Mathématique - Cours Filière STAV Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge

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1 Mathématique - Cours Filière STAV Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : Rappels collège/seconde Partie STAV 1/3 Partie STAV 2/3 Partie STAV 3/3

2 Sommaire Fonctions réelles Graphe d une fonction Modélisation Fonctions de références Équations et Inéquations Équations du type f(x)=g(x) Équations du second degré Résolution algébrique Résolution graphique Factorisation Inéquations Équation polynomiale Suites Suites arithmétiques Suites géométrique Somme des termes d une suite Dérivation et nombre dérivé Limite d une fonction en zéro Notion de tangente Dérivabilité et nombre dérivé Nombres dérivés et Fonctions dérivées Tableau de variation Statistiques Variables quantitative : les indicateurs Variables quantitatives discrètes Variables quantitatives continues Probabilités Combinatoire limite et asymptotes Opérations sur les limites Exponentielle et logarithme Intégration et primitive tableau de contingence et probabilité conditionelle Loi normale : une variable continue Prise de décision et estimation

3 Référentiel Objectif : Mobiliser des concepts et des raisonnements mathématiques pour résoudre des problèmes dans des champs d application divers Outre l apport de nouvelles connaissances, la formation vise le développement des compétences suivantes : mettre en œuvre une recherche de façon autonome, mener des raisonnements, avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus, communiquer à l écrit et à l oral. L utilisation des calculatrices graphiques et de l outil informatique est une obligation dans la formation. Ces outils permettent d une part d expérimenter, de conjecturer, de construire et d interpréter des graphiques, et d autre part d alléger ou d automatiser certains calculs numériques et algébriques. En seconde générale et technologique, les élèves ont conçu et mis en œuvre des algorithmes. Cette formation se poursuit tout au long du cycle terminal. 1. Traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets a) Résoudre un problème concret dont la situation est modélisée par une suite arithmétique ou géométrique b) Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème c) Utiliser la représentation graphique de fonctions pour contrôler des résultats, conjecturer des propriétés de la fonction, résoudre des équations et des inéquations d) S approprier la notion de nombre dérivé en un point (limite du taux de variation, coefficient directeur de la tangente) et utiliser la dérivation pour étudier (variations, recherche d extremum) des fonctions du type : x ax 2 + bx + c x x x ax + b + c x + d x ax 3 + bx 2 + cx + d x ax + b cx + d e) Déterminer la limite d une fonction simple et interpréter graphiquement une limite en termes d asymptote f) Déterminer les primitives d une fonction simple g) Connaître et utiliser les variations, les limites et la représentation graphique des fonctions logarithme népérien et exponentielle h) Appliquer les propriétés algébriques et analytiques de ces deux fonctions i) Résoudre une inéquation d inconnue n entier naturel, de la forme q n a ou q n a où q et a sont deux nombres réels strictement positifs donnés j) Étudier et représenter des fonctions du type : x ln ax + b x exp ax + b k) Déterminer une géométriquement dans le cas d une fonction positive 2. Utiliser des techniques d organisation de données et de dénombrement, et approfondir l étude de phénomènes aléatoires a) Interpréter des indicateurs de tendance centrale (mode, moyenne et médiane) et de dispersion (étendue, écart-type et écart interquartile) pour des séries statistiques à une variable b) Analyser des tableaux de contingence pour deux variables statistiques qualitatives (degré de dépendance) c) Décrire quelques expériences aléatoires simples et utiliser des techniques de dénombrement pour calculer des probabilités (arbres, tableaux, diagrammes, combinaisons) d) Déterminer la probabilité conditionnelle d un événement par rapport à un événement de probabilité non nulle e) S approprier la notion de variable aléatoire discrète ; déterminer sur des exemples simples la loi de probabilité associée et l espérance mathématique f) Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale et calculer, dans ce cadre, des probabilités g) S approprier la notion de variable aléatoire distribuée suivant une loi normale et calculer des probabilités dans ce cadre, la calculatrice ou un tableur étant des outils à utiliser h) Compléter la problématique de la prise de décision et de l estimation Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 3/25

4 Cours- Filière STAV Fonctions réelles Acquis : Fonctions : Image, antécédent, courbe représentative. Fonctions affines : équation de droite, représentation graphique d une fonction affine Étude qualitative de fonctions : fonction croissante/décroissante, maximum/minimum sur un intervalle Fonctions de référence : fonctions linéaires et fonctions affines, variation de la fonction carré et de la fonction inverse. Étude de fonctions : fonctions polynômes de degré 2, fonction homographiques Graphe d une fonction Définition (Ensemble de définition) L ensemble de définition d une fonction f est l ensemble des nombres réels qui ont une image par la fonction f. Définition (Domaine d étude) Le domaine d étude d une fonction f est la partie du domaine de définition sur laquelle la fonction f doit être étudiée. Définition (Graphe d une fonction) Le graphe d une fonction f dans le plan muni d un repère est composé de tous les points dont l abscisse est un nombre du domaine d étude de la fonction et dont l ordonnée est l image de cette abscisse par la fonction f. Remarque Toute courbe n est pas le graphe d une fonction. Un nombre x du domaine de définition ne peut avoir, au plus, qu une seule image par la fonction f. Ici trois points de la courbe Θ ont pour abscisse 0: Modélisation Définition Modéliser mathématiquement un problème permet de construire une représentation du phénomène puis d apporter, le cas échéant, une solution au problème. Modéliser un phénomène par une fonction mathématique ne se traduit pas toujours par l usage d une expression algébrique de cette fonction. Une fonction peut aussi être abordée par sa réalité graphique, numérique, géométrique, informatique ou verbale. L outil utilisé pour construire le modèle d un phénomène est déterminant pour le sens de la solution proposée. Le choix de l outil est déterminant dans l expression même de la solution. Ici la courbe C (n) représente le coup d un produit, la courbe R(n) son prix de vente et la courbe B (n) les bénéfices engendrés. On peut voir que le bénéfice est maximal en n = 5 et qu après n = 9 l entreprise est en déficit. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 4/25

5 Fonctions de références Définition (second degré) Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur R par f (x) = ax 2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a 0 Propriété (1) Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que f (x) = ax 2 + bx + c, alors f admet un extremum pour x = b 2a Propriété (2) Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que f (x) = ax 2 + bx + c : Si a est positif, f est d abord décroissante, puis croissante ( l extremum est un minimum) Si a est négatif, f est d abord croissante, puis décroissante ( l extremum est un maximum) Propriété (3) L équation f (x) = 0 à une, deux ou aucune solution. (cf. équations du second degré). Définition (homographique) Les fonctions homographiques (ou fonctions inverses) sont du type : f (x) = ax + b cx + d où a,b,c,d sont des nombres réels et c 0 et ad bc 0 Propriété Les fonctions homographiques sont définies sur l ensemble des nombres réels { D f = R d } c ] D f = ; d [ ] dc [ c ;+ Le point d intersection de la courbe avec l axe des abscisses correspond à la solution de l équation f (x) = 0. Un quotient est nul si son numérateur (nominateur) est égal à 0 : ax + b = 0 donc x = b a Si a = 0 et b 0, l équation f (x) = 0 n admet aucune solution. Le point d intersection de la courbe avec l axe des ordonnées est défini par le quotient b d. En effet, il est caractérisé par une abscisse égale à 0, et donc l ordonnée de ce point sera toujours égale à f (0). Or : f (0) = a 0 + b c 0 + d = b d Remarque : Si d = 0 alors il n existe pas de point d intersection entre la courbe et l axe des ordonnées. La fonction a = 7, b = 1, c = 1, et d = 0 f (x) = 1 x 7 = 1 7x x 0 D f = R {0} Point d intersection de la courbe avec l axe des abscisses : x = b a = 1 7 = 1 7 Point d intersection de la courbe avec l axe des ordonnées : d = 0 donc il n y en a pas. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 5/25

6 Définition (cubique) Les fonctions du troisième degré (fonctions cubiques, fonctions polynomiales de degré 3) sont définies sur R et sont du type : f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d où a,b,c,d sont des nombres réels et a 0 Propriété La courbe peut avoir 1, 2 ou 3 points d intersection avec l axe des abscisses, elle en possède toujours au moins 1 Le point d intersection de la courbe avec l axe des ordonnées est défini par d. En effet, il est caractérisé par une abscisse égale à 0, et donc l ordonnée de ce point sera toujours égale à f (0). Or : f (0) = a b c 0 + d = d La fonction n a pas de maximum ou minimum absolu ( maximum/minimum local) La fonction f (x) = x 3 La fonction f (x) = x3 + 2x 2 3x Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 6/25

7 Équations et Inéquations Acquis : Équations : Résolution graphique et algébrique d équations du premier degré Mise en équation d un problème du premier degré Résolution d une équation se ramenant au premier degré Encadrement de la racine d une équation grâce à un algorithme de dichotomie Inéquations : Modélisation d un problème par une inéquations du premier degré Résolution graphique des inéquations de la forme : f (x) < k; f (x) < g (x) Équations du type f(x)=g(x) Définition Résoudre une équation du type f (x) = g (x) revient à définir le ou les points d intersection des courbes représentatives des fonctions f et g ou à résoudre une équation du premier degré(cf. seconde). On peut voir sur le graphique que la solution de l équation f (x) = g (x) est le point d intersection des deux courbes. On peut lire graphiquement que l abscisse et l ordonnée du point [1;2]. Algébriquement ( on retrouve le point de coordonnées 12 7 ; 11 ) comme solution. 7 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 7/25

8 Équations du second degré Une équation du second degré a pour forme générale : ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Les solutions, si elle existent, sont les abscisses les points d intersection de la parabole P d équation y = ax 2 + bx + c et l axe (ox) d équation y = 0 Résolution algébrique Définition Pour résoudre l équation ax 2 + bx + c = 0 (avec a 0) : 1. On calcul le nombre = b 2 4ac. Ce nombre est appelé discriminant de l équation. Trois cas sont possible : a) si < 0, l équation n a pas de solution b) si = 0 l équation a une solution unique : x 0 = b 2a c) si > 0 l équation a deux solutions distinctes : x 1 = b 2a x 2 = b + 2a Résoudre : 3x 2 + 5x 5 = 0 Résoudre : 4x 2 4x + 1 = 0 Résoudre : 2x 2 5x 3 = 0 1. Identification : a = 3, b = 5 et c = 5 2. Calcul de : = b 2 4ac = ( 3) ( 5) = 35 D où = 35 < 0, donc l équation n a pas de solution. 1. Identification : a = 4, b = 4 et c = 1 2. Calcul de : = b 2 4ac = ( 4) = 0 D où = 0, donc l équation a une solution. 3. Calcul de la solution : x 0 = b 2a = ( 4) 2 4 = La solution de l équation est Identification : a = 2, b = 5 et c = 3 2. Calcul de : = b 2 4ac = ( 5) ( 3) = 49 D où = 49 > 0, donc l équation a deux solutions. 3. Calcul des solutions : x 1 = b 2a x 2 = b + 2a = ( 5) = ( 5) Les solutions de l équation sont 1 2 et 3 = = = 1 2 = 12 4 = 3 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 8/25

9 Résolution graphique 1. La parabole (P) coupe l axe des abscisses (ox) en deux points A et B : Les deux solutions distinctes sont les abscisses des points d intersection de (ox) et P. L équation x 2 + x 6 = 0 a) On trace la parabole P d équation y = x 2 + x 6 b) On lit sur l axe (ox) d équation y = 0 c) Les points d intersection A et B ont pour coordonnées respectives ( 3,0) et (2,0) Les abscisses x A = 3 et x B = 2 sont solutions de l équation x 2 + x 6 = 0. Vérification : ( 3) 2 + ( 3) 6 = 0 et = 0 2. L axe (ox) est tangent à la parabole (P) au point I : La solution est l abscisse du point de tangence de la droite à la parabole. L équation x 2 4x + 4 = 0 a) On trace la parabole P d équation y = x 2 4x + 4 b) On lit sur l axe (ox) d équation y = 0 c) Le point d intersection I a pour coordonnées (2, 0) L abscisse x I = 2 est solutions de l équation x 2 4x + 4 = 0. Vérification : = 0 3. L axe (ox) ne coupe pas la parabole (P) : L équation n a pas de solution dans ce cas. L équation x 2 x 2 = 0 a) On trace la parabole P d équation y = x 2 x 2 b) On lit sur l axe (ox) d équation y = 0 c) On ne trouve aucun point commun In n existe donc pas de réel x pour lequel x 2 x 2 = 0. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 9/25

10 Factorisation 1. si > 0 le polynôme ax 2 + bx + c a deux racines x 1 et x 2 et il se factorise comme suit : ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) 2. si = 0, ax 2 + bx + c admet une seule racine x 0 telle que : ax 2 + bx + c = a(x x 0 ) 2 3. si < 0, ax 2 + bx + c n a pas de racine, il ne peut être factorisé. Remarque : Dans le cas où l équation à résoudre peut se mettre immédiatement sous forme de produit de facteur, on n utilise pas la méthode du discriminant. Il sera plus rapide de factoriser l équation. Inéquations Objectif : trouver le signe du trinôme ax 2 + bx + c avec a 0 1. Cas où > 0 on a le schéma suivant : Résoudre : 3x 2 9x = 0 3x 2 9x = 0 3x(x 3) = 0 3x = 0 x = 0 ou x 3 = 0 x = 3 D où les solutions x 1 = 0 et x 2 = 3 x x 1 x 2 + Signe de ax 2 + bx + c Signe de a 0 Signe de a 0 Signe de a Signe de a pour x ] ; x 1 [ ]x 2 ;+ [ et Signe de a pour x ]x 1 ; x 2 [ 2. Cas où = 0 ou < 0 : dans ce cas le polynôme ax 2 + bx + c est toujours du signe de a Équation polynomiale Définition Le degré d un équation polynomiale correspond au degré de la puissance de l inconnue. Pour tous a,b,c,d, a n R et n N 1 er degré : ax + b = 0, a 0, une seule solution 2 ème degré : ax 2 + bx + c = 0, a 0, zéro, une ou deux solutions 3 ème degré : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, a 0, zéro, une, deux ou trois solutions n ième degré : a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 zéro à n solutions Graphiquement, les solutions sont les points d intersections de la courbes avec l axe des abscisses. Remarque Graphiquement se sont des solutions approchées que l on peut trouver. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 10/25

11 Suites Acquis : Les nombres entiers (N = {0,1,2,3,...,n,n + 1,...}) Définition Une suite réelle est une fonction dans l ensemble des entiers naturels N, dans l ensemble des nombres réels R. C est un outil qui permet de modéliser des phénomènes dénombrables. Soit u une suite, l image d un nombre entier n par la suite u se note : (u n ). La suite u se note (u n ) n N ou (u n ). Une suite (u n ) peut être définie de deux façons 1. explicite : directement en fonction de n : u n = f (n) 2. par récurrence : la suite possède un premier terme, u 0 ou u 1 (en général), et le terme u n est défini en fonction du terme précédent u n 1 Définition Une suite (u n ) est croissante si pour tout entier n, u n u n+1. Une suite (u n ) est décroissante si pour tout entier n, u n u n+1. Remarques : Une suite croissante ou une suite décroissante sont dites monotones. Il existe des suites ni croissantes, ni décroissantes. La suite (u n ) définie par u n = ( 1) n est une suite ni croissante, ni décroissante. Méthode Pour étudier le sens de variation d une suite (u n ), on étudie le signe de la différence u n+1 u n. Si tous les u n sont strictement positifs, on compare u n+1 u n et 1. Théorème Soit (u n ) une suite définie par u n = f (n), avec f définie sur [0;+ [ Si f est strictement croissante, alors (u n ) est strictement croissante. Si f est strictement décroissante, alors (u n ) est strictement décroissante. Ce théorème ne s applique pas si la suite (u n ) est définie par récurrence (u n+1 = f (u n )). Les variations de la fonction f et de la suite (u n ) ne sont pas toujours les mêmes. Suites arithmétiques Définition Une suite (u n ) est arithmétique s il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n : u n+1 = u n + r, r est appelé raison de la suite. Théorème Si (u n ) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p, on a : u n = u 0 + n r et u n = u p + (n p)r Propriété Soit (u n ) n N une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r : La suite (u n ) est croissante si la raison est positive La suite (u n ) est décroissante si la raison est négative Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 11/25

12 Suites géométrique q, u 0 R + Définition Une suite (u n ) est dite géométrique s il existe un nombre réel q tel que : n N,u n+1 = u n q q est appelé raison de la suite. Dans ce cas : u n+1 = q le rapport de termes consécutifs de la suite (u n ) est toujours un nombre contant n u n Propriété Soit u 0 et q, deux nombres réels. Soit (u n ) n N la suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q. Pour tout entier naturel n, il est possible de définir la suite (u n ) de deux façons : 1. forme directe : u n = u 0 q n 2. forme récurrente : u n+1 = u n q si le premier terme est u 1 alors la forme directe est :u n = u 1 q n 1 tous les termes de la suite (u n ) sont des nombres réels strictement positifs La suite (u n ) est croissante si la raison est 1 La suite (u n ) est décroissante si la raison [0;1[ La suite (u n ) est constante si la raison est égale à 1 Somme des termes d une suite Définition Soit (u n ) n N une suite réelle de premier terme u 0. La somme des premiers termes de la suite s écrit : u 0 + u 1 + u u n 1 + u n = n u p p=0 1. Dans le cas d une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r : n u p = (n + 1) (u 0 + u n ) 2 2. Dans le cas d une suite arithmétique de premier terme u 1 et de raison r : p=0 n u p = n (u 1 + u n ) 2 p=0 Cas général : n u p = (nombre de termes) (1er terme + dernier terme) 2 p=0 3. Dans le cas d une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q : n u p = u 0 1 qn+1 1 q p=0 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 12/25

13 Dérivation et nombre dérivé limite d une fonction en zéro, notion de tangente, dérivabilité et nombr edérivé, fct dérivé Acquis : Caractéristiques des fonctions réelles Étude graphique d une fonction réelle Étude numérique d une fonction réelle Limite d une fonction en zéro Propriété (infinie) Soit f une fonction réelle. Si pour tout nombre possible N aussi grand que l on veut, il est toujours possible de trouver une valeur positive de x proche de zéro telle que : f (x) > N, alors on dit que la limite de la fonction f en zéro est égale à l infini positif. On le note : lim f (x) = + x 0 + x 0 + signifie que les valeurs de x sont positives et aussi proche de zéro que l on veut. x 0 signifie que les valeurs de x sont négatives et aussi proche de zéro que l on veut. L écriture des limites permet de noter symboliquement ce qu il n est pas toujours possible de calculer explicitement ou de lire graphiquement 1 lim x 0 + x = + lim 1 x 0 x = Propriété (finie) Soit f une fonction réelle, définie par une expression unique et sur un intervalle contenant le nombre réel zéro alors : lim f (x) = f (0) x 0 x 0 signifie que l on choisit des valeurs de x infiniment proches de zéro autant de façon positive que négative. exemple du parking : dès que tu rentres tu payes 1 e lim x 0 x2 = ( 0) 2 = (+0) 2 = 0 2 = 0 = f (0) Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 13/25

14 Notion de tangente Définition (pente d une droite) Soit d une droite, A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points de cette droite, distincts l un de l autre. La pente p de cette droite est égale à : p = y A y B = y B y A = y x A x B x B x A x Une pente de 1 ou 100% signifie que l on monte autant qu on avance. Une pente de 2 ou 200% signifie que l on monte deux fois plus que l on avance. Une pente de -0,5 ou 50% signifie que l on descend deux fois plus que l on avance. Si l équation de la droite d s exprime sous la forme y = ax + b, alors a est la pente de la droite d. Définition (Tangente en un point d un cercle) La tangente à un cercle de centre A et de rayon AB en un point B est la droite qui passe par ce point B est qui est perpendiculaire à la droite passant par ce point B et le centre A du cercle. autour du point B, le cercle et la tangente se confondent Définition (Tangente en un point d une courbe) Comme pour la tangente en un point d un cercle, la tangente à la courbe d une fonction réelle en un point est une droite de plus en plus proche de la courbe de la fonction au fur et à mesure que l on zoome sur le point où a été tracée la tangente. En ce point, et uniquement en ce point précis, la tangente et la courbe se confondent. Remarque Une courbe est constitué d une infinité de points distincts, il existe donc une infinité de tangentes à une courbe donnée. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 14/25

15 Dérivabilité et nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et x 0, x 1 deux nombres de cet intervalle. Définition (Taux d accroissement) La pente de la droite (M 1 M 0 ) passant par les deux points M 1 (x 1 ; f (x 1 )) et M 0 (x 0 ; f (x 0 )) est : f (x 1 ) f (x 0 ) x 1 x 0 = y x Ce nombre correspond au taux d accroissement de la fonction f entre les nombres x 1 et x 0. Posons : h = x 1 x 0 Alors x 1 = h + x 0, Donc : f (x 1 ) f (x 0 ) = f (h + x 0) f (x 0 ) x 1 x 0 h Remarque Il y a équivalence de dire que le nombre x 1 tend vers le nombre x 0 et de dire que le nombre h tend vers zéro. (x 1 x 0 ) (h 0) Définition (Nombre dérivé) Le nombre dérivé de la fonction f en x 0 est le nombre, noté f (x 0 ), qui est défini par la limite suivante, si elle existe : f (x 1 ) f (x 0 ) f (h + x 0 ) f (x 0 ) lim = lim = f (x 0 ) x 1 x 0 x 1 x 0 h 0 h Remarque Cette limite correspond à la pente, ou au coefficient directeur, de la tangente à la courbe au point d abscisse x 0. Définition (équation de tangente) L équation de la tangente à la courbe f au point M 0 (x 0 ; f (x 0 )) est donc : y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). Soit : y = f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) La courbe C f représente la fonction f (x) = x 2 4x La dérivée de la fonction f est f (x) = 2x 4 L équation de la tangente au point B d abscisse 4 est donc : t(x) = f ( 4)(x ( 4)) + f ( 4) t(x) = [ 2 ( 4) 4)](x + 4) + [ ( 4) 2 4 ( 4)] t(x) = [8 4](x + 4) + [ ] t(x) = 4(x + 4) = 4x + 16 La courbe C t1 représente la tangente pour x = 4. L équation de la tangente au point d abscisse 2 est donc : t(x) = f ( 2)(x ( 2)) + f ( 2) t(x) = [ 2 ( 2) 4)](x + 2) + [ ( 2) 2 4 ( 2)] t(x) = [4 4](x + 2) + [ 4 + 8] t(x) = 0(x + 2) + 4 = 4 La courbe C t2 représente la tangente pour x = 2. Définition (dérivabilité) Une fonction f est dérivable en x 0 si le nombre f (x 0 ) existe. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 15/25

16 Nombres dérivés et Fonctions dérivées Définition On définit une fonction f sur un intervalle I On appelle fonction dérivée de f notée f la fonction qui associe, à toute valeur x de l intervalle I, le nombre dérivée de f en x. Si f (x) = Domaine de dérivabilité Alors f (x) = 1 k, k R R 0 2 kx, k R R k 3 x 2 R 2x 4 x 3 R 3x 2 5 x n R nx n x R 1 x 2 7 x R + =]0;+ [ 1 2 x 8 u(x) + v(x) D u D v u (x) + v (x) 9 k u(x), k R D u k u (x) 10 u(x) v(x) D u D v u (x)v(x) + v (x)u(x) 11 1 D 1/u u (x) u(x) u 2 (x) 12 u(x) D u D v u (x)v(x) v (x)u(x) v(x) v 2 (x) 12 ax + b D f ad bc (cx + d) 2 f (x) = x x x + 2 : 1. ensemble de définition : R = R\{0} 2. dérivons chaque membre : g (x) = x 2 g (x) = 2x d après (3) h(x) = 1 x h (x) = 1 x 2 d après (6) i(x) = x i (x) = 1 d après (2) j (x) = 2 j (x) = 0 d après (1) Or f (x) = g (x)+h (x)+i (x)+ j (x) d après (8) D où f (x) = 2x 1 x = 1 x 2 + 2x 1 Tableau de variation Considérons une fonction f, définie et dérivable sur un intervalle I. Pour toute valeur de x appartenant à I : Si f (x) = 0, alors f est constante sur I Si f (x) > 0, alors f est croissante sur I Si f (x) < 0, alors f est décroissante sur I Si, pour une valeur x 0 de x I, on a f (x 0 ) = 0 avec changement de signe, alors la fonction f passe par un extremum (minimum ou maximum) égal à f (x 0 ). x x 0 + f (x) Variations de f f (x 0 ) x x 0 + f (x) Variations f (x 0 ) de f Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 16/25

17 Statistiques Acquis : Médiane, quartiles, moyenne, effectifs cumulés, fréquence cumulées Série statistique (représentation graphique) Échantillonage (notions fluctuation d échantillonage, d intervalle de fluctuation et d intervalle de confiance) Variables quantitative : les indicateurs Variables quantitatives discrètes Valeurs x i x 1 x 2 x 3... x p 1 x p Effectifs n i n 1 n 2 n 3... n p 1 n p Définition (Moyenne) La moyenne d une variable quantitative discrète est i=p où N = n i = n 1 + n n p i=1 x = i=p i=1 n i x i n 1 x 1 + n 2 x n p x p = N n i Les masses des Total poires (x i ) Effectifs n i Produit (x i n i ) Moyenne 103,83g Variables quantitatives continues i=p i=1 Classe [a i ; a i+1 [ [a 1 ; a 2 [ [a 2 ; a 3 [ [a 3 ; a 4 [... [a p 2 ; a p 1 [ [a p 1 ; a p [ Valeurs a i + a i+1 x i = x 1 x 2 x 3... x p 1 x p 2 Effectifs n i n 1 n 2 n 3... n p 1 n p Les masses des [101 ;103[ [101 ;103[ [101 ;103[ Total poires (x i ) Effectifs n i Valeurs x i Produit (x i n i ) Moyenne 104,25g Les masses des [101 ;102[ [102 ;103[ [103 ;104[ [104 ;105[ [105 ;106[ [106 ;107[ Total poires (x i ) Effectifs n i Valeurs x i 101,5 102,5 103,5 104,5 105,5 106,5 Produit (x i n i ) , , Moyenne 104,33g Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 17/25

18 Probabilités modèle probabiliste proba d un événement variable aléatoire discrete de loi discrète : la loi binomiale espérance d une variable aléatoire Définition (arbre de probabilités) Dans un arbre de probabilités, ou arbre pondéré, chaque embranchement représente une possibilité. On reporte sur chaque branche la probabilité correspondante. On lance trois fois la même pièce de monnaie parfaitement équilibrée. On note X la variable aléatoire égale au nombre de «PILE» obtenus sur trois lancers. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 18/25

19 Combinatoire Définition (permutations) Dans un ensemble contenant n éléments il y a n! permutations possibles. Rappel : n! = (n 2) (n 1) n et 0! = 1 La permutation sans répétition répond à la question suivante : Dans un ensemble contenant n éléments différents, comment puis-je ranger tous les éléments de cet ensemble sans répétition? Définition (Arrangement sans répétition) On considère un ensemble de n éléments. On choisit successivement et sans remise avec k n. Le nombre de possibilités est noté A k n = n! (n k)! k éléments parmi cet ensemble On a n = [a;b;c;d] billes dans un sac. L expérience de tirer successivement 3 billes dans le sac, sans remise, est modélisé ainsi (cf. arbre). On peut voir qu il y a 24 arrangement possible. A k n = n! (n k)! Ici n = 4 et k = 3 A 3 4 = 4! (4 3)! = = 24 (1)! 1 = 24 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 19/25

20 limite et asymptotes Opérations sur les limites 1. Somme : f l l + + g l ± + f + g l + l ± + forme indéterminée 2. Produit : f l l 0 0 g l f g l l forme règle des signes indéterminée règle des signes 3. Quotient : f l l 0 l g l l f l ± forme 0 forme g l (à gauche/à droite) indéterminée règle des signes indéterminée Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 20/25

21 Exponentielle et logarithme Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 21/25

22 Intégration et primitive Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 22/25

23 tableau de contingence et probabilité conditionelle Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 23/25

24 Loi normale : une variable continue Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 24/25

25 Prise de décision et estimation Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 25/25