DIVISEURS D UN NOMBRE ENTIER

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1 DIVISEURS D UN NOMBRE ENTIER - Décompose les nombres suivants en produits de facteurs aussi petits que possible : Exemple : 2= =... 0 = = =... - Les diviseurs de 2 et de 8 : Avec 2 personnes, on peut faire 2 équipes de 6 ou 6 équipes de 2, équipes de 4 ou 4 équipes de, équipe de 2 ou 2 équipes de. Toutes les possibilités ont été envisagées. Les nombres, 2,, 4, 6, 2 sont appelés les diviseurs de 2. Ils sont représentés sur le schéma ci-dessous : Deux opérateurs interviennent : 2 (opérateur horizontal) et : (opérateur vertical) Procède de la même façon pour trouver les diviseurs de 8 (où n interviennent que les opérateurs 2 et ) Les diviseurs de 8 sont :... - Les diviseurs de 0, 90 et 20 : En utilisant le codage ci-contre, complète les schémas : 5 2 Diviseurs de 0... Diviseurs de 20 Diviseurs de

2 LES FRACTIONS Les calculs avec des fractions évitent d utiliser des nombres à partie décimale illimitée dont on ne pourrait écrire que des valeurs approchées. Exemple : il est préférable d écrire 7 plutôt que 0, L écriture des fractions peut, parfois, se simplifier : Le plus grand facteur commun par lequel on peut simplifier peut s obtenir de la façon suivante : on décompose le numérateur et le dénominateur en produits de nombres entiers aussi simples que possible. 72 Exemple : on veut simplifier l écriture = = = 6 est le plus grand facteur commun possible est appelé le PGCD de 72 et Procède de même pour simplifier la fraction : = Les fractions peuvent s ajouter et se retrancher : Il faut écrire ces fractions avec le même dénominateur. Ce dénominateur commun s obtient, dans les cas les plus difficiles, en utilisant les décompositions des dénominateurs en produits de nombres premiers. 7 2 Exemple : on veut calculer = = 2 7 les facteurs 2 et sont déjà écrits dans la décomposition de = 252 est le plus petit multiple commun à 6 et = + = + = Procède de même pour calculer : = Les fractions peuvent se multiplier et se diviser : Il faut cependant penser à simplifier avant d effectuer les produits. Exemple : = = (7 est le PGCD de 7 et 2 5) Procède de même pour la division : = =...

3 - Nombres entiers et nombres rationnels PGCD Un nombre est rationnel s il peut s écrire sous la forme d un quotient de deux nombres entiers. Exemples : 6 0,6 = = sont des nombres rationnels π 7 ne sont pas des nombres rationnels. - Écriture irréductible d un nombre rationnel Un nombre rationnel est écrit sous forme irréductible lorsqu il ne peut pas s écrire plus simplement. On dit alors que les deux termes de la fraction qui le représente sont premiers entre eux. Exemple : = est irréductible 60 a été simplifié par est le plus grand diviseur commun de 60 et 48. On dit que 2 est le PGCD de 60 et 48 - Problème concret On veut partager exactement un terrain rectangulaire de 60 m sur 48 m en un nombre minimum de carrés identiques : ces carrés doivent donc être aussi grands que possible. 60 m 2 m Le côté des carrés est un diviseur de 60 et de 48. Pour qu il soit le plus grand possible, il faut choisir le PGCD de 60 et de 48 ; c est m Chaque carré mesure donc 2 m. Le nombre total de carrés est : = 5 4= 20 carrés PGCD de deux nombres entiers Recherche du PGCD de 84 et 90. a) On peut écrire les diviseurs des deux nombres et choisir le plus grand d entre eux. Sachant que : 84 = 84 = 2 48 = 28 = 4 2= 6 4 = = 90 = 2 45 = 0 = 5 8 = 6 5 = 9 0 Les diviseurs de 84 sont :,2,,4,6,7,2,4,2,28,42,84 Les diviseurs de 90 sont :,2,,5,6,9,0,5,8,0,45,90 Le plus grand des diviseurs communs est 6 PGCD(84 ;90) = 6 Remarque : ce procédé est long et peu sûr!

4 b) On peut décomposer 90 et 84 en produits de nombres premiers (Procédé utilisant la fiche d introduction) Précisions (ou rappels) : Un nombre est dit premier lorsqu il n est divisible que par et par lui-même Les premiers nombres premiers sont : 2,, 5, 7,,, 7, PGCD(90;84) = 2 = 6 90 = et sont les seuls facteurs communs à 90 et = c) On peut utiliser «l algorithme d Euclide». (Procédé utilisant la division euclidienne) - Applications On commence par la division euclidienne de 90 par 84. On peut représenter les différentes divisions dans un tableau. dividende diviseur reste division = = Dès que le reste est égal à 0, le diviseur correspondant est le PGCD cherché. a) Écriture irréductible d une fraction Si on simplifie l écriture d une fraction par le PGCD des termes de la fraction, on obtient l écriture irréductible de la fraction. Exemple : b) Problème de partage Un fleuriste dispose de 5 roses et de 5 iris. Il veut réaliser, avec toutes ces fleurs, des bouquets identiques. Quel est le nombre maximal de bouquets et quelle est la composition de chaque bouquet? Puisqu on doit utiliser toutes les fleurs, le nombre de bouquets est un diviseur de 5 et de 5. Pour que ce nombre de bouquets soit maximal, il est donc le PGCD de 5 et 5. dividende diviseur reste division = = Ce PGCD est égal à 45 ; le fleuriste peut donc composer 45 bouquets. Puisque 5 = 45 7 et que 5 = 45, c est que chaque bouquet contient 7 roses et iris.

5 NOMBRES ENTIERS ET NOMBRES RATIONNELS - Complète chacune des phrases suivantes: 7 est un diviseur de 5 car. 4 est un multiple de car. 2 8 = 44 donc = donc.. - Effectue les divisions euclidiennes suivantes et écris chaque résultat sous forme d'égalité: =. - Calcule les PGCD suivants (la méthode n'est pas imposée): PGCD(40;84 )=.... PGCD(45;40) =.. PGCD(87;5) = PGCD(20;2) =... - Écris chaque fraction sous la forme d'une fraction irréductible: = = =. - Un champ rectangulaire mesure 9 m sur 5 m. Combien faut-il de poteaux, régulièrement espacés et distants de plus de deux mètres, sont nécessaires pour clôturer ce champ? (la distance entre deux poteaux consécutifs est un nombre entier de mètres).

6 Devoir a) Calcule le PGCD d de 20 et 20. b) Calcule les quotients et d d ; c) Vérifie que ces quotients sont premiers entre eux (leur PGCD est égal à ). On répartit en paquets un lot de 480 crayons rouges et un lot de 608 crayons noirs de façon que tous les crayons d'un paquet soient de la même couleur et que tous les paquets contiennent le même nombre de crayons. a) Combien y a-t-il de crayons dans chaque paquet? b) Quel est le nombre de paquets de crayons rouges et quel est le nombre de paquets de crayons noirs? Vrai ou Faux?. Explique chaque fois ta réponse: a) Le PGCD de 8 et 45 est 90. b) Si un nombre entier a est un diviseur d'un nombre entier b alors le PGCD de a et b est a. c) Deux nombres pairs ne sont pas premiers entre eux. d) Deux nombres impairs sont premiers entre eux. Deux nombres entiers naturels x et y sont tels que :5x = 68y. a) Écris la fraction x y sous forme irréductible. b) Calcule x et y sachant que: x+ y = 25.

7 DIVISEURS D UN NOMBRE ENTIER - Décompose les nombres suivants en produits de facteurs aussi petits que possible : Exemple : 2= = 2 0 = = = Les diviseurs de 2 et de 8 : Avec 2 personnes, on peut faire 2 équipes de 6 ou 6 équipes de 2, équipes de 4 ou 4 équipes de, équipe de 2 ou 2 équipes de. Toutes les possibilités ont été envisagées. Les nombres, 2,, 4, 6, 2 sont appelés les diviseurs de 2. Ils sont représentés sur le schéma ci-dessous : Deux opérateurs interviennent : 2 (opérateur horizontal) et : (opérateur vertical) Procède de la même façon pour trouver les diviseurs de 8 (où n interviennent que les opérateurs 2 et ) 9 8 Les diviseurs de 8 sont : 6, 2,, 6, 9, Les diviseurs de 0, 90 et 20 : En utilisant le codage ci-contre, complète les schémas : Diviseurs de ,2,,5,6,0,5,0 2 Diviseurs de 20 Diviseurs de 90,2,,4,5,6,8,0,2,5,20,24,0,40,60,20..,2,,5,6,9,0,5,8,0,45,90.

8 LES FRACTIONS Les calculs avec des fractions évitent d utiliser des nombres à partie décimale illimitée dont on ne pourrait écrire que des valeurs approchées. Exemple : il est préférable d écrire 7 plutôt que 0, L écriture des fractions peut, parfois, se simplifier : Le plus grand facteur commun par lequel on peut simplifier peut s obtenir de la façon suivante : on décompose le numérateur et le dénominateur en produits de nombres entiers aussi simples que possible. 72 Exemple : on veut simplifier l écriture = = = 6 est le plus grand facteur commun possible est appelé le PGCD de 72 et Procède de même pour simplifier la fraction : = Les fractions peuvent s ajouter et se retrancher : Il faut écrire ces fractions avec le même dénominateur. Ce dénominateur commun s obtient, dans les cas les plus difficiles, en utilisant les décompositions des dénominateurs en produits de nombres premiers. 7 2 Exemple : on veut calculer = = 2 7 les facteurs 2 et sont déjà écrits dans la décomposition de = 252 est le plus petit multiple commun à 6 et = + = + = = = = Procède de même pour calculer : Le déno min ateur commun est : = 60 - Les fractions peuvent se multiplier et se diviser : Il faut cependant penser à simplifier avant d effectuer les produits. Exemple : = = (7 est le PGCD de 7 et 2 5) Procède de même pour la division : = 72 est le PGCD de 8 27 et

9 NOMBRES ENTIERS ET NOMBRES RATIONNELS - Complète chacune des phrases suivantes: 7 est un diviseur de 5 car 5 = 7 4 est un multiple de car 4 = 2 8 = 44 donc 8 et 2 sont des diviseurs de est un multiple de 2 et de = donc 6 est le quotient euclidien de 64 par n est pas un multiple de 7 ni de 6. - Effectue les divisions euclidiennes suivantes et écris chaque résultat sous forme d'égalité: = le reste est égal à = est un multiple de 9 - Calcule les PGCD suivants (la méthode n'est pas imposée): PGCD(40;84 ) 40 = PGCD(40;84) = = = PGCD(45;40) 45 = 5 (45;40) PGCD = = PGCD(87;5) 87 = 4 9 (87;5) PGCD = =. PGCD(20;2) 20 = PGCD(20;2) = 2 = 7 20 et 2 sont premiers entre eux - Écris chaque fraction sous la forme d'une fraction irréductible: = = (le PGCD de 22 et 255 est 7) (le PGCD de 5 et 87 est 9) (le PGCD de 570 et 684 est 2 9 = 4 ) - Un champ rectangulaire mesure 9 m sur 5 m. Combien faut-il de poteaux, régulièrement espacés et distants de plus de deux mètres, sont nécessaires pour clôturer ce champ? (la distance entre deux poteaux consécutifs est un nombre entier de mètres). d (nombre entier) est la distance séparant deux poteaux consécutifs (d>2) d est un diviseur de 9 et 5 or le PGCD de 9 et 5 est égal à. est le seule nombre entier diviseur de 9 et de 5 et supérieur à 2 donc d= m Le nombre de poteaux est : périmètre 2(9 + = 5) = 6 d