THÈSE. présentée à ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE. Fabien Mehdi Pazuki POUR OBTENIR LE GRADE DE DOCTEUR

Transcription

1 N d'ordre : 610 THÈSE présentée à L'UNIVERSITÉ BORDEAUX I ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE par Fabien Mehdi Pazuki POUR OBTENIR LE GRADE DE DOCTEUR SPÉCIALITÉ : Mathématiques Pures ********************* MINORATION DE LA HAUTEUR DE NÉRON-TATE SUR LES VARIÉTÉS ABÉLIENNES : SUR LA CONJECTURE DE LANG ET SILVERMAN ********************* Soutenue le 4 juillet 008 à l'institut de Mathématiques de Bordeaux Après avis de : G. RÉMOND Maître de conférences HDR, Université Grenoble I Rapporteur J. H. SILVERMAN Professeur, Brown University, Providence Rapporteur Devant la commission d'examen composée de : P. AUTISSIER Maître de conférences, Université Rennes I Y. BILU Professeur, Université Bordeaux I H. COHEN Professeur, Université Bordeaux I Directeur M. HINDRY Professeur, Université Paris 7 Co-Directeur Q. LIU Professeur, Université Bordeaux I G. RÉMOND Maître de conférences HDR, Université Grenoble I Rapporteur

2 Å ÒÓÖ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø ÙÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÙÖ Ð ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Òº Ò Å È ÞÙ ¹¾¼¼ ¹

3 ¾

4 Ê Ñ Ö Ñ ÒØ Â Ö Ñ Ö Ñ Ö Ø ÙÖ Ø À ÒÖ Ó Ò Ø Å Ö À Ò Öݺ À ÒÖ ÔÓÙÖ Ñ³ ÚÓ Ö Ù ÐÐ ÓÖ ÙÜ Ò Ð Ñ ÐÐ ÙÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÔÓ Ð ÔÓÙÖ ÔÙ Ò ØÖ Ú Ð ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö Ø ÓÒ Ò Ñ ÙØ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ º Å Ö ÔÓÙÖ Ñ³ ÚÓ Ö Ø ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ÙØ ÙÖ ÔÓÙÖ Ú ÓÒ Ø ÐÐ ÒØÙ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ô Ø Ò Ú ÑÓ ÐÓÖ Ñ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÓÔ ÒØ Òº ÈÓÙÖ Ð ÙÖ ÒØ ÐÐ Ø Ð ÙÖ Ñ Ø ØÓÙ Ð Ùܺ Â Ö Ñ Ö Ð Ö ÔÔÓÖØ ÙÖ Ñ Ø Ð Ê ÑÓÒ Ø ÂÓ Ô Ë ÐÚ ÖÑ Òº ÂÓ ÔÓÙÖ ÓÒ ÓÙØ Ò ÓÒ ÒØ ÓÙ Ñ ÓÒ ÖÒ ÒØ Ñ ØÖ Ú ÙÜ Ø ÓÒ Ð Ð Ö ÒØ º Ð ÔÓÙÖ ÓÒ ÑÔÖ ÓÒÒ ÒØ ÔÖ ÓÒ Ò Ð Ö Ð ØÙÖ Ø ÔÖ Ù Ü Ò Ð ÕÙ ÐÐ Ô ÖÑ ³ Ñ Ð ÓÖ Ö Ð Ø ÜØ Ò ÔÐÙ ÙÖ Ò ÖÓ Ø º Â Ö Ñ Ö ØÓÙ Ð Ñ Ñ Ö ÑÓÒ ÙÖÝ ³ ÚÓ Ö ÔÖ Ð Ø ÑÔ Ô Ò Ö ÙÖ ÑÓÒ ØÖ Ú Ðº Å Ö É Ò Ä Ù ÔÓÙÖ ÒÓ ÓÒÚ Ö Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÓÙÖ È Ð ÙØ Ö ÔÓÙÖ ÒÓ Ò Ö ÐÓÚ Ò Ø ÙÖ ÐÙ ÔÓÙÖ ÒÓÑ Ö Ù ÕÙ Ø ÓÒ º Å Ö ÒÓÖ ÙÖ ÕÙ ÔØ Ú ÒØ ÓÙ Ñ ³ ØÖ Ð ÔÖ ÒØ Ù ÙÖݺ Â Ö Ñ Ö ØÓÙ Ñ ÔÖÓ ÙÖ Ñ³ ÚÓ Ö ÒÓÙÖÖ ÙÜ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÙ Ð ÙØ Åº Ó Ð Ú Åº Ö ÅÑ Ö Ù Åº ÙÑÓÒØ ÅÑ ÓÒ ÓÒ º Å Ö Â Ò¹È ÙÐ Ð Ö Ø ÕÙ ³ ØÓÙ ÓÙÖ Ñ Ö ÔÓÙÖ ÓÒ ÓÙÖ º Å Ö Åº Ç ÓÙÜ Ø Åº ÉÙ Ö º Ò Ò Ñ Ö ØÓÙØ Ð³ ÕÙ Ô Ð³ Æ˹ Ò Ó ³ Ô ÓÒÒ ÒÒ Ø ÙÜ ÔÖ Ô Ö Ø ÙÖ Ð³ Æ˹ Ò¹Ã Ö¹Ä ÒÒ ÔÓÙÖ ÑÓÒ ÒÒ Ö ØÓÒÒ º Å Ö ÙÜ Ð ÓÖ ØÓ Ö Ø ÓÖ ÒÓÑ Ö ÓÖ ÙÜ Ø È Ö Ø Ú ¹ Ð Ö Øº ÌÓÙØ Ð ÓÒÚ Ö Ø ÓÒ Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÒØ ÔÙ Ò ØÖ Ò Ò ÖÓ Ø Ñ³ÓÒØ ÓÒÒ Ð ÓÖ Ø Ð ÓÙÖ ÔÓÙÖ Ù ÚÖ Ñ Ð Ö Ð ÙÐØ Ò Ö ÒØ Ù Ñ Ø Ö Ö ÙÖº Å Ö Ñ ØÙ ÒØ º È Ò ÒØ ØÖÓ ÒÒ Ð Ñ³ÓÒØ Ø ÓÑÔÖ Ò Ö ÕÙ ³ Ñ Ö ÐÐ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ö ³ Ò Ò ÒØ Ù º Å Ö ØÓÙØ Ñ Ñ ÐÐ ÔÓÙÖ Ð³ ÑÓÙÖ Ø Ð ÓÙØ Ò ÙÖ ÒØ ÒÒ º Å Ô Ö ÒØ Ñ Ö Ö Ñ Ó ÙÖ Ø Ð ÙÖ ÑÓ Ø Ñ Ö Ò ¹Ô Ö ÒØ Ñ ÓÒÐ Ø Ø ÒØ Ø Ñ ÓÙ Ò º Å Ö Ø Ö Ò Ø ÄÙ Ú Ò Ñ³ ÚÓ Ö ÓÑÔ Ò º Ö Ò Ñ Ö Ì Ö Ñ ÓÒÒ Ö Ð³ ÒÚ Ù ÐÐ Ö Ð ÓÒ ÑÓÑ ÒØ Ø Ð ÓÖ ³ ÖÓÒØ Ö Ð ÔÖ ÙÚ º Å Ö ØÓÙ ³ ÚÓ Ö ÙÔÔÓÖØ Ñ Ô ÓÒ ÔÓÙÖ ØÖ ØÖ Ø ÕÙ Ô ÙÔÐ ÒØ Ñ Ø Ø Ø ÕÙ³ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ð ÆÓÑ Ö º Ò Ò Ñ Ö Ñ Ñ Ø ÙÜ Ú ÐÐ ÕÙ Ñ Ð ÓÒØ ÓÒÒ º Å Ö ÓÔ Ò Ù À Å Ö¹ ÒØÓ Ò Ì ÙÐØ Æ Ø Ð ËØ Ô Ò ÄÖ Æ ÓÐ ÐÓ Ø ØÓÙ Ð ÙØÖ ººº Å Ö ÎÓÖ ÔÔ Ë Ö Ø Ë Ò ÊÓ Ò Â Ö ÑÝ Ø Ð Ö ÒØ ÓÒÝ ÐÓÖ ÒØ Ø Ð ÂÙÐ Ò Ø Ñ Ò Ò Æ Ø Ð Å ÒÙ Ø Ð Ö º Å Ö Ö ÒÓ Ð ÒÒ ¹ ÖÐÓØØ ØÓÙØ Ð ÖÓÙÔ Ù ËÝÐÚ Ò ÇÐ Ú Ö Å ØØ Ù ËÓÖÝ ÀÙ Ð Ò Å ÖÓÙ ÒÒ ÂÙÐ Ò ÙÖ Ð ÇÐ Ú Ö

5 Ø Ð º Å Ö È Ö Ð ÙÖ Ð Ò Ö Â ÖÑ Å ÒÙ Ð Ø Ö Å Ö Ð Ð Ö Æ Ø Ð Ö ÒÓ ÅÙ Ø Ô ÒÒ ÀÙ Ó È Ð ÔÔ º Å Ö Ê ÒÒ È ÖÖ Ø Ó Æ ÓÐ Ù ÐÐ ÙÑ Å Ö Ð Ò Ø Û ÒÓÐ Æ ÓÐ Ø Ð Ò Î Ò ÒØ Â ÖÑ º Å Ö È ÄÙ Å ÖÓ Ö Ð ÑÑ ÒÙ Ð ÓÖ ÒØ Òº Å Ö ÓÖ ÙÜ È ÖÖ Ø ÐÓÖ Ò Ø È ÙÐ Ò µ À ÖÚ Ø Â ÒÒ Ø Ð µ ÖØÖ Ò Â Ò ÐÔ Ò Ø Ù Ò ÂÓ ÒÒ Ä Ú Ð Ç Û Ð Ó È Ð Ë Ö ÆÓÖ Ø Ñ Ò Ñ ÐÐ Ø Û Ò Ð ÀÙ ÖØ Î Ò Ò Ð ÒÒ Ð Ò Ø Ö Ö Ø Ù µ Ø Ò Ö Ð ÕÙ ØÙÓÖ ÐÓÖ ÒØ ÅÓÙÖ Å ØØ Ù Ö º Ø Ñ Ö ØÓÙ ÙÜ ÕÙ ³ÓÙ Ð ººº

6 ü Ð Ñ ÑÓ Ö Â Ò¹È ÙÐ Ð Ö Ø Ä Ñ ÐÐ ÙÖ ÓÑÑ Õ٠гÓÒ ÔÙ ÐÙ Ö ³ Ø ÓÒØ ÒÙ Öº

7

8 Ì Ð Ñ Ø Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½½ Ä ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò ÙÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ º º º º º º º º º º ½ ÓÒØ ÒÙ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ Ò Ö Ð Ø ÙÖ Ð ÙØ ÙÖ ¾ ½º½ À ÙØ ÙÖ Ò ÙÒ Ô ÔÖÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ À ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ø ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º Ô Ë Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º À ÙØ ÙÖ ³ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½º ÌÖ Ö Ñ ÒÒ Ø Ö Ñ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ø Ú Ø Ð³ ÒÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Å ÒÓÖ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø ÔÓÙÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½ Ä ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Â Ó ÒÒ Ø ÙÖ ÃÙÑÑ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º¾ À ÙØ ÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ö Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½ Å ÒÓÖ Ø ÓÒ ÐÓ Ð ÙÜ ÔÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º¾ Å ÒÓÖ Ø ÓÒ ÐÓ Ð ÙÜ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÍÒ ÙØÖ ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð Ö Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ù Ú ÙÖ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ö Ò ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ù ÓÒ ÙØÓÙÖ Ð ØÓÖ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ø Ñ Ø ÓÒ ÙÜ ÔÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º Ø Ñ Ø ÓÒ ÙÜ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Å ÒÓÖ Ø ÓÒ ÐÓ Ð Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ä ÑÑ Þ ÖÓ Ø ÔÖ Ò Ô Ø ÖÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Å ÒÓÖ Ø ÓÒ ÐÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ä ÙØ ÙÖ ÐØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º½ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ð ÑÓ Ð ³Á Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

9 ¾º º¾ ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ Ö Ñ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º Å ÓÖ Ø ÓÒ h F A/k º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ ¾º ÈÖÓ Ù Ø ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º º½ À ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ø ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º º¾ Å ÒÓÖ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º º Å ÓÖ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º ÓÖÓÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º º½ ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º º¾ ÓÖÒ ÔÓÙÖ Ð ØÓÖ ÓÒ ³ÙÒ Ó ÒÒ Ñ Ò ÓÒ ¾º º º º º º º º ½½¾ ¾º º ÓÖÒ ÔÓÙÖ Ð ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ð ³ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾º º º º º º º ½½ Å ÒÓÖ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø ÔÓÙÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ g ½¾½ º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º½º½ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º½º¾ Ê ÙÐØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ À ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ø ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾º½ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾º¾ Ö Ò ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð Ø Ò Ú Ù ØÓÖ ÓÒ º º º º º º º º º ½¾ º¾º Å ÒÓÖ Ø ÓÒ ÙÜ ÔÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º¾º Å ÓÖ Ø ÓÒ ÙÜ ÔÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º¾º Å ÒÓÖ Ø ÓÒ ÙÜ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Å ÓÖ Ø ÓÒ ÙÜ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º Å ÒÓÖ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ä ÑÑ Þ ÖÓ Ø ÔÖ Ò Ô Ø ÖÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Å ÒÓÖ Ø ÓÒ ÐÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º À ÙØ ÙÖ ÐØ Ò ³ÙÒ Ó ÒÒ ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º½ À ÙØ ÙÖ ÐØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º¾ ÕÙ Ø ÓÒ Ï Ö ØÖ Ø Ö Ñ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÓÖÑ Ö ÒØ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º È ÖØ ÒÓÒ¹ Ö Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º È ÖØ Ö Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Å ÓÖ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ØÙ ³ Ü ÑÔÐ ½ ½ º½ Î Ö Ø ÓÒ Ù ÓÖÔ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ï Ð º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Î Ö Ø ÓÒ Ù ÓÖÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ Ê ØÖ Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ï Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÈÓ ÒØ À Ò Ö Ø ÓÙÖ ÑÓ ÙÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ Ö Ò Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º¾ Ä ÓÖÑÙÐ ÖÓ ¹ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ÍÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼

10 º¾º Ê Ñ ÖÕÙ ÙÖ Ð ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò º º º º º º º º º º ½ º¾º ÌÓÖ ÓÒ ÙÖ Ð Ó ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÒÒ Ü ½ º½ ÜØ Ò ÓÒ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ô Ö Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾ ÙÔÐ Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÙÖ ÃÙÑÑ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ ÕÙ Ø ÓÒ Ð ÙÖ ÃÙÑÑ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º¾ ÓÖÑÙÐ ÜÔÐ Ø ÙÔÐ Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÙÖ ÃÙÑÑ Ö º º º º ½ º ÁÒÚ Ö ÒØ ³Á Ù ÓÙÖ ÒÖ ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

11 ½¼

12 ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ò Ö Ð ½½

13 ½¾

14 Ä ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò ÙÖ Ð Ú Ö Ø ¹ Ð ÒÒ ÄÓÖ ÕÙ³ÓÒ ³ ÒØ Ö Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÙÖ Ð ÓÖÔ ÒÓÑ Ö ÓÒ Ø ØÖ Ú Ø ÓÒ ÖÓÒØ Ð ÒÓØ ÓÒ ÙØ ÙÖ ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖ Ð ÔÖ ÙÚ Ù Ø ÓÖ Ñ ÅÓÖ ÐÐ¹Ï Ðº Ä ÔÖ ÒØ Ø ÜØ Ø ÒØ Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ö Ð³ ØÙ ³ÙÒ ÓÒ ØÙÖ ÔÓÖØ ÒØ ÙÖ ÙÒ ÙØ ÙÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÒÓÒ ÙÖ Ð ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ Ò ÙÒ Ð ÚÖ Ë Ö Ä Ò ÔÙ Ò Ö Ð ÙÜ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ ÙÔ Ö ÙÖ Ò ÙÒ ÖØ Ð ÂÓ Ô Ë ÐÚ ÖÑ Òº ˺ Ä Ò ÓÒ ØÙÖ Ò Ä Ò Ôº ¾ ÙÒ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹ Ì Ø ³ÙÒ ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ ÕÙ³ÓÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÓÒ ØÙÖ ½º Ä Ò µ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö k Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú ck Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ E Ò ÙÖ k Ø ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P ³ÓÖ Ö Ò Ò Ek ÓÒ Ø { } ĥp ck max log N k/q E, hj E, Ó ĥ. Ø Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø ÙÖ E N k/q E Ð ÒÓÖÑ Ù Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ Ð Ð ÓÙÖ E Ø hj E Ð ÙØ ÙÖ Ï Ð ÐÓ Ö Ø Ñ ÕÙ Ø ÓÐ٠г ÒÚ Ö ÒØ ÑÓ ÙÐ Ö j E Ð ÓÙÖ Eº Ê Ñ ÖÕÙ Ò ØØ ÓÒ ØÙÖ Ð Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö Ö ÙÒ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ Ù ØÝÔ ĥp ck h FE/k Ó h F E/k Ø Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ö Ð Ø Ú µ Ð ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ Eº Ò Ð ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ ÙÖ Ò Ä Ò Ëº Ä Ò Ò Ø ÒØ ÖÚ Ò Ö ÕÙ Ð ÐÓ Ö Ø Ñ Ù Ö Ñ Ò Òغ ØØ ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ô ÖØ ÐÐ Ñ ÒØ ÑÓÒØÖ Ô Ö Åº À Ò ÖÝ Ø Âº Ë ÐÚ ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ø ÒÒ ÒØ Ò ÀË ÓÖÓÐÐ Ö º¾ µ Ð ÙÖ Ø ÓÖ Ñ º½ Ôº ¼ Ø ½µ Ð Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØ Ì ÓÖ Ñ ½º À Ò ÖÝ Ë ÐÚ ÖÑ Òµ ËÓ Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ö dº ËÓ Ø E/k ÙÒ ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ Ð E Ø ÓÒ ÙØ ÙÖ F E º ÇÒ ÒÓØ σ E Ð ÕÙÓØ ÒØ ËÞÔ ÖÓ Ò Ô Ö σ E = log N k/q E / log N k/q F E º ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P Ek ³ÓÖ Ö Ò Ò ÓÒ Ð Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ĥp 0σ E 8d 10 4σ 1 { } E 1 max log N k/q E, hj E. Ô ÖÑ Ø ÓÒÐÙÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ñ ÐÐ ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ð ÕÙÓØ ÒØ ËÞÔ ÖÓ Ø ÓÖÒ ÙÒ ÓÖÑ Ñ Òغ ÍÒ ÓÒ ØÙÖ ËÞÔ ÖÓ ÖÑ ÕÙ ³ Ø Ò Ø Ð ØÓÙØ Ð ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ Ø ÒØÖ Ò ÓÒ Ð ÓÒ ØÙÖ Ä Ò ¹ Ù º Ä ÔÖ ÙÚ Ø ÓÖ Ñ Ö ÔÓ ÙÖ Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ò ÓÑÑ ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º º Ë ÐÚ ÖÑ Ò Ú Ø ÑÓÒØÖ ÙÔ Ö Ú ÒØ ÔÐÙ ÙÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö ØØ ÓÒ ØÙÖ Ò Ë Ð ½ Ø Ë Ð º È Ö Ð Ù Ø Ëº Ú ÔÙ Ð ÙÒ ÔÖ ÙÚ ØÖ Ò Ò Ò Ú ¾ ½

15 Ó Ö ÒØ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ cd, σ E ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒÚ Ö Ò d Ø σ E º ÇÒ Ô ÙØ Ø Ö Ù Ð³ ÖØ Ð Åº ÃÖ Ö ÃÖ ¼½ ÕÙ ÜÔÐ Ø ÙÖ k = Q ³ÙÒ Ñ Ò Ö ÙÒ Ô Ù Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ø Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ñ ÐÐ ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ Ö º ÈÐÙ Ö ÑÑ ÒØ ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒÚ Ö Ø Ó Ø ÒÙ Ô Ö º È Ø È Ø¼ Ô Ö Ð Ø Ò ÕÙ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÐÓ Ð º Ä ÓÒ ØÙÖ ÙÖ Ð ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ Ò Ù Ø Ø Ò Ö Ð ÙÜ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ ÙÔ Ö ÙÖ Ô Ö Âº Ë ÐÚ ÖÑ Ò Ò Ë Ð Ôº ÓÒ ØÙÖ ¾º Ä Ò Ë ÐÚ ÖÑ Òµ ËÓ Ø g 1º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö k Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú ck, g Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ú Ö Ø Ð ÒÒ A/k Ñ Ò ÓÒ g ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ú ÙÖ ÑÔÐ D DivA Ø ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P Ak Ø Ð ÕÙ Z P = {mp m Z} Ø Ö ¹ Ò ÓÒ Ø { } ĥ A,D P ck, g max 1, h F A/k, Ó ĥa,d. Ø Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø ÙÖ A Ó Ù Ú ÙÖ D Ø h F A/k Ø Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ö Ð Ø Ú µ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ Aº Ê Ñ ÖÕÙ ÁÐ Ý ÔÐÙ ÙÖ ÒÓØ ÓÒ ÙØ ÙÖ ³ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ º ij ÒÓÒ ØØ ÓÒ ØÙÖ Ø ÔÐÙ Ò Ú Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ö Ð Ø Ú µ ÓÑÑ Ñ ÒÓÖ ÒØ ÕÙ³ Ú Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ø Ð ÚÓ Ö ½º º½ Ø ½º º¾ ÔÓÙÖ Ð Ò Ø ÓÒ µº Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÔÐÙ ÕÙ Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ø Ð Ø ÓÑÔ Ö Ð ÙÒ ÙØ ÙÖ ÑÓ ÙÐ Ö ÓÑÑ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø ³ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÚÓ Ö ½º º ÔÓÙÖ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ µº ˺ Ú ÔÖÓÔÓ ÙÒ ÔÖ ÙÚ Ô ÖØ ÐÐ ØØ ÓÒ ØÙÖ Ò Ö Ð ÔÖ ÙÚ ÙÖ ÙÒ Ö ÓÒÒ Ñ ÒØ ØÝÔ ØÖ Ò Ò Ò Ú µ Ð ÓÒÒ ÙÒ ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ÔÓÙÚ ÒØ Ø Ò Ö Ú Ö Ð³ Ò Ò Ú Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø µ Ð Ú Ö Ø º ÈÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ð Ó Ø ÒØ Ð Ø Ó¹ Ö Ñ Ò Ð ÕÙ Ð ÓÒ ÒÓØ F g Ð ÓÑ Ò Ë Ð ÔÖ Ñ ÒØ Ò Ò Ð Ô Ö Ö Ô ½º µ Ì ÓÖ Ñ ¾º Ú µ ËÓ ÒØ g 1 ÙÒ ÒØ Ö k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö v ÙÒ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ A/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ñ Ò ÓÒ g Ø τ v F g Ø Ð ÕÙ A k v = C g /Z g + τ v Z g º ÇÒ ÒÓØ Imτ v = max i,j Imτ v,ij º ÈÓ ÓÒ d 0 = max{, [k : Q]} Ø h = max{1, h Θ A} Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø Aº ÈÓ ÓÒ ÔÐÙ ρa, k = d 0h + log d 0 Im τ v + d 1 g+ 0. ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÜ ÓÒ Ø ÒØ c 1 g > 0 Ø c g > 0 Ø ÐÐ ÕÙ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P Ak Ú Ö ÓÙ Ò Ð Ü Ø ÙÒ ÓÙ ¹Ú Ö Ø Ð ÒÒ B A B A ÓÒØ Ð Ö Ú Ö degb c ρa, k g logρa, k g Ø Ø ÐÐ ÕÙ Ð ÔÓ ÒØ P Ó Ø ³ÓÖ Ö Ò Ö ÙÖ c ρa, k g logρa, k g ÑÓ ÙÐÓ B ÓÙ Ò ÓÒ ĥp c 1 gρa, k g logρa, k g h. ½

16 Ø ÒÓÒ ÑÔÐ ÕÙ ÓÒ Ð³ Ò Ð Ø Ö ÔÓÙÖ Ð Ñ ÐÐ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ú Ö ÒØ ρa, k ÓÖÒ º ºÅ Ö ÙØ Ð ³ ÐÐ ÙÖ Ö ÙÐØ Ø Ò Å ÔÓÙÖ Ü Ö ÙÒ Ñ ÐÐ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÑÔÐ Ú ρ ÓÖÒ Ñ ÐÐ Ú Ö ÒØ ÓÒ Ð ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Òº ÔÔÐ Ø ÓÒ ÍÒ Ö ÙÐØ Ø Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ Ò Ð Ú Ö Ø Ù ØÝÔ Ð³ ÒÓÒ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò ÙÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ò ÒØ Ö ÒØ ÔÓÙÖ ÔÐÙ ÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö¹ Ò ÒØ Ð Ú Ö Ø Ð Ö ÕÙ º ÇÒ Ð Ñ Ø Ö ÙÜ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔÐ Ø Ò Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ð ÓÒ ØÖÓÙÚ Ö Ò Ð Ù Ø ÒÓÒ Ô ÖØ Ð º ÌÓÙØ ³ ÓÖ Ð Ø Ò ÕÙ ÔÖ ÙÚ Ö ÙÐØ Ø Ô ÖØ Ð Ò Ö Ø ÓÒ Ð³ Ò Ð Ø Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò Ô ÒØ ¹ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÙÒ Ö ÓÒÒ Ñ ÒØ Ù ØÝÔ Ô ÖÑ Ð N ÔÓ ÒØ Ø ÒØ P 1 ººº P N Ð Ò Ü Ø ÙÒ ÕÙ Ú Ö ĥp i > α º Ë α Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÒ ÕÙ³ Ð Ò Ô ÙØ Ý ÚÓ Ö ÔÐÙ N ÔÓ ÒØ ÙØ ÙÖ ÒÙÐÐ ÕÙ ÔÖÓÙÖ ÙÒ ÓÖÒ ÙÒ ÓÖÑ ÙÖ Ð ØÓÖ ÓÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ö ÔÓÙÖ Ô Ù ÕÙ N Ó Ø ÙÒ ÓÖÑ º Ä ÙÜ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ Ø Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ ÓÖÒ ÙÒ ÓÖÑ ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ð ³ÙÒ ÓÙÖ Ð Ö ÕÙ ÒÖ g Ò Ô ÒØ Ô Ö Ð³ ØÙ Ð Ú Ö Ø Ó ÒÒ º ÆÓÙ ÐÐÓÒ ÓÒ ÔÖÓ Ö Ö ÙÒ Ô Ù Ò Ö Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÒ ØÙÖ Ð ÕÙ ÙÖ Ð ØÓÖ ÓÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÓÒ ØÙÖ º ØÓÖ ÓÒ ÓÖØ µ ËÓ ÒØ k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ö d Ø g 1 ÙÒ ÒØ Öº ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ck, g > 0 Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ k Ø g Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ú Ö Ø Ð ÒÒ A Ñ Ò ÓÒ g Ò ÙÖ k ÓÒ Card Ak tors ck, g. Ê Ñ ÖÕÙ ÁÐ Ù Ø ÑÓÒØÖ Ö ØØ ÓÒ ØÙÖ ÔÓÙÖ k = Q Ò ØÓÙØ Ñ Ò ÓÒ ÔÓÙÖ Ò Ù Ö ÙÒ ÒÓÒ Ò Ö Ð Ú ck, g = cq, dg Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ Ù Ö d Ø Ð Ñ Ò ÓÒ gº Ò Ø A/k Ø ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ B = N k/q A Ö ØÖ Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ï Ð ÚÓ Ö Ð Ô Ö Ö Ô º½º¾µ Ø ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ò ÙÖ Q Ñ Ò ÓÒ dg Ø Ø ÐÐ ÕÙ Ak tors = BQ tors º ÆÓÙ ÓÒÒ ÖÓÒ ÔÐÙ ÙÒ Ö ÙÐØ Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ð³ ÒÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒ ØÙÖ º Å ÞÙÖµ ËÓ ÒØ k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ø g ÙÒ ÒØ Öº ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ c = ck, g > 0 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÙÖ C ÒÖ g Ò ÙÖ k ÓÒ ÒÓØ A Ð Ó ÒÒ C ÓÒ Card Ck c rang Ak + 1. Ê Ñ ÖÕÙ ÔÓÖ Ó À ÖÖ Ø Å ÞÙÖ ÑÓÒØÖ ÒØ Ò ÀÅ ÕÙ³ÙÒ ÓÒ ØÙÖ ØÖ Ò Ö Ð Ä Ò ÒØ Õ٠г Ò Ñ Ð ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ð ³ÙÒ Ú Ö Ø ØÝÔ Ò ¹ Ö Ð Ò³ Ø Ñ Ö ¹ Ò ÑÔÐ ÕÙ Ò Ø ÙÒ ÓÖÒ ÒÓÖ ÔÐÙ ÙÒ ÓÖÑ Ù ØÝÔ CardCk ck, gº Ò ÙØ Ð ÒØ Ð³ ØÙ È ÓÒ Ô ÙØ Ñ Ñ Ô Ö Ö ÙÒ ÓÖÒ CardCk cd, gº ½

17 ÓÒØ ÒÙ Ð Ø ØØ Ø ÓÒ Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð³ ØÙ Ð ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò ÙÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ø ÖØ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ä ØÖ Ú Ð Ú Ò ÕÙ ØÖ Ô ØÖ º Ä Ô ØÖ ¾ Ø ÓÒØ Ð Ö Ñ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ð ÙÒ ÙØÖ º ÌÓÙØ Ð ÙØ ÙÖ Ú Ö Ø ha ÑÔÐ ÕÙ Ò Ñ ÓÖ Ø ÓÒ ÓÙ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ Ó Ú ÒØ ØÖ ÓÑÔÖ ÓÑÑ max{1, ha} º Ä ÔÖ Ñ Ö Ô ØÖ Ö ÙØ Ð ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ð Ù Ø º ÁÐ Ü Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ø ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ÙÖ Ó Ò ÚÓ Ö Ð Ò Ø ÓÒ ÙØ ÙÖ ³ÙÒ ÔÓ ÒØ Ò ÙÒ Ô ÔÖÓ Ø ÙØ ÙÖ ÒÓÒ ÕÙ ÓÙ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø ÔÓÙÖ Ð ÔÓ ÒØ ³ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ø Ð Ø ÓÖ Ñ Æ ÖÓÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð ÔÓ ÒØ ÒØÖ Ð Ð ØÖ Ø ³ ØÙ Ñ Ò ÔÐ º ÇÒ ÙÖ Ó Ò Ð³ Ô Ë Ð Ó ÙÜ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö º ÇÒ ØÙ Ö Ò Ù Ø Ð Ò Ø ÓÒ ÙØ ÙÖ ³ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÙØ Ð Ò Ø ÜØ º ÇÒ Ò Ö Ò Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ù Ñ ÒØ Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ø Ð Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø ³ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ö Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ Ö ÒØ ÒÓØ ÓÒ ÙØ ÙÖº ÇÒ Ö ÓÙØ Ö Ð Ò Ø ÓÒ ØÖ Ö Ñ ÒÒ ³ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ò ÕÙ³ÙÒ Ô Ö Ö Ô ÙÖ Ð Ö Ñ Ò ÒØ Ó ÙÜ ÓÙÖ ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ º Ä ÓÒ Ô ØÖ Ø ÙÒ ØÙ Ø ÐÐ Ð ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò ÔÓÙÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ ¾º ÍÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ñ Ò ÓÒ ¾ Ø ÓÑÓÖÔ ÓÙ Ò ÙÒ Ó ÒÒ ³ÙÒ ÓÙÖ C ÒÖ ¾ ÔÓÐ Ö Ô Ö Ð Ú ÙÖ Θ = C ÓÙ Ò ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ E 1 E ÔÓÐ Ö Ô Ö Θ = E 1 {O}+{O} E º ÇÒ Ó Ø ÒØ Ò Ô ØÖ ÙÒ Ø ÓÖ Ñ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ó Ù Ú ÙÖ Θ Ò ÙØ Ð ÒØ ÙÒ Ø Ò ÕÙ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð Ð Ö Ñ ÒØ ÑÓ º Ò Ø ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð ÓÒØ Ò ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÖ Ð Ý ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ Ñ Ò Ö ÒÓÖÑ Ð Ö ÓÒØ ÓÒ º ÇÒ Ñ Ø Ò ÔÐ ÙÒ ØÙ Ö Ò ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð ÕÙ Ø ÙÒ Ñ Ò Ö ØÓÙÖÒ Ü Ö ÙÒ ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ Ö ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÖÙ Ð ÔÓ ÒØ ¹ØÓÖ ÓÒ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾º Å Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ ØØ Ñ Ø Ó Ø ÔÔ Ö ØÖ ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÓÖ Ð³ Ô ÑÓ ÙÐ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ñ Ò ÓÒ ¾º ËÓ Ø ε > 0º ÇÒ ÒÓØ Ö F,ε Ø G,ε ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Ù ÓÑ Ò Ë Ð F Ò Ð ÕÙ Ð ÓÒ Ö Ø Ö ÙÒ ÚÓ Ò ØÙ ÙÐ Ö ¹ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ Ù Ð Ù ÔÖÓ Ù Ø ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ ÚÓ Ö Ð³ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ù Ô ØÖ ¾ ÔÓÙÖ Ð Ò Ø ÓÒ ÔÖ µº Ä ÒÓÒ ÔÐ ÖÓÒØ ÓÒ ØÓÙ ÓÙÖ Ò ÙÒ Ø Ð Ò Ñ Ð F,ε º Ä ÕÙ ÒØ Ø TrA Ø ÔÔ Ð Ð ØÖ Ö Ñ ÒÒ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÚÓ Ö Ò Ø ÓÒ ÔÖ Ò ½º µ Ø D Ø ÙÒ ÖØ Ò Ö Ñ Ò ÒØ Ó Ð ÓÙÖ ÓÙ ¹ ÒØ º ÆÓØÓÒ ÔÐÙ ÕÙ Ð ÐÙÐ ÜÔÐ Ø Ø Ð Ñ Ò ÙÚÖ Ø Ñ Ø ÓÒ ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð ÙÜ ÔÐ Ò Ø ÙÖ Ð³ ØÙ ÔÓÙ Ð ÙÖ ÃÙÑÑ Ö ØÙ Ô Ö Îº ÐÝÒÒ Æº ËÑ ÖØ Ø Åº ËØÓÐÐ Ò Ð ÖØ Ð ÐÝ Ë ËØÓ ËØÓ¼¾ º Ò Ð Ó ÒÒ Ñ Ò ÓÒ ¾ ÑÔÐ Ð Ø ÓÖ Ñ ÔÖ Ò Ð ÓÖÑ Ù Ú ÒØ ½

18 Ì ÓÖ Ñ º ËÓ Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ö dº ËÓ Ø ε ÙÒ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø º ËÓ ÒØ C/k ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾ Ñ ØØ ÒØ ÙÒ ÔÓ ÒØ Ï Ö ØÖ Ö Ø ÓÒÒ Ð ÙÖ k Ø A Ó ÒÒ º ÐÓÖ A Ú Ö τ v F,ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ v Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ c 1 d > 0 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P Ak гÙÒ ÙÜ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ø ÚÖ 1 [n]p = O ÔÓÙÖ ÙÒ ÒØ Ö 1 n d, ĥa,θp c 1 TrA 6 log N k/q D, Ó ÓÒ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö c 1 = 1 160d d º Ê Ñ ÖÕÙ ½ г ÝÔÓØ τ v F,ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ v Ö Ñ ÒÒ Ô ÙØ Ô Ùع ØÖ ØÖ Ö Ø Ö Ò Ð Ó Ð ÓÖÔ k Ò³ ÕÙ³ÙÒ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓÙÖ k = Qº ÁÐ Ù Ø Ö ÙÒ ÑÓÝ ÒÒ Ö ØÖ ÒØ ÙÖ Ð ÔÓ ÒØ ³ÓÖ Ö ÒÓÒ Ô ÙÖ ¼ ÔÓ ÒØ Ñ ÙÖ ¾ ÔÓ ÒØ Ò Ó º Ð Ö Ù ÔÖ Ü Ð Ô ÖØ Ù Ö Ø Ö ÜÔÐ Ø Ð ÓÒ Ø ÒØ c 1 Ù Ø ÓÖ Ñ º Ê Ñ ÖÕÙ ¾ ÇÒ Ú ÓÒ ØÖ Ñ Ò Ò Ð ÒÓÒ Ù Ú ÒØ ÙÔÔÓ Ö Õ٠гÓÒ TrA 64 log N k/q Dº ÁÑÔÓ Ö ÙÒ ÝÔÓØ Ù ØÝÔ TrA c log N k/q D Ò³ Ø Ô Ö Òº Ò Ñ Ò ÓÒ ½ ÙÒ ÓÒ ØÙÖ À ÐÐ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ë Ð ¾ Ôº ¾ µ ÔÖ Ø ÕÙ ÙÐ ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ Ô ÙÚ ÒØ Ð Ú Ö Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ c Ø ØÖÓÔ Ö Ò ÓÒ Ñ Ò ÙÒ ØÙ Ù Ø Ò ÙÒ Ô Ö Ö Ô Ù ÒØ Ù Ø ÓÖ Ñ ¾º º º Ô Ò ÒØ Ð³ Ô ÑÓ ÙÐ ÓÙÖ ÒÖ ¾ Ø Ñ Ò ÓÒ Ô ÖÑ Ø ³Ó Ø Ò Ö Ñ ÐÐ Ò Ò Ó ÒÒ Ú Ö ÒØ ØØ ÓÒ Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ö Ñ Ò Òغ ÇÒ Ú ÖÖ Ò Ð Ô Ö Ö Ô Ù ÒØ Ù Ø ÓÖ Ñ ¾º º Õ٠гÓÒ Ô ÙØ ÑÓÒØÖ Ö Ò ÙØ Ð ÒØ Ð³ ÖØ Ð Á Ù Á Ù ¾ º ØØ Ö Ñ ÖÕÙ Ø ØÓÙØ Ó ÙÒ ÑÓØ Ú Ø ÓÒ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö ÔÓÙÖ Ö Ö Ò Ð ÙØÙÖ Ó Ø Ò Ö ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú ÙÜ ÔÐ Ò º Ê Ñ ÖÕ٠ij Ü Ø Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ Ï Ö ØÖ Ö Ø ÓÒÒ Ð ÙÖ k Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ ÑÓ Ð y = Fx Ú degf = 5 ÙÖ kº ÁÐ Ù Ø ³ ØÙ Ö ÙÒ ÜØ Ò ÓÒ k Ö Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð ¾ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÔÓ ÒØ Ï Ö ØÖ Ö Ø ÓÒÒ Ð ÙÖ kº ÇÒ Ù Ø ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ø ÓÖ Ñ Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ù Ú ÒØ ÓÖÓÐÐ Ö ½º ËÓ ÒØ k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ö d Ø ε > 0º ËÓ ÒØ C/k ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ÑÓ Ð y = Fx Ú degf = 5 Ø A/k Ó ÒÒ º ËÓ ÒØ TrA ØÖ Ö Ñ ÒÒ Ø D = 8 discfº ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ v ÓÒ τ v F,ε Ø ÕÙ TrA 64 log N k/q D. ÐÓÖ ÓÒ Card Ak tors d. ½

19 ÇÒ ÓÑÔÐ Ø Ð Ø ÓÖ Ñ Ô Ö Ð³ ØÙ Ð ØÙ Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ Ù Ø ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ ÕÙ ÓÒÒ ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ÔÐÙ Ð ÕÙ Ð٠ź À Ò ÖÝ Ø Âº Ë ÐÚ ÖÑ Ò Ò ÀË Ñ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ³ ÓÙØ Ö ÙÒ ÒÓÒ ÒØ ÒØ ÖÚ Ò Ö Ð Ñ Ñ ÕÙ ÒØ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ó ÒÒ ÑÔÐ º Ä Ô ØÖ ¾ Ö Ò ÖÑ Ù Ð ÔÖ ÙÚ Ù Ø ÓÖ Ñ Ñ ÓÖ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÙÖ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò ÓÒÒ Ò Í Ò ÓÒ ÒÓØ h F A/k Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ù Ñ ÒØ Ì ÓÖ Ñ º ËÓ Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ö dº ËÓ Ø ε ÙÒ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø º ËÓ Ø C/k ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾ Ú ÓÒÒ Ö ÙØ ÓÒ Ò ÔÖ Ò ÙÒ ÑÓ Ð ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ y = Fx Ú degf = 5º ÇÒ ÒÓØ D = 8 discfº ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð Ó ÒÒ A = JacC Ú Ö τ v G,ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ vº ÐÓÖ Ð Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c d > 0 Ø c 4 d > 0 Ø ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö c = 5π + 0d h F A/k c TrA + c 4 log N k/q D, Ø c 4 = 1 10d º ÆÓØÓÒ ÕÙ Ø ÓÖ Ñ Ø ÙÒ Ô Ú Ö Ð ÓÒ ØÙÖ ½º ˺ Ú ÓÒÒ Ò Ú Ôº ½ º Ä ÓÒ ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ø ÓÙÖÒ Ø ÐÓÖ Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ù Ú ÒØ ÓÖÓÐÐ Ö ¾º ËÓ ÒØ k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ö d Ø ε > 0º ËÓ Ø A, Θ/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ñ Ò ÓÒ ¾º Ë A Ø ÑÔÐ ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ τ v G,ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ v Ö Ñ ÒÒ Ø ÕÙ Ð ÓÙÖ ÓÙ ¹ ÒØ ÓÒÒ Ö ÙØ ÓÒ Ò º ÇÒ ÔÖ Ò Ð ÑÓ Ð y = Fx Ú degf = 5º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ TrA 64 log N k/q Dº ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ cd > 0 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P Ak Ú Ö ÒØ Z P = A ÓÒ ĥ A,Θ P c h FA/k, Ø ÓÒ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö c = 0, d º Ä Ø ÓÖ Ñ ½ Ø ¾ Ò ÕÙ ÓÖÓÐÐ Ö Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ú Ö Ö Ð ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò ÔÓÙÖ ÙÒ Ð Ö Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ ¾ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ð Ó ÒÒ ÑÔÐ ÕÙ ÓÒØ ÔÓØ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒÒ Ö ÙØ ÓÒ ÓÒ ÒÓÒ Ð ÓÖÓÐÐ Ö ¾º º µ ÓÖÓÐÐ Ö º ËÓ Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ö dº ËÓ Ø ε ÙÒ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø º ËÓ Ø C/k ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾ ÓÒÒ Ò ÙÒ ÑÓ Ð ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ ÒØ Ö y = Fx Ú degf = 5 Ø Ø ÐÐ ÕÙ C/k ÔÓØ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒÒ Ö ÙØ ÓÒ Ô ÖØÓÙغ ËÓ Ø A Ð Ó ÒÒ C ÑÔÐ Ø Ú Ö ÒØ τ v G,ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ v Ö Ñ ÒÒ º ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P Ak ³ÓÖ Ö Ò Ò ÓÒ ĥ A,Θ P 0, d h st A. ½

20 Ø ÒÓÒ Ò³ Ø Ô ÓÙÚ ÖØ Ô Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ëº Ú Ú Ò Ñ Ò ÓÒ ¾º È Ö ÓÒØÖ Ð Ø ÓÖ Ñ Ëº Ú Ô Ð³ ÝÔÓØ Ö Ñ ÒÒ ÓÒØ ÓÒ Ó Ò ÔÓÙÖ Ñ Ò Ö Ò Ð ØÖ Ø ÐÓ Ð º ÇÒ Ö ÓÙØ ÙÒ ÖÒ Ö ÒÓÒ Ò Ð ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ô ØÖ ¾ ÓÒ ÖÒ ÒØ Ð ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ð ÙÖ Ð ÓÙÖ ÒÖ ¾º ÇÒ ÓÑÔ Ö ÙÜ Ø Ò ÕÙ Ö Ö ÓÖÒ ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ð ³ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾º ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø Ó ÓÒ Ø ÙØ Ð Ö Ð ØÖ Ú ÙÜ Ìº Ó Ó Ø Ñ Ò ÔÐ ÙÒ Ö ÓÒÒ Ñ ÒØ Ò Ñ ÐÐ º Ä ÓÒ ÙÖ Ð³ ÖØ Ð Ê Ñ¼¼ º Ê ÑÓÒ Ó ÙÖ ÙÒ ÓÖÒ ÕÙ Ô Ò ÒÓÖ Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ð Ó ÒÒ º ÓÑ Ò Ù ÓÖÓÐÐ Ö ¾ ¹ Ú ÒØ Ð ÙÜ Ñ Ø Ó ÓÒÒ ÒØ Ð Ñ Ñ ÒÖ ÓÖÒ º ÎÓ Ð Ö ÙÐØ Ø Ó Ø ÒÙ Ú Ð ÓÒ ÓÖÓÐÐ Ö º ËÓ ÒØ k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ø ε > 0º ËÓ Ø C/k ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾ Ú ÓÒÒ Ö ÙØ ÓÒ Ò ØÓÙØ ÔÐ Ú ÒØ ÓÒÒ Ò ÙÒ ÑÓ Ð y = Fx Ú degf = 5º ÇÒ ÒÓØ Ö D = 8 discfº ËÓ Ø A/k Ð Ó ÒÒ Cº ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ v Ð Ñ ØÖ Ô Ö Ó τ v G,ε º ÇÒ ÙÔÔÓ ÔÐÙ ÕÙ TrA 64 log N k/q Dº ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ c d Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ d = [k : Q] Ø ÐÐ ÕÙ rang Ak + 1 CardCk c, Ø ÓÒ Ô ÙØ Ó Ö c = 40 d Ä ØÖÓ Ñ Ô ØÖ Ø ÙÒ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ó ÙØ Ð Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ ÙÜ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ g º Ä ÙÐØ ÔÖ Ò Ô Ð ÙÖÑÓÒØ Ö ÓÙØÖ Ð Ø Ò Ø ÖÙ ÖØ Ò ÐÙÐ ÓÒØ Ð Ù Ú ÒØ ØÓÙØ ³ ÓÖ ÓÒ Ò ÔÓ Ô Ð³ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð³ ØÙ ÜÔÐ Ø Îº ÐÝÒÒ Æº ËÑ ÖØ Ø Åº ËØÓÐк ÇÒ ÓÒ Ó ÓÑÔÓ Ö Ú Ð ÓÓÖ ÓÒÒ ÅÙÑ ÓÖ Ò Ò ÅÙÑ ÔÓÙÖ ØÙ Ö Ð ÔÐ Ò ÔÐÙ Ü Ø Ñ ÒØ Ú Ð ÓÓÖ ÓÒÒ ÅÙÑ ÓÖ ÑÓ ÒØÖÓ Ù Ø Ò Ð³ ÖØ Ð È¼¾ º ÈÓÙÖ Ö ÙÒ Ö Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÓ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ÐÓ Ð Ð ÙØ Ò Ù Ø ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ Ò Ú Ù ØÓÖ ÓÒ N Ó ÓÙ ÒØ Ð Ñ Ñ ÖÐ ÕÙ N = ÔÓÙÖ g = º ÇÒ Ó Ò ÔÓÙÖ Ð Ð Ó ³ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ö ÕÙ Ù ØÝÔ N = s 1 Ø ³ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø Ò ÐÝØ ÕÙ Ù ØÝÔ N > cl, g Ó cl, g Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ g Ø Ù ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ÔÖÓ Ø Ó Ù Ö L Ù¹ Ù ³ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Aº ÁÐ ÙØ Ò Ù Ø ÔÖ Ò Ö ÔÖ ÙØ ÓÒ Ú Ð³ Ô ÑÓ ÙÐ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ñ Ò ÓÒ gº ÇÒ ÒÓØ Ö F g,ε ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Ø Ô Ò Ð ÕÙ Ð ÓÒ ÒÐ Ú ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ³ ÝÔ Ö ÙÖ Ò ÐÝØ ÕÙ Ô ÚÓ Ò ØÙ ÙÐ Ö ¹ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ Ø ÐÐ ε ÚÓ Ö Ò Ø ÓÒ ÔÖ Ù Ô Ö Ö Ô º½º¾µº ÝÔ Ö ÙÖ ÓÒØ Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ù Ò Ú Ù ØÓÖ ÓÒ N Ó Ù Ô Öغ ÇÒ ÒÓØ Ð ÒÓÖ TrA Ð ØÖ Ö Ñ ÒÒ A h fini A Ð Ô ÖØ Ò Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø A Ø S Ò A Ð Ø ÖÑ Ù Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö [ s ] ÚÓ Ö Ð Ô Ö Ö Ô ½º Ø º¾º½¼ ÔÓÙÖ Ð Ò Ø ÓÒ ÔÖ º Ò Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ô ÙØ ÖÑ Ö ½

21 Ì ÓÖ Ñ º ËÓ Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ö d ÒÓØÓÒ m = Mk º ËÓ ÒØ g ÙÒ ÒØ Ö Ø ε > 0º ÐÓÖ Ð Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c 1 d, g > 0 Ø c d, g > 0 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÑÔÐ Ñ Ò ÓÒ g ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö A, Θ/k Ú Ö ÒØ ÕÙ τ v F g,ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ v Ö Ñ ÒÒ Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P Ak ³ÓÖ Ö Ò Ò ÑÓ ÙÐÓ ØÓÙØ ÓÙ ¹Ú Ö Ø Ð ÒÒ ĥ A,16Θ P c 1 TrA c h fini A + S fini A, Ø ÓÒ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö c 1 = π4 g g! d g 4 g g! 4 16 g+1 g! g+ 4gm+1, c = 1 d g 4 g g! 4 16 g+1 g! g+ 4gm. ij ÔÖ Ø Ø ÓÖ Ñ Ø Ð Ñ Ñ ÕÙ³ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ ÒÓØÖ ÙØ Ð Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ó Ö Ò ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÔÔÓ Ø ÓÒ Ð ÔÐ Ö Ñ ÒÒ Ø Ð ÔÐ Ò ÓÙØ ÒØ ÙÒ Ø ÓÖ Ñ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ÒÓÒ ØÖ Ú Ð ÕÙ Ð ÓÑÑ ÓÒØÖ ¹ ÙØ ÓÒ Ö Ñ ÒÒ ÓÑ Ò Ð ÓÑÑ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÙÜ ÔÐ Ò º ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ù Ö ÙÒ ÓÖÒ ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ ÙÖ Ð ØÓÖ ÓÒ Ð Ñ Ñ Ñ Ò Ö ÕÙ Ò Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ¾º ÁÐ Ö ÒØ Ö ÒØ Ð³ Ú Ò Ö Ö Ö Ö ÓÒØÖ Ù Ö ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÔÐ Ò Ø ³ Ò Ú Ö ÙÒ Ñ ÒÓÖ ÒØ ØÓÙ ÓÙÖ ÔÓ Ø º ØÖÓ Ñ Ô ØÖ Ö Ò ÖÑ ÔÐÙ ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ ÜÔÐ Ø Ð ÙØ ÙÖ Ð¹ Ø Ò ÔÓÙÖ Ð Ó ÒÒ ÓÙÖ ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ ÒÖ gº ³ Ø Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙРú Í ÒÓ Ð³ ÖØ Ð Í Ò Ø Ð Ö Ð³ÙØ Ð Ø ÓÒ Ð³ ÖØ Ð Èº ÄÓ ÖØ ÄÓ º ÍÒ Ó ØØ ÓÖÑÙÐ ÑÓÒØÖ ÓÒ ØÖ Ú ÐÐ Ò ÙÒ ÓÙ ¹ Ô ÑÓ ÙÐ G g,ε ÜÐÙ ÒØ Ð ÚÓ Ò ØÙ ÙÐ Ö ¹ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ ³ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ³ ݹ Ô Ö ÙÖ Ò ÐÝØ ÕÙ ÚÓ Ö Ò Ø ÓÒ ÔÖ Ò º½º µ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ³ Ø Ñ Ö Ì ÓÖ Ñ º ËÓ Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ö dº ËÓ ÒØ g ÙÒ ÒØ Ö Ø ε > 0º ÐÓÖ Ð Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c d, g > 0 Ø c 4 d, g > 0 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÙÖ C/k ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ Ò ÙÖ k ÒÖ g Ö Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ Ð min Ð Ó ÒÒ JacC, Θ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ô Ö Ð Ú ÙÖ Θ Ñ Ø Ñ ØÖ τ v G g,ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ v ÓÒ h st JacC c TrJacC + c 4 log N k/q min, Ø ÓÒ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö c = 4π + d Ø c 4 = g 8g + 4d º ÇÒ Ô ÙØ Ù Ö Ø ÓÖ Ñ Ø Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ù Ú ÒØ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò ¾¼

22 ÓÖÓÐÐ Ö º ËÓ Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ö dº ËÓ ÒØ g ÙÒ ÒØ Ö Ø ε > 0º ËÓ Ø C/k ÙÒ ÓÙÖ ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ Ò ÙÖ k ÒÖ g Ö Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ Ð min º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ó ÒÒ A, Θ Ø ÑÔÐ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ô Ö Ð Ú ÙÖ Θ Ø Ñ Ø Ñ ØÖ τ v G g,ε F g,ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ vº ÇÒ ÙÔÔÓ ÔÓÙÖ c 5 = c 5 g ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÓÒÒ { } TrA c 5 max h fini A + S fini A, log N k/q min, ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ c = cd, g > 0 Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ d Ø g Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P JacCk ³ÓÖ Ö Ò Ò ÑÓ ÙÐÓ ØÓÙØ ÓÙ ¹Ú Ö Ø Ð ÒÒ ĥ A,16Θ P c h st A. ÔÐÙ ÓÒ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö g! g+1 c 5 = 16g+1 +1 et c = 16 g + 1 g! g + 5gd. π4 g ÔÖ ÓÖ Ø ÒÓÒ Ø ÑÓ Ò ÔÙ ÒØ ÕÙ Ð٠˺ Ú Ò Ñ Ò ÓÒ g Ö Ö ¹ ØÖ ÒØ ÙÜ Ó ÒÒ ÓÙÖ ÝÔ ÐÐ ÔØ ÕÙ Ø Ù Ð ³ÙÒ ÝÔÓØ Ö Ñ ÒÒ Ð Ñ ÒØ ÐÙÐ Ð º ÔÐÙ ³ Ð Ø Ð Ö ÕÙ³ÓÒ Ô ÙØ ØÖÓÙÚ Ö Ñ ÐÐ Ú Ö Ø Ú TrA ÓÑ Ò ÒØ h fini A Ð Ø ÑÓ Ò Ú ÒØ ÓÒØÖÐ Ö Ð ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ð ÙØ ÙÖ ÓÖÑ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö [ s ] Ö ÖÓÙÔ Ò S fini Aº ÈÐÙ ÙÖ ÔÓ ÒØ Ñ Ö Ø ÒØ ³ ØÖ ÓÙÐ Ò Ô Ò Òغ ÌÓÙØ ³ ÓÖ Ð Ñ Ø Ó Ô Ö Ð ÔÐ Ò Ø Ð ÔÐ Ö Ñ ÒÒ ÕÙ Ð Ô Ö Ö ÒÓÒ ÙØÙÖ ÑÓÝ Ò¹ Ò ÒØ ÝÔÓØ Ö ÙØ ÓÒ º Ò³ Ø Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ð Ú Ð Ø ÓÖ Ñ Ëº Ú º Ò ÓÙØÖ ÓÒ Ô ÙØ Ô Ö Ö ÑÓÝ ÒÒ ÒØ ÙÒ ÐÙÐ Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ò ÝÔÓØ Ñ ¹ Ø Ð Ø ÙÖ Ð ÓÙÖ ÔÓÙÚÓ Ö Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ñ ÒÓÖ ÒØ ÒØ ÒØ ÖÚ Ò Ö Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ù Ñ ÒØ Ö Ð Ø Ú Ù ÓÖÔ k ÕÙ Ø ÙÒ Ñ ÓÖ ÒØ Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÙÐØ Ø Ú Ö ÔÔ Ð ÔÐÙ ÙØ Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø Ø ÓÑÔ ¹ Ö Ð Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ø Ð µº Ò Ò Ø Ð ÐÙÑ Ö Ð³ ØÓÖ ÕÙ Ö Ö ÙÖ Ð ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò ÓÖÓÐÐ Ö Ú Ò Ð Ò Ð Ö Ñ ÖÕ٠˺ Ú Ù Ú ÒØ Ð Ø Ò ÕÙ ÔÖ ÙÚ ØÖ Ò Ò Ò Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò Ù¹ Ø ÙÖ ÐÓ Ð Ñ Ð ÒØ ÓÙØ Ö Ô Ö ÚÓ Ö ÒØ ÙÜ Ñ Ñ Ö ÙÐØ Ø ³ ع¹ Ö Ò Ð³ Ø Ø ØÙ Ð ÓÒÒ Ò Ö ÙÐØ Ø Ò Ð Ó Ð ÔÐ Ö Ñ ÒÒ ÓÑ Ò Òغ Ê Ñ ÖÕÙ ÇÒ Ô ÙØ Ò Ö Ù Ö ÓÙ ÝÔÓØ Ò ÐÓ Ù ÒÓÒ Ô ÖØ Ð ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ ØÓÖ ÓÒ ³ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ g Ø ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ð ³ÙÒ ÓÙÖ ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ ÒÖ gº È Ö ÓÙ ÓÒ ÓÒ ÒÓÙ Ð ÓÒ Ù Ð Ø ÙÖ Ð Ó Ò ÓÖÑÙÐ Ö ÓÖÓÐÐ Ö ÚÓ Ö Ð ÓÖÓÐÐ Ö ½ Ø Ò Ð g = µº Ä ÕÙ ØÖ Ñ Ô ØÖ Ø ÙÒ Ô ØÖ ³ ØÙ Ð Ô Ò Ò Ð ÓÒ Ø ÒØ ÔÖ ¹ ÒØ Ò Ð³ Ò Ð Ø Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Òº ÇÒ ÑÓÒØÖ ØÖ Ð Ñ ÒØ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ô Ö ¾½

23 ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ Ú ÓÒ ÔÓ ÒØ ÕÙ ØØ ÓÒ Ø ÒØ Ô Ò Ò Ö Ñ ÒØ Ù ÓÖÔ Ò Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ð P ÓÒ Ö º Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ö ØÖ Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ï Ð ÓÒ ÑÓÒØÖ Ù ÕÙ³ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ñ Ò ÓÒ Ù ÔÐÙ Ô Ø Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Ð Ö ÕÙ ÓÒØ Ò ÒØ P º Ä Ò Ø Ð Ô Ò Ò Ò Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ú Ö Ø ¹ Ð ÒÒ Ñ ÒØ ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ Ö ØÖ ÒØ ÙÜ ÔÓ ÒØ Ú Ö ÒØ ÕÙ Z P Ø Ö ¹ Ò Ø ÙÒ Ô Ù ÑÓ Ò Ú ÒØ º ÇÒ ØÖ Ø Ò Ø Ð Ð Ó ÒÒ ÓÙÖ ÑÓ ÙÐ Ö J 0 Nº ÈÐÙ Ü Ø Ñ ÒØ ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø ³ÙÒ ÔÓ ÒØ À Ò Ö ÐÓÖ ÕÙ Ð Ò Ú Ù N Ø Ö Ò Ò Ö Ð ÒØ ÙÒ Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÅÍ º ÈÓÙÖ k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö ÓÒØ Ð³ ÒÒ Ù ÒØ Ö Ø ÒÓØ O k ÓÒ ÒÓØ h k ÓÒ ÒÓÑ Ö Ð u k Ð ÑÓ Ø Ù Ö Ò Ð ÙÒ Ø Ø N k ÙÒ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ù Ø ÔÖ Ñ Ö ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ð ÓÒ ÖÙ Ò ÓÒ Ø ØÙ ÒØ Ö N Ø Ð ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ À Ò Ö Ó O k ÙÖ X 0 Nº Ä Ö ÙÐØ Ø Ø Ð Ù Ú ÒØ Ì ÓÖ Ñ º ËÓ Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÕÙ Ö Ø ÕÙ ÓÒØ Ð Ö Ñ Ò ÒØ D Ú Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ D < 0 D Ø Ò Ø ÙÖ ÖÖ Ø D 1 mod 4º ËÓ Ø x D X 0 N ÙÒ ÔÓ ÒØ À Ò Ö Ó k Ø ÔÓ ÓÒ c D = x D º ÐÓÖ ÓÒ ÐÓÖ ÕÙ N N k Ø Ò Ú Ö Ð³ Ò Ò º ĥ J0 Nc D h k u k logn, ÆÓØÓÒ gn Ð Ñ Ò ÓÒ J 0 Nº ijÙØ Ð Ø ÓÒ Ð³ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ó Ø ÒÙ Ò Âü Ö ÐÙÐ ÓÑ ØÖ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ ÓÑÔÐ Ü µ h st J 0 N gn logn Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò J 0 N ÐÓÖ ÕÙ N Ø Ö Ò Ô ÖÑ Ø Ô Ö ÓÑÔ Ö ÓÒ ÝÑÔØÓ¹ Ø ÕÙ ÓÒÐÙÖ Ù Ø Ù Ú ÒØ ÓÖÓÐÐ Ö º ËÓ Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÕÙ Ö Ø ÕÙ ÓÒØ Ð Ö Ñ Ò ÒØ D Ú Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ D < 0 D Ø Ò Ø ÙÖ ÖÖ Ø D 1 mod 4º ËÓ Ø x D X 0 N ÙÒ ÔÓ ÒØ À Ò Ö Ó k Ø ÔÓ ÓÒ c D = x D º ÆÓØÓÒ gn Ð ÒÖ X 0 Nº ÐÓÖ ÓÒ ÐÓÖ ÕÙ N N k Ø Ò Ú Ö Ð³ Ò Ò º ĥ J0 Nc D h ku k gn h stj 0 N, Ê Ñ ÖÕÙ ÁÐ ÙØ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð Ü ÑÔÐ Ú ÐÓÔÔ Ò Ô ØÖ Ò ÕÙ ÒØ ÕÙ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ò Ð Ø Ù ØÝÔ ĥa,θp c h F A/k ÓÒ Ò Ô ÙØ Ô Ò Ö Ò Ò Ö Ð Ð Ô Ò Ò Ò Ð ÓÖÔ k Ð ÓÒ Ø ÒØ c Ð Ô Ò Ò Ò Ð Ñ Ò ÓÒ g Ð ÓÒ Ø ÒØ c г ÝÔÓØ Z P = Aº ¾¾

24 Ä ÒÕÙ Ñ Ô ØÖ Ø ÓÑÔÓ ØÖÓ ÒÒ Ü º Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ ÑÓÒØÖ ÓÑÑ ÒØ Ù Ñ ÒØ Ö Ð ÓÑ Ò Ú Ð Ø Ù ÓÖÓÐÐ Ö ¾ ¹ Ú ÒØ Ò ÙØ Ð ÒØ Ó Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö º ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ø Ò Ö Ð Ö ÒÓÖ ÙÒ Ô Ùº ÁÐ Ò³ Ø Ô ÑÔÓ Ð ÕÙ ØØ ÚÓ ³ ØØ ÕÙ Ô ÖÑ ØØ Ð³ Ú Ò Ö Ö Ô Ö ØÖ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÓÖ Ð³ Ô ÑÓ ÙÐ º Ä ÙÜ Ñ ÒÒ Ü Ö Ò ÖÑ Ð ÓÖÑÙÐ ÜÔÐ Ø ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ð ÐÙÐ ÙÖ Ð ÙÖ ÃÙÑÑ Öº Ä ÖÒ Ö ÒÒ Ü ÓÒÒ Ð ÓÖÑÙÐ ÒÚ Ö ÒØ ³Á Ù ÓÙÖ ÒÖ ¾º ¾

25 ¾

26 Ô ØÖ ½ Ò Ö Ð Ø ÙÖ Ð ÙØ ÙÖ ¾

27 ¾

28 ½º½ À ÙØ ÙÖ Ò ÙÒ Ô ÔÖÓ Ø ËÓ Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö º ÇÒ ÒÓØ d = [k : Q] ÓÒ Ö ÙÖ Qº ÇÒ ÒÓØ Ö Ò ØÓÙØ Ð Ø ÜØ M k г Ò Ñ Ð ÔÐ ÙÜ ÙÜ ÒÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ µ Mk г Ò Ñ Ð ÔÐ Ö Ñ ÒÒ Ø Mk 0 г Ò Ñ Ð ÔÐ Ò º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ v M k ÓÒ ÒÓØ Ö k v Ð ÓÑÔÐ Ø k ÔÓÙÖ Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ. v Ó Ð ÔÐ v Ó ÓÒ ÒÓÖÑ Ð p v = p 1 ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ Ò v Ù¹ Ù ³ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö pº ÈÓÙÖ Ð ÔÐ Ö Ñ ÒÒ ÓÒ ÔÖ Ò Ö Ð Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ Ù Ù ÐÐ º ÇÒ ÒÓØ Ö ÔÐÙ d v = [k v : Q v ] Ð Ö ÐÓ Ð Ò v Ø n v = d v d = [k v : Q v ] [k : Q]. ËÓ ÒØ n 1 ÙÒ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ø P n Q г Ô ÔÖÓ Ø ÙÖ Q Ñ Ò ÓÒ nº ËÓ Ø x = x 0 :... : x n P n Q ÙÒ ÔÓ ÒØ ÔÖÓ Ø Ø Ó Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÓÒØ Ò ÒØ x º º ÓÒØ Ò ÒØ ÓÓÖ ÓÒÒ º ÐÓÖ ÓÒ Ò Ø Ð ÙØ ÙÖ x ÓÑÑ Ø ÒØ hx = n v log max x i v. i 0,n v M k ³ Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÓ Ø ÓÙ ÒÙÐ ÕÙ Ò Ô Ò Ò Ð ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ Ù ÔÓ ÒØ x ÓÖÑÙÐ Ù ÔÖÓ Ù Øµ Ò Ù ÓÖÔ ÓÒØ Ò ÒØ x ÓÖÑÙÐ ³ ÜØ Ò ÓÒµº ËÓ ÒØ X/k ÙÒ Ú Ö Ø ÔÖÓ Ø Ú ÙÖ k D ÙÒ Ú ÙÖ ØÖ ÑÔÐ ÙÖ X Ø ϕ D ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ X Ò ÙÒ Ô ÔÖÓ Ø P n º ÐÓÖ ÓÒ Ô ÙØ Ò Ö ÙÒ ÙØ ÙÖ ÙÖ X ÔÔ Ð ÙØ ÙÖ Ï Ð Ð Ñ Ò Ö Ù Ú ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ k¹ö Ø ÓÒÒ Ð P º º P X kµ ÓÒ ÔÓ h X,D P := hϕ D P. Ë Ð Ú ÙÖ D Ò³ Ø Ô ØÖ ÑÔÐ ÓÒ Ô ÙØ ØÓÙ ÓÙÖ Ö Ö D = D 1 D Ú D 1 Ø D ØÖ ÑÔÐ º ÇÒ ÔÓ Ö ÐÓÖ h X,D P := hϕ D1 P hϕ D P. ÇÒ Ú Ö Ò Ù Ø ÕÙ ØØ Ò Ø ÓÒ Ò Ô Ò Ò Ù ÑÓÖÔ Ñ ϕ D Ò Ð Óѹ ÔÓ Ø ÓÒ D = D 1 D ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÖÒ ÔÖ º ÌÓÙØ Ú Ö Ø ÓÒ ÓÒØ Ø Ò Ø Ð Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ À˼¼ Ôº ½ Ò Ð ÓÙÖ Ð ÔÖ ÙÚ Ù Ø ÓÖ Ñ Ï Ð³ À Ø Å Ò º ËÓ ÒØ A/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÙÖ k D ÙÒ Ú ÙÖ ÑÔÐ Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ ÙÖ Aº ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð n 1 ÓÒ ÒÓØ [n]p Ð ÔÓ ÒØ [n 1]P + P Ó Ð ÝÑ ÓÐ + Ø Ð³ Ø ÓÒ ÙÖ A Ø [1]P = P º ÇÒ Ò Ø ÐÓÖ Ð ÙØ ÙÖ ÒÓÒ ÕÙ ÓÙ ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø ³ÙÒ ÔÓ ÒØ P Ak Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ h A,D [n]p ĥ A,D P := lim. n + n ¾

29 ½º¾ À ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ø ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð ÍÒ ÙØ ÙÖ Ï Ð Ó ÙÒ Ú ÙÖ D ÙÖ ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ A/k Ø Ô Ö Ò Ø ÓÒ ÙÒ ÓÑÑ Ò Ü Ô Ö Ð ÔÐ k ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ Ö ÐÐ Ò ÓÖ Ù Ú ÙÖ Dµº ³ Ø ÔÐÙ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ú Ö ÒØ Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ù Ù Ø ÓÖ Ñ Ù Ù µ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ c Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ ÔÓ ÒØ P, Q, R Ak Ø Ò ÒÓØ ÒØ Ø ÑÔÓÖ Ö Ñ ÒØ h = h A,D hp + Q + R hp + Q hq + R hr + P + hp + hq + hr c. Ë ÓÒ ÙÔÔÓ ÔÐÙ ÕÙ Ð Ú ÙÖ D Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ò ÔÖ Ò ÒØ R = Qµ ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ÕÙ ¹Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ hp + Q + hp Q hp hq c. Ä Ô Ð Ð Ñ Ø ØÙ ÔÓÙÖ Ò Ö Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ô ÖÑ Ø ³Ó Ø Ò Ö c = 0º ØØ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ö ÓÒ Ð³ Ú ÒØ Ù Ú ÒØ Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ú ÒØ ÙÒ ÓÖÑ ÕÙ Ö Ø ÕÙ ÓÒØ Ð Ò ÓØÖÓÔ Ø Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ØÓÖ ÓÒ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ º º Æ ÖÓÒ ÓÙ Ø Ø Ö ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÐÓ Ð ØØ ÙØ ÙÖ ÒÓÒ ÕÙ ÔÓ Ð Ò Ó Ø Ò ÒØ ÙÒ ÓÑÑ ÓÖÑ ÕÙ Ö Ø ÕÙ ÐÓ Ð º ÇÒ ÓÒÒ Ð³ ÓÙØ ¹ Ñ ÒØ ØÖ Ú ÙÜ º Æ ÖÓÒ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ÓÑÔÓ Ö Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ò ÙÒ ÓÑÑ ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð º Ä ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ³ Ö Ø ÓÑÑ Ù Ø ÚÓ Ö À˼¼ Ôº ¾ ¾µ Ì ÓÖ Ñ ½º¾º½º Æ ÖÓÒµ ËÓ Ø A/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö kº ËÓ Ø M k г Ò Ñ Ð ÔÐ kº ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ú ÙÖ D ÙÖ A ÓÒ ÒÓØ A D = A\ suppdº ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ v M k Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð ÙÒ ÕÙ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÖ λ D,v : A D k v R, ÔÔ Ð ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð ÒÓÒ ÕÙ Ô Ò ÒØ Ù Ó Ü D Ø Ú Ö ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ú ÒØ Ú γ i,v ÓÒ Ø ÒØ Ô Ò ÒØ v ½º λ D1 +D,v = λ D1,v + λ D,v + γ 1,v º ¾º Ë D = divf ÐÓÖ λ D,v = v f + γ,v º º Ë Φ : B A Ø ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÐÓÖ ÓÒ Ð Ö Ð Ø ÓÒ λ Φ D,v = λ D,v Φ + γ,v º º ËÓ Ø Q Ak Ø Ó Ø t Q : A A Ð ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ô Ö Qº ÐÓÖ ÓÒ Ð Ö Ð Ø ÓÒ λ t Q D,v = λ D,v t Q + γ 4,v º º ËÓ Ø ĥa,d Ð ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð ÒÓÒ ÕÙ A Ó Dº ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ c Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ P A D k ĥ A,D P = v M k n v λd,v P + c. ¾

30 º Ë D Ú Ö [] D = 4D +divf ÔÓÙÖ f ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÙÖ A Ø Ð³ÓÒ Ü Ð ÓÒ Ø ÒØ Ø ÐÐ ÓÖØ ÕÙ³ÓÒ Ø Ð Ö Ð Ø ÓÒ λ D,v []P = 4 λ D,v P + vfp ÐÓÖ ĥ A,D P = v M k n v λd,v P. ÆÓØÓÒ ÕÙ f Ø ÙÒ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ a k ÔÖ ºµ Ê Ñ ÖÕÙ ÇÒ ÙØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ð Ô ØÖ ¾ Ø º Ò Ð Ô ØÖ ÓÒ ÔÖ Ò Ö Ð ÔÓ ÒØ ÚÙ ÝÑ ÓÐ Æ ÖÓÒ ÓÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒØ ØÙ Ò Æ Ö º ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ÙÒ Ú ÙÖ D ÙÒ ÔÓ ÒØ P ÓÖ Ù ÙÔÔÓÖØ D Ø ÙÒ ÔÐ v k ÓÒ ÙÖ λ D,v P =< D, P > v º ½º Ô Ë Ð ËÓ Ø v ÙÒ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ º ÇÒ ÒÓØ Ö H g г Ô Ë Ð Ó ÙÜ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÙÖ k v ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ñ Ò ÓÒ g Ø ÑÙÒ ³ÙÒ ÝÑÔÐ ¹ Ø ÕÙ ÓÒ ÔÓÙÖÖ ÓÒ ÙÐØ Ö Ä ¾ Ôº ¾½ µº ³ Ø Ð³ Ò Ñ Ð Ñ ØÖ τ = τ v Ø ÐÐ g g ÝÑ ØÖ ÕÙ Ó ÒØ ÓÑÔÐ Ü Ø Ú Ö ÒØ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Im τ > 0 º º Ò ÔÓ¹ Ø Ú µº Ø Ô Ø ÑÙÒ ³ÙÒ Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø Ú Ù ÖÓÙÔ ÝÑÔÐ Ø ÕÙ Γ = Spg, R ÓÒÒ Ô Ö [ A B C D ] τ = Aτ + BCτ + D 1. ÇÒ ÓÒ Ö ÐÓÖ F g ÙÒ ÓÑ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÔÓÙÖ Ð³ Ø ÓÒ Ù ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Spg, Zº ÇÒ Ô ÙØ Ó Ö F g Ø ÐÐ ÓÖØ ÕÙ³ÙÒ Ñ ØÖ τ ÓÑ Ò Ú Ö Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÚÓ Ö Ö Ôº µ ˽ ÈÓÙÖ ØÓÙØ σ Sp g Z ÓÒ detimσ.τ detimτº ÇÒ Ö ÕÙ Im τ Ø Ñ Ü Ñ Ð ÔÓÙÖ Ð³ Ø ÓÒ Sp g Zº ˾ Ë Reτ = a i,j ÐÓÖ a i,j 1 º Ë Ë Imτ = b i,j ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ l {1,..., g} Ø ØÓÙØ ζ = ζ 1,..., ζ g Z g Ø Ð ÕÙ pgcdζ 1,..., ζ l = 1 ÓÒ t ζ Imτζ b l,l º ÔÐÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ i {1,..., g} ÓÒ b i,i+1 0º ÇÒ ÑÔÓ Ò Ò b g,g... b 1,1 / Ø b i,i / b i,j º Ò Ñ Ò ÓÒ g = ÓÒ ÙÖ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ò Ð Ø ÙØ Ð ÓÒ Ø ÑÑ ÒØ Ò Ð Ô ØÖ ¾ ÓÒ ÒÓØ τ 1 = τ 11 Ø τ = τ µ { Im τ Im τ 1 Im τ 1 0, Im τ 1. Ò ØÓÙØ Ð Ø ÜØ Ð Ñ ØÖ τ ÖÓÒØ ØÓÙ ÓÙÖ ÙÔÔÓ ÔÔ ÖØ Ò Ö Ù ÓÑ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð F g º ¾

31 ½º À ÙØ ÙÖ ³ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÆÓÙ ÚÓÒ Ò Ð ÙØ ÙÖ ÙÖ Ð ÔÓ ÒØ ³ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ð ÒÓÙ ÙØ ÔÖ ÒØ ÓÒÒ Ö ÙÒ Ò Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ Ð Ú Ö Ø ÐÐ ¹Ñ Ñ º ÁÐ Ý ÔÐÙ ÙÖ ÔÓ Ð Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ÒÓÙ ÐÐÓÒ Ò ÙØ Ð Ö ÙÜ ÚÓ Ö Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ø Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø ÕÙ ÙÒ ÓÒØ Ð ÙÖ Ú ÒØ Ø ÕÙ ÓÒØ ÓÑÔ Ö Ð ÓÒ Ö Ð Ö Ñ ÖÕÙ Ù Ô Ö Ö Ô ÙÖ Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø µº À ÙØ ÙÖ ÐØ Ò ËÓ ÒØ k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ø S = SpecO k Ð Ô ØÖ ÓÒ ÒÒ Ù ³ ÒØ Ö º ÍÒ Ö Ú ØÓÖ Ð Ñ ØÖ Ö Ò r ÙÖ S Ø ÙÒ O k ¹ÑÓ ÙÐ ÔÖÓ Ø L Ö Ò r ÑÙÒ ³ÙÒ ÓÐÐ Ø ÓÒ {. v } v M k Ø ÐÐ ÕÙ. v Ø ÙÒ ÒÓÖÑ ÖÑ Ø ÒÒ ÙÖ Ð k v ¹ Ô Ú ØÓÖ Ð L Ok kv Ú Ö ÒØ x v = x v ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ v : k Cº Ä Ö ³ Ö ÐÓÚ ³ÙÒ Ö Ò ÖÓ Ø Ñ ØÖ L,. v ÙÖ S Ø Ò Ò ÔÖ Ò ÒØ ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ s L degl = log Card L/sO k d v log s v. v:k C Ö Ò Ô Ò Ô Ù Ó Ü s ÒÓÒ ÒÙÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Ù ÔÖÓ Ù Øµº ËÓ Ø ÐÓÖ A/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ g 1º ËÓ ÒØ A S ÓÒ ÑÓ Ð Æ ÖÓÒ ε : S A Ø ÓÒ Ò ÙØÖ Ø Ω g A/S Ð Ù g¹ ÓÖÑ Ö ÒØ ÐÐ ÕÙ Ø ÐÓ Ð Ñ ÒØ Ð Ö Ö Ò 1º ÇÒ ÔÓ ω A/S = ε Ω g A/S ³ Ø ÙÒ Ö Ò ÖÓ Ø ÙÖ S = SpecO k ÕÙ³ÓÒ Ô ÙØ ÒØ Ö Ù ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ÐÓ Ð º ÇÒ Ð ÑÙÒ Ø Ñ ØÖ ÕÙ Ù Ú ÒØ α ω A/S v C, α v = 1 α ᾱ. g ÇÒ Ò Ø ÐÓÖ Ò Ø ÓÒ ½º º½º ËÓ Ø A/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö kº ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ö Ð Ø Ú k ÓÙ ÔÐÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ð ÕÙ ÒØ Ø A vc h F A/k = 1 d degω A/S. Ò Ø ÓÒ ½º º¾º ËÓ Ø A/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö kº ËÓ Ø k ÙÒ ÜØ Ò ÓÒ k Ø ÐÐ ÕÙ A/k ÕÙ Ö Ö ÙØ ÓÒ Ñ ¹ Ø Ð º ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÐÓÖ ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ø Ð Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ö Ð Ø Ú k Ø ÓÒ ÒÓØ h st A = h F A/k. ¼

32 ÇÒ ÓÒÒ Ò Ò ÙÒ Ú Ö ÒØ ÙØ Ð Ò Ø ÜØ ÔÐÙ ÙÖ Ò ÖÓ Ø º ÓÑÑ ÒÓÒ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ ÒÓØ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ A/k ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ñ Ò ÓÒ g Ò ÙÖ ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ø ÙÒ ÔÐ v Mk ÓÒ Ø ÕÙ Ð ÔÓ ÒØ ÓÑÔÐ Ü A v ÓÖÑ ÒØ ÙÒ ØÓÖ ÓÑÔÐ Ü Ñ Ò ÓÒ g ÔÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ð Ü Ø ÙÒ Ñ ØÖ τ v ÝÑ ØÖ ÕÙ Ø ÐÐ g g Ú Im τ v Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ñ Ü Ñ Ð ÔÓÙÖ Ð³ Ø ÓÒ Sp g Z Ù Ò Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ë½ Ù Ô Ö Ö Ô ÔÖ Òص Ø ÐÐ ÕÙ A v k v C g /Z g + τ v Z g. ÇÒ Ò Ø ÐÓÖ Ò Ö ÒØ ØÓÙØ ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ½º º º ËÓ Ø A/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ò ÙÖ ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö kº ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ù Ñ ÒØ Ö Ð Ø Ú µ Ð ÕÙ ÒØ Ø Ñ Ñ ÓÒ Ò Ø h FA/k = h F A/k + 1 d v M k d v log[detim τ v ]. Ò Ø ÓÒ ½º º º ËÓ Ø A/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ò ÙÖ ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö kº ËÓ Ø k ÙÒ ÜØ Ò ÓÒ k Ø ÐÐ ÕÙ A/k ÕÙ Ö Ö ÙØ ÓÒ Ñ ¹ Ø Ð º ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÐÓÖ ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ù Ñ ÒØ Ø Ð Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ù Ñ ÒØ Ö Ð Ø Ú k Ø ÓÒ ÒÓØ h st A = h F A/k. Ê Ñ ÖÕÙ ½ ÄÓÖ ÕÙ detim τ v 1 ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ v Ö Ñ ÒÒ ÓÒ Ð Ò ¹ Ð Ø h FA/k h F A/k h st A, h FA/k h sta h st A. Ê Ñ ÖÕÙ ¾ Ä ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ò Ô Ò ³ ÙÙÒ Ó Ü ÔÐÓÒ Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ô ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ñ Ð Ø ÓÒ ÒÓÒ ÒÙÐÐ µ ÕÙ³ÓÒ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ð ÐÙÐ Öº ³ Ø ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø ÒØÖ Ò ÕÙ ÕÙ Ö Ò ÔÖ Ò ØÖ Ò ØÙÖ ÐÐ Ò Ð³ ÒÓÒ Ð ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Òº À ÙØ ÙÖ Ø Ø ÇÒ ÓÑÑ Ò Ô Ö Ö Ô Ô Ö Ü Ö ÙÒ ÖØ Ò ÒÓÑ Ö ÒÓØ Ø ÓÒ ÑÔÓÖØ ÒØ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ô ØÖ º ÇÒ Ø Ö ØÓÙØ Ð ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÖ ÓÓÖ¹ ÓÒÒ ÅÙÑ ÓÖ Ð³ ÖØ Ð È¼¾ ÓÒØ ÓÒ Ö Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ñ ÓÒ ÔÓÙÖÖ Ò ÒØ Ò Ù Ö Ö Ö Ù Ð³ ÖØ Ð ÓÖ Ò Ð ÅÙÑ ÔÓÙÖ Ð ÔÖ ÙÚ º ÇÒ Ö Ö Ò Ñ ¹ ÑÓ Ö ÕÙ Ð ÓÓÖ ÓÒÒ ÅÙÑ ÓÖ ÑÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ù ÔÐÓÒ Ñ ÒØ Ø Ø Ú Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÓÒØ Ò Ø ØÙ Ò È¼¾ ÙÒ ÕÙ Ñ Òغ ½

33 ËÓ Ø A/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ g ÑÙÒ L ÙÒ Ö ÑÔÐ Ø ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ù Ò ÅÙÑ Ôº ¼ º ÈÓÙÖ Ð ÓÑÔÖ Ò ÓÒ ÒÓØÖ ØÖ Ú Ð Ð Ù Ø ÚÓ Ö ÕÙ M Ø ÙÒ Ö ÑÔÐ Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ ÐÓÖ M Ø ØÖ ÑÔÐ Ø M 4 Ø Ð Ó ØÖ ÑÔÐ Ø ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÝÑ ØÖ ÕÙ º ÇÒ Ò Ø Ò ÒÓØ ÒØ t x Ð ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ô Ö x A Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ { } HL = x A t xl L, { } GL = x, ϕ x HL, ϕ IsomL, t x L. ÇÒ Ø Ô Ö ÅÙÑ Ôº ¾ ¼ Õ٠гÓÒ Ð Ù Ø Ü Ø {1} k GL HL 0, Ø k Ø Ð ÒØÖ GL ÔÓÙÖ ØÖÙØÙÖ ÖÓÙÔ Ò ØÙÖ ÐÐ º ÇÒ Ò Ø ÔÐÙ Ð ÓÖÑ Ð Ò Ö ÐØ ÖÒ ÒÓÒ Ò Ö e L ÙÖ HL Ô Ö Ó ÒØ x Ø y Ò HL Ú x Ø ỹ Ò GL Ù¹ Ù Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ x Ø y ÓÒ ÔÓ e L x, y = x ỹ x 1 ỹ 1 k. ÇÒ Ú Ö ÚÓ Ö ÅÙÑ Ôº ¾ µ ÕÙ³ÓÒ ÙÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÓØÖÓÔ KL Ø K L Ø Ð ÕÙ HL = KL K Lº Ä ÓÖÑ e L Ô ÖÑ Ø ³ ÒØ Ö K L Ú Ð Ù Ð KL = HomKL, k ÐÓÖ ÕÙ k Ø Ð Ö ÕÙ Ñ ÒØ ÐÓ º ÇÒ ÔÔ ÐÐ ØÝÔ L Ø ÓÒ ÒÓØ d = d 1,..., d g Ð g¹ùôð Ø Ú ÙÖ Ð Ñ ÒØ Ö Ù ÖÓÙÔ Ò KLº ÇÒ ÔÓ ÐÓÖ Kd = g Z/d i Z, Kd = HomKd, k, Hd = Kd Kd. i=1 ÇÒ Ò Ø ÔÐ٠г Ò Ñ Ð Õ٠гÓÒ ÑÙÒ Ø Ð ÐÓ ÖÓÙÔ α, x, l α, x, l = Gd = k Kd Kd, α α l x, x + x, l + l. Ä ÓÖÓÐÐ Ö ÅÙÑ Ôº ¾ ÒÓÙ ÓÙÖÒ Ø L Ø ØÝÔ d ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÒØÖ Ð Ù Ø Ü Ø Ø Ð Ù Ø Ü Ø Ù Ú ÒØ {1} k Gd Hd 0. ÇÒ Ò Ø Ò Ù Ø Ô Ö Ð ÓÑÑÙØ Ø ÙÖ ÓÑÑ ÔÓÙÖ e L µ ÙÒ ÓÖÑ e d Ð Ò Ö ÐØ ÖÒ ÒÓÒ Ò Ö ÙÖ Hd ÕÙ Ñ Ø ÔÓÙÖ ÓÙ ¹ Ô ÓØÖÓÔ Ð Kd Ø Kdº Ä ÖÓÙÔ Ñ Ø ÐÓÖ ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ØÙÖ ÐÐ Ò Ð k¹ Ô Ú ØÓÖ Ð ΓA, L ¾

34 Ó ÒØ z = x, ϕ GL Ø s ΓA, L ÓÒ Ò Ø U z : ΓA, L ΓA, L Ò ÔÓ ÒØ U z s = τ x φsº ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ΓA, L ÙÒ GL¹ÑÓ ÙÐ ÖÖ ÙØ Ð ÓÒ Ö ÅÙÑ Ø ÓÖ Ñ ¾ Ôº ¾ µº ÇÒ Ò Ø Ð³ Ò Ñ Ð V d ÓÑÑ Ø ÒØ Ð³ Ô ÓÒØ ÓÒ Kd Ò kº ÇÒ Ò Ø ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ U Gd Ò V d Ò ÔÓ ÒØ y Kd, U α,x,l fy = α ly fx + y. ÇÒ Ø Ô Ö ÅÙÑ Ôº ¾ ÕÙ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÖÖ ÙØ Ð º ÇÒ ÐÓÖ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ¹ Ò Ø ÓÒ ½º º º ÅÙÑ ÓÖ µ ËÓ ÒØ A/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ø L ÙÒ Ö ØÖ ÑÔÐ Ø ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÝÑ ØÖ ÕÙ ÙÖ Aº Ó ÓÒ ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÒØÖ GL Ø Gd ÒØ ØÖ Ú Ð Ñ ÒØ ÙÖ k º ÁÐ Ü Ø ÐÓÖ ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ð Ö ÒÓÒ ÒÙÐ ÔÖ µ ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ Ù GL¹ÑÓ ÙÐ ΓA, L Ú Ö Ð Gd¹ÑÓ ÙÐ V dº ÍÒ Ø Ð Ó Ü ³ ÓÑÓÖÔ Ñ Ø ÔÔ Ð ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ø Ø ÔÓÙÖ Ð Ô Ö A, Lº ËÙÔÔÓ ÓÒ ÓÒÒ ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ø Ø ÔÓÙÖ A, L Ø Ó Ø f : V d ΓA, L г Ó¹ ÑÓÖÔ Ñ Ò Ù Ø ÔÓÙÖ d = d 1,..., d g Ð g¹ùôð Ø ³ ÒØ Ö ÓÖÖ ÔÓÒ Òغ Ä ÓÒØ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÓÙÖÒ ÒØ ÙÒ V dº ÈÓÙÖ ØÓÙØ a Kd ÓÒ Ò Ø Ð ÓÒØ ÓÒ δa d V d = ΓA, L Ò ÔÓ ÒØ { δ d a x = 1 si x = a δ d a x = 0 si x a, x Kd. Ä Ñ ÐÐ Ø ÓÒ ÐÓ Ð δ L := δa L a Kd = fδa d a Kd ÓÙÖÒ Ø ÐÓÖ ÙÒ ÔÐÓÒ¹ Ñ ÒØ ÔÖÓ Ø A ÒÓØ Θ L º ØØ Ø ÔÔ Ð ÓÓÖ ÓÒÒ ÅÙÑ ÓÖ º Ò Ù Ú ÒØ È¼¾ ÓÒ Ú Ò Ö ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÓÖ ÓÒÒ ÑÓ Ò Ø Ò Ö ÓÑÔØ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ø Ø º ÇÒ ÒÓØ ØÓÙØ ³ ÓÖ K i = K i d Ø ÓÒ ÒØ ΓA, L i Ø V i dº ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð ØÖÙØÙÖ Ø Ø Ò Ü ÓÒØ ÓÑÔ Ø Ð ÕÙ Ò Ö ÕÙ³ ÐÐ Ú Ö ÒØ ÙÜ ÙÜ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ôº ¾¼ ÅÙÑ º ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ü Ö ÓÓÖ ÓÒÒ ÅÙÑ ÓÖ ÔÓÙÖ ÕÙ Ò Ú Ù i Õ٠гÓÒ ÒÓØ Ö δ a i a Ki º ÇÒ Ò Ø ÔÐÙ K i n K i Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Ð Ñ ÒØ n¹øóö ÓÒº ÈÓÙÖ i = 0,, 4 ÓÒ Ò Ô Ö Z i ÙÒ Ý Ø Ñ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ù ÕÙÓØ ÒØ K i /K i. i/ º ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø ÐÓÖ K i. i/ Ð ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÓÖ ÓÒÒ ÔÓÙÖ a, l Z i i a,l = c K i. i/ lcδ i a+c. ÇÒ Ò Ø ÐÓÖ Θ L ip =... : i a,l P :....

35 Ä ÓÐÐ Ø ÓÒ ÓÓÖ ÓÒÒ Ø Ò ÙÒ Ð Ö ÔÖ ÕÙ ÓÒÒ Ò ÙÒ ÔÐÓÒ¹ Ñ ÒØ ÔÖÓ Ø Ð Ú Ö Ø A ÔÔ Ð ÓÓÖ ÓÒÒ ÅÙÑ ÓÖ ÑÓ º Ò ØÓÙØ Ð Ù Ø ÓÒ Ó Ö ØÖ Ú ÐÐ Ö Ú i = º ÇÒ Ú ÒÓÖÑ Ð Ö Ð ÔÓ ÒØ ÔÖÓ Ø Ò Ú ÒØ Ô Ö Ð³ÙÒ ÓÓÖ ÓÒÒ º Ü Ö Ð Ú ÙÖ D ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ð Ù Ø ÒÓØÖ ØÖ Ú Ðº ÇÒ Ú Ö Ð Ó Ü Ð Ö Ø Ö Ø ÕÙ a 0, l 0 Z K 4 ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÅÙÑ ÓÖ [δ, δ ] ÓÒÒ Ò º¾º Ø ÓÒ ÒÓØ x 0 = a 0,l 0 º ÇÒ Ò Ø ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P ÓÖ Ù Ú ÙÖ D = x 0 = 0 ΘP = ÇÒ ÒÓØ Ö ÕÙ³ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö x 0 O A = 0º 1,..., a,l P x 0 P,.... Ò Ø ÓÒ ½º º º ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÙØ ÙÖ Ø Ø Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÓÐ Ö A, L Ð ÙØ ÙÖ ÔÖÓ Ø Ú Ð³ Ñ Ð³ÓÖ Ò Ò Ð ÔÐÓÒ Ñ ÒØ Ó L 4 h Θ A := h Θ L 4O A. ÇÒ Ô ÙØ ÔÐÙ Ò Ö Ð Ô ÖØ Ò h fini A Ø Ö Ñ ÒÒ h A Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø ÓÑÑ Ù Ø Ð ÙØ Ú ÒØ ØÓÙØ Ü Ö ÙÒ ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð Ð³ÓÖ Ò º È ÖØÓÒ Ð Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÔÖ Ú Ð a 0, l 0 º ÇÒ Ø Ô Ö Ð Ð ÑÑ º Ôº ȼ¾ ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ b 0, k 0 Ø ÐÐ ÕÙ b 0,k 0 O A 0º ³ Ø Ð Ó Ü ÕÙ³ÓÒ Ö ÔÓÙÖ ØÖ Ú Ð Öº ÇÒ ÓÒÒ ÐÓÖ ΘO A = 0,..., 1,..., a,l O A b 0,k 0 O A,.... ÇÒ Ô ÙØ ÐÓÖ Ò Ö h A := v M k h fini A := d v log ΘO A v, d v log ΘO A v, Ø ÓÒ ÙÖ Ò ÒØ Ò Ù h Θ A = 1 d v M 0 k h A + h fini A. Ê Ñ ÖÕÙ ½ Ò Ô ÖØ ÒØ ³ÙÒ Ö ÑÔÐ M Ó ÙÒ ÔÓÐ Ö Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ð ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ Ö ØÖ ÑÔÐ Ø ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ò ÔÖ Ò ÒØ Ð ÔÙ Ò Ø Ò ÓÖ ÐÐ ÕÙ ØÖ Ñ º

36 Ê Ñ ÖÕÙ ¾ Ä ÙØ ÙÖ Ø Ø Ò Ø Ü Ø Ñ ÒØ Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø ÒÙÐÐÛ ÖØ Ñ Ô Ö Ð ÔÐÓÒ Ñ ÒØ Ø Ø ÓÑÔÐ Ü Ð³ÓÖ Ò Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ º Ä ÓÓÖ ÓÒ¹ Ò ÅÙÑ ÓÖ ÑÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ Ù ÔÐÓÒ Ñ ÒØ Ø Ø ÓÑÔÐ Ü Ú Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ø Ø Ø ÐÐ Ò È¼¾ Ôº Ø Ôº Ó ÓÒ ØÖÓÙÚ Ð ÓÖÑÙÐ θ ab τ, k z = expiπ t ab k 1 a b z. k,k Ê Ñ ÖÕÙ Ä ÙØ ÙÖ Ø Ø Ø Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ø Ð ÓÒØ ÙØ ÙÖ ÓÑÔ Ö Ð Ù Ò Ù Ú Òغ ÜÔÐ Ø ÒØ ÙÒ Ö ÙÐØ Ø º ÐØ Ò ½ º¹ º Ó Ø Ø Ëº Ú ÑÓÒØÖ ÒØ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ê Ñ Ò Ð ÕÙ Ð ÓÒ ÔÖ Ò r = 4 Ú ÒÓØÖ Ó Ü ÔÐÓÒ Ñ ÒØ Ø Ø µ ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Mg > 0 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ú Ö Ø Ð ÒÒ A ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö h sta h Θ A Mg. ÇÒ ÙØ Ð Ö Ø ÒÓØ ÑÑ ÒØ Ò Ð Ô ÖØ ¾º º º Ê Ñ ÖÕÙ Ä ÙØ ÙÖ Ø Ø Ô Ò ÓÒ ³ÙÒ Ó Ü ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ÔÖÓ Ø ÓÒØÖ ¹ Ö Ñ ÒØ Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ñ ÐÐ ÔÓ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ö Ð ÓÑÔÓ Ö Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ Ò ÓÑÑ ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð º Ê Ñ ÖÕÙ ÁÐ Ü Ø ÒÓÒ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø ÒÓØ ÑÑ ÒØ Ð Ñ ØÖ Ü Ð ÑÑ ºÅ Ö ÚÓ Ö Å Ôº ½½ µº ˺ Ú Ø Èº È Ð ÔÔÓÒ ÜÔÐ Ø ÒØ Ö ÙÐØ Ø Ò È¼¾ Ôº Ð Ñ Ò Ö Ù Ú ÒØ Ó. Ò Ð ÒÓÖÑ ÙÐ ÒÒ µ 1 d v M k Imτ v 8 π max{1, h Θ A} + g log4g. ½º ÌÖ Ö Ñ ÒÒ Ø Ö Ñ Ò ÒØ ÇÒ Ò Ø ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø ÔÙÖ Ñ ÒØ Ö Ñ ÒÒ ÕÙ Ú Ö Ò Ö ÓÑÔØ ÓÒØÖ Ù¹ Ø ÓÒ ÙÜ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ Ð ÙØ ÙÖ ³ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ º ÇÒ ÙØ Ò Ù Ø ÒÓØ ÓÒ Ð ÕÙ Ö Ñ Ò ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÓÙÖ ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ º ÌÖ Ö Ñ ÒÒ ÇÒ Ò Ø ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø ÕÙ Ö Ò ÓÑÔØ Ð Ø ÐÐ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ö Ñ ÒÒ ÔÓÙÖ Ð ÙØ ÙÖ ³ÙÒ Ú Ö Ø º ÐÐ Ø Ò Ö ÓÑÔ Ö Ð Ù Ñ Ñ Ö Ù Ò Ð³ Ò Ð Ø Ù Ñ ØÖ Ü Ð ÑÑ ÓÒÒ Ò Ð Ö Ñ ÖÕÙ ¹ Ú Òغ Ò Ø ÓÒ ½º º½º ËÓ Ø A/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö ÙÖ ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö kº ÇÒ ÒÓØ M k г Ò Ñ Ð ÔÐ Ö Ñ ÒÒ k Ø d v = [k v : Q v ]º

37 ÇÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ v Mk A k v C g /Z g + τ v Z g Ú τ v F g º ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÐÓÖ ØÖ Ö Ñ ÒÒ A Ð ÕÙ ÒØ Ø TrA = d v TrIm τ v. v M k Ê Ñ ÖÕÙ ½ ÔÖ ÓÖ Ð ØÖ Ö Ñ ÒÒ Ò Ò Ò³ Ø Ô ØÓÙØ Ø ÒØÖ Ò¹ ÕÙ º Ò Ø Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ Ñ ØÖ Im τ v Ô ÙØ ØÖ Ó Ñ Ü Ñ Ð ÔÓÙÖ Ð³ Ø ÓÒ Spg, Z Ù Ò Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ë½ Ò Ð Ô Ö Ö Ô ÙÖ Ð³ Ô Ë Ðµ Ñ Ð Ò Ü Ô ÓÖ Ñ ÒØ Ð ØÖ Im τ v º ÈÓÙÖ ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö A ÓÒ Ó Ö ØÓÙ ÓÙÖ Ô ÖÑ Ð τ v ÕÙ Ñ Ü Ñ ÒØ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ Im τ v Ð τ v Ñ Ü Ñ ÒØ Ù Ð ØÖ Ñ ØÖ Im τ v º Ê Ñ ÖÕÙ ¾ Ä ÕÙ ÒØ Ø 1 TrA Ø Ø Ð Ô Ö ÜØ Ò ÓÒ Ù ÓÖÔ º ÇÒ ÔÓÙÖÖ d ³ Ò ÓÒÚ ÒÖ Ò Ö Ö ÒØ Ð ÓÖÓÐÐ Ö ¾º º º Ê Ñ ÖÕÙ Ä Ð ÑÑ ¾º½ Ôº ½ Ú ÓÑ Ò Ð ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÖ Ñ º º Ô ÖÑ Ø ³Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ò Ð Ø ÒØÖ Ð ØÖ Ö Ñ ÒÒ Ø Ð ÓÑÑ ÓÒØÖ Ù¹ Ø ÓÒ Ö Ñ ÒÒ Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø º ÆÓØÓÒ Z г Ò Ñ Ð Ö Ø Ö Ø ÕÙ º ÜÓÒ m 0 Z Ð ÓÓÖ ÓÒÒ Ô Ö Ð ÕÙ ÐÐ ÓÒ Ú ÓÒ Ô ÙØ Ö Ö Ò ÔÖ Ò ÒØ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑÔÐ Ü h A = v M k d v log max m Z θ mτ v, 0. θ m0 τ v, 0 Ä Ð ÑÑ Ú Ú z = 0µ ÒÓÙ ÓÙÖÒ Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ cg > 0 Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ Ð Ñ Ò ÓÒ Ø ÐÐ ÕÙ log max θ m τ v, 0 cg Imτ v, m Z Ø Ð Ø Ð Ð ÔÖ ÙÚ Ù Ø ÓÖ Ñ º º ÓÙÖÒ ÒØ Ù ÑÓ Ò ÐÓÖ ÕÙ τ v Ø Ò ÙÒ ÓÙ ¹ Ô Ù ÓÑ Ò Ë Ð F g ÒÓØ G g,ε ÜÐÙ ÒØ Ð³ ÝÔ Ö ÙÖ ³ ÒÒÙÐ Ø ÓÒ θ m0 τ v, 0 ÚÓ Ö Ð Ò Ø ÓÒ ÔÖ Ò º º µ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ c g > 0 Ø ÐÐ ÕÙ log θ m0 τ v, 0 c g TrIm τ v. ÙÜ Ò Ð Ø ÓÙÖÒ ÒØ Ò ÓÑÑ ÒØ ØÓÙØ Ð Ø Ñ Ø ÓÒ Ø Ò Ñ ÓÖ ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Imτ v Ô Ö TrIm τ v ÙÒ ØÖÓ Ñ ÓÒ Ø ÒØ c g > 0 Ø ÐÐ ÕÙ τ v G g,ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ v Ö Ñ ÒÒ h A c g TrA.

38 Ö Ñ Ò ÒØ Ö Ñ Ò ÒØ ³ÙÒ ÓÙÖ ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ ËÓ Ø C ÙÒ ÓÙÖ ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ ÒÖ g Ò ÙÖ ÙÒ ÓÖÔ k ÑÙÒ ³ÙÒ ÔÓ ÒØ P 0 Ö Ø ÓÒÒ Ð ÙÖ k ÔÓ ÒØ Ö ÔРг Ò Ò µº ÇÒ Ô ÙØ Ò ÓÒÒ Ö ÙÒ ÑÓ Ð Ò Ú degq g Ø degp = g + 1º E : y + qxy = px, ÇÒ Ò Ø ÐÓÖ Ò Ù Ú ÒØ ÄÓ Ð Ö Ñ Ò ÒØ Ù ÑÓ Ð ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ E E = 4g disc px + 14 qx. Ä Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÕÙ Ö Ñ Ò ÒØ Ö Ø Ö Ð Ñ ÙÚ Ö ÙØ ÓÒ Ù ÑÓ Ð ÚÓ Ö Ð Ù ÄÓ µ Ö Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ Ð E = 0 E Ø Ò ÙÐ Öº ËÓ Ø v ÙÒ ÔÐ Ò Ù ÓÖÔ kº È ÖÑ ØÓÙ Ð ÑÓ Ð ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ ÒØ Ö ÙÖ O v C, P 0 ÓÒ Ô ÙØ Ò ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÕÙ Ñ Ò Ñ Ð ÕÙ ÒØ Ø v º ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÐÓÖ Ö Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ Ð ÐÓ Ð Ð³ Ð p v v º Ä Ö Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ Ð Ð ÓÙÖ C ÑÙÒ Ù ÔÓ ÒØ P 0 µ Ö ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ö Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ ÙÜ ÐÓ ÙÜ D C/k = pv v v. v M 0 k ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ ÓÒØ Ð Ö Ñ Ò ÒØ Ø Ð Ö Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ Ð ÐÓ Ð Ö ÔÔ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð ÐÓ Ð º ÁÐ Ø Ô Ö Ó ÔÓ Ð ³ Ò ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ò Ð Ó Ð³ ÒÒ Ù ÒØ Ö k Ø ÔÖ Ò Ô Ðº ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ö ÔÓÖØ Ö Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º ÄÓ ÓÙ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ä Ù º ÇÒ ØÖÓÙÚ Ò Ä Ù ÙÒ ØÙ ÔÐÙ ÔÓÙ ÙÖ Ð Ö Ñ Ò ÒØ Ø Ö Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ ÙÜ Õ٠гÓÒ ÙØ Ð Ö Ù Ô ØÖ ¾º ÇÒ ÙØ Ð Ö ÔÐÙØØ Ð ÐÙÐ ÄÓ Ù Ô ØÖ Ò ÕÙ Ò ÙÒ ÓÖÓÐÐ Ö Ù Ô ØÖ ¾º ÇÒ ÒÓØ Ö ÓÙÚ ÒØ min ÔÓÙÖ Ð Ö Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ Ð ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ò³Ý Ô ³ Ñ Ù Ø ÙÖ Ð ÓÖÔ µº Ê Ñ ÖÕÙ ÁÐ Ö Ø ÒØ Ö ÒØ ³Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ Ð ÐÓ Ö Ø Ñ Ð ÒÓÖÑ Ù Ö Ñ Ò ÒØ ³ÙÒ ÓÙÖ ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ C Ø Ð ÓÑÑ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÙÜ ÔÐ Ò Ð ÙØ ÙÖ Ø Ø h fini JacCº ½º Ø Ú Ø Ð³ ÒÓÒ ÇÒ ÓÒÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ ÖÒ ÒØ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ø Ð Ó Ü ÔÓÐ Ö Ø ÓÒ º

39 ÈÖÓ Ù Ø Ú Ö Ø Ð ÒÒ ËÓ ÒØ A 1, D 1 Ø A, D Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ò ÙÖ k Ú D 1 Ø D Ú ÙÖ Ó ÔÓÐ Ö Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ð º ÐÓÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö A, D = A 1 A, D 1 {O A }+{O A1 } D Ú Ö Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P = P 1, P ĥ A,D P = ĥa 1,D 1 P 1 + ĥa,d P, h F A/k = h F A 1 /k + h F A /k. ÌÓÙØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÙ ÙÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÑÔÐ ÙÖ ÓÒ ÓÒ ¹ ÕÙ Ò ÙÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÓÑÔÓ º ÈÓÐ Ö Ø ÓÒ ÇÒ Ú Ö ØÖ Ò Ö Ð³ ØÙ ÙÜ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö º ÁÐ Ø ÓÙ¹ Ú ÒØ ÔÓ Ð Ò Ð ØÖ Ú ÙÜ ÔÓÖØ ÒØ ÙÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ ³ Ø Ò Ö Ö ÙÐØ Ø Ó Ø ÒÙ ÙÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö ÙÜ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÑÙ¹ Ò ³ÙÒ ÔÓÐ Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÐÓÒÕÙ º Ò Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ú Ö Ø Ð ÒÒ A Ð Ð ÑÑ Ö Ò ÓÒØ ÓÒ ØÖÓÙÚ ÙÒ ÔÖ ÙÚ Ò Å Ôº ¾¼ µ ÒÓÙ ÙÖ ÕÙ A 4 Ǎ4 Ó Ǎ Ø Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ù Ð A Ô ÙØ ØÖ ÑÙÒ ³ÙÒ ÔÓÐ Ö Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ð ÓÒØ Ð Ú ÙÖ Ó Ö ÒÓØ Dº Ò Ð³ Ø٠г Ò Ð Ø Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò ÔÓÙÖ Ð Ñ Ñ Ö ÖÓ Ø ÓÒ Ð³ Ð Ø h F A/k = h F Ǎ/kº È Ö ÓÒØÖ ÔÓÙÖ ÙÒ Ú ÙÖ D 1 ÑÔÐ ÙÖ A Ð Ò³ Ø Ô Ú ÒØ Ù Ö ³ÙÒ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ĥa,d 1 ³ÙÒ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ĥa 4 Ǎ4,Dº ÇÒ Ô ÙØ Ô Ò ÒØ ÙØ Ð Ö Ð Ø Ù Ú ÒØ ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÓÐ Ö Ø Ó Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö ÓÒ ÔÓÙÖÖ ÓÒ ÙÐØ Ö Ð³ ÖØ Ð Å ÐÒ ÙÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ò Ð³ÓÙÚÖ Ë µº ÇÒ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÕÙ ÑÓÒØÖ ÓÑÑ Ò º½º¾ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º ËÓ Ø g ÙÒ ÒØ Öº ËÓ ÒØ k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ø v ÙÒ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ kº ËÓ ÒØ A, D/k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÓÐ Ö Ñ Ò ÓÒ g Ø A /k ÙÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ó Ò Aº ÇÒ ÒÓØ Φ : A A г Ó Ò º ËÙÔÔÓ ÓÒ Õ٠г Ò Ð Ø Ä Ò Ø Ë ÐÚ ÖÑ Ò Ó Ø Ú Ö ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö º ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ c 1 k, g, Φ > 0 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P Ak ³ÓÖ Ö Ò Ò ÑÓ ÙÐÓ ØÓÙØ ÓÙ ¹Ú Ö Ø Ð ÒÒ ĥ A,D P c 1 k, g, Φ h st A 1 logdeg Φ.

40 Ô ØÖ ¾ Å ÒÓÖ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø ÔÓÙÖ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ ¾

41 ¼

42 ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ô ØÖ Ø ÙÒ ØÙ Ð ØÙ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ð Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ ¾ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö ÓÒØ ÓÑÓÖÔ Ñ ÔÖ ÚÓ Ö Ï Ôº Ø Ð Ò ØØ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒµ ÓÙ Ò ÔÖÓ Ù Ø E 1 E, Θ ÙÜ ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ Ú Θ = E 1 {O}+{O} E ÓÙ Ò Ó ÒÒ JacC, Θ ÓÙÖ ÒÖ ¾ Ú Θ = Cº Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ô ÙØ ÙØ Ð Ö Ð Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Åº À Ò ÖÝ Ø Âº Ë ÐÚ ÖÑ Ò Ö ÔÔ Ð Ò Ð³ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ò Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ½µ ÓÙ ÙÒ ÒÓÒ Ö Ú º Ò Ð ÓÒ ÓÒ Ö Ñ ÒÓÖ Ö Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ó Ù Ú ÙÖ Θ = Cº ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ñ ØØÖ Ò ÔÐ ÙÒ ØÖ Ø Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÐÐ ÓÔØ Ô Ö Åº À Ò ÖÝ Ø Âº Ë ÐÚ ÖÑ Ò Ò Ð g = 1 Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ò ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð º ÕÙ Ö Ò ØØ Ñ Ö ÔÓ Ð Ò Ñ Ò ÓÒ ½ Ø Ð³ Ü Ø Ò ÓÖÑÙÐ ÜÔÐ Ø Ø Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ñ Ò ÔÙÐ Ð ÔÓÙÖ ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð º Ò ÕÙ³ÓÒ Ò ÔÓ Ô ÓÖÑÙÐ Ò Ð Ò Ö Ð ÓÒ Ô ÙØ ÒÓÖ Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÒÓÒ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾º Ë A = JacC Ø Ð Ó ÒÒ ³ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾ Ú C ÓÒÒ Ô Ö y = Fx Ú degf = 5 ÓÒ ÒÓØ D = 8 discfº Ë A = E 1 E Ø ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ ÓÒ ÒÓØ D = E1 E Ð ÔÖÓ Ù Ø Ö Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ ÙÜ E 1 Ø E º ÔÐÙ ÓÒ ÒÓØ TrA = d v TrIm τ v ØÖ Ö Ñ ÒÒ Ó d v = [k v : Q v ] Ø v M k τ v Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ô Ö Ó F Ó Ù ØÓÖ ÓÑÔÐ Ü A v k v C /Z + τ v Z. Ò Ò ÓÒ Ò Ø ÙÜ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Ù ÓÑ Ò Ë Ð F Ó Ø ε ÙÒ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø º ÇÒ ÒÓØ Im τ 1 ε > 0 F,ε = τ F Im τ 1 max{1/ε, /}. Im τ 1 Ø G,ε = ÇÒ Ò Ö G,ε F,ε F º { τ F [ Im τ1 ε > 0 Im τ 1 max{1/ε, 1} ÙÜ Ò Ñ Ð Ú ÒØ Ò Ø ÜÐÙÖ ÚÓ Ò ØÙ ÙÐ Ö Ù Ð Ù ÔÖÓ¹ Ù Ø ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ Ò Ð³ Ô ÑÓ ÙÐ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö Ñ Ò ÓÒ ¾º ÇÒ Ö ØØ ÒØ ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö ÕÙ ÑÔÓ ÙÜ Ó ÒØ ÓÒ ÙÜ ³ ØÖ ³ ÙØ ÒØ ÔÐÙ Ö Ò Õ٠гÓÒ ÓÙ Ø ³ ÔÔÖÓ Ö Ù Ú ¹ ÙÖ ÜÐÙ ÑÔ ÓÒ Ö Ø Ò Ö ε Ú Ö 0º Ä ÚÓ Ò ÜÐÙ ÖÓÒØ ÓÒ ØÙ ÙÐ Ö ¹ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ º ½ }.

43 Ä Ø ÓÖ Ñ ÔÖ Ò Ô Ð Ó Ø ÒÙ Ø Ð Ù Ú ÒØ Ì ÓÖ Ñ ¾º¼º½º ËÓ Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö º ËÓ Ø ε ÙÒ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø º ËÓ ÒØ C/k ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾ ÓÒÒ Ò Ð ÑÓ Ð y = Fx Ú degf = 5 Ø A Ó ÒÒ º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ A Ú Ö τ v F,ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ v Ö Ñ ÒÒ º ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ c 1 d > 0 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P Ak ³ÓÖ Ö Ò Ò ÑÓ ÙÐÓ ØÓÙØ ÓÙ ¹Ú Ö Ø Ð ÒÒ ĥ A,Θ P c 1 TrA 6 logn k/q D. ÔÐÙ A Ø ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ ÓÒ Ð Ñ Ñ Ò Ð Ø Ò Ö ÑÔÐ ÒØ 6 Ô Ö 1/7º Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ ÓÒ ÓÑÑ Ò Ô Ö ÓÑÔÓ Ö Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ò ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð ÜÔÐ Ø º ÇÒ ³ Ò Ô Ö ÔÓÙÖ Ð Ð³ ÖØ Ð º κ ÐÝÒÒ Ø Æº Ⱥ ËÑ ÖØ Ë º Ä ÙÜ Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ö ³ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð ÓÒ ÙØ Ð Ð ÒÓÖ Ð Ö Ö Ò Ë Õ٠гÓÒ ÔÖÓÐÓÒ Ð Ö Ñ Òغ Ä ØÖÓ Ñ Ô ÖØ ÓÒÒ ÙÒ ÙØÖ Ò Ø ÓÒ ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð ÙÜ ÔÐ Ö Ñ ÒÒ º ÇÒ Ö ÙÒ Ø Ð ÙÜ ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ Ò Ð ÕÙ ØÖ Ñ º ÔÖ ÚÓ Ö ØÙ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ÔÐ Ô Ö ÔÐ ÓÒ Ö ÙÒ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÙÒ ÒÕÙ Ñ Ô ÖØ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ÐÓ Ð º ÇÒ ÔÖÓÔÓ Ò Ð Ü Ñ Ô ÖØ ÙÒ Ñ ÓÖ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò Ð Ó ÒÒ ³ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾º Ä ÔØ Ñ Ô ÖØ Ö ÖÓÙÔ ØÖ Ú ÙÜ Ô Ö ÐÐ Ð ÙÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø ÓÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ º Ò Ò ÓÒ Ö ÙÒ Ø Ð Ö ÙÐØ Ø Ô ÖØ Ø Ò ÙÒ Ù Ø Ñ Ô ÖØ Ö ÖÓÙÔ ÒØ ØÖÓ ÓÖÓÐÐ Ö ÙÒ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ Æ ÖÓÒ¹Ì Ø Ô Ö Ð ÙØ ÙÖ ÐØ Ò ÙÒ ÓÖÒ ÙÖ Ð ØÓÖ ÓÒ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ ¾ Ø ÙÒ ÓÖÒ ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ð ³ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾º ÇÒ Ó Ø ÒØ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ì ÓÖ Ñ ¾º¼º¾º ËÓ Ø k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ö d Ø Ó Ø ε ÙÒ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø º ËÓ ÒØ C/k ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾ ÓÒÒ Ô Ö y = Fx Ú degf = 5 Ø A Ó ÒÒ º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ τ v G,ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐ v Ö Ñ ÒÒ Ø Õ٠гÓÒ TrA 64 log N k/q Dº ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ c = cd > 0 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ P Ak ³ÓÖ Ö Ò Ò ÑÓ ÙÐÓ ØÓÙØ ÓÙ ¹Ú Ö Ø Ð ÒÒ ÓÒ ĥ A,Θ P c h F A/k. Ì ÖÑ ÒÓÒ ØØ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ò Ö ÓÒÒ ÒØ Ö Ú Ñ ÒØ Ð³ Ö ÙÑ ÒØ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ¹ Ù Ö Ð ØÖÙØÙÖ Ú Ö Ø Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÒ ¾ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÔÓÐ Ö º ËÓ Ø A, Θ ÙÒ Ø ÐÐ Ú Ö Ø º ÇÒ dimθ = 1 Ø Θ =! = Ô Ö Ê Ñ ÒÒ¹ÊÓ ÓÙ Ò Ð ÓÖÑÙÐ ÈÓ Ò Ö Ä ¾ Ôº ¾ µº Ë Θ Ø ÙÒ ÓÙÖ C Ø j : C JacC Ð ÔÐÓÒ¹ Ñ ÒØ Ò Ð Ó ÒÒ ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ jc + jc Ø Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ A ÕÙ Ò³ Ø ÔÓ Ð ÕÙ C Ø ÒÖ ¾ Ø A JacCº Ë Θ = C i Ú C i ÓÙÖ ÓÒ = Θ = C i C j, ¾

44 Ø ÕÙ Ø ÖÑ Ð ÓÑÑ Ø ÙÒ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ðº ÇÒ Ù Ø ÐÓÖ ÕÙ Θ Ø ÓÑÓÖÔ Ð ÓÑÑ ÙÜ ÓÙÖ ÕÙ ÔÐÙ ÓÒØ ØÖ Ò Ð Ø ÓÙ ¹Ú Ö Ø Ð ÒÒ º ¾º½ Ä ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ä ÙÜ ÔÖ Ñ Ö Ô Ö Ö Ô ÓÒØ Ö Ø Ñ ÒØ Ù Ð³ ÖØ Ð ºÎº ÐÝÒÒ Ø Æº ËÑ ÖØ Ë º ÇÒ Ò ÓÒÒ ÙÒ Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ô Ù ÔÐÙ ÓÑ ØÖ ÕÙ Ò ÓÑ ØØ ÒØ Ð ÔÐÙÔ ÖØ ÔÖ ÙÚ º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ Õ٠г ÖØ Ð ÓÖ Ò Ð Ë Ø Ö Ø ÔÓÙÖ k = Q Ñ ÓÒ Ô ÙØ ØÓÙØ ÙØ Ð Ö ÑÙØ Ø ÑÙØ Ò ÙÖ ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö kº Ø Ò Ø Ö Ø Ò Ð ÖØ Ð ÅºËØÓÐÐ ËØÓ Ø ËØÓ¼¾ º ¾º½º½ Â Ó ÒÒ Ø ÙÖ ÃÙÑÑ Ö ÇÒ ÓÒÒ ÙÒ ÓÙÖ C ÒÖ ¾ ÙÖ ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö kº ÇÒ Ø ÕÙ C Ø ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ ÐÐ ÔÓ ÓÒ Ü ÔÓ ÒØ Ï Ö ØÖ Ð ÔÓ ÒØ Ü Ð³ ÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ º ÇÒ Ø Ð³ ÝÔÓØ Õ٠гÙÒ ÔÓ ÒØ ÔÔ Ð P 0 Ø Ö Ø ÓÒÒ Ð ÙÖ kº ÇÒ ÒÓØ cl ÔÓÙÖ Ð Ð Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ³ÙÒ Ú ÙÖº ÇÒ Ò Ø ÐÓÖ Ð ÔÐÓÒ Ñ ÒØ Ó Ò Ð ÓÙÖ C Ò Ó ÒÒ ÇÒ Ò Ø ÐÓÖ Θ = jcº j : C JacC P cl P P 0. Ê Ñ ÖÕÙ Ó Ü P 0 Ô ÖÑ Ø ³ ÖÑ Ö ÕÙ P Θ P Θ. ºÎº ÐÝÒÒ Ø Æº ËÑ ÖØ ÜÔÐ Ø ÒØ Ò Ð³ ÖØ Ð Ë ÙÒ Ó Ü ÔÓ Ð ÓÒØ ÓÒ ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð ÐÓÖ ÕÙ A Ø Ð Ó ÒÒ ³ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾º ÆÓÙ Ù ÚÖÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ð ÙÖ ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÙØ ÙÖ ÐÓ Ð º Ä Ú ÙÖ ÕÙ³ Ð ÙØ Ð ÒØ Ò³ Ø Ô Ü¹ ÔÐ Ø Ñ ÒØ Ø Ò Ð³ ÖØ Ð Ñ ÒÓÙ ÐÐÓÒ ÚÓ Ö ÕÙ³ Ð ³ Ø Ù Ú ÙÖ D = Θ ÐÓÖ ÕÙ Ð ÑÓ Ð ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ Ø Ö º ËÓÙÐ ÒÓÒ ÕÙ Ó Ü Ú ÙÖ Ø ÙÒ ÕÙ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ô Ö ÙÒ ÔÓ ÒØ ¹ØÓÖ ÓÒ ÔÖ º ËÓ ÒØ k ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÑ Ö Ø C/k ÙÒ ÓÙÖ ÒÖ ¾º ÇÒ Ô ÙØ ÒØ Ö Ð Ó ÒÒ JacC Ù ÖÖ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ð ÓÙÖ Sym C Ò Ð ÕÙ Ð Ð ÙØ ÓÒØÖ Ø Ö ÙÒ Ú ÙÖ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ù Ú ÙÖ Ü ÔØ ÓÒÒ Ð ³ÙÒ Ð Ø Ñ ÒØ ³ÙÒ ÔÓ ÒØ JacCµº ÔÖÓ Ø Ò Ö Ø Ò ÅÙÑ Ôº ¾º Ä ÙÖ ÃÙÑÑ Ö K Ø Ò ÓÑÑ Ð ÕÙÓØ ÒØ JacC/±1º ÐÐ ÔÐÓÒ Ò P º ÇÒ Ð Ö ÑÑ

45 Sym C K P π JacC ÎÓÝÓÒ Ð ÔÐÙ Ò Ø Ð ÓÑÑ ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ P 0 Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ Ï Ö ØÖ Ö Ø ÓÒÒ Ð ÙÖ k ÓÒ Ô ÙØ ÓÒÒ Ö ÙÒ ÑÓ Ð ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ Ð ÓÙÖ C ÒØ Ö ÙÖ k Ö ÑÔ Ö Ú a 5 0 Ø Ò Ö Ò ÑÙÐØ ÔÐ κ κ Θ C : y = Fx = a 5 x 5 + a 4 x 4 + a x + a x + a 1 x + a 0. ÓÒØÖ Ö Ñ ÒØ Ù ÑÓ Ð ÔÐÙ Ò Ö Ð Ö Ð Ò³Ý Ò ÑÓ Ð ÕÙ³ÙÒ ÔÓ ÒØ Ð³ Ò Ò P 0 = º ij ØÙ Ë Ø Ñ Ò Ò Ö Ð ÕÙ ÒØ ÕÙ Ø ÔÐÙ ÑÔÐ Ø ÒÐÙ Ò Ð ÙÖ ØÖ Ú Ð Ð Ù Ø ÔÖ Ò Ö f 6 = 0 Ò Ð ÙÖ ÒÓØ Ø ÓÒµº ÇÒ ÒÓØ A = JacC Ð Ó ÒÒ Cº ij ÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ Ö ÐÐ ÔØ ÕÙ ÓÒÒ ÙÖ Ð ÓÙÖ C Ô Ö i : x, y x, y Ò Ù Ø Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö [ 1] ÙÖ Aº ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÕÙÓØ ÒØ A Ô Ö ±1º Ä ÙÖ K Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ ÖØ ÕÙ ÓÑÓ Ò Ù Ú ÒØ ÓÒÒ Ò ÐÝ ÓÙ Ôº ½ Ø Ö ÔÖ Ò Ð³ ÒÒ Ü º¾º½µ Rk 1, k, k k 4 + Sk 1, k, k k 4 + Tk 1, k, k = 0. ÇÒ Ô ÙØ ÓÒÒ Ö Ð ÔÓ ÒØ K Ô Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ κ : Sym C K P κ : P = P 1, P K P = k 1, k, k, k 4, Ó ÓÒ Ò ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÓ ÒØ P = x 1, y 1, x, y ÓÖ Ù ÙÔÔÓÖØ Ù Ú ÙÖ Θ k 1 = 1, k = x 1 + x, k = x 1 x, a0 + a k 4 = 1 x 1 + x + a x 1 x + a x 1x + x 1 x +a 4 x 1 x + a 5x 1 x + x 1 x y 1y /x 1 x ÈÓÙÖ ÙÒ ÔÓ ÒØ P = x 1, y 1, k 1 = 0, k = 1, k = x 1, k 4 = a 5 x 1.