Diplôme National du Brevet. éléments de solutions

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1 Devoir Surveillé, Troisième 1 Diplôme National du Brevet éléments de solutions Exercice 1: Soient les fonctions f, g et h définies par f (x) = 6 x, g(x) = 3 x - 9 x - 7 et h(x) = 5 x - 7. A l aide d un tableur, Pauline a construit un tableau de valeurs de ces fonctions. Elle a étiré vers la droite les formules qu elle avait saisies dans les cellules B, B3 et B4. Voici le tableau que Pauline a obtenu : B3 =3*B1*B1-9*B1-7 A B C D E F G H 1 x f (x) = 6 x g(x) = 3 x - 9 x h(x) = 5 x Utiliser le tableau pour déterminer l image de - par h. La fonction h est lue à la ligne 4 et la variable x est égale à - dans la colonne C. Donc l image de - par h, h - est donnée par la cellule C4. On a donc h - = Écrire les calculs montrant que g -3 = 47. On sait que g (x) = 3 x - 9 x - 7 donc g -3 = = = = Faire une phrase avec le mot «antécédent» pour traduire l égalité g -3 = 47. Un antécédent de 47 par la fonction g est Quelle formule Pauline a-t-elle saisie dans la cellule B4? À la cellule B4, il s agit de calculer l image du nombre de la cellule B1 par la fonction h. Donc la formule est l expression de h dans laquelle la variable x est substitué par la référence de la cellule dans laquelle la valeur de la variable est renseignée. On a donc la formule B4 = 5 *B a. Déduire du tableau ci-dessus une solution de l équation 3 x - 9 x - 7 = 5 x - 7. Une solution de l équation 3 x - 9 x - 7 = 5 x - 7 est un nombre x pour lequel les valeurs des deux expressions g(x) = 3 x - 9 x - 7 et h(x) = 5 x - 7 sont égales. On lit dans le tableau que pour x = 0, g 0 = -7 et h 0 = -7, donc g 0 = h 0 et ainsi = est solution de l équation. b. Nous cherchons à savoir si cette équation admet une autre solution : Montrer qu elle peut s écrire x 3 x - 14 = 0 et conclure. On résout l équation 3 x - 9 x - 7 = 5 x - 7. Cette équation revient à: 3 x - 9 x x - 7 = 0 3 x - 9 x x + 7 = 0 3 x - 14 x = 0 x 3 x - 14 = 0 On reconnaît une équation produit-nul. On sait alors qu il faut: ou CC017

2 Devoir Surveillé, Troisième On sait alors qu il faut: x = 0 ou 3 x - 14 = 0 x = 0 ou 3 x = 14 x = 0 ou x = 14 3 Finalement l équation 3 x - 9 x - 7 = 5 x - 7 admet une autre solution que celle déterminée à la question 5.b., le nombre On a montré que ce sont les deux seules. L équation a donc solutions exactement: 0 et Exercice : En 013, le propriétaire d un terrain a vendu le quart de sa propriété à la commune pour y placer des éoliennes. En 014, il vend de nouveau à la commune le tiers du reste de son terrain pour de nouvelles éoliennes. a.quelle fraction de son terrain lui reste-t-il après ces deux ventes? En 013, le propriétaire a vendu le quart de sa propriété: il lui reste donc = de sa propriété. 4 En 014, il vend le tiers de ce reste: il vend donc = de sa propriété à nouveau. 4 Finalement, il a vendu au total =. Il lui reste donc 1 de sa propriété. Le calcul d un bloc est donné par = 1. b. S il lui reste 5 hectares, quelle était la surface, en hectares, de son terrain au départ? Notons x la surface totale du terrain en hectares avant la vente. Alors on sait qu il reste au propriétaire 1 x et que ce reste est égal à 5 ha. Donc x est solution de l équation 1 x = 5 donc x = 5 = 50. Le propriétaire possédait un terrain de 50 hectares. c. Sur quelle surface, en hectares, la commune a-t-elle placé des éoliennes? La surface vendue est égale à 50-5 = 5 ha. La commune a placé des éoliennes sur 5 hectares. Exercice 3: La puissance fournie par une éolienne dépend de la vitesse du vent. Lorsque la vitesse du vent est trop faible,l'éolienne ne fonctionne pas. Lorsque la vitesse du vent est trop importante, par sécurité,on arrête volontairement son fonctionnement. Une commune investit dans l'implantation d'éoliennes dans le but de produire de l'électricité. Pour le modèle choisi par la commune, on a tracé la courbe représentant la puissance fournie, en kw, en fonction de la vitesse du vent en m/s -courbe ci-contre. 1. Quelle vitesse le vent doit-il atteindre pour que l éolienne fonctionne? CC017 On peut lire sur le graphique que pour des valeurs de la vitesse du vent inférieure à 4 m/s, la puissance fournie est égale à 0.

3 On peut lire sur le graphique que pour des valeurs de la vitesse du vent inférieure à égale à 0. Donc l éolienne ne fonctionne que pour des vitesses de vent supérieures à 4 m/s. Indiquer une vitesse du vent pour laquelle la puissance de l éolienne est au moins 00 kw. 4 m/s, la puissance fournie est Les points de la courbe représentant la puissance en fonction de la vitesse du vent ont des ordonnées 00 pour les valeurs de la vitesse du vent en abscisses, 9. Toute vitesse du vent 9 m/s convient pour que la puissance fournie dépasse 00 kw. 3. La puissance fournie par cette éolienne est-elle proportionnelle à la vitesse du vent? (justifier) La courbe représentative de la puissance fournie en fonction de la vitesse du vent n est pas une droite. La situation représentée n est donc pas une situation de proportionnalité. Devoir Surveillé, Troisième 3 Exercice 4: Pour trouver la hauteur d'une éolienne, on a les renseignements suivants : Les points O, A, C sont alignés,les points O, B, C sont alignés. Les angles O A B et O C D sont droits. O A = 11 m, A C = 594 m, A B = 1, 5 m. Le schéma n'est pas représenté en vraie grandeur. Le segment C D représente le pied de l'éolienne. 1. Expliquer pourquoi les droites A B et C D sont parallèles. Comme les angles O A B et O C D sont droits, les droites A B et C D sont perpendiculaires à la même droite O A. Or on sait que si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Par suite A B // C D.. Calculer la hauteur C D de l éolienne. Justifier. Les points O, A, C sont alignés, les points O, B et C sont alignés. De plus A B // C D. D après le théorème de Thalès, on a l égalité des rapports: O A A B O C = C D. 11 Par suite 1, = d où 11 C D = 1, et finalement C D = 8, 5 m. C D L éolienne mesure 8, 5 m de hauteur. Exercice 5: Les deux questions sont indépendantes. 1. Ces deux images représentent un agrandissement de cellules reproductrices humaines. A l aide des photos, déterminer les dimensions approximatives réelles du diamètre d un ovule et de la longueur d un spermatozoïde. On donnera les résultats en notation scientifique et en mètre CC017

4 4 Devoir Surveillé, Troisième On mesure la longueur en cm sur la photo du spermatozoïde: 5 (±0,1) cm. On mesure la longueur en cm de l échelle: cm. On obtient le tableau de proportionnalité: Spermatozoïde Echelle Dimensions sur le dessin en cm 5(± 0,1) Dimension réelle en mm y 0,03 0, 03 5 ±0, 1 On obtient donc, 0, 03 5 ±0, 1 = y d où y = = 0, 075. La longueur d un spermatozoïde est environ égale à 0, 075 ±0, 015 mm = 7, ±1, mm = 7, ±1, m On mesure la longueur en cm sur la photo du diamètre de l ovule: 4, cm. On mesure la longueur en cm de l échelle: 3 cm. On obtient le tableau de proportionnalité: Ovule Echelle Dimensions sur le dessin en cm 4, 3 Dimension réelle en mm Y 0,05 0, 05 4, On obtient donc, 0, 05 4, = 3 Y d où Y = = 0, Le diamètre d un ovule est environ égal à 0, 07 mm = mm = m.. En 009, la quantité de données numériques à stocker dans le monde est estimée à 800 milliards de giga-octets (Go). En 00, la quantité de données à sauvegarder serait 45 fois plus élevée. Combien de disques durs de 500 Go faudrait-il pour le stockage en 00? Exprimer cette quantité en notation scientifique. En 00 la quantité de données à stocker sera de Go = Go Chaque disque durs peut contenir 500 Go donc il faudra = 7, disques durs pour stocker ces 500 données. Exercice 6: Pour chaque ligne du tableau suivant, quatre réponses (A, B, C et D) sont proposées. Une seule de ces quatre réponses est exacte. Indiquez sur la copie le numéro de la question et, sans justifier, donner la lettre correspondant à la réponse exacte que vous aurez choisie. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse. CC017

5 Devoir Surveillé, Troisième 5 A B C D 1 L'inverse de 7 ( 6 - ) est: Combien faut-il de temps pour parcourir 1 min 1 s 1 min 0 s 1 min s minutes 800 m à la vitesse moyenne de 40 km/h? 3 Pour x=0 et y=5, quelle est la valeur de R dans l'expression 1 R = 1 x + 1 y? 0,5 0, Un agriculteur a pesé une douzaine d'oeufs. Il a obtenu les masses suivantes (en grammes): 61g-6g-58g-61g-56g 63g-55g-64g-61g-63g-63g-65g La masse médiane de cette douzaine est: Léo a marqué 1 but au 1 er match, 3 au suivant et 1 au 3 ième. Combien de buts doit-il marquer au 4 ième match, pour qu'en moyenne il ait marqué buts par match? Lorsqu'on regarde un angle de 18 o à la loupe de grossissement, on voit un angle de: 61 61,5 6 6, o 36 o 18 o (18 ) o Exercice 7: Héloïse a peint le triangle ABC en 40 minutes. Si Héloïse conserve le même rythme, dans combien de temps aura-t-elle terminé de peindre le mur sous l'escalier? Exprimer la durée en heures et minutes. Les points A, C, N d une part et A, B, M d autre part sont alignés dans cet ordre. Les droites B C et M N sont perpendiculaires à la même droite donc elles sont parallèles entre elles. D après le théorème de Thalès, on a donc A N A M M N A C = A B = B C. On en déduit que le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC dans le rapport A N 6, 3 7 A C = 1, 8 = = 3, 5. On sait donc que l aire du triangle AMN est 7 fois plus grande que l aire du triangle ABC. On obtient 4 A MN = A B C. Ainsi comme 40 minutes = 3 h alors il faut = 49 6 h pour peindre le triangle AMN. Comme on a déjà peint ABC, il faudra = 45 6 = 7, 5 h donc 7 h 30 min pour finir de peindre sous l escalier. CC017

6 6 Devoir Surveillé, Troisième Exercice 8: On a crée trois programmes pour permettre au poisson de regagner les issues A, B ou C. 1. Parmi les programmes suivants, quel programme permet d aller en A? En B? En C? Programme 1 Programme Programme 3 Le programme 1 permet de rejoindre C: on tourne deux fois avant d aller en ligne droite jusqu à C Le programme permet de rejoindre A: on tourne une fois avant de rejoindre A en ligne droite Le programme 3 permet de rejoindre B: c est le dernier.. On souhaite simplifier le programme 3, en utilisant une boucle (de la forme ci-contre).. Écrire ce nouveau programme. On obtient: Quand espace est pressé Répéter 3 fois: avancer de 80 tourner de 90º vers la gauche avancer de 80 tourner de 90º vers la droite. CC017