Inéquations Etude de signe. Vocabulaire : (x+2) est le premier facteur et (x+5) est le deuxième facteur.

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1 Inéquations Etude de signe I Rappels : Factoriser une expression, c est la transformer en un produit de facteur. Exemple : A ( x) ( x + 2)² + 3( x + 2) On remarque que (x+2) est commun aux 2 termes alors : A ( x) ( x + 2)( x + 2) + 3( x + 2) ( x + 2)[( x + 2) + 3] ( x + 2)( x + 5) Vocabulaire : (x+2) est le premier facteur et (x+5) est le deuxième facteur. Développer une expression c est obtenir une somme de terme. Exemple : B( x) ( x + 3)(2x 2) On effectue la distributivité de (x+3) sur (2x-2). B ( x) x 2x + x ( 2) + 3 2x + 3 ( 2) 2x ² 2x + 6x 6 2x ² + 4x 6 remarque, il est bien d ordonner les puissances de «x». Vocabulaire : 2 est le 1 er terme, 4x le deuxième terme, -6 le troisième terme. Réduire au même dénominateur, c est transformer une somme de quotient en un quotient unique. x Exemple : C ( x) ( x 2) + On voit que le dénominateur commun sera (x+2) x + 2 ( x + 2) x C ( x) ( x 2) + ( x + 2) ( x + 2) ( x 2)( x + 2) x + ( x + 2) ( x + 2) ( x 2)( x + 2) + x ( x + 2) 2² + x ( x + 2) + ( x + 2) II Les différents types d équation. II 1 - L équation produit Elle est de la forme A ( x) B( x) 0 avec A(x) et B(x) des expressions du type :. Résoudre une équation de ce type équivaut à résoudre : A(x)0 OU B(x)0

2 Exemple : ( x 5)(3x + 2) 0 équivaut à (x-5)0 ou (3x+2)0 Equivaut à x5 ou x-3/2 S{-3/2 ;5} Remarque, les solutions se classent toujours par ordre croissant. II 2 - L équation quotient A( x) Elle est de la forme 0 avec A(x) et B(x) des expressions du type :. B( x) Résoudre une équation de ce type équivaut à résoudre : A(x)0 ET B(x) 0 3x + 2 Exemple : 0 équivaut à (3x+2)0 et (4x+4)0 4x + 4 Equivaut à x-2/3 et x -1 S{-3/2} et x -1 Remarque, la valeur qui annule le dénominateur (ici -1) est la valeur interdite. III- Résolution d une inéquation par le tableau de signe III 1- Le type On résoud l équation 0 ax-b x-b/a On fait le tableau de signe x - -b/a + Signe de a Signe de a Exemple : 3x+1 0 équivaut à 3x-1 équivaut à x-1/3 On fait le tableau de signe x - -1/3 + III 2 Le type ()(cx+d) On résoud l équation ()(cx+d)0. Cela équivaut à ()0 OU (cx+d)0 soit x-b/a OU x-d/c

3 On fait le tableau de signe x - -b/a -d/c + Signe de a Signe de a cx+d Signe de c Signe de c ()(cx+d) Signe de ac signe de -ac signe de ac Exemple : On va résoudre l inéquation (2x+1)(x-5)<0 1- On résous l équation (2x+1)(x-5)0 Qui équivaut à (2x+1)0 OU (x-5)0 soit : x-1/2 OU x5 2- On fait un tableau de signe : x - -1/ x+1 x-5 (2x+1)(x-5) 3- L expression est donc négative STRICTEMENT entre -1/2 et 5. On ne prends pas les valeurs qui annulent à cause du signe «<». Donc S]-1/2 ;5[ III 3 Le type ax + b cx + d ax + b On résoud l équation 0. cx + d Cela équivaut à ()0 ET (cx+d) 0 soit x-b/a ET x -d/c On fait le tableau de signe x - -b/a -d/c + Signe de a Signe de a cx+d Signe de c Signe de c ()/(cx+d) Signe de ac signe de -ac signe de ac veut dire que la valeur est interdite! Exemple : On va résoudre l inéquation x x 4 x On résous l équation 0 2x 4 Qui équivaut à (x+1)0 ET (2x-4) 0 soit : x-1 OU x 2

4 2- On fait un tableau de signe : x x+3 2x-4 (x+3)(2x-2) 3- L expression est donc négative entre -1 et 2. On ne prend pas la valeur 2 car c est la valeur interdite (celle qui annule le dénominateur!) Donc S[-1 ;2[ III 4 - Généralisation Lorsqu on on doit résoudre une inéquation du type f(x)>g(x), avec f(x) et g(x) du type : - (affine) - a+bx+c - ()/(cx+d) Il faut procéder par 3 étapes. Etape 1 : Tout faire passer du même coté de l inégalité : f(x)-g(x)>0 Etape 2 : faire les calculs nécessaires (développement ou factorisation ou réduction au même dénominateur) pour se ramener à un cas d étude vu précédemment. Etape 3 : faire un tableau de signe. Etape 4 : conclure. + 3 Exemple : soit f ( x) et g ( x) x + 1. Résoudre l inéquation f(x) g(x) Etape 1 : x + 1 équivaut à ( x + 1) ( x + 1)( ) Etape 2 : Mise au même dénominateur ( x + 1)( ) équivaut à : ( 4x + ) équivaut à : x x + 4 équivaut à : 0 3x + 7 équivaut à : 0 Il faut désormais les valeurs qui annulent cette expression. On se ax + b trouve confronté à un cas du type. cx + d 3x + 7 On résoud l équation 0. Cela équivaut à (3x+7)0 ET (x-4) 0 soit x-7/3 ET x 4

5 Etape 3 : On fait le tableau de signe x - -7/ x x ()/(cx+d) Etape 4 : On donne la solution de l inéquation f(x) g(x) qui équivaut à f(x)-g(x) 0 soit : Interprétation graphique de f(x) g(x) S ]- ; -7/3] U ]4 ; + [ La solution de cette inéquation est l ensemble des abscisses «x» des points de f(x) qui sont au dessus de g(x). Graphiquement on voit bien que de - à -7/3 c est le cas. Notamment on veut la solution x-7/3 car pour x-7/3 f(x) est égal à g(x) car les deux courbes se coupent.. On voit que f(x) est supérieur à g(x) de 4 à + aussi. Sauf que la valeur 4 est la valeur interdite. Donc on la refuse! D où : S ]- ; -7/3] U ]4 ; + [ IV Résolution algébrique d une inéquation.

6 Toutes les équations n ont pas besoin d un tableau de signe pour être résolue. Si par le calcul on arrive à accéder à une forme «0», alors la solution se déduit logiquement. Exemple : soit f ( x) 3x + 2 et g ( x) ( x + 1)². Résoudre l inéquation f(x) g(x). f(x) g(x) équivaut à x ² 3x + 2 ( x + 1)² équivaut à : x ² 3x + 2 ( x + 1)² 0 équivaut à : x ² 3x + 2 ( + 2x + 1) 0 équivaut à : x ² 3x + 2 2x 1 0 équivaut à : 5x équivaut à : 5x 1 1 équivaut à : x Car lorsque je multiplie ou divise une inégalité par un nombre négatif 5 (ici -5), je change le sens de cette inégalité. 1 équivaut à : x ce qui signifie x est inférieur ou égal à 1/5. La traduction en intervalle est : 5 Conclusion : S ] - ;1/5]