Repérage dans l espace

GÉOMÉTRIE Repérage dans l espace 10 Les savoir-faire du chapitre 230. Choisir une décomposition pertinente pour un problème d alignement ou de coplanarité. 231. Utiliser les coordonnées pour la colinéarité, l alignement ou la décomposition de vecteurs. 232. Déterminer et utiliser la représentation paramétrique d une droite ou un plan. Le problème de Nabolos Un ornithologue se situe à l origine O d un repère (O; i, j, k ).Il observe les mouvements d un martinpêcheur depuis les berges d un lac modélisé par le plan (O; i, j ). Le lac est donc inclus dans ce plan. L oiseau repère sa proie dans l eau ou aux abords du lac, puis effectue toujours le même vol rectiligne pour s en saisir. L ornithologue mesure la vitesse de l oiseau en fonction des conditions atmosphériques. Quelques instants après son envol, le martin-pêcheur vole à une vitesse constante. Le vecteur V a pour coordonnées(10; 12; 15), chaque valeur étant exprimée en m.s 1. 1) Le martin-pêcheur part de l arbuste A( 2; 1; 3) qui abrite son nid et repère dans sa ligne de mire une grenouille sur un nénuphar. Sa trajectoire est définie par le vecteur AM = t V où t est en secondes. a) Aura-t-il atteint la surface du lac en un dixième de seconde? On peut exprimer chaque coordonnée du point représentant l oiseau en fonction de t. b) Au bout de combien de temps, l oiseau atteindra-t-il le batracien? c) A cet instant fatal, où, sur le lac, se trouve exactement la grenouille? 2) Au même moment, une libellule attire l attention d un autre martin-pêcheur qui passe près du roseau R( 2; 2, 5; 2). Cet oiseau vole de manière rectiligne, à une vitesse supposée constante ; les coordonnées du vecteur vitesse sont (20; 10; 10), chaque valeur étant exprimée en m.s 1. Les deux oiseaux vont-ils se percuter? 83

Vecteurs 1 ABCDEFGH est un cube et I est le milieu de[ab]. H G Pour les exercices?? à??, ABCDEFGH est un cube et I ; J ; K et L les milieux respectifs de[bc],[gh],[ad] et [EH]. E L + H J + F G E D F C A K + D +I B C A Compléter les égalités vectorielles suivantes 1) AI+ CD CI = F... 2) AH+ CD FG = B... 3) FD+ CB+ DG =... 2 Avec la même figure + I 1) Exprimer le vecteur FI en fonction des vecteurs AB et AE. 2) O étant le centre du cube, exprimer le vecteur AO en fonction des vecteurs AB, AD et AE. 3 Dans un repère (O ; i, j, k) de l espace, on considère les points A( 3 ; 2 ; 4) ; B( 1 ; 1 ; 0) et C(2 ; 3 ; 5). 1) Donner les coordonnées des vecteurs AB ; AC et BC. 2) Donner les coordonnées des vecteurs u = 2AB AC et v = AC+3BC. 4 Dans un repère(o ; i, j, k) de l espace, on considère les points A(2 ; 5 ; 1) ; B(0 ; 3 ; 4) et le vecteur u (2 ; 1 ; 4). 1) Déterminer les coordonnées du point C défini par AC = u 2) Déterminer les coordonnées du vecteur AB puis celles du point D tel que ABDC soit un parallélogramme. 3) Déterminer les coordonnées du centre K de ce parallélogramme. B 5 Compléter les égalités vectorielles suivantes 1) A... = 1 BC 2 2) KJ = AE+ 1 E... 2 3) AK+ EF = A... 6 Compléter les égalités vectorielles suivantes 1)... = 1 AC 2 2) L... = EA+ FE+ AI 3) A... = GJ+ 3 AK+ AB+ JL 7 Dans chacun des cas suivants, les vecteurs sont-ils coplanaires? Le justifier. 1) AG, DH et EG ; 2) AB, BD et BF ; 3) AG, BG et HG ; 4) HF, DC et AD. 8 Le point M est défini par EM = 2 EF 1) En fonction des vecteurs AB, AD et AE exprimer les vecteurs suivants EM ; HC ; BD ; BJ ; KM et MJ. 2) Les droites(bk) et (MJ) sont-elles parallèles? Le démontrer en utilisant la question précédente. 3) Que peut-on en déduire concernant les points B, K, M et J? 9 On considère les points M et N définis par 1 1 2 AM = AB+ AD+ AE 3 3 3 et 2 2 AN = AB+ BF+ FG. 3 3 1) Construire la figure. 2) Démontrer que les points C, E et M sont alignés. 3) Démontrer que les points E, F, H et N sont coplanaires. 84 Chapitre G10. Repérage dans l espace

10 Répondre par vrai ou faux en justifiant 1) Les vecteurs HI, AB et DH sont coplanaires. 2) Les vecteurs HG, KB et LE sont coplanaires. 3) Les vecteurs HJ, AB et DH sont coplanaires. 11 ABCDEFGH est un cube. On considère le point K défini par HK = 5 4 HF et M un point du segment[bf]. 1) Que peut-on dire des points D, M, K et H? 2) Montrer qu il existe un unique réel t [0; 1] tel que BM = t BF. 3) Montrer que si t = 4, les points D, M et K sont alors 5 alignés. 12 Dans un repère (O ; i, j, k) de l espace, on considère les points A( 3 ; 2 ; 4) ; B( 1 ; 1 ; 0) et C(2 ; 3 ; 5). Déterminer les coordonnées des points M, N et P définis par 1) AM = 2 BC BA 2) NB = 4 CA 3 BC 3) 2 PA 3 PB+ PC = 0 13 Dans un repère (O ; i, j, k) de l espace, on considère les points A( 4 ; 2 ; 3), B(1 ; 5 ; 2), C(0 ; 5 ; 4) et D( 6 ; 1 ; 2). 1) Démontrer que AD = 2 AB 3 AC. 2) Que peut-on en déduire concernant les points A, B, C et D? 14 Dans un repère (O ; i, j, k) de l espace, on considère les points A(0 ; 3 ; 1), B(2 ; 2 ; 0), C(4 ; 1 ; 5) et D(2 ; 21 ; 12). 1) Montrer que les points A, B et C définissent un plan. 2) Le point D appartient-il à ce plan? 15 Dans un repère(o ; i, j, k) de l espace,on considère les points A(1 ; 1 ; 1), B(5 ; 0 ; 3), C(2 ; 2 ; 2) et D(0 ; 5 ; 2). 1) Montrer que les points A, B et C définissent un plan. 2) Le point D appartient-il à ce plan? 16 On reprend l énoncé de l exercice 42 en se plaçant dans le repère(a ; AB, AD, AE). 1) Écrire les coordonnées des points de la figure. On écrira les coordonnées de M en fonction de t. 2) Démontrer à l aide des coordonnées que D, M et I sont alignés si et seulement si t = 4 5. Représentations paramétriques Dans toute cette partie, on munit l espace d un repère (O ; i, j, k). 17 On considère les points A( 3 ; 2 ; 4) et B( 1 ; 1 ; 0). Écrire une représentation paramétrique de la droite(ab). 18 Soit la droite de représentation paramétrique x = 1 4t y = 3+ t z = 1 t 1) Donner un vecteur directeur de la droite et un point de. 2) Le point M( 3 ; 4 ; 1) appartient-il à la droite? 3) Donner les coordonnées de trois points de la droite. 4) Déterminer une autre représentation paramétrique de. 19 Soit la droite de représentation paramétrique x = t 2 y = 4 z = 2t 1 1) Donner un vecteur directeur de la droite et un point de. 2) Le point M( 3 ; 4 ; 3) appartient-il à la droite? 3) Donner les coordonnées de trois points de. 4) Déterminer une autre représentation paramétrique de la droite. 20 Soient A( 4 ; 1 ; 2) et B( 1 ; 2 ; 5). Donner une représentation paramétrique de chacun des objets géométriques suivants 1) La droite(ab) ; 2) Le segment[ab] ; 3) La demi-droite[ab). 21 Donner une représentation paramétrique de 1) La droite(o ; i ) ; 2) La droite(o ; j ) ; 3) La droite(o ; k ). Chapitre G10. Repérage dans l espace 85

22 On considère les points A( 3 ; 2 ; 4), B( 1 ; 1 ; 0) et C( 5 ; 4 ; 6). Vérifier que A, B et C définissent un plan et écrire une représentation paramétrique du plan (ABC). 23 Soit le plan de représentation paramétrique x = 3 t+5t y = 1+t t R, t R z = 5t+3t 1) Donner les coordonnées d un couple de vecteurs directeurs de et un point de. 2) Le point M(6 ; 2 ; 6) appartient-il à? 3) Donner les coordonnées de trois points de. 4) Déterminer une autre représentation paramétrique de. 24 Soient A( 4 ; 1 ; 2) ; B( 1 ; 2 ; 5) et C(1 ; 0 ; 6). 1) Vérifier que les points A, B et C définissent un plan. 2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite(ab). 3) Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC). 4) Démontrer que le point D( 3 ; 4 ; 1) appartient au plan (ABC). 5) Déterminer une autre représentation paramétrique du plan (ABC). 25 Donner une représentation paramétrique des plans suivants 1) Le plan (O ; i, j ) ; 2) Le plan (O ; i, k ) ; 3) Le plan (O ; j, k ). 26 Soit la droite de représentation paramétrique x = 1 t y = 2+ 3t z = 1+t Dans chacun des cas suivants, étudier la position de la droite avec la droite d de représentation paramétrique x = k 1) y = 3+2k z = 4 k, k R x = 1+k 2) y = 2k z = 3 k x = k 2 3) y = 7 3k z = 2 k, k R, k R 27 Soit la droite de représentation paramétrique x = 8+ 2t y = 5 4t z = 3+2t Dans chacun des cas suivants, étudier la position de la droite avec la droite d de représentation paramétrique x = 2+3t 1) y = 7 6t z = 3+3t x = 1 t 2) y = 4 t z = 2 x = 1+t 3) y = 7 2t z = 2+3t 28 Soit le plan de représentation paramétrique x = t 2t y = 1+3t+t z = 2 5t t R, t R Déterminer la nature de dans chacun des cas suivants où est définie par une représentation paramétrique x = 2 3t t 1) y = 2 2t+4t t R, t R z = 2+5t 5t x = 4 3t+5t 2) y = 2t+t t R, t R z = 5+5t 5t 86 Chapitre G10. Repérage dans l espace

x = 3+2t+t 3) y = 2 t+2t z = 1+t t R, t R 29 Soit le plan de représentation paramétrique x = 4 t+3t y = 1 t+5t t R, t R z = t t Dans chacun des cas suivants, déterminer une représentation paramétrique de la droite d intersection de et du plan 1) (O ; i, j ) 2) (O ; i, k ) 3) (O ; j, k ) 30 Soit le plan de représentation paramétrique x = 4 t+3t y = 1 t+5t t R, t R z = t t Dans chacun des cas suivants, déterminer l intersection de avec la droite d donnée par une représentation paramétrique 1) 2) x = 2+ t y = 3+ 3t z = 5 t x = 1+ 4t y = 10t z = 3t 3) x = 1+2t y = 2 z = 3+ t 31 Soit ABCDEFGH un cube ; I et J les milieux respectifs de[eg] et [GH]. On munit l espace du repère(a; AB, AD, AE). 1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite(ai) puis de la droite (DJ). 2) Démontrer que les droites(ai) et(dj) sont sécantes en un point dont on déterminera les coordonnées. 32 D après Bac (Asie juin 2013 et Amérique du Sud - novembre 2012) Vrai faux Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, et proposer une démonstration de la réponse indiquée. Une réponse non justifiée n est pas prise en compte. 1) Dans les deux questions suivantes, l espace est muni d un repère orthonormé(o; i, j, k ). 2) Soit S le point de coordonnées (1 ; 3 ; 5) et 1 la droite de représentation paramétrique x = 1+t y = 5 4t z = 2 2t Affirmation 1 la droite 2 de représentation paramétrique x = t y = 7+4t z = 7+2t est la droite parallèle à la droite 1 passant par le point S. 3) On considère les points I(1; 0; 0), J(0; 1; 0) et K(0; 0; 1). Affirmation 2 la droite de représentation paramétrique x = 2 t y = 6 2t z = 2+ t ( coupe le plan (IJK) au point E 1 ) 2 ; 1 ; 1. 2 4) Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF]. E A H D +T Affirmation 3 les droites (AT) et (EC) sont orthogonales F B G C Chapitre G10. Repérage dans l espace 87

33 On considère le pavé droit ABCDEFGH cidessous, pour lequel AB = 6, AD = 4 et AE = 2. I, J et K sont les points tels que H G 1 1 AI = AB, AJ = AD 6 4 et AK = 1 E F C AE. D 2 A B On se place dans le repère orthonormé(a; AI, AJ, AK). 1) Déterminer une représentation paramétrique du plan (IJG). 2) Déterminer les coordonnées du point d intersection L du plan (IJG) et de la droite(bf). 3) Reproduire la figure et tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (I JG). On ne demande pas de justification. 34 Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d unité 1 cm, on considère les points A(0 ; 1 ; 5), B(2 ; 1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1) et D(11 ; 4 ; 4). Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde. Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde. À l instant t = 0 le point M est en A et le point N est en C. On note M t et N t les positions des points M et N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif. On admet que M t et N t, ont pour coordonnées M t (t ; 1 ; 5) et N t (11 ; 0, 8t ; 1+ 0, 6t). Les questions 1 et 2 sont indépendantes. 1) a) La droite (AB) est parallèle à l un des axes (OI), (OJ) ou(ok). Lequel? b) La droite(cd) se trouve dans un plan P parallèle à l un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel? On donnera une représentation paramétrique de ce plan P. c) Vérifier que la droite (AB), coupe le plan P au point E(11 ; 1 ; 5). d) Les droites (AB) et(cd) sont-elles sécantes? 2) a) Montrer que M t N 2 t = 2t 2 25, 2t+ 138. b) À quel instant t la longueur M t N t est-elle minimale? 35 Dans l espace muni d un repère orthonormé (O ; i, j, k), soit la droite de représentation paramétrique x = 1 t y = 2t z = t+2 et le plan de représentation paramétrique x = t y = 1+t+3t t R, t R z = t 1) Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan? 2) Démontrer que la droite est incluse dans le plan. 3) Soit le plan de représentation paramétrique x = t+t y = 1+2t+t z = 1+3t+t a) Montrer que C. t R, t R b) Montrer que coupe en un point I dont on déterminera les coordonnées. c) Montrer que CI = 3. 4) Soit t un nombre réel et M le point de de coordonnées M( t+1 ; 2t ; t+ 2). a) Montrer que CM 2 = 6t 2 12t+9. b) Montrer que CI est la distance minimale de CM lorsque t décrit l ensemble des réels. 36 Soient A( 2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; 1) et C( 2 ; 2 ; 2) trois points de l espace muni d un repère(o ; i, j, k). 1) Vérifier que les points A, B et C définissent un plan. 2) Soit D( 2 ; 1 ; 0) et E( 2 ; 5 ; 2). Démontrer que la droite(de) et le plan(abc) sont sécants en un point I dont on déterminera les coordonnées. 88 Chapitre G10. Repérage dans l espace

Je teste mes connaissances À la fin de ce chapitre, je dois être capable de Calculer avec des vecteurs de l espace Démontrer la coplanarité de points ou vecteurs Utiliser les représentations paramétriques de droites et plans de l espace Étudier des positions relatives dans l espace QCM d auto-évaluation Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes. Dans un repère (O ; i, j, k ) de l espace, on considère les points A(1 ; 0 ; 2), B(2 ; 1 ; 2), C(3 ; 0 ; 0) et D(5 ; 2 ; 4). 37 Les points A, B et C a sont alignés b sont coplanaires c définissent un plan 38 Les points A, B, C et D a sont coplanaires b vérifient l égalité AD = 2 AB+3 AC c D (BC) 39 Une représentation paramétrique de a la droite(ab) est b du plan (ABC) est x = 2 t x = 5+ t+4t y = 1 t y = 2 t 2t z = 2+ t z = 4 2t 6t t R et t R c du plan (ABC) est x = 1+t+2t y = t z = 2 2t t R et t R 40 Soit E(3 ; 4 ; 5) a la droite parallèle à(ab) et passant par E a pour représentation x = t paramétrique y = 1+t, z = 5 t R b Le point E appartient au plan (ABC) c les droites (AB) et (DE) sont non coplanaires Chapitre G10. Repérage dans l espace 89

Dans un repère(o ; i, j, k ) de l espace, on considère les droites x = 1 t x = 3+t d y = 2t t R et d y = 1 4t t R z = 3 z = 2t x = 2+t t et le plan de représentation paramétrique y = 2t+3t t R, t R z = 4 t 41 a la droite d est parallèle au plan (O ; i, j ) b la droite d est parallèle au plan (O ; i, k ) c la droite d est parallèle à la droite(o ; k ) 42 a d et sont parallèles b d et sont sécants en A( 1; 4; 3) c d est inclus dans 43 a d et d sont parallèles b d et d sont sécantes c d est d ne sont pas coplanaires 90 Chapitre G10. Repérage dans l espace