PGCD - PPCM. 1 Plus grand diviseur commun de deux entiers. 1.1 Dé nition - Exemples
|
|
- Julie Lamontagne
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 1 PGCD - PPCM 1 Plus grand diviseur commun de deux entiers 1.1 Dé nition - Exemples Dé nition 1 Soient a et b deux élément de Z. az + bz est un sous-groupe de Z donc il existe 2 N tel que az + bz = Z. On appelle le plus grand diviseur commun de a et b et on note = pgcd(a; b) ou = a ^ b. Exemple 2 On a vu dans le chapitre précédent pgcd(2; 3) = 1 et pgcd(10; 25) = 5. Remarque 3 Pour tout a et b dans Z, pgcd(a; b) = pgcd(b; a) = pgcd(jaj ; jbj). Soient a; b 2 N alors ajb () pgcd (a; b) = a Démonstration. Le premier point découle du fait que jaj = az. Montrons le second on a ajb () bz az () az + bz = az () pgcd (a; b) = a Proposition 4 Soient a et b deux entiers relatifs. Soit 2 N. Alors = pgcd(a; b) si et seulement si l entier divise a et b si d est un diviseur de a et de b alors d divise Cela explique le nom de plus grand diviseur commun pour. Démonstration. Notons = pgcd(a; b). On a az Z donc ja, de même bz Z donc jb. Donc est un diviseur commun à a et b. Soit d un diviseur de a et b, alors az dz et bz dz donc az [ bz dz donc (par dé nition de la somme de deux sous-groupes) az + bz dz donc Z dz et donc dj. Réciproquement soit un entier positif véri ant : l entier divise a et b si d est un diviseur de a et de b alors d divise Il faut montrer que = pgcd(a; b). On a az Z et bz Z donc az + bz Z et az + bz = pgcd(a; b) Z donc jpgcd(a; b). D autre part pgcd(a; b) est un diviseur de a et de b donc par dé nition de on a pgcd(a; b) j. Exemple 5 On a pgcd(4; 6) = 2 ; pgcd(4; 7) = 1 pgcd(5 7; 7 11) = 7 pgcd(3 12 ; 3 19 ) = 3 12 pgcd( ; ) =
2 2 1.2 Méthode de calcul : Algorithme d Euclide Lemme 6 Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Soit r le reste de la division euclidienne de a par b. Alors pgcd(a; b) = pgcd(b; r). Démonstration. On va montrer que l ensemble des diviseurs de a et b : Div (a) \ Div (b) et l ensemble des diviseurs de b et r : Div (b) \ Div (r) sont égaux, ce qui donnera le résultat. Écrivons la division euclidienne de a par b, donc a = bq + r avec 0 r < b. Comme r = a bq si un nombre d divise a et b alors d divise r. Donc Div (a) \ Div (b) Div (b) \ Div (r). Réciproquement, si d divise b et r alors d divise a = bq + r donc Div (b) \ Div (r) Div (a) \ Div (b). Remarque 7 Si l on a une expression du type A = B + C ou A + B + C = 0 entre trois entiers A; B et C. Alors tout nombre divisant deux de ces entiers divise automatiquement le troisième. Proposition 8 Algorithme d Euclide. Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On construit par récurrence une suite d entiers naturels (r n ) n2n de la façon suivante : r 0 = a, r 1 = b, r 2 est le reste de la division euclidienne de r 0 par r 1, et de proche en proche, tant que r n 6= 0, r n+1 est égal au reste de la division euclidienne de r n 1 par r n. Alors il existe un entier N tel que r N 6= 0 et r N+1 = 0. Alors pgcd(a; b) est égal au dernier reste non nul r N. Démonstration. Tant que les restes sont non nuls, on dé nit une suite telle que 0 r n < r n 1 < < r 2 < r 1. Il s agit donc d une suite d entiers naturels strictement décroissante. Au bout d un nombre ni d étapes on obtient alors un reste nul (on a N b). En utilisant le lemme précédent, on obtient pgcd(a; b) = pgcd(b; r 2 ) = pgcd(r 2 ; r 3 ) = = pgcd(r N 1 ; r N ) = pgcd(r N ; 0) = r N Exemple 9 Soient a = 144 et b = 84. On calcule On a donc pgcd(144; 84) = Relation de Bézout 144 = r 2 = = r 3 = = r 4 = = r 5 = 0 Théorème 10 Relation de Bézout. Soient a et b deux entiers relatifs. Alors il existe des entiers relatifs u et v tels que pgcd(a; b) = au + bv Démonstration. Notons = pgcd(a; b) on a 2 Z = az + bz donc = x + y où x 2 az et y 2 bz, donc il existe u et v tels que = au + bv.
3 3 Remarque 11 Soit 2 N. Nous venons de montrer que si = pgcd(a; b) alors il existe un couple d entiers (u; v) tel que = au + bv. La réciproque est fausse dans le cas général. Par exemple, pour a = 4, b = 2 et = 6, on a 6 = et 6 6= pgcd(4; 2) = 2. Plus généralement, s il existe un couple d entiers (u; v) tel que d = au + bv alors pgcd(a; b) divise d. Exemple 12 Soient a = 63 et b = 37. On calcule 63 = r 2 = = r 3 = = r 4 = 4 11 = r 5 = 3 4 = r 6 = 1 On part de la dernière relation et on remplace les restes en utilisant les formules de bas en haut de la façon suivante : 1 = Départ 1= 4 (11 4 2) = On a remplacé r 5 1 = 11 + ( ) 3 = On a remplacé r 4 1 = 7 ( ) = On a remplacé r 3 1 = ( ) 10 = On a remplacé r 2 Finalement la relation de Bézout est : = 1 = pgcd(63; 37) Proposition 13 Soient a et b deux entiers relatifs. Alors pour tout k 2 N, pgcd(ka; kb) = kpgcd(a; b). Démonstration. Si k = 0 l égalité est véri ée. Supposons k 6= 0. Soit D = pgcd(ka; kb) et = pgcd(a; b). Comme divise a et b, k divise ka et kb donc k divise D. Par ailleurs, k divise ka et kb donc k divise D. Il existe q 2 Z tel que D = kq. Comme kq divise ka et kb, q divise a et b donc q divise. On en déduit que D divise k. Finalement on a donc k = D. Exemple 14 pgcd(42; 56) = 7 pgcd(6; 8) = 7 2 = Éléments premiers entre eux Dé nition 15 On dit que les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a; b) = 1 (noté aussi a ^ b = 1). Proposition 16 Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Soit un diviseur positif de a et de b. Il existe a 0 2 Z tel que a = a 0 et il existe b 0 2 Z tel que b = b 0. Alors est le pgcd de a et b si et seulement si a 0 et b 0 sont premiers entre eux. Démonstration. Le diviseur est nécessairement non nul. Comme a = a 0 et b = b 0, pgcd(a; b) = pgcd(a 0 ; b 0 ) = pgcd(a 0 ; b 0 ) Par conséquent, pgcd(a; b) = () pgcd(a 0 ; b 0 ) = 1. Théorème 17 Théorème de Bézout. Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement s il existe deux entiers relatifs u et v tels que 1 = au + bv.
4 4 Démonstration. Si pgcd(a; b) = 1 alors il existe un couple d entiers (u; v) tel que 1 = au + bv (relation de Bézout). Réciproquement, supposons qu il existe deux entiers u et v tels que 1 = au+bv. Soit d un diviseur de a et de b. Alors d divise 1 donc jdj = 1. D où pgcd(a; b) = 1. Proposition 18 Soit n 2 N, n 2. Soit a 1 ; : : : ; a n des entiers relatifs. Si a est premier avec chacun des a i (i = 1 : : : n) alors a est premier avec leur produit. Démonstration. Comme pgcd(a; a 1 ) = 1, il existe des entiers u 1 et v 1 tels que 1 = au 1 + a 1 v 1. De même, il existe u 2 et v 2 tels que 1 = au 2 + a 2 v 2. En multipliant ces deux termes, on obtient 1 = a (au 1 u 2 + u 1 a 2 v 2 + a 1 v 1 u 2 ) + a 1 a 2 (v 1 v 2 ). D où pgcd(a; a 1 a 2 ) = 1. La propriété est donc vraie pour n = 2. Supposons la propriété vraie à l ordre n. Soit a 1 ; : : : ; a n+1 n + 1 entiers premiers séparément avec a. En utilisant l hypothèse de récurrence avec a 1 ; : : : ; a n, on obtient que a est premier avec le produit a 1 a n. On conclut en utilisant la propriété avec les deux entiers a 1 a n et a n+1. Exemple 19 Comme pgcd(3; 5) = 1 et pgcd(3; 8) = 1, on a pgcd(3; 40) = 1. Corollaire 20 Soient a et b deux entiers relatifs. Si a et b sont premiers entre eux alors pour tout n 2 N et p 2 N, a n et b p sont premiers entre eux. Théorème 21 Théorème de Gauss. Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c. Démonstration. Comme pgcd(a; b) = 1, il existe un couple d entiers (u; v) tels que 1 = au + bv. En multipliant cette égalité par c, on obtient c = a(cu) + (bc)v. Comme a divise bc, a divise c. Proposition 22 Soit n 2 N, n 2. Soit a 1 ; : : : ; a n des entiers relatifs premiers entre eux deux à deux. Si a est divisible par chacun des a i (i = 1 : : : n) alors a est divisible par leur produit. Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur n. Pour n = 2, il existe deux entiers q 1 et q 2 tels que a = a 1 q 1 = a 2 q 2. Donc a 2 divise a 1 q 1. Mais comme pgcd(a 2 ; a 1 ) = 1, on obtient que a 2 divise q 1. Il existe donc q 3 2 Z tel que q 1 = a 2 q 3. Par conséquent, a = a 1 a 2 q 3 et a 1 a 2 divise a. La n de la démonstration se fait sans di culté. Exemple 23 L entier 90 est divisible par 3 et par 5 qui sont premiers entre eux donc est divisible par 15. Mais bien que 20 soit divisible par 4 et par 10 il n est pas divisible par 40 (car 4 et 10 ne sont pas premiers entre eux). Proposition 24 Soit _x 2 Z=nZ on a _x inversible () x ^ n = 1 Démonstration. _x est inversible ssi 9 _y tel que _x y = _1 ssi 9y; k tels que x y = 1 + kn ssi 9y; k tels que xy kn = 1 ssi x ^ n = 1: Proposition 25 Soit la fonction indicatrice d Euler, (n) est égal au nombre de nombres entiers positifs inférieurs à n et premiers avec n. En particulier si p est un nombre premier (p) = p 1.
5 5 3 Plus petit multiple commun de deux entiers Dé nition 26 Soient a et b 2 Z, il existe 2 N tel que az \ bz = Z. est appelé le plus petit multiple commun de a; b, noté ppcm(a; b) (ou a _ b). Exemple 27 On a vu dans le chapitre précédent ppcm(2; 3) = 6 et ppcm(10; 25) = 50. Remarque 28 ppcm(0; 0) = 0. Pour tout a 2 Z, on a ppcm(a; 0) = 0 Pour tout a et b dans Z, ppcm(a; b) = ppcm(b; a) = ppcm(jaj ; jbj). Soient a; b 2 N alors a j b () ppcm (a; b) = b Démonstration. On montre le dernier point. On a a j b () bz az () az \ bz = bz () ppcm (a; b) = b Proposition 29 Soient a et b deux entiers relatifs. Soit 2 N. Alors = ppcm(a; b) si et seulement si l entier est un multiple de a et b si m est un multiple de a et de b alors divise m Cela explique le nom de plus petit multiple commun pour. Démonstration. Notons = ppcm(a; b). On a Z az donc aj, de même Z bz donc bj. Donc est un multiple de a et b. Soit m un multiple de a et b, alors mz az et mz bz donc mz az \ bz donc mz Z donc jm. Réciproquement soit un entier positif véri ant : l entier est un multiple de a et b si m est un multiple de a et de b alors divise m Il faut montrer que = ppcm(a; b). On a Z az et Z bz donc Z az \ bz = ppcm(a; b) Z donc ppcm(a; b) j. D autre part ppcm(a; b) est un multiple de a et de b donc par dé nition de on a j ppcm(a; b). Exemple 30 On a ppcm(4; 6) = 12 ; ppcm(4; 7) = 28 ppcm(5 7; 7 11) = pgcd(3 12 ; 3 19 ) = 3 19 pgcd( ; ) = Proposition 31 Soient a et b deux entiers naturels, on a la relation : pgcd(a; b) ppcm(a; b) = ab
6 6 Démonstration. Notons = ppcm(a; b) et = pgcd(a; b). Il existe a 0 et b 0 tel que a = a 0 et b = b 0 On va montrer que = a 0 b 0 le résultat en découle immédiatement en multipliant par : a 0 b 0 est un multiple de a et de b donc par dé nition divise a 0 b 0. Réciproquement notons u et v les entiers tels que = au = bv donc et donc = a 0 u = b 0 v a 0 u = b 0 v donc b 0 divise a 0 u or a 0 et b 0 sont premiers entre eux donc d après le théorème de Gauss b 0 divise u donc il existe q tel que u = b 0 q et donc en remplaçant ci dessus et donc divise a 0 b 0. = a 0 b 0 q Exemple 32 Pour a = 4 et b = 6 ppcm(4; 6) = 12. Par ailleurs, pgcd(4; 6) = 2. On a bien pgcd(4; 6)ppcm(4; 6) = 24. Corollaire 33 Soit a et b deux entiers relatifs. ppcm(a; b). Alors pour tout k 2 N, ppcm(ka; kb) = k Démonstration. la formule précédente donne comme pgcd(ka; kb) = k pgcd(a; b) on obtient pgcd(ka; kb) ppcm(ka; kb) = ka:kb ppcm(ka; kb) = kab pgcd(a; b) = k ppcm(a; b) 4 Plus grand diviseur commun et plus petit multiple commun de n entiers Dé nition 34 Soit n 2 N, n 3. On dé nit le plus grand diviseur commun de a 1 ; : : : ; a n par récurrence sur n grâce à la formule suivante : pgcd (a 1 ; : : : ; a n ) = pgcd (pgcd (a 1 ; : : : ; a n 1 ) ; a n )) Dé nition 35 Soit n 2 N, n 3. On dé nit le plus petit multiple commun de a 1 ; : : : ; a n par récurrence sur n grâce à la formule suivante : ppcm (a 1 ; : : : ; a n ) = ppcm (ppcm (a 1 ; : : : ; a n 1 ) ; a n )) Exemple 36 pgcd(30; 15; 12) = 3; pgcd(300; 10; 60; 3) = 1 ppcm(30; 15; 12) = 60; ppcm(300; 10; 60; 3) = 300 Remarque 37 pour calculer le pgcd ou le ppcm de plusieurs nombres, on peut les prendre dans l ordre que l on veut.
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailFONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES
FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES AYBERK ZEYTİN 1. DIVISIBILITÉ Comment on peut écrire un entier naturel comme un produit des petits entiers? Cette question a une infinitude d interconnexions entre les nombres
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailPremiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Plus en détailL ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Plus en détailNombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...
Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailDéfinition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro.
Chapitre : Les nombres rationnels Programme officiel BO du 8/08/08 Connaissances : Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailAlgorithmes récursifs
Licence 1 MASS - Algorithmique et Calcul Formel S. Verel, M.-E. Voge www.i3s.unice.fr/ verel 23 mars 2007 Objectifs de la séance 3 écrire des algorithmes récursifs avec un seul test rechercher un élément
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailTests de primalité et cryptographie
UNIVERSITE D EVRY VAL D ESSONNE Tests de primalité et cryptographie Latifa Elkhati Chargé de TER : Mr.Abdelmajid.BAYAD composé d une courbe de Weierstrass et la fonction (exp(x), cos (y), cos(z) ) Maîtrise
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détail1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)
1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailCours de mathématiques Première année. Exo7
Cours de mathématiques Première année Eo7 2 Eo7 Sommaire Logique et raisonnements 9 Logique 9 2 Raisonnements 4 2 Ensembles et applications 9 Ensembles 20 2 Applications 23 3 Injection, surjection, bijection
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailInitiation à l algorithmique
Informatique S1 Initiation à l algorithmique procédures et fonctions 2. Appel d une fonction Jacques TISSEAU Ecole Nationale d Ingénieurs de Brest Technopôle Brest-Iroise CS 73862-29238 Brest cedex 3 -
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailCours d algorithmique pour la classe de 2nde
Cours d algorithmique pour la classe de 2nde F.Gaudon 10 août 2009 Table des matières 1 Avant la programmation 2 1.1 Qu est ce qu un algorithme?................................. 2 1.2 Qu est ce qu un langage
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailIntroduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices
CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détail2 Division dans l anneau des polynômes à plusieurs variables
MA 2 2011-2012 M2 Algèbre formelle 1 Introduction 1.1 Référence Ideals, varieties and algorithms, D. Cox, J. Little, D. O Shea, Undergraduate texts in Mathematics, Springer 1997. Using algebraic geometry,
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailAlgorithmes et mathématiques. 1. Premiers pas avec Python. Exo7. 1.1. Hello world!
Exo7 Algorithmes et mathématiques Vidéo partie 1. Premiers pas avec Python Vidéo partie 2. Ecriture des entiers Vidéo partie 3. Calculs de sinus, cosinus, tangente Vidéo partie 4. Les réels Vidéo partie
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril EXERCICE Commun à tous ls candidats Parti I points. L ax ds ordonnés st asymptot à C au voisinag d ; la fonction étant décroissant sur ] ; + [, la limit quand
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détail! " #$ % $! & '(# ) (%%
" #$ % $ & '(# ) (%% "#$ %&' # ( ) #* +,#*+-),- ). * /. 0),12-3 45 #3 /45 ) 67 #*+ & ) 5 ) #*+ )5 #& #*+ 0 / )5 8 )0 ) 0)12 5+ )& ) )12) 7)0 5 ) 9/ 5 2 ) ) '12 ) /) 5" ) 7) 6 ): 05 2 5 80 7 ) 0,$#- ) &
Plus en détailLa NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France.
La NP-complétude Johanne Cohen PRISM/CNRS, Versailles, France. Références 1. Algorithm Design, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Addison-Wesley, 2006. 2. Computers and Intractability : A Guide to the Theory of
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailChapitre 5. Équilibre concurrentiel et bien-être
Chapitre 5 Équilibre concurrentiel et bien-être Microéconomie III 5 1 5.1 Qu est-ce qu un équilibre souhaitable socialement? E cacité versus équité Que nous permet de dire la science économique sur l e
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détailLa question est : dans 450 combien de fois 23. L opération est donc la division. Le diviseur. Le quotient
par un nombre entier I La division euclidienne : le quotient est entier Faire l activité division. Exemple Sur une étagère de 4mm de large, combien peut on ranger de livres de mm d épaisseur? La question
Plus en détail