Inégalités Valeur absolue

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1 Inégalités Valeur absolue Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Intervalles de R 2 2 Comparaison de deux réels Inégalités Différentes méthodes de comparaison Application sens de variation et extremum d une fonction Valeur absolue Distance Applications Distance entre deux réels Valeur absolue Équations et inéquations comportant une valeur absolue Table des figures 1 Exemple Exemple Exemple Fonction croissante Fonction décroissante Résolution graphique de x a = r Résolution graphique de x a r Résolution graphique de x a < r Résolution graphique de x a r Liste des tableaux 1 Différents types d intervalles Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 INTERVALLES DE R 1 Compléments sur les intervalles de R Exemples : 1. On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure 1 tous les nombres réels x tels que 1 x 3. Fig. 1 Exemple 1 Cet ensemble est noté [ 1 ; 3]. 2. On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure 2 tous les nombres réels x tels que 1 < x < 3. Fig. 2 Exemple 2 Cet ensemble est noté ] 1 ; 3[. 3. On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure 3 tous les nombres réels x tels que x 1. Cet ensemble est noté [ 1 ; + [. Remarque : «+» se lit «plus l infini». Fig. 3 Exemple 3 Plus généralement, les différents types d intervalles sont donnés dans le tableau 1 (où a et b représentent deux réels, avec a < b). Remarques : 1. L ensemble des nombres réels R est l intervalle ] ; + [. 2. Un intervalle est une partie de R «sans trou», en «un seul morceau» et ne sont pas des nombres. Ce ne sont que des notations (ce qui explique qu ils soient toujours exclus). 4. Les intervalles correspondants aux quatre premières lignes du tableau sont dits bornés. Module : Module 5 page 58 1 [Modulo] Exercices : 37, 39, 40, 41, 42 page 64 2 [Modulo] 1 Intersection et réunion d intervalles. 2 Définition d un intervalle. 2

3 2 COMPARAISON DE DEUX RÉELS. Ensemble des x vérifiant Représentation Intervalle a x b [a ; b] a x < b [a ; b[ a < x b ]a ; b] a < x < b ]a ; b[ x a x > a [a ; + [ ]a ; + [ x b ] ; b] x < b ] ; b[ Tab. 1 Différents types d intervalles 2 Comparaison de deux réels Applications 2.1 Quelques rappels et compléments sur les inégalités Opérations portant sur une inégalité : a, b, c et k désignent quatre nombres réels. 1. Si a b alors a + c b + c Ajouter (ou soustraire) un nombre ne change pas l ordre. 2. Si a b et k > 0 alors k a k b Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif ne change pas l ordre. 3. Si a b et k < 0 alors k a k b Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement négatif change l ordre. Exercices : 20, 22, 23 page 63 3 [Modulo] Application : On peut utiliser ces règles pour résoudre des inéquations «simples» On a donc ici : S = ] 4 ; + [ 4x 5 < 5x 1 4x 5+5 < 5x 1+5 (régle 1) 4x < 5x + 4 4x 5x < 5x + 4 5x (régle 1) x < 4 x 1 > 4 1 x > 4 (régle 3) Exercices : 57, 59, 60, 62 page , 48, 49 page 65 5 [Modulo] Les résultats suivants sont provisoirement admis : 3 Inégalités par reconstruction. 4 Premières inéquations. 5 Lien avec les réunions et intersections d intervalles. 3

4 2.2 Différentes méthodes de comparaison 2 COMPARAISON DE DEUX RÉELS. Propriété 1 : Si 0 a b alors a 2 b 2. Le passage au carré conserve l ordre pour des nombres positifs. Si a b 0 alors a 2 b 2. Le passage au carré inverse l ordre pour des nombres négatifs. Propriété 2 : Si 0 < a b alors 1 a 1 b. Le passage à l inverse change l ordre pour des nombres strictement positifs. Si a b < 0 alors 1 a 1 b. Le passage à l inverse change l ordre pour des nombres strictement négatifs. Remarque : Ces deux propriétés ne sont pas valables si les nombres a et b sont de signes contraires! Par exemple : 3 < 4 et 1 3 < 4. Propriété 3 : Si 0 a b alors a b. Le passage à la racine carré conserve l ordre pour des nombres positifs. Exercices : 20, 24, 25 page , 69, 72 page 68 7 [Modulo] Module : Module 2 page 55 8 [Modulo] 2.2 Différentes méthodes de comparaison Activité : Activité 1 (fp) 9 Méthode 1 : Utilisation de la calculatrice Pour comparer deux nombres, il peut parfois suffire de trouver une valeur approchée à la calculatrice. Attention cependant, ceci ne permet en aucun cas de montrer que des nombres sont égaux ou opposés. Exemples : 1. A la calculatrice : , 11 et π 3, 14 donc 28 9 < π. 2. A la calculatrice, , et mais ceci est insuffisant pour conclure que ces nombres sont opposés. Pour cela, il faut d abord calculer leurs carrés : ( ) 2 = et ( 3 2 ) 2 = ( 3 ) = = Les carrés sont égaux donc les nombres sont égaux ou opposés. De plus, > 0 et 3 2 < 0. Ces deux nombres sont donc opposés. Méthode 2 : Comparaison de fractions Pour comparer deux fractions, il suffit de les mettre sous le même dénominateur et de comparer les numérateurs. Exemple : Comparaison de 7 12 et = = et 8 13 = = donc 7 12 < Encadrements. 7 Utilisation pour des comparaisons de grandeurs géométriques. 8 Encadrements. 9 Comparaison de nombres. 4

5 2 COMPARAISON DE DEUX RÉELS. 2.3 Application sens de variation et extremum d une fonction Méthode 3 : Méthode de la différence Dire que a b revient à dire que a b 0. Comparer deux nombres revient donc à étudier le signe de leur différence. Exemple : n désigne un entier naturel. On veut comparer (n + 1) 2 et n (n + 1) 2 ( n ) = n 2 + 2n + 1 n 2 1 = 2n 0 car n 0. Par suite, (n + 1) 2 n Remarque : Cette dernière méthode est surtout utile pour comparer des expressions données sous forme littérale. Exercices : 2, 3, 5, 6 page , 82 page [Modulo] 2.3 Application sens de variation et extremum d une fonction Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est croissante sur l intervalle I si : Pour tout a, b I, si a b alors f (a) f (b) Ce qui signifie que f conserve l ordre (voir figure 4). On dit que f est décroissante sur l intervalle I si : Ce qui signifie que f inverse l ordre (voir figure 5). Pour tout a, b I, si a b alors f (a) f (b) Fig. 4 Fonction croissante Remarque : Avec des inégalités strictes, on dit que f est strictement croissante ou strictement décroissante. Définition 2 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que M est le maximum de f sur l intervalle I si : il existe c I tel que M = f (c) ; pour tout x I, f (x) M. On dit que m est le minimum de f sur l intervalle I si : il existe c I tel que m = f (c) ; pour tout x I, f (x) m. 10 Ranger des nombres avec ou sans calculatrice. 11 Plus difficiles. 5

6 3 VALEUR ABSOLUE DISTANCE APPLICATIONS Fig. 5 Fonction décroissante Remarque : Il existe plusieurs méthodes pour étudier le sens de variation d une fonction. Une méthode va être vu tout de suite, une autre sera développée dans le chapitre «Fonctions usuelles». Méthode : On part de l inégalité a b et, en reconstruisant par étapes la fonction f et en utilisant les propriétés des inégalités vues au 2.1, on aboutit à une relation entre f (a) et f (b). Exemple : On considère la fonction f définie sur R par f (x) = (x + 1) 2 3. On va étudier les variations de f sur [ 1 ; + [. On commence par donner la construction par étapes de f : x +1 x (x + 1) 2 3 f (x) On utilise cette construction pour étudier les variations de f sur [ 1 ; + [. 1 a b 0 a + 1 b + 1 ajouter 1 à chaque membre consreve l ordre 0 (a + 1) 2 (b + 1) 2 nbres positifs, passage au carré conserve l ordre 3 (a + 1) 2 3 (b + 1) 2 3 enlever 3 conserve l ordre 3 f (a) f (b) Globalement, l ordre est conservé, donc f est croissante sur [ 1 ; + [. Exercice : Étudier les variations de f sur ] ; 1] et dresser son tableau de variations. Exercices : 46, 48, 49 page , 52, 53 page [Modulo] 3 Valeur absolue Distance Applications 3.1 Distance entre deux réels Activité : Activité 2 (fp) Étude de variations. 13 Étude de fonctions. 14 Distance entre deux réels. 6

7 3 VALEUR ABSOLUE DISTANCE APPLICATIONS 3.2 Valeur absolue Définition : Soit x et y deux réels. On appelle distance entre les réels x et y la distance entre les points d abscisses x et y sur la droite graduée. On notera cette distance d (x ; y). Propriété : La distance entre deux réels est la différence entre le plus grand et le plus petit, c est-à-dire : Si x y, d (x ; y) = x y Si x y, d (x ; y) = y x Remarques : 1. d (x ; y) est un nombre positif (c est une distance). 2. d (x ; y) = d (y ; x) Exercice : Calculer la distance entre les réels suivants : et et 0, et et 0 Exercices : 58, 59 page [Modulo] 3.2 Valeur absolue Définition : On appelle valeur absolue d un réel x la distance entre ce nombre x et zéro. On la note x. On a donc : x = d (x ; 0). D après les résultats du 3.1, on a : Si x 0, x =x 0 = x Si x 0, x =0 x = x Remarque : Attention! x est toujours un nombre positif (c est une distance). Par exemple 5 3 = 5 car 5 > 0 et 5 = ( 5) = 5 car 5 < Propriété : Soit x et y deux nombres réels. 1. x = 0 si et seulement si x = 0 2. x = x 3. x = y si et seulement si x = y ou x = y. Remarque : Ces trois assertions se prouvent facilement en utilisant x = d (x ; 0). Exercices : 52, 53, 54, 55, 56 page [Modulo] 15 Distance entre deux réels. 16 Calculs comportant des valeurs absolues. 7

8 3.3 Équations et inéquations comportant une valeur 3 absolue VALEUR ABSOLUE DISTANCE APPLICATIONS 3.3 Équations et inéquations comportant une valeur absolue Théorème : Pour tout réel x et y : d (x ; y) = x y Démonstration : Si x y : d après 3.1d (x ; y) = x y et, comme x y 0, d après 3.2, x y = x y. On a donc bien dans ce cas d (x ; y) = x y. Si x y : d après 3.1d (x ; y) = y x et, comme x y 0, d après 3.2, x y = (x y) = x + y = y x. On a donc bien dans ce cas d (x ; y) = x y. Activité : Activité 3 (fp) 17 Propriété : Résolution graphique d équations et d inéquations Soit a un réel et r > 0. Résolution de x a = r x a = r signifie que d (x ; a) = r. Les solutions sont donc les nombres situés à une distance r du réel a (voir figure 6). Les solutions de x a = r sont x = a r et x = a + r. Résolution de x a r x a r signifie que d (x ; a) r. Les solutions sont donc les nombres situés à une distance inférieure à r du réel a (voir figure 7). Les solutions de x a r sont tous les réels x de l intervalle [a r ; a + r]. Fig. 6 Résolution graphique de x a = r Fig. 7 Résolution graphique de x a r Remarque : Par un raisonnement analogue, on a : x a < r signifie que d (x ; a) < r. On a donc S = ]a r ; a + r[ (voir figure 8). Fig. 8 Résolution graphique de x a < r x a r signifie que d (x ; a) r. On a donc S = ] ; a r] [a + r ; + [ (voir figure 9). 17 Équations et inéquations comportant une valeur absolue. 8

9 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Module : Valeur absolue (sur feuille polycopiée) Fig. 9 Résolution graphique de x a r Exercices : 60, 61, 62, 64 page page 65 et 83 page [Modulo] Références [Modulo] Modulo, Seconde édition 2004 (Didier) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 18 Équations comportant une valeur absolue. 19 Inéquations comportant une valeur absolue. 9