Chapitre 5 - Fonction logarithme népérien

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1 Chapitre 5 - Fonction logarithme népérien I La fonction logarithme népérien TD1 : Fonction exponentielle et réciproque 1. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e x. On note C f sa courbe représentative. (a) Tracer la courbe C f dans un repère orthonormé d unité graphique 2 cm, en s aidant du graphique donné par la calculatrice (on veillera à laisser l axe des ordonnées se poursuivre jusqu à la valeur 5). (b) Donner le tableau de variation de f sur R. (c) Déterminer les solutions des équations f(x) = 1 et f(x) = e. (d) Déterminer graphiquement un encadrement d amplitude 0, 5 des solutions des équations f(x) = 2 et f(x) = 3. On note α 2 et α 3 ces solutions. (e) À l aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée, à 10 2 près, de α 2 et α 3. (f) À l aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions de l équation f(x) = k pour k réel, en fonction des valeurs de k. 2. (a) On note ln k l unique solution de l équation e x = k pour tout k strictement positif. En utilisant la question précédente et sans calculatrice, déterminer ln e et ln 1. (b) Utiliser la touche ln de la calculatrice pour comparer α 2 et α 3 avec ln 2 et ln On note C g la courbe représentative de la fonction g définie sur ]0; + [ par g(x) = ln x. (a) Sur le même graphique que C f, placer les points de C g d abscisses 1, e, α 2 et α 3. (b) À l aide de la calculatrice, déterminer les ordonnées des points de C g d abscisses 0, 1 ; 0, 25 ; 0, 5 et 5. Tracer alors C g dans le même repère que C f. Rappel : On a vu au chapitre 3 que la fonction exponentielle est une fonction continue et strictement croissante sur R et que e x est strictement positif. D après le théorème des valeurs intermédiaires, quel que soit le réel strictement positif k, l équation e x = k admet une unique solution dans R. Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel strictement positif k, l unique solution de l équation e x = k. On note cette solution ln k qui se lit «logarithme népérien de k». La fonction logarithme népérien est la fonction qui, à tout réel strictement positif x, associe y = ln x. y = ln x et x > 0 équivaut à e y = x -1-

2 On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Les courbes représentatives des fonctions ln et exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x (voir TD1). La fonction ln est définie et continue sur ]0; + [. Pour tout réel x, ln(e x ) = x et pour tout réel x strictement positif, e ln x = x. ln 1 = 0 et ln e = 1. ln(e 3 ) = 3 et e ln 3 = 3. Pour tout x réel, ln(e 2 + e x ) = ln(e 2+x ) = 2 + x. Pour tout x réel strictement positif, e ln(x+1) + e ln(x+3) = (x + 1) + x(3) = 2x + 4. TD2 : À la découverte d une dérivée Dans le graphique ci-dessous sont tracés la courbe représentative C f de la fonction f définie pour tout x de ]0; + [ par f(x) = ln x, et les tangentes à C f aux points A, B et C d abscisses 1, 2 et 5. (Rappel : le nombre dérivé de f en x 0, noté f (x 0 ), est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse x 0.) ¾ ½ ¼ ½ ¾ ¹½ 1. À l aide du graphique ci-dessus, déterminer les valeurs approchées de f (1), f (2) et f (5). Quelle conjecture peut-on faire sur la valeur de f (x) pour x réel strictement positif? 2. Dans cette question, on va utiliser la calculatrice pour vérifier cette conjecture, car elle permet de calculer une valeur approchée d un nombre dérivé. -2-

3 Casio Sélectionner le menu TABLE. Dans la ligne Y1, saisir ln(x). Dans la ligne Y2, compléter la commande d/dx en saisissant ln(x),x. On obtient la commande d/dx avec les touches OPTN, puis CALC, puis d/dx. Texas Appuyer sur la touche f(x) Dans la ligne Y1, saisir ln(x). Dans la ligne Y2, compléter la commande nbredérivé( en saisissant ln(x),x,x. On obtient la commande nbredérivé( avec les touches math, puis 8. Régler les paramètres de la table pour obtenir des valeurs de x de 0 à 10 avec un pas de 0, 5. Saisir une formule dans la ligne Y3 qui permette de confirmer la conjecture faite à la question 1. (1) On admet que la fonction ln est dérivable sur ]0; + [ et ln (x) = 1 x. (2) La fonction ln est strictement croissante sur ]0; + [. (3) 0 < x < 1 équivaut à ln x < 0 et x > 1 équivaut à ln x > 0. (4) Pour tous réels a et b strictement positifs, a = b équivaut à ln a = ln b et a < b équivaut à ln a < ln b. Démonstrations : (2) La fonction ln est dérivable sur ]0; + [ et sa dérivée x 1 est strictement positive sur cet x intervalle donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0; + [. (3) En appliquant la fonction ln, strictement croissante, à l inégalité 0 < x < 1, on obtient : ln x < ln 1 soit ln x < 0. De même si x > 1 alors ln x > 0. (4) Cette propriété se déduit de la stricte croissance de la fonction ln. 0 < 7 11 < 1 donc ln ( 7 15 ) < 0 et > 1 donc ln ( ) > 0. Sur ]0; + [, ln(x + 2) = ln 3 si et seulement si x + 2 = 3 soit x = 1. II Relation fonctionnelle du logarithme népérien TD3 : Additionner pour calculer un produit 1. (a) À l aide de la calculatrice, donner des valeurs approchées à 10 3 près de : A = ln 5 + ln 7 ; B = ln 3 + ln 11 ; C = ln 13 + ln 6 ; D = ln 33 ; E = ln 78 ; F = ln 35. Quels regroupement peut-on faire? (b) Compléter le tableau ci-dessous et émettre une conjecture. a b ln a + ln b ln(ab) -3-

4 2. En utilisant la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle, comparer e ln a+ln b et e ln(ab) pour a et b réels strictement positifs. Que peut-on en déduire? 3. Les tables de logarithmes de Néper permettaient, à une époque sans calculatrice, d effectuer plus rapidement des multiplications grâce à la relation : ln a + ln b = ln(a b) pour tous réels positifs non nuls a et b. En se servant uniquement de l extrait de table de logarithmes ci-contre et de la relation précédente, donner une valeur approchée de 15, 3 7. x ln x 6, 9 1, , 946 7, 1 1, , 1 2, , 2 2, , 3 2, , 1 4, , 2 4, , 3 4, 676 Théorème Pour tous réels a et b strictement positifs, ln(a b) = ln a + ln b. On dit que la fonction ln vérifie la relation fonctionnelle suivante : f(a b) = f(a) + f(b) pour tous réels a et b strictement positifs. ln 5 = ln(3 5) = ln 3 + ln 5. ln 10 ln 14 = ln(2 5) ln(2 7) = ln 2 + ln 5 (ln 2 + ln 7) = ln 5 ln 7. Pour x ]1; + [ : ln(x 1) + ln(x + 1) = ln((x 1)(x + 1)) = ln(x 2 1). Si dans la relation fonctionnelle, on prend a = b, on obtient : ln(a a) = ln a + ln a soit ln(a 2 ) = 2 ln a. De la même façon, on obtient : ln(a 3 ) = ln(a 2 a) = 2 ln a + ln a = 3 ln a et ln(a 4 ) = ln(a 3 a) = 3 ln a + ln a = 4 ln a. On peut généraliser avec la propriété suivante : Pour tout entier naturel n et tout réel a strictement positif : ln(a n ) = n ln a ln(5 4 ) = 4 ln 5 ; ln 8 ln 4 = ln(2 3 ) ln(2 2 ) = 3 ln 2 2 ln 2 = ln 2. (1) Pour tout réel b strictement positif, ln 1 = ln b. b (2) Pour tous réels a et b strictement positifs, ln a = ln a ln b. b (3) Pour tout entier naturel n et tout réel a strictement positif, ln(a n ) = n ln a. (4) Pour tout réel a strictement positif, ln ( a) = 1 ln a. 2-4-

5 Démonstrations : (1) On a 1 b b = 1 donc ln (1 b b) = ln 1 donc ln 1 b + ln b = 0 donc ln 1 b = ln b. (2) On a a b = a 1 b donc ln a b = ln (a 1 b ) = ln a + ln 1 = ln a ln b. b (3) a n peut s écrire 1 a n donc ln(a n ) = ln 1 a n = ln 1 ln(an ) = 0 n ln a = n ln a. (4) On a 2 ln ( a) = ln (( a) 2 ) = ln a donc ln ( a) = 1 ln a. 2 Pour a et b réels de ]0; + [, ln ( a7 b ) + 2 ln(a 3 ) = 7 ln a ln b + 2 ( 3) ln a = ln a ln b. 1 2 ln ln ( 3) = ln ( 25) ln 3 = ln 5 + ln 3. 2 III III.1 Équation x n = k et concavité de la fonction ln Équation de la forme x n = k TD4 : Une nouvelle équation 1. On donne les représentations graphiques des fonctions f n définies sur R par f n (x) = x n pour n = 2, 3, 4 et 5. Dresser le tableau de variation de chacune de ces fonctions sur R. ¼ Ò Ò Ò Ò ¾ ¼ ¼ ¾¼ ½¼ ¹ ¹ ¹ ¹¾ ¾ ¹½¼ 2. (a) Soit k un réel positif. À l aide de l animation sur Geogebra, donner le nombre de solutions sur ]0; + [ de l équation x n = k, où n est un entier naturel. (b) Par lecture graphique, donner une valeur approchée de la solution de l équation x 5 = On admet que, pour tout k positif, l équation x n = k admet une unique solution positive quel que soit l entier naturel n. (a) Vérifier que le réel x = e ln k n est la solution de l équation x n = k. (b) En déduire la valeur exacte de la solution de l équation x 5 = 20 et comparer avec la réponse donnée à la question 2.(b). -5-

6 Soit x et k des réels strictement positifs et n un entier naturel. L équation x n = k admet dans ]0; + [ une unique solution x = e ln k n. Démonstration : Pour tout x de ]0; + [, x n (où n est un entier naturel) est encore un réel strictement positif. k est aussi un réel strictement positif. L équation est donc équivalente à ln(x n ) = ln k soit n ln x = ln k. On en déduit ln x = ln k n d où eln x = e ln k n soit x = e ln k n. L équation x 7 = 3 admet comme unique solution x = e ln 3 7. L équation (x + 1) 5 ln 0,2 = 0, 2 est équivalente à l équation x + 1 = e 5. La solution peut donc s écrire x = e ln 0, III.2 Concavité de la fonction ln et application TD5 : Monter de moins en moins vite Soit C f la courbe représentative de la fonction définie pour tout x de ]0; + [ par f(x) = ln x. À l aide de Geogebra, on trace C f et la tangente T a à C f au point M d abscisse a avec a un réel strictement positif. 1. (a) On note k la valeur du coefficient directeur de T a. Exprimer k en fonction de a. (b) Que dire des valeurs de k, lorsque les valeurs de a augmentent? 2. Que dire de la position relative de C f et de T a lorsque les valeurs de a appartiennent à ]0; + [? 3. Les résultats précédents caractérisent une propriété de la fonction logarithme népérien ; préciser cette propriété, puis la démontrer en utilisant la dérivée seconde de la fonction ln sur ]0; + [. La fonction logarithme népérien est concave sur ]0; + [. -6-

7 Remarque Par définition de la concavité, la courbe représentative de la fonction ln est située en-dessous de toutes ses tangentes. La dérivée seconde étant négative, la dérivée de la fonction ln est décroissante sur ]0; + [, donc les coefficients des tangentes à la courbe représentative de la fonction ln deviennent de plus en plus faibles : on dit que la croissance de la fonction ln est de moins en moins rapide. Sur l intervalle ]0; + [, la fonction logarithme est au-dessous de la courbe représentative de la droite d équation y = x. Démonstration : La tangente T à la courbe représentative C de la fonction logarithme népérien au point d abscisse 1 a pour équation y = f (1)(x 1) + f(1) = 1 (x 1) + ln 1 soit y = x 1. Or la fonction logarithme est 1 concave, donc C est en-dessous de toutes ses tangentes, en particulier C est en-dessous de la tangente T d équation y = x 1. La droite (d) d équation y = x est parallèle à T et (d) et au-dessus de T, donc (d) est au-dessus de C. Remarque La courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de la droite d équation y = x + 1 pour tout réel x et donc au-dessus de la droite d équation y = x. On peut en conclure que la courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien sur l intervalle ]0; + [. -7-