UE : Aérodynamique Fondamentale

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "UE : Aérodynamique Fondamentale"

Transcription

1 Module 1 de l UEE d Arts & Métiers ParisTech Simulation des Systèmes Fluides (SISYF) UE : Aérodynamique Fondamentale Chapitre 3 : La Couche limite en aérodynamique ENSEIGNANTS : Jean-Christophe ROBINET Année

2

3 Table des matières 1 Description de la couche limite Aspects qualitatifs Equations de la couche limite Phénomènes essentiels liés à la couche limite Frottement à la paroi Décollement Transition vers la turbulence Quelques grandeurs utiles Epaisseur de la couche limite Epaisseur de déplacement Epaisseur de quantité de mouvement Facteur de forme Solutions particulières des équations de couche limite Solution de Blasius Solution de Falkner-Skan Application : couche limite sur les parois d une soufflerie Outils d analyse de la couche limite Méthodes intégrales Equation intégrale de von Kármán Méthode de Polhausen Méthode de Walz-Thwaites Exemple d application : étude d une couche limite sur un profil Méthode intégrale simple Cas de la couche limite turbulente Opérateurs de moyenne et décomposition de Reynolds Equations de Reynolds Equation intégrale et couche limite turbulente Profil de vitesse dans la couche limite turbulente Traînée de frottement sur une plaque plane Modélisation de la turbulence Modèle de longueur de mélange Modèle à 1 équation de transport de Spalart-Allmaras Modèles à 2 équations de transport Simulation numérique d un écoulement de fluide visqueux Précision de la solution numérique

4 2.3.2 Efficacité de la simulation Simulation d un écoulement turbulent Calcul de la traînée totale d un profil Couche limite et performance aérodynamique Couche limite et traînée Couche limite et portance Interaction choc / couche limite

5 Chapitre 1 Description de la couche limite 1.1 Aspects qualitatifs Dans ce cours d aérodynamique, nous avons étudié jusqu à présent des écoulements en supposant que l air pouvait être assimilé à un fluide parfait, i.e. un fluide dont les contraintes visqueuses sont nulles ; le tenseur des contraintes d un tel fluide s exprime simplement en fonction de la pression : T = pδ, où δ désigne le tenseur unité. Les équations qui décrivent le modèle simplifié de fluide parfait sont les équations d Euler. Dans la réalité, l air est un fluide visqueux newtonien et son tenseur des contraintes est de la forme : T = pδ+τ, où les composantes du tenseur des contraintes visqueuses τ sont définies par : τ ij = µ( v i + v j ) 2 x j x i 3 µ v k δ ij, avec µ la viscosité dynamique de l air. L air étant un fluide x k peu visqueux (µ kg / m / s aux conditions normales de température et de pression), les effets des contraintes visqueuses ne sont pas négligeables seulement là où il existe des gradients de vitesse élevés (de telles zones sont dites couches de cisaillement ). Considérons maintenant l écoulement d un fluide sur une paroi plane. Si ce fluide est parfait, il va glisser sur la paroi sans que la présence de celle-ci perturbe l écoulement (voir Fig. 1.1 ci-dessous). Cette situation ne correspond pas à l expérience physique ; en réalité, on observe la situation suivante : le fluide réel adhère à la paroi (u = en y = ) puis sa vitesse augmente progressivement à mesure que la distance à la paroi augmente pour atteindre finalement, à une distance y = δ de la paroi, une valeur dite vitesse extérieure, semblable à la vitesse d un fluide parfait - de viscosité nulle donc - s écoulant sur cette même paroi. La zone de l écoulement comprise entre la paroi et l écoulement uniforme de vitesse u e est appelée la couche limite ; son épaisseur δ est généralement faible devant les autres longueurs caractéristiques du problème (la corde d un profil par exemple) : la variation de la vitesse u de à u e sur une petite distance δ conduit donc à un gradient de vitesse u élevé et les contraintes visqueuses jouent un y rôle prépondérant dans la couche limite. La loi d évolution de l épaisseur δ peut être établie à partir d un raisonnement qualitatif simple sur la physique des phénomènes en jeu dans la couche limite. La couche limite évolue en effet sous l action conjuguée de phénomènes de diffusion et de convection. Les phénomènes de diffusion sont décrits typiquement par une équation de la forme : u t = ν 2 u y 2 (où ν est la viscosité cinématique, rapport de la viscosité dynamique µ et de la masse volumique ρ : ν = µ/ρ) ; pendant un temps t la couche limite est donc diffusée sur une épaisseur δ(x) qui satisfait la relation en ordre de grandeur : 1/t ν/δ 2 ( signifie du même ordre de grandeur que ). Par 3

6 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 4 CAS IDÉAL u e CAS RÉEL u e approximation de fluide parfait valable couche limite d épaisseur δ u effets visqueux importants condition de glissement u= (condition d adhérence) Fig. 1.1 Ecoulement d un fluide parfait et d un fluide visqueux sur une plaque plane. ailleurs, les phénomènes de convection sont modélisés par l équation : u t + u u e = ; pendant le x même temps t, l écoulement est advecté sur une distance avec la vitesse u e qui vérifie donc : u e x/t. On en déduit alors par élimination de t une loi d évolution en ordre de grandeur pour l épaisseur de la couche limite : δ(x)/x 1/ u e x/ν. La frontière supérieure de la couche limite a donc un profil parabolique (voir Fig. 1.2). On voit apparaître un paramètre essentiel dans l étude de la couche u e frontière extérieure de la couche limite δ(x) bord d attaque de la plaque x Fig. 1.2 Evolution de l épaisseur de la couche limite se développant sur une plaque plane. limite : le nombre de Reynolds local défini par La loi d évolution de δ peut donc aussi s écrire : Re x = u ex ν. (1.1) δ(x) x 1 Rex (1.2) En aéronautique, les écoulements ont lieu à grand nombre de Reynolds et par conséquent la couche limite est très fine par rapport aux dimensions caractéristiques de l avion. Considérons, pour fixer nos idées, un avion de ligne en vol de croisière. La vitesse de déplacement de cet avion est de l ordre de plusieurs centaines de mètres par seconde ; la viscosité cinématique de l air ambiant est de l ordre de 1 5 m 2 / s. Par conséquent le rapport u e /ν correspondant est de l ordre de 1 7 m 1. L épaisseur δ de la couche limite qui se développe à la surface de cet avion peut donc varier de quelques millimètres au bord d attaque d une aile à quelques centimètres au bord de fuite de cette aile et atteint parfois quelques dizaines de centimètres en queue de fuselage d un avion de ligne par exemple.

7 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE Equations de la couche limite On a vu précédemment dans ce cours qu un écoulement de fluide visqueux était décrit par les équations dites de Navier-Stokes. Dans le cas d un écoulement à grand nombre de Reynolds sur un obstacle, il est possible de construire une description simplifiée de cet écoulement en exploitant notamment le fait que l épaisseur de la couche limite sur l obstacle est beaucoup plus petite que la longueur (ou la corde) de cet obstacle - puisque le Reynolds est grand et que le raisonnement quantitatif effectué dans la section précédente a indiqué que le rapport entre l épaisseur δ de la couche limite et la taille caractéristique L de l obstacle (sa longueur) était égal à l inverse de la racine carrée du nombre de Reynolds basé sur la longueur L (cf. (1.2) avec x = L) -. Pour simplifier au maximum notre présentation, on va supposer que l obstacle considéré est une plaque plane et que la masse volumique du fluide en écoulement reste constante (écoulement incompressible). On cherche donc à construire un modèle simplifié pour l écoulement schématisé sur la figure 1.3. Le modèle complet qui permet de décrire cet écoulement (supposé permanent) s écrit : y région d écoulement de fluide parfait frontière de la couche limite O couche limite L x Fig. 1.3 Couche limite laminaire sur une plaque plane. u x + v y = u u x + v u u v x + v v y = 1 p ρ x + u ν( 2 x + 2 u 2 y ) 2 y = 1 p ρ y + v ν( 2 x + 2 v 2 y ) 2 (1.3) Supposons dans un premier temps que l on adimensionne le système (1.3) en utilisant une seule échelle de longueur, L la longueur de la plaque, et une seule échelle de vitesse, U la vitesse de l écoulement à l infini amont. On écrit donc : x = L x, y = Lȳ; u = U ū, v = U v; p = ρu p. 2

8 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 6 Le système (1.3) après adimensionnement s écrit : ū x + v ȳ = ū ū ū + v x ȳ = p x + 1 ū Re ( 2 x + 2 ū 2 ȳ ) 2 ū v v + v x ȳ = p ȳ + 1 Re ( 2 v x v ȳ 2 ) (1.4) où le nombre de Reynolds caractéristique de l écoulement est défini ici par Re = U L/ν. Lorsque Re, tous les seconds membres du système (1.4) ci-dessus s annulent et ce système se simplifie pour donner les équations d Euler. Cependant, comme on l a déjà souligné, la solution de l écoulement de fluide parfait n est pas compatible avec la condition d adhérence à la paroi. Il existe donc nécessairement une zone d épaisseur tendant vers lorsque Re dans laquelle les équations d Euler ne sont plus valables. Dans cette zone, la composante ū de la vitesse doit varier très rapidement de ū e ( x), valeur adimensionnée de la solution de fluide parfait lorsque la distance à la paroi tend vers, à en y = afin de satisfaire la condition limite sur la plaque. On décompose alors la recherche d une solution de (1.3) muni de ses conditions aux limites en deux problèmes : un problème dit extérieur, pour lequel l approximation de fluide parfait est valable (régi donc par les équations d Euler) ; un problème dit intérieur, au voisinage immédiat de la paroi, où est valable un autre modèle, le modèle de couche limite - qui reste à déterminer -. Naturellement, il n y a pas de rupture entre ces deux régions de l écoulement et la solution valable dans la couche limite doit se raccorder à la solution extérieure de fluide parfait. Pour traduire le fait que l on se place dans le voisinage immédiat de la paroi, on va changer d échelle de longueur caractéristique suivant y : on définit y = δỹ, avec δ l épaisseur de la couche limite, qui n est pas connue a priori - même si on s est déjà donné une idée de sa valeur dans la section précédente par un raisonnement qualitatif -, mais dont on sait qu elle est très faible devant l échelle de longueur caractéristique suivant x : δ << L. Par ailleurs, même si on ne peut pas la caractériser pour le moment, il semble judicieux d introduire également une échelle de vitesse particulière pour adimensionner la vitesse v normale à la plaque : cette vitesse varie de à la paroi à au loin et on s attend donc à ce qu elle prenne des valeurs faibles. On écrit donc : v = V ṽ. En résumé, on se propose donc d adimensionner le système (1.3) à l aide des échelles de référence suivantes : x = L x, y = δỹ, δ << L u = U ū, v = V ṽ, p = ρu p 2 Pour traduire le fait que la solution intérieure se raccorde à la solution extérieure, on écrit : limỹ ū( x, ỹ) = limȳ ū( x, ȳ) = ū e ( x) et similairement pour la pression p. En injectant les grandeurs adimensionnées ci-dessus dans (1.3) on obtient : ū x + L δ ū ū x + L δ ū ṽ x + L δ V ṽ U V ỹ = ṽ ū U ỹ = p x + 1 ū Re ( 2 x + (L 2 ū 2 δ )2 ỹ ) 2 V ṽ ṽ U ỹ = L U p δ V ỹ + 1 ṽ Re ( 2 x + (L 2 ṽ 2 δ )2 ỹ ) 2

9 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 7 On va maintenant déterminer δ et V en utilisant un principe dit de moindre dégénérescence qui consiste ici à retenir le maximum de termes dans les équations ci-dessus lorsque Re. Examinons tout d abord l équation de conservation de la masse : si on ne suppose pas le terme L d ordre δ unité, alors cette équation devient unidimensionnelle et on voit qu il n est pas possible de satisfaire simultanément les conditions de paroi et de raccord avec la solution extérieure de fluide parfait. On a donc : δ L = V U En raisonnant similairement sur l équation de quantité de mouvement, on obtient : 1 Re (L δ )2 = 1 Cette égalité traduit le fait que dans la couche limite les effets visqueux et les phénomènes d inertie sont du même ordre de grandeur ce qui se comprend très bien physiquement puisque le frottement visqueux est le seul phénomène physique qui permet d expliquer le ralentissement du fluide par la paroi. On détermine facilement à partir de ces deux relations les grandeurs caractéristiques δ et V : δ = L Re, V = U Re V U On peut alors réécrire le système (1.3) sous la forme adimensionnée : ū x + ṽ ỹ = ū ū x + ṽ ū ỹ = p x ū Re x + 2 ū 2 ỹ 2 1 Re (ū ṽ x + ṽ ṽ p ) = ỹ ỹ + 1 ṽ Re 2 ( 2 x ṽ 2 Re ỹ ) 2 (1.5) Le système (1.5) constitue toujours le système des équations de Navier-Stokes mais si on fait tendre maintenant Re vers l infini, la forme limite du système (1.5) n est plus les équations d Euler (comme dans le cas du système (1.4)) mais un nouveau système d équations dites équations de la couche limite dynamique ou équations de Prandtl : ū x + ṽ ỹ = ū ū x + ṽ ū ỹ = p x + 2 ū ỹ 2 p ỹ = Ce système doit naturellement être complété par la condition limite d adhérence à la paroi ainsi que par la condition de raccord avec la solution de fluide parfait. On observe un premier résultat remarquable : la pression p ne varie pas suivant ỹ dans la zone de couche limite. En une abcisse x donnée, la pression est constante à travers la couche limite et donc égale en particulier à sa valeur à la frontière de la couche limite (ỹ ), soit d après la condition de raccord avec l écoulement de fluide parfait la pression p e ( x) correspondant à la solution (1.6)

10 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 8 de fluide parfait. Comme cette distribution de pression extérieure vérifie la relation de Bernoulli adimensionnée : p e + 1 2ū2 e = cste on peut exprimer dans l équation de quantité de mouvement suivant x le gradient de pression suivant x en fonction de ū e et dū e. On obtient donc finalement pour forme adimensionnée des équations de d x la couche limite : ū x + ṽ ỹ = ū ū x + ṽ ū ỹ = ū e avec { adhérence : ū( x, ) =, ṽ( x, ) = raccord extérieur : ū( x, ) = ū e ( x) dū e d x + 2 ū ỹ 2 (1.7) Si on revient en variables dimensionnées, on obtient pour les équations de la couche limite dynamique : u x + v y = u u x + v u y = u e du e dx + ν 2 u y 2 Conditions aux limites : adhérence : u = v = pour y = raccord avec l écoulement de fluide parfait : u(x, ) = u e (x) On va s intéresser dans la suite de ce cours à l analyse des solutions de cette équation et à l obtention de telles solutions, exactes (dans certains cas particuliers) ou approchées (dans le cas général). Avant d entamer cette analyse, on peut faire quelques remarques sur la nature mathématique des équations de la couche limite. Les équations de la couche limite sont de nature parabolique : elles décrivent un problème dit d évolution dans la direction x. Ceci a une conséquence importante sur la façon dont ces équations peuvent être résolues. On peut en effet montrer que, si la vitesse ū( x, ỹ) reste positive, le système (1.7) admet une solution et une seule dès l instant où on dispose : d un profil de vitesse initial, c est-à-dire d une distribution particulière de ū dans une section x donnée : ū( x, ỹ) d une condition aux limites sur ū à la frontière ỹ d une condition aux limites sur ū à la frontière ỹ = Précisément, on sait que ū( x, ) = ū e ( x) et que ū( x, ) = ; si on est capable de déterminer un profil de vitesse permettant d initialiser le calcul, on pourra alors marcher en espace dans la direction des x croissants : autrement dit, on calculera le profil dans une section en utilisant les profils amonts, puisque dans un tel problème d évolution un profil en une section donnée subit uniquement l influence de l amont puis, une fois calculé, influence à son tour les profils en aval (cf. Fig. 1.4). On verra ultérieurement, dans la section consacrée au phénomène de décollement, que la condition ū( x, ỹ) > n est pas toujours remplie ; dans ce cas le problème à résoudre peut devenir mal posé et il n est plus possible de résoudre ces équations par une technique de marche en espace. Remarque : Si on effectue le même type de raisonnement sur l équation de l énergie que celui qui (1.8)

11 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 9 ~ condition aux limites connue y condition initiale sens du calcul = sens de l évolution condition aux limites connue x Fig. 1.4 limite. Conditions aux limites pour le problème d évolution constitué par les équations de couche vient d être réalisé pour les équations de quantité de mouvement, on peut établir les équations dites de la couche limite thermique. Dans la suite de ce cours, nous nous intéresserons uniquement aux effets de la couche limite en vitesse ou couche limite dynamique ; la prise en compte de la présence d une couche limite en température au voisinage d une paroi solide est essentielle dans les problèmes de transfert thermique mais ne sera pas abordée dans ce cours. 1.3 Phénomènes essentiels liés à la couche limite Frottement à la paroi Dans le cas général d un fluide newtonien en écoulement plan incompressible (div(v ) = ), le tenseur des contraintes visqueuses est de la forme : τ = 2µ u x µ( u y + v x ) µ( u y + v x ) 2µ v y On rappelle également que le tenseur des contraintes σ rassemble les efforts de pression et les contraintes visqueuses : σ = pδ + τ

12 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 1 où δ désigne le tenseur unité. Dans la région de couche limite, le tenseur des contraintes peut s écrire en fonction des variables adimensionnées p, ū, ṽ, x, ỹ précédemment définies : σ = ρu 2 p + 2 ū Re x 1 ū Re ỹ + 1 ṽ Re 3/2 x ) 1 ū Re ỹ + 1 ṽ Re 3/2 x ) p + 2 v Re y Si on ne retient alors que la première correction due à la viscosité (termes en 1/ Re) quand Re, on obtient simplement : 1 ū p σ = ρu 2 Re ỹ 1 ū p Re ỹ soit encore, en revenant en variables dimensionnées : σ = p µ u y La contrainte en chaque point de la paroi de la plaque plane considérée dans la section précédente est donc donnée par : t = σ n avec n le vecteur unitaire normal à la paroi, égal à (, 1) T dans le cas de la plaque plane, soit : t = µ( u y ) y= p e (x) La contrainte pariétale a donc deux composantes : une composante normale égale à la pression p e (x) et une composante tangentielle appelée force ou contrainte de frottement et notée classiquement : µ u y p τ w = µ( u y ) y= (1.9) Cette contrainte peut être normalisée par la pression dynamique 1 2 ρu2 e ; on obtient ainsi un coefficient sans dimension dit coefficient de frottement local : C f = τ w 1 2 ρu2 e (1.1) La force totale de frottement, ou traînée de frottement, qui s exerce par exemple sur la partie supérieure d une plaque de longueur L s exprime comme la somme des contraintes locales, c est-à-dire, puisque ces contraintes sont définies de façon continue (pour toute abcisse x sur la plaque comptée à partir du bord d attaque de celle-ci), comme leur intégrale sur la longueur de la plaque soit : F totale = D = L τ w dx (1.11)

13 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 11 Cette traînée de frottement, peut être rendue sans dimension en divisant son expression par le produit d une pression dynamique de référence ( 1 2 ρu2 e) et de la surface en contact avec le fluide (dans le cas bidimensionnel considéré ici cette surface correspond en fait au produit de la longueur L de la plaque par une flèche de longueur unité suivant la profondeur de cette page). On définit donc le coefficient de traînée de frottement par : C D = D 1 2 ρu2 el = 1 L L C f dx (1.12) Note : compte tenu de ( u) y y= u e δ et δ 1 x Rex, on établit facilement que C D 1 ReL ; la traînée de paroi varie donc comme la racine carrée de l inverse du nombre de Reynolds caractéristique de l écoulement. La traînée de frottement est une contribution essentielle à la traînée des avions modernes et sa diminution est un enjeu majeur en aéronautique comme on le verra ultérieurement Décollement Le phénomène de décollement se produit lorsqu une couche limite se développe en présence d un gradient de pression dit adverse, c est-à-dire un gradient de pression tel que la pression croît dans le sens de l écoulement. Une telle situation peut se rencontrer par exemple dans le cas d un écoulement en régime subsonique à travers un divergent. On a vu en effet que dans une telle géométrie l écoulement ralentit ce qui se traduit par une diminution de la vitesse extérieure u e (x) dans le sens de l écoulement et par conséquent, en vertu de la relation de Bernoulli, par une augmentation de la pression dans le sens de l écoulement. On sait que l effet de la viscosité est de ralentir l écoulement (en transportant par diffusion de la quantité de mouvement des régions de vitesses élevées vers les régions de vitesses faibles) et que cet effet est d autant plus important qu on est près de la paroi. Par ailleurs, comme les variations de pression suivant y sont négligeables dans la couche limite, on retrouve le gradient de pression positif dp e au voisinage de la paroi, dans la zone de faible vitesse. Si ce gradient dx de pression est suffisamment fort, il va diminuer la quantité de mouvement des particules fluides qui se déplacent au voisinage de la paroi dans une proportion telle que la vitesse de ces particules va finir par s annuler puis par devenir négative : on dit alors que la couche limite décolle (voir Fig. 1.5). On définit l abcisse de décollement comme la position en laquelle la contrainte de frottement pariétal s annule : τ w = µ( u) y y= =. Dans la zone dite de recirculation qui suit le décollement on a en général un développement d instabilités et l écoulement devient turbulent. Si l écoulement extérieur est accéléré (par exemple dans un convergent), le gradient de pression négatif qui agit sur la zone de proche paroi est un gradient qui favorise l apport de quantité de mouvement et tend à l amincissement de la couche limite. Le décollement de la couche limite joue un rôle très important en aéronautique, dans le cas notamment de l écoulement autour d un profil d aile en incidence. En effet, lorsque l incidence α d un profil croît, le gradient de pression positif à l extrados du profil tend à augmenter ; pour une valeur critique de l incidence α c (en général α c [1, 2 ]), la couche limite décolle à l extrados du profil, entraînant

14 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 12 GRADIENT DE PRESSION DÉFAVORABLE GRADIENT DE PRESSION FAVORABLE renversement du sens de l écoulement (recirculation) la couche limite s amincit point de décollement Fig. 1.5 Influence d un gradient de pression extérieure sur le développement d une couche limite. la formation d une zone de recirculation tourbillonnaire et d un sillage épais, qui conduisent à une chute brutale de la portance et à une augmentation de la traînée : c est le phénomène de décrochage, aux conséquences particulièrement redoutables pour le pilotage d un avion. On détaille sur la figure 1.9, tirée de [3], la topologie de l écoulement au voisinage du bord de fuite coefficient de pression Cp=(p-p )/(.5 ρ V 2 ) incidence incidence 1 gradient de pression defavorable (dp/dx > ) -.6 A x/c Fig. 1.6 On représente les distributions du coefficient de pression à la paroi d un profil d aile placé successivement à une incidence nulle puis égale à 1. Dans le cas en incidence, la pression atteint sa valeur minimale au point A puis croît beaucoup plus fortement que dans le cas à incidence nulle : ce gradient de pression défavorable conduit au décollement de la couche limite. d un profil sur lequel la couche limite a décollé. Dans cet exemple, le décollement de la couche limite garde un caractère local pour prendre la forme d un bulbe fermé qui s amorce au niveau du point de décollement D en lequel le coefficient de frottement s annule une première fois pour devenir négatif et se termine par un recollement R en lequel le coefficient de frottement s annule à nouveau pour redevenir positif. Les points de décollement et de recollement sont reliés par une ligne de courant dite séparatrice qui sépare le fluide qui s écoule en aval du recollement du fluide qui revient vers l amont pour être piégé dans le bulbe de recirculation.

15 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 13 Fig. 1.7 Gauche : incidence nulle. Droite : incidence 1. Le décollement de la couche limite est clairement visible sur les lignes de courant de l écoulement en incidence : on note en particulier la zone de recirculation qui conduit à une chute brutale de la portance..4 Cf.2 incidence 1 incidence point de decollement : τ w = x/c Fig. 1.8 Décollement de la couche limite sur un profil d aile. La localisation précise de l abcisse de décollement peut s effectuer à partir du tracé du coefficient de frottement pariétal qui s annule en ce point.

16 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 14 Un autre exemple classique de décollement correspond à l écoulement sur un culot (voir Fig. 1.1 également tirée de [3]). Le contournement des arêtes D et D donnerait lieu, pour un écoulement de fluide parfait, à des gradients de pression positifs importants ; dans le cas d un écoulement réel, ces gradients extérieurs à la couche limite conduisent à son décollement, fixé aux singularités de paroi D et D. En aval de ces points, les deux nappes décollées convergent vers l axe de la présente configuration symétrique et les deux lignes séparatrices se rencontrent en un point de recollement R en lequel il y a stagnation du fluide. On appelle parfois "eau-morte" l écoulement basse-vitesse recirculant dans la zone limitée par les lignes séparatrices et la paroi du culot. En aval du point de recollement R, les deux couches limites fusionnent pour former un sillage. Dans la mesure où c est l apparition du décollement qui limite les performances de la plupart des systèmes aérodynamiques (par une perte de portance, une augmentation de la traînée ou bien encore une chute du rendement), sa prédiction est un enjeu capital en aérodynamique. On verra au chapitre suivant quelques méthodes d estimation du décollement (méthode de Thwaites notamment) dont la portée reste limitée ; dans le cas général, on doit avoir recours à une simulation numérique de l écoulement, soit par résolution des équations de couche limite couplées aux équations modélisant un écoulement de fluide parfait, soit par résolution des équations de Navier-Stokes complètes. Fig. 1.9 Topologie de l écoulement sur un profil d aile en situation de décollement à l extrados. Fig. 1.1 Topologie de l écoulement décollé sur un culot.

17 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE Transition vers la turbulence Considérons une couche limite laminaire sur une plaque plane. Le mot laminaire traduit bien la réalité de l observation : l écoulement dans la couche limite est très régulier, formé de lamelles de fluide glissant les unes sur les autres. Quantitativement, on a vu que l épaisseur de cette couche limite croît en racine carrée de la distance x mesurée depuis le bord d attaque de la plaque ; plus précisément même on sait que δ(x)/x varie comme l inverse de la racine carrée du nombre de Reynolds local. L observation expérimentale du développement d une telle couche limite de plaque plane permet de constater que pour des nombres de Reynolds compris entre et la couche limite perd son aspect régulier - écoulement laminaire - pour devenir chaotique - écoulement turbulent - (voir figure 1.11 ci-dessous). Cette transition de la couche limite vers la turbulence trouve l une de ses origines Fig Gauche : le nombre de Reynolds local est inférieur au Reynolds critique : la CL est laminaire. Droite : le nombre de Reynolds local est supérieur au Reynolds critique : la CL devient turbulente et une agitation à grande échelle de l écoulement, induisant un mélange intense des couches de fluide, est visible. Cette visualisation provient de l Iowa Institue of Hydraulic Research, University of Iowa. essentielles dans des phénomènes d instabilité : lorsque le nombre de Reynolds local Re x dépasse une valeur critique Re c, les petites perturbations de l écoulement deviennent instables et leur croissance rapide provoque la transition de l écoulement vers la turbulence. Ces perturbations peuvent être dues par exemple à des irrégularités de la paroi solide (paroi rugueuse et non pas lisse), à des variations de température, à un bruit de fond...on connaît mal les mécanismes exacts de la transition, qui reste un sujet de recherche important et on se contentera ici de décrire succinctement la transition du régime laminaire au régime turbulent sur une plaque plane. La localisation du point de départ de cette transition dépend de nombreux facteurs tels que la présence d un gradient de pression (favorable ou adverse), l état de surface, le niveau de turbulence dans l écoulement incident...une fois la valeur du Reynolds critique atteinte, on passe d un écoulement laminaire stable au bord d attaque de la plaque à un écoulement instable contenant des ondes bidimensionnelles dites ondes de Tollmien-Schlichting, qui se propagent dans la direction de l écoulement moyen ; l apparition de ces ondes peut être prédite

18 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 16 par une théorie de stabilité dite linéaire (voir par exemple le chapitre 5 de [7] pour une présentation des techniques d étude de la stabilité linéaire de certains écoulements laminaires) mais la suite du processus de transition est fondamentalement non-linéaire. Les ondes de Tollmien-Schlichting présentent bientôt des variations dans la direction transverse à l écoulement et des ondes tridimensionnelles ainsi que des tourbillons en épingle à cheveu apparaissent dans l écoulement. Ces tourbillons vont ensuite se désagréger et générer des fluctuations de l écoulement complétement tridimensionnelles ; les fluctuations les plus intenses générent des spots turbulents qui vont finalement s agglomérer plus en aval dans l écoulement pour former un écoulement totalement turbulent. Certaines étapes de ce processus de transition peuvent être éliminées en présence par exemple d un gradient de pression adverse qui provoque la séparation de la couche limite, caractérisée par des profils de vitesse particulièrement instables. Comme on le verra ultérieurement, les caractéristiques d une couche limite laminaire et d une couche limite turbulente vis-à-vis du frottement et du décollement étant bien différentes, il est important pour l ingénieur de pouvoir estimer le point de transition d une couche limite. Dans la pratique, l ingénieur utilise souvent des critères de transition empiriques, basés sur des nombres de Reynolds caractéristiques de l écoulement. Ainsi, dans le cas de l écoulement sur une plaque plane, l abcisse de transition x tr est parfois définie telle que Re xtr mais cette formule a une validité limitée. Des critères plus généraux font intervenir par exemple un nombre de Reynolds local Re x basé sur la distance x le long de la paroi sur laquelle se développe cette couche limite et un nombre de Reynolds Re θ basé sur une épaisseur caractéristique de cette couche limite, l épaisseur de quantité de mouvement θ, que nous définirons dans la section qui suit. Ainsi, Michel a proposé en 1952, sur la base de corrélations de résultats expérimentaux, de caractériser l abcisse de transition par la formule : (Re θ ) trans 2.9(Re x ).4 trans (1.13) Ce critère a été généralisé en 1974 par Cebeci et Smith qui proposent la relation suivante au point de transition : (Re θ ) trans 1.174[ ](Re x ).4 trans (1.14) (Re x ) trans Nous illustrerons dans la section la mise en oeuvre des critères (1.13) et (1.14) ci-dessus. 1.4 Quelques grandeurs utiles Une fois établies les équations de la couche limite dans la section 1.2, nous avons décrit les principaux phénomènes associés à la couche limite : frottement dans la section 1.3.1, et décollement dans la section Nous avons également souligné dans la section ci-dessus le fait que l écoulement dans la couche limite changeait de nature au-delà d un nombre de Reynolds critique propre à l écoulement considéré : de laminaire la couche limite peut devenir turbulente. Ces éléments qualitatifs étant désormais connus, nous allons nous intéresser à l analyse des solutions des équations de la couche limite. Auparavant, nous allons introduire quelques grandeurs qui permettent de caractériser utilement une couche limite Epaisseur de la couche limite Dans le cadre de l établissement des équations de la couche limite effectué en 1.2, la notion d épaisseur de la couche limite est délicate à définir : on connaît simplement son ordre de grandeur, L/ Re. Si

19 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 17 on se place à l échelle du fluide parfait (ȳ), l épaisseur de la couche limite est nulle, alors que à l échelle de la couche limite (ỹ) cette épaisseur est infinie. Pour lever cette indétermination, on définit classiquement l épaisseur δ de la couche limite comme la distance à la paroi pour laquelle la vitesse dans la couche limite atteint 99% de la valeur de la vitesse extérieure u e, soit : u(x, δ(x)) u e (x) =.99 (1.15) Cette définition n est pas vraiment satisfaisante dans la mesure où elle est purement conventionnelle et ne traduit pas un caractère physique de l écoulement. On peut caractériser l épaisseur de la couche limite par des quantités beaucoup plus signifiantes du point de vue physique : l épaisseur dite de déplacement et l épaisseur de quantité de mouvement Epaisseur de déplacement L épaisseur de déplacement δ correspond à la perte de débit-masse au travers d une section de la couche limite par rapport au cas d un écoulement de fluide parfait, soit : δ ρ e u e dy } {{ } débit-masse du cas idéal δ ρudy } {{ } débit-masse du cas réel = ρ e u e δ En supposant l écoulement incompressible (ρ = cste), δ peut s exprimer en fonction du profil de vitesse dans la couche limite normalisé par la vitesse extérieure : δ = δ Epaisseur de quantité de mouvement (1 u u e )dy (1.16) L épaisseur de quantité de mouvement θ correspond à la perte de quantité de mouvement dans la couche limite par rapport au cas d un écoulement de fluide parfait (à débit-masse δ ρudy donné), soit : θ est donc donnée par : Facteur de forme δ ρudy u e θ = δ δ ρu 2 dy = ρu 2 eθ u u e (1 u u e )dy (1.17) Le facteur de forme H est défini comme le rapport des deux grandeurs ci-dessus soit : H = δ θ (1.18) Ce paramètre joue un rôle important dans la description de l évolution d une couche-limite et apparaît souvent dans les critères pratiques de décollement.

20 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE Solutions particulières des équations de couche limite L obtention d une solution des équations de couche limite suppose la résolution analytique du système d équations aux dérivées partielles non-linéaires (1.7) ou (1.8) muni des conditions aux limites appropriées. On ne sait pas résoudre ce problème dans le cas général et on se contente donc de solutions approchées. Les méthodes qui permettent d obtenir de telles solutions approchées seront présentées au chapitre suivant : ces méthodes permettent notamment l analyse d un écoulement réel sur un obstacle (tel qu un profil d aile) placé dans l écoulement. Cependant, dans le cas où la géométrie de l obstacle est particulièrement simple, il est possible de déterminer des solutions "quasi-exactes" des équations de la couche limite. Ces solutions peuvent alors servir de cas de référence pour les méthodes approchées utilisables dans le cas général Solution de Blasius Considérons une demi-plaque plane placée à incidence nulle dans un écoulement de fluide visqueux incompressible, uniforme à l infini amont. La plaque étant semi-infinie (bord d attaque en x = mais pas de bord de fuite) il n y a pas d échelle de longueur liée à la géométrie de l obstacle. De plus, la solution extérieure de fluide parfait est particulièrement simple dans ce cas : l écoulement de fluide parfait n étant pas perturbé par la présence d une paroi plane (cf. Fig. 1.1) on a u e = U et le système (1.7) se réduit donc à : ū x + ṽ ỹ = ū ū x + ṽ ū ỹ = 2 ū ỹ 2 ỹ = : ū = ṽ = ỹ : ũ = 1 (1.19) La solution pour la vitesse ū est donc de la forme ū = h( x, ỹ) où h est une fonction inconnue, soit, en variables adimensionnées : u/u = h(x/l, (y/l) U L/ν). Comme L est une distance tout à fait arbitraire pour la plaque semi-infinie considérée, la solution du problème n a aucune raison d en dépendre. On cherche donc u sous la forme u = h(η) où η est un paramètre sans dimension contruit à partir de x et ỹ qui ne dépende pas de L. On postule : u = h(η) = h( ỹ y ) = h( U x νx ) U On cherche donc u sous la forme d un profil autosimilaire : la variation de u en fonction de y est toujours la même à un facteur νx U près, qui varie lorsque l on se déplace le long de la plaque. Injectons maintenant cette forme postulée pour la solution du système (1.19) dans la forme dimensionnée de l équation de conservation de la masse : u x + v y =. La condition d incompressibilité de l écoulement div(v ) = implique l existence d une fonction de courant ψ telle que u = ψ y et v = ψ (voir par exemple [1] pour un rappel sur la mécanique des fluides incompressibles). On en x déduit donc que : ψ = udy = U h(η)dy = U h(η) y η dη

21 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 19 Compte tenu de la forme choisie pour η ; on vérifie facilement que : η y = 1/ νx/u = η/y η x = y U 1 ν 2x = η 2x Par ailleurs, si on postule u/u = f (η) plutôt que u/u = h(η), on peut écrire simplement : ψ = U f (η) νx/u dη = νxu f(η) On en tire alors l expression de v : v = ψ x = ψ η η x soit après calcul v = 1 νu 2 x (ηf (η) f(η)) Partant de l expression postulée pour u et de la forme de v déduite de l équation de continuité, on peut écrire : u x = U f (η) η x u y = U f (η) η y 2 u y = U f (η)( η 2 y )2 On injecte ensuite ces expressions dans l équation de quantité de mouvement suivant x et on en déduit : νu f (η)( η y )2 = U f 2 (η)f (η) η x + 1 νu 2 x (ηf (η) f(η))u f (η) η y En explicitant alors les dérivées partielles de η par rapport à x et y (cf. supra) on obtient, après simplification, une équation différentielle ordinaire sur f(η), que l on complète par des conditions aux limites à la paroi et au niveau du raccord avec la région de fluide parfait. Ainsi, u = en y = se traduit de façon immédiate par f () = ; v = implique f() = compte tenu de f () = ; enfin, la condition de raccord avec l écoulement de fluide parfait nous donne f ( ) = 1. L équation différentielle ordinaire obtenue est dite "équation de Blasius" et s écrit : f (η) f(η)f (η) = f() =, f () = f ( ) = 1 (1.2) Elle peut être résolue par voie numérique, à l aide d une méthode de tir par exemple (voir [5] ou [7] par exemple pour la mise en oeuvre de cette technique classique). On peut ainsi construire une table des valeurs de f et de ses dérivées :

22 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 2 η f f f Si on trace maintenant la fonction f (η) en fonction de η on obtient le profil de vitesse u/u dans une couche limite se développant sur une plaque plane semi-infinie en l absence de gradient de pression extérieure (voir Fig. 1.12). Connaissant ce profil de vitesse, on peut calculer facilement le coefficient de frottement à la paroi : soit finalement C f = τ w 1 ρu 2 2 = 2ν ( u U 2 y ) y= = 2ν (f (η)) η= ( η U y ) y= C f = 2f () Rex =.664 Rex (1.21) où on rappelle que le nombre de Reynolds local est défini par Re x = U x ν. On constate également au vu du tableau numérique des valeurs de f (η) que l on a à peu près

23 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 21 8 Ecoulement de fluide parfait η Paroi (condition d adherence) u/u e = f (η) Fig Profil de vitesse d une couche limite laminaire sur une plaque plane en l absence de gradient de pression extérieure (solution de Blasius). u =.99U pour η = 5, de sorte que l on peut écrire δ.99 x 5 Rex Enfin les épaisseurs de déplacement et de quantité de mouvement qui correspondent à la solution de Blasius sont telles que : νx δ = 1.72 U νx θ =.664 U Comme annoncé dans la section 1.3.3, on peut illustrer l utilisation de critères empiriques de transition pour le cas d une couche limite se développant sur une plaque plane en l absence de gradient de pression. Le critère de Michel s appuie sur Re θ et Re x ; compte tenu de la relation ci-dessus, on sait que : νx θ =.664 =.664 x U Rex et on en déduit donc que : Re θ = U θ ν = U ν.664x Rex =.664 Re x On peut alors appliquer le critère de transition en écrivant que le point de transition x tr est tel que : (Re θ ) trans =.664(Re xtr ).5 = 2.9(Re xtr ).4

24 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 22 et on trouve facilement que : Re xtr = ce qui est très proche des valeurs observées expérimentalement pour la transition vers la turbulence sur une plaque plane lisse en l absence de turbulence dans l écoulement incident (cf ) Solution de Falkner-Skan Une autre solution auto-similaire des équations de la couche limite peut être obtenue pour une distribution de vitesse extérieure particulière de la forme : u e (x) = Cx m On peut montrer en utilisant la théorie du potentiel que cette distribution de vitesse est celle d un écoulement incompressible de fluide parfait sur un dièdre d angle au sommet βπ avec m = β/(2 β) (voir figure 1.13). On peut noter deux cas particuliers pour cet écoulement : si β = (m = ), on β π/2 β π/2 Fig Ecoulement potentiel sur un dièdre d angle au sommet βπ. retrouve l écoulement sur plaque plane en l absence de gradient de pression traité dans la section précédente ; si β = 1 (m = 1), on se trouve dans le cas d une plaque placée perpendiculairement à l écoulement, ce qui correspond pratiquement à l écoulement au voisinage d un point d arrêt en écoulement plan. Comme vu précédemment, on cherche a priori u/u e sous la forme d une fonction des variables x = x/l et ỹ = (y/l) Re avec Re = u e (L)L/ν, soit Re = CL m+1 /ν. Comme il n y a aucune raison de faire dépendre la solution de L, le dièdre étant supposé semi-infini, on cherche en fait u/u e sous la forme d une fonction d un paramètre sans dimension formé à partir de x et ỹ et qui ne dépende pas de L. On est donc amené à postuler : u = h(η) = h(ỹ x Cx m 1 u m 1 ) = h(y ) = f (η) e ν En raisonnant alors comme précédemment, on peut transformer les équations de la couche limite en une équation différentielle ordinaire, munie de conditions aux limites sur f qui traduisent la condition

25 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 23 d adhérence à la paroi et le raccord avec l écoulement extérieur, soit : f (η) + m+1f(η)f (η) + m(1 f (η) 2 ) = 2 f() =, f () = f ( ) = 1 (1.22) Cette équation peut être résolue numériquement et conduit aux profils de vitesse indiqués sur la figure Le profil obtenu pour β = est celui de la solution de Blasius ( dp e = soit u dx e = cste). Pour η courant de retour β <.199 decollement β=.199 β < et decroissant β= β > et croissant 1 u/u e Fig Profil de vitesse d une couche limite laminaire sur un dièdre d angle au sommet βπ (solution de Falkner-Skan). β >, le gradient de pression p e (x) est favorable au sens où il favorise l accélération de l écoulement dans la zone de proche paroi ( dp e < ) : la couche limite s amincit et le frottement pariétal augmente. dx Pour β <, le gradient de pression est adverse ( dpe > ) : il contribue à freiner l écoulement et le dx décollement apparaît (tangente verticale à la paroi qui signale l annulation du frottement pariétal) pour la valeur β =.199, qui correspond à une plaque inclinée d un angle 17.9 par rapport à l horizontale. Au-delà de cette valeur critique, la couche limite est détachée de la paroi du dièdre et des courants de retour (u < ) apparaissent dans l écoulement. L écoulement n est alors plus régi par les équations de la couche limite de sorte que la résolution de ces équations n a plus de sens. Signalons enfin que la solution obtenue pour β = 1 permet dans le cas du calcul d une couche limite sur un profil par exemple de se donner comme profil initial la solution au point d arrêt puis de marcher en espace à partir de ce profil initial pour résoudre de proche en proche, du bord d attaque vers le bord de fuite, les équations de la couche limite. 1.6 Application : couche limite sur les parois d une soufflerie Dans ce problème, on cherche à améliorer le fonctionnement d une soufflerie en tenant compte de la présence d une couche limite sur les parois de cette installation. On considère le plan médian d une soufflerie, de hauteur h = 1 m et de longueur L = 6 m. La vitesse

26 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 24 d entrée de l écoulement est u e = 7 m / s. Afin d assurer la bonne qualité des expériences qui y sont effectuées, on souhaite établir un écoulement aussi uniforme que possible sur la plus grande longueur de la soufflerie. Des mesures de vitesse ont permis de constater une légère accélération de l écoulement dans la section de sortie de la soufflerie par rapport à la vitesse d entrée. 1) a) Expliquer qualitativement en quoi le développement d une couche limite sur les parois inférieure et supérieure de la soufflerie peut être à l origine de ce phénomène. On suppose l écoulement de l air uniforme dans une section de la soufflerie comprise entre les frontières des couches limites inférieure et supérieure (cf. figure). couche limite se développant sur la paroi de la soufflerie u () e u e (L) h x= x=l Ecoulement uniforme entre les couches limites présentes sur les parois de la soufflerie. L épaisseur δ des couches limites représentées sur le dessin est bien supérieure à celle observée dans la réalité. Exprimer la conservation du débit de l écoulement entre les sections d entrée et de sortie de la soufflerie et en déduire une relation entre les vitesses d entrée et de sortie u e () et u e (L), l épaisseur de déplacement de la couche limite en section de sortie δ (L) et la hauteur h de la soufflerie. Note : la masse volumique ρ de l air est supposée constante dans l écoulement. b) Expliquer pourquoi le fait de donner une légère inclinaison aux parois de la soufflerie (cf. figure) peut permettre de conserver une vitesse u e à peu près constante sur toute la longueur de la soufflerie. α h x= Soufflerie à parois inclinées. L inclinaison donnée aux parois de la soufflerie sur le dessin est bien supérieure à la réalité. On suppose que l évolution des épaisseurs de déplacement et de quantité de mouvement des couches limites qui se développent sur les parois de la soufflerie est bien représentée par les formules de Blasius correspondant au cas d une couche limite laminaire sur une plaque plane en l absence de gradient de pression extérieur (u e = cste) : δ (x) = 1.728x Rex, θ(x) =.664x Rex α x=l

27 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 25 où on rappelle que la notation Re x désigne un nombre de Reynolds basé sur la longueur caractéristique x : Re x = u ex ν (la viscosité cinématique de l air utilisé dans la soufflerie vaut ν = m 2 /s). Déterminer l inclinaison α à donner aux parois de la soufflerie pour conserver un écoulement à vitesse constante dans la partie centrale de cette soufflerie. 2) En fait, la correction ci-dessus ne tient pas compte du fait que la couche limite initialement laminaire qui se développe sur les parois de la soufflerie devient turbulente au-delà d une abcisse de transition x t. a) Le point de transition d une couche limite bidimensionnelle est bien localisé par la relation empirique proposée par Cebeci et Smith : Re θ(xt) = 1.174( )Re.46 x Re t xt Vérifier que la couche limite qui se développe sur les parois de la soufflerie est essentiellement turbulente. Note : on pourra faire usage de la courbe ci-dessous pour exploiter le critère de transition fourni. f(z) E+6 2E+6 3E+6 z Courbe représentative de la fonction f(z) = z.4 z 1.4 b) On suppose que l évolution de l épaisseur des couches limites turbulentes qui se développent sur les parois de la soufflerie est bien représentée par la formule : δ(x) =.37x Re 1/5 x En supposant que le profil de vitesse dans une couche limite turbulente est de la forme (u/u e ) = (y/δ) 1/7 (où y désigne la distance à la paroi sur laquelle se développe cette couche limite), établir la loi d évolution de l épaisseur de déplacement δ (x). Déterminer dans ce cas plus conforme à la réalité l inclinaison α à donner aux parois de la soufflerie pour conserver un écoulement à vitesse constante le long de cette soufflerie. 1) a) La vitesse de l écoulement s annule au niveau des parois inférieure et supérieure de la soufflerie. Dans la couche limite, la vitesse u varie de à u e (x). Dans un conduit à section constante, avec la masse volumique ρ supposée constante, la conservation du débit implique donc une augmentation de la vitesse extérieure u e pour compenser cette diminution de vitesse au voisinage des parois.

28 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 26 Plus précisément, la conservation du débit entre l entrée et la sortie de la soufflerie implique : ρu e ()h = = h δ(l) = 2ρ ρu(l, y)dy δ(l) ρu(l, y)dy + = ρu e (L)h 2ρ h δ(l) δ(l) ρu e (L)dy + u(l, y)dy + ρu e (L)(h 2δ(L)) δ(l) = ρu e (L)h 2ρu e (L)δ (L) (u e (L) u(l, y))dy h h δ(l) ρu(l, y)dy soit finalement u e () = u e (L)(1 2 δ (L) h ). b) Si on donne une légère inclinaison aux parois de la soufflerie, on se donne la possibilité de conserver le débit en sortie en augmentant la section de la soufflerie, sans augmenter la vitesse u e (L). On peut s efforcer d ajuster cette légère augmentation de section de façon à compenser exactement la diminution de ρu induite par la présence de la couche limite au voisinage des parois. Dans ce cas, la section de sortie vaut h + 2L tan (α) = h et la conservation du débit implique : u e ()h = h u(l, y)dy = u e (L)h 2u e (L)δ (L) donc u e () = u e (L)( h h (L) 2δ h ). Si on choisit h tel que h h (L) 2δ = 1 alors tan (α) = δ (L) h L. L angle α dont il faut incliner les parois de la soufflerie pour assurer u e (L) = u e () vérifie donc α = atan( δ (L) L ). Compte tenu de la loi d évolution proposée pour δ, on a δ (L) L = ReL Par hypothèse, la viscosité cinématique ν vaut m 2 /s, la vitesse extérieure u e à l entrée de la soufflerie vaut 7 m/s et la longueur L de la soufflerie est égale à 6 m ; on en déduit donc Re L = u e L = , donc δ (L) = et finalement α = deg (ou rad). ν L On notera que cet angle est très faible. 2) a) Compte tenu de la loi d évolution postulée en 1) b) pour l épaisseur de quantité de mouvement de la couche limite laminaire, on peut exprimer le nombre de Reynolds basé sur cette épaisseur comme suit : Re θ(xt ) = u eθ(x t ) ν = u e ν.664x t =.664 Re xt. Rext On pose maintenant z = Re xt. Le critère de transition proposé s écrit : soit, après quelques calculs élémentaires :.664z.5 = 1.174( )z.46 z f(z) = = 1. z.4 z 1.5

29 CHAPITRE 1. DESCRIPTION DE LA COUCHE LIMITE 27 On vérifie sur la figure 3 que z = est racine de cette equation ; on en déduit u el ν x t L = 2 16 avec Re L On obtient finalement x t L.7 ou x t =.4 m. La transition de la couche limite vers la turbulence se produit donc près de la section d entrée de la soufflerie. b) On peut supposer, compte tenu de ce qui précède et dans le but de simplifier notre analyse, que la couche limite est turbulente tout au long des parois de la soufflerie. L épaisseur de cette couche limite est supposée suivre la loi : δ(x) =.37x Re 1/5 x et on postule la forme suivante pour la distribution de vitesse dans cette couche limite turbulente : u = ( y u e δ )1/7. L épaisseur de déplacement δ (x) est évaluée en écrivant : δ = On en déduit δ (x) =.4625x. Re 1/5 x δ (1 u u e )dy = δ 1 (1 Y 1/7 )dy = δ 8. On peut alors appliquer le raisonnement effectué en 1) b) pour déterminer l inclinaison α à donner aux parois de la soufflerie de façon à assurer u e = cste. On trouve : α = atan( δ (L) L ) =.85 deg = rad. On notera que l angle obtenu est plus important que celui trouvé en 1) b) dans le cas où la couche limite était supposée laminaire ; ce résultat est logique puisque, à Reynolds donné, la couche limite turbulente est plus épaisse que la couche limite laminaire.

30 Chapitre 2 Outils d analyse de la couche limite L objectif essentiel d une analyse quantitative de la couche limite est d estimer la contrainte pariétale de frottement τ w afin d une part d en déduire la traînée de frottement visqueux et d autre part de prédire un éventuel décollement de la couche limite. La vitesse extérieure u e est considérée comme une donnée issue par exemple d une analyse potentielle de l écoulement. 2.1 Méthodes intégrales Equation intégrale de von Kármán On a vu dans la section précédente qu il était possible de construire une solution exacte des équations de la couche limite (laminaire) pour des distributions de vitesse extérieure bien particulières, qui permettent la recherche de solutions auto-similaires. Dans le cas d une distribution arbitraire de vitesse (ou de pression) extérieure, la recherche d une solution auto-similaire échoue en général. Une alternative possible consiste alors à construire un outil qui permette d obtenir une solution approchée des équations de la couche limite, pour tout champ extérieur arbitrairement donné. L équation intégrale de von Kármán forme la base d un tel outil. Considérons les équations stationnaires de la couche limite dynamique : u x + v y = u u x + v u y = u e (i) du e dx + 1 τ ρ y avec, dans le cas laminaire, le frottement τ donné par τ = µ u. Ces équations sont complétées par y les conditions de paroi et de raccord avec l écoulement extérieur auxquelles on peut ajouter deux conditions qui traduisent le fait que loin de la paroi solide située en y = le frottement visqueux est nul et l écoulement purement longitudinal : τ(y ) =, v(y ) =. Si on intègre maintenant de y = à y l équation obtenue en formant la combinaison (ii) + (u u e )(i) à partir de l équation de continuité (i) et de l équation de quantité de mouvement (ii), et si on tient compte des conditions aux limites aux bornes de l intervalle d intégration, on obtient : 1 ρ τ w = du e dx (u e u)dy + x ( 28 (ii) u(u e u)dy)

31 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 29 où on rappelle que τ w désigne la contrainte de frottement pariétal. En faisant alors apparaître les épaisseurs de déplacement et de quantité de mouvement précédemment définies, on peut réécrire cette relation sous la forme : τ w = 1 du e u e dx (δ + 2θ) + dθ dx ρu 2 e En introduisant enfin le facteur de forme H et le coefficient de frottement C f =, on obtient la 2 ρu2 e forme la plus classique de la relation intégrale de von Kármán, qui met en relation le frottement, les épaisseurs de déplacement et de quantité de mouvement et la distribution de vitesse extérieure : τ w 1 C f 2 = dθ dx + (H + 2) θ du e u e dx (2.1) Cette équation sert de point de départ à une technique de résolution approchée des équations de la couche limite qui s appuie sur l idée que, puisque la solution exacte de l écoulement de couche limite vérifie (2.1), cette équation peut être utilisée comme un filtre pour obtenir une approximation raisonnable de C f à partir d un profil de vitesse u/u e qui ne constitue qu une approximation - parfois très grossière - du profil réellement observé dans la couche limite. Concrètement, voici la procédure-type à suivre pour estimer le coefficient de frottement associé à un écoulement extérieur u e (x) : on choisit d exprimer la vitesse u dans la couche limite rapportée à la vitesse extérieure u e en fonction de la distance à la paroi y adimensionnée par l épaisseur de couche limite δ : u u e = f( y δ ). L épaisseur δ est naturellement une inconnue du problème ; la fonction f est choisie de façon à satisfaire quelques conditions aux limites physiques du problème (cf. paragraphe suivant). on calcule les épaisseurs de déplacement et de quantité de mouvement : Similairement : δ = δ (1 u )dy = u e }{{} δ ξ=y/δ θ = δ 1 1 (1 f(ξ))dξ = k 1 δ f(ξ)(1 f(ξ))dξ = k 2 δ Le facteur de forme H vaut donc k 1 /k 2. La contrainte de frottement à la paroi est donnée par : τ w = µ( u y ) w = µu e δ f (ξ) w = µu e δ f () et par conséquent C f 2 = τ w = ν ρu 2 e u e δ f (). On substitue ces différentes expressions dans l équation intégrale de von Kármán pour obtenir une équation différentielle en δ (ou δ 2 ) : νf () u e = k 2 δ dδ dx + (2k 2 + k 1 ) δ2 du e u e dx La résolution de cette équation pour une distribution de vitesse extérieure arbitraire u e (x) permet, connaissant alors δ, d évaluer le coefficient de frottement C f.

32 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE Méthode de Polhausen On a mentionné ci-dessus que la fonction f choisie pour approcher le profil de vitesse dans la couche limite doit permettre de satisfaire un certain nombre des conditions aux limites du problème. Supposons que f soit choisie sous la forme d un polynôme en ξ = y/δ. Il est clair que le nombre de conditions aux limites vérifiables par cette fonction polynômiale dépend du degré choisi pour ce polynôme. Par exemple, si on choisit f(ξ) sous la forme d une fonction linéaire en ξ (polynôme de degré 1), les conditions u = pour y = et u/u e = 1 pour y = δ conduisent à prendre f(ξ) = ξ. Plus généralement, la vitesse u dans la couche limite et ses dérivées successives doivent vérifier les relations suivantes à la paroi et à la frontière de la couche limite : u(y = ) = traduit la condition d adhérence du fluide sur une paroi solide fixe. Cette égalité peut aussi s écrire : f() =. u(y = δ) = u e traduit le fait que l écoulement dans la couche limite se raccorde à l écoulement extérieur, loin de la paroi solide, assimilable à un écoulement de fluide parfait. Cette relation peut aussi s écrire : f(1) = 1. u (y = δ) = traduit le fait qu il n y a pas de frottement en dehors de la couche limite. Cette y relation peut aussi s écrire : f (1) =. dans le cas d un écoulement stationnaire, l équation de quantité de mouvement dans la couche limite se réduit à : u u x + v u y = u du e e dx + ν 2 u y 2 Compte tenu des conditions précédentes en y = δ (u = u e et u = ), on en déduit une y condition supplémentaire sur la dérivée seconde de la vitesse u : 2 u (y = δ) =. Cette relation y2 peut aussi s écrire : f (1) =. Similairement, en écrivant l équation de quantité de mouvement au niveau de la paroi (où u = v = ), on en déduit une relation pour la dérivée seconde de la vitesse u à la paroi : 2 u y (y = ) = u e du e. En l absence de gradient de pression, cette relation s écrit simplement : 2 ν dx 2 u y (y = ) =. Si u 2 e cste, cette condition sur la dérivée seconde de u à la paroi traduit physiquement l influence d un gradient de pression favorable ou adverse sur le développement de la couche limite (cf. section 1.3.2) ; compte tenu de 2 u y = u e 2 δ f (ξ), cette condition peut 2 aussi s écrire : f () = δ2 du e = Λ, où Λ est donc un paramètre caractéristique de l influence ν dx d un gradient de pression extérieure sur le profil de vitesse dans la couche limite. On peut maintenant exploiter les 5 conditions aux limites précédentes pour déterminer les coefficients d un polynôme de degré 4 qui sera choisi comme fonction f(ξ) pour approcher le profil de vitesse d une couche limite laminaire ; on obtient ainsi le polynôme dit de Polhausen (1921) : u = [2ξ 2ξ 3 + ξ 4 ] + Λ ξ(1 ξ)3 u e 6 Le polynôme entre crochets correspond au cas d un écoulement en l absence de gradient de pression ; le terme proportionnel au paramètre Λ constitue une correction de ce polynôme, destinée précisément

33 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 31 à traduire la présence d un gradient de pression. On peut ensuite suivre la démarche exposée au paragraphe précédent en tenant compte de ce choix de fonction f(ξ) et déterminer une approximation du coefficient de frottement C f pour une distribution u e (x) arbitraire. Cette approche, si elle se montre très précise dans le cas d un écoulement de plaque plane (cf. exemple ci-dessous), ne permet pas une évaluation réellement correcte du frottement dans le cas général (u e quelconque) et ne permet pas en particulier de localiser précisément le point de décollement d une couche limite en présence d un gradient de pression défavorable (Λ < ). Exemple Soit une couche limite laminaire sur une plaque plane en l absence de gradient de pression. On cherche un profil de vitesse u/u e sous la forme d un polynôme de degré trois en (y/δ) ; on note ξ = y/δ et u/u e = a + a 1 ξ + a 2 ξ 2 + a 3 ξ 3. On détermine les coefficients du polynôme en écrivant les conditions aux limites vérifiées par u à la paroi et à la frontière de la couche limite : en y =, u = et 2 u/ y 2 = (car la condition d adhérence u = v = réduit l équation de quantité de mouvement suivant x à la paroi à l expression ν 2 u du = u e y 2 e et ce dernier terme est nul quand u dx e = cste) ; en y = δ, u = u e et u/ y = (il n y a pas de frottement à la frontière supérieure de la couche limite). On peut traduire ces conditions en faisant systématiquement apparaître le rapport u/u e et la grandeur u ξ ; par exemple, u/u e = 1 pour ξ = 1. On obtient finalement : = 3 u e 2 ξ 1 2 ξ3 = f(ξ). On peut évaluer maintenant les épaisseurs de déplacement et de quantité de mouvement en fonction de δ : δ δ = (1 u 1 )dy = δ (1 f(ξ))dξ = [1 3 u e 2 ξ + ξ3 2 ]1 = 3 8 δ.375 δ Similairement, on obtient : θ = (39/28) δ.14 δ. On peut évaluer au passage le facteur de forme H : H = δ /θ La contrainte de frottement à la paroi est définie par : τ w = µ( u y ) y= ; on peut donc l exprimer par τ w = µu e δ f () = 3 µu e 2 δ. En l absence de gradient de pression u e = cste et l équation de von Kármán se réduit à τ w = ρu 2 dθ e Après injection des relations ci-dessus, cette égalité peut se réécrire sous la forme :.14ρu 2 dδ e dx = 3 2 soit 2δdδ 21.5 µ dx qui s intègre, compte tenu de 2δdδ = d(δ 2 ), pour donner : ρu e δ x = 4.64 Rex dx. µu e δ, où on rappelle que le nombre de Reynolds local est défini par Re x = u e x/ν. On en déduit alors aisément l expression du coefficient de frottement C f = τ w 1 ; on trouve C f.646/ Re x, ce qui 2 ρu2 e constitue une approximation à 2% près environ du résultat exact de Blasius C f =.664/ Re x.

34 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE Méthode de Walz-Thwaites Cette méthode de résolution approchée a été développée par étapes successives. En 194, Holstein et Bohlen proposent un paramètre sans dimension judicieux pour décrire les couches limites : λ = θ2 du e ν dx. (2.2) Ce paramètre est judicieux parce qu il permet de corréler les quantités sans dimension importantes qui interviennent dans l équation de von Karman, autrement dit, il semble raisonnable de supposer que : τ w θ = S(λ) et H = H(λ) µu e où S(λ) et H(λ) sont des fonctions à déterminer. Sous ces hypothèses, l équation de von Kármán peut se réécrire : d u e dx ( λ ) = 2[S(λ) λ(2 + H(λ))] = F (λ) (2.3) u e En 1941, Walz montre que si F (λ) est linéaire alors (2.3) s intègre analytiquement et permet d obtenir : θ2 ν = φ(u e). En 1949, Thwaites, après avoir analysé de très nombreux résultats, montre que pour une large gamme de problèmes on a une corrélation très simple : F (λ).45 6.λ. Il en déduit donc que l épaisseur de quantité de mouvement θ d une couche limite laminaire est donnée avec une bonne précision par la formule très simple : θ 2 (x) =.45ν u 6 e(x) x u 5 e(t)dt (2.4) Si la vitesse extérieure est connue, l épaisseur θ 2 peut être facilement obtenue à l aide de la relation ci-dessus ; on en déduit la valeur du paramètre λ = θ2 du e. Dans la mesure où Thwaites a complété ν dx sa contribution en fournissant des tables de corrélation pour H(λ) et S(λ) (voir tableau ci-dessous), on peut calculer l épaisseur de déplacement par δ = H(λ)θ et le taux de frottement à la paroi par τ w = µu e S(λ). On notera que cette méthode ne permet pas de déterminer le profil de vitesse u dans θ la couche limite. La méthode de Thwaites constitue cependant l une des meilleures méthodes simples de calcul approché des caractéristiques d une couche limite. Avant l avènement de la simulation numérique des écoulements par résolution discrète des lois de conservation (cf. section 2.3.1), elle a constitué un outil de base dans l estimation des effets visqueux ; elle demeure un outil de référence utile dans les phases de validation d outils de simulation. Exemple : On étudie l écoulement d un fluide visqueux sur un coin convexe (voir Fig. 2.1). La solution d un tel type d écoulement est connue pour un fluide parfait : la vitesse u e (x) de l écoulement sur la plaque inclinée est alors donnée par u e (x) = ax m où a est une constante et m ] 1, [ est tel que l inclinaison (< ) de la plaque s exprime comme α = [m/(m + 1)] π. On se place maintenant dans le cas d un écoulement réaliste, i.e. en tenant compte des effets visqueux ; puisque u e (x) diminue avec l abcisse x le long du plan incliné, on a un gradient de pression défavorable qui agit sur la couche limite ; plus l angle α augmente, plus ce gradient de pression devient important et tend à freiner l écoulement au niveau de la paroi. On souhaite estimer ici la valeur

35 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 33 α ( < ) u e(x) Fig. 2.1 Décollement d une couche limite sur un coin convexe. de l incidence pour laquelle la couche limite décolle de la plaque. On applique la formule (2.4) avec u e (x) = ax m : θ 2 ν =.45 x a 5 t 5m dt =.45 x 5m+1 a 6 x 6m ax 6m (5m + 1) =.45 1 (5m + 1) ax m 1 On en déduit la valeur du paramètre λ par : λ = θ2 ν du e dx = θ2 ν amxm 1 =.45m (5m + 1) Si on se reporte aux valeurs de la fonction S(λ) corrélées par Thwaites on note que la séparation (τ w = soit S(λ) = ) se produit pour λ =.82. La valeur de m pour laquelle se produit le décollement est donc telle que :.45m/(5m + 1) =.82, soit m =.953 ce qui correspond à une incidence de décollement α 19. On notera que cette valeur obtenue par une méthode approchée est proche de la valeur exacte α = 17.9 fournie par la résolution numérique de l équation de Falkner-Skan. x λ H(λ) S(λ) λ H(λ) S(λ) λ H(λ) S(λ) Note : la valeur λ = correspond à la position du maximum de vitesse de l écoulement extérieur ( due dx = ) ; la valeur λ = λ sep =.82 correspond à l abcisse de séparation puisque S(λ sep ) =.

36 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE Exemple d application : étude d une couche limite sur un profil On considère un profil d aile sur lequel se développe une couche limite laminaire. La vitesse dans l écoulement sur ce profil à l extérieur de la couche limite peut être approchée par : u e (x) = 19 x si x U c c.1 u e (x) U = 2 x c si.1 x c 1 où U désigne la vitesse de l écoulement au loin et c est la corde du profil. On se propose d utiliser la méthode de Thwaites pour déterminer quelques caractéristiques de la couche limite qui se développe sur le profil considéré. 1) Calculez l épaisseur de quantité de mouvement normalisée par la corde, θ/c, pour x c.1. Note : on exprimera θ/c en fonction du nombre de Reynolds Re = U c où ν désigne la viscosité ν cinématique de l air en écoulement. 2) Montrez que l épaisseur de quantité de mouvement normalisée pour.1 x 1 est donnée par : c ( θ c )2 =.75 ( ) Re (2 x 1 c )6 3) Evaluez l abcisse du point de séparation en lequel la couche limite décolle du profil. 1) Dans la méthode de Thwaites, l épaisseur de quantité de mouvement de la couche limite est directement reliée à la distribution de vitesse extérieure le long du profil considéré. On a précisément : θ 2 =.45ν x u 5 u e(t)dt 6 e En introduisant le nombre de Reynolds Re = U c ν, la vitesse extérieure adimensionnée par U et l abcisse x le long du profil adimensionnée par la corde c, on peut aussi écrire : ( θ(x/c) ) 2 =.45 c Re ( U u e (x/c) )6 On en déduit donc que pour x/c.1, on a : soit encore ( θ c ) 2 2) Pour.1 x/c 1, on a : =.45 Re ( θ c ) 2 1 (19(x/c) 6 ) =.45 Re x/c x/c θ c =.628. Re 1 (2 x/c) 6 ( u e(t/c) ) 5 d(t/c) U (19(t/c)) 5 d(t/c) =.39 Re x/c ( u e(t/c) ) 5 d(t/c) U

37 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 35 et on doit évaluer cette dernière intégrale en tenant compte du fait que la distribution de vitesse extérieure est différente selon que l on se situe avant x/c =.1 ou après cette abscisse. On écrit donc : x/c ( u.1 x/c e(t/c) ) 5 d(t/c) = (19(t/c)) 5 d(t/c) + (2 (t/c)) 5 d(t/c) U et on obtient, tous calculs faits, la relation demandée : ( θ c )2 =.75 ( ) Re (2 x 1 c )6.1 pour.1 x/c 1. 3) Puisque nous disposons maintenant de la distribution d épaisseur de quantité de mouvement de la couche limite le long du profil, nous pouvons évaluer le paramètre λ = θ2 du e afin de déterminer ν dx l abscisse de séparation de la couche limite. En introduisant des grandeurs adimensionnées, on peut réécrire : λ = ( θ c )2 Re d(u e/u ) d(x/c) On vérifie facilement que λ > pour x/c.1 (puisque sur cet intervalle d(u e/u ) = 19) et d(x/c) λ < pour.1 x/c 1 (puisque sur cet intervalle d(u e/u ) = 1). Comme l on sait que, dans le d(x/c) cadre de la théorie de Thwaites, l abcisse de séparation correspond à la valeur λ = λ sep =.82, on en conclut que la séparation se produit pour x/c >.1 ; dans cette partie du profil, (θ/c) 2 est donné par l expression établie en 2), donc : ( ) λ sep =.82 =.75 (2 (x/c) sep ) 1 6 et on en déduit immédiatement (x/c) sep = Méthode intégrale simple Une façon simple d utiliser l équation intégrale de von Kármán consiste à supposer que le facteur de forme H reste à peu près constant dans l écoulement (ce qui est bien vérifié en pratique tant que les gradients de pression extérieurs restent modérés), égal à sa valeur pour un écoulement de plaque plane, tandis que le coefficient de frottement C f suit une loi de plaque plane de la forme : C f 2 = b Re m θ En s appuyant sur la solution de Blasius, on trouve facilement m = 1 et b =.225 ainsi que H = En injectant cette expression du coefficient de frottement dans l EVK et en multipliant celle-ci par (m + 1)θ m u (m+1)(h+2) e, on obtient l équation différentielle ordinaire suivante : d dx [θu(h+2) e ] m+1 = (m + 1)b u(m+1)(h+2) e (u e /ν) m

38 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 36 qui s intègre de façon immédiate pour donner la loi d évolution suivante de l épaisseur de quantité de mouvement : [u e (x 1 ) (H+2) θ(x 1 )] (m+1) = [u e (x ) (H+2) θ(x )] (m+1) + (m + 1)b x1 x [u e (x)] (H+2)(m+1) (u e (x)/ν) m dx (2.5) Cette relation fournit une expression approchée de l épaisseur de quantité de mouvement en fonction de la seule donnée de la distribution de vitesse extérieure et de l épaisseur de quantité de mouvement en une section initiale x. Si on se place par exemple dans le cas d une couche limite laminaire se développant sur une plaque plane, on choisit x = comme le bord d attaque de la plaque, en lequel l épaisseur de quantité de mouvement est nulle. En l absence de gradient de pression (u e = cste), l égalité (2.5) nous fournit : x θ(x) m+1 = b(m + 1) 1 (u e /ν) m dt soit finalement θ(x) [b(m + 1)]1/(m+1) = x ( u ex ν )m/(m+1) et on retrouve bien sûr après application numérique la formule de Blasius : θ(x) x =.664 Rex Nous avons présenté dans cette section quelques méthodes analytiques ou semi-analytiques qui permettent de prédire quantitativement les effets d une couche limite laminaire sur un écoulement incompressible autour d une forme aérodynamique. Les écoulements externes rencontrés en aéronautique ne sont en général laminaires que sur une faible partie du profil (au voisinage du bord d attaque). Pour estimer correctement le frottement à la paroi, il est nécessaire de prendre en compte la turbulence de l écoulement. 2.2 Cas de la couche limite turbulente On a généralement apparition du phénomène de turbulence dans les écoulements à grands nombres de Reynolds, à la suite du développement d une instabilité dans l écoulement laminaire. Un écoulement turbulent se caractérise par son irrégularité : les composantes de la vitesse, la pression et la masse volumique y fluctuent de façon aléatoire. Notons que ces fluctuations favorisent les échanges au sein de l écoulement, en particulier les échanges de quantité de mouvement, ce qui conduit à une augmentation du frottement pariétal (la quantité de mouvement amenée dans la zone de proche paroi par les tourbillons de grande échelle présents dans l écoulement conduit à une augmentation de la vitesse dans la zone de proche paroi par rapport au cas laminaire et donc à un frottement plus élevé). Le mouvement turbulent est donc un mouvement tridimensionnel instationnaire. Cependant, il peut être considéré comme la superposition d un écoulement moyen (souvent permanent) et de fluctuations aléatoires (cf. figure 2.2) Opérateurs de moyenne et décomposition de Reynolds Plusieurs types de moyennes peuvent être considérées selon l écoulement étudié. La moyenne la plus générale est la moyenne d ensemble, définie comme une moyenne sur un ensemble de réalisations de

39 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 37 FLUCTUATIONS DANS UNE COUCHE LIMITE TURBULENTE NOTION D ECOULEMENT MOYEN Fig. 2.2 On visualise, à différents instants t i le profil de vitesse suivant la normale à la paroi dans une section donnée d une couche limite turbulente. L évolution de l écoulement semble aléatoire. Cependant, si on superpose ces profils successifs, on peut faire apparaître un profil de vitesse moyen autour duquel l écoulement fluctue au cours du temps.

40 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 38 l écoulement. On suppose que l on répète N fois l écoulement étudié et on note f n (x, t) la mesure d une quantité physique f(x, t) au cours de la n-ième réalisation de l expérience. La moyenne d ensemble de f est alors définie par : 1 N f(x, t) = lim N f n (x, t) N On peut aussi définir une moyenne temporelle par : f(x) = lim T 1 T n=1 t+t t f(x, t)dt Cette moyenne est la plus couramment utilisée car un grand nombre d écoulements d intérêt pratiques sont stationnaires. Cependant, dans la réalité T peut difficilement être choisi infini! En fait, il suffit de choisir le temps T suffisamment grand devant le temps caractéristique des fluctuations turbulentes, τ. On définit alors la moyenne temporelle par : f(x) = 1 T t+t t f(x, t)dt avec T >> τ On peut aussi utiliser une moyenne spatiale définie par : 1 f(t) = lim V f(x, t)dv V Une fois fixée la moyenne utilisée (on choisit souvent la moyenne temporelle définie ci-dessus mais le raisonnement qui suit est valable pour d autres types de moyenne), on décompose une grandeur instantanée φ en une partie moyenne et une partie fluctuante : V φ = φ + φ Cette décomposition est dite décomposition de Reynolds. La fluctuation φ est par construction à moyenne nulle ; en effet : φ = φ φ = φ φ = φ φ = Il est intéressant d évaluer la moyenne du produit de deux grandeurs instantanées : donc soit finalement φψ = (φ + φ )(ψ + ψ ) = φ ψ + φψ + φ ψ + φ ψ φψ = φ ψ + φψ + ψφ + φ ψ = φ ψ + φ ψ }{{} +ψ φ +φ }{{} ψ = = φψ = φ ψ + φ ψ (2.6) On suppose enfin que l opérateur de prise de moyenne commute avec les opérateurs de dérivation par rapport au temps et aux variables d espace.

41 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE Equations de Reynolds On considère les équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible : u i = x i u i t + (u iu j ) = 1 p + ν 2 u i x j ρ x i x j x j et on introduit dans ces équations la décomposition de Reynolds : u i = u i + u i p = p + p puis on effectue une prise de moyenne sur ces équations. Compte tenu des hypothèses formulées ci-dessus sur les propriétés de commutation de l opérateur de moyenne et du résultat (2.6) on en déduit facilement les équations de Reynolds ou équations de Navier-Stokes aux moyennes de Reynolds ("Reynolds-averaged Navier-Stokes equations" ou "RANS equations" en anglais) : 2 u i En remarquant que ν = 1 x j x j ρ laminaire, on peut aussi écrire : u i x i = u i t + (u iu j ) x j + (u iu j) x j = 1 p + ν 2 u i ρ x i x j x j τ ij x j avec τ le tenseur des contraintes visqueuses pour un écoulement u i x i = u i t + (u iu j ) x j = 1 p + 1 (τ ij ρu i ρ x i ρ x u j ) j Par rapport au cas laminaire, la seule (mais elle est essentielle) modification des lois de conservation introduite par le processus de prise de moyenne réside dans le tenseur des contraintes : il faut ajouter au tenseur des contraintes visqueuses pour un écoulement laminaire τ un tenseur dit de Reynolds, moyenne du produit tensoriel des fluctuations, de composantes τij R = ρu i u j. Ce tenseur traduit l influence des fluctuations turbulentes sur le mouvement moyen. Pour fermer le système ci-dessus, il faut exprimer le tenseur de Reynolds en fonction du mouvement moyen. Une hypothèse classique dite hypothèse de Boussinesq consiste, par analogie avec le cas laminaire (pour un fluide newtonien), à supposer le tenseur de Reynolds proportionnel au tenseur des taux de déformation, le coefficient de proportionnalité étant dénommé viscosité turbulente. Avant de s intéresser à la modélisation des contraintes turbulentes dans la section 2.2.6, on va tout d abord montrer comment on peut estimer le frottement en régime turbulent en utilisant les outils précédemment présentés. Si on effectue un raisonnement analogue à celui du cas laminaire (épaisseur de la région d écoulement turbulent faible devant les dimensions caractéristiques du problème) on peut établir les équations de la couche limite turbulente qui sont formellement identiques à celles de la couche limite laminaire : u x + v y = u u x + v u y = u du e e dx + 1 τ ρ y p = p e (x)

42 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 4 avec τ = τ lam + τ turb = µ u y ρu v et où on a allégé l écriture du système en notant φ la grandeur moyenne φ Equation intégrale et couche limite turbulente On peut appliquer au système ci-dessus le raisonnement détaillé dans la section pour établir l équation intégrale de von Kármán dans le cas laminaire et comme ce raisonnement n utilise à aucun moment la forme explicite de la contrainte visqueuse τ, on obtient à nouveau dans le cas turbulent l équation (2.1) : C f 2 = dθ dx + (H + 2) 1 du e u e dx θ Dans le cas laminaire, τ w (donc C f ) peut être explicité en fonction du champ de vitesse (τ w = µ( u y ) y=) alors que dans le cas turbulent une formulation explicite de C f en fonction du champ moyen suppose une hypothèse de modélisation pour le tenseur de Reynolds. Si on veut s affranchir de cette modélisation, on doit donc se donner pour mettre en oeuvre l équation intégrale ci-dessus non seulement un profil de vitesse approché dans la couche limite mais également une loi de frottement pour C f. Le choix du profil de vitesse et de la loi de frottement s appuie naturellement sur l expérience et vise à approcher au mieux les profils expérimentaux et les mesures de frottement. Comme on l a déjà souligné, la couche limite turbulente présente des structures tourbillonnaires qui favorisent les transferts de quantité de mouvement entre les couches supérieures de la couche limite où la vitesse est proche de u e et les couches proches de la paroi où la vitesse est faible (on a un brassage macroscopique bien plus efficace que la seule diffusion propre au cas laminaire) ; cet apport de quantité de mouvement vers les zones de faible vitesse bien plus efficace que dans le cas laminaire a d importantes conséquences sur les caractéristiques physiques de la couche limite turbulente : i) la couche limite turbulente est plus épaisse que son homologue laminaire ; ii) le profil de vitesse croît beaucoup plus rapidement avec la distance à la paroi (voir figure 2.3) et par conséquent le frottement turbulent est bien plus élevé que le frottement laminaire ; iii) la couche limite turbulente résiste beaucoup mieux aux gradients de pression adverses : elle est donc plus difficile à faire décoller. Ces remarques doivent nous guider dans le choix d un profil de vitesse représentatif dans la couche limite turbulente (on rappelle en effet que plus le profil de vitesse postulé dans la mise en oeuvre de la résolution de l équation de von Kármán est proche de la réalité, meilleure sera l estimation du coefficient de frottement). Une loi classiquement utilisée pour une couche limite turbulente en présence de gradients de pression modérés est une loi en puissance de la forme : u u e = ( y δ )1/n (2.7) avec, pour des gradients de pression modérés, une valeur typique de n égale à 7. Par rapport au cas laminaire, il faut de plus se donner une loi de frottement (basée elle-aussi sur des corrélations expérimentales) qui est en général de la forme : C f fonction de l épaisseur de quantité de mouvement θ (ou du nombre de Reynolds basé sur cette épaisseur de quantité de mouvement : Re θ = u e θ/ν) ou C f fonction de l épaisseur de la couche limite (ou du nombre de Reynolds basé sur cette épaisseur). Ainsi, on peut déduire de la mesure de perte de charge dans des conduites cylindriques en écoulement turbulent établi, en assimilant le rayon de la conduite à l épaisseur δ de la couche limite, la loi de

43 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 41 u/u e couche limite laminaire couche limite turbulente y x (Re x ) 1/2 Fig. 2.3 Profils de vitesse typiques dans une couche limite en régime laminaire ou turbulent : dans le cas turbulent, la vitesse croît beaucoup plus rapidement lorsque l on s éloigne de la paroi avec pour conséquence négative un frottement plus important mais comme conséquence positive une plus grande résistance au décollement. frottement suivante : C f =.464 (2.8) Re 1/4 δ Supposons maintenant une loi en vitesse du type (2.7) et une loi de frottement du type C f = K Re 1/p θ (pour généraliser (2.8)) et exploitons l équation de von Kármán. En l absence de gradient de pression extérieure, on a simplement : C f (Re θ ) = dθ dx soit, compte tenu de la forme de la loi de frottement : dθ dx θ1/p = K/(u e /ν) 1/p et on peut résoudre facilement cette équation différentielle pour obtenir θ(x) d où C f (x). En présence d un gradient de pression, on utilise la forme du profil de vitesse en puissance pour estimer le facteur de forme H = H(n) et on obtient à nouveau une équation différentielle, de la forme dθ dx + [(H(n) + 2) 1 du e u e dx ]θ = C f(re θ ) 2 que l on peut résoudre pour trouver θ(x) puis C f (x). Exemple On considère une couche limite turbulente se développant sur une plaque plane en l absence de gradient de pression extérieur. Les observations expérimentales indiquent que les profils de vitesse dans u cette couche limite turbulente sont assez bien décrits par la loi en puissance : = ( y u e δ )1/7 et que la loi de frottement peut être approchée par (2.8). On recherche une loi de frottement qui permette de connaître C f en fonction de l abcisse x le long de la plaque.

44 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 42 Si on note u/u e = f(ξ) avec ξ = y/δ, on peut facilement évaluer les épaisseurs de déplacement et de quantité de mouvement en fonction de δ : δ θ = δ 1 = δ 1 (1 ξ 1/7 )dξ soit δ = δ/8 et ξ 1/7 (1 ξ 1/7 )dξ soit θ = 7δ/72. On en déduit la valeur du facteur de forme H = 9/ En l absence de gradient de pression l équation de von Kármán se réduit à : C f = 2 dθ dx = 7 36 soit, compte tenu de la loi de frottement retenue, l équation différentielle en δ : dδ dx.464 = Re 1/4 δ 7 dδ 36 dx Pour plus de commodité, on peut résoudre cette équation différentielle par rapport à Re δ plutôt que par rapport à δ. Compte tenu de Re δ = u e δ/ν et Re x = u e x/ν, l équation ci-dessus peut aussi se mettre sous la forme :.464 = 7 36 (Re δ) 1/4 d(re δ) d(re x ) d où Re 5/4 δ et on obtient finalement pour C f (x) la loi suivante : =.298Re x (C f ) turbulent =.592 Re 1/5 x On peut tracer sur une même courbe (voir Fig. 2.4) le coefficient de frottement pariétal qui vient d être estimé pour une couche limite turbulente se développant sur une plaque plane en l absence de gradient de pression et celui correspondant à la solution de Blasius, valable dans le cas d une couche laminaire sur une plaque plane en l absence de gradient de pression : (C f ) laminaire =.664 Re 1/2 x Dans la pratique, la couche limite sur une plaque plane en l absence de gradient de pression reste laminaire tant que le nombre de Reynolds local ne dépasse pas un nombre de Reynolds critique compris typiquement entre et ; pour Re x = Re crit on a transition du régime laminaire vers le régime turbulent. Cette transition s accompagne d une forte augmentation du frottement pariétal que l on peut quantifier grâce aux formules ci-dessus. On observe tout l intérêt qu il pourrait y avoir à préserver la laminarité de l écoulement au-delà du Reynolds critique : en effet, pour Re x = 1 6 par exemple, on a (C f ) turbulent = tandis que (C f ) laminaire = soit une valeur plus de 5 fois inférieure à celle du régime turbulent. Le contrôle de la laminarité de l écoulement en vue de la réduction de traînée d un profil sera abordé dans la section 3.1. Il faut souligner que la formule (2.8) pour la loi de frottement n a aucune valeur d universalité. Bien d autres lois empiriques, basées sur des corrélations expérimentales, peuvent être utilisées ; certaines tiennent comptent notamment du gradient de pression extérieur par l intermédiaire de la valeur du facteur de forme H. On peut citer ainsi la formule de Ludwieg et Tillman (1949) : 1.678H Reθ.268 C f =.246 (2.9)

45 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 43.1 Turbulent Coefficient de frottement C f.1 Laminaire Transition Nombre de Reynolds local Fig. 2.4 Evolution du coefficient de frottement sur une plaque plane. Il est clair cependant que l utilisation de la formule ci-dessus dans l équation de von Kármán peut rendre difficile la résolution de cette équation en pratique, de sorte que l on préfère souvent utiliser une simple loi en puissance pour le frottement du type de celle donnée plus haut en se contentant de faire intervenir le gradient de pression par la valeur de du e /dx ainsi éventuellement que par la valeur du facteur de forme H. Une façon simple de procéder consiste à suivre la démarche présentée dans en adaptant la valeur du facteur de forme H et des coefficients m et b définissant la loi de frottement au cas d une couche limite turbulente de plaque plane. Une valeur typique du facteur de forme pour une couche limite turbulente se développant sur une plaque plane en présence de gradients de pression modérés est H = 1.4 ; les coefficients de la loi de frottement en fonction du nombre de Reynolds basé sur l épaisseur de quantité de mouvement peuvent être pris typiquement égaux à m = 1/5 et b =.86. L application de la formule (2.5) permet, pour une distribution de vitesse extérieure u e (x) donnée, de calculer l évolution de l épaisseur de quantité de mouvement θ ; on déduit alors de la loi de frottement la valeur de C f et l évolution de l épaisseur de déplacement est donnée par δ = θh avec le facteur de forme égal à la valeur précédemment spécifié. Pour calculer les caractéristiques d une couche limite se développant sur un profil d aile, on suppose que la couche limite est laminaire à son origine x au point d arrêt ; les solutions de Falkner-Skan permettent alors d estimer la valeur de l épaisseur de quantité de mouvement au point d arrêt. La formule intégrale (2.5) est appliquée en laminaire jusqu à l abcisse de transition x t déterminée typiquement à l aide d un critère empirique de transition. Ce point de transition devient alors le point initial pour la couche limite turbulente et on suppose qu il y a continuité de l épaisseur de quantité de mouvement dans la zone de transition : θ turb (x ) = θ turb (x t ) = θ lam (x t ) L évolution de l épaisseur de quantité de mouvement au-delà de l abcisse de transition est alors obtenue en appliquant la formule (2.5) en turbulent. Comme nous allons le voir dans la section qui suit, le frottement pariétal peut être estimé de façon directe en tirant parti de la connaissance du profil de vitesse dans la couche limite turbulente.

46 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE Profil de vitesse dans la couche limite turbulente On a établi dans le cas de l écoulement laminaire sur une plaque plane une forme exacte des profils de vitesse (solution de Blasius en l absence de gradient de pression, solution de Falkner-Skan dans un cas plus général). Il n est pas possible d obtenir un tel résultat exact dans le cas d un écoulement turbulent en raison du problème de fermeture posé par les contraintes de Reynolds. On peut cependant obtenir une description fine du profil de vitesse en régime turbulent présenté par exemple sur la figure (2.3) en suivant le raisonnement détaillé dans les paragraphes ci-dessous. Prenons comme point de départ l équation de quantité de mouvement dans la couche limite turbulente réécrite sous forme développée (en l absence de gradient de pression) : u u x + v u u = (ν y y y ) } {{ } } {{ } inertie frottement laminaire + y ( u v ) } {{ } frottement turbulent La couche limite turbulente peut être décomposée en différentes zones ou couches selon le caractère dominant des différents termes de l équation ci-dessus : A proximité immédiate de la paroi, le terme de frottement laminaire est dominant car les vitesses moyennes et les fluctuations de vitesse tendent vers à la paroi. On a donc lorsque y : µ 2 u y 2 soit u = Cy (2.1) où C est une constante qui vaut précisément τ w /µ - τ w désigne le frottement pariétal -. Cette zone de très proche paroi est appelée classiquement sous-couche visqueuse ("viscous sub-layer"). L échelle caractéristique de la vitesse dans cette zone est la vitesse de frottement u τ, définie à partir du frottement pariétal par la relation : τw u τ = ρ Similairement, on définit à partir de la viscosité ν et de cette échelle de vitesse une échelle caractéristique de longueur dans la sous-couche visqueuse et on introduit les variables sans dimension : u + = u u τ, y + = u τy ν. Remarquons que y + a la forme d un nombre de Reynolds basé sur la distance à la paroi y et la vitesse de frottement u τ. On peut maintenant réécrire (2.1) sous forme d une équation sans dimension : u + = y + (2.11) Les expériences permettent d observer que la relation (2.11) est valable jusqu à une valeur de y + comprise entre 5 et 1. Au-delà, le frottement turbulent n est plus négligeable devant le frottement visqueux et la forme du profil de vitesse doit être modifiée en conséquence. Lorsque l on quitte la sous-couche visqueuse, le terme de frottement turbulent devient progressivement prépondérant par rapport au frottement laminaire tandis que le terme d inertie reste négligeable en raison des faibles vitesses de l écoulement.

47 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 45 Lorsque l on continue à s éloigner de la paroi pour atteindre la frontière de la couche limite les termes d inertie et de frottement turbulent deviennent prépondérants tandis que le frottement laminaire devient négligeable. Lorsque l on approche la frontière de la couche limite, la vitesse moyenne u tend par valeurs inférieures vers la vitesse extérieure à la couche limite u e. De nombreux expérimentateurs, et parmi eux von Kármán, ont observé d une part que la différence entre la vitesse moyenne u dans cette zone et la vitesse extérieure u e était de l ordre de grandeur de la vitesse de frottement u τ et d autre part que ce déficit de vitesse adimensionné (u u e )/u τ ne dépendait que de la distance à la paroi y adimensionnée par l échelle de distance caractéristique dans cette zone qui est l épaisseur δ de la couche limite. On peut donc écrire : u e u u τ = g(η) (2.12) où on a noté η = y/δ. Enfin, dans la région extérieure à la couche limite, seul le terme d inertie est dominant, les frottements laminaire et turbulent étant tous les deux négligeables. Dans la zone où les frottements laminaire et turbulent sont du même ordre de grandeur, on a : y (µ u y ) + y ( ρu v ) donc le frottement total τ = µ u y ρu v est à peu près constant et égal à τ w dans cette région. Cette remarque est à la base de l utilisation de lois de paroi dont nous dirons quelques mots dans la section suivante. La vitesse moyenne dans cette zone voisine de la paroi reste de l ordre de grandeur de u τ tandis que l échelle caractéristique de longueur reste donnée par ν/u τ. On cherche donc le profil de vitesse dans cette zone sous la forme : u + = f(y + ) (2.13) On distingue ainsi dans la couche limite turbulente deux grandes couches : une couche extérieure ou externe dans laquelle les échelles de longueur sont de l ordre de l épaisseur de la couche limite δ et le déficit de vitesse u u e est de l ordre de la vitesse de frottement u τ ; une couche intérieure ou interne dans laquelle les effets de la viscosité sont importants de sorte que les échelles de longueur sont de l ordre de ν/u τ, tandis que la vitesse moyenne est de l ordre de la vitesse de frottement u τ. On utilise la variable adimensionnée η pour décrire la distance à la paroi dans la zone extérieure : η = 1 à la frontière de la couche limite tandis que η lorsque l on approche de l interface avec la couche intérieure. On utilise la variable adimensionnée y + pour décrire la distance à la paroi dans la zone intérieure : y + lorsque l on approche de la paroi tandis que y + lorsque l on approche de l interface avec la couche extérieure. Pour déterminer explicitement les fonctions f et g qui ont été introduites ci-dessus on va utiliser le fait que le profil de vitesse dans la zone intérieure donné par (2.13) doit se raccorder lorsque y + avec le profil de vitesse dans la zone extérieure, donné par (2.12), lorsque η. On écrit donc : f(y + ) = u e u τ g(η) (2.14) Si on forme le rapport entre les deux variables sans dimension y + et η on obtient : y + η = u τδ ν = Re τ

48 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 46 où Re τ désigne le nombre de Reynolds construit à partir de la vitesse de frottement et de l épaisseur de la couche limite. On peut donc réécrire (2.14) sous la forme : f(re τ η) = u e u τ g(η) En dérivant cette relation par rapport à η puis en multipliant le résultat obtenu par η de façon à faire réapparaître y + on obtient : y + f (y + ) = ηg (η) Pour que cette égalité fonctionnelle puisse être vérifiée, on doit nécessairement avoir : y + f (y + ) = constante, ηg (η) = constante On en déduit donc par intégration immédiate l expression du profil de vitesse dans la couche intérieure lorsque y + : u + = 1 κ ln(y+ ) + B (2.15) où κ désigne la constante de von Kármán, dont la valeur a été déterminée expérimentalement : κ.4 ou.41. La constante d intégration B a une valeur comprise entre 5 et 5.2. La relation (2.15) est appelée loi de paroi ("wall law") : cette loi logarithmique ne dépend pas des paramètres de la région externe extrême, tels que épaisseur de la couche limite, vitesse extérieure...ce qui tend à lui conférer un caractère d universalité. Cette loi logarithmique est valable typiquement de y + 5 à y + 5. On établit similairement que l expression du profil de vitesse dans la couche extérieure lorsque η est donnée par : u e u = 1 ln(η) + A (2.16) u τ κ avec A Cette loi logarithmique pour la vitesse déficitaire s applique dans la région externe de la couche limite, typiquement à partir de η = y + /Re τ avec y + 5. Puisque Re τ dépend du nombre de Reynolds global (basé sur la vitesse extérieure u e et la longueur de la plaque), la localisation de la frontière entre région interne et externe dépend naturellement de ce nombre de Reynolds. Pour Re = O(1 6 ), valeur typiquement rencontrée en aérodynamique externe sur des profils d aile, Re τ = O(1 3 ) et la frontière entre zone interne et zone externe se situe aux alentours de y.1δ. Signalons que, exprimée en fonction de la variable externe η, l épaisseur de la sous-couche visqueuse est de l ordre de.1δ! On dispose donc à ce stade d une forme du profil de vitesse dans la couche intérieure lorsque y + et lorsque y + et dans la couche extérieure lorsque η. Il nous manque une expression pour u lorsque y + n est ni très petit, ni très grand ainsi qu une expression pour le déficit de vitesse u e u lorsque η ne tend pas vers zéro mais au contraire lorsque l on s éloigne de la paroi (pour η = 1 on atteint la frontière supérieure de la couche limite). Le raccordement de la loi linéaire valable dans la sous-couche visqueuse et du profil logarithmique valable dans la partie supérieure de la couche interne se fait progressivement dans une région tampon ("buffer layer") ; dans cette zone tampon, le profil de vitesse est donné par une relation implicite due à Spalding (1961) : y + = u + + e κb (e κu+ 1 κu (κu+ ) (κu+ ) 3 ) (2.17)

49 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 47 Dans la zone dite logarithmique ou inertielle, qui assure le recouvrement entre la zone de proche paroi où le frottement laminaire est dominant et la zone où le frottement turbulent est prépondérant, le profil de vitesse est donné par (2.15) en variables internes et par (2.16) en variables externes. Lorsque l on s éloigne de la paroi dans la couche extérieure, le déficit de vitesse ne dépend plus seulement de η = y/δ mais varie également en fonction du gradient de pression extérieur. Coles a proposé (1952) d introduire une correction additive à la loi logarithmique en écrivant : u + = 1 κ ln(y+ ) + B + Π κ W (η) (2.18) où le paramètre Π, dit paramètre de sillage, dépend a priori du gradient de pression à travers le paramètre β introduit par Clauser (1954) : Π = Π(β) = Π( δ dp e ). La fonction correctrice W (η), τ w dx dite terme de sillage, proposée par Coles s écrit sous la forme : W (η) = 2sin 2 ( π 2 η). Quant au paramètre de sillage, sa valeur, déduite de l expérience, se situe aux alentours de.5 pour une plaque plane en l absence de gradient de pression. Dans le cas général, White propose l expression empirique suivante : Π.8(β +.5).75 On peut noter que la formule (2.18) présente le défaut d une formulation composite puisqu elle mêle échelles interne (y + ) et externe (η). Suivant les travaux de Simpson (197) et de Purtell et al. (1981) on peut exprimer la correction de la loi de vitesse déficitaire comme suit : u e u u τ = 1 κ ln(η) Π κ W (η) + 2Π κ (2.19) On récapitule sur la figure 2.5 les différentes régions qui composent une couche limite turbulente. Signalons tout d abord que le profil de vitesse est tracé en variables internes (u +, y + ), ce qui conduit à un effet de loupe sur la région interne de la couche limite qui s étend typiquement jusqu à y.1δ et en particulier sur la sous-couche visqueuse dont l épaisseur est de l ordre du millième de l épaisseur de la couche limite. La connaissance de ce profil de vitesse dans la couche limite turbulente, et tout particulièrement de la loi de paroi (2.15), est très utile dans la construction de modèles de turbulence, comme nous le verrons dans la section suivante. Ce profil de vitesse peut également servir de base à la mise en oeuvre d une méthode intégrale basée sur l équation de von Kármán ; cependant la résolution analytique de l équation différentielle obtenue dans ce cas peut s avérer délicate de sorte que l on pourra préférer utiliser une loi en puissance du type (2.7), qui permet d approcher correctement le profil de vitesse dans toute la région extérieure c est-à-dire sur environ 9% de l épaisseur de la couche limite. On a tracé sur la figure (2.6) le profil en puissance donnée par (2.7) avec n = 7 (valeur préconisée dans le cas de la plaque plane en l absence de gradient de pression) ainsi que la loi de sillage de Coles (2.18). Cette loi peut aussi se réécrire en fonction de la variable extérieure η : u u e = u τ u e ( 1 κ ln(re τδ) + A + Π κ W (η)) avec Π =.5 en l absence de gradient de pression ; le rapport u e /u τ est déterminé en écrivant que u = u e quand δ = 1 soit u e /u τ = 1 κ ln(re τ) + A + 2Π/κ. In fine, la loi de sillage est complétement

50 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 48 3 region INTERNE 25 2 sous-couche visqueuse (loi lineaire) zone tampon (loi de Spalding) sous-couche inertielle (loi log) u + =u/u τ 15 1 zone de vitesse deficitaire (loi log pour la vitesse deficitaire) zone de sillage (loi de sillage) 5 region EXTERNE y =.1 δ y + =u τ y / ν y = δ Fig. 2.5 Evolution du profil de vitesse à travers la couche limite turbulente Profil de vitesse theorique Loi en puissance (n=7) y/δ u/u e Fig. 2.6 Approximation du profil de vitesse dans la couche limite turbulente par une loi en puissance.

51 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 49 déterminée par la donnée du nombre de Reynolds Re τ, lui-même fonction du nombre de Reynolds global : on a choisi ici Re τ = On constate que la loi en puissance offre bien une bonne approximation - simple - du profil de vitesse dans la région externe. On peut utiliser directement la loi intérieure (loi de paroi) ou extérieure (loi de sillage) donnant le profil de vitesse pour estimer le coefficient de frottement C f. Remarquons tout d abord que : u e ρ ρu 2 e = u e = = u τ τ w τ w 2 On note classiquement λ =. On peut utiliser maintenant la loi de sillage (2.19) pour estimer C f les épaisseurs de déplacement et de quantité de mouvement, en négligeant le fait que cette loi ne s applique pas en toute rigueur dans la région interne de la couche limite ; on écrira ainsi : δ = δ (1 u u e )dy = δ 1 2 C f (1 u u e (η))dη avec 1 u u e = f(η) = u τ u e ( 1 ln(η) Π W (η) + 2Π ) d après (2.19) ; on en déduit : κ κ κ δ 1 δ = 1 λ ( 1 κ ln(η) Π κ W (η) + 2Π κ )dη Compte tenu de ln(x)dx = xln(x) x et sin 2 (ax)dx = 1x 1 sin(2ax), on établit facilement : 2 4a δ δ = Π + 1 λκ Similairement, mais avec un peu plus d effort, on peut établir : θ δ = Π Π + 1.5Π2 λκ κ 2 λ 2 Enfin, en appliquant la loi de sillage sous la forme composite proposée par Coles dans le cas particulier où y = δ (et donc u = u e ) on obtient : λ = 1 κ ln(re δ λ ) + B + 2Π κ qui exprime donc une relation implicite entre le frottement pariétal et le nombre de Reynolds basé sur l épaisseur de couche limite Re δ = u e δ/ν. On peut aussi éliminer δ entre les deux relations ci-dessus pour obtenir une relation entre Re θ et λ : Re θ = λ( 3.75 λ λ 2 )e.4(λ 8) (2.2) La relation implicite (2.2) est bien approchée par l approximation en puissance suivante : C f.12re 1/6 θ

52 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 5 En appliquant alors l équation de von Kármán qui stipule, en l absence de gradient de pression : on en déduit : C f = 2 dθ dx dre θ dre x =.6Re 1/6 θ. Cette équation peut facilement être intégrée pour donner une relation entre Re x et Re θ qui permet finalement, après substitution dans l expression du coefficient de frottement trouvée ci-dessus, d obtenir la loi de frottement suivante : C f.244 Re 1/7 x (2.21) dont la validité est très bonne pour une large gamme de nombre de Reynolds 1 5 < Re < 1 9, alors que la formule de Prandtl (2.8) ne fournit plus d approximation raisonnable au-delà de Re 1 7. Une autre voie possible pour estimer le coefficient de frottement avec le maximum de généralité (présence de gradient de pression, géométrie non nécessairement triviale...) consiste à rechercher une expression pour les contraintes turbulentes et à résoudre les équations RANS ainsi fermées. Une telle résolution n est possible que par voie numérique et les principes d une telle simulation d écoulement seront exposés dans la section 2.3 ; auparavant, nous détaillons dans la section qui suit différents modèles pour les tensions de Reynolds τ R ij Traînée de frottement sur une plaque plane Dans ce problème, on cherche à quantifier l influence du régime (laminaire ou turbulent) d un écoulement sur le frottement à la surface d une plaque plane. L expérience montre que les profils de vitesse dans une couche limite de plaque plane peuvent être approchés par : u(x, y) u e (x) = ( y δ(x) )1/n (2.22) avec n = 1 dans le cas où le régime de l écoulement est laminaire et n = 7 dans le cas où le régime de l écoulement est turbulent (cf figure ci-dessous). On considère dans toute la suite du problème un écoulement (laminaire ou turbulent) sur une plaque plane en l absence de gradient de pression (u e (x) = cste = u e ). 1) Montrer que l équation intégrale de Von Karman peut s écrire dans ce cas : C f = C(n) dδ dx (2.23) où C f désigne le coefficient de frottement local et C(n) est un coefficient fonction de n que l on précisera. En déduire une expression simple du coefficient de traînée de frottement C D pour un écoulement sur une plaque plane de longueur L.

53 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 51 y 1 U (x) e y/δ Regime laminaire Regime turbulent δ (x) x x U/U e Caractéristiques et profils de vitesse approchés d une couche limite de plaque plane. 2) Cas du régime laminaire (n = 1) Par définition le coefficient de frottement local en régime laminaire s écrit : C f = τ w 1 où τ w désigne 2 ρu2 e la contrainte de frottement visqueux. Résoudre 2.23 pour trouver δ(x) et en déduire la valeur du coefficient de traînée de frottement C D défini en 1) pour un écoulement laminaire, en fonction du nombre de Reynolds basé sur la longueur de la plaque : Re L = u el ν. 3) Cas du régime turbulent (n = 7) Dans le cas turbulent la contrainte de frottement visqueux contient une contribution liée aux fluctuations de vitesse de l écoulement et la démarche ci-dessus ne peut pas être suivie. On s appuie alors sur des données expérimentales qui indiquent que l épaisseur de la couche limite turbulente se développant sur une plaque plane suit une loi de la forme : δ(x) x = κ(u ex ν ) 1/1 (2.24) avec typiquement κ =.92. En déduire la valeur du coefficient de traînée de frottement C D défini en 1) pour un écoulement turbulent. Commenter ce résultat en le mettant en rapport avec celui obtenu en 2). 1) En l absence de gradient de pression, du e(x) = donc l équation intégrale de Von Kármán dx se réduit à : C f 2 = dθ dx L épaisseur de quantité de mouvement θ est définie par : θ = δ u u e (1 u u e )dy. Compte tenu de la forme postulée pour la distribution de vitesse dans la couche limite, on obtient, en posant Y = y δ : θ = δ 1 Y 1/n (1 Y 1/n )dy

54 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 52 soit, tous calculs faits : θ = s exprimer comme : n (n + 1)(n + 2) δ. On en déduit que le coefficient de frottement C f peut C f = Par définition du coefficient de traînée : C D = 1 L L 2n dδ (n + 1)(n + 2) dx C f (x)dx = C(n) δ(l) L en supposant δ() = (la couche limite est d épaisseur nulle au bord d attaque de la plaque situé à l origine du repère choisi). 2) En régime laminaire, le coefficient de frottement C f est directement relié à la contrainte de frottement pariétal τ w. Par définition, cette contrainte s exprime comme : τ w = µ ( u y ) On en déduit : τ w ρ = νu e δ y= ( u ) u ( e ( y δ ) ) y= } {{ } =1 Par conséquent, C f = 2ν u e δ et comme on sait par ailleurs que C f = C(n) dδ, on en déduit une équation dx pour l épaisseur δ : C(1)δ d(δ) dx = 2ν u e Compte tenu de C(1) = 1/3, on peut aussi écrire : d(δ 2 ) dx = 12ν u e Cette relation s intègre en δ(x) = 2 3 ue 2 3 ReL d où finalement : νx puisque δ() =. On en déduit immédiatement δ(l) L = (C D ) lam = (2/ 3) ReL = 1.155(Re L ) 1/2. 3) Dans le cas turbulent, on a C D = C(7) δ(l) mais l épaisseur δ(l) ne peut plus être obtenue L comme précédemment puisqu il n existe plus de relation directe entre C f et τ w - compte tenu de l existence de contraintes liées aux fluctuations de vitesse dans l écoulement turbulent -. On s appuie sur des corrélations expérimentales qui permettent d écrire δ(l) L = κ(u el ν ) 1/1 ; on en déduit : (C D ) tur = C(7)κ(Re L ) 1/1 =.179(Re L ) 1/1

55 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 53 Si on forme le rapport (coefficient de traînée en régime turbulent)/ (coefficient de traînée en régime laminaire), on obtient : (C D ) tur (C D ) lam =.155(Re L ) 2/5 Si on se place alors à un nombre de Reynolds au voisinage duquel la transition laminaire/turbulent est susceptible de se produire, par exemple Re L = 1 6, on obtient (C D ) tur 3.9 (C D ) lam, ce qui indique que la transition de la couche limite vers la turbulence va s accompagner d un fort accroissement du frottement visqueux Modélisation de la turbulence On rappelle que le système d équations établi pour la couche limite turbulente est un système ouvert en raison de la présence du terme u v, identifié comme une contrainte de cisaillement turbulente. Pour fermer ce système, on peut chercher à exprimer cette contrainte turbulente à partir du champ de vitesse moyenne. Boussinesq fut le premier à introduire en 1877 le concept de viscosité turbulente ou viscosité tourbillonnaire ("eddy viscosity") en proposant pour la contrainte turbulente une relation analogue à celle de Newton pour les contraintes visqueuses. Pour un écoulement cisaillé simple, on suppose donc une relation linéaire entre contrainte de cisaillement et gradient de vitesse moyenne : ρu i u j = µ t( ū i x j + ū j x i ) (2.25) où le coefficient de proportionnalité µ t est appelé viscosité dynamique de turbulence (on notera de façon évidente ν t = µ t /ρ la viscosité cinématique de turbulence). On parle aussi de viscosité tourbillonnaire ("eddy viscosity") en référence au fait que la turbulence est caractérisée par la présence de tourbillons d échelle très variable. Dans les premiers travaux de Boussinesq cette viscosité turbulente était supposée constante : on sait aujourd hui que ce choix n est pas valable dans la mesure où l agitation turbulente n est pas une propriété physique du fluide mais dépend de l écoulement considéré. On peut donc songer à faire dépendre µ t de fonctions du champ de l écoulement ; un simple raisonnement dimensionnel conduit à choisir : ν t = µ t ρ = C µ u t l t (2.26) où u t et l t désignent respectivement des échelles de vitesse et de longueur caractéristiques de l agitation turbulente et C µ est une constante. On peut noter que l expression proposée pour ν t s inspire de la théorie cinétique des gaz dans laquelle la viscosité cinématique ν s exprime comme le produit d une échelle de longueur qui est le libre parcours moyen des molécules et d une vitesse quadratique moyenne d agitation de ces molécules. Les premiers modèles de variation de la viscosité turbulente ν t supposent une dépendance algébrique de cette fonction vis-à-vis d une échelle de longueur variable au sein de l écoulement turbulent : on les qualifie de modèle de "longueur de mélange" (mixing length). Ces modèles algébriques sont simples et rapides de mise en oeuvre : ils ont été et restent encore largement utilisés pour la simulation d écoulements en aérodynamique ; on décrit les plus célèbres d entre eux, notamment le modèle de Baldwin-Lomax, dans la section et on donne un aperçu de leur mise en oeuvre en 2.3. Ces modèles algébriques sont parfois qualifiés, suivant une terminologie moderne, de modèles à zéro équation. On désigne par modèle à n équations un modèle pour la viscosité turbulente qui requiert la résolution de n équations de transport en sus des équations aux dérivées partielles constituant les équations de Navier-Stokes moyennées. Cependant, la simplicité de ces modèles algébriques se paie

56 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 54 par un manque de généralité : il est difficilement envisageable de pouvoir traduire à l aide de simples relations algébriques les propriétés turbulentes d écoulements complexes. Pour surmonter ce type de limitation, on peut prendre en considération les modifications locales de l agitation turbulente en liant ses caractéristiques à l évolution d une quantité transportée par l écoulement. Ainsi, Prandtl a postulé (1945) un modèle dans lequel la viscosité turbulente dépend de l énergie cinétique des fluctuations turbulentes k = 1 2 u i u i et il a proposé un modèle d équation aux dérivées partielles permettant d approcher l équation de transport exacte vérifiée par k. Il s agit donc d un modèle à une équation, qui présente l avantage, par rapport à un modèle algébrique, de prendre en compte dans l expression de la viscosité turbulente l "histoire" de l écoulement. Cependant, si choisir de décrire l évolution de l énergie cinétique turbulente k permet de construire dans (2.26) l échelle de vitesse u t (u t k), la nécessité de spécifier une échelle de longueur caractéristique de la turbulente demeure. Si cette échelle de longueur reste prescrite de façon algébrique, le gain en généralité reste limité de sorte que ces modèles à une équation ont en général rencontré un succès limité. Récemment, l utilisation de modèles à une équation a cependant connu un regain de succès avec le développement de modèles basés sur une équation modélisant directement l évolution de la viscosité turbulente ν t : de tels modèles ont été développés principalement pour des raisons de facilité de résolution numérique ; on décrit dans la section le modèle récent de Spalart et Allmaras (1992) qui s est révélé particulièrement précis pour une large gamme d applications en aérodynamique externe. L étape suivante dans la modélisation consiste naturellement à faire dépendre la valeur locale de la viscosité turbulente de deux grandeurs représentatives des échelles de vitesse et de longueur de l agitation turbulente. Pour caractériser l échelle de vitesse, on choisit, comme indiqué ci-dessus, l énergie cinétique de turbulence k. On choisit généralement de ne pas modéliser directement l évolution de l échelle de longueur l t mais de procéder indirectement en modélisant le comportement d une fonction intermédiaire F et en déduisant de k et de F l échelle de longueur par une relation algébrique de la forme : l t = f(k, F). Un choix très populaire pour la deuxième grandeur transportée est le taux de dissipation turbulente ɛ ; l échelle de longueur caractéristique de la turbulence est déduite de k et de ɛ par la relation : ɛ = k3/2 l t Le modèle à deux équations de transport, l une sur k et l autre sur ɛ, est appelé modèle k ɛ et constitue sans contestation possible le modèle à 2 équations le plus largement utilisé. Signalons cependant que d autres choix existent pour construire l échelle de longueur l t, et notamment l utilisation de la dissipation spécifique ω ɛ/k qui conduit ainsi à un autre modèle populaire, le modèle k ω. Ces deux modèles à 2 équations de transport sont présentés dans la section ci-dessous Modèle de longueur de mélange On se place ici dans le cadre d un écoulement de couche limite pour lequel la contrainte turbulente principale qui intervient dans l équation de la dynamique du mouvement moyen se réduit au seul cisaillement ρu v ; l hypothèse de Boussinesq s écrit donc dans ce cas : Modèle de Prandtl (1925) ρu v = µ t u y (2.27) Prandtl propose un modèle simplifié pour le mouvement turbulent, dans lequel les particules de fluide forment des "paquets" qui vont ensuite se déplacer "en bloc". Il suppose de plus que dans une couche

57 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 55 de cisaillement (de type couche limite) ces paquets vont conserver leur quantité de mouvement suivant x pour une distance dans la direction y, l m, qu il appelle la longueur de mélange ("mixing length"). Ces hypothèses conduisent à l expression suivante pour la viscosité turbulente : µ t = ρl 2 m u y (2.28) dans laquelle la longueur caractéristique l m dépend de l écoulement considéré (l échelle caractéristique des fluctuations de vitesse est de l ordre de l m u, ce qui est cohérent avec le fait que dans un y écoulement de type couche limite la seule variation significative de vitesse moyenne est précisément u ). Par exemple, dans le cas d un jet plan, une expression empirique pour la longueur de mélange y est : l m =.9δ.5 où δ.5 désigne la distance entre l axe du jet et le point où u(x, δ) =.5 u(x, ). Dans le cas d une couche limite se développant sur une paroi, la description fine de la couche limite qui a été faite dans la section précédente peut être utilisée pour déterminer l expression de la longueur de mélange. On a souligné en effet que dans la zone logarithmique, les termes d inertie étant négligeables, la somme des contraintes visqueuse et turbulente est constante et à peu près égale à la contrainte pariétale ; on peut donc écrire : ν u y u v ν( u y ) w = τ w ρ = u2 τ Comme on l a souligné également, la contrainte turbulente devient dominante par rapport à la contrainte visqueuse dans la couche logarithmique de sorte que l on peut écrire, en exploitant la forme de la contrainte turbulente suggérée par le modèle de longueur de mélange : et on constate alors facilement que le choix l 2 m( u y )2 u 2 τ l m = κy, (2.29) avec κ la constante de von Kármán, permet de retrouver la loi logarithmique (2.15). Naturellement l expression (2.29) pour la longueur de mélange n a pas de raison d être valable dans toute la couche limite turbulente : elle doit être modifiée en particulier au niveau de la paroi afin de tenir compte de la façon dont la contrainte turbulente tend vers lorsque y tend vers ainsi que dans la couche déficitaire. Plus précisément, l expression (2.29) pour la longueur de mélange indique que u v y 2 lorsque y (puisque dans la sous-couche visqueuse ( u/ y) = τ w /µ est constant). Or la condition d adhérence nous dit par ailleurs que u = en y = ; comme il n y a a priori aucune raison pour que u s annule y à la paroi, on en déduit que u y lorsque y. Puisque les fluctuations de vitesse satisfont l équation de continuité, on peut en déduire v y 2 ; par conséquent la contrainte turbulente u v tend vers comme y 3. Des mesures en proche paroi indiquent que u v est aussi proche de y 3 que de y 4 dans cette zone, ce qui signifie que le coefficient de y 3 dans un développement en série de Taylor de u v doit être très petit. En tout état de cause, la formule (2.29) ne permet pas de rendre compte

58 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 56 correctement de la variation de la contrainte de turbulente dans la zone de proche paroi ; aussi Van Driest (1956) a proposé de multiplier la longueur de mélange par une fonction d amortissement et d écrire ainsi : l m = κy(1 e y+ /A + ), (2.3) où la constante A + est A + = 26. La formule (2.3) permet bien de satisfaire u v y 4 lorsque y. La seconde modification d importance dans le développement de relations algébriques pour la viscosité turbulente a été proposée par Clauser en 1956 ; dans la zone de vitesse déficitaire, il suggère de choisir la viscosité tourbillonnaire sous la forme : (ν t ) o = αu e δ (2.31) où l indice o indique qu il s agit de la viscosité turbulente dans la région externe de la couche limite ("outer layer"), δ est l épaisseur de déplacement, u e la vitesse à la frontière supérieure de la couche limite et α un coefficient de fermeture. La troisième modification est due à Klebanoff (1954) et concerne la notion d intermittence. Des études expérimentales ont permis d observer que lorsque l on approche la frontière supérieure de la couche limite depuis l intérieur de celle-ci, l écoulement n est pas toujours turbulent : il est parfois laminaire et parfois turbulent ; on dit qu il est intermittent. Pour prendre en compte l effet de l intermittence sur l écoulement, Klebanoff a suggéré de multiplier la viscosité turbulente dans la région externe par la fonction suivante : F kleb (y; δ) = ( ( y δ )6 ) 1 (2.32) où δ désigne toujours l épaisseur de la couche limite. En rassemblant tous ces ingrédients, il a été possible de développer des modèles algébriques de turbulence qui sont encore largement en usage aujourd hui. Modèle de Cebeci-Smith En 1967, Cebeci et Smith ont proposé un modèle de turbulence bi-couche, au sens où il s appuie sur deux expressions distinctes de la viscosité turbulente selon que l on se trouve dans la région interne ou externe de la couche limite. La viscosité turbulente est donnée par : { (νt ) ν t = i, y y m (ν t ) o, y > y m où y m est la plus petite valeur pour laquelle (ν t ) i = (ν t ) o. La valeur de la viscosité turbulente dans les zones interne et externe est calculée comme suit : région interne : région externe : (ν t ) i = l 2 m[( u y )2 + ( v x )2 ] 1/2 avec pour expression des coefficients de fermeture : (ν t ) o = αu e δ F kleb (y; δ) y+ /A+ avec l m = κy(1 e ) κ =.4, α =.168, A + = 26[1 + y dp e/dx ] 1/2 ρu 2 τ

59 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 57 On vérifie facilement que l expression pour la viscosité intérieure découle directement de la formule proposée par Van Driest (2.3) dans laquelle le coefficient A + a été remplacé par un coefficient dépendant du gradient de pression adimensionné afin d améliorer la qualité de la prédiction pour les couches limites se développant en présence d un gradient de pression. L expression pour la viscosité extérieure intègre la forme proposée par Clauser (2.31) et la pondération suggérée par Klebanoff (2.32). Le raccord entre formulation intérieure et formulation extérieure a lieu dans la partie supérieure de la sous-couche inertielle (ou logarithmique). La valeur y m + = y m u τ /ν peut être estimée comme suit : si on suppose que le raccord a lieu dans la zone logarithmique, la fonction d amortissement exponentiel dans la formule de Van Driest est négligeable et comme par ailleurs la loi de paroi nous dit que u u y τ/(κy), on en déduit : (ν t ) i κ 2 y 2 u τ κy κu τy = κνy + Par ailleurs, si l on suppose que le raccord se fait suffisamment loin de la frontière supérieure de la couche limite pour pouvoir prendre la fonction de Klebanoff à peu près égale à 1, la viscosité extérieure se réduit à : (ν t ) o αu e δ = ανre δ En égalant les deux expressions ci-dessus, on en déduit que, au raccord entre les deux couches : y + m α κ Re δ.42re δ Pour une couche limite turbulente typique, Re δ 1 4 de sorte que le raccord s effectue pour y + m 42. La faiblesse majeure du modèle de Cebeci-Smith réside dans l évaluation de l épaisseur de déplacement pour des écoulements décollés : dans certains cas, δ peut devenir négative et n a donc plus aucune signification en tant que longueur de référence. Pour remédier à ce problème, Baldwin et Lomax ont développé (1978) un modèle dans lequel la longueur caractéristique qui apparaît dans l expression de la viscosité extérieure est construire à partir de la vorticité et reste donc bien définie pour la plupart des écoulements. Modèle de Baldwin-Lomax (1978) Comme le modèle de Cebeci-Smith, le modèle de Baldwin-Lomax est un modèle à deux couches avec pour expression de la viscosité turbulente dans la couche intérieure puis extérieure : région interne : (ν t ) i = l 2 m ω avec l m = κy(1 e y+ /A + ) région externe : (ν t ) o = αc cp F wake F kleb (y; y max /C kleb ) F wake = min(y max F max ; C wk y max U 2 diff /F max) F max = 1 κ max y(l m ω ) où y max est la valeur pour laquelle l m ω atteint son maximum ; on choisit ν t = min((ν t ) i, (ν t ) o ). Les coefficients de fermeture sont donnés par : { κ =.4, α =.168, A + = 26 C cp = 1.6, C Kleb =.3, C wk = 1

60 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 58 ω désigne la norme du vecteur tourbillon défini dans le cas 2D général par : ω = v x u y et qui se réduit dans le cas d une couche limite à ω = u. Dans le cas d un écoulement de type y couche limite, U diff est la valeur maximale de la vitesse u dans la couche limite. Un profil typique de viscosité turbulente pour le modèle de Baldwin-Lomax dans une couche limite est présenté sur la figure 2.7. Comme on l a déjà souligné le modèle de Baldwin-Lomax est l un des modèles les plus 5 Modele interieur Modele exterieur Viscosite turbulente µ t Distance a la paroi y + Fig. 2.7 Profil typique de viscosité turbulente générée par le modèle de Baldwin-Lomax appliqué au calcul d une couche limite turbulente supersonique se développant sur une plaque plane. Le nombre de Reynolds local vaut environ utilisés dans les codes d aérodynamique ; sa popularité est due à sa simplicité de mise en oeuvre, avec pour corollaire un faible coût de calcul, ainsi qu à sa bonne robustesse numérique. Il permet d obtenir une bonne qualité de prédiction pour des écoulements avec gradient de pression favorable (couche limite attachée) ou faiblement défavorables. Certaines corrections (Granville en 1987 par exemple) permettent d améliorer les performances prédictives de ce modèle dans le cas d écoulement en présence de gradients de pression. Cependant, les modèles algébriques reposent sur l hypothèse que la turbulence ne dépend que des valeurs locales du champ moyen et n intègrent donc aucun "effet d histoire" de l écoulement : seuls les modèles à équations de transport, qui font dépendre la viscosité turbulente de quantités turbulentes transportées par l écoulement, permettent de rendre compte de cet "effet d histoire" Modèle à 1 équation de transport de Spalart-Allmaras Les premiers modèles à une équation ont été construits autour d une équation d évolution pour l énergie cinétique de la turbulence -comme on le décrira dans la section suivante - ; on construisait alors la viscosité tourbillonnaire à partir de k comme échelle de vitesse caractéristique u t et d une échelle de longueur de type longueur de mélange. On choisit de décrire briévement ici un modèle

61 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 59 souvent utilisé désormais dans le milieu aéronautique et qui s appuie sur une équation de transport écrite directement pour la viscosité tourbillonnaire. Précisément, on définit une viscosité effective ν telle que ν t = α ν, avec α un coefficient prescrit et on construit l équation de transport suivante pour ν : ν t + u ν j = C b1 S ν C x j } {{ } w1 f w ( ν y )2 + 1 σ [ ((ν + nu) ν ν ν + C b2 ) (2.33) x production } {{ } j x j x j x } {{ j } dissipation diffusion avec les coefficients de fermeture et les relations auxiliaires suivantes : χ = ν ν, α = χ 3 χ 3 + c 3 ν 1, S = 2Ω ij Ω ij + γ ν κ 2 y, γ = 1 χ αχ f w = g( 1 + C6 w 3 g 6 + C 6 w 3 ) 1/6, g = r + C w2 (r 6 r), r = ν/( Sκ 2 y 2 ) C b1 =.1355, C b2 =.622, σ = 2 3, κ =.41, C w 1 = C b 1 κ C b 2 2 σ C w2 =.3, C w3 = 2 où Ω ij = 1( u i 2 x j u j x i ) est le tenseur de rotation moyen et y est la distance à la paroi. La condition limite à la paroi est simplement ν = Modèles à 2 équations de transport Modèle k ɛ On cherche en premier lieu à obtenir une équation d évolution exacte pour l énergie cinétique turbulente k. Celle-ci est obtenue à partir de l équation de conservation de la quantité de mouvement, qui est multipliée par la fluctuation de vitesse u i ; l opérateur de moyenne est alors appliqué pour obtenir finalement : k t + u k j = u u i i x u j [( p j x } {{ j x } j ρ + k)u j ] + ν 2 k ν u i u i x } {{ } j x } {{ j x } j x } {{ j } production diffusion turbulente diffusion par agitation moleculaire dissipation Compte tenu de l hypothèse de Boussinesq, le terme de production peut aussi s écrire : ν t ( u i x j + u j x i ) u i x j Les autres termes doivent être modélisés. Le terme de diffusion turbulente est pris sous la forme : ( p ρ + k)u j = ν t σ k k x j (2.34) où σ k est le nombre de Prandtl de l énergie cinétique de la turbulence, supposé constant en général. Enfin, on définit le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente par : ɛ = ν u i x j u i x j

62 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 6 On peut alors écrire l équation d évolution modélisée pour l énergie cinétique turbulente sous la forme : k t + u k j = ν t ( u i + u j ) u i x j x j x i x j }{{} ɛ + ((ν + ν t ) k ) (2.35) x j σ k x j } {{ } dissipation } {{ } production diffusion Un choix possible de modèle à une équation de transport consisterait alors, suivant la proposition de Prandtl / Kolmogorov, à définir la viscosité turbulente par : ν t = C µ k lt où l échelle caractéristique de longueur l t serait donnée par une relation algébrique, par exemple du type longueur de mélange présentée ci-dessus. Par ailleurs, taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente, énergie cinétique turbulente et échelle de longueur caractéristique l t sont reliés par : ɛ = C d k 3/2 l t (2.36) où C d est une constante. L équation de transport vérifiée par k s écrirait alors in fine : k t + u k j = C µ k lt ( u i + u j ) u i k 3/2 C d + ((ν + C µ k lt ) k ) x j x j x i x j l t x j x j et il ne resterait plus qu à déterminer les 3 constantes du modèle (σ k, C µ, C d ). Signalons qu une représentativité convenable de ce modèle est assurée en choisissant C µ = σ k = 1 et C d compris entre.7 et.9. Cependant, comme on l a déjà souligné, un tel modèle n est pas un modèle complet dans la mesure où il nécessite toujours de prescrire l échelle de longueur l t. Dans le cadre du modèle de turbulence k ɛ, on exprime l t à l aide de la définition (2.36) soit : l t = C d k 3/2 et par conséquent la viscosité turbulente est donnée par : ν t = C d C µ k 2 ɛ ɛ = C µ k 2 ɛ σ k (2.37) Il reste naturellement à se doter d une équation d évolution pour le taux de dissipation ɛ. L équation exacte peut être obtenue en appliquant l opérateur ν u i à l équation de quantité de mouvement x j x j pour u i et en prenant la moyenne de l équation ainsi construite. On obtient alors une équation beaucoup plus compliquée que l équation de transport de l énergie cinétique turbulente, qui fait intervenir plusieurs nouvelles corrélations doubles et triples entre les fluctuations de vitesse, de pression et la partie fluctuante du gradient de vitesse. Ces corrélations sont délicates à modéliser et le lien entre l équation d évolution modélisée pour ɛ et l équation exacte peut être considéré comme assez ténu. Le modèle "standard" (dû à Jones-Launder (1972)) s écrit comme suit : ɛ t + u ɛ ɛ j = C ɛ1 x j k ν t( u i + u j ) u i ɛ 2 C ɛ2 + ((ν + ν t ) ɛ ) x j x i x } {{ j k } } {{ } x j σ ɛ x } {{ j } production dissipation diffusion (2.38)

63 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 61 où la viscosité turbulente ν t est donnée en fonction de k et ɛ par la relation (2.37). En résumé, le modèle k ɛ standard s écrit : ν t = C µ k 2 ɛ τij R = ρu i u j = µ t( u i + u j ) 2 x j x i 3 ρkδ ij k = ν t ( u i + u j ) u i ɛ + ((ν + ν t ) k ) x j x j x i x j x j σ k x j k t + u j ɛ t + u ɛ ɛ j = C ɛ1 x j k ν t( u i + u j ) u i ɛ 2 C ɛ2 x j x i x j k + x j ((ν + ν t σ ɛ ) ɛ x j ) (2.39) Les 5 constantes qui apparaissent dans le modèle ont pour valeurs dites standards : C µ =.9, C ɛ1 = 1.44, C ɛ2 = 1.92, σ k = 1., σ ɛ = 1.3. On notera également que les contraintes de Reynolds doivent intégrer le terme 2kδ 3 ij afin de satisfaire k = 1 2 u i u i. Comme nous l avons déjà souligné, le modèle (2.39) est très largement répandu : il se prête assez bien à des procédures de résolution numérique (cf. section 2.3) et permet une bonne prédiction des écoulements cisaillés simples. Cependant, ses faiblesses et limitations sont bien connues : l équation pour ɛ repose sur de nombreuses hypothèses de modélisation qui sont loin d être toutes justifiées, la qualité de la prédiction du modèle peut être médiocre dans le cas d écoulements décollés. Le modèle k ɛ standard présenté ci-dessus n est pas valable au voisinage d une paroi solide : il ne prévoit pas l amortissement des grandeurs turbulentes dans la région de proche paroi ; l application directe de ce modèle à un calcul de couche limite turbulente ne permet d ailleurs pas de reproduire la loi de paroi. Une solution possible pour résoudre ce problème consiste tout simplement à ne pas appliquer ce modèle près d une paroi solide : on applique le modèle de turbulence jusque dans la zone logarithmique puis on raccorde la solution avec le profil "universel" correspondant à la loi de paroi. La mise en oeuvre pratique d une telle stratégie n est bien sûr pas aussi simple : en particulier le choix de la localisation du point de raccord dans la couche limite turbulente peut s avérer délicat et influer largement sur la qualité de la prédiction ; de plus l universalité de la loi de paroi est loin d être assurée en particulier dans le cas d écoulement décollé. L utilisation de loi de paroi revêt cependant un grand intérêt pratique puisque l utilisation de maillages relativement peu raffinés au niveau de la paroi apporte un gain de temps de calcul considérable (voir section 2.3). Alternativement, on peut utiliser des versions dites "bas-reynolds" du modèle k ɛ qui introduisent des fonctions d amortissement de la viscosité turbulente et de certains coefficients des équations de transport ainsi que des termes supplémentaires destinés à améliorer la représentativité du modèle en zone de proche paroi. Précisons que le terme "bas-reynolds" fait référence au nombre de Reynolds de la turbulence défini par : Re t = u tl t ν Ce nombre de Reynolds est égal, à un coefficient de Prandtl de l ordre de l unité près, au rapport entre diffusion turbulente et diffusion moléculaire et devient donc faible lorsque l on approche de la paroi puisque la contrainte visqueuse ν u devient dominante vis-à-vis de la contrainte turbulente y u v dans cette zone. Dans le cas du modèle k ɛ, le nombre de Reynolds turbulent est défini par : Re t = k 2 /(νɛ). Le modèle k ɛ bas-reynolds standard est celui de Launder-Sharma (1974).

64 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 62 Modèle k ω En s inspirant des idées de Kolmogorov (1945), Wilcox a proposé de choisir comme grandeurs permettant de construire la viscosité turbulente l énergie cinétique turbulente k et la dissipation spécifique ɛ ω =. Le modèle de Wilcox (1988) s écrit : C µ C d k ν t = k ω k t + u k j = ν t ( u i + u j ) u i C x j x j x i x µkω + ((ν + σ ν t ) k ) j x j x j ω t + u ω j = α ω x j k ν t( u i + u j ) u i βω 2 + ((ν + σν t ) ω ) x j x i x j x j x j (2.4) et les constantes du modèle sont données par α = 5/9, β = 3/4, C µ =.9, σ = σ =.5. Le modèle k ω présente l avantage, par rapport au modèle k ɛ de ne pas faire intervenir de traitement spécifique à la paroi, même si la prescription de ω en y = est impossible dans la mesure où les équations du modèle montrent que ω 6ν/(βy 2 ) pour y ; dans la pratique, il suffit d imposer cette condition à proximité immédiate de la paroi. De plus, ce modèle offre un bon comportement en présence d un gradient de pression défavorable. Son point faible réside cependant dans sa grande sensibilité à la prescription de la valeur de ω à la frontière externe de la couche limite. Il existe bien d autres modèles à 2 équations, qui présentent chacun leurs avantages et leurs inconvénients tant du point de vue prédiction physique que mise en oeuvre numérique (modèle k ɛ/k ω de Menter, modèle k l de Smith...). On renvoie par exemple aux ouvrages récents de Wilcox [12] et Chassaing [11] pour une synthèse sur ce sujet. Dans cette rapide présentation des modèles de turbulence, on a volontairement mis l accent sur les modèles les plus susceptibles d être rencontrés par l ingénieur. Il faut cependant souligner que l hypothèse de Boussinesq ne constitue qu un choix de modélisation (on parle aussi de l approximation de Boussinesq) et qu il existe des modèles dits aux tensions de Reynolds qui s appuient sur des équations d évolution des contraintes turbulentes ρu i u j ; on parle alors de fermeture au second ordre. La supériorité de ces modèles sur les modèles à deux équations de transport, et en particulier sur le modèle k ɛ a été démontrée dans de nombreux travaux de recherche, mais leur usage reste cependant limité essentiellement pour des questions de coût - pour un écoulement tridimensionnel, un modèle aux tensions de Reynolds ("RSM model" où "RSM" signifie "Reynolds Stress Model") introduit 7 équations de transport supplémentaires (6 pour les composantes du tenseur de Reynolds et typiquement 1 pour la dissipation turbulente) - ; leur mise en oeuvre numérique peut également s avérer délicate (problèmes de robustesse éventuels). Enfin, si l ingénieur utilise de façon quasi-exclusive les équations aux moyennes de Reynolds pour décrire des écoulements turbulents, cela ne signifie pas que cette approche statistique soit la seule envisageable. En réalité, les équations de Navier-Stokes sont tout à fait aptes à décrire des écoulements turbulents sans recourir à la notion d écoulement moyen et de fluctuation ; le problème réside dans le fait que les structures présentes dans un écoulement turbulent peuvent être à la fois de grande taille (par rapport par exemple à la corde d un profil sur lequel se développe l écoulement turbulent considéré) et de taille très réduite ce qui rend nécessaire l utilisation de maillages extrêmement fins pour représenter correctement toutes les échelles de l écoulement ; en fait la finesse de ces maillages est telle qu il n est pas possible à l heure actuelle de mettre en oeuvre de telles simulations pour des écoulements réalistes (dans le domaine aéronautique en tout cas). On reviendra sur ce point en quantifiant le propos précédent à la fin de la section 2.3 suivante.

65 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE Simulation numérique d un écoulement de fluide visqueux Une alternative aux méthodes décrites jusqu ici pour calculer le coefficient de frottement pariétal C f (recherche de solutions auto-similaires, méthodes intégrales) consiste à résoudre de façon approchée les équations de la couche limite (1.8) à l aide d une technique de discrétisation de type différences finies par exemple. Une telle méthode va exploiter le caractère parabolique des équations de la couche limite pour marcher en espace, c est-à-dire déterminer les profils de vitesse de proche en proche le long de l obstacle considéré en avançant dans le sens de l écoulement le long de cet obstacle, à partir d un profil de vitesse initial au point d arrêt qui peut être estimé à partir de la solution de Falkner- Skan pour β = 1 (voir 1.5.2). Cependant, de telles techniques de marche en espace ne peuvent plus s appliquer lorsque la couche limite décolle. Dans ce cas le problème devient mal posé : pour pouvoir continuer le calcul il faudrait connaître un profil de vitesse en aval du point de calcul et remonter l obstacle en suivant l écoulement de retour dans la zone de recirculation qui suit le point de décollement alors que, précisément, ce profil en aval n est pas encore déterminé. On va s intéresser ici, plus généralement, à la résolution du modèle complet des équations de Navier- Stokes ; cette résolution est naturellement plus coûteuse que celle des équations de la couche limite, qui constituent un modèle simplifié, mais a une portée générale Précision de la solution numérique La simulation numérique d un écoulement de fluide visqueux doit naturellement être entreprise en tenant compte des différentes caractéristiques physiques qui ont été présentées dans les paragraphes précédents. Ainsi, il est clair que l échelle très réduite de la zone de couche limite pour des écoulements à grands nombres de Reynolds rend nécessaire un raffinement important du maillage utilisé dans la direction normale à la paroi afin de pouvoir représenter avec suffisamment de précision les phénomènes physiques qui se produisent dans cette couche limite. La taille de la première maille à la paroi, notamment, conditionne dans une large mesure la précision des résultats obtenus pour le coefficient de frottement à la paroi et détermine donc la qualité de la prédiction de la traînée de frottement. Nous considérons, pour illustrer les différents points présentés dans cette section, le cas de la simulation numérique d un écoulement d air, sur une plaque plane de longueur unitaire, à nombre de Mach M =.5 et à nombre de Reynolds basé sur la longueur de la plaque Re = 1 (voir Fig. 2.8 pour une vue d ensemble de cet écoulement). On présente sur la figure 2.9 deux vues des maillages utilisés dans la suite de cette section pour effectuer quelques simulations de l écoulement de plaque plane défini ci-dessus. Ces maillages sont de pas x constant dans la direction de l écoulement ; dans la direction normale à la plaque, le maillage est généré à l aide d une taille de première maille à la paroi et d un pas de progression géométrique qui définit les lignes de maillage successives à mesure que l on s éloigne de la plaque. La première maille du maillage de gauche est 1 fois plus grande que celle du maillage de droite ; les coefficients des progressions géométriques sont adaptés de façon à ce que la frontière supérieure du domaine de calcul se situe à peu près à une distance unité de la paroi solide. Le maillage de gauche sera qualifié de maillage grossier - il contient une vingtaine de points dans la couche limite - tandis que le maillage de droite sera appelé maillage fin - il contient un peu plus d une trentaine de points dans la couche limite -. Notons que, comme il n est pas envisageable de raffiner le maillage dans la direction de l écoulement dans des proportions comparables à ce qui est fait dans la direction transverse, un maillage destiné à la simulation d un écoulement visqueux possède des mailles présentant un rapport d aspect - rapport du côté le plus grand au côté le plus

66 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 64 Entree subsonique X Plaque plane Fig. 2.8 Ecoulement d air en régime subsonique (M =.5) et laminaire (Re = 1) sur une plaque plane. Isovaleurs du nombre de Mach Y.1 Y X X Fig. 2.9 Maillages cartésiens utilisés pour la simulation de l écoulement de plaque plane. A gauche : maillage dit grossier ; à droite : maillage dit fin. Les profils de vitesse obtenus en bout de plaque par résolution des équations de Navier-Stokes à l aide d une extension au cas visqueux du schéma décentré d ordre un (cf. ci-dessous) en utilisant ces maillages grossier et fin sont donnés sur la figure 2.1. On constate naturellement que l utilisation d un maillage bien adapté permet de mieux approcher la solution analytique de référence constituée par la solution de Blasius (solution exacte des équations de la couche limite dans le cas d un écoulement incompressible, M ).

67 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 65 1 solution de reference (Blasius).9 u/u e solution numerique (maillage fin) solution numerique (maillage grossier) η=y/(ν x / u e ) 1/2 Fig. 2.1 Profils de vitesse en x = 1, obtenus par résolution approchée des équations de Navier- Stokes par le schéma de Roe. petit dans une maille donnée - largement supérieur à ce que l on peut rencontrer lorsqu on simule un écoulement de fluide idéal régi par les équations d Euler. Ceci peut entraîner d éventuels problèmes de précision et de robustesse de la simulation numérique. Si on suppose que l on a réussi à générer un maillage a priori satisfaisant, il faut se préoccuper maintenant de l influence du schéma lui-même sur la précision. Il semble clair qu un bon schéma de résolution des équations de Navier-Stokes doit être avant tout un bon schéma de résolution des équations d Euler puisque les effets de la viscosité ne se font vraiment sentir que près d une paroi solide et que partout ailleurs l approximation de fluide parfait reste valable. Un schéma Navier-Stokes se construit donc généralement comme une simple extension d un schéma Euler de base, avec dans tous les cas une discrétisation centrée des termes de diffusion compte tenu de l isotropie des phénomènes de diffusion. Le choix effectué pour discrétiser les équations d Euler devient particulièrement important en termes de précision puisque la dissipation numérique introduite par le schéma se superpose dans le cas d un écoulement visqueux à la dissipation physique : une dissipation numérique trop importante peut donc conduire par exemple à une prédiction tout à fait erronée des phénomènes de frottement et de transfert de chaleur à la paroi d un profil. Considérons, pour simplifier la présentation, une équation modèle des équations de Navier-Stokes, l équation d advection-diffusion 1-D, qui s écrit : w t + a w x }{{} advection = ν 2 w x 2 } {{ } diffusion, ν > (2.41) Un schéma général de résolution de ce problème s écrit donc, compte tenu de ce que nous avons écrit plus haut : w n+1 j wj n = δhe j t x + ν δ2 wj n (2.42) x 2

68 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 66 où on a introduit l opérateur de différence sur une maille : δa j+ 1 2 = a j+1 a j Le terme δhe j x correspond à une discrétisation centrée ou décentrée du terme de transport exprimée à l aide d un flux numérique h E développé dans le cadre des équations d Euler ; le terme δ2 wj n x 2 correspond à une discrétisation centrée du terme de dissipation physique. Les outils d analyse d un tel schéma sont ceux qui ont été présenté précédemment dans le cadre des équations d Euler : sa précision est estimée à l aide de développements de Taylor qui permettent d évaluer l erreur de troncature associée à la méthode ; sa stabilité est étudiée par un calcul de facteur d amplification. Dans le cas de la simulation d un écoulement de fluide visqueux, on s intéresse en outre à l importance relative de la dissipation numérique et de la dissipation physique. Supposons à titre d exemple que le terme de transport de l équation (2.41) soit discrétisé de façon décentrée : a w j w j 1 si a > soit encore aw x x a w j+1 w j x si a < aw x a w j+1 w j 1 a w j+1 2w j + w j 1 = a δµw j 2 x 2 x x a 2 où on a introduit l opérateur de moyenne sur une maille : µa j+ 1 2 Le schéma (2.42) devient alors plus précisément : = 1 2 (a j + a j+1 ) δ 2 w j x w n+1 j w n j t + a δµwn j x On peut réécrire cette expression sous la forme : a δ 2 wj n 2 x = ν δ2 wj n x 2 w n+1 j w n j t + a δµwn j x = ν(1 + R m 2 )δ2 w n j x 2 (2.43) où on a introduit la quantité R m = a x, que l on désigne souvent sous le nom de Reynolds de ν maille puisqu il s agit d une quantité analogue à un nombre de Reynolds basé sur une longueur caractéristique qui est la taille de la maille de calcul. On constate donc que la dissipation physique introduite par la méthode numérique se superpose à la dissipation physique de l écoulement et perturbe l évaluation des grandeurs de type frottement ou transfert de chaleur. On note également que pour diminuer l influence de cette dissipation numérique, il faut diminuer la valeur du Reynolds de maille, c est-à-dire réduire la taille x des cellules du maillage ; cette stratégie conduit cependant à augmenter considérablement le coût d une simulation (cf. paragraphe suivant). Les résultats présentés précédemment sur la Fig. 2.1 illustrent parfaitement l influence de la dissipation numérique : les valeurs prises par le nombre de Reynolds de maille (basé sur la plus petite dimension de la maille, min( x, y)) dans la couche limite sont plus faibles sur

69 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 67 le maillage fin que sur le maillage grossier ; par conséquent, la solution obtenue en maillage grossier doit être plus dissipative que celle obtenue en maillage fin, ce qui est clairement visible sur les profils de vitesse de la Fig Puisqu on a mis en avant le problème posé par la dissipation numérique, une idée consiste à simuler un écoulement de fluide visqueux en utilisant un schéma qui ne possède pas de dissipation numérique. Si on étend le schéma centré simple au problème (2.41), on obtient simplement : w n+1 j w n j t + a δµwn j x Si on calcule le facteur d amplification du schéma (2.44), on obtient : g = 1 2 ν(1 cos(ξ)) iȧsin(ξ) = ν δ2 w n j x 2 (2.44) avec ȧ = a t ν t, ν = et ξ le nombre d onde réduit. En calculant le module de ce facteur d amplification, on peut montrer qu une condition nécessaire et suffisante pour que le schéma (2.44) soit x x 2 stable est : ȧ 2 2 ν 1 (2.45) Cette condition peut aussi s exprimer en fonction du Reynolds de maille R m : ȧ 2 R m 1 ȧ (2.46) On constate donc en premier lieu que la présence d une dissipation physique dans le problème (2.41) stabilise le schéma centré simple - dont nous savons qu il est toujours instable pour un problème d advection pure -. Il est donc possible d utiliser un schéma centré simple du type (2.44) pour résoudre de façon approchée notre problème de couche limite se développant sur une plaque plane. Les profils de vitesse présentés sur la Fig démontrent la très bonne précision des résultats obtenus, liée à l absence de dissipation numérique du schéma utilisé. On peut déduire de la relation (2.46) la condition de stabilité : R m 2 ; celle-ci pourrait nous faire ȧ penser que des calculs peuvent être effectués à l aide d un schéma centré simple sur des maillages qui ne seraient pas nécessairement fins (i.e. pour des valeurs du Reynolds de maille qui ne seraient pas faibles) à condition de choisir ȧ suffisamment petit. En fait les relations de stabilité (2.45) et (2.46) ne nous donnent qu une information partielle sur le comportement du schéma (2.44) ; on peut montrer en effet par d autres raisonnements que pour une valeur du Reynolds de maille R m supérieures à 2, le schéma centré simple (2.44) devient oscillant et donc inutilisable en général - dans la mesure où ces oscillations conduisent à un plantage des codes de calcul, par exemple par évaluation de valeurs de pression négatives -. On peut observer sur la Fig de telles oscillations sur la pression lors du calcul de l écoulement de couche limite à Reynolds 1. Dans la pratique, les écoulements que l on souhaite simuler ont lieu à grand nombre de Reynolds, de sorte que la condition R m < 2 à vérifier pour éviter l apparition d oscillations dans la solution numérique d un schéma centré simple est extrêmement contraignante et empêche la mise en oeuvre de ce schéma. Une façon de lever cette contrainte consiste à introduire une certaine quantité de dissipation numérique pour empêcher l apparition de ces oscillations ; on doit alors doser judicieusement cette dissipation pour préserver la précision de la solution numérique (cf. supra). Le schéma décentré d ordre un (2.43) présente des propriétés qui sont en quelque sorte à l opposé de celles du schéma centré simple (2.44) : la

70 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 68 1 solution de reference (Blasius) solutions numeriques (maillages fin et grossier) u/u e η=y/(ν x / u e ) 1/2 Fig Profils de vitesse en x = 1, obtenus par un schéma centré simple du type (2.44) X Fig Isovaleurs de la pression. Ecoulement calculé par un schéma centré simple du type (2.44).

71 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 69 dissipation de ce schéma est suffisamment importante pour garantir son caractère non-oscillant mais, précisément, cette même viscosité numérique dégrade la qualité des solutions du schéma dans la couche limite. Il y a heureusement place entre les deux approches ci-dessus pour des schémas à la fois suffisamment dissipatifs pour être utilisables dans la pratique et, dans le même temps, suffisamment peu dissipatifs pour générer des solutions numériques de bonne qualité dans la couche limite. Les figures 2.13, 2.14 et 2.15 présentent les résultats obtenus avec un tel schéma décentré d ordre deux développé au Laboratoire SINUMEF de l ENSAM Paris ; on peut ainsi observer la faible dissipation numérique de la méthode sur le profil de vitesse de la Fig mais aussi le caractère suffisant de cette dissipation sur les isobares régulières de la Fig La Fig permet de comparer des caractéristiques de la solution numérique à leurs valeurs théoriques déduites de la solution incompressible de Blasius : C f =.664 Rex et H = On constate qu il y a un accord satisfaisant entre calcul et théorie pour ces grandeurs particulièrement sensibles. Signalons que la valeur du facteur de forme prédite par la simulation est en fait très proche de l expérience puisque, compte tenu des effets de compressibilité (l écoulement a lieu à Mach.5), le facteur de forme réellement observé est légèrement supérieur à sa valeur en incompressible. 1 solution de reference (Blasius) solution numerique (maillage grossier) u/u e η=y/(ν x / u e ) 1/2 Fig Profils de vitesse en x = 1, obtenus par un schéma décentré d ordre deux à faible dissipation numérique Efficacité de la simulation Jusqu ici nous nous sommes intéressés essentiellement à la précision d une simulation numérique. Cependant, si on attache généralement une grande importance à la qualité de la solution obtenue, on souhaite également minimiser l effort de calcul requis pour l obtention d une solution stationnaire. Les propriétés de stabilité des schémas deviennent alors essentielles puisqu elles déterminent le pas de temps maximal admissible pour avancer en temps. En revenant une fois de plus à l équation

72 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE X Fig Isovaleurs de la pression. Ecoulement calculé par un schéma décentré d ordre deux à faible dissipation numérique. C f H Re x Re x Fig Caractéristiques de la solution de couche limite calculée par un schéma décentré d ordre deux à faible dissipation numérique. A gauche : coefficient de frottement correspondant à la solution de Blasius (ligne continue) et coefficient de frottement numérique (points). A droite : facteur de forme correspondant à la solution de Blasius (ligne continue) et facteur de forme numérique (points).

73 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 71 modèle (2.41), on peut définir deux pas de temps caractéristiques des phénomènes de transport et de diffusion : t E = x a t V = x2 2ν Une analyse de stabilité pour des schémas explicites à deux niveaux de temps et trois points en espace conduit à choisir le pas t d avancement en temps du schéma comme : t = CF L min( t E, t V ) (2.47) avec un nombre CFL typiquement inférieur à 1 pour garantir la stabilité du schéma. Compte tenu des caractéristiques des maillages Navier-Stokes - x susceptible d être très petit - et de la présence du carré du pas d espace dans la définition du pas de temps visqueux, on constate que la condition (2.47) est très restrictive! Le recours à des schémas implicites inconditionnellement stables ou présentant des limites de stabilité supérieures aux schémas explicites apparaît donc indispensable si l on souhaite converger vers une solution stationnaire avec des temps de calcul raisonnables. Nous exposons ici le principe de construction d une version implicite d un schéma dans le cas où le schéma explicite initial est l extension visqueuse du schéma décentré d ordre 1, (2.43), que l on peut mettre sous la forme : w exp = ȧδµwj n + ȧ 2 δ2 wj n + νδ 2 wj n (2.48) avec w exp = w n+1 w n l incrément explicite qui détermine l évolution en temps de la solution numérique. L idée à la base d un schéma implicite est l évaluation au nouveau niveau de temps n + 1 des dérivées spatiales de l équation aux dérivées partielles à résoudre ((2.41) dans le cas présent). On écrit donc : w n+1 j wj n = ȧδµw n+1 j + ȧ 2 δ2 w n+1 j + νδ 2 w n+1 j En introduisant l incrément w n = w n+1 w n et en exploitant la linéarité des opérateurs aux différences, on peut écrire l expression ci-dessus sous la forme : w n j + ȧδµ w n j ȧ 2 δ2 w n j νδ 2 w n j = w exp j (2.49) Le schéma (2.49) est dit implicite car il couple les inconnues w n j 1, w n j, w n j+1 ; pour passer de l instant n à l instant n + 1, il faut maintenant écrire la relation (2.49) en chaque point du domaine de calcul, ce qui conduit à un système linéaire de la forme : A ( w n ) = ( w exp ) où ( w n ) désigne le vecteur colonne des incréments inconnus wj n, ( w exp ) désigne le vecteur colonne des incréments explicites w exp j, connus à l instant n puisque calculés à partir des états wj n, et A est la matrice des coefficients des incréments wj n - cette matrice est tridiagonale dans le cas où le schéma explicite de base est à trois points en espace -. La résolution de ce système linéaire par inversion - directe ou itérative - de la matrice A permet alors de calculer les nouveaux états w n+1 = w n + w n. Un schéma implicite est beaucoup plus stable qu un schéma explicite : il suffit pour s en convaincre

74 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 72 de calculer le facteur d amplification du schéma (2.49). Pour alléger la présentation mais aussi pour la rendre plus générale, on écrit le schéma explicite (2.48) sous la forme : w exp j = Kw n j où K rassemble les opérateurs linéaires qui apparaissent dans l expression développée du schéma. Si on note K(ξ, ȧ, ν) la transformée de Fourier de K, le facteur d amplification du schéma explicite (2.48) s écrit simplement g = 1 K. Le schéma implicite (2.49) s écrit de façon immédiate : (1 + K) w n j = w exp j Le facteur d amplification associé à ce schéma vaut donc : g = 1 = Kw n j K 1 + K = K Il est clair que le module de ce facteur d amplification est inférieur à 1 pour tout nombre d onde réduit ξ et pour toutes valeurs des paramètres ȧ et ν. Le schéma implicite (2.49) est donc inconditionnellement stable ; le pas t d avancement en temps peut être choisi comme : t = CF L min( t E, t V ) sans limitation sur la valeur du nombre CFL. On présente sur la Fig l évolution de la norme du résidu - qui traduit en tendant vers zéro la convergence vers un état stationnaire -, pour le calcul de l écoulement de couche limite laminaire sur une plaque plane, par une extension aux équations de Navier-Stokes du schéma explicite (2.48) et du schéma implicite (2.49). La possibilité de choisir dans le cas implicite un pas de temps beaucoup plus grand que dans le cas explicite permet d atteindre l état stationnaire en un nombre d itérations en temps beaucoup plus faible. Pour être tout à fait convaincante, la comparaison entre ces deux méthodes devraient être faite en termes de temps de calcul puisque à chaque itération le schéma implicite requiert la résolution d un système linéaire, opération beaucoup plus coûteuse (surtout en plusieurs dimensions d espace) que l évaluation directe propre au cas explicite. Il est clair cependant que ce surcoût par itération est largement compensé par l énorme accélération en temps offerte par l implicitation (dans le cas présent, il faut compter une centaine d itérations pour converger en implicite alors que plusieurs dizaines de milliers d itérations sont nécessaires en explicite) Simulation d un écoulement turbulent Une fois maîtrisées les subtilités de la simulation d un écoulement laminaire, la simulation d un écoulement turbulent apparaît comme relativement aisée puisque l hypothèse de Boussinesq et la notion de viscosité turbulente permettent de traiter de façon formellement identique les équations de Navier-Stokes et les équations de Navier-Stokes moyennées. Si on se réfère au document du cours intitulé "Equations régissant les écoulements de fluide compressible", on vérifie facilement que les équations de Navier-Stokes compressibles peuvent s écrire sous la forme : w t + f E (w) x + g E (w) y } {{ } flux Euler = f V (w, w x, w y ; µ, µ/p r) x + g V (w, w x, w y ; µ, µ/p r) y } {{ } flux de diffusion où on rappelle que P r désigne le nombre de Prandtl de l air, supposé constant et égal à.72. Compte tenu de l hypothèse de Boussinesq (et d une hypothèse sur l expression du flux de chaleur turbulent qui apparaît dans l équation de l énergie, que nous ne détaillons pas dans ce cours), les équations

75 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE Log(residu) schema explicite (cfl=.3) schema implicite (cfl=1) Iterations Fig Histoire de la convergence du schéma de Roe explicite et du schéma de Roe implicite. de Navier-Stokes aux moyennes de Reynolds s écrivent (en notant w l état moyen du vecteur des variables conservatives) : w t +f E (w) x +g E (w) y = f V (w, w x, w y ; µ+µ t, µ/p r +µ t /P r t ) x +g V (w, w x, w y ; µ+µ t, µ/p r +µ t /P r t ) y où P r t désigne un nombre de Prandtl turbulent, supposé constant et égal à.9. Ainsi, une fois défini un schéma de discrétisation des équations de Navier-Stokes (suivant les principes exposés dans la section précédente), celui-ci peut être appliqué tel quel à la résolution des équations RANS en remplaçant simplement µ par µ + µ t dans les équations de quantité de mouvement et µ/p r par µ/p r + µ t /P r t dans l équation de l énergie. Lorsque µ t est calculée à l aide d un modèle algébrique l effort de calcul supplémentaire reste très limité et les propriétés de robustesse notamment du schéma numérique sont sensiblement les mêmes selon que l on traite un problème laminaire ou turbulent. Remarquons simplement que les modèles algébriques peuvent poser quelques problèmes de mise en oeuvre pratique lors de l évaluation de la distance à la paroi (cas de plusieurs parois dans le cas d écoulements dans des turbomachines par exemple). Signalons également que, en l absence de loi de paroi, la simulation d une couche limite turbulente à grand nombre de Reynolds exige l utilisation de maillages particulièrement fins et que, par conséquent, le recours à des schémas implicites ou à d autres techniques d accélération de la convergence vers l état stationnaire (multigrille) devient tout à fait crucial. Lorsque la viscosité turbulente µ t est calculée à l aide de modèles à équations de transport, des difficultés numériques peuvent surgir : en effet, les équations d évolution des grandeurs caractéristiques turbulentes contiennent non seulement les termes classiques de transport et de diffusion, qui peuvent être discrétisés à l aide des méthodes précédemment étudiées, mais également des termes sources de production et de dissipation, qui peuvent exiger des traitements numériques spécifiques (implicitation) si l on souhaite préserver les propriétés de robustesse de la méthode numérique. Les équations de transport des quantités turbulentes sont souvent résolues de façon découplée par rapport au système d équations régissant le champ moyen, ce qui facilite en particulier la mise en oeuvre des traitements implicites.

76 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 74 Pour conclure ce chapitre, il est important de signaler que si l approche RANS est l approche privilégiée par l ingénieur aérodynamicien à l heure actuelle, car la seule capable d apporter des réponses à des problèmes d écoulement réalistes (i.e. à grand nombre de Reynolds), elle n est pas la seule réponse, loin de là, à la prédiction d un écoulement turbulent. En fait, les équations de Navier-Stokes contiennent a priori toutes les informations nécessaires à la description du mouvement d un fluide, y compris en régime turbulent. Cependant, on peut montrer que pour un écoulement caractérisé par un nombre de Reynolds Re = V l, où V et l sont des échelles de vitesse et de longueur caractérisant ν le mouvement macroscopique et dépendant de la géométrie du problème, le rapport entre les plus grandes échelles de la turbulence (tourbillons de taille caractéristique l) et les plus petites échelles de la turbulence est de l ordre de Re 3/4. Comme par ailleurs un écoulement turbulent est nécessairement 3D le nombre de points nécessaire pour représenter toutes les structures de l écoulement varie comme Re 9/4 ; si l on se rappelle que le Reynolds caractéristique de l écoulement sur un avion est de l ordre de 1 8 on vérifie facilement que le nombre de points nécessaire à ce que l on appelle la simulation numérique directe d un écoulement turbulent (i.e. ne faisant appel à aucun modèle) est de l ordre de 1 18 ce qui est extrêmement loin des possibilités actuelles - les maillages les plus raffinés utilisés pour le moment contiennent au plus quelques dizaines de millions de points...-. La simulation numérique directe ("Direct Numerical Simulation" ou DNS en anglais) est cependant utilisée pour des écoulements turbulents à faibles nombres de Reynolds et fournit ainsi de précieuses bases de données qui peuvent permettre en particulier d étalonner les modèles mis en oeuvre dans le contexte RANS. Enfin, signalons qu une approche "intermédiaire" entre DNS et approche statistique se développe fortement à l heure actuelle : elle consiste à calculer sans modèle les grosses structures de l écoulement (ce qui suppose néanmoins l utilisation de maillages très fins) et à ne modéliser que les petites structures, qui ne sont pas résolues dans le maillage, à l aide de ce que l on appelle un modèle "sousmaille". Cette approche, appelée simulation des grandes échelles ("large-eddy simulation" ou LES) permet d aborder des problèmes industriels (à grand Reynolds) mais pour des temps de calcul qui restent très élevés. De plus, la simulation des grandes échelles exige l utilisation de schémas générant particulièrement peu d erreur numérique, ce qui est difficile à assurer dans des géométries réalistes. L utilisation de l approche statistique reste donc pour le moment une voie privilégiée pour l ingénieur.

77 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE Calcul de la traînée totale d un profil On mesure la distribution de pression sur un profil d aile symétrique de corde c plongé à incidence nulle dans un écoulement à grand nombre de Reynolds, que l on supposera incompressible (la masse volumique ρ peut être supposée constante dans tout le problème) ; on note p, U la pression et la vitesse à l infini amont du profil. Le but du problème est de montrer comment on peut estimer la traînée totale de ce profil à partir de la distribution de pression mesurée à l extrados. Il a été montré dans le document de cours qui récapitule les équations régissant les écoulements de fluides que le coefficient de traînée d un profil peut être calculé à l aide de la formule : C D = D q c = 2 c (Σ) u (1 u )dy (2.5) U U où D désigne la force de traînée totale, q = ρu 2 /2 est la pression dynamique associée à l écoulement générateur et la ligne d intégration (Σ) est une droite verticale située dans une section loin en aval du profil, en laquelle la vitesse extérieure au sillage est revenue à la valeur U (voir la figure récapitulative ci-dessous). u e ue U 8 θ 1 CL θ 2 θ bf sillage u e = U θ 8 8 θ( x) Xc c x bord d attaque bord de fuite ( Σ) On introduit θ s l épaisseur de quantité de mouvement du sillage qui se développe à l aval du profil, définie classiquement par : u θ s = (1 u )dy U U et on déduit de façon immédiate de (2.5) : (sillage) C D = 2 θ c (2.51) où θ désigne l épaisseur de quantité de mouvement du sillage à la station (Σ). 1) L équation qui régit l évolution de θ s dans le sillage du profil est analogue à l équation de Von Kármán pour la couche limite, privée naturellement du terme de frottement pariétal, soit : dθ s dx + (H + 2) θ s u e du e dx = (2.52)

78 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 76 où u e désigne dans ce cas la vitesse extérieure à la zone de sillage (tandis que, sur le profil, u e désignera la vitesse extérieure à la couche limite). Intégrer (2.52) entre le bord de fuite du profil (où l épaisseur de quantité de mouvement initiale du sillage sera notée θ bf et la vitesse u e vaut V bf U ) et la station (Σ) dans le sillage lointain (où on a u e = U ) en supposant le facteur de forme constant, égal à une valeur H s qui sera précisée ultérieurement. En déduire l expression du coefficient de traînée totale en fonction de θ bf, V bf, H s et c. 2) Expliquer pourquoi la pression mesurée sur le profil peut être assimilée à la pression p e à l extérieur de la couche limite qui se développe sur l extrados et l intrados du profil depuis le bord d attaque x =. Montrer que le coefficient de pression C p = p e p q est tel que : où on a introduit la pression dynamique q e = 1 2 ρu2 e. C p = 1 q e q (2.53) On peut utiliser (2.53) pour tracer, à partir des données expérimentales de pression, la distribution q e /q ou u e /U associée au profil. On introduit la vitesse extérieure adimensionnée : V (X) = u e U et l abcisse adimensionnée X = x c. On distingue 2 zones sur la partie supérieure du profil : d une part un segment [, X] le long duquel la vitesse extérieure est constante, V (X) = V ( X) = V et d autre part le segment [ X, 1] le long duquel on a un ralentissement de l écoulement extérieur de V à V bf. La distribution de vitesse extérieure adimensionnée est donc de la forme : V, pour X [, X] V (X) = AX + B, pour X [ X, 1] avec A = V bf V 1 X < et B = V V bf X 1 X. On notera θ 1 = θ( X) l épaisseur de quantité de mouvement en X = X et θ 2 l épaisseur de quantité de mouvement au bord de fuite du profil. L écoulement étant symétrique autour du profil, l épaisseur de quantité de mouvement à l intrados est la même qu à l extrados et on a de façon évidente θ bf = 2θ 2. Le calcul de la traînée totale du profil exige donc la détermination de l épaisseur de quantité de mouvement θ 2. 3) Utiliser la méthode intégrale simple vue en cours pour établir : ( ) m+1 θ1 = c b(m + 1) V m où les notations b, m sont celles du cours et où Re = U c ν. X (2.54) (Re ) m On admettra que l application de la même approche sur le segment [ X, X] avec X 1 permet

79 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 77 d établir : ( ) m+1 ( ) m+1 ( ) α ( ) β θ(x) θ1 V b(m + 1) 1 V = + c c V (X) β(v (X) V (X X) ) (Re ) (V m (X))1 m (1 ) V (X) (2.55) où on a posé α = (H + 2)(m + 1) et β = α m + 1. L application de la formule (2.55) pour X = 1 fournit immédiatement θ 2. 4) On suppose tout d abord que la couche limite qui se développe sur le profil à partir du bord d attaque X = est laminaire sur la totalité du profil et que l écoulement extérieur est tel que V (X) = V = 1.3 de X = à X =.5 et V (X) décroît linéairement de V à V bf =.5 entre X et X = 1. Calculer dans ces conditions la traînée du profil. Note : on appliquera les formules (2.54) et (2.55) avec les valeurs classiques des paramètres b, m et H vues en cours pour le cas laminaire, une vitesse génératrice U = 6 m/s 1, une corde c = 1 m, une viscosité cinématique et une masse volumique de l air constantes et respectivement égales à ν = m 2 /s, ρ = 1.2 kg/m 3. Le facteur de forme moyen H s dans le sillage sera calculé comme la moyenne de sa valeur au bord de fuite, H s = 2.59, et de sa valeur dans le sillage lointain, H s = 1. 5) La couche limite laminaire décolle lorsque le paramètre sans dimension θ2 du e devient supérieur à une certaine valeur C (C =.68 si on utilise la solution auto-semblable de ν dx Falkner-Skan). Montrer en appliquant le critère ci-dessus que la couche limite laminaire sur le profil décolle en une abcisse adimensionnée X d qui ne dépend pas du nombre de Reynolds Re - il n est pas demandé de calculer explicitement X d -. 6) En pratique, pour l écoulement considéré, la couche limite devient turbulente avant d être susceptible de décoller et cette couche limite turbulente reste attachée au profil jusqu au bord de fuite. Montrer, en appliquant le critère de Michel donné en cours, que la transition se produit en une abcisse adimensionnée X t inférieure à X. Note : on pensera à appliquer la formule (2.54) en l adaptant pour estimer θ(x) avec X compris entre et X. 7) Pour simplifier l analyse, on assimile X t à X et on suppose donc que la couche limite est laminaire de X = à X = X et turbulente de X = X au bord de fuite X = 1. Calculer dans ces conditions la traînée totale du profil et commenter le résultat obtenu par rapport à celui de 4). Note : on prendra pour m, b et H les valeurs classiques données en cours pour une couche limite turbulente de plaque plane et pour H s la moyenne de sa valeur approchée au bord de fuite, H s = 1.4,

80 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 78 et de sa valeur dans le sillage lointain H s = 1. Les propriétés du fluide et les conditions génératrices sont bien sûr inchangées par rapport à 4). 1) On cherche à intégrer l équation suivante : dθ s dx + (H + 2) θ s u e du e dx = entre le bord de fuite du profil et la station (Σ) dans le sillage lointain. On suppose H constant, égal à H s. L équation ci-dessus se réécrit de façon immédiate : θ s(x) θ s (x) = (H s + 2) u e(x) u e (x) où a introduit la notation classique φ (x) pour désigner la dérivée première par rapport à x d une fonction φ(x). On intègre facilement cette équation entre le bord de fuite du profil où θ s = θ bf, u e = V bf U et la station (Σ) où θ s = θ et u e = U : (Σ) (Σ) θ s(x) (bf) θ s (x) dx = (H u s + 2) e(x) (bf) u e (x) dx [ln(θ s (x))] (Σ) (bf) = (H s + 2) [ln(u e )] (Σ) (bf) ln( θ s(σ) θ s (bf) ) = (H s + 2) ln( u e(σ) u e (bf) ) Comme θ s (Σ) = θ, θ s (bf) = θ bf et u e (Σ) = U, u e (bf) = V bf U, on en tire : U ln( θ ) = (H s + 2) ln( ) = (H s + 2)ln(V bf ) θ bf V bf U soit finalement, par application de la fonction exponentielle aux membres de gauche et de droite de cette égalité : θ = θ bf V (H s+2) bf. En injectant cette expression de θ dans la formule (2) de l énoncé, on obtient : C D = 2 θ bf c V (Hs+2) bf (2.56) qui constitue bien une expression du coefficient de traînée totale du profil en fonction de l épaisseur de quantité de mouvement au bord de fuite du profil θ bf, de la corde c du profil, du facteur de forme H s et de la vitesse au bord de fuite du profil V bf. La formule (2.56) pour le calcul de la traînée est due à Squire et Young. Pour un profil symétrique placé à incidence nulle, on a de façon évidente θ bf = 2θ 2 où θ 2 désigne l épaisseur de quantité de mouvement au niveau du bord de fuite, à l extrados du profil (égal à sa valeur à l intrados) ; la formule (2.56) peut donc aussi s écrire : C D = 4 θ 2 c V (H s+2) bf (2.57) et on constate que l estimation de la traînée du profil suppose la détermination de l épaisseur de quantité de mouvement de la couche limite qui se développe sur le profil. Comme on l a vu en cours, il est possible d estimer cette épaisseur à partir de l équation intégrale de Von Kármán et plus particulièrement d une formulation dite "méthode intégrale simple", sous réserve bien sûr de connaître la distribution de vitesse à l extérieur de la couche limite le long du profil.

81 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 79 2) Dans la mesure où, dans l approximation de couche limite, la pression ne varie pas à travers la couche limite, la pression mesurée à la paroi en une section x = x du profil peut être assimilée à la pression à l extérieur de la couche limite en cette même section soit p e (x ). On peut appliquer la relation de Bernoulli dans la région extérieure à la couche limite, où les effets visqueux sont néligeables, et écrire ainsi : p e ρu2 e = p ρu2 soit p e + q e = p + q et par conséquent (p e p )/q = 1 q e /q soit encore C p = 1 q e q. La question 2) nous a donc permis d établir qu il est possible de connaître la distribution de vitesse extérieure u e à partir de mesures de pression pariétales. On va se donner maintenant une distribution de vitesse extérieure déduite de mesures expérimentales et appliquer la méthode intégrale simple vue en cours pour estimer l épaisseur de quantité de mouvement θ 2 puis la traînée du profil. 3) Puisque la vitesse extérieure u e est constante le long du profil pour x compris entre et c X, on peut appliquer une forme simplifiée de la méthode intégrale simple qui stipule que, en l absence de gradient de pression extérieure (i.e. pour une vitesse extérieure constante) l épaisseur de quantité de mouvement d une couche limite se développant depuis l abcisse x = suit la loi : θ(x) m+1 = b(m + 1) x 1 (u e /ν) m dt où b et m sont des constantes dont les valeurs seront précisées par la suite. Dans le cas présent, on se place en x = X c où θ(x) = θ 1 et on écrit : X c θ1 m+1 1 = b(m + 1) (U V dt = b(m + 1) Xc /ν) m (U V. /ν) m En divisant l égalité ci-dessus par c m+1 et en faisant apparaître le nombre de Reynolds Re = U c/ν, on obtient finalement : ( θ 1 b(m + 1) X c )m+1 = (2.58) V m (Re ) m On admet ensuite la formule (6) de l énoncé (établie par application de la méthode intégrale simple pour la distribution de vitesse extérieure donnée le long du profil) que l on applique pour X = 1 (θ(1) = θ 2,V (1) = V bf ) : ( ) m+1 θ2 = c ( ) m+1 ( ) α θ1 V + c V bf b(m + 1) β(v bf V ) ( 1 V (1 X) (Re ) (V bf) 1 m (1 m V bf ) β ) (2.59) Il est clair maintenant que l application de la formule (2.58) permet d estimer θ 1 ; une fois θ 1 connu, il est alors possible d appliquer la formule (2.59) pour en déduire θ 2. 4) On suppose dans un premier temps que la couche limite qui se développe à l extrados est entièrement laminaire ; pour une couche limite laminaire les valeurs classiques des paramètres b, m et H qui apparaissent dans les formules (2.58) et (2.59) sont m = 1, b =.225, H = Par ailleurs, la distribution de vitesse extérieure est telle que V = 1.3, X =.5 et Vbf =.5 (on rappelle que ces

82 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 8 nombres sont tous sans dimension puisque les vitesses sont normalisées par la vitesse à l infini amont U et les abcisses le long du profil par la corde c). Un premier calcul immédiat permet d établir que Re = U c = ; on peut noter au passage ν qu il est peu probable que le régime laminaire puisse être préservé tout le long du profil si le nombre de Reynolds basé sur la corde et les conditions génératrices atteint cette valeur de quelques millions. Un second calcul, tout aussi immédiat, fournit (θ 1 /c) 2 =.1696/Re = soit θ 1 = m. Le calcul de θ 2 par application de la formule (2.59) n est pas plus difficile mais demande simplement un peu d attention pour éviter une "bête" erreur de calcul. Puisque α = 9.182, β = α = 9.182, on en déduit : ( θ 2 c )2 = ( θ 1 c )2 ( ) (.5 1.3).5 1 (1 (1 ( 1.3 Re.5 )9.182 )) soit (θ 2 /c) 2 = = ou encore θ 2 = m. Re Re Par définition du coefficient de traînée totale, la traînée totale est obtenue en écrivant D = q cc D avec q = 1ρ 2 U 2 et C D donné par (2.57) ; dans la formule de C D on connaît θ 2 /c qui vient d être calculé, on sait également que V bf =.5 et, suivant la suggestion de l énoncé, la valeur supposée constante du facteur de forme du sillage est prise égale à H s = 1 ( ) = On obtient ainsi 2 C D = et D = = N. 5) Après ce premier calcul de base, on se préoccupe de décrire de façon plus réaliste l évolution de la couche limite le long du profil. Une première interrogation concerne l éventuel décollement de la couche limite laminaire le long du profil. La question posée vise ici simplement à une analyse qualitative d un critère de décollement classique : le décollement d une couche limite laminaire est supposé se produire lorsque θ2 du e ν dx C où C est une constante sans dimension (déduite par exemple de l analyse de la solution semblable de Falkner-Skan : C =.68). Puisque la couche limite est susceptible de décoller dans une zone de l écoulement où il existe un gradient de pression adverse ou défavorable, i.e. un ralentissement de l écoulement, cela signifie dans le cas présent que le décollement est susceptible de se produire pour X [ X, 1]. On constate que la formule (2.59) combinée avec (2.58) nous donne (m = 1 dans le cas laminaire) : ( θ(x) c Or, le critère de décollement s écrit en variables adimensionnées : ) 2 = C(X) Re. (2.6) θ2 du e ν dx = (θ c )2 c2 ν U dv c dx = (θ c )2 V (X)Re C soit, compte tenu de (2.6), C(X)V (X) C. L abcisse de décollement X d fournie par ce critère est donc telle que C(X d )V (X d ) = C et est bien indépendante du nombre de Reynolds Re. 6) On doit appliquer ici le critère de Michel pour évaluer l abcisse de transition du régime laminaire au régime turbulent pour la couche limite qui se développe depuis le bord d attaque du profil. On rappelle que le critère de Michel stipule que l abcisse de transition x t satisfait : Re θt = 2.9(Re xt ).4 (2.61)

83 CHAPITRE 2. OUTILS D ANALYSE DE LA COUCHE LIMITE 81 où Reθ t = u e θ(x t )/ν et Re xt = u e x t /ν. Pour exploiter le critère (2.61) il est nécessaire de disposer d une loi de variation pour l épaisseur de quantité de mouvement en fonction de l abcisse x le long du profil. Puisque l énoncé suggère de rechercher l abcisse de transition X t = x t /c dans la partie du profil comprise entre et X, cela signifie que la variation θ(x) est déduite de façon immédiate de l application de la méthode intégrale simple pour une couche limite avec vitesse extérieure constante, comme vu précédemment à la question 3). On peut donc écrire : soit encore ( θ c )m+1 = θ(x) m+1 = b(m + 1) x b(m + 1) X dt Re m V m (T ) 1 (u e /ν) m dt = b(m + 1) Re m puisque V (X) = V pour X [, X]. Pour m = 1 et b =.225, on en tire (θ(x)/c) 2 =.441 X/(Re V ). Le critère (2.61) peut être réécrit en faisant apparaître les quantités Re et V ; on obtient de façon immédiate : (Re V ).6 ( θ t c ) = 2.9X.4 t soit après substitution de θ t /c par son expression en fonction de X t : (Re V ).1.441Xt.5 = 2.9Xt.4 X V m ou encore soit X t =.485. X t = (2.9/.441) 1 (Re V )

84 Chapitre 3 Couche limite et performance aérodynamique 3.1 Couche limite et traînée L un des principaux objectifs des aérodynamiciens est de diminuer le coefficient de frottement de l air sur les parois afin de réduire la traînée des aéronefs. A titre d exemple, sur un Airbus, 45 % de la résistance aérodynamique que doit équilibrer la poussée des réacteurs en vol de croisière provient des forces de frottement. On a souligné dans les paragraphes précédents que le coefficient de frottement d une couche limite turbulente est bien plus élevé que celui d une couche limite laminaire à Reynolds comparable. Par conséquent, l une des principales préoccupations des aérodynamiciens est de préserver dans la plus large mesure possible la laminarité de l écoulement. On a vu également que la transition de la couche limite vers la turbulence correspondait à un épaississement de la couche limite laminaire induit par une perte de quantité de mouvement dans les zones de faible vitesse (proche paroi), qui peut être fortement accentuée par l existence d un gradient de pression positif défavorable. Les techniques destinées à préserver la laminarité d un écoulement visent donc à limiter au maximum la présence de tels gradients de pression et à assurer un apport suffisant de quantité de mouvement, par des moyens passifs ou actifs. On peut distinguer trois grands types de techniques : mise au point de profils laminaires. La forme de ces profils d aile est optimisée de façon à conduire à l existence de gradients de pression favorables qui permettent à l écoulement de rester laminaire sur une grande profondeur de l aile. Cette technique purement passive pose des problèmes de conception - trouver théoriquement de tels profils n est pas trivial - et de réalisation : l écoulement sur un tel profil ne restera en effet laminaire que si l état de surface de la paroi est sans défaut ; dans le cas contraire, la présence d irrégularités entraînera une transition rapide vers la turbulence - on peut mentionner de ce point de vue l apport des matériaux composites qui rendent possible une telle qualité d état de surface -. contrôle de l écoulement laminaire par aspiration de la couche limite. En aspirant l écoulement (selon un débit fonction de la configuration de vol) par de fines fentes ou des trous de faible diamètre on maintient la couche limite d épaisseur quasi-constante ce qui, de fait, évite sa transition vers la turbulence. Cette technique active pose un problème théorique de bilan d énergie : est-il possible d assurer un gain de propulsion par limitation du frottement à compenser par la poussée qui soit supérieur à l énergie consommée par le système d aspiration? En outre, sa réalisation technologique est délicate : les systèmes de fentes ou de trous d aspiration constituent des ensembles fragiles, dont le bon fonctionnement peut être facilement compromis. 82

85 CHAPITRE 3. COUCHE LIMITE ET PERFORMANCE AÉRODYNAMIQUE 83 il semble qu à l heure actuelle la voie la plus prometteuse soit celle d une technique hybride, basée sur le contrôle par aspiration dans la partie avant du profil seulement puis sur une laminarisation naturelle de l écoulement. Le point de transition qui apparaît parfois à.1c seulement du bord d attaque (c désigne la corde du profil) peut être ainsi reculé à 5 ou 6% de la corde. Ces techniques de contrôle de la couche limite peuvent s appliquer au niveau des ailes d un avion mais aussi de la dérive ou des nacelles propulsives. Ainsi, des expériences menées sur une dérive d Airbus A32 ont montré qu une aspiration sur 2% des cordes au niveau du bord d attaque couplée à une géométrie favorable des profils permettait de préserver la laminarité de l écoulement sur 5% des cordes, d où une réduction de 35% de la traînée de la dérive, soit un gain - non-négligeable - de 1.5% sur la traînée globale. Signalons enfin qu une réduction de frottement peut également être envisagée au niveau d une couche limite turbulente en modifiant les structures tourbillonnaires caractéristiques d un tel écoulement : un dispositif de type LEBU (acronyme pour Large Eddy Break Up) vise par exemple à casser les plus gros tourbillons pour réduire le frottement turbulent. On trouvera dans le récent ouvrage de Gad-el-Hak [13] une synthèse sur le contrôle des écoulements qui met notamment l accent sur les techniques de contrôle de la transition et du décollement et de réduction de traînée. 3.2 Couche limite et portance La portance d une aile est classiquement définie par l expression : L = 1 2 ρu 2 SC L (α) où ρ et U désignent respectivement la masse volumique et la vitesse de l air incident, S est la surface de l aile, α l angle d incidence de l écoulement amont et C L le coefficient de portance, supposé essentiellement fonction de α. Si l on souhaite obtenir une diminution des longueurs de manoeuvre lors des phases d atterrissage ou de décollage il faut nécessairement diminuer la vitesse U. Pour conserver assez de portance dans ces conditions il faut donc augmenter le coefficient de portance ; on sait que ce coefficient de portance augmente (linéairement) avec l angle d incidence (aux faibles valeurs de α) : ainsi, quand U diminue, α augmente pour préserver le niveau de la portance L. Mais, nous avons vu que pour une valeur de l angle d incidence supérieure à une valeur critique, la couche limite décolle, entraînant le phénomène de décrochage, i.e. une chute brutale du coefficient de portance C L et une augmentation du coefficient de traînée C D. Garantir une portance suffisante dans les phases de manoeuvre exige donc de retarder au maximum ce phénomène de décrochage. Les dispositifs qui permettent de repousser les limites standards de la portance sont qualifiés d hypersustentateurs ; on distingue essentiellement : les becs de bord d attaque qui permettent d augmenter la valeur de l angle de décrochage (voir Fig. 3.1). Le flux d air provenant de l intrados est accéléré entre le bec et le profil puis injecté tangentiellement sur l extrados ; ce flux permet de rafraîchir la couche limite en accélérant la vitesse de l écoulement dans la zone de proche paroi, ce qui diminue d autant l effet d un gradient de pression défavorable et rend donc la couche limite moins susceptible de décoller. les volets de bord de fuite qui permettent d augmenter le coefficient de portance pour une valeur donnée de l incidence. Ces volets opèrent un rafraîchissement de la couche limite au niveau du bord de fuite de l extrados par injection d un flux d air accéléré provenant de l intrados d une part, augmentent

86 CHAPITRE 3. COUCHE LIMITE ET PERFORMANCE AÉRODYNAMIQUE 84 la cambrure du profil et dévient vers le bas la vitesse de l écoulement sur la partie arrière de l aile d autre part, tous effets contribuant à une augmentation de la portance (cf. Fig.3.1). On peut aussi mettre en oeuvre les techniques d aspiration (ou de soufflage) précédemment évoquées : elles repoussent le décollement de la couche limite par apport de quantité de mouvement ou limitation des zones de faible vitesse (cf. Fig. 3.2 et 3.3). Signalons enfin que l on peut, une fois n est pas coutume, exploiter une bonne propriété de la turbulence en plaçant sur l aile des générateurs de tourbillons qui vont provoquer la transition de la couche limite laminaire très sensible aux gradients de pression adverses vers une couche limite turbulente beaucoup moins susceptible de décoller (cf. Fig. 3.4). Fig. 3.1 Dispositifs hypersustentateurs du type becs de bord d attaque et volets de bord de fuite. Ce schéma est extrait de [8].

T.P. FLUENT. Cours Mécanique des Fluides. 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY

T.P. FLUENT. Cours Mécanique des Fluides. 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY T.P. FLUENT Cours Mécanique des Fluides 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY 2 Table des matières 1 Choc stationnaire dans un tube à choc 7 1.1 Introduction....................................... 7 1.2 Description.......................................

Plus en détail

3ème séance de Mécanique des fluides. Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait. 2 Écoulements potentiels

3ème séance de Mécanique des fluides. Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait. 2 Écoulements potentiels 3ème séance de Mécanique des fluides Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait 1 Généralités 1.1 Introduction 1.2 Équation d Euler 1.3 Premier théorème de Bernoulli 1.4

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Rapport du projet CFD 2010

Rapport du projet CFD 2010 ISAE-ENSICA Rapport du projet CFD 2010 Notice explicative des différents calculs effectués sous Fluent, Xfoil et Javafoil Tanguy Kervern 19/02/2010 Comparaison des performances de différents logiciels

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles

FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET Professeur Émérite à l Université de Reims Seconde édition revue et augmentée TABLE DES MATIÈRES PRÉSENTATION Préface de la 1 ère édition Prologue

Plus en détail

Instabilités bi- et tridimensionnelles dans une couche limite décollée compressible subsonique

Instabilités bi- et tridimensionnelles dans une couche limite décollée compressible subsonique Instabilités bi- et tridimensionnelles dans une couche limite décollée compressible subsonique M. Merle a,b, U. Ehrenstein b, J-C. Robinet a a. Laboratoire DynFluid - Arts et Métiers ParisTech, 151 Boulevard

Plus en détail

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées.

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. 1 Ce sujet aborde le phénomène d instabilité dans des systèmes dynamiques

Plus en détail

Premier principe de la thermodynamique - conservation de l énergie

Premier principe de la thermodynamique - conservation de l énergie Chapitre 5 Premier principe de la thermodynamique - conservation de l énergie 5.1 Bilan d énergie 5.1.1 Énergie totale d un système fermé L énergie totale E T d un système thermodynamique fermé de masse

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Les Conditions aux limites

Les Conditions aux limites Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite

Plus en détail

Chapitre 10 : Mécanique des fluides

Chapitre 10 : Mécanique des fluides Chapitre 10 : Mécanique des fluides 1. Pression hydrostatique Les fluides regroupent gaz et liquides. En général, on considère des fluides incompressibles. Ce n est plus le cas en thermodynamique. Un objet

Plus en détail

LES LOIS PHYSIQUES APPLIQUÉES AUX DEUX-ROUES : 1. LA FORCE DE GUIDAGE

LES LOIS PHYSIQUES APPLIQUÉES AUX DEUX-ROUES : 1. LA FORCE DE GUIDAGE LES LOIS PHYSIQUES APPLIQUÉES AUX DEUX-ROUES : 1. LA FORCE DE GUIDAGE 2. L EFFET GYROSCOPIQUE Les lois physiques qui régissent le mouvement des véhicules terrestres sont des lois universelles qui s appliquent

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Formation à la C F D Computational Fluid Dynamics. Formation à la CFD, Ph Parnaudeau

Formation à la C F D Computational Fluid Dynamics. Formation à la CFD, Ph Parnaudeau Formation à la C F D Computational Fluid Dynamics Formation à la CFD, Ph Parnaudeau 1 Qu est-ce que la CFD? La simulation numérique d un écoulement fluide Considérer à présent comme une alternative «raisonnable»

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Calcul des pertes de pression et dimensionnement des conduits de ventilation

Calcul des pertes de pression et dimensionnement des conduits de ventilation Calcul des pertes de pression et dimensionnement des conduits de ventilation Applications résidentielles Christophe Delmotte, ir Laboratoire Qualité de l Air et Ventilation CSTC - Centre Scientifique et

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

3. Artefacts permettant la mesure indirecte du débit

3. Artefacts permettant la mesure indirecte du débit P-14V1 MÉTHODE DE MESURE DU DÉBIT D UN EFFLUENT INDUSTRIEL EN CANALISATIONS OUVERTES OU NON EN CHARGE 1. Domaine d application Cette méthode réglemente la mesure du débit d un effluent industriel en canalisations

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique

ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique 1 ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. ALLAIRE 28 Janvier 2014 CHAPITRE I Analyse numérique: amphis 1 à 12. Optimisation: amphis

Plus en détail

Modélisation 3D par le modèle de turbulence k-ε standard de la position de la tête sur la force de résistance rencontrée par les nageurs.

Modélisation 3D par le modèle de turbulence k-ε standard de la position de la tête sur la force de résistance rencontrée par les nageurs. Modélisation 3D par le modèle de turbulence k-ε standard de la position de la tête sur la force de résistance rencontrée par les nageurs. H. ZAÏDI a, S. FOHANNO a, R. TAÏAR b, G. POLIDORI a a Laboratoire

Plus en détail

1. Notions d aérodynamique

1. Notions d aérodynamique Nous constatâmes facilement que le vent s infléchissait autour de l île de manière à converger vers la zone de calme ; la partie supérieure de la colonne ascendante était, en quelque sorte, dessinée dans

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Initiation à la Mécanique des Fluides. Mr. Zoubir HAMIDI

Initiation à la Mécanique des Fluides. Mr. Zoubir HAMIDI Initiation à la Mécanique des Fluides Mr. Zoubir HAMIDI Chapitre I : Introduction à la mécanique des fluides 1 Introduction La mécanique des fluides(mdf) a pour objet l étude du comportement des fluides

Plus en détail

Jean-Marc Schaffner Ateliers SCHAFFNER. Laure Delaporte ConstruirAcier. Jérémy Trouart Union des Métalliers

Jean-Marc Schaffner Ateliers SCHAFFNER. Laure Delaporte ConstruirAcier. Jérémy Trouart Union des Métalliers Jean-Marc Schaffner Ateliers SCHAFFNER Laure Delaporte ConstruirAcier Jérémy Trouart Union des Métalliers Jean-Marc SCHAFFNER des Ateliers SCHAFFNER chef de file du GT4 Jérémy TROUART de l Union des Métalliers

Plus en détail

Chapitre 2 Les ondes progressives périodiques

Chapitre 2 Les ondes progressives périodiques DERNIÈRE IMPRESSION LE er août 203 à 7:04 Chapitre 2 Les ondes progressives périodiques Table des matières Onde périodique 2 2 Les ondes sinusoïdales 3 3 Les ondes acoustiques 4 3. Les sons audibles.............................

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

UNITÉ DE PROGRAMME : S9UP1 Modélisation de la turbulence

UNITÉ DE PROGRAMME : S9UP1 Modélisation de la turbulence UNITÉ DE PROGRAMME : S9UP1 Modélisation de la turbulence Modélisation de la turbulence Auteur : Yann MARCHESSE Département : Mécanique et Énergétique Édition : Année universitaire 2009-2010 ÉCOLE CATHOLIQUE

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

Analyse des Systèmes Asservis

Analyse des Systèmes Asservis Analyse des Systèmes Asservis Après quelques rappels, nous verrons comment évaluer deux des caractéristiques principales d'un système asservi : Stabilité et Précision. Si ces caractéristiques ne sont pas

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Exemple d application en CFD : Coefficient de traînée d un cylindre

Exemple d application en CFD : Coefficient de traînée d un cylindre Exemple d application en CFD : Coefficient de traînée d un cylindre 1 Démarche générale Avec Gambit Création d une géométrie Maillage Définition des conditions aux limites Avec Fluent 3D Choix des équations

Plus en détail

G.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction

G.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction DNS Sujet Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3 Réfraction I. Préliminaires 1. Rappeler la valeur et l'unité de la perméabilité magnétique du vide µ 0. Donner

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

Objectifs du cours Modélisation de la Turbulence M2 - EE

Objectifs du cours Modélisation de la Turbulence M2 - EE Objectifs du cours Modélisation de la Turbulence M2 - EE Gomez Thomas Institut Jean Le Rond d Alembert Caractériser et classifier les écoulements turbulents. Introduire les outils mathématiques. Introduire

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Le turbo met les gaz. Les turbines en équation

Le turbo met les gaz. Les turbines en équation Le turbo met les gaz Les turbines en équation KWOK-KAI SO, BENT PHILLIPSEN, MAGNUS FISCHER La mécanique des fluides numérique CFD (Computational Fluid Dynamics) est aujourd hui un outil abouti de conception

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre. www.hometownroofingcontractors.com/blog/9-reasons-diy-rednecks-should-never-fix-their-own-roof

Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre. www.hometownroofingcontractors.com/blog/9-reasons-diy-rednecks-should-never-fix-their-own-roof Une échelle est appuyée sur un mur. S il n y a que la friction statique avec le sol, quel est l angle minimum possible entre le sol et l échelle pour que l échelle ne glisse pas et tombe au sol? www.hometownroofingcontractors.com/blog/9-reasons-diy-rednecks-should-never-fix-their-own-roof

Plus en détail

Repérage d un point - Vitesse et

Repérage d un point - Vitesse et PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Chapitre 7: Dynamique des fluides

Chapitre 7: Dynamique des fluides Chapitre 7: Dynamique des fluides But du chapitre: comprendre les principes qui permettent de décrire la circulation sanguine. Ceci revient à étudier la manière dont les fluides circulent dans les tuyaux.

Plus en détail

DÉVERSEMENT ÉLASTIQUE D UNE POUTRE À SECTION BI-SYMÉTRIQUE SOUMISE À DES MOMENTS D EXTRÉMITÉ ET UNE CHARGE RÉPARTIE OU CONCENTRÉE

DÉVERSEMENT ÉLASTIQUE D UNE POUTRE À SECTION BI-SYMÉTRIQUE SOUMISE À DES MOMENTS D EXTRÉMITÉ ET UNE CHARGE RÉPARTIE OU CONCENTRÉE Revue Construction étallique Référence DÉVERSEENT ÉLASTIQUE D UNE POUTRE À SECTION BI-SYÉTRIQUE SOUISE À DES OENTS D EXTRÉITÉ ET UNE CHARGE RÉPARTIE OU CONCENTRÉE par Y. GALÉA 1 1. INTRODUCTION Que ce

Plus en détail

Repérage de l artillerie par le son.

Repérage de l artillerie par le son. Repérage de l artillerie par le son. Le repérage par le son permet de situer avec précision une batterie ennemie, qu elle soit ou non bien dissimulée. Le son se propage avec une vitesse sensiblement constante,

Plus en détail

THÈSE DE DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE. Spécialité : Mécanique

THÈSE DE DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE. Spécialité : Mécanique THÈSE DE DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Spécialité : Mécanique Ecole doctorale Sciences mécaniques, acoustique, électronique et robotique de Paris Présentée par Thomas ROUILLON Pour obtenir

Plus en détail

Fiche de lecture du projet de fin d étude

Fiche de lecture du projet de fin d étude GENIE CLIMATIQUE ET ENERGETIQUE Fiche de lecture du projet de fin d étude Analyse du phénomène de condensation sur l aluminium Par Marine SIRE Tuteurs : J.C. SICK Manager du Kawneer Innovation Center &

Plus en détail

HYDRAULIQUE GENERALE

HYDRAULIQUE GENERALE ECOLE NATIONALE DU GENIE DE L EAU ET DE L ENVIRONNEMENT DE STRASBOURG HYDRAULIQUE GENERALE Réservoir d eau potable de Strasbourg FORMATION CES/MASTERE Eau potable et assainissement Avant propos L hydraulique

Plus en détail

Figure 3.1- Lancement du Gambit

Figure 3.1- Lancement du Gambit 3.1. Introduction Le logiciel Gambit est un mailleur 2D/3D; pré-processeur qui permet de mailler des domaines de géométrie d un problème de CFD (Computational Fluid Dynamics).Il génère des fichiers*.msh

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Caractéristiques des ondes

Caractéristiques des ondes Caractéristiques des ondes Chapitre Activités 1 Ondes progressives à une dimension (p 38) A Analyse qualitative d une onde b Fin de la Début de la 1 L onde est progressive puisque la perturbation se déplace

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

APPORT DE LA CFD DANS LA PREDICTION DE LA DISPERSION D UN POLLUANT DANS UN ECOULEMENT A SURFACE LIBRE

APPORT DE LA CFD DANS LA PREDICTION DE LA DISPERSION D UN POLLUANT DANS UN ECOULEMENT A SURFACE LIBRE 19-21 Mars, 212, Hammamet, Tunisie APPORT DE LA CFD DANS LA PREDICTION DE LA DISPERSION D UN POLLUANT DANS UN ECOULEMENT A SURFACE LIBRE NAWEL KHALDI 1 ; HATEM MHIRI 1, 2 ; PHILIPPE BOURNOT 3 1. Unité

Plus en détail

Rupture et plasticité

Rupture et plasticité Rupture et plasticité Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 25 novembre 2009 1 / 44 Rupture et plasticité : plan du cours Comportements

Plus en détail

EPFL 2010. TP n 3 Essai oedomètrique. Moncef Radi Sehaqui Hamza - Nguyen Ha-Phong - Ilias Nafaï Weil Florian

EPFL 2010. TP n 3 Essai oedomètrique. Moncef Radi Sehaqui Hamza - Nguyen Ha-Phong - Ilias Nafaï Weil Florian 1 EPFL 2010 Moncef Radi Sehaqui Hamza - Nguyen Ha-Phong - Ilia Nafaï Weil Florian 11 Table de matière Ø Introduction 3 Ø Objectif 3 Ø Déroulement de l eai 4 Ø Exécution de deux palier de charge 6 Ø Calcul

Plus en détail

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007 Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

mesure des débits et des volumes dérivés par les canaux gravitaires

mesure des débits et des volumes dérivés par les canaux gravitaires mesures limnimétriques 2009 Depuis la loi sur l Eau de 1992, précisée par celle de 2006, tous les volumes d eau prélevés dans le milieu naturel doivent être mesurés, et ce, pour permettre une meilleure

Plus en détail

Cours IV Mise en orbite

Cours IV Mise en orbite Introduction au vol spatial Cours IV Mise en orbite If you don t know where you re going, you ll probably end up somewhere else. Yogi Berra, NY Yankees catcher v1.2.8 by-sa Olivier Cleynen Introduction

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail

Panneau solaire ALDEN

Panneau solaire ALDEN SOMMAIRE 1. Présentation... 1.1. Mise en situation... 1.2. Analyse du besoin... 4 1.. Problématique... 4 1.4. Expression du besoin... 5 1.5. Validation du besoin... 5 2. Analyse fonctionnelle... 2.1. Définition

Plus en détail

Manuel d'utilisation de la maquette

Manuel d'utilisation de la maquette Manuel d'utilisation de la maquette PANNEAU SOLAIRE AUTO-PILOTE Enseignement au lycée Article Code Panneau solaire auto-piloté 14740 Document non contractuel L'énergie solaire L'énergie solaire est l'énergie

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Propriétés thermiques d un mélangeur chaotique statique

Propriétés thermiques d un mélangeur chaotique statique Propriétés thermiques d un mélangeur chaotique statique Mathieu CREYSSELS, Simon PRIGENT, Yixian ZHOU, Jianjin XIN, Christian NICOT, Philippe CARRIÈRE Laboratoire de Mécanique des Fluides et Acoustique,

Plus en détail

CHROMATOGRAPHIE SUR COUCHE MINCE

CHROMATOGRAPHIE SUR COUCHE MINCE CHROMATOGRAPHIE SUR COUCHE MINCE I - PRINCIPE La chromatographie est une méthode physique de séparation de mélanges en leurs constituants; elle est basée sur les différences d affinité des substances à

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2 Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page

Plus en détail

Simulation de l écoulement turbulent dans les aspirateurs de turbines hydrauliques : Impact des paramètres de modélisation

Simulation de l écoulement turbulent dans les aspirateurs de turbines hydrauliques : Impact des paramètres de modélisation FÉLIX-ANTOINE PAYETTE Simulation de l écoulement turbulent dans les aspirateurs de turbines hydrauliques : Impact des paramètres de modélisation Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

SIMULATION NUMERIQUE DU FLUX D AIR EN BLOC OPÉRATOIRE

SIMULATION NUMERIQUE DU FLUX D AIR EN BLOC OPÉRATOIRE Maîtrise d ambiance et Qualité de l air SIMULATION NUMERIQUE DU FLUX D AIR EN BLOC OPÉRATOIRE PERTURBATION À L ÉTAT STATIQUE OU DYNAMIQUE Alina SANTA CRUZ École d Ingénieurs de Cherbourg LUSAC «Équipe

Plus en détail

Quantification Scalaire et Prédictive

Quantification Scalaire et Prédictive Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction

Plus en détail

ETUDE DE COMPATIBILITE DE LA ZONE DE RECOUVREMENT DES MODELES NUMERIQUES APPLICATION AUX ETUDES D IMPACT DES PROJETS D ENERGIES MARINES

ETUDE DE COMPATIBILITE DE LA ZONE DE RECOUVREMENT DES MODELES NUMERIQUES APPLICATION AUX ETUDES D IMPACT DES PROJETS D ENERGIES MARINES ETUDE DE COMPATIBILITE DE LA ZONE DE RECOUVREMENT DES MODELES NUMERIQUES APPLICATION AUX ETUDES D IMPACT DES PROJETS D ENERGIES MARINES Julien Schaguene, Olivier Bertrand, Eric David Sogreah Consultants

Plus en détail

Rapport d activité. Mathieu Souchaud Juin 2007

Rapport d activité. Mathieu Souchaud Juin 2007 Rapport d activité Mathieu Souchaud Juin 2007 Ce document fait la synthèse des réalisations accomplies durant les sept premiers mois de ma mission (de novembre 2006 à juin 2007) au sein de l équipe ScAlApplix

Plus en détail

1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..

1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble.. 1 Définition GÉNÉRALITÉS Statique 1 2 Systèmes matériels et solides Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..une pièce mais aussi un liquide ou un gaz Le solide : Il est supposé

Plus en détail

Master IMA - UMPC Paris 6 RDMM - Année 2009-2010 Fiche de TP

Master IMA - UMPC Paris 6 RDMM - Année 2009-2010 Fiche de TP Master IMA - UMPC Paris 6 RDMM - Année 2009-200 Fiche de TP Préliminaires. Récupérez l archive du logiciel de TP à partir du lien suivant : http://www.ensta.fr/~manzaner/cours/ima/tp2009.tar 2. Développez

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Finance, Navier-Stokes, et la calibration

Finance, Navier-Stokes, et la calibration Finance, Navier-Stokes, et la calibration non linéarités en finance 1 1 www.crimere.com/blog Avril 2013 Lignes directrices Non-linéarités en Finance 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Etude aérodynamique du nouveau véhicule Eco-marathon ECAM

Etude aérodynamique du nouveau véhicule Eco-marathon ECAM Etude aérodynamique du nouveau véhicule Eco-marathon ECAM Ing. S. Vandenbussche Prof. Dr Ir L. Bricteux ECAM Bruxelles Prof. Dr Ir J. van Beeck Von Karman institute Cet article traite de l étude et de

Plus en détail

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Tony FEVRIER Aujourd hui! Table des matières 1 Equations aux dérivées partielles et modélisation Equation différentielle et modélisation

Plus en détail