Session avril 2015 BACCALAUREAT BLANC. Série : S. Épreuve : Mathématiques ( candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité )

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1 BACCALAUREAT BLANC Session avril 2015 Série : S Épreuve : Mathématiques ( candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité ) Durée de l'épreuve : 4 heures coefficient : 7 MATERIEL AUTORISE OU NON AUTORISE : Calculatrice autorisée Aucun échange de matériel autorisé Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte 6 pages numérotées 1/6 à 6/6 Terminale S non spé maths Bac Blanc d avril 2015 page 1/6

2 Exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats Sur le graphique en annexe 1, on a tracé, dans un repère orthonormé ;,, une courbe et la droite où et sont les points de coordonnées respectives 0 ; 1 et 1 ; 3. On désigne par la fonction dérivable sur R dont la courbe représentative est. On suppose, de plus, qu il existe un réel tel que pour tout réel, = a. Justifier que la courbe passe par le point. b. Déterminer le coefficient directeur de la droite. c. Démontrer que pour tout réel, =1 2 1 d. On suppose que la droite est tangente à la courbe au point. Déterminer la valeur du réel. Dans les questions suivantes, on prendra : Pour tout réel, =+1 3 et = a. Démontrer que pour tout réel de l intervalle 1 ;0, >0. b. Démontrer que pour tout réel inférieur ou égal à 1, >0. c. Démontrer qu il existe un unique réel de l intervalle ; 1 tel que =0. Justifier que < On désigne par l aire, exprimée en unités d aire, du domaine défini par : 0 et 0 a. Hachurer ce domaine sur l annexe 1 puis écrire sous la forme d une intégrale.. On admet que l intégrale = est une valeur approchée de à 10 près. Calculer la valeur exacte de l intégrale. Terminale S non spé maths Bac Blanc d avril 2015 page 2/6

3 Exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats Partie A : étude d une fonction On considère la fonction définie et dérivable sur l intervalle 1 ;+ [ par = ln Sur l annexe 2 jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe représentative de la fonction ainsi que la droite d équation = 1. Calculer les limites de la fonction en + et en Étudier les variations de la fonction sur l intervalle 1 ; + [. 3. En déduire que si alors. Partie B : étude d une suite récurrente 1. On considère la suite définie par : =5 pour tout entier naturel, = Sur l annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe et la droite, placer les points, et d ordonnée nulle et d abscisses respectives, et. On laissera apparents les traits de construction. Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite? 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel, on a :. b. Déterminer le sens de variation de la suite. c. En déduire que la suite est convergente. 3. On donne l algorithme suivant : est une variable réelle ; est une variable entière Affecter 5 à X Affecter 0 à Tant que >2,72 faire Affecter /ln à Affecter +1 à Fin de Tant que Afficher A l aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l algorithme , , , , , Terminale S non spé maths Bac Blanc d avril 2015 page 3/6

4 Exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n est demandée. Aucun point n est enlevé en l absence de réponse ou en cas de réponse fausse. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ;,. Soit un nombre complexe de la forme +, où et sont des réels. 1. Soit le nombre complexe d affixe 1+. L écriture exponentielle de est : a. 2 b. 4 c. 2 d L ensemble des points du plan d affixe =+ tels que 1+ = 3 a pour équation : a =2 b =2 c =4 d. =+ 3. On considère la suite de nombres complexes définie pour tout entier naturel par =1+ et =. On note le point du plan d affixe. a. Pour tout entier naturel, le point appartient au cercle de centre O et de rayon 2. b. Pour tout entier naturel, le triangle est équilatéral. c. La suite définie par = est convergente.. Pour tout entier naturel,un argument de est 2 4. Soit,, trois points du plan complexe d affixes respectives : = 1 ; =2 2 et =1+5. On pose : = a. est un nombre réel. b. Le triangle est isocèle en. c. Le triangle est rectangle en. d. Le point d affixe appartient à la médiatrice du segment [. Terminale S non spé maths Bac Blanc d avril 2015 page 4/6

5 Exercice 4 ( 5 points ) pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Une grande entreprise dispose d un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé «temps de fonctionnement». Soit la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures. On admet que suit une loi exponentielle de paramètre. Le paramètre est un réel strictement positif. On rappelle que,pour tout réel 0, =. 1. On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à 0,6. Montrer qu une valeur approchée de à 10 près est 0,131. Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur de et les résultats seront donnés à près. 2. Montrer qu une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures est égale à 0, Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu il n y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures. 4. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures. 5. Déterminer le temps moyen de fonctionnement, en arrondissant à la demi-heure. 6. On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu on suppose indépendants. Soit la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures. a. Quelle est la loi suivie par? b. Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures. Terminale S non spé maths Bac Blanc d avril 2015 page 5/6

6 Nom, Prénom : Annexe à rendre avec la copie Annexe 1 - Exercice 1 Annexe 2 - Exercice 2 Terminale S non spé maths Bac Blanc d avril 2015 page 6/6