/ eercices indépendants - Durée : h - Documents autorisés Conseils et consignes : Lire l'énoncé. especter les notations de l'énoncé. dentifier les questions. ncadrer les résultats. Numéroter les feuilles ( feuille pages) en indiquant le nombre total de feuilles (emple : /, /, /).. Contraintes locales. Une base B ( e', e', e' ) est déduite d'une autre base B ( e, e, e ) par une rotation d'angle α autour de l'ae e... Quelles sont les coordonnées des vecteurs e ', e ' et e ' dans la base B?.. n déduire la matrice de passage de la base B à la base B. π Donner les valeurs des coefficients de cette matrice pour α. n un point M d un matériau contraint, les vecteurs contraintes facettes orientées par les vecteurs e e e e e e i sont : (les coordonnées sont eprimées en Ma).. crire la matrice des contraintes au point M dans la base B. i s eerçant sur les.. Déterminer la matrice des contraintes au point M dans la base B déduite de la base π B par une rotation d angle α autour de l ae e..5. Quelles sont, en Ma, les valeurs des contraintes principales au point M?.6. Le matériau est de l acier, il est élastique linéaire isotrope, avec un module d Young de a et un coefficient de oisson de,. Quelles sont les valeurs numériques des 6 composantes indépendantes du tenseur des déformations dans la base B?
/. La barre suspendue. F A B D C F Fig. : La barre et les conditions imposées. Une barre rectiligne A de longueur a est suspendue par son etrémité A à une rotule et au contact d un appui simple en son point B (Fig. ). Les efforts F et F sont appliqués respectivement au points C et D, perpendiculairement à l ae de la barre. Conformément à la Fig., la barre est munie d un repère (A,,, ). Les segments AB, BC, CD et D ont la même longueur a... Le poids de la barre étant considéré comme négligeable par rapport au efforts appliqués, écrire les équations qui traduisent l équilibre de la barre et en déduire l effort eercé par l appui simple au point B... Quelle est l évolution du moment fléchissant M le long de la barre, entre et a? Donner son epression en tout point et tracer la courbe M ()... A partir de sa définition, calculer le moment d'inertie polaire d une section de la barre, qui est circulaire pleine de raon... n déduire de façon simple le moment quadratique de cette section par rapport à son ae ( est le centre de gravité de la section)..5. n tout point de la barre, s il eiste un moment fléchissant M (), il génère des contraintes. Quels sont les points de la barre où ces contraintes sont minimales et maimales? Donner les coordonnées, et de l ensemble de ces points..6. Quelles sont les epressions de ces contraintes minimale et maimale, en fonction de F, et a uniquement?.7. Quel effort F ' faudrait-il appliquer au point dans la direction pour que les contraintes dans la barre soient partout positives?
/. Jojo le singe s accroche à la poutre. B α J A Fig. : Jojo le singe accroché à la poutre. Une poutre BA de longueur L est appuée contre un mur vertical et posée sur le sol horiontal avec lequel elle fait un angle α (Fig. ). Le coefficient de frottement de la poutre sur le mur, au point A, est nul. Jojo s est accroché au point J, centre de la poutre, en, et son poids s applique verticalement en ce point. Le poids de la poutre est négligeable par rapport à celui de Jojo... crire les équations d équilibre de la poutre en faisant intervenir les réactions du mur au point A et du sol au point B... n déduire la valeur de ces réactions eercées par le sol et le mur sur la poutre... Quel doit être, en fonction de l angle α, le coefficient de frottement minimum, au point B, pour qu elle ne glisse pas?.. Donner l epression de l effort normal N() le long de la poutre, entre -L et L et tracer un graphique schématique de son évolution en fonction de..5. Donner l epression de l effort tranchant T () le long de la poutre, entre -L et L et tracer un graphique schématique de son évolution en fonction de..6. Donner l epression du moment fléchissant M () le long de la poutre, entre -L et L et tracer un graphique schématique de son évolution en fonction de..7. Constater que l évolution du moment fléchissant est smétrique par rapport au point J, centre de la poutre, ou que la fonction M () est paire, et en tirer une information concernant la rotation ω () de la section de la poutre au point J..8. A partir de l epression de M () entre et L, en tenant compte de la condition en trouvée à la question précédente, et en faisant intervenir le module d Young du matériau ainsi que le moment quadratique de la section, donner l epression de la rotation ω () des sections de la poutre entre J et A..9. Calculer la flèche prise par la poutre (c est-à-dire le déplacement de son centre J dans la direction ) sous l'effet du moment fléchissant, et donner son epression en fonction de, L, α, et... Calculer numériquement la flèche de la poutre avec : 6 N L m α π a 5 cm
/ léments de réponses Question. Avec éventuellement l aide d un croquis. sinα e' e' sinα ' e Question. Découle de la définition de la matrice de passage. sinα sinα our π α : Question. Découle de la définition de la matrice des contraintes. Question. Application de la formule de changement de base des matrices. ' T ' ' Question.5 Diagonalisation de la matrice ou ', indifféremment. est valeur propre s'il eiste des vecteurs u tels que : u u ou u u '
5/ Le sstème de équations à inconnues qui en découle est indéterminé si son déterminant est nul : ± ± + On dit aussi que les valeurs propres sont les racines du polnôme caractéristique de la matrice ( er membre de l'équation ci-dessus). Les valeurs de ces racines, et sont les suivantes : Ma Ma Ma Complément : matrice des contraintes '' au point M dans la base B déduite de la base B par une rotation d angle 6 π α autour de l ae e. '' '' Cette matrice est diagonale, les coefficients de sa diagonale sont les contraintes principales et les vecteurs de la base B sont les directions principales des contraintes. Question.6 D après la loi de Hooke, en tenant compte des contraintes calculées dans la base B. v γ γ γ avec ij ij γ et +
6/ Ma Ma Ma Ma,5.,5.,8.,. Question. La Fig. reproduit la barre avec les efforts inconnus dus au liaisons, orientés arbitrairement dans le sens positif, en et en. quilibre des efforts dans la direction : F AX quilibre des efforts dans la direction : F + F F + F AY BY FAY + FBY quilibre des moments par rapport au point A, (composante suivant ) : a F BY a F + a F F BY F F A F AX B D C F AY F BY F Question. < < a M () F a < < a M () F a a < < a M () F (a ) a < < a M () Fig. : La barre avec les efforts inconnus. M () / Fa / a Fig. : volution du moment fléchissant le long de la barre.
7/ Question. ( + ) ds ou, en coordonnées polaires, r ds. S π r dr dθ S π Question. L epression ( + ) ds permet immédiatement d écrire +. S D autre part, la smétrie circulaire de la section entraîne :. π Question.5 Formule liant la contrainte normale en un point d une section au moment fléchissant : M n Le moment est maimum et constant pour compris entre a et a. Le long de ce segment, les contraintes prennent donc des valeurs etrémales ± n ma pour les points des sections dont les coordonnées sont etrémales. n + n ma a < < a - n a < < a + n ma Question.6 M ma n ma avec M ma F a et F a n ma π π Question.7 Un effort F ' appliqué au point dans la direction génère un effort normal constant le long T de la barre, donc une contrainte normale de traction uniforme n qui s ajoute en tout point à la contrainte normale due au moment fléchissant précédemment calculé. T F' n π
8/ T T La condition à réaliser se traduit par : n + n ou n n F' π F ' F a π F a min ma A Question. Conformément à la Fig. 5 : BH et BV sont les réactions du sol, dans les directions horiontale et verticale, est la réaction du mur dans la direction horiontale (il n a pas de réaction du mur dans la direction verticale, car le coefficient de frottement poutre-mur est nul). quilibre des efforts dans la direction : BH quilibre des efforts dans la direction : BV quilibre des moments par rapport au point B, (composante suivant ) : L sinα L Question. BV BH tanα BV B α J BH Fig. 5 : Jojo, la poutre et les efforts inconnus. Question. Le coefficient de frottement f de la poutre sur le sol doit être strictement supérieur à la valeur minimale f min telle que BH f min BV. f min tanα
9/ Question. our -L < < : N() sinα N() ( + sin α) sinα our < < L : N() cos α N() sinα, -, N() / -,8 -, -, -,5,,5 / L, Fig. 6 : volution de l effort normal le long de la poutre (tracé pour α 6 ). Question.5 our -L < < : T () sinα () T our < < L : T () sinα T ().6. T () / -. -.6 -. -.5..5 / L. Fig. 7 : volution de l effort tranchant le long de la poutre (tracé pour α 6 ).
/ Question.6 our -L < < : M () sinα ( L ) ( ) M () + ( L ) our < < L : M () sinα () M ( L ) ( L ),, M () / L,, -, -,5,,5 / L, Fig. 8 : volution du moment fléchissant le long de la poutre (tracé pour α 6 ). Question.7 Sous l'effet du moment fléchissant, dont l'évolution est smétrique par rapport à l'ae J, la poutre se déforme smétriquement par rapport à cet ae. La rotation de la section centrale est donc nulle. ω () Question.8 Le déplacement latéral V () des sections de la poutre est lié au moment fléchissant () d V() M () par l'équation différentielle : d dω() M () Cette équation s'écrit aussi : d n tenant compte de l'epression de l epression de M () entre et L : dω() ( L ) d ntégration : ω () L + C C est une constante d'intégration qui peut être déterminée grâce à la condition en. ω () implique C. ω () L M
/ Question.9 dv () Le résultat de la question précédente s'écrit aussi : L d ntégration : V () L + C 6 C est une constante d'intégration qui peut être déterminée grâce à la condition de déplacement transversal nul au niveau du point A. L V (L) implique C 6 V () ( L + L ) La flèche, déplacement du centre J de la poutre dans la direction vers le mur, est égale à la valeur absolue de la constante C. L V () 6 Question. V () 8 mm