Modèles stochastiques et applications à la finance

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1 1 Université Pierre et Marie Curie Master M1 de Mathématiques, Modèles stochastiques et applications à la finance Partiel 25 Février 2011, Durée 2 heures Exercice 1 (3 points) On considère une économie à n périodes, où le taux d intérêt composé pour la période [k-1, k] est r k (par exemple r k = 0.05). Quel est le prix à l instant 0 de M euros à recevoir à l instant n? Exercice 2 : AOA (6 points) On considère un marché (S n, B n ), n = 0,, N, défini sur (Ω, (F n ), m). Soit V n = α n S n + β n B n, 0 n N, un portefeuille autofinancé, avec (α n ), (β n ) prévisibles. 1. On suppose qu il y a AOA. Montrer que si V N = 0, m-p.s., alors pour tout n = 0, 1,, N, V n = 0, m-p.s. 2. On considère les conditions (C 1 ) et (C 2 ) suivantes : (C 1 ) α n (S n S n 1 ) + β n (B n B n 1 ) 0, m p.s (C 2 ) α n (S n S n 1 ) + β n (B n B n 1 ) = 0, m p.s Montrer que si il y a absence d opportunité d arbitrage (AOA), alors, pour tout n = 1,, N, (C 1 ) implique (C 2 ). 3. Quelle démonstration du cours montre que réciproquement, si (C 1 ) entraîne (C 2 ) pour tout n = 0, 1, N alors il y a AOA? Exercice 3: Une file d attente (8 points) Vous faites la queue à un guichet. Il y a donc des gens devant vous, en ligne. A chaque instant entier, vous avez le choix de quitter la file d attente ou de rester. Mais si vous restez vous devez alors payer à ce moment là, c euros. Une fois arrivé au guichet, vous gagnez R euros. A chaque unité de temps il y a une probabilité

2 2 p pour que le client en train d être servi s en aille et donc que la taille de la queue devant vous diminue de 1. Ces évènements sont indépendants. On note X n le nombre de clients devant vous à l instant n. On suppose qu à l instant 0, il y a x clients devant vous, donc que X 0 = x. On cherche à savoir à quel moment quitter la file de façon à réaliser un gain optimal. 1. Donner la probabilité de transition P de la chaîne de Markov X n à valeurs dans {0, 1,, K}. Par convention on posera P (0, 0) = Sachant que l on doit quitter la file au plus tard à l instant N, montrer que le problême revient à trouver V (N) (x) = max τ N E x(g τ (X τ )) où le maximum est prix sur l ensemble des temps d arrêt τ N et g n (x) = γ(x) cn où γ est une fonction simple que l on determinera. 3. Montrer que la suite V (N) (x) converge quand N +, On note V (x) sa limite. 4. Ecrire les équations de type Bellman permettant de déterminer V (N) (x). 5. On considère la suite définie par f 0 (x) = γ(x), et si n 1, Montrer que V (N) (x) = f N (x). f n (x) = max(γ(x), P f n 1 (x) c) 6. En déduire que V (x) = (V (x 1) c/p) + pour x 1 puis la valeur de V (x) pour tout x. 7*. Quelle stratégie conseillez vous, au moins au moins pour N grand?

3 3 Université Pierre et Marie Curie Master M1 de Mathématiques, Modèles stochastiques et applications à la finance Partiel 28 Février 2012, Durée 2 heures Exercice 1 (2 pts) Montrer qu en l absence d opportunité d arbitrage le prix C 0 d un call européen sur un sous jacent (S t ) de prix d exercice K vérifie C 0 S 0. Exercice 2 (4 pts) On considère un espace de probabilités (Ω, F, P) muni d une filtration F n, n = 0, 1 (attention que n ne prend que 2 valeurs). On considère une partition A k, k 1, de Ω telle que P(A k ) = 1/2 k, et une suite Z k, k 1 de variables aléatoires telle P(Z k = 1) = P(Z k = 1) = 1/2. On suppose que F 0 = σ(a k, k 1), que la suite (Z k ) est indépendante de F 0 et que Soit M 0 = 0 et F 1 = σ(a k, Z k, k 1). M 1 = + 1. Montrer que, pour tout entier k 1, 2 k Z k 1 Ak. τ k = k1 { 1 m k A m} est un temps d arrêt de la filtration {F n, n = 0, 1}. 2. Montrer que {M n, n = 0, 1} est une martingale locale. 3. Montrer que {M n, n = 0, 1} n est pas une martingale. Problème (10 pts)

4 4 On considère une suite (Z n, n N) de variables aléatoires réelles indépendantes de loi uniforme sur [ 1, 1]. Pour tout N > 0 on associe aux réels x et U 0,, U N 1, la suite X n, 0 n N, définie par X 0 = x et On pose X n+1 = (X n + U n )Z n, n < N. V N (x) = min E ν x(x 2 N + N 1 où le minimum est pris sur les stratégies ν n, 0 n < N, U k parcourant R. k=0 U 2 k ) 1. Montrer qu il s agit d un système dynamique aléatoire contrôlé. 2. Ecrire l algorithme de Bellman permettant de trouver V N. Il fait apparaitre la suite J 0, J 1,, J N avec J N (x) = x 2 et J 0 = V N. 3. Montrer qu on peut écrire, pour tout N > 0, si 0 n N, J n (x) = x 2 γ n où (γ n ) est une suite de réels (dépendant de N) qui vérifie γ n = φ(γ n+1 ) où φ(t) = t b + t, t R+, pour une constante b R que l on déterminera. 4. Déterminer la limite de V N (x) lorsque N +.

5 5 Université Pierre et Marie Curie Master M1 de Mathématiques, Modèles stochastiques et applications à la finance Partiel. 1 Mars 2013, Durée 2 heures Exercice 1 (4 pts) Soit ε n, n 0, une suite de variables aléatoires indépendantes de meme loi telles que P(ε k = 1) = P(ε k = 1) = 1/2. On pose F n = σ(ε 1,, ε n ) et F 0 = {, Ω}. Soit C n, n N, une suite de variables aléatoires à valeurs dans R, prévisible par rapport à la filtration {F n, n 0}. On pose M 0 = 0, D 0 = 0 et pour n 1, M n = n C k ε k D n = n Ck, 2 G n = Mn 2 D n 1. Montrer que M n est une martingale locale. 2. Déterminer un processus prévisible N tel que G n = (N M) n. Est ce que G n est une martingale locale? Exercice 2 (7 pts) On considère le système dynamique aléatoire controlé, pour 0 n N, X 0 = x X n+1 = X n + U n X n ε n avec 0 U n 1 et ε n { 1, 1} représentant les fortunes successives d un joueur qui mise la proportion U n de sa fortune à l instant n, et qui perd ou gagne sa mise lorsque ε = 1 ou 1. On suppose les variables aléatoires ε n, n = 0,, N 1, indépendantes et de même loi telles que P(ε n = 1) = p, P(ε n = 1) = 1 p et que 1/4 < p < 1/2 (le jeu est donc peu favorable). Ayant le gout du risque, le joueur cherche à maximiser E(XN 2 ). Décrire explicitement la stratégie optimale. Exercice 3 (8 pts) On considère un modèle markovien controlé usuel P n (u) (x, A), n N, u C, x E, A E

6 6 d espace d état (E, E), d espace de contrôles (C, C), de fonction de cout c k (x, u), x E, u C et de cout final γ(x), x E et l on cherche à minimiser N 1 E (U) x ( c k (X k, U k ) + γ(x N )) k=0 On suppose l espace Ω associé fini. Soit f n, 0 n N, une suite de fonctions sur E ayant les trois propriétés suivantes: (i) f N (x) = γ(x) pour tout x E. (ii) Pour toute politique (U n ), M n = n 1 k=0 c k(x k, U k ) + f n (X n ) est une sous martingale sous P (U) x. (iii) Il existe une politique (U n) pour laquelle M n est une martingale sous P (U ) x. 1. On regarde d abord un modèle markovien controlé particulier pour lequel E = C = R et X n+1 = X n + U n + ε n+1 où les v.a. ε k forment une suite de carré intégrable telle que, si F n = σ(ε 1,, ε n ) alors E(ε n+1 F n ) = 0, E(ε 2 n+1 F n ) = 1 et on suppose que c k (x, u) = x 2 + u 2 et γ(x) = x Montrer que, si a 0, pour x, u R u 2 + a(x + u) 2 a 1 + a x2 1.2 Montrer qu il existe deux suites a n, b n, 0 n N, telles que les fonctions f n (x) = a n x 2 + b n satisfont aux propriétés (i), (ii) et (iii). (On ne demande pas de les calculer). 2. On se place maintenant dans le cas général d un modèle markovien controlé. Montrer qu avec les notations du cours, si (J n ) est la suite fournie par l algorithme de Bellmann, et si (f n ) vérifie les propriétés (i), (ii) et (iii), alors f n (X n ) = J n (X n ) p.s. sous P (U ) pour tout n = 0,, N.

7 7 Université Pierre et Marie Curie Master M1 de Mathématiques, Modèles stochastiques et applications à la finance Partiel 28 Février 2014, Durée 2 heures Sans document ni téléphone portable Exercice 1 On considère un espace de probabilités (Ω, F, P) muni d une filtration F n, n N, contenue dans F. Pour tout processus X n, n 0, on pose pour n 1, X n = X n X n 1. Soit M n, n 0, une (F n ) martingale telle que M 0 = 0. On suppose que pour tout n 1, E(M 2 n F n 1 ) < +, p.s. On pose M 0 = 0 et pour n 1, M n = n E(( M k ) 2 F k 1 ). 1. Montrer que M 2 n M n, n 0, est une martingale locale. 2. Soit (H n ) un processus prévisible (fini p.s.). Montrer que H M n = n Hk M 2 k 3. On suppose que, pour tout n 0, E( H M n ) < +. Montrer que H M est une martingale. Exercice 2: Arrêt optimal avec certains arrêts interdits Soit N > 0 et X 0, X 1,, X N 1, X N des variables aléatoires indépendantes prenant deux valeurs 0 et 1 avec P(X n = 0) = p, P(X n = 1) = 1 p, 0 < p < 1. On cherche à s arrêter à l un des instants 0, 1,, N sachant qu on ne peut pas

8 8 s arrêter si n < N et X n = 1. S arrêter en n {0, 1,, N 1} (lorsqu on peut) p coûte N n. On peut toujours s arrêter en N, et le coût est alors de. Pour 1 p modéliser le fait qu on ne peut pas s arrêter quand X n = 1 et n < N, on associe à cet état le coût +. On emploie la notation a b = min(a, b). 1. Définir des applications f n : {0, 1} R + +, n = 0,, N, et une filtration (F n ) pour lesquels le problème se met sous la forme, pour Z n = f n (X n ), trouver inf{e(z τ ), τ temps d arrêt, τ N}. 2. On pose V N = Z N et, pour n < N, V n = min(z n, E(V n+1 F n ). a. Montrer que pour tout n = 1,, N, V n est indépendant de F n 1. b. Montrer qu un temps d arrêt optimal est donné par τ = inf{k 0; Z k E(V k+1 )} N. 3. A chaque entier r = 0, 1,, N on associe le temps d arrêt τ(r) = inf{k r; X k = 0} N où inf = +. Montrer qu il existe un entier r {0,, N} tel que τ = τ(r ) (on ne demande pas ici de calculer r, ce sera le but de la question 6). 4. On pose h(r) = E(Z τ(r) ). Montrer que si r < N, h(r) = (1 p)(n r) + ph(r + 1). 5. En déduire que, pour r = 0,, N, 6. Montrer que h(r) = N r pN r p r = max{r 0; p N r+1 < 1/2} N (on pourra calculer h(r 1) h(r)). Que dire si p 1/2? 7. (Hors barème) Vous partez en voiture dans une rue de longueur infinie. Les places sont numérotées 0, 1,. Vous allez chez des amis qui habitent devant la place N et cherchez à vous garer le plus près de chez eux. Vous ne pouvez pas faire demi tour, mais vous pouvez continuer à rouler et chercher une place après la place N. Marcher de la place au numero n à la place N coûte N n. Chaque place est occupée avec la probabilité p. Expliquez pourquoi les questions précédentes permettent de résoudre ce problème de façon optimale.