Correction du contrôle commun n o de mathématiques I 7 points Pour chacune des propositions ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.. Si une fonction f quelconque définie surrvérifie f (0)< f (), alors f est une fonction croissante surr. FAUX : on peut avoir une fonction définie surravec f (0)=et f ()=avec f non croisante surr. Par exemple, une fonction dont le tableau de variation est : x 0 + f (x). Si la moyenne de quatre notes est égale à alors la moitié de ces notes est inférieure ou égale à. FAUX : la moyenne n est pas toujours égale à la moyenne. Exemple : on considère la série ; 6 ; 6 ; 6. La moyenne est, car +6+6+6 =, mais la 4 médiane est 6 (moyenne entre la deuxième et la troisième valeur), donc la moitié de ces valeurs n est pas inférieure ou égale à. 3. Pour tout réel x, la fonction définie par f (x) = x + 4 est positive. FAUX : exemle : f ( )= 6<0 4. La droite d équation y = x 0 coupe l axe des abscisses. VRAI : on résout l équation x 0=0 et on trouve x = 0. La droite coupe l axe des abscisses au point de coordonnés ( 0 ; 0). Soit g une fonction dont le tableau de variations est le suivant :. Alors, on peut en déduire que g ( 8) < g (). x 40 4 0 0 g (x) 30 FAUX : -8 et appartiennent à [)4 ; ], intervalle sur le quel la fonction est décroissante; g renverse l ordre. Comme 8 <, on a g ( 8) > g (). 6. Alors, on peut en déduire que g ( 30) > g (0). VRAI : 30 appartient à l intervalle [ 40 ; 4] et sur cet intervalle, on a g (x) (car est le minimum de g sur cet intervalle). De même, 0 appartient à l intervalle [ ; 0] et g (x) sur cet intervalle; on en déduit que g (0) < g ( 30) donc g ( 30)> g (0). 7. Alors, on peut en déduire que g (4) g (30). VRAI : 4 et 30 appartiennent tous deux à l intervalle [ ; 0] sur lequel la fonction g est croissante; comme 4 < 30, alors g (4) < g (30). Page /6
II 3 points L algorithme suivant donne le résultat d un examen en fonction de deux notes N et N entrées par l utilisateur : : Entrées : N, N : Sorties : Aucune 3 : Lire N 4 : Lire N : N + N M 6 : Si M 0 ALORS 7 : AFFICHER «L examen est réussi!» 8 : Finsi 9 : Si M < 0 ALORS 0 : AFFICHER «L examen est échoué!» : Finsi. Si l utilisateur choisit N = et N = 7, l algorithme calcule M = N + N = > 0 donc l algorithme affiche «l examen est réussi».. M représente la moyenne des nombres N et N. 3. Algorithme modifié : : Entrées : N, N : Sorties : Aucune 3 : Lire N 4 : Lire N : N + N M 6 : Si M 0 ALORS 7 : Si M ALORS 8 : AFFICHER «L examen est réussi avec mention» 9 : SINON AFFICHER «L examen est réussi!» 0 : Finsi : SINON AFFICHER «L examen est échoué!» : Finsi Page /6
III, points Un directeur de supermarché décide d étudier le temps d attente aux caisses. Pour cela, il note le lundi et le vendredi les temps d attente en minutes, de clients. A. Étude de l échantillon du lundi Le lundi, il obtient la répartition suivante : Effectifs 3 0 9 8 7 6 4 3 0 9 8 7 6 4 3. Tableau complété : Temps d attente au supermarché 3 4 6 7 8 9 0 Temps d attente (en min) 3 4 6 7 8 9 0 Effectif 4 3 3 9 4 8 4 E.C.C. 4 7 0 9 73 8 93 97 98. Le temps moyen d attente aux caisses du supermarché pour cet échantillon est x = (4)+(3)+ +(0) = 408 = 4,08. Le temps d attente moyen est 4,08 min, soit 4 min + 0,0860 s d où 4 min 4,8 s. 3. L effectif total vaut N = qui est pair ; la médiane est alors : Me = x 0+ x = 3+4 = 3,. N 4 = donc le premier quartile est Q = x =. 3N 4 = 7 donc le troisième quartile est Q 3= x 7 = 6. 3 pt 9 4. Le nombre de clients attendant 7 minutes ou plus est 8 = 9 ; = 9 %> %. Le directeur adjoint doit ouvrir une nouvelle caisse. B. Étude de l échantillon du vendredi Le vendredi, il obtient la répartition suivante : Temps d attente en caisse [0 ;[ [ ;4[ [4 ;6[ [6 ;8[ [8 ;0[ [0 ;] Effectif 7 8 6 Fréquence 0,0 0, 0,7 0,8 0,6 0, Fréquence cumulée croissante (FCC) 0,0 0,7 0,4 0,7 0,88. Le temps d attente moyen est ()+ +() Page 3/6 = 608 = 6,08 min = 6 min 4,8 s.
. 0 9 90 8 80 7 70 6 60 0 4 40 3 30 0 0 0 0 3 3,84,66 7 88,3 9 0 3. On regarde les points de la courbe des fréquences cumulées croissantes ayant pour ordonnées, 0 et 7. Graphiquement, on trouve Q 3,8, Me =,6 et Q 3 = 8,3. C. Comparaison des deux échantillons Les clients qualifient de tolérable un temps d attente compris entre et 6 minutes inclus. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse :. «Le vendredi, au moins un quart des clients attendent au plus trois minutes en caisse». FAUX : : Q 3,8 donc au moins un quart des clients attendent au plus 3,8 minutes en caisse.. «Il y a autant de clients qui trouvent le temps d attente acceptable le lundi que le vendredi». FAUX : : le lundi, il y a 67 clients qui attendent entre et 6 minutes (donc un temps acceptable) et le vendredi, il y en a 49., pt Page 4/6
IV 0 points Les questions suivantes sont indépendantes.. Déterminer l équation réduite de chacune des droites représentées dans le repère ci-dessous : D 3 D 4 3 D 6 4 3 3 4 6 D 4 3 4 Pour D ; l ordonnée à l origine est - ; on lit le coefficient directeur qui est donc son équation est y = x Pour D : l ordonnée à l origine est et le coefficient directeur 3 donc son équation est y = 3 x+. D 3 est parallèle à l axe des abscisses, donc son coefficient directeur est 0 ; son ordonnée à l origine est 4, donc son équation est : y = 4. D 4 est parallèle à l axe des ordonnées donc son équation est x= 3. 3 pt. Soit (d) la droite d équation y = 3x 4. (a) 3x A 4=3 3 4= 4= 3= y A donc A appartient à (d). (b) 3( 0) 4= 30 4= 34 y B donc B n appartient pas à (d). 3. Soient A( ; 3), B( ; ) et C (4 ; 3). (a) x A = x B donc la droite (AB) est parallèle à l axe des ordonnées; son équation est x =. (b) x A x C donc (AC) est sécante à laxe des ordonnées; son équation réduite est du type y = ax+ b. Le coefficient directeur est a= y C y A = 3 3 x C x A 4 = 0 =. L équation est y = x+ b. A appartient à cette droite donc ses coordonnées vérifient cette équation; On en déduit : y A = x + b d où 3=+b donc 3=0+b ; on en déduit b= 7. (AC) a pour équation y = x 7. 4. Le coefficient directeur de (d) est 3, celui de (d ) est ; les deux droites n ont pas le même coefficient directeur, donc elles ne sont pas parallèles. 3 pt 3 pt Page /6
V 8, points Les questions suivantes sont indépendantes.. Parmi les fonctions suivantes, préciser lesquelles sont affines. Justifier soigneusement. f : x +x ; f est affine car +x= ax+ b avec a= et b=. g : x 3x ; g n est pas affine car 3x, est pas de la forme ax+ b. h : x x+ ; h est affine car x+ = ax+ b avec a= et b=. i : x x + ; i n est pas affine car + n est pas de la forme ax+ b ou l ensemble de x définition de i n est pasr.. Soit f : x x+ 8 (a) Le coefficient directeur de f est - qui est négatif, donc la fonction est décroissante; f (x)=0 pour x= 8. Le tableau de variation est : (b) Tableau de signes de f : x f (x) 8 0 x 8 + f (x) + 0 3. (a) Déterminer l expression de la fonction affine f telle que f (0) = et f ( ) =. f ( ) f (0) f (x)=ax+ b ; le coefficient directeur est a= = = 3 donc ( ) 0 f (x)=3x+ b. f (0)= donne b= d où f (x)=3x+. + (b) Déterminer l expression de la fonction linéaire g telle que g ( 3) = 7. g (x)=mx ; g ( 3)=7 donc 3m= 7 d où m= 7 3 = 7 3 donc g (x)= 7 3 x. (c) Soit h une fonction affine telle que h( )= et h()=4. Déterminer h(3). h est affine donc h(x)= ax+ b. a= h() h( ) = 4 ( ) = 3 donc a= 3. ( ) 3 h(x)=3x+ b ; h()=4 donne 6+b= 4 donc b= 4 6= d où h(x)=3x. On en déduit que h(3)=33 =7 donc h(3)=7., pt, pt pt 0, pt pt Page 6/6