TS Géométrie vectorielle dans l espace Cours. Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent être prolongés à l espace

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1 TS Géométrie vectorielle dans l espace Cours I. Vecteurs de l espace 1. Notion de vecteur dans l espace Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent être prolongés à l espace Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires ssi v = ku où k réel non nul. Les points A, B et C sont alignés ssi AB et AC sont colinéaires Les droites (AB) et (CD) sont parallèles ssi AB et CD sont colinéaires. Caractérisation vectorielle d un plan Un plan est défini de deux façons équivalentes : par la donnée de 3 points A,B et C non alignés ou par la donnée d un point A et deux vecteurs non colinéaires u et v M (ABC)ssi il existe x, y réels tels que AM = xab + yac Preuve : A, B, C ne sont pas alignés donc (A ; AB ; AC ) est un repère du plan (ABC) Si M (ABC) alors il existe x, y réels tels que : AM = xab + yac Réciproquement : soit M tel que AM = xab + yac ; montrons que M (ABC) (A ; AB ; AC ) est un repère du plan ( BC) donc il existe un point N du plan tel que AN = xab + yac AM = AN donc M = N On note le plan (A ; u ; v ) et on dit que les vecteurs u et v sont des vecteurs directeurs du plan. Application : démontrer qu un point appartient à un plan ( 37 page 304 ) ABCD est un tétraèdre. M est le point tel que MA + MB = MC Démontrer que le point M appartient au plan (ABC) On exprime AM en fonction des vecteurs non colinéaires AB et AC 1

2 Deux plans sont parallèles si et seulement si ils ont les mêmes vecteurs directeurs A A Application : démonstration du théorème du toit Soit u un vecteur directeur de et v un vecteur directeur de d et d Par l absurde : on suppose que et d ne sont pas parallèles Alors u et v sont des vecteurs directeurs de P et d ne sont pas parallèles donc u et v sont aussi des vecteurs directeurs de P P et P ont des vecteurs directeurs en commun donc ils sont parallèles : contradiction Ex : 39 page Vecteurs coplanaires Définition Trois vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires ssi les points A, B, C et D sont coplanaires Exemple : Les vecteurs AB, DH et AF sont coplanaires car DH = AE et les points A, B, E et F sont coplanaires

3 Remarque : Les droites (AB) et ( EC) ne sont pas coplanaires mais les vecteurs AB et EC le sont car AB = EF. Deux vecteurs sont toujours coplanaires Ex : 4 page 304, 44 page u, v et w sont trois vecteurs de l espace tels que u et v ne sont pas colinéaires u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux nombres réels a et b tels que : w = au + bv Preuve : On considère les points O, A, B et C tels que : OA = u, OB = v et OC = w u et v ne sont pas colinéaires donc ils sont des vecteurs directeurs du plan (OAB) u, v et w sont coplanaires ssi C appartient au plan (OAB) ie il existe a, b réels tels que : OC = aoa + bob Soit w = au + bv II. Repérage dans l espace 1. Repère de l espace ( geogebra ) Un repère de l espace noté ( O ; i ; j ; k ) est constitué d un point O, origine du repère et d un triplet (i ; j ; k ) de vecteurs non coplanaires, appelé base de vecteurs.. Coordonnées ( admise ) ( O ; i ; j ; k ) est un repère de l espace. Pour tout point M de l espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z ) tel que : OM = xi + yj + zk (x ; y ; z ) sont les coordonnées du point M dans le repère ( O ; i ; j ; k ) x est l abscisse, y est l ordonnée et z est la côte de M dans ce repère. 3

4 Exemple : placer les points A(- ; 3 ; 0), B( 0 ; 4 ; 1 ) et C( 1 ; - ; -1) dans un repère de l espace Définition ( O ; i ; j ; k ) est un repère de l espace. Soit u le vecteur tel que OM = u. Les coordonnées du vecteur u sont les coordonnées (x ; y ; z ) de M. Ainsi, tout vecteur u s écrit de manière unique : u = xi + yj + zk 4. Décomposition d un vecteur ( admise ) u, v et w sont trois vecteurs non coplanaires de l espace Pour tout vecteur V, il existe un unique triplet (x ;y ;z) de nombres réels tels que V = xu + yv + zw (x ; y ; z ) sont les coordonnées de V dans la base (u ; v ; w ) 3. Calculs sur les coordonnées Tous les résultats de la géométrie plane s étendent par adjonction d une troisième coordonnée. Dans un repère ( O ; i ; j ; k ) Soit u (x; y; z) et v(x ; y ; z ) : le vecteur u + v a pour coordonnées (x + x ; y + y ; z + z ) soit k un réel : le vecteur ku a pour coordonnées (kx ; ky ; kz ) soit A(x A ; y A ; z A ) et B(x B ; y B ; z B ) : le vecteur AB a pour coordonnées (x B x A ; y B y A ; z B z A ) le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées ( x A+x B si le repère est orthonormal : ; y A+y B ; z A+z B ) u = x² + y² + z² et AB = AB = (x B x A ) + (y B y A ) + (z B z A )² Exemple : Dans le repère (O; i; j; k ) on considère les points A(1 ; 1 ; ), B( ; 0 ; 1 ), C(0 ; 1 3 )et D(9 ; ; 0) a. Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB] b. Déterminer les coordonnées du vecteur CD c. Démontrer que les points A, B et C déterminent un plan 4

5 4. Représentation paramétrique d une droite Soit (d) la droite passant par A et de vecteur directeur u M (d) il existe un nombre t tel que AM = tu La droite (d) passant par le point A(x A ; y A ; z A ) et admettant le vecteur u (a; b; c) pour vecteur directeur est l ensemble des points M(x; y; z) tels que x = x A + at (S) { y = y A + bt z = z A + ct où t R Le système (S) est appelé représentation paramétrique de la droite (d). t est le paramètre de cette représentation. Exemples : x = t 1. La droite d a pour représentation paramétrique : d { y = t 1 où t réel t + Déterminer un vecteur directeur de d et un point appartenant à d. On donne le point A(1; 3; ) et le vecteur u ( ; 1 ; 1) a. Déterminer une équation paramétrique de la droite(d ) passant par A et de vecteur directeur u b. Le point C(3; 3; 1) appartient-il à la droite (d )? c. Vérifier que la représentation paramétrique suivante est aussi une représentation de la même x = 3 + 4s droite{ y = 3 s où s réel z = 1 + s Remarque : Une droite a une infinité de représentations paramétriques puisque ni le point A ni le vecteur u ne sont uniques Etudier la position relative de deux droites x = 1 + t Soit d: { y = 3t z = 3 3t x = s où t réel et { y = 3 3s z = 1 s où s réel On cherche un point et un vecteur directeur pour chaque droite Si les vd ne sont pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles : elles peuvent être sécantes ou non coplanaires On cherche un point d intersection entre les droites 5