Bac blanc - Mathématiques spécialité Terminales ES-L, , Lycée Newton

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1 Bac blanc - Mathématiques spécialité Terminales ES-L, , Lycée Newton Exercice 1. pour les élèves ayant suivi l enseignement de spécialité 6 points Dans une grande entreprise, tous les agents commerciaux ont une voiture de fonction, qu ils doivent choisir entre deux marques A et B. Le parc de véhicules (en location) est renouvelé tous les ans. On suppose que le nombre d agents commerciaux de l entreprise ne varie pas, et que les deux marques A et B restent les seules possibilités pour les voitures de fonction proposées dans l entreprise. On a constaté que, chaque année : 5% des agents utilisant un véhicule de marque A changent l année suivante pour B; 15% des agents utilisant un véhicule de marque B changent l année suivante pour A; les autres agents poursuivent l année suivante avec un véhicule de même marque. On appelle a n la probabilité qu un agent commercial choisi au hasard utilise un véhicule de marque A au début de l année 2010+n, et b n la probabilité qu il utilise un véhicule de marque B au début de cette même année. On note P n = ( a n b n ) la matrice correspondant à l état probabiliste de l année 2010+n. En 2010, la moitié des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque A; ainsi : P 0 = ( 0,5 0,5 ). 1 Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, et donner la matrice de transition M (on considèrera les sommets du graphe dans l ordre alphabétique). 2 Justifier que P1 = ( 0,55 0,45 ) et donner une interprétation concrète des coefficients de cette matrice. 3 Déterminer l état probabiliste stable du système et interpréter les résultats obtenus. 4 (a) On sait, pour tout entier naturel n, que P n+1 = P n M ; démontrer, pour tout entier naturel n, que a n+1 = 0,95a n +0,15b n. (b) En déduire que pour tout entier naturel n, que a n+1 = 0,8a n +0,15 (c) Pour tout entier naturel n, on pose : u n = a n 0,75. Démontrer que la suite (u n ) est une suite géométrique de raison 0,8 dont on précisera le premier terme. En déduire la limite de la suite (u n ). (d) Déterminer la limite de la suite (a n ). Quel résultat retrouve-t-on ainsi? 5 On considère l algorithme suivant : Entrée Initialisation Traitement Sortie Un entier naturel non nul N Affecter à r la valeur 0,5 Affecter à s la valeur 0,5 Pour i variant de 1 à N Affecter à w la valeur r Affecter à r la valeur 0,95r +0,15s Affecter à s la valeur 0,05w +0,85s Fin de Pour Afficher r Afficher s (a) Dans le cas où N a la valeur 1, quelles sont les valeurs contenues dans w,r et s en fin de traitement? (b) Dans le cas général, quelle est la signification des nombres r et s affichés en sortie? Quel est le but de l algorithme? 1/4

2 Bac blanc - Mathématiques obligatoires Terminales ES-L, , Lycée Newton Exercice 1. pour les élèves n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 6 points Dans une grande entreprise, tous les agents commerciaux ont une voiture de fonction, qu ils doivent choisir entre deux marques A et B. Le parc de véhicules (en location) est renouvelé tous les ans. On suppose que le nombre d agents commerciaux de l entreprise ne varie pas, et que les deux marques A et B restent les seules possibilités pour les voitures de fonction proposées dans l entreprise. On a constaté que, chaque année : 5% des agents utilisant un véhicule de marque A changent l année suivante pour B; 15% des agents utilisant un véhicule de marque B changent l année suivante pour A; les autres agents poursuivent l année suivante avec un véhicule de même marque. On choisit un agent commercial au hasard et on note A n l événement l agent utilise un véhicule de marque A au début de l année n. On définit de même l événement B n. On pose p n = p(a n ). En 2010, la moitié des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque A : p 0 = 0,5 A n+1 p n A n 1 Recopier et compléter l arbre suivant 2 Pour tout entier naturel n, exprimer p(an A n+1 ) en fonction de p n. 3 Démontrer que pour tout n N, pn+1 = 0,8p n +0,15. B n B n+1 A n+1 B n+1 4 (a) Pour tout entier naturel n, on pose : u n = p n 0,75. Démontrer que la suite (u n ) est une suite géométrique de raison 0,8 dont on précisera le premier terme. (b) Exprimer u n puis p n en fonction de n N. (c) Déterminer la limite de (p n ). 5 On considère l algorithme suivant : Entrée Initialisation Traitement Sortie Un entier naturel non nul N Affecter à p la valeur 0,5 Affecter à q la valeur 0,5 Pour i variant de 1 à N Affecter à p la valeur 0,8p+0,15 Fin de Pour Affecter à q la valeur 1 p Afficher p Afficher q (a) Dans le cas où N a la valeur 1, quelles sont les valeurs contenues dans p et q en fin de traitement? (b) Dans le cas général, quelle est la signification des nombres p et q affichés en sortie? Quel est le but de l algorithme? 1/4

3 Exercice 2. pour tous 6 points Partie a. Soit d la fonction définie sur l intervalle [0;4] par : d(x) = (3x+0,3)e x 1,3. On note d la fonction dérivée de la fonction d sur l intervalle [0;4]. 1 Démontrer que pour tout réel x de l intervalle [0;4], d (x) = ( 3x+2,7)e x 2 Étudier, pour x variant dans l intervalle [0;4], le signe de d (x), puis dresser le tableau de variations complet de la fonction d sur l intervalle [0;4]. (arrondir les valeurs à 10 2 près). 3 En déduire le signe de la fonction d sur l intervalle [0;4]. Partie b. Soient f et g définies sur [0;4] par f(x) = (3x+3,3)e x et g(x) = 1,3x+5,97. On admet que les fonctions f et g sont décroissantes sur [0;4]; la fonction f est représentée ci-dessous par la courbe C f et la fonction g par le segment de droite D D 3 2 C f 1 j -1 0 ı Soit h la fonction définie sur [0;4] par : h(x) = g(x) f(x). (a) Montrer que pour tout x [0;4], h (x) = d(x) ( d désigne la fonction étudiée dans la partie A). (b) En déduire le tableau de variations de la fonction h sur [0;4]. (c) Montrer que l équation h(x) = 1 admet une unique solution α dans l intervalle [0;4]. En donner une valeur approchée à 10 1 près. 4 2 Calculer l intégrale : g(x) dx 1 Partie c. Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Les résultats de la partie B pourront être utilisés pour répondre aux questions. Une entreprise prévoit de fabriquer et de commercialiser mensuellement entre 1 et 4 tonnes d un produit cosmétique (toute la production est vendue). Pour x tonnes de produit fabriquées mensuellement (avec x [0;4] ), on admet que f(x) désigne le coût de production par tonne (en centaines de milliers d euros), et g(x) le prix de vente par tonne (en centaines de milliers d euros). 1 L entreprise décide de produire 1 tonne par mois. Déterminer, en arrondissant à l euro près, le coût de production de la tonne produite, son prix de vente, et le bénéfice mensuel ainsi réalisé. 2/4

4 2 Déterminer, en euros, le prix de vente moyen par tonne pour une production comprise entre 1 et 4 tonnes. 3 L entreprise souhaite réaliser un bénéfice par tonne d au moins euros. Quelles quantités doit-elle produire pour satisfaire cette contrainte? 3/4

5 Exercice 3. pour tous 5 points On donne la courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 2 ; 2], et deux de ses tangentes : sa tangente en son point A d abscisse 1; elle passe par le point de coordonnées (0 ; 2). sa tangente à l origine, qui est au dessus de la courbe sur [ 2;0[ et en dessous sur ]0;2]. On note f la fonction dérivée de f sur l intervalle [ 2 ; 2] A Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte; préciser laquelle sur la copie. Aucune justification n est demandée. Une bonne réponse rapporte 1 point, une réponse fausse ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. 1 Le nombre dérivé noté f (1) est égal à : a) 1 b) 1 3 c) 1 d) 3 2 La dérivée seconde de f vérifie f (x) 0 sur l intervalle : a) [ 2;1] b) [ 1,1;1,1] c) [0;2] d) [ 2;0] 3 On considère F une primitive de f sur l intervalle [ 2;2]. La fonction F est décroissante sur : a) [ 2;0] b) [ 2;2] c) [0;2] d) [ 1;1] 0 4 Soit I = f(x) dx. On a : 1 a) I < 0 b) 0 I 1 c) 1 < I < 3 d) I 3 5 La valeur minimum de f (x) sur [ 2;2] est a) 4 b) 0 c) 3,1 d) 2 4/4

6 Exercice 4. pour tous 3 points Une société propose des produits par le biais de son service internet avec service de livraison à domicile. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque commande effectuée à partir de ce site, associe le temps de livraison du colis en heures. On précise que, quelle que soit l heure du jour ou de la nuit, le colis est déposé dans la boà te aux lettres du client. On admet que X suit la loi normale d espérance µ = 72 et d écart-type σ = 16. Les résultats seront donnés à 10 3 près. On indiquera les instructions de la calculatrice utilisées pour obtenir les résultats. 1 Quelle est la probabilité qu un client soit livré le lendemain (entre 24h et 48h après sa commande)? 2 Un client renvoie les produits s ils sont livrés plus de quatre jours après sa commande. Quelle est la probabilité que cela arrive? 3 Montrer que p(48 X 96) = p( 1,5 Y 1,5) où Y est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. On donne p( 1,5 Y 1,5) 0,866. Comment interpréter ce résultat? 4 L entreprise annonce qu elle remboursera une partie du montant des produits qui arrivent après un délai trop long. Quelle délai minimal (arrondir à la demi-heure) peut-elle annoncer, si elle ne souhaite pas rembourser plus d un client sur 10000? 5/4