Quadripôles I 2 V 2 Z L V 1

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1 Présentation uadripôles Un quadripôle est un circuit électrique, qui a 4 bornes de communication avec l extérieur : bornes d entrée et bornes de sortie. Un quadripôle peut être décrit par un système de équations à inconnues, que l on peut mettre sous forme matricielle :! ecteur ( Matrice " de! ecteur" résultat liaison ' connu Dans ce cours, on s intéresse à des quadripôles linéaires, comportant des résistances, des condensateurs et des sources liées. xemple : e quadripôle ci contre présente résistances, une source liée (A*, et a une borne d entrée et une borne de sortie communes. A* Utilisation des quadripôles : avantage de la théorie qui va suivre est qu on va poser les problèmes sous forme matricielle : facile à résoudre numériquement. étude des quadripôles nous permet de définir ce qu est une impédance d entrée et ce qu est une impédance de sortie. A la fin de ce chapitre, nous verrons une des applications des quadripôles : l étude des lignes (quadripôles identiques en cascade. Par ailleurs, dans le cours de Maîtrise de Physique, nous verrons que l on peut modéliser des semi - conducteurs par un schéma électrique de type quadripôle, et lorsque les propriétés physiques des semi conducteurs changent, le schéma électrique du quadripôle change. ypes de matrices de liaison orsque les paramètres d un quadripôle sont homogènes à des impédances, on parle de «matrice impédance». Matrice impédance Matrice admittance ( ( ( ( ( ( ' ' ' ' ' ' (les équations sont : * et * Matrice transmittance ( ( ( ' ' ' (pour des raisons qui apparaîtront par la suite, on exprime les équations en fonction de Matrice hybride ( ( ( ' ' ' Détermination des paramètres Ou bien, on détermine les paramètres à partir des équations : xemple : Soit le quadripôle suivant : Matrice transmittance inverse ( ( ' ' ' ' Matrice hybride inverse ( ( ' ' ' ' ' ' ' ' ( ' ( '

2 on a * ( * * j, et ( * * j, ( * ( ( d où :,, j j ' ' ' j, j, Ou bien, on détermine les paramètres à partir de leur définition ou de mesures simples : : on mesure l impédance ( lorsque le circuit est ouvert (. j, * = : ( j, = Association des quadripôles uadripôles en cascade : on fait le produit des matrices transmittances ( ' ( ' ( ' ( '! "! " ' ' ' '! " ' ' uadripôles en série : on additionne les matrices impédances ( ' e schéma est équivalent à un quadripôle, tel que : ( ' ( (! "! "! " ' de même, on montre que : ( (! "! " ' ' ' ' ' Pour le quadripôle : ( (! ", où est la matrice ' ' impédance du quadripôle. ( ( Pour le quadripôle :! " ' ' Or *, le schéma est donc équivalent à un quadripôle, tel que : ( ' ( (! * "! " ' '

3 uadripôles en parallèle : on additionne les matrices admittances Pour le quadripôle : ( (! ", où est la matrice ' ' impédance du quadripôle. ( ( Pour le quadripôle :! " ' ' Or *, le schéma est donc équivalent à un quadripôle, tel que : ( ' ( (! * "! " ' ' De même, on peut trouver des configurations, entrée série / sortie parallèle (respectivement entrée parallèle / sortie série, on additionne alors les matrices hybrides (respectivement hybrides inverses. Propriétés des quadripôles uadripôle passif : Un quadripôle est passif lorsqu il ne comporte pas de source. On peut appliquer le théorème de réciprocité : n appliquant ce théorème à la matrice impédance : = ( ( ' ' (. ' - - ( ( ' ' ( '. ' ' - - d où : uadripôle symétrique : Un quadripôle est symétrique si rien ne distingue l entrée de la sortie. xemple : e quadripôle est réciproque (pour la matrice transmittance, on montre que -. ( ( ( Pour un quadripôle symétrique : et ' ' ' ( ( ( ' ' ' on trouve alors : - et d où : On obtient ainsi le tableau récapitulatif suivant : Matrice passif symétrique mpédance Admittance ransmittance ransmittance inverse ' - - ' ' ybride - ybride inverse ' ' - '

4 Passage d une matrice à une autre = = = = mpédance d entrée d un quadripôle Par définition : mpédance de sortie d un quadripôle On a * et * avec, on en déduit : d où : * * NB : l impédance d entrée dépend de l impédance de charge ( ( Par définition : S (idem à hévenin ' On a * et * avec, on en déduit : d où : * S * NB : l impédance de sortie dépend de l impédance du générateur d attaque ( ains en tension et en courant d un quadripôle On a * avec, on en déduit : i *

5 Par ailleurs : uadripôles identiques en cascade mpédance itérative d entrée : c est l impédance de charge telle que :, d où : - it. * Ainsi, quelque soit le nombre de quadripôle, l impédance d entrée est constante et égale à it : - * = it it mpédance itérative de sortie : c est l impédance interne du générateur d attaque telle que : Ainsi, quelque soit le nombre de quadripôle, l impédance de sortie est constante et égale à it : S it. * it S = it as particulier d un quadripôle passif et symétrique : impédance caractéristique passif : symétrique : alors D où l impédance caractéristique : On montre que /, où est l impédance d entrée du quadripôle lorsque la sortie est court circuitée ( et / est l impédance d entrée du quadripôle lorsque la sortie est ouverte ( /. Démonstration : / ( (.. * xemple : le câble coaxial. Sur certains câbles est indiquée la mention mpédance caractéristique, 5 pour les câbles de mesure en salle de P d électronique et 75 pour les câbles d antenne de télévision : it it * Ainsi, quelque soit la longueur du câble, c est à dire quelque soit le nombre de quadripôles en cascade : le générateur d impédance interne croit être chargé par, la charge croit être attaquée par un générateur d impédance interne. Nous verrons en D que la longueur du câble se traduit par un retard entre le signal du générateur et le signal aux bornes de la charge.