Exercices : Les vecteurs

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1 Chapitre Vecteurs et translation Exercice 1. Exercices : Les vecteurs 1. Construire l image du carré BCD par la translation de vecteur I D C I B. Construire l image d un parallélogramme BCD par la translation de vecteur O où O est le centre du parallélogramme. Exercice. BC est un triangle, I le milieu de [BC] et J le symétrique de B par rapport à. 1. Construire le point K image de B par la translation de vecteur C. Quelle est l image de J par la translation de vecteur CK Exercice. BC est un triangle équilatéral 1. Construire le point D image de B par la translation de vecteur C. Construire E, F et G images respectives de, C et D par la translation de vecteur BC. (a) Pourquoi les points B, D, G, F et E appartiennen-ils au cercle de centre C passant par? (b) Pourquoi l hexagone BDGF E est-il régulier? 1

2 Chapitre Vecteurs et translation Exercice 4. deux droites d et sont sécantes en O, et B sont deux points disposés comme l indique la figure ci-dessous : d O B 1. Construire la droite, image de par la translation de vecteur B. La droite coupe d en C et la parallèle à (B) menée par C coupe en D. Démontrer que le quadrilatère BCD est un parallélogramme. Exercice 5. BCD est un quadrilatère non croisé et on note t la translation de vecteur BD 1. (a) Construire les points M et N tels que M = t C () et N = t C (C) (b) Construire l image du triangle BC par t. (a) Préciser la nature du quadrilatère CM N (b) Démontrer que (BD) = (DM) (BDC) = (DCN) (c) En déduire que : (CNM) = (BCD) Exercice 6. Démontrer que pour tous points O, et B on a B = OB O Exercice 7. BC est un triangle, on note u = B et v = C 1. Placer les points E, F, G et H tels que : E = u + v G = u v F = u v F = u + v. Placer les points M et N tel que : M = u + v E et NM = u v Exercice 8. Simplifier au maximum les relations suivantes : 1. u = C + B + CB

3 Chapitre Vecteurs et translation. v = DE DF + EF ED Exercice 9. Recopier et compléter les propriétés suivantes : 1. G est le centre de gravité du triangle BC si et seulement si G =... I (I désigne le milieu de [BC]). G est le centre de gravité du triangle BC si et seulement si G + GB + GC =... Exercice 10. Soit BC un triangle. 1. Placer le point E tel que E = 1 B. Placer le point F tel que F = C. Démontrer que les droites (CE) et (FB) sont parallèles Exercice 11. BCD est un parallélogramme 1. Placer les points E et F tels que DE = 1 DB et DF = 1 DB 4. Placer les points G et H tels que BEG et BFH soient des parallélogrammes. Démontrer que CH = DF et CG = DE 4. En déduire que les points C, G et I sont alignés Exercice 1. BC est un triangle et O un point quelconque à l intérieur de BC 1. Placer les points I, J et K tels que OBI, OBCJ et OCK soient des parallélogrammes.. Démontrer que O est le centre de gravité du triangle IJK Exercice 1. ssocier à chaque égalité vectorielle la phrase correspondante, et, dans chaque cas, illustrer par une figure : 1. D = DB. B = CD. DC = D + DB 4. D = BC (a) BCD est un parallélogramme (b) BDC est un parallélogramme (c) D est le milieu de [B] (d) DBC est un parallélogramme Exercice 14. Simplifier au maximum l écriture des vecteurs suivants : 1. u = C + B + CB. v = DE DF + EF ED. w = B + M MB

4 Chapitre Vecteurs et translation Exercice 15. Le segment [G] est divisé en 6 parties de même longueur. B C D E F G Compléter les relations suivantes par : 1. La lettre qui convient : (a) E... = EF (b) C G = 0 (c) G =.... Le nombre qui convient : (a) CE =... G (b) C =... GE (c) DE =... GE Exercice Construire les points B et C tels que B = u + v et C = u v. Représenter les vecteurs u + v et v u. Construire les points E et F tels que DE = w u et DF = 1 w + u w v u D Exercice 17. Soit BC un triangle. Simplifier au maximum l écriture des vecteurs suivants : u = C + B + CB v = C CB + B B Les vecteurs u et v ont-ils la même direction? Justifier. Exercice 18. Soient et B deux points tels que B = 5 cm. Soit M le point défini par : 5 M + MB = 0 Déterminer le vecteur M en fonction du vecteur B et construire le point M 4

5 Chapitre Vecteurs et translation Exercice 19. Soit BCD un parallélogramme de centre I. 1. Construire le point M tel que IM = I + ID et le point N tel que IN = IB + IC. Démontrer que IM + IN = 0. Que peut-on en déduire?. Justifier les deux égalités suivantes : BN = IC et IC = I En déduire la nature du quadrilatère BNI Exercice 0. Soit BC un triangle. 1. Placer le point E tel que E = 1 B. Placer le point F tel que F = C. Démontrer que les droites (CE) et (FB) sont parallèles. Exercice 1. Soit PQR un triangle de centre de gravité G. Soient les points I, J et K tels que : 1. Faire une figure GI = GP, GJ = GQ et GK = GR. Démontrer que G est le centre de gravité du triangle IJK. Exercice. BC est un triangle avec B = 8 cm 1. Placer le point E tel que : E + 5 EB = 0. Démontrer que C + 5 CB = 8CE Justifier la position de E à l aide d un calcul vectoriel Exercice. BC est un triangle de centre de gravité G. Le point Z est le milieu de [C]. 1. Faire une figure puis placer les points I, J et K définis par K = 1 B, BI = 1 BC et CJ = 1 C. Démontrer que G est le centre de gravité du triangle IJK. Démontrer que IJ = BZ 4. Démontrer que BIJG est un parallélogramme Exercice 4. Soit PQR un triangle de centre de gravité G Soient I le symétrique de G par rapport à P, J celui de G par rapport à Q et K celui de G par rapport à R Démontrer que G est le centre de gravité du triangle IJK Exercice 5. BCD est un parallélogramme 1. Construire les points F et E tels que : BE = B et F = D. Construire le point G tel que EGF soit un parallélogramme. Démontrer que les points, C et G sont alignés 5

6 Chapitre Vecteurs et translation Exercice 6. G est le centre de gravité d un triangle BC Démontrer que pour tout point M du plan on a : M + MB + MC = MG Exercice 7. BC est un triangle 1. Construire le point M tel que BM = 1 BC. Démontrer que M = B + 1 C. Construire le point N tel que N = B + C 4. Démontrer que les points, M et N sont alignés Exercice 8. Sur la figure ci-contre, BCD est un parallélogramme. Soit G le centre de gravité du triangle EC Démontrer que G est le centre de gravité du triangle BDE B D C E Exercice 9. Le segment [G] est divisé en 6 parties de même longueur. M est un point quelconque du plan B C D E F G Compléter les relations suivantes par : 1. La lettre qui convient : (a) C G = 0. Le nombre qui convient : (a) D =... GC (b) G =... (b) MD + MG =... ME Exercice 0. BCD est un parallélogramme. 1. Construire les points E et F définis par E = B et DF = D. Montrer que FE = B 1 D et que CE = B D. En déduire que E, F et C sont alignés. 6

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