I. COSINUS ET SINUS J M. On munit le cercle trigonométrique d un repère orthonormé (O, OI, OJ ) et d un sens (le «sens direct») O x A

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1 STI - N4 - FNCTINS TRIGNMETRIQUES CURS (/5) PRGRAMMES Etude des fonctions ï sin et ï cos : dérivée, sens de variation. Equations cos = α et sin = α. CMMENTAIRES n s aidera de l interprétation des résultats sur le cercle trigonométrique. n admet les valeurs des dérivées des fonctions sinus et cosinus. I. CSINUS ET SINUS n munit le cercle trigonométrique d un repère orthonormé (, I, J ) et d un sens (le «sens direct») B J M + Soit M le point tel que a IM = n appelle mesure en radians de l angle a IM la longueur de l arc c IM A I n appelle cos l abscisse de M. n appelle sin l ordonnée de M. Si M est le point associé a réel sur le cercle trigonométrique, alors M(cos ; sin ). Remarque : +, + 4, + 6,,, + k (avec k W) sont aussi des mesures en radian de l angle. II. VALEURS REMARQUABLES DU SINUS ET DU CSINUS a. Signe cos sin cos sin - = cos sin cos sin - b. Propriétés Pour tout, on a : - cos - sin cos²+ sin² = c. Valeurs remarquables (radians) 6 4 (degrés) cos sin

2 STI - N4 - FNCTINS TRIGNMETRIQUES CURS (/5) d. Propriétés de symétrie cos (-) = cos sin (-) = - sin + - cos ( - ) = - cos sin ( - ) = sin - cos ( + ) = - cos sin ( + ) = - sin cos ( - ) = sin sin ( - ) = cos cos ( + ) = - sin sin ( + ) = cos + - III. LES FNCTINS TRIGNMETRIQUES n appelle fonctions trigonométriques les deu fonctions définies sur Y par : f : ï cos g : ï sin -. LA FNCTIN CSINUS Tout nombre réel a un cosinus (c est l abscisse du point M associé à ce nombre sur le cercle trigonométrique). n appelle fonction cosinus la fonction f : ï cos définie sur ]- ; + [. Remarques : - Puisque pour tout, cos ( + ) = cos, on n étudiera la fonction que sur l intervalle ]- ; ]. n dit que cette fonction est périodique, de période. - Pour tout, cos(-) = cos(), donc la fonction cosinus est paire (la courbe est donc symétrique par rapport à l ae des ordonnées). Sens de variation de la fonction cosinus sur l intervalle ]- ; ] et négative. (cos varie de à -) (cos varie de à ) - = négative. (cos varie de - à ) - positive. (cos varie de à ) cos

3 STI - N4 - FNCTINS TRIGNMETRIQUES CURS (/5) Représentation graphique : b. La fonction sinus Tout nombre réel a un sinus (c est l ordonnée du point M associé à ce nombre sur le cercle trigonométrique). n appelle fonction sinus la fonction f : ï cos définie sur ]- ; + [. Remarque : - Puisque pour tout, sin ( + ) = sin, on n étudiera la fonction que sur l intervalle ]- ; ]. n dit que cette fonction est périodique, de période. - Pour tout, sin(-) = -sin(), donc la fonction cosinus est impaire (la courbe est donc symétrique par rapport à l origine du repère). Sens de variation de la fonction sinus sur l intervalle ]- ; ] (sin varie de à ) croissante (sin varie de à ) - = et négative. (sin varie de à -) - négative. (si varie de - à ) sin

4 STI - N4 - FNCTINS TRIGNMETRIQUES CURS (4/5) Représentation graphique : IV. EQUATINS TRIGNMETRIQUES a. Equation du type «cos = α» Soit l équation «cos = α» avec α un réel : α < - L équation cos = α n admet aucune α = - L équation cos = - admet pour = + k, avec k W - < α < α = L équation cos = α admet pour = a + k ou = -a + k, avec k W où a est UN nombre tel que cos a = α L équation cos = admet pour = k, avec k W α - α > L équation cos = α n admet aucune - Eemple : Résoudre sur [- ; ] l équation : cos = n sait que cos =, donc les s de l équation sont de la forme : = + k ou = - + k avec k W C'est-à-dire : -5 ; ; 7 ; -7 ou ; - ; 5 ; -5 donc S = { ; ; - ; 5 }

5 STI - N4 - FNCTINS TRIGNMETRIQUES CURS (5/5) b. Equation du type «sin = α» Soit l équation «sin = α» avec α un réel : α < - α = - L équation sin = α n admet aucune L équation sin = - admet pour = - + k, avec k W - α - < α < α = L équation sin = α admet pour tous les nombres sous la forme : = a + k ou = - a + k, avec k W où a est UN nombre tel que sin a = α L équation sin = admet pour tous les nombres sous la forme : = + k, avec k W - α > L équation sin = α n admet aucune Eemple : Résoudre sur [- ; ] l équation : sin = n sait que sin 6 =, donc les s de l équation sont de la forme : = 6 + k ou = k avec k W C'est-à-dire : - 6 ; 6 ; 6 ; 5-9 ou 6 6 ; -7 6 ; 5 6 ; 7 - donc S = { 6 6 ; -7 6 ; 6 ; 5 6 }