux points différents contient deux parties disjointes à la fois ouvertes et fermées. Remarquons que la fonction shift est un homéomorphisme de {0,..., n} Z dans lui-même. Cela a des conséquences intéressante quand s est le conjugué d une autre application sur un autre espace. Proposition 3 Les points d orbite finie pour la fonction shift sont les suites ultimement périodiques. Cette proposition est triviale. On poursuit par des commentaires sur les suites d orbite dense. On définit pour cela les suites univers. Définition 4 Une suite est dite univers si elle contient n importe quelle suite finie. Proposition 5 L orbite d une suite par la fonction est dense si et seulement si la suite est univers. La démonstration est assez simple, elle utilise le fait que les cylindres engendrent les ouverts. Théorème 6 L ensemble des suites dont l orbite n est pas dense est de mesure nulle Ce théorème peut être très intéressant si la fonction h de la partie précédente est un homéomorphisme consevrant la mesure. J en donnerai une démonstration si j en ai le temps... On est maintenant en possession des outils nous permettant d étudier un système dynamique assez intéressant, connu sous le nom fort exotique de Fer à cheval de Smale. 3

4 3 Fer à cheval de Smale Le fer à cheval de Smale est une déformation du rectangle assez simple à visualiser. Partant d un rectangle, on lui fait subir une homothétie de rapport a < 1 2 dans le sens des ordonnées(cela correspond à un applatissement du rectangle). Ensuite on le dilate vers la droite en lui faisant subir une homothétie de rapport b > 2. On tord alors la figure obtenue en lui donnant un forme de fer à cheval (cf. figure ci dessous). Enfin on superpose le fer à cheval obtenu avec le rectangle de départ de de sorte que la partie courbée soit hors du rectangle et que les parties droites n y soient pas entièrement.(cf figure) On n a pas explicité les formules, mais c est assez simple de les trouver : il suffit de composer chaque étape de la construction, les formules de ces transformations étant assez évidentes. 3.1 Plus grand sous-ensemble invariant du rectangle par f Pour pouvoir appliquer la théorie developpée dans les parties précédentes, il faut déterminer un ensemble invariant par f. Comme f(u V ) = f(u) f(v ) la réunion de deux ensembles invariant par f l est aussi. On peut alors déterminer le plus grand ensemble invariant par f qu on notera Γ. On va montrer que Γ = n Z f n ( ) Soit V un ensemble invariant par f, soit f(v ) = V. Comme V on a n N, V f n ( ). Mais comme on a d autre part x V et n N, f n (x), clairement V f n ( ) d où V n Z f n ( ) Il suffit enfin de vérifier que n Z f n ( ) est invariant par f ce qui est assez évident. 3.2 Codage On peut donc maintenant tenter de trouver une partition de pour effectuer un codage de Γ. Si on regarde f( ), on voit que cet ensemble est constitué de deux rectangles qu on note 0 et 1. Puis plus généralement n i=0 f i ( ) est la réunion de 2 n rectangle de largeur de plus en plus petite. Finalement n N f n ( ) est le produit d un Cantor en vertical par un segment horizontal. Si (ω 1,..., ω n ) {0, 1} n, n i=0 f i ( ωi ) est un des 2 n rectangles composant n i=0 f i ( ). On peut donc coder un segment de n N f n ( ) par une suite de 4

5 {0, 1} indexée sur N. Puis en procédant de même sur les images réciproques, on montre que Γ est le produit de deux Cantors codés par une suite de {0, 1} indexée sur Z. L application h de codage définie ainsi est une bijection continue de Γ dans {0, 1} Z. Comme l espace de départ est compact, h est un hméomorphisme. Ce qui montre au passage de manière rigoureuse que Γ est un Cantor car homéomorphe à {0, 1} Z. On a démontré qu il était possible de fournir une partition de Markov pour le fer à cheval à Smale. Une question intéressante est maintenant de savoir si on peut trouver des conditions générales assurant l existence d une partition de Markov sans avoir à l expliciter. Un théorème puissant de théorie des systèmes dynamiques l assure pour les systèmes dit hyperboliques. La partie suivante décrit brievement un système hyperbolique particulier. 4 Un exemple de système hyperbolique: un automorphisme linéaire du tore de dimension 2 Cette dernière partie constitue une simple introduction au concept de système hyperbolique: on étudie rapidement un automorphisme linéaire du tore de R 2. Définition 7 On appelle tore de R 2 le plan R 2 quotienté par son sous-groupe additif discret Z 2. On note T 2 = R 2 /Z 2. Sur R 2 on considère l application f : (x, y) (2x + y, x + y). Montrons que cette application passe au quotient sur T 2 et que l application induite est un automorphisme de ( T 2 ) 2 1 La matrice de f est. Cette matrice étant de déterminant 1, elle appartient à SL 2 (Z) et f induit une bijection de (Z) 2. Ainsi f est constante sur les 1 1 classes d équivalence pour la relation xry x y Z 2 et l application f est définie sans ambiguité sur T 2. Ainsi f est surjective, et injective car de noyau de f est trivial et f induit donc un automorphisme de groupe sur T 2. On peut donc maintenant travailler sur l application f définie sur le tore. On peut remarquer tout d abord que f est continue, bijective, d un compact dans lui-même c est donc un homéomorphisme. Définition 8 On appelle système hyperbolique linéaire tout système définit par une application linéaire sur un R-espace de dimension finie dont les valeurs propres sont de module différent de 1. En calculant les valeurs propres de f on trouve Sp(f) = { , } ce qui définit sur le tore un système hyperbolique. On se contentera de mentionner le théorème suivant Théorème 9 Soit un système hyperbolique linéaire définit sur un espace topologique. Alors il existe une partition de Markov associée à ce système. 5

6 Il est possible de donner un exemple de partition qui marche pour ce système. Il serait ( trop long ) de le détailler, mais on peut en donner une idée rapide. 2 1 Comme est symétrique les vecteurs propres de f sont orthogonaux. En 1 1 traçant dans R 2 des rectangles suivant les directions des vecteurs propres, et en regardant la trace de ces rectangles sur T 2 on obtient une base pour créer une partition de Markov. Le théorème énoncé précedement est un théorème difficile qui s étend au systèmes hyperboliques généraux. On peut maintenant se demander si il est possible de donner des estimations de n le cardinal de la partition en fonction des propriétés topologiques du système considéré... 5 Un petit point d histoire Les mathématiques exposées ici, bien qu étant de nature assez élémentaire, sont extraites de la théorie assez récente des systèmes dynamiques. Cette théorie trouve ces racines dans la résolution de certains problèmes physiques de stabilité comme le problème des n corps abordé par Poincaré au début du XXème siècle. Stephen Smale, inventeur du fer à cheval portant son nom, est un mathématicien américain né en 1930(et toujours vivant). Il est célèbre pour ces travaux sur la conjecture de Poincaré qu il a démontré pour les dimensions supérieures à 4 ce qui lui valut la médaille Fields en Spécialiste de topologie différentielle, son fer à cheval est une exemple de système dynamique dont l ensemble invariant est un Cantor. Il l introduit lorsqu il étudiait les orbites périodiques de l oscillateur de Van der Pool, un système différentiel harmonique. BIBLIOGRAPHIE 1. A. KATOK et B. HASSELBLAT, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge University Press, G. SZPIRO, La conjecture de Poincaré, Points, WIKIPEDIA français, Systèmes dynamiques 4. WIKIPEDIA english, Smale s horseshoe 6