CHAPITRE 12 : IDENTIFICATION

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1 CHAITRE : IDENTIFICATION IDENTIFICATION INTRODUCTION... 6 ÉTAES DE L IDENTIFICATION... 6 IDENTIFICATION DES SYSTÈMES SIMLES Système stable du remier ordre sans intégration Système intégrateur du remier ordre Système stable du second ordre sans intégration et sans zéro Système du second ordre avec intégration et sans zéro... 7 Système stable du second ordre aériodique sans intégration... 7 ROCÉDÉS AVEC UN RETARD RÉCISION DE L IDENTIFICATION... 76

2 Chaitre INTRODUCTION La figure. montre un système de commande. Habituellement, la consigne, sa comaraison avec la sortie mesurée et le régulateur sont imlantés dans un ordinateur. Si le système est un asservissement de la vitesse de rotation d une charge à l aide d un moteur électrique, les différents éléments sont les suivants: variateur et source de uissance: amlificateur actionneur: moteur électrique rocédé: charge cateur: tachymètre La sortie du cateur est un voltage roortionnel (selon le gain tac du tachymètre) à la vitesse de rotation. L ordinateur eut ceendant afficher à l écran la vitesse de rotation (il suffit de multilier le voltage du cateur ar / tac ). La consigne est en volts. Elle eut également être entrée dans l interface de l ordinateur en rad/s à condition de la multilier ar / tac our la convertir en un nombre de volts corresondant. La sortie du régulateur est un voltage basse uissance qui doit être amlifié our actionner le moteur. Très souvent, le diagramme. est simlifié et tracé comme la figure.. La fonction de transfert G C (s) est celle du régulateur et le rocédé est, en fait, la combinaison en série variateur-actionneur-rocédé-cateur. Ordinateur Source de uissance r(t) Régulateur u(t) Variateur Actionneur rocédé Cateur y(t) + - Figure. r(t) + - G c (s) u(t) rocédé y(t) Figure. Systèmes et commande linéaires GEL-5 6

3 Chaitre Afin de concevoir efficacement le régulateur G C (s), la fonction de transfert du rocédé (aelé ainsi bien qu on y inclut également le variateur, l actionneur et le cateur) doit être connue de façon relativement récise. Trouver la fonction de transfert du rocédé à artir de données exérimentales s aelle identifier le rocédé. La fonction de transfert résultante est le modèle du rocédé et est notée G (s). ÉTAES DE L IDENTIFICATION L identification est un sujet vaste et ar conséquent seuls les concets de base seront décrits ici. L identification s effectue en trois étaes. Étae : Excitation du rocédé L excitation du rocédé consiste à lui aliquer une entrée riche sur une bande de fréquences assez large. Un échelon est un signal d entrée fréquemment utilisé (figure.3). L entrée et la sortie sont enregistrées, à intervalles réguliers, dans un fichier durant l exérience. Ordinateur u(t) Fichier y(t) u(t) rocédé y(t) Étae : Soustraction des oints d oération Figure.3 Un système linéaire ossède une sortie nulle en régime ermanent lorsque son entrée est nulle également. Avec un système hysique, les unités de l entrée et de la sortie sont arbitraires et la relation récédente n est en général as resectée. La figure.4 montre un rocédé (un réservoir). En régime ermanent, avant d aliquer un échelon, son entrée u(t) (voltage actionnant un élément chauffant) vaut V et sa sortie y(t) (voltage rerésentant la temérature du liquide dans le réservoir) est 3 V. our rerésenter ce rocédé ar un système linéaire, il faut soustraire ses oints d oération (c est-à-dire les valeurs en régime ermanent). La figure.5 illustre cette technique. On constate qu en régime ermanent, avec les nouvelles variables, on obtient u i (t) et y i (t). Une fonction de transfert linéaire eut donc lier u i (t) à y i (t). Les Systèmes et commande linéaires GEL-5 6

4 Chaitre données u i (t) u(t) - u O et y i (t) y(t) - y O (u O et y O sont les oints d oération) euvent servir à identifier le rocédé à l aide d un système linéaire. Étae 3: Trouver G (s) à artir des données La figure.6 est un digramme de la rocédure d identification. Le modèle G (s) doit être déterminé de telle sorte qu il reroduit le lus exactement ossible la sortie enregistrée du rocédé si à son entrée est aliquée la même entrée que celle qui le fut à l entrée du rocédé. Liquide Thermocoule y(t) Liquide ome Convertisseur Amli u(t) Figure.4 rocédé u(t) rocédé y(t) rocédé en régime ermanent rocédé 3 u o y o 3 Rerésentation du rocédé ar un système linéaire u(t) + - u i (t) rocédé + + y i (t) y(t) Figure.5 Systèmes et commande linéaires GEL-5 6

5 Chaitre u(t) rocédé y(t) u o y o u i (t) Modèle G (s) y m (t) + - y i (t) y m (t)- y i (t) Min J Figure.6 Une mesure de la qualité du modèle est le nombre J suivant: où N [ M i ] J y ( i) y ( i) i N est le nombre de coules entrée-sortie enregistrés y M (i) est le i ème oint de la sortie du modèle y(i) est le i ème oint de la sortie du rocédé, à laquelle le oint d oération a été soustrait lus J est rès de zéro et meilleur est le modèle. EXEMLE. Le rocédé est le réservoir de la figure.4. Un échelon est aliqué à l entrée de l amlificateur. L entrée et la sortie sont enregistrées (figure.7). Les oints d oération sont u O et y O 3. La figure.8 montre les signaux u i (t) et y i (t), c est-à-dire l entrée et la sortie auxquelles les oints d oération ont été soustraits. La figure.9 montre la comaraison entre la sortie du rocédé et celle obtenue à l aide du modèle suivant: Systèmes et commande linéaires GEL-5 63

6 Chaitre G ( s ) + s u(t) y(t) t t Figure.7 u i (t) t y i (t) t Figure.8 3 x: y M (t) o: y i (t) t Figure.9 Systèmes et commande linéaires GEL-5 64

7 Chaitre IDENTIFICATION DES SYSTÈMES SIMLES Cette section décrit comment obtenir un modèle à artir de la réonse à un échelon ou de la réonse en fréquences d un rocédé (la réonse en fréquences eut s obtenir de façon exérimentale en effectuant une série d essais harmoniques sur le rocédé). Il est indiqué, ici, d effectuer quelques raels sur les systèmes d ordre n (Chaitre ) rerésentés ar la fonction de transfert suivante: G ( s) m Am s A s+ A n B s B s+ B n Suite à l alication d un échelon à l entrée de ce système, initialement au reos, le début du régime transitoire est caractérisé ar les valeurs du tableau.. Ordre y ( + ) y( + ) n m + n m + A m /B n Tableau. La réonse en fréquences aux basses et hautes fréquences (si A m et B n sont suérieurs à zéro) est résumée à la figure.. log G(j) <G(j) -db/dec ( int.) log ( int.) nm log A m /B n ( int.) nm nm+ -db/dec -9 ( int.) nm+ nm+ -4db/dec -8 ( int.) nm+ Figure. Systèmes et commande linéaires GEL-5 65

8 Chaitre Système stable du remier ordre sans intégration La fonction de transfert du système est G ( s) (T > ) ou, de façon équivalente, + T s A G ( s) Bs+. Sa réonse à un échelon d amlitude u est illustrée à la figure. (équivalente à la figure 5. du Chaitre 5). u o.95 u o.63 u o Sortie y(t) T 3T Tems t Figure. On constate que y( + + Am ) et que y B u '( ) T u (car n m + ). En régime ermanent n la sortie est y( ) u (ermet l évaluation de ). L évaluation de T s effectue en calculant la ente à t + ou encore à artir du tems à lequel la sortie vaut.63y( ) ou.95y( ). La figure. est le diagramme asymtotique de Bode du système (voir aussi la figure 5.3 du Chaitre 5 our une réonse non aroximative). On note les valeurs suivantes (qui sont celles d'un rocédé où n m + ): basses fréquences: G ( ) G ( ) o hautes fréquences: G ( ) : - db/décade A (ermet l évaluation de ) B Systèmes et commande linéaires GEL-5 66

9 Chaitre G ( ) 9 o à T : rencontre des asymtotes de G ( ) (évaluation de T ) G ( ) 45 o (évaluation de T ) log G(j) log k /T -db/déc <G(j)./T /T Figure. Système intégrateur du remier ordre Fonction de transfert: G ( s) s A B s (n et m ). Réonse à un échelon d amlitude u : figure.3. y( + ) + Am y'( ) B u u (évaluation de ) n en régime ermanent: ente u Systèmes et commande linéaires GEL-5 67

10 Chaitre Sortie y(t) ente k u t Figure.3 Réonse en fréquences: figure.4. basses fréquences: G ( ) : - db/décade G ( ) 9 o hautes fréquences: G ( ) : - db/décade G ( ) 9 o moyennes fréquences (à ): G ( ) (évaluation de ) G ( ) 9 o Système stable du second ordre sans intégration et sans zéro Fonction de transfert: G ( s) s + ζ s+ n n A B s + B s+ B (n et m ). Réonse à un échelon d amlitude u : figure.5 (ou figure 7. du Chaitre 8). y( + ) y ( + ) y( ) u (évaluation de ) évaluation de n en comarant la réonse enregistrée avec la figure.5 oscillations si ζ < fréquences des oscillations ζ n (évaluation de ζ ) Systèmes et commande linéaires GEL-5 68

11 Chaitre log G(j) -db/déc log <G(j) -9 Figure.4.6 Sortie y(t)/ u ζ..4. ζ.4 ζ ζ.8 ζ. ζ. ζ Tems normalisé n t Figure.5 Réonse en fréquences: diagramme asymtotique: figure.6; réonse non aroximative: figures 7-a et 7-b du Chaitre 8. Systèmes et commande linéaires GEL-5 69

12 Chaitre basses fréquences: G ( ) A (évaluation de ) B G ( ) o hautes fréquences: G ( ) : -4 db/décade G ( ) 8 o à n : G ( ) déend de ζ (résonance si ζ< ) G ( ) 9 o (évaluation de n ) évaluation de n et ζ en comarant avec les figures 7-a et 7-b du Chaitre 8. log G(j) log -4db/déc n <G(j). n n -9-8 Figure.6 Système du second ordre avec intégration et sans zéro Fonction de transfert: G ( s) s( + T s) A B s + B s (n et m ). Réonse à un échelon d amlitude u : figure.7 (ou figure 7. du Chaitre 8). La réonse est identique à la réonse à une rame du système G ( s) (figure 5.6 du Chaitre 5). + T s y( + ) y ( + ) en régime ermanent: ente u (évaluation de ) Systèmes et commande linéaires GEL-5 7

13 Chaitre rolongement de l asymtote du régime ermanent: évaluation de T Sortie y(t) ente u T t Figure.7 Réonse en fréquences: diagramme asymtotique: figure.8. basses fréquences: G ( ) : - db/décade G ( ) 9 o rolongement de l asymtote basse fréquences: évaluation de hautes fréquences: G ( ) : -4 db/décade G ( ) 8 o à T : rencontre des asymtotes de G ( ) (évaluation de T ) o o G ( ) o (évaluation de T ) Système stable du second ordre aériodique sans intégration Fonction de transfert: G ( s) (+ T s) A s+ A (T et T > ) (n et m ). (+ Ts )(+ Ts) Bs + Bs+ B Les règles ortant sur la réonse en fréquences des systèmes d ordre n ne s aliquent as si A < (donc si T < ). Réonse à un échelon d amlitude u : figure.9. y( + ) + Am y B u T '( ) T T u n Systèmes et commande linéaires GEL-5 7

14 Chaitre y( ) u (évaluation de ) déart malin si T < déassement (sans oscillation) si T > T > T les aramètres T, T et T se trouvent relativement facilement ar essais et erreurs log G (j) -db/déc /T -4db/déc <G (j)./t /T Sortie y(t) Figure.8.5 T T T T T - T t[s] Figure.9 Systèmes et commande linéaires GEL-5 7

15 Chaitre Réonse en fréquences: le diagramme asymtotique dans le cas où < T < T < T est tracé à la figure.. L allure de la réonse en fréquences déend du signe de T et des valeurs relatives de T, T et T. log G (j) +db/déc -db/déc /T /T /T <G (j) -9 basses fréquences: G ( ) Figure. A (évaluation de ) B G ( ) o hautes fréquences: G ( ) : - db/décade G ( ) si T > : -9 o G ( ) si T < : -7 o les valeurs de T, T et T euvent être évaluées à artir des oints de rencontre des asymtotes EXEMLE. Les caractéristiques temorelles ou fréquentielles des fonctions de transfert récédentes euvent être déduites sans recourir aux règles des systèmes d ordre n. Cet exemle, ainsi que l'exemle.3 en sont des illustrations. Que vaut y( + ) our le rocédé Systèmes et commande linéaires GEL-5 73

16 Chaitre G ( + T s) ( s) ( + T s)( + T s) s il est initialement au reos et que l entrée est un échelon d amlitude u? L alication du théorème de la valeur initiale donne: EXEMLE.3 ( + T s) u Y( s) ( + T s)( + T s) s + y( ) lim sy( s) s u ( + T s) lim s ( + T s)( + T s) T u s + s lim s + T + T s s Comment se comorte le raort d amlitude aux basses fréquences du rocédé suivant: G ( s) s( + T s) Une remière solution consiste simlement à tracer le diagramme asymtotique de Bode, tel que décrit au Chaitre. Une seconde solution est d effectuer directement le calcul: G ( j) j( + T j) G ( j) T + j T + 4 Aux basses fréquences, le terme en 4 est négligeable ar raort au terme en, d où: Systèmes et commande linéaires GEL-5 74

17 Chaitre G ( j) Selon l exercice 8.4, ceci corresond à une ente de - db/décade. ROCÉDÉS AVEC UN RETARD La fonction de transfert des rocédés avec retard est G (s) G (s)e -θs où G (s) est une des fonctions de transfert récédemment étudiées. La réonse à l échelon de G (s) est identique à celle de G (s) mais retardée de θ unités de tems. Les deux systèmes G (s) et G (s) ont le même raort d amlitude. La hase de G (s) est celle de G (s) à laquelle s ajoute la hase du retard: EXEMLE.4 La fonction de transfert d un rocédé est: G ( ) G ( ) θ G θs e ( s) + s Sa hase est tracé à la figure.. Quel est la durée du retard θ? <G (j) [rd/s] Figure. Systèmes et commande linéaires GEL-5 75

18 Chaitre La hase du rocédé est: À la fréquence., l exression devient: RÉCISION DE L IDENTIFICATION G ( ) θ + j o π π. θ 8 4 o θ 3. À artir des données exérimentales enregistrées, lusieurs modèles différents euvent être obtenus. Le modèle le lus simle (ordre le moins élevé) qui ermet de bien reroduire le comortement dynamique doit être sélectionné. De nombreux rocédés industriels (autour de leur oint d oération) euvent être adéquatement identifiés avec la fonction de transfert suivante: G θs ( + T s) e ( s) ( + T s)( + T s) Un modèle est bon s il remlit les fonctions qu on lui demande. Ainsi, un bon modèle ermettra la concetion d un régulateur efficace qui resecte les sécifications demandées. lus le modèle est récis aux hautes fréquences et lus il ossible de demander un tems de réonse court à l asservissement. En effet, demander un tems de réonse court à l asservissement signifie qu il fonctionne à hautes fréquences (etite constante de tems fréquence de couure élevée). EXEMLE.8 Suosons que la vraie fonction de transfert du rocédé est la suivante: G ( s ) ROC ( + s )( + s ) Cette fonction de transfert n'est as réaliste our un vrai rocédé. Un rocédé hysique n'est jamais arfaitement linéaire et il n'est jamais d'un ordre si eu élevé. Suite à des tests d'identification, le modèle suivant a été obtenu: Systèmes et commande linéaires GEL-5 76

19 Chaitre G ( s ) + s La figure. comare la réonse à l'échelon du rocédé et du modèle. Les deux réonses sont similaires et euvent être confondues si l'identification fut réalisée en résence de bruit, ce qui est toujours le cas en ratique (imaginez du bruit sur la réonse du rocédé et il vous sera difficile d'imaginer un meilleur modèle que celui utilisé). Les erformances demandées sont: erreur statique nulle, tems de réonse à ±5%:.5 seconde, et aucun déassement. La deuxième sécification est très exigeante car l'asservissement doit être fois lus raide que le modèle que l'on a du rocédé. Le régulateur qui satisfait ces sécifications est le suivant: G ( s C s ) ( + ) s L'étae qui suit la concetion du régulateur consiste à le tester en simulation, donc à l'aide du modèle du rocédé. La figure.3 montre un échelon de consigne de l'asservissement. Les sécifications sont resectées lorsque le régulateur est testé sur le modèle du rocédé. Ceendant, le tems de réonse et le déassement ne sont as resectés lorsque le rocédé réel est commandé ar le régulateur, comme le démontre la figure.3. Les comortements différents s'exliquent ar l'erreur de modélisation. En effet, la sécification sur le tems de réonse fait en sorte que l'asservissement travaille à des hautes fréquences. Si on suose que l'asservissement est d'ordre un, le tems de réonse demandé corresond à une constante de tems de.5 seconde, donc une largeur de bande de rad/s. À cette fréquence, le rocédé et le modèle sont nettement différents, comme l'illustre la figure.4. Il est donc imératif que le modèle soit bon sur la bande de fréquences dans laquelle il sera utilisé. Cet exemle illustre également la dualité tems-fréquence. Les basses fréquences sont reliées aux comortements en régime ermanent ou rès de celui-ci. Les hautes fréquences corresondent au régime transitoire, articulièrement au début de ce dernier. Le modèle et le rocédé sont similaires aux basses fréquences (figure.4) et ar conséquent leurs comortements en régime ermanent le sont également (figures. et.3). Le rocédé et son modèle sont différents aux hautes fréquences (figure.4), ce qui exlique les écarts des régimes transitoires (figures. et.3). Systèmes et commande linéaires GEL-5 77

20 Chaitre rocédé Modèle Tems [s] Figure..4. rocédé Modèle Consigne Tems [s] Figure.3 Systèmes et commande linéaires GEL-5 78

21 Chaitre Modèle - rocédé Ra. d'amli [rad/sec] Modèle hase [deg] rocédé - Fréquence [rad/sec] Figure.4 Systèmes et commande linéaires GEL-5 79