Le provisionnement en assurance non-vie prise en compte de la dépendance

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1 Le provisionnement en assurance non-vie prise en compte de la dépendance Arthur Charpentier Séminaire interne Desjardins Assurances Générales, février 2011 Les provisions techniques sont les provisions destinées à permettre le réglement intégral des engagements pris envers les assurés et bénécaires de contrats. Elles sont liées à la technique même de l'assurance, et imposées par la réglementation. 1

2 1 Introduction et notations i (en ligne) l'année de survenance, j (en colonne) l'année de développement, Y i,j les incréments de paiments, pour l'année de développement j, pour les sinistres survenus l'année i, C i,j les paiments cumulés, au sens où C i,j = Y i,0 + Y i,1 + + Y i,j, pour l'année de survenance j, > PAID [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] [2,] NA [3,] NA NA [4,] NA NA NA [5,] NA NA NA NA [6,] 5217 NA NA NA NA NA 2

3 pour les triangles cumulés, ou pour les incréments > INCREMENT <- PAID > INCREMENT[,2:nrow(PAID)] <- PAID[,2:nrow(PAID)]-PAID[,1:(nrow(PAID)-1)] > INCREMENT [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] [2,] NA [3,] NA NA [4,] NA NA NA [5,] NA NA NA NA [6,] 5217 NA NA NA NA NA 3

4 1.1 La méthode Chain Ladder (dynamique sur C) (C i,j ) j 0 est un processus Markovien, et qu'il existe λ = (λ j ) et σ = (σj 2 ) tels que E(C i,j+1 H i+j ) = E(C i,j+1 C i,j ) = λ j C i,j Var(C i,j+1 H i+j ) = Var(C i,j+1 C i,j ) = σj 2 C i,j on peut écrire C i,j+1 = λ j C i,j + σ j Ci,j + ε i,j où les résidus (ε i,j ) sont i.i.d. et centrés. A partir de cette écriture, il peut paraître légitime d'utiliser les méthodes des moindres carrés pondérés pour estimer ces coecients, en notant que les poids doivent être inversement proportionnels à la variance, autrement dit aux C i,j, i.e. à j donné, on cherche à résoudre { n j } 1 min (C i,j+1 λ j C i,j ) 2 C i,j i=1 4

5 > library(chainladder) > MackChainLadder(PAID) MackChainLadder(Triangle = PAID) Latest Dev.To.Date Ultimate IBNR Mack.S.E CV(IBNR) 1 4, , NaN 2 4, , , , , , , , , ,367 2, Totals Latest: 32, Ultimate: 35, IBNR: 2, Mack S.E.:

6 1.2 La régression lognormale (économétrie sur Y ) On suppose que les incréments d pendent d'un facteur ligne (i) et d'un facteur colonne (j), log Y i,j N (a i + b j, σ 2 ), pour tout i, j > an <- 6; ligne <- rep(1:an, each=an); colonne <- rep(1:an, an) > INC <- PAID > INC[,2:6] <- PAID[,2:6]-PAID[,1:5] > Y <- as.vector(inc) > lig <- as.factor(ligne) > col <- as.factor(colonne) > reg <- lm(log(y)~col+lig) > summary(reg) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-15 *** 6

7 col col * col ** col ** col * lig e-06 *** lig e-12 *** lig e-12 *** lig e-12 *** lig e-10 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 10 degrees of freedom (15 observations deleted due to missingness) Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 10 and 10 DF, p-value: 1.338e-11 7

8 On peut alors simplement utiliser cette régression pour construire le triangle de base du modèle, Ŷi,j = exp[â i + b j ] mais cet estimateur sera biaisé, > sigma=summary(reg)$sigma > INCpred <- matrix(exp(logy+sigma^2/2),an,an) > INCpred [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] [6,] > cat("total reserve =",sum(exp(logy[is.na(y)==true]+sigma^2/2))) Total reserve =

9 1.3 La régression log-poisson (sur Y ) On suppose ici que Y i,j P(exp[a i + b j ]) pour tout i, j. > library(statmod) > an <- 6; ligne <- rep(1:an, each=an); colonne <- rep(1:an, an) > passe <- (ligne + colonne - 1)<=an; np <- sum(passe) > futur <- (ligne + colonne - 1)> an; nf <- sum(passe) > INC <- PAID > INC[,2:6] <- PAID[,2:6]-PAID[,1:5] > Y <- as.vector(inc) > lig <- as.factor(ligne) > col <- as.factor(colonne) > CL <- glm(y~lig+col, family=quasipoisson) > summary(cl) 9

10 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** lig e-12 *** lig e-12 *** lig e-10 *** lig e-08 *** lig e-07 *** col col *** col e-06 *** col e-07 *** col e-08 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * (Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be ) 10

11 Null deviance: on 20 degrees of freedom Residual deviance: on 10 degrees of freedom (15 observations deleted due to missingness) AIC: NA Number of Fisher Scoring iterations: 4 Ŷ i,j = E(Y imj ) = m i,j = exp[â i + b j ] > mu.hat1 <- exp(predict(cl,newdata=data.frame(lig,col)))*futur > cat("total reserve =", sum(mu.hat1)) Total reserve = > mu.hat2 = predict(cl,newdata=data.frame(lig,col),type="response")*futur > cat("total reserve =", sum(mu.hat2)) Total reserve =

12 Les résidus de Pearson sont alors ε i,j = Y i,j m i,j mi,j. En simulant des erreurs (qui sont supposées indépendantes et identiquement distribuée), ε b = ( ε b i,j ), on pose alors Y b i,j = m i,j + m i,j ε b i,j. Une simulation nonparamétrique (ie bootstrap) est le plus naturel > CL <- glm(y~lig+col, family=quasipoisson) > residus=residuals(cl,type="pearson") 12

13 Densité Fonction de répartition Résidus Résidus 13

14 Table 1 Le triangle des résidus de Pearson, ε i,j = m 1/2 i,j [Y i,j m i,j ]. An de prendre en compte l'erreur de modèle, plusieurs méthodes peuvent être utilisées. La première, et la plus simple, consiste à noter qu'à partir du pseudo triangle Yi,j b b, peut obtenir des prédictions pour la partie inférieure, Ŷi,j. Compte tenu du 14

15 modèle Poissonnien, on peut alors simuler une trajectoire possible d'incréments de paiements en simulant les Yi,j b b à l'aide de loi de Poisson de paramètre Ŷi,j. Le code est alors le suivant > CLsimul1=function(triangle){ + triangles=rpoisson(length(triangle),lambda=triangle) + return(sum(ult-diag)) } La seconde méthode est d'utiliser une relecture du modèle de Mack (1993). A partir du pseudo triangle, on va utiliser les facteurs de développement λ j et les variances associés σ j 2 obtenus sur le triangle initial. On prolonge alors le triangle dans la partie inférience via le modèle dynamique Ĉ b i,j+1 Ĉb i,j N ( λ j Ĉ b i,j, σ 2 j Ĉb i,j). Le code est alors le suivant, où triangle est un triangle de paiements cumulés, l correspond à un vecteur de facteurs de développement, et s à un vecteur de volatilités, 15

16 > CLsimul2=function(triangle,l,s){ + m=nrow(triangle) + for(i in 2:m){ + triangle[(m-i+2):m,i]=rnorm(i-1, + mean=triangle[(m-i+2):m,i-1]*l[i-1], + sd=sqrt(triangle[(m-i+2):m,i-1])*s[i-1]) + } + ULT=triangle[,m] + DIAG=diag(triangle[,m:1]) + return(sum(ult-diag)) } 16

17 2 Dépendance entre triangles En s'insiprant de l'idée de Mack (1993), on peut supposer que R i suive une loi LN(µ i, σi 2 ) pour i = 1, 2. Si l'on suppose les risques indépendant, la loi de la somme est simplement la convolée des deux lois. On peut utiliser les familles de distribution au format S4 et la library(distr). Rappelons que pour si X LN(µ, σ 2 ), µ = log[e(x)] 1 ( 2 log 1 + Var(X) ) ( E(X) 2 et σ 2 = log 1 + Var(X) ) E(X) 2. A partir des moyennes et variances - données par la méthode de Mack (1993) par exemple - on en déduit les lois des deux montants de provision. Si on suppose que les deux triangles sont indépendants, alors > library(distr) > V=MackChainLadder(P.mat)$Total.Mack.S.E^2 > E=sum(MackChainLadder(P.mat)$FullTriangle[,n]- +-diag(mackchainladder(p.mat)$fulltriangle[n:1,])) 17

18 > mu = log(e) -.5*log(1+V^2/E^2) > sigma2 = log(1+v^2/e^2) > LM = Lnorm(meanlog=mu,sdlog=sqrt(sigma2)) > V=MackChainLadder(P.corp)$Total.Mack.S.E^2 > E=sum(MackChainLadder(P.corp)$FullTriangle[,n]- + diag(mackchainladder(p.corp)$fulltriangle[n:1,])) > mu = log(e) -.5*log(1+V^2/E^2) > sigma2 = log(1+v^2/e^2) > LC = Lnorm(meanlog=mu,sdlog=sqrt(sigma2)) > LT=LM+LC On peut alors comparer la loi convolée, et la loi lognormale ajustée sur le triangle cumulé, > P.tot = P.mat + P.corp > library(chainladder) > V=MackChainLadder(P.tot)$Total.Mack.S.E > E=sum(MackChainLadder(P.tot)$FullTriangle[,n]- 18

19 + diag(mackchainladder(p.tot)$fulltriangle[n:1,])) > mu = log(e) -.5*log(1+V^2/E^2) > sigma2 = log(1+v^2/e^2) > u=seq(0,qlnorm(.95,mu,sqrt(sigma2)),length=1000) > vtotal=dlnorm(u,mu,sqrt(sigma2)) > vconvol=d(lt)(u) > plot(u,vtotal) > lines(u, vconvol) 19

20 0.0e e e e 05 Loi lognormale sur le triangle cumulé Convolution des lois lognormales Montant de provision, total Les quantiles à 95% sont alors respectivement 20

21 > cat("quantile convolée =",q(lt)(.95)) Quantile convolée = > cat("quantile lognormal =",qlnorm(.95,mu,sqrt(sigma2))) Quantile lognormal = pour la loi convolée et pour la somme des deux triangles. Deux interprétations sont alors possibles : supposer les triangles comme étant indépendants est probablement une hypothèse trop forte et travailler sur un triangle agrégé (et donc peu homogène) introduit une incertitude supplémentaire. 21

22 3 Le modèle de Mack bivarié Prol & Schmidt (2005) a proposé une méthode de type Chain-Ladder dans un cadre multivarié. On note λ i,j = (λ (k) i,j ) où λ(k) i,j = C(k) i,j C (k) i,j 1 et C i,j = (C (k) i,j ) RK On suppose qu'il existe λ j = R K et E[C i,j C i,j 1 ] = (λ j 1 ) C i,j 1 Cov[C i,j, C i,j C i,j 1 ] = ( C j 1 ) Σ j 1 ( C j 1 ) Alors sous ces hypothèses, comme dans le cas univarié, on peut écrire E[C i,n C i,n i ] = n 1 j=n i (λ j )C i,n i. 22

23 L'estimateur du facteur de transition est λ j = [ n j 1 i=0 ( C i,j ) Σ 1 j ( C i,j )] 1 n j 1 i=0 ( C i,j ) Σ 1 j ( C i,j )λ i,j+1 L'estimateur Chain-Ladder de la charge ultime est Ĉ i,n = n 1 j=n i ( λ j )C i,n i. Cet estimateur vérie les mêmes propriétés que dans le cas univarié. En particulier, cet estimateur est un estimateur sans biais de E[C i,n C i,n i ] mais aussi de E[C i,n ]. Il est aussi possible de calculer les mse de prédiction. 23

24 4 Régression bivariée L'idée dans les modèles économétriques est de supposer que les résidus peuvent être corrélés, > ligne = rep(1:n, each=n); colonne = rep(1:n, n) > passe = (ligne + colonne - 1)<= n > PAID=P.corp; INC=PAID > INC[,2:n]=PAID[,2:n]-PAID[,1:(n-1)] > I.corp = INC > PAID=P.mat; INC=PAID > INC[,2:n]=PAID[,2:n]-PAID[,1:(n-1)] > I.mat = INC > Ym = as.vector(i.mat) > Yc = as.vector(i.corp) > lig = as.factor(ligne) > col = as.factor(colonne) 24

25 > base = data.frame(ym,yc,col,lig) > regm=glm(ym~col+lig,data=base,family="poisson") > regc=glm(yc~col+lig,data=base,family="poisson") > res.corp=residuals(regc,type="pearson") > res.mat=residuals(regm,type="pearson") > plot(res.corp,res.mat) 25

26 résidus de Pearson, sinistres corporels résidus de Pearson, sinistres matériel On notera que la corrélation n'est pas nulle. 26

27 > cat("corrélation des résidus =",cor(res.mat,res.corp)) Corrélation des résidus = Une fois notée qu'il existe probablement une dépendance entre les deux triangles, il semble légitime de la prendre en compte dans les algorithmes de simulations pour l'erreur d'estimation, quand on tire les résidus, on ne les tire pas indépendement dans les deux triangles. On tire alors les paires de résidus ( ε matériel,b i,j, ε corporel,b i,j ) pour l'erreur, on peut tirer une loi de Poisson bivariée si on utilise une régression Poissonnienne bivariée (implémentée dans library()bivpois ou un vecteur Gaussien bivarié. Dans le second cas, Cmatériel i,j+1 C corporel i,j+1 N λm j Cmatériel i,j λ c j Ccorporel i,j, σm2 j C matériel i,j σ c2 j Ccorporel i,j 27

28 > library(mnormt) > CLb2=function(triangle1,l1,s1,triangle2,l2,s2,rho){ + m=nrow(triangle1) + for(i in 2:m){ + for(j in (m-i+2):m){ + E=rmnorm(1, mean=c(triangle1[j,i-1]*l1[i-1], + triangle2[j,i-1]*l2[i-1]), + varcov=matrix(c(triangle1[j,i-1]*s1[i-1]^2, + rho*sqrt(triangle1[j,i-1]*triangle2[j,i-1])* + s1[i-1]*s2[i-1], + rho*sqrt(triangle1[j,i-1]*triangle2[j,i-1])* + s1[i-1]*s2[i-1],triangle2[j,i-1]*s2[i-1]^2),2,2)) + triangle1[j,i]=e[1,1] + triangle2[j,i]=e[1,2] + }} + ULT1=triangle1[,m] + DIAG1=diag(triangle1[,m:1]) 28

29 + ULT2=triangle2[,m] + DIAG2=diag(triangle2[,m:1]) + return(c(sum(ult1-diag1),sum(ult2-diag2))) + } On peut alors faire tourner des simulations base=data.frame(ypc,ypm,lig,col) nsim=50000 PROVISION=rep(NA,nsim) PROVISIONm=rep(NA,nsim) PROVISIONc=rep(NA,nsim) PROVISIONc2=rep(NA,nsim) PROVISION2=rep(NA,nsim) for(k in 1:nsim){ I=sample(1:45,size=n^2,replace=TRUE) simem = Em[I] simec = Ec[I] 29

30 I=sample(1:45,size=n^2,replace=TRUE) simec2= Ec[I] bruitm=simem*sqrt(exp(ypm)) bruitc=simec*sqrt(exp(ypc)) bruitc2=simec2*sqrt(exp(ypc)) INCsm=exp(YPm)+bruitm INCsc=exp(YPc)+bruitc INCsc2=exp(YPc)+bruitc2 INCMm=matrix(INCsm,n,n) INCMc=matrix(INCsc,n,n) INCMc2=matrix(INCsc2,n,n) CUMMm=INCMm CUMMc=INCMc CUMMc2=INCMc2 for(j in 2:n){CUMMm[,j]=CUMMm[,j-1]+INCMm[,j] CUMMc[,j]=CUMMc[,j-1]+INCMc[,j] CUMMc2[,j]=CUMMc2[,j-1]+INCMc2[,j]} 30

31 PROVISIONm[k]=CLb(CUMMm,lambdam,sigmam) PROVISIONc[k]=CLb(CUMMc,lambdac,sigmac) PROVISIONc2[k]=CLb(CUMMc2,lambdac,sigmac) PROVISION[k]=sum(CLb2(CUMMm,lambdam,sigmam,CUMMc,lambdac,sigmac,0.8)) PROVISION2[k]=CLb(CUMMm,lambdam,sigmam)+CLb(CUMMc2,lambdac,sigmac)} 31