Terminale 6 S Vendredi décembre 017. Devoir de Mathématiques n 3 (4 heures). Calculatrice autorisée. Exercice 1 : Pour tous (4 points) 1) Les sons purs sont caractérisés par une fonction sinusoïdale. L enregistrement du son émis par un diapason donne la courbe suivante : a) Quelle est la période du son émis? b) Sachant que la fréquence du son est F = 1 avec T en secondes, F en Hz, retrouver la fréquence du la3 émis T par le diapason. ) Un son complexe est, d un point de vue mathématique, une somme de sons purs. Tracer, sur la feuille annexe, à rendre avec la copie, les courbes représentant les fonctions u 1 et u en fonction du temps t (en s) définies pour tout t [0 ; + [ par : u 1 (t) = 5 sin (00πt) et u (t) = 4 sin(400πt). 3) Tracer la courbe représentant la fonction f définie pour tout t [0 ; + [ par : f(t) = u 1 (t) + u (t) 4) a) La fonction f semble-t-elle sinusoïdale? b) La fonction f semble-t-elle périodique? c) Vérifier que f(t + 0,01) = f(t) pour tout t [0 ; + [. d) Conclure. 1/6
Exercice : Pour tous (6 points) La fonction f est définie sur [0 ; + [ par : f(t) = (0t + 10)e 1 t. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. 1) Etablir la limite de f en +. ) Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations. 3) a) Monter que l équation f(x) = 10 admet une unique solution α sur ]0 ; + [. b) Donner une valeur approchée à 10 3 près de α. 4) La courbe représentant f a été tracée sur une calculatrice : Fenêtre Représentation graphique On admet que f(t) représente la température en degrés Celsius, d une certaine réaction chimique à l instant t, t étant exprimé en heures. Au bout de combien de temps la température redescend-elle à sa température initiale? (arrondir à la minute). 5) a) On mesure la température de la réaction tous les quarts d heure. Ecrire un algorithme qui détermine le plus petit entier naturel n tel que cette différence, en valeur absolue, de température sur l intervalle de temps [n 1 ; (n + 1) 1 ] soit inférieure à 0,1 C. 4 4 b) Donner la valeur de n affichée par l algorithme. A quelle durée de réaction chimique cela correspond-il? /6
Exercice 3 : Pour tous (5 points) La fonction f est continue et strictement croissante sur R avec f(1) < 0 et f() > 0. L équation f(x) = 0 admet donc une unique solution α dans [1 ; ]. On construit deux suites (a n ) et (b n ) telles que : a 0 = 1 et b 0 = et, pour tout n N, si f(a n ) f ( a n + b n ) < 0, alors a n+1 = a n et b n+1 = a n + b n sinon, a n+1 = a n + b n et b n+1 = b n. Par construction, 1 a n α b n pour tout n N. 1) a) Montrer que (b n a n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Déterminer l expression de b n a n en fonction de n et sa limite quand n tend vers +. ) a) Montrer que la suite (a n ) est croissante et qu elle converge. Soit l sa limite. b) Montrer de même que (b n ) converge. Soit l sa limite. c) Montrer que l α, α l et l l = 0. d) Qu en déduit-on pour les suites (a n ) et (b n )? 3) a) Ecrire un algorithme qui demande une amplitude e > 0 et affiche un encadrement de α d amplitude e. b) Justifier que cet algorithme s arrête bien pour toute valeur de e strictement positive. 3/6
Exercice 4 : A faire uniquement par les élèves qui ne suivent pas la spécialité math Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 3, u 1 = 6 et, pour tout entier naturel n : (5 points) u n+ = 5 4 u n+1 1 4 u n. Le but de cet exercice est d étudier la limite éventuelle de la suite (u n ). Partie A : On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite (u n ) à l aide d un tableur. On a reproduit ci-dessous une partie d une feuille de calcul, où figurent les valeurs de u 0 et de u 1. A 1 n u n 0 3 3 1 6 4 5 3 6 4 7 5 B 1) Donner une formule qui, saisie dans la cellule B4, puis recopiée vers le bas, permet d obtenir des valeurs de la suite (u n ) dans la colonne B. ) Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à 10 3 près de u n pour n allant de à 5. 3) Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite (u n )? Partie B : Etude de la suite On considère les suites (v n ) et (w n ) définies pour tout entier naturel n par : 1) a) Démontrer que la suite (v n ) est constante. b) En déduire que, pour tout entier naturel n, v n = u n+1 1 4 u n et w n = u n 7. u n+1 = 1 4 u n + 1 4. ) a) En utilisant le résultat de la question 1. b., montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, b) En déduire que la suite (u n ) est convergente. u n < u n+1 < 15. 3) a) Démonter que (w n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) En déduire que, pour tout entier naturel n, c) Calculer la limite de la suite (u n ). u n = 7 ( 1 4 ) n 1. 4/6
Exercice 4 bis : A faire uniquement par les élèves qui suivent la spécialité math (5 points) Dans un territoire donné, on s intéresse à l évolution couplée de deux espèces : les buses (les prédateurs) et les campagnols (les proies). Des scientifiques modélisent, pour tout entier naturel n, cette évolution par : b 0 = 1000 c { 0 = 1500 b n+1 = 0,3 b n + 0,5 c n c n+1 = 0,5 b n + 1,3 c n où b n représente approximativement le nombre de buses et c n le nombre approximatif de campagnols le 1 er juin de l année 000 + n (où n désigne un entier naturel). 0,3 0,5 1) On note A la matrice ( 0,5 1,3 ) et, pour tout entier naturel n, U n la matrice colonne ( b n a) Vérifier que U 1 = ( 1050 1450 ) et calculer U. b) Vérifier que, pour tout entier naturel n, U n+1 = A U n. On donne les matrices P = ( 1 0 0,5 0 ), T = (0,8 ) et I = (1 1 1 0 0,8 0 1 ). ) On admet que P a pour inverse une matrice Q de la forme ( 1 0 ) où a est un réel. a 1 a) Déterminer la valeur de a en justifiant. b) On admet que A n = PT n Q. Démonter à l aide d un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : T n = ( 0,8n 0,5n 0,8 n 1 0 0,8 n ). 3) Lucie exécute l algorithme ci-dessous et admet en sortie N = 40. Quelle conclusion Lucie peut-elle énoncer pour les buses et les campagnols? N prend la valeur 0 B prend la valeur 1000 C prend la valeur 1500 Tant que B > ou C > N prend la valeur N + 1 R prend la valeur B B prend la valeur 0,3R + 0,5C C prend la valeur 0,5R + 1,3C Fin Tant que Afficher N cn ). 4) On admet que, pour tout entier naturel n non nul on a 1000 0,8 n + 65 n 0,8n U n = ( 1500 0,8 n + 65 ) n 0,8n a) En déduire les limites des suites (b n ) et (c n ). b) Des mesures effectuées sur le terrain montrent que la population de campagnols reste toujours supérieure à au moins 50 individus. A la lumière de ces informations, le modèle proposé dans l exercice vous parait-il cohérent? 5/6
Annexe de l exercice 1 A rendre avec la copie NOM : Prénom :. 6/6