CHAPITRE 13 Dans l espace : sphère, boule, aire, volume, section plane. Grandeurs composées.

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1 CHAPITRE 1 Dans l espace : sphère, boule, aire, volume, section plane. Grandeurs composées. (Voir 4 ème, chapitre 6 ; ème, chapitres, 4, 5.) I) Sphère et boule A) Description Définitions : Une sphère de centre O et de rayon R est l ensemble des points de l espace situés à la distance R de O. C est une surface. Une boule de centre O et de rayon R est l ensemble des points de l espace dont la distance à O est inférieure ou égale à R. C est un solide. (C est la sphère et son intérieur.) Propriété : Si M est sur la sphère de centre O et de rayon R alors OM = R. Si OM = R alors M est sur la sphère de centre O et de rayon R. Définitions : Un grand cercle d une sphère de centre O et de rayon R est un cercle de même centre O et de même rayon R. Deux points d une sphère alignés avec le centre de celle-ci sont dits diamétralement opposés. (solide de révolution) Si l on fait tourner un demi-cercle (ou un demi-disque) autour d un de ses diamètres qui reste fixe, alors on engendre une sphère (ou une boule). B) Représentation en perspective Sphère de centre O et de rayon R. On peut commencer par tracer un cercle puis à main levée des ellipses. C A' E D Un rayon Un diamètre B' O R A B Des grands cercles OC > R donc C n appartient pas à la boule. OD = R donc D appartient à la sphère et à la boule easymaths.free.fr Page 1 sur 5

2 OE < R donc E appartient à la boule. A et A sont deux points diamétralement opposés. On ne peut pas réaliser le patron d une sphère. II) Aire et volume A) Aire d une sphère Formule : Dans un système cohérent d unités, l aire A d une sphère en fonction de son rayon R, est : 2 A = 4 π R Calculer l aire d une sphère de rayon 5 cm. A 4 π = = 100 π d où A 14 cm. B) Volume d une boule Formule : Dans un système cohérent d unités, le volume V d une boule en fonction de son rayon R, est : 4 V = π R Calculer le volume d une boule de rayon 2 m. V 4 2 π 2 π = = d où V,5 m. III) Section plane Propriété : La section d une sphère par un plan est un cercle. Sphère de centre O et de rayon R. Plan P perpendiculaire en H à l un des diamètres. Cas général 0 < OH < R : La section de la sphère par un plan P perpendiculaire à (OH) est le petit cercle de centre H et de rayon HM. On dit que OH est la distance du centre O de la sphère au plan P. 2 2 HM < R, HM = R OH. (OHM rectangle en H.) Le plan et la sphère sont sécants easymaths.free.fr Page 2 sur 5

3 P H O R M Cas particuliers : OH = R, le plan P et la sphère n ont qu un seul point commun, le point H. Le plan est tangent à la sphère. OH = 0, le cercle de section est un grand cercle de la sphère. (HM = R.) OH > R, le plan P et la sphère n ont pas de point commun. La section d une boule par un plan est un disque. IV) Application Géographie : Un parallèle est un cercle parallèle à l équateur. Un méridien est un demi-grand cercle de diamètre Nord-Sud. Les méridiens et les parallèles permettent de repérer chaque point de la surface de la Terre, de façon unique, par la donnée de sa longitude (angle par rapport au méridien de Greenwich) et de sa latitude (angle par rapport à l équateur) que l on appelle coordonnées géographiques de ce point. V) Grandeurs composées Certaines grandeurs sont liées à des grandeurs de base par des relations mathématiques simples. On dit que ce sont des grandeurs composées. Les unités de mesure des grandeurs composées sont définies par le choix des unités de mesure des grandeurs de base. A) Grandeur produit Le produit de deux grandeurs de même nature ou de nature différente donne une nouvelle grandeur dite «grandeur produit». L aire A d un rectangle s exprime par le produit de sa longueur L (en m) par sa largeur l (en m) : A = L l (en m m c est-à-dire m²) Le volume V d un cube en fonction de la longueur c (en m) de son côté, s exprime par le produit : V = c c c = c (en m ) easymaths.free.fr Page sur 5

4 L énergie E consommée par un appareil électrique s exprime par le produit de sa puissance P (en watts) par la durée t (en heures) de son utilisation : E = P t (en wattheures, Wh) Le trafic d une ligne de transport se mesure en passagers kilomètres (passagers kilomètres). L unité de trafic correspond au transport d un passager sur un kilomètre. Le nombre de passagers kilomètres est obtenu en ajoutant les distances parcourues par tous les voyageurs. B) Grandeur quotient Le quotient de deux grandeurs de nature différente donne une nouvelle grandeur dite «grandeur quotient». La vitesse moyenne v d un mobile s exprime par le quotient de la distance parcourue d (en km) par la durée du parcours t (en h) : v = d (en km/h) t La densité de population d d un pays s exprime par le quotient du nombre N de ses habitants par sa superficie S (en km²) : d = N (en habitants/km²) S Le prix p par litre d un liquide est le quotient du prix P (en ) du liquide par son volume V (en L) : p = P (en /L) V La concentration massique c d un constituant dans un mélange s exprime par le quotient de la masse M (en g) de ce constituant par le volume total V (en L) du mélange : c = M V (en g/l) La masse volumique est la masse d une unité de volume : ρ = M V (en g/cm ) La consommation moyenne de carburant c d un véhicule qui consomme un volume V (en L) d essence pour parcourir une distance d (en 100 km) est une grandeur quotient : c = V d (en L/100km) Dans le cas d échelle ou de pourcentage, les grandeurs proportionnelles étant les mêmes, le coefficient n a pas d unité. C) Conversions Pour convertir des unités de grandeurs composées, il faut convertir successivement les unités des deux grandeurs. Convertir 1,25 g/cm en kg/m. 1,25 g/cm = 1,25g/1cm = 0,00125kg/1cm = 0,00125kg/0,000001m = kg/m easymaths.free.fr Page 4 sur 5

5 D) Grandeurs dérivées Une grandeur dérivée correspond : Soit au quotient d une grandeur par une grandeur produit Soit au quotient de deux grandeurs produits. La densité de population La masse volumique easymaths.free.fr Page 5 sur 5