Correction : EXERCICE 1 : principe de Fermat et lois de la réfraction

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1 EXERCICE 1 : principe de Fermat et lois de la réfraction Pierre de Fermat (mathématicien et physicien français, ) postula que les rayons lumineux répondaient à un principe très général selon lequel le chemin emprunté par la lumière pour se rendre d un point donné à un autre était celui pour lequel le temps de parcours était minimum (en fait un extremum qui peut être un minimum ou un maximum). Un maître nageur est situé en A sur la plage, alors qu un vacancier situé en B est sur le point de se noyer. Le maître nageur peut courir avec la vitesse v 1 et nager avec la vitesse v 2. Il se déplace en ligne droite sur la plage comme dans l'eau. Il atteint l'eau au point I (repéré par l'abscisse x). 1. Quelle est la durée t(x) que le maître nageur met pour atteindre le noyé? 2. A quelle condition sur x cette durée est-elle extrémale (minimale dans ce cas)? 3. Montrer que cette condition sur x est équivalente à une relation entre les angles i 1 et i En déduire une analogie avec la loi de la réfraction de Snell-Descartes ainsi que l'énoncé du principe de Fermat. Correction : On choisit un repère qui simplifie le problème : on fait passer l axe des abscisses par la droite qui sépare la plage de la mer et l axe des ordonnées par le point A, position initiale du maître nageur. Dans un tel repère, les points A et B ont alors les coordonnées A (0,y A ) et B (x B,y B ). La trajectoire du maître nageur va être constituée de deux portions rectilignes AI et IB, où I (x,0) désigne le point où le maître nageur se met à nager. On peut remarquer que la distance AI sera plus grande que la distance IB puisque le maître nageur va certainement plus vite en courant qu en nageant!

2 Le temps T mis pas le maître nageur pour aller de A à B est alors : T AI IB = + v v 1 2 En développant les valeurs de AI et IB, on obtient la dépendance suivante de T = T(x) en fonction de l abscisse x de I : ( ) T x ( ) x + y A xb x yb = + v v 1 2 L extremum de T(x) est atteint lorsque sa dérivée par rapport à x est nulle. Or : En remarquant que : ( x x) ( ) dt 1 x 1 B = dx v x + y v x x + y A 2 B B x x sin x + y = AI = 2 2 A ( i ) 1 et ( B ) ( ) 2 2 B ( ) x x xb x = = sin x x + y IB B ( i ) 2 (où les angles i 1 et i 2, par analogie avec l optique (voir figure ci-dessus), peuvent être appelés angle d incidence et angle de réfraction), la condition d un temps extremum mis par la lumière (soit dt / dx = 0) s exprime alors sous la forme : 1 1 sin v ( i ) = sin ( i ) v2 Il suffit que les angles d incidence et de réfraction remplissent cette condition pour que le chemin parcouru par le maître nageur soit effectivement celui qui prend le moins de temps. Il est en effet évident que ce temps extrémal correspond bien à un minimum ; en effet, la distance AI et donc le temps T peuvent être facilement rendus très grands si le maître nageur, manquant alors assurément de conscience professionnelle, décidait d aller par exemple faire des courses avant de porter secours au pauvre vacancier! Cas de la lumière et lois de Snell-Descartes : On considère deux milieux (M 1 ) et (M 2 ) d indices de réfraction respectifs n 1 et n 2. Soient deux points A et B situés respectivement dans le milieu d indice n 1 (le point A) et dans le milieu d indice n 2 (le point B). Le principe de Fermat permet d affirmer que le chemin emprunté par la lumière pour aller de A à B est tel que le temps mis pour le parcourir est extremum (le plus souvent minimum). Par application de ce principe, un raisonnement similaire à celui effectué dans le cas du chemin suivi par le maître nageur, permet de démontrer la loi de la réfraction énoncée, vers n sin i = n sin i, où i 1 et i 2 sont 1620, par les physiciens Snell et Descartes : ( ) ( )

3 respectivement les angles d incidence et de réfraction (on rappelle que l indice d un milieu permet de connaître la vitesse v de la lumière dans ce milieu en fonction de celle dans le vide c ; v= c/ n). EXERCICE 2 : Construire l image A B de l objet AB donné

4 EXERCICE 3 : lentille mince sphérique La vergence d une lentille mince sphérique est fonction de son indice n et des rayons de courbure des dioptres qui la constituent : = = V = ( n 1) OF ' OF OC1 OC2 1. En déduire une relation simple entre la forme de la lentille et son caractère convergent ou divergent. 2. Discuter la nature réelle et virtuelle des foyers. 3. Une lentille équiconvexe (R1 = - R2 > 0 ) taillée dans un verre d indice n = 1,5 a une vergence V = + 6 δ. Son diamètre est de 5 cm. a) Evaluer le rayon de courbure des dioptres. b) Quelle est l épaisseur de cette lentille? L approximation lentille mince est-elle valable? : 1. Une lentille convergente a une vergence V > 0. Cela sera vrai et favorisé si OC 1 > 0 et OC 2 < 0, c'est-à-dire que la lentille sera convergente si l épaisseur de le lentille est plus importante au centre que sur les bords. Lentille convergente Lentille divergente

5 2. Pour la lentille convergente : foyers réels. Pour la lentille divergente : foyers virtuels 3. Lentille équiconvexe donc OC1 = OC2 d où 2 V = ( n 1 ) et OC1 = 1/ V = 16, 67 cm OC1 2 2 e= 2 OC2 OC2 ( d/ 2) = 0,377 cm. L approximation de lentille mince est donc bien vérifiée. EXERCICE 4 : Application de la formule de conjugaison On place un objet AB = 1 cm à 25 cm d une lentille convergente de vergence ( +8 δ). Par un schéma à l échelle (1/5 ; 1), trouver la position et la taille de l image. Retrouver les résultats précédents par le calcul. On détermine la distance focale pour réaliser le graphe à l échelle : f = 12,5 cm f ' OA On applique la relation de conjugaison : et donc OA = f ' =. Par ailleurs f ' + OA OA = 25 cm et donc OA ' = 25 cm. On en déduit le grandissement γ. γ = A' B ' = 1cm. EXERCICE 5 : Projecteur de diapositives = 1 et donc OA L objectif d un projecteur de diapositives est constitué d une lentille mince de distance focale f = 60 mm. 1. Justifier que cette lentille ne puisse être que convergente. A quelle distance minimale de la diapositive doit se situer l objectif? Pourquoi faut-il la placer «à l envers»? 2. Calculer les dimensions de l image projetée sur un écran situé à 3 m de l objectif. La diapositive a pour dimensions 24 sur 36 mm. A quelle distance du plan focal objet se trouve-t-elle? 3. On veut obtenir une image de 2 m sur 3 m. Faut-il rapprocher l objectif de la lentille ou l éloigner? Justifier. Etablir l expression de la distance algébrique p entre la diapositive et la lentille-mince en fonction du grandissement γ et de la focale f. Calculer sa valeur. 1. On veut une image réelle d un objet réel. La lentille doit donc être une lentille convergente. Il faut de plus que l objet soit situé avant le foyer objet pour que l image soit réelle, soit à plus de 60 mm. Il faut placer la diapositive à l envers, car l image sera inversée. En effet, le grandissement est négatif.

6 2. On détermine d abord la position de l objet avec une image à 3 m à l aide de la f ' relation de conjugaison : et donc OA 61, 22 mm OA = f ' = f ' =. On en 3000 déduite que le grandissement est γ = = = 49 et donc l image projetée OA 61,22 fait 1176 mm par 1764 mm. L objet est à -1,22 mm du foyer objet. La diapositive est donc pratiquement au foyer objet de l objectif. 3. On veut un grandissement supérieur. Il faut rapprocher l objet du foyer objet ( OA diminue), l image se fait plus loin ( augmente) et donc le grandissement augmente. ' On a γ = OA et OA OA = f ' et donc f '1 ( γ ) p =. γ Pour obtenir une image de 2 m sur 3 m, cela signifie que l on a un grandissement de 60( 1 ( 83,33) ) γ = 2000/24 = 83,33. On en déduite que p = = 60,72 mm. 83,33 EXERCICE 6 : Utilisation d une loupe 1. Trouver par le calcul et par une construction géométrique la position de l image pour une lentille de focale f = 5,0 cm, l objet de 1 cm étant placé dans un plan frontal 3,0 cm devant la lentille. Calculer le grandissement. 2. Où placer l œil pour observer l objet en entier à travers la lentille, cet œil ne pouvant percevoir distinctement un objet situé à moins de 25 cm? Refaire un schéma à l échelle ½ faisant apparaître la zone où il faut placer l œil. Diamètre de la lentille : 2,0 cm. 3. Un objet AB de 3 mm de hauteur est observé d abord à l œil nu. Calculer l angle α sous lequel il est perçu lorsqu il est situé à la distance d m = 25 cm de l œil. 4. Cet objet est maintenant observé à travers une loupe de vergence 20δ. Il est placé 4,0 cm devant la lentille. Trouver par le calcul et par un schéma à l échelle1/2 la position et la taille de l image. 5. Calculer le grossissement G = α /α en supposant que l œil est situé à 25 cm de l image lorsqu il observe l objet à travers la lentille. α est l angle sous lequel il voit l objet à travers la lentille f ' OA 5 3 = et donc = = = 7,5 cm. OA f ' f ' + OA 5 3 On calcule le 7,5 grandissement γ = = = 2,5. OA 3

7 2. L œil perçoit l objet comme si celui-ci est 7,5 cm avant la lentille. Pour que l image soit nette, cette image doit être située à plus de 25 cm de l œil, donc il doit être situé à plus de 25 7,5 = 17,5 cm de la loupe. De plus l objet fait 1 cm et donc son image fait 2,5 cm. Pour le voir en entier : d x d A' O = et donc x = = 30 cm AB ' ' x + AO ' AB ' ' d L œil doit être à plus de 30 cm de la lentille pour voit l objet en entier. 3. L objet AB de 3 mm est vu sous l angle α tel que tan ( α / 2) = 1,5 / 250 = 0,006. L angle α est petit et très inférieur à 1 et donc α = 0,012 rad. 4. La vergence est de 20δ et donc f = 5 cm. Pour un objet situé à 4 cm avant la lentille OA = 4 cm. En appliquant la relation de conjugaison sur la loupe : f ' OA 5 4 = et donc = = = 20 cm. OA f ' f ' + OA On calcule le grandissement γ = = = 5. On en déduit que l image mesure OA 4 AB ' ' = AB γ = 3 5= 15 mm. 5. On calcule α l angle sous lequel est vu l objet AB à travers la lentille observé à la tan α '/ 2 = 7,5 / 250 = 0,03. L angle α est petit et très inférieur à distance de 25 cm. ( ) 1 et donc α = 0,06 rad. On en déduit le grossissement EXERCICE 7 : Projection à l aide d un miroir concave ' 0,06 G = α 5 α = 0,012 =. On dispose d un miroir concave de rayon R =1 m. Ce miroir est placé à la distance D = 5 m d un écran E. 1. Quelle est la distance focale du miroir? 2. Où doit-on mettre un petit objet pour en avoir une image nette sur E? 3. Quel est le grandissement? 1. La distance focale du miroir est SF ' = SC /2= 0,5 m. 2. On applique la relation de conjugaison au sommet = 1 et donc SA SA' f ' 3. f ' SA' SA = = 0,55 m. Il faut mettre l objet 0,55 m avant le miroir. SA ' f ' SA' 5 γ = = = 9 SA 0,55