I) Le temps des matrices. A- A propos des matrices. Quang-Thai NGO Ch 01. Difficulté ** Importance **** Objectifs

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1 Ch01 : Matrice Les matrices ont été introduites récemment au programme des lycées. Il s agit d outils puissants au service de la résolution de problèmes spécifiques à nos classes, en particulier les problèmes de modélisation et d évolution. Fondamentalement, les matrices sont des tableaux à deux dimensions sur lesquels on peut définir toutes les opérations classiques : somme, produit et produit avec un réel. Ce thème est propice à la mise en place d algorithmes. Difficulté ** Importance **** Objectifs Vocabulaire : matrice carrée, matrice ligne, matrice colonne Opérations sur les matrices : addition, produit Matrice inverse d une matrice carrée I) Le temps des matrices A- A propos des matrices Activité 1: Trois personnes placent leur argent le 31 décembre 014 dans deux banques. John place : 3000 à la Caisse d Epargne 800 à la Banque Postale Philippe place : 1000 à la Caisse d Epargne 1500 à la Banque Postale Éric place : 500 à la Caisse d Epargne 000 à la Banque Postale 1 ) Par facilité de visualisation, présenter ces informations dans un tableau à double entrée. Y a-t-il un seul tableau possible? ) Recopier le tableau choisi en supprimant les intitulés et en mettant le tout entre crochets. On obtient une matrice. Donner le nombre de lignes et de colonnes. Indiquer le nombre situé à l intersection de la première ligne et de la deuxième colonne de cette matrice et en donner une signification concrète. 3 ) Dans chacune des banques, le taux d intérêt annuel est de 3%. Représenter la situation au 1 er janvier 015 dans une nouvelle matrice. 4 ) Les conjoints de chacune des personnes précédentes placent également leur argent dans les mêmes banques avec les mêmes conditions. La matrice B donne les sommes placées dans chaque banque et par chaque conjoint : B = ( ) Représenter les sommes placées au 31 décembre 014 par chaque ménage. Une matrice de taille m n est un tableau de nombres formé de m lignes et n colonnes. Une telle matrice s'écrit sous la forme : a 11 a 1n A = ( ) = (a ij ) a mn a mn Les nombres a ij sont appelés les coefficients de la matrice A se trouvant à la i-ième ligne et j-ième colonne. Mnémotechnique : Dans le coefficient a ij, i représente une ligne et j une colonne. Un moyen de retenir est de penser au Président américain : Lincoln (ligne - colonne). Exemple 1: A = ( 5 4 ) est une matrice de taille Exemple : Il existe divers formats de matrices. En voici quelques spécimens! Les vecteurs colonnes ou les matrice colonnes de dimension n sont des matrices de dimension n 1 : 3

2 a 1 a ( ) a n Souvent, c'est par une matrice colonne que l'on représente les coordonnées d'un vecteur dans le plan, dans l'espace et même ailleurs. Les vecteurs lignes de dimension n sont des matrices de dimension 1 n. Elles comportent donc une ligne et n colonnes. Elles sont de la forme (a 1 a n ). Là encore, c'et souvent par une matrice ligne que l'on représente les coordonnées d'un point ou d'un vecteur dans le plan ou l'espace. Une matrice de taille n n est appelée une matrice carrée. Exemple 3: B = ( 1 3 ) est une matrice carrée de taille. 7 Parmi les matrices carrées d'ordre 3, il en est deux assez particulières : 0 0 La première est la matrice nulle. Tous ses coefficients sont nuls. Il s'agit de ( ) 0 0 La matrice identité, tous ses coefficients sont nuls sauf ceux de sa diagonale qui sont égaux à 1 : 1 0 ( ) 0 1 Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont la même taille et ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions. B- Opérations sur les matrices Maintenant que nous avons une idée de ce que sont les matrices, nous allons pouvoir les opérer. Sortez les bistouris! Soit A et B deux matrices de même taille et λ un nombre réel. La somme A + B est la matrice dont les coefficients sont obtenus par addition à chaque position deux à deux des coefficients de A et B. λ A est la matrice dont les coefficients sont obtenus en multipliant tous les termes de A par λ. Remarque : Cette définition montre qu'il n'est possible d'additionner que des matrices de même taille. Exemple 4 : A = ( ) et B = (1 ), alors A + B = ( ) = (3 7 6 ) 3 B = ( ) = ( ), Soit A, B et C trois matrices carrées de même taille, λ et λ deux réels. On a les propriétés suivantes : - Commutativité : A + B = B + A - Associativité : (A + B) + C = A + (B + C) - Distributivité : λ(a + B) = λa + λb (λ + λ )A = λa + λ A (λ(λ A) = (λλ )A (λa)b = A(λB) = λ(a B) Dire que A est l'opposé de B signifie que A + B = 0. Exemple 5 : Résoudre 3. [X ( )] + (0 ) = 5. X + ( ) 4

3 On considère une matrice A de taille (m, n) et une matrice B de taille (n, p). Le produit AB est égal à la matrice C de taille (m, p) telle que le terme de position (i, j) de C est égal à la somme des produits de la i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B. Ce schéma résume concrètement les opérations à faire : Remarque : A l'école primaire, vous avez appris à poser vos multiplications. Une astuce similaire existe pour 1 le produit matriciel : par exemple multiplions les matrice A = ( 0) et B = ( on écrit ces deux matrices dans un tableau : le premier sur la gauche et le second sur le haut nde matrice 1 ). Pour ce faire, ère matrice = 4 1 ( ) + 1 = = = 1-0 ( ) = 4 ( ) ( ) = 4 ( ) = 6 ( ) = = 5 1 ( ) = = = 1 Matrice produit Cette disposition présente l avantage d identifier aisément la ligne et la colonne à multiplier, ce qui réduit les 1 risques d erreurs : ( 0) ( ) = ( ) Remarque : AB n existe pas forcément! Pour pourvoir définir la multiplication AB, le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B. Ainsi pour A = ( ) et = (3 ), il est possible de définir AB mais pas BA! En effet : 4 nde matrice - 1 ère matrice ? 1 - Pas de matrice produit Soit A, B et C trois matrices carrées de même taille et un réel k. a) Associativité : (A B) C = A (B C) = A B C b) Distributivité : A (B + C) = A B + A C et (A + B) C = A C + B C c) (ka)b = A(kB) = k(a B) Remarque : La multiplication de matrices n'est pas commutative : A B B A. Prenez A = (1 ) et B = ( 1 5 ). 5

4 Méthode : Matrice et calculatrice Il est possible d entrer une matrice dans la calculatrice, d affiche son terme et de mener des opérations sur les matrices. Par exemple, on peut entrer la matrice A = ( 3 3 ) TI Casio Accéder au menu Matrices Choisir la matrice A Indiquer les dimensions de la matrice Entrer les termes de la matrice Revenir à l écran de calcul Rappeler la matrice à l écran Rappeler un terme de la matrice L ajout de Frac permet l affichage des éléments sous forme fractionnaire C- Matrice inverse d une matrice carrée Comme pour les nombres réels, il est possible de définir l inverse d une matrice. Mais comme le produit matriciel n est pas commutatif, on doit parler de produit à gauche et produit à droit. On dit qu une matrice carrée A d ordre n est inversible lorsqu il existe une matrice carrée B telle que AB = BA = I n La matrice B est appelée la matrice inverse de A, on la note A 1. Remarque : Lorsqu elle existe, la matrice inverse est unique et on a AA 1 = A 1 A = I n 6

5 Méthode : Comment déterminer l inverse d une matrice? On souhaite calculer l inverse de la matrice A = ( 0 1 ). 1 ) On peut utiliser la calculatrice : pour ce faire, on saisit avec une TI On obtient : ) On peut aussi utiliser la méthode du pivot de Gauss : ( ) ( ) L 1 L ( ) L 1 L 1 L ( ) L 1 L La matrice inverse est donnée à gauche : ( ). La matrice carrée A = ( a b ) d ordre est inversible ssi son déterminant det(a) = ad bc est non nul. c d Si tel est le cas, on a : A 1 = 1 ( d b ad bc c a ). Méthode : Inverse d une matrice d ordre Prenons comme exemple A = ( ). 1 ) Calcul du déterminant On a : det(a) = 3 7 = = 1. A est donc inversible. 5 ) Application de la formule On obtient : A 1 = 1 ( d b ad bc c a ) = ( ). Vérification : AA 1 = ( ) ( ) = ( ). II) Applications A- Résolution de système d équations à deux inconnues x 3y = 7 On considère le système (S) suivant : { x + 5y = 3 On pose : A = ( ), X = (x y ) et B = ( 7 3 ). x 3y On a alors : AX = ( ) et ainsi, le système peut s'écrire AX = B. x + 5y Soit A une matrice carrée inversible, alors le système d équations AX = B admet une unique solution : X = A 1 B Méthode : Comment résoudre un système d équations à l aide d une matrice inversible? x 3y = 7 Résoudre le système (S) suivant : { x + 5y = 3 En posant : A = ( ), X = (x 7 y ) et B = ( ), on obtient : AX = B. 3 7

6 1 ) Calcul de l inverse de A : a- det(a) = 5 1 ( 3) = b- A 1 = 1 ( ) = ( ) ) Solution D où x = et y = 1. X = ( x y ) = A 1 B = ( ) ( 7 3 ) = ( 1 ) B- Matrice de Léontief Le modèle de Léontief est un modèle économique permettant de prévoir l influence des changements dans un secteur d activité ou le changement de consommation sur le reste de l économie. Cette modélisation économique a été développée par Wassily Leontief (prix Nobel d économie 1973). Considérons un pays virtuel, sans échange extérieur, où l économie très simplifiée se compose de n secteurs. Chaque secteur consomme des productions des autres secteurs et, éventuellement, une partie de sa propre production : ce sont les consommations intermédiaires. Le reste correspond à la consommation finale (ou demande). On appelle - coefficient technique le rapport entre la consommation intermédiaire d un produit par une branche et la production totale de la branche - la matrice technologique C, la matrice des coefficients techniques (c est une matrice carrée d ordre n). La relation "production = consommations intermédiaires + consommation finale" se traduit par la relation matricielle suivante : P = CP + F qui s écrit aussi P CP = F, d où P(I n C) = F. On appelle la matrice de Leontief la matrice L = I n C. Si elle est inversible, la matrice production P est telle que P = L 1 F. Exemple 6 : Soit un pays fictif sans échanges extérieures, dont l économie se décompose en deux branches : l agriculture et l industrie L agriculture : la production est de répartie en consommation intermédiaires consommés par l industrie (industrie agro-alimentaire, ) consommés par l agriculture elle-même (engrais verts, ). Le reste en consommation finale, soit , disponible pour satisfaire les besoins de la population. L industrie : la production est de répartie en consommations intermédiaires consommés par l agriculture (engrais chimique, énergie, machines, ) consommés par l industrie elle-même (énergie, machine, ) Le reste en consommation finale, soit , disponible pour satisfaire les besoins de la population. Donnons un tableau entrées-sorties pour deux secteurs (agriculture et industrie). Ce tableau décrit et synthétise les opérations en branche d activité : Consommation intermédiaire Consommation finale Production S 1 S total Agriculture S Industrie S La matrice des coefficients technologiques est donnée par : C = = ( ,1 0,4 ) = ( ,06 0, ) ( ) La matrice de Leontief est définie par : L = I C = ( 1 0 0,1 0,4 0,9 0,6 ) ( ) = ( 0 1 0,06 0, 0,94 0,78 ) L 1 0, ,47393 = ( 0,745 0,7109 ) 8