Licence SPI Cinématique et Mécanismes. Introduction à la théorie des mécanismes

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Bernard Doré
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1 Licence SPI Cinématique et Mécanismes Introduction à la théorie des mécanismes Mobilité, hyperstatisme, singularité

2 Plan Problèmes/Objectifs Quelques exemples Graphe mécanisme Nombre de cyclomatique Analyse cinématique Exemple Exemple 2 Approche statique Exemple Exemple 2 Résumé Mécanismes plans 4 barres Divers Cinématique des robots Cinématique des robots à roues Cinématique des robots marcheurs Mécanismes compliants

3 Objectifs Calculer la mobilité dans un mécanisme donné Déterminer la ou les loi(s) d entrée-sortie Déterminer les conditions géométriques dont dépend le bon fonctionnement le système (notion d hyperstatisme) Comprendre pour savoir mieux concevoir des mécanismes adaptés à certaines tâches ou fonctions

4 Exemples Mécanisme à 4 barres Mécanisme bielle-manivelle Structure isostatique (Statiquement déterminé) Structure hyperstatique (Statiquement indéterminé)

5 Mécanisme à 4 barres Mécanisme à 4 barres

6 Mécanisme bielle-manivelle Vidéo : Moteur à combustion interne

7 Mécanisme du Joug Ecossais

8 Sinusmatic Mécanisme spatial à 4 éléments

9 Hypothèses Solides rigides Liaisons parfaites Acquis : Paramétrage géométrique et cinématique Cinématique du solide rigide Torseur cinématique des liaisons Composition des mouvements Equations de fermeture des chaînes cinématiques Statique : Torseur statique des efforts transmissible dans une liaison Equations d équilibre

10 Graphe d un mécanisme Décrire la topologie d un mécanisme dans un graphe où les nœuds représentent les corps les arcs sont les liaisons Soient : N C : nombre de nœuds ou de corps (y compris le bâti) N L : nombre d arc ou de liaison C k : la classe de la liaison k (k est le nombre de degrés de liberté indépendant dans une liaison) C pour une pivot, une glissière, une liaison hélicoïdale C 2 pour une pivot glissant, C 3 pour une rotule

11 Graphe d un mécanisme Graphe de type arborescent C C C C C C

12 Graphe d un mécanisme C C Graphe à cycle C C C C

13 Graphe d un mécanisme Graphe de type mixte : arborescent et à cycles

14 Cyclomatique C est le nombre de chaînes fermés indépendantes dans un graphe Théorie des graphes : µ N N L C + C est le nombre de circuits indépendants

15 Cyclomatique 4 C C C 3 C C C C N C 6 N L 7 µ2 2 circuits indépendants ou cyclomatiques Attention : La troisième est dépendante des deux autres

16 Analyse cinématique Mise en équations cinématiques I C : Nombre d inconnus cinématiques, c est le nombre total de paramètres de liaisons I C ik i k i nombre de liaison de classe C i i E C : Nombre d équations cinématiques reliant les paramètres, c est le nombre d équations scalaires issues de la fermeture des chaînes cinématiques E C dµ d( N L NC +) d6 pour un problème spatial, d3 pour un problème plan

17 Analyse cinématique Dans chaque chaîne cinématique fermée, on peut écrire : Après projection de toutes les équations, on obtient un système linéaire avec un second membre nul { } { } { } { } { } { } ) (.../... /...) ( ) / ( ou ) / ( i j j i i i V V V V linéaire avec un second membre nul Indice de mobilité colonnes lignes C C I E C C m E I i Mobilité ( C ) C E rang I m

18 Analyse cinématique exemple C 2 C 4 C 3 C N L 4 N C 4 µ I C 4x4 E C 3x3 i m 4-3

19 Analyse cinématique exemple α β γ Ces trois équations sont indépendantes rang(ec) 3 (sauf configurations singulières) rang(e c ) inf(e c,i c ) m4-3 λ cos cos sin sin λ β γ α β α β α & & & & l l l l m4-3 On peut choisir un paramètre et exprimer les autres en fonction de celui-ci

20 Analyse cinématique exemple β γ α & & & l l Configurations singulières : l 2 l 3 l, αβπ/ λ β & & La dernière équation est redondante, donc le rang du système d équation est égale à 2, et la mobilité devient égale à 2. Ces 2 mobilités correspondent à celle de la manivelle et du piston qui sont complètement indépendants dans cette configuration

21 Analyse cinématique : exemple 2 Ces 2 mécanismes ont la même topologie (même graphe) et même indice de mobilité : i m (6x)-3x(6-5+) Rang(E c )6 4 3 La seule solution du système d équation est la solution nulle m Rang(E c )5 m Il existe une mobilité dans cet assemblage Cependant il existe une contrainte entre les 3 longueurs des barres pour qu il fonctionne correctement, c est de l hyperstatisme

22 Approche cinématique : degré d hyperstatisme On définit également le degré d hyperstatisme h E c rang( E c ) C est le nombre de contraintes géométriques à respecter pour le garantir le bon fonctionnement du mécanisme m i m + h

23 Analyse statique I s : nombre d inconnues statiques, c est le nombre de composantes d effort dans les liaisons I s i ( d i) ki E s : Nombre d équations statiques, c est le nombre d équations d équilibre On montre que : E s E c d( N ) ( d i) ki ( ki Nc + ) Donc la mobilité générale est égale à : i m s I E s s d( N I c I c ik i E s ) d c I c E c

24 Analyse statique : hyperstatisme La résolution du système d'équations doit prendre en compte son rang, noté Rang[E S ] (rang[e S ] min(i s, E S ) ) Dans le cas où Rang[E s ]I s, la seule solution du système homogène associé est la nullité de toutes les inconnues, donc de tous les paramètres d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons. Un mécanisme est dit isostatique si, en l'absence d'actions mécaniques extérieures, toutes les inconnues d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons sont nulles. Un mécanisme est dit hyperstatique si, en l'absence d'actions mécaniques extérieures, il existe des inconnues d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons sont nulles, dans les faits indéterminées. Le degré d hyperstatisme est défini par h I s rang( E s )

25 Analyse statique : mise en équation Second membre dépend des efforts extérieurs : pesanteur, actionneur, inertie m E rang( E s s ) h I rang( E s s )

26 Analyse statique : exemple C Actions de liaison appliquées A 2 α α B Y A Y C X C -Y C -XC 2 Y B X B X A Mise en équations statiques : Equations d équilibre l sinα l sinα X Y l cosαx Y X l cosα Y A B C C A B i m 6-6 rang(e s )6 (sauf configurations singulières) m6-6 h6-6 Structure isostatique

27 Analyse statique : exemple 2 A B C Equations d équilibre : Configuration particulière : α C C B B A A Y X Y X Y X l l Equations d équilibre : i m rang(e s )5 m Il existe une mobilité! h6-5 équations identiques

28 Résumé Approche cinématique Approche statique Nbre de corps (bâti compris) Nbre de liaisons N C N L Nbre de cyclomatiques µn L -N C + Nbre d équations E c dµ E s d(nc-) Nbre d inconnus I c i k i I s (d-i) k i Indice de mobilité i m I c -E c i m E s -I s Mobilité d un mécanisme mi c -rang(e c ) me s -rang(e s ) Hyperstatisme he c -rang(e c ) hi s -rang(e s ) Relation entre ces indices i m m-h i m m-h d6 (pb spatial) et d3 (pb plan)

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