Chapitre 2 Valeurs moyenne et efficace de signaux périodiques Capacités exigibles : Définir la valeur efficace pour un signal sinusoïdal Énoncer qu un signal périodique peut-être décomposé comme la somme d une composante continue et d une composante alternative. Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace dans le cas de signaux de formes simples. Mesurer une valeur moyenne, une valeur efficace. Dans ce chapitre, on utilise la représentation graphique temporelle d un signal (en général, une tension électrique périodique, de motif quelconque afin de calculer sa valeur moyenne et sa valeur efficace. v Formules pour calculer des aires : Pour un rectangle : L l Pour un triangle : h B Rappel du chapitre 1 : Pour une tension périodique et de motif particulier (carré, sinusoïdal ou triangulaire, on détermine sa valeur moyenne notée U #$%, noté aussi u, dont l unité est le volt de symbole V, grâce à la formule suivante : u = U #* + U #,- 2 Cette formule est fausse pour les signaux rectangulaires ou encore pour d autres signaux au motif quelconque. Lorsque la valeur moyenne d un signal est nulle, on dit que le signal est alternatif. Définition : On dit qu une grandeur est algébrique si 1
I. Valeur moyenne d un signal périodique : Afin de comprendre les notions abordées dans cette partie du cours, visionner la vidéo : «Comment déterminer la valeur moyenne d un signal périodique?» A. Comment mesurer la valeur moyenne d une tension périodique? v A retenir : La valeur moyenne d une tension périodique peut-être mesurée à l aide d un voltmètre en mode B. Comment peut-on décomposer un signal périodique? v A retenir : En d autres termes, tout signal périodique est la somme : d un signal continu, égal à la valeur moyenne de ce signal périodique. d un signal de valeur moyenne nulle (signal alternatif, constitué du même motif que le signal périodique. On note u t et u 45 t mais pour la composante continue u (sans la présence de t. En effet, la composante continue, comme son nom l indique, a une valeur constante au cours du temps. Elle ne dépend donc pas de t. On peut toutefois la noter aussi u(t. C. Comment déterminer graphiquement la valeur moyenne d un signal périodique? v Définition : Soit u t un signal périodique, de période T. On note u(t ou u, sa valeur moyenne définie par : Le symbole est celui de l intégrale, une opération mathématique. Cette intégrale s effectue sur le signal u t sur un intervalle de temps égal à une période T. L origine t 9 est choisie arbitrairement. Par exemple, si on choisit t 9 = 0s, on intègre alors de 0 à T. 2
v Interprétation graphique de l intégrale : L intégrale suivante y f x dx représente l aire algébrique présente entre la courbe et l axe des abscisses : A B y A H a b x a b x L aire hachurée A B est positive. Elle a pour valeur f x dx : A B = f x dx, avec A B > 0 L aire hachurée A H est négative. Elle a pour valeur f x dx : A H = f x dx, avec A H < 0 5 J KL u t dt correspond à l aire algébrique, notée A 5 5$54M, située entre la courbe représentant u t et l axe J des abscisses, pour un motif. v Ce qu il faut retenir : Soit u t un signal périodique, de période T. On note u(t ou u, sa valeur moyenne définie par : u = 1 T A 5$54M u : valeur moyenne du signal, en volt (V T: période du signal, en seconde (s A 5$54M : aire algébrique située entre la courbe représentant u t et l axe des abscisses pour un motif, en V. s v Méthode générale (à connaitre : Si le signal est constitué d un motif quelconque, il faut : Repérer un motif de la courbe et mesurer la période T Calculer l aire totale notée A 5$54M présente entre la courbe et l axe des abscisses : une surface située au dessus de l axe des abscisses a une aire positive (A B et une surface située en dessous de l axe des abscisses a une aire négative (A H. Calculer enfin, en volt : En déduire A 5$54M = A B + A H u = 1 T A 5$54M 3
II. Valeur efficace d un signal périodique : Afin de comprendre les notions abordées dans cette partie du cours, visionner la vidéo : «Comment déterminer la valeur efficace d un signal périodique?» A. Intérêt physique de cette grandeur : Soit un conducteur ohmique de résistance R, soumis à ses bornes à une tension sinusoïdale alternative. Ce type de signaux ont une valeur moyenne nulle : cependant ils sont capables de transmettre de l énergie aux dipôles. La puissance instantanée reçue par le conducteur ohmique est : La puissance moyenne reçue par un conducteur ohmique, en convention récepteur, est définie ainsi : P(t = u(t i(t Pour un conducteur ohmique, on obtient : On observe donc que la puissance moyenne reçue par un conducteur ohmique est liée à la grandeur u H Il faut donc définir la moyenne quadratique du signal, c est-à-dire la valeur moyenne de u H (t. Si u t est périodique de période T, alors u H (t l est aussi (à admettre. u H a pour unité V H (volt au carré, ce qui n est donc pas l unité d une tension. Il faut donc prendre la racine carrée de la valeur moyenne, du signal au carré, afin d obtenir une valeur ayant pour unité le volt. B. Définition de la valeur efficace : (Root Mean Square en anglais v A connaître par cœur : En notation avec l intégrale : U MYY = 1 5 J KL T uh t dt 5 J 5 J KL u H t dt correspond donc à l aire (algébrique, notée A 5 5$54M, située entre la courbe représentant J u H t et l axe des abscisses, pour un motif. 4
v Ce qu il faut retenir : Soit u t un signal périodique, de période T. On note U MYY, sa valeur efficace définie par : U MYY = 1 T A 5$54M U MYY : valeur efficace du signal, en volt (V T: période du signal, en seconde (s A 5$54M : aire algébrique située entre la courbe représentant u 2 t et l axe des abscisses pour un motif, en V H. s Le signal u(t étant élevé au carré, toutes les valeurs en ordonnées le sont : elles sont donc toutes positives. On en conclut que l aire A 5$54M est positive. C. Comment déterminer la valeur efficace de signaux rectangulaires? v Méthode à appliquer en cas de signaux rectangulaires (à connaitre : Pour déterminer la valeur efficace d un signal périodique à partir d un graphe représentant u t, il faut : Repérer un motif de la courbe u t et mesurer la période T Tracer sur votre copie, le motif de la courbe représentant le signal au carré, notée u H t Calculer l aire totale notée A 5$54M présente entre la courbe et l axe des abscisses, pour le motif tracé. Calculer enfin, en volt : U MYY = 1 T A 5$54M D. Comment mesurer la valeur efficace d une tension périodique? v A retenir : La valeur efficace U MYY d une tension périodique peut-être mesurée à l aide d un voltmètre en mode La valeur efficace de la composante alternative U 45,MYY d une tension périodique peut-être mesurée à l aide d un voltmètre en mode 5
E. Comment déterminer la valeur efficace de signaux sinusoïdaux? v Signal sinusoïdal alternatif : Dans la suite de l année, nous allons souvent étudier les signaux sinusoïdaux alternatifs (qui sont les «briques élémentaires» des autres signaux. Pour une tension sinusoïdale alternative, on peut déterminer la valeur efficace de cette tension à partir de son amplitude grâce à la formule suivante : U MYY : tension efficace dont l unité est le volt, noté V U MYY = 1 2 U # ou encore U MYY = U # 2 U # : amplitude de la tension dont l unité est le volt, noté V Si vous avez à votre disposition un graphe d un signal sinusoïdal alternatif, il ne faut donc pas utiliser la méthode vue précédemment dans le paragraphe D. v Signal sinusoïdal : La valeur efficace U MYY de la tension sinusoïdale u t peut se calculer ainsi : U 45,MYY : valeur efficace de la composante alternative du signal, U 45,MYY = _` H F. Comment déterminer la valeur efficace de signaux triangulaires? v Signal triangulaire alternatif : Pour une tension triangulaire alternative, on peut déterminer la valeur efficace de cette tension à partir de son amplitude grâce à la formule suivante : U MYY : tension efficace dont l unité est le volt, noté V U MYY = 1 3 U # ou encore U MYY = U # 3 U # : amplitude de la tension dont l unité est le volt, noté V Si vous avez à votre disposition un graphe d un signal triangulaire alternatif, il ne faut donc pas utiliser la méthode vue précédemment dans le paragraphe D. v Signal triangulaire : La valeur efficace U MYY de la tension triangulaire u t peut se calculer ainsi : U MYY = u H + (U 45,MYY H 6
U 45,MYY : valeur efficace de la composante alternative du signal, U 45,MYY = _` b G. Comment déterminer la valeur efficace de signaux carrés? v Signal carré alternatif : Pour une tension carrée alternative, on peut déterminer la valeur efficace de cette tension à partir de son amplitude grâce à la formule suivante : U MYY : tension efficace dont l unité est le volt, noté V U MYY = U # U # : amplitude de la tension dont l unité est le volt, noté V Si vous avez à votre disposition un graphe d un signal carré alternatif, vous pouvez aussi utiliser la méthode vue précédemment dans le paragraphe D (mais ce sera une perte de temps!. v Signal carré : La valeur efficace U MYY de la tension carrée u t peut se calculer ainsi : U MYY = u H + (U 45,MYY H U 45,MYY : valeur efficace de la composante alternative du signal, U 45,MYY = U # Si vous avez à votre disposition un graphe d un signal carré, vous pouvez aussi utiliser la méthode vue précédemment dans le paragraphe D (mais ce sera une perte de temps!. v Comparaison de la valeur efficace d un signal périodique : Afin de vérifier la cohérence de votre calcul de valeur efficace d un signal périodique, vous pouvez retenir cette comparaison : v Pour résumer : mesures au voltmètre Un voltmètre en mode permet de mesurer la valeur moyenne u du signal périodique. Un voltmètre en mode permet de mesurer la valeur efficace U MYY du signal périodique u t. Un voltmètre en mode permet de mesurer la valeur efficace de la composante alternative U 45,MYY du signal périodique u 45 t. 7
Ce qu il faut savoir / savoir-faire : Savoir qu un signal périodique est la somme d une composante continue et d une composante alternative périodique. Connaître les méthodes de mesures expérimentales d une valeur moyenne et d une valeur efficace. Connaitre la formule u = B L A 5$54M Connaître la définition de la valeur efficace d un signal périodique. Connaitre la formule U MYY = B L A 5$54M Connaitre les formules de U MYY pour le signal sinusoïdal alternatif et triangulaire alternatif. Connaitre la formule de U MYY pour le signal sinusoïdal et triangulaire. Ce qu il faut savoir-faire : Savoir mesurer une valeur moyenne et d une valeur efficace d une tension périodique avec un multimètre. Savoir mesurer la valeur efficace de la composante alternative d une tension périodique avec un multimètre. Savoir déterminer la valeur moyenne d un signal périodique quelconque à l aide d une représentation du signal au cours du temps. Savoir déterminer la valeur efficace d un signal périodique à l aide d une représentation du signal au cours du temps. Savoir calculer la valeur efficace d un signal sinusoïdal alternatif ou et triangulaire alternatif. Savoir calculer la valeur efficace d un signal sinusoïdal ou et triangulaire. 8