Logique 2 : la déduction
|
|
- Patrice Lessard
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Logique 2 : la déduction La mathématique est la science de la déduction. Ce qui signifie qu un mathématicien prend des informations de départ et cherche tout ce qu on peut en déduire. La question de savoir quelles sont les informations de base qui sont vraies n est pas du ressort de la mathématique, mais plutôt de la physique et de toutes les autres sciences appliquées. Par exemple un joueur d échec est un mathématicien : il prend les règles du jeu sans les discuter, et il voit tout ce qu il peut faire avec. Si un beau jour on lui dit que le pion se déplacera dorénavant en diagonale, il ne s émeut pas, et recommence ses raisonnements avec cette nouvelle règle. Bien entendu, un bon scientifique doit savoir à la fois deviner quelles sont les règles de base qui régissent le problème qu il étudie (physique), et aussi voir tout ce qu on peut en déduire (math). Si les déductions ne concordent pas avec l observation, il doit vérifier son raisonnement, puis si le raisonnement est juste, changer son choix de règles de base. Un point de vocabulaire : les informations élémentaires dont part un mathématicien s appellent des axiomes. Un choix d axiomes et l ensemble des déductions qu on peut en faire s appelle une théorie. 1 Le théorème Un théorème est généralement de la forme suivante : au préalable ont étés définis un ensemble E et deux prédicats P et Q sur E, et le théorème s énonce ainsi en formule : Théorème 1. x E, P(x) Q(x). ou, plus fréquemment en mode littéraire : Théorème 2. Soit x E. On suppose P(x) vrai. Alors Q(x) est vrai aussi. Dans la première partie (le "Soit x E."), on indique de quoi on est en train de parler. La seconde partie ("On suppose P(x) vrai") forme les "hypothèses" du théorème. Enfin, la dernière partie est la "conclusion". Lorsqu on utilise le théorème, on rédige souvent ainsi : imaginons que nous ayons un élément a dans notre exercice, et que nous voulons prouver Q(a), on écrit alors : "Déjà, a E. Or, P(a) est vrai. Donc, d après le théorème, on déduit que Q(a) est vrai". Utiliser un théorème s appelle effectuer une déduction. La déduction est la seule et unique méthode de raisonnement utilisée en mathématiques, dit autrement, la mathématique est l étude de la déduction. Les différentes méthodes de raisonnement que nous verrons reposent toujours sur ce principe de déduction. cf exercice: 2 Remarque: Lorsque vous devrez énoncer un théorème lors d une question de cours, faites attention à faire apparaître clairement ces trois parties. Remarque: Pour certains théorèmes, l hypothèse est toujours vérifiée, il devient inutile de l écrire. Le théorème s énoncera alors ainsi : Théorème 3. x E, Q(x). et en littéraire : Théorème 4. Soit x E. Alors Q(x) est vrai. Dans ce cas, la seule chose à vérifiée est que l élément étudié est bien dans l ensemble E. Enfin, une dernière variante : un théorème peut présenter une équivalence : Théorème 5. x E, P(x) Q(x). 1
2 ou : Théorème 6. Soit x E. Alors Q(x) est vrai si et seulement si P(x) est vrai aussi. Dans ce cas là, on a en fait deux théorèmes réunis en seul énoncé : le premier théorème est x E, P(x) Q(x), et le second théorème est sa réciproque : x E, Q(x) P(x). Un mot de vocabulaire : un théorème qui donne une équivalence est souvent appelé une "caractérisation". 2 Un peu de français Voici quelques mots de liaison très fréquent : "donc" : c est votre mot préféré. Il indique que vous faites une déduction, il est fréquent de l employer à chaque ligne. "car" : s utilise pour donner la justification après la conclusion... A éviter, sauf si la justification est très courte. "or" : s utilise pour introduire un nouvel argument qui n est pas lié à la phrase précédente. "avec" : ce mot n a aucun sens précis, ne jamais l utiliser. cf exercice: 2 3 Quelques modèles de rédaction 3.1 Déduction directe Supposons que nous ayons un ensemble E, et deux prédicats P et Q, et que nous connaissions un théorème x E, P(x) Q(x). Appelons ce théorème le théorème T. Enfin, nous avons un élément a et nous voulons prouver Q(a). Une rédaction pourrait être : "Déjà, a E. Ensuite Donc P(a) est vraie. Donc par le théorème T, on déduit que Q(a) est vraie. 3.2 Absurde Supposons que nous ayons une assertion A et que nous voulions prouver qu elle est vraie. La méthode par l absurde consiste à supposer que A est fausse, puis à en déduire quelque chose d impossible (typiquement, on va contredire une assertion qu on sait vraie). Une rédaction peut ressembler à : "Supposons par l absurde que A est fausse. Alors : Ce qui est impossible / ce qui contredit telle hypothèse On conclut que notre supposition était fausse : A est donc vraie." cf exercice: Assertion commençant par Pour démontrer que x E, P(x) : On choisit un élément x E quelconque. Et on démontre P(x), en prenant soin que tout ce qu on écrit soit vrai quel que soit x E. La rédaction ressemblera en général à ceci : 2
3 " Soit x E. Alors : On a bien vérifié que pour tout x E, P(x) est vrai." 3.4 Assertion commençant par Pour démontrer que x E tq P(x) : Le plus simple est juste de deviner un x E pour lequel P(x) est vrai. La rédaction ressemblera alors à : " Prenons x =. Alors : On a bien vérifié qu il existe x E tel que P(x). " Remarque: Deviner un x convenable peut être difficile, et peut nécessiter de nombreux calculs au brouillon. 3.5 Unicité Pour démontrer que!x E tq P(x) : Cette assertion en contient en réalité deux : d abord l existence d un x vérifiant P(x), puis son unicité. On va donc rédiger deux paragraphes, le premier pour l existence comme ci-dessus. Puis le second pour l unicité. Pour prouver l unicité l unicité d un x E vérifiant P(x), le plus simple est de supposer qu il existe deux éléments x 1 et x 2 de E tels que P(x 1 ) et P(x 2 ), et de démontrer que x 1 = x 2. Au final, on aura une rédaction de ce type : " Montrons l existence : (cf ci-dessus) Montrons l unicité : Soient x 1 et x 2 deux éléments de E tels que P(x 1 ) et P(x 2 ). Alors : Donc x 1 = x 2. Ce qui prouve que l élément de E vérifiant P est en fait unique. On a prouvé existence et unicité : on peut donc affirmer qu il existe un unique x E vérifiant P(x). " cf exercice: 3 Remarque: Le symbole! est en fait superflu en mathématiques : l assertion!x E tq P(x) a le même sens logique que : x E tq P(x) et ( (x, y) E 2, P(x) et P(y) x = y ) Ainsi,! est juste un raccourci pour une assertion qu on pouvait déjà écrire seulement à l aide de et. 3
4 3.6 Disjonction de cas Lorsqu on est amené à séparer plusieurs cas, il faut bien entendu veiller à avoir traité tous les cas possibles! Le mieux est de conclure par une phrase de type "on a vérifié que dans tous les cas l assertion est vraie". Un modèle de rédaction pourrait être le suivant. Imaginons que nous ayons un ensemble E, un prédicat P sur E, et que nous voulons prouver x E, P(x) : "Soit x E. Premier cas : supposons que x vérifie Alors : Second cas : supposons que x vérifie Alors : # autant de cas que nécessaire On constate que dans tous les cas, P(x) est vrai." Exemple: Démontrer que x R, x Réciproque et contraposée cf exercice: 5 Définition 1. Soient E un ensemble, P et Q deux prédicats sur E. Notons I l implication suivante : x E, P(x) Q(x). (i) L implication x E, Q(x) P(x) s appelle la réciproque de I (ii) L implication x E, nonp(x) nonq(x) s appelle la contraposée de I Remarque: L implication x E, nonq(x) nonp(x) est la contraposée de la réciproque de I, ou également la réciproque de la contraposée de I. On voit sur les exemples que lorsqu une implication est vraie, sa réciproque n a aucune raison de l être (ni la réciproque de la contraposée d ailleurs). Par contre : Théorème 7. Si une implication est vraie, alors sa contraposée est vraie aussi. cf exercice: 6 4
5 Exercices : Raisonnements Exercice 1. **! Un peu de français Notons P l assertion "il pleut", et Q l assertion "je prend mon parapluie". Traduire chacune des phrases suivantes par une implication. Donner la contraposée et la réciproque en français. 1) S il pleut, je prends mon parapluie. 2) Il suffit qu il pleuve pour que je prenne mon parapluie. 3) Il faut qu il pleuve pour que je prenne mon parapluie. 4) Il faut que je prenne mon parapluie pour qu il pleuve. 5) Il pleut seulement si je prends mon parapluie. 6) Il pleut si je prends mon parapluie. 7) Je prends mon parapluie si et seulement si il pleut. Dans les exercices suivants, on pourra utiliser les propriétés suivantes. On ne cherchera pas à la démontrer au préalable : nous les prendrons comme axiomes. Proposition ) (P1) : (a, b, c) R 3, a b a + c b + c. 2) (P2) : (a, b, c) R 3, (a b et c 0) a.c b.c. 3) (P3) : (a, b, c) R 3, (a b et b c) a c ("transitivité de "). À chaque fois que vous utiliserez une de ces propriétés, citez-la, et indiquez pour quelles valeurs de a, b et c vous l avez utilisée. Exercice 2. Démonstration à trous. Utilisation de "donc" et "or". Dans les démonstrations suivantes, compléter les pointillés par une conjonction de coordination, et compléter les "d après " en rajoutant "(P1)", "(P2)", ou "(P3)". On rappelle la définition d une fonction croissante : Définition 2. Soit I un intervalle et f : I R une fonction sur I. On dit que f est croissante sur I lorsque : (x, y) I 2, x y f (x) f (y). 1. Soit f la fonction définie par f : R R x x 2 (la fonction "carré"). Nous allons prouver que f est croissante sur R +. Soient x et y éléments de R +. Supposons que x y. Par hypothèse, x 0 et x y., d après, par hypothèse, y 0 et x y., d après, x.x x.y x.y y.y Ainsi, nous avons obtenu x 2 xy et xy y 2., d après, f (x) f (y) x 2 y 2 Finalement, nous avons prouvé que quels que soient x et y dans R +, si x y alors f (x) f (y). Par définition d une fonction croissante, f est croissante sur R +. 5
6 2. Ici, nous voulons prouver que : pour tout x et y réels, x y x y. Soient x et y deux nombres réels. Supposons x y. D après, x x y x., x x = 0. : 0 y x Puis, d après, 0 y y x y. 0 y = y et y x y = x. : Exercice 3. * Exemples simples de preuves Démontrer les assertions suivantes : 1) x R tq x 2 < x 2)!x R + tq x 0 3) x R, x 2 0. Exercice 4. **! Exemple de preuve par l absurde Soit x R. Montrer les implications : y x 1) ( b R +, x < b) x = 0 2) ( b R +, x b) x = 0 3) ( b R +, x b) x = 0 4) ( b R +, x < b) x = 0 Exercice 5. * Exemples simples de réciproques et contraposées 1. Nous supposons l assertion suivante vraie : "si je mens je vais en enfer". Lesquelles des affirmations suivantes sont alors vraies également? (a) Si je suis en enfer c est que j ai menti ; (b) Si je ne suis pas en enfer, c est que je n ai pas menti ; (c) Si je n ai pas menti, je n irai pas en enfer ; (d) Pour aller en enfer, il faut avoir menti ; (e) Pour aller en enfer, il suffit d avoir menti. 2. Pour tout h H, on notera M(h) si h a menti au cours de sa vie, et E(h) si h va en enfer. On supposera vraie l implication h H, M(h) E(h). On notera I cette implication. Réécrire les phrases de l exercice précédent en formules mathématiques. Identifier parmi elles la contraposée et la réciproque de I. Exercice 6. ***! Exemples d implications. Étude de réciproque et contraposée. Attention aux parenthèses. Soit f F (R, R), supposée dérivable à partir de 6). Déterminer si les implications suivantes sont vraies, fausses ou mal définies. Étudier ensuite les réciproques. Enfin, lorsque l implication est vraie, écrire sa contraposée. 1) (x, y) R 2, ( f (x) = f (y) f est constante ). 2) ( (x, y) R 2, f (x) = f (y) ) f est constante. 3) ( x R, M R tq f (x) < M ) f est majorée 4) ( M R tq x R, f (x) < M ) f est majorée 5) ( M R tq x R, f (x) M ) f est majorée 6) f (x) 0 f est croissante 7) x R, ( f (x) 0 f est croissante ) 8) ( x R, f (x) 0 f est croissante ) 9) ( x R, f (x) 0 ) f est croissante 10) ( x R, f (x) > 0 ) f est strictement croissante 11) f est strictement croissante ( x R, f (x) > 0 ) 12) x R, ( f est croissante f (x) 0 ) 13) f est croissante ( x R, f (x) 0 ) 6
Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailProblèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailSi deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCalculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables. http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/
Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/ Problèmes et classes de décidabilité Problèmes et classes de décidabilité Nous nous intéressons aux problèmes
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détailM2 IAD UE MODE Notes de cours (3)
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailFONDEMENTS MATHÉMATIQUES 12 E ANNÉE. Mathématiques financières
FONDEMENTS MATHÉMATIQUES 12 E ANNÉE Mathématiques financières A1. Résoudre des problèmes comportant des intérêts composés dans la prise de décisions financières. [C, L, RP, T, V] Résultat d apprentissage
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailLa maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail
La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES Suites géométriques, fonction exponentielle Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence L objectif de cet exercice
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailProbabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailPRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE
Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques François Delarue) PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Ce texte vise à modéliser de façon simple l évolution d un actif financier à risque, et à introduire,
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailMéthode universitaire du commentaire de texte
Méthode universitaire du commentaire de texte Baptiste Mélès Novembre 2014 L objectif du commentaire de texte est de décrire la structure argumentative et de mettre au jour les concepts qui permettent
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailRéalisabilité et extraction de programmes
Mercredi 9 mars 2005 Extraction de programme: qu'est-ce que c'est? Extraire à partir d'une preuve un entier x N tel que A(x). π x N A(x) (un témoin) (En fait, on n'extrait pas un entier, mais un programme
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailPrésentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau
i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailFaut-il tout démontrer?
Faut-il tout démontrer? Introduction et énoncé du problème L acte de démontrer consiste à mettre en ordre logique, à disposer de façon rationnelle et déductive des propositions afin d assurer que la conclusion
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailO b s e r v a t o i r e E V A P M. Taxonomie R. Gras - développée
O b s e r v a t o i r e E V A P M É q u i p e d e R e c h e r c h e a s s o c i é e à l ' I N R P Taxonomie R. Gras - développée Grille d'analyse des objectifs du domaine mathématique et de leurs relations
Plus en détail1.1 Codage de source et test d hypothèse
Théorie de l information et codage 200/20 Cours 8février20 Enseignant: Marc Lelarge Scribe: Marc Lelarge Pour information Page webdu cours http://www.di.ens.fr/~lelarge/info.html Notations Pour des variables
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailIUT de Laval Année Universitaire 2008/2009. Fiche 1. - Logique -
IUT de Laval Année Universitaire 2008/2009 Département Informatique, 1ère année Mathématiques Discrètes Fiche 1 - Logique - 1 Logique Propositionnelle 1.1 Introduction Exercice 1 : Le professeur Leblond
Plus en détailINF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies
INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies Année Académique 2013-2014 Année Académique 2013-2014 UNIVERSITÉ JOSEPH
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailSommaire de la séquence 8
Sommaire de la séquence 8 Séance 1........................................................................................................ Je prends un bon départ.......................................................................................
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailPeut-on imiter le hasard?
168 Nicole Vogel Depuis que statistiques et probabilités ont pris une large place dans les programmes de mathématiques, on nous propose souvent de petites expériences pour tester notre perception du hasard
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailManuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailExo7. Probabilité conditionnelle. Exercices : Martine Quinio
Exercices : Martine Quinio Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 Dans la salle des profs 60% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détailSéquence 4. Comment expliquer la localisation des séismes et des volcans à la surface du globe?
Sommaire Séquence 4 Tu as constaté que les séismes et les éruptions volcaniques se déroulaient toujours aux mêmes endroits. Tu vas maintenant chercher à expliquer ce phénomène. Problématique : Comment
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailMIS 102 Initiation à l Informatique
MIS 102 Initiation à l Informatique Responsables et cours : Cyril Gavoille Catherine Pannier Matthias Robine Marc Zeitoun Planning : 6 séances de cours 5 séances de TD (2h40) 4 séances de TP (2h40) + environ
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailLes droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites
I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détail