6. Quelques lois continues MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016 (v1) MTH2302D: Lois continues 1/30
Plan 1. Loi uniforme 2. Loi exponentielle 3. Lois gamma / Weibull / bêta MTH2302D: Lois continues 2/30
1. Loi uniforme 2. Loi exponentielle 3. Lois gamma / Weibull / bêta MTH2302D: Lois continues 3/30
Loi uniforme On dit qu une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l intervalle [a, b] si sa fonction de densité est f X (x) = 1 b a si a x b, 0 sinon. On dénote ceci par X U(a, b). MTH2302D: Lois continues 4/30
Loi uniforme (suite) La fonction de répartition d une variable aléatoire X U(a, b) est F X (x) = 0 si x < a, x a b a si a x < b, 1 si x b. MTH2302D: Lois continues 5/30
fonction de densité de X~U(a=2,b=8) f(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0 2 4 6 8 10 x MTH2302D: Lois continues 6/30
fonction de répartition de X~U(a=2,b=8) F(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 x MTH2302D: Lois continues 7/30
Autres caractéristiques Si X U(a, b) alors 1. µ = E(X) = a + b 2. 2. σ 2 = V(X) = (b a)2. 12 3. [a; b] = [ µ 3σ; µ + 3σ ]. Exemple 1 Démontrer ces 3 points. MTH2302D: Lois continues 8/30
Loi uniforme : calcul avec des logiciels Excel : faire directement les calculs. R : f X (x) = dunif(x, a, b). F X (x) = punif(x, a, b). MTH2302D: Lois continues 9/30
Exemple 2 Un autobus passe à un arrêt donné sur sa ligne à 7h00, 7h15 et 7h30. Un passager se présente à cet arrêt entre 7h00 et 7h30. L heure exacte de son arrivée est une variable aléatoire uniforme. Quelle est la probabilité que le passager attende l autobus pendant plus de 10 minutes? MTH2302D: Lois continues 10/30
Exemple 3 Soit C le carré de sommets (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1) et (1, 1) dans le plan. On choisit au hasard un point à l intérieur de C. Soit d la distance de ce point à l origine. 1. Quelle est la probabilité que d soit inférieure ou égale à 1? 2. Application pratique de ce résultat? (voir code ci-après). MTH2302D: Lois continues 11/30
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nt appr. pi error CPU time 10 2.8 0.108732 5e-05 20 3.2 0.0185916 1.3e-05 40 3.1 0.0132394 1.4e-05 80 3.25 0.0345071 1.9e-05 160 3.2 0.0185916 2.8e-05 320 3.2 0.0185916 4.8e-05 640 3.15625 0.00466558 8.9e-05 1280 3.096875 0.0142341 0.000172 2560 3.096875 0.0142341 0.000337 5120 3.11875 0.00727104 0.000665 10240 3.180859375 0.012499 0.001318 20480 3.1525390625 0.00348435 0.002671 40960 3.1482421875 0.00211661 0.004706 81920 3.13779296875 0.00120948 0.009694 163840 3.147802734375 0.00197673 0.019303 327680 3.140576171875 0.000323556 0.039195 655360 3.14435424804687 0.000879043 0.077947 1.31072e+06 3.14145812988281 4.28202e-05 0.150735 2.62144e+06 3.14158172607422 3.47834e-06 0.292705 5.24288e+06 3.1432258605957 0.000519866 0.58607 1.04858e+07 3.1417236328125 4.1692e-05 1.17443 2.09715e+07 3.14186267852783 8.59516e-05 2.36074 4.1943e+07 3.14163837432861 1.45534e-05 4.72282 8.38861e+07 3.14126543998718 0.000104155 9.51239 1.67772e+08 3.14165117740631 1.86287e-05 18.8722 3.35544e+08 3.14161784648895 8.01915e-06 38.4287 6.71089e+08 3.14158190488815 3.42142e-06 75.6125 1.34218e+09 3.14159763455391 1.58549e-06 153.68 2.68435e+09 3.14158941358328 1.03133e-06 304.199 5.36871e+09 3.14159297868609 1.03481e-07 610.915 MTH2302D: Lois continues 13/30
1. Loi uniforme 2. Loi exponentielle 3. Lois gamma / Weibull / bêta MTH2302D: Lois continues 14/30
Loi exponentielle On dit qu une variable aléatoire continue X suit une loi exponentielle de paramètre λ si sa fonction de densité est λe λx si x 0, f X (x) = 0 sinon. On dénote ceci par X Exp(λ). MTH2302D: Lois continues 15/30
Loi exponentielle (suite) La fonction de répartition d une variable aléatoire X Exp(λ) est 0 si x < 0, F X (x) = 1 e λx si x 0. Notons que P (X > x) = 1 F X (x) = e λx pour x 0. MTH2302D: Lois continues 16/30
fonction de densité de X~Exp(lambda=5) f(x) 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 x MTH2302D: Lois continues 17/30
fonction de répartition de X~Exp(lambda=5) F(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 5 x MTH2302D: Lois continues 18/30
Autres caractéristiques Si X Exp(λ) alors 1. E(X) = 1 λ. 2. V(X) = 1 λ 2. 3. Médiane : x = ln 2/λ. 4. Mode : x = 0 (le maximum de λe λx pour x 0). 5. Si X Exp(λ), alors γ 1 = 2 et β 2 = 3 pour tout λ. Toutes les distributions exponentielles ont la même forme. Exemple 4 Démontrer ces points. MTH2302D: Lois continues 19/30
Loi exponentielle : calcul avec des logiciels Excel : f X (x) = LOI.EXPONENTIELLE(x, λ, 0). F X (x) = LOI.EXPONENTIELLE(x, λ, 1). R : f X (x) = dexp(x, λ). F X (x) = pexp(x, λ). MTH2302D: Lois continues 20/30
Lien avec la loi de Poisson Considérons un processus de Poisson où le nombre moyen de réalisations par unité de temps (i.e. t = 1) de l événement d intérêt est égal à λ. Soit X Poi(c = λt) le nombre de réalisations dans l intervalle [0, t] et T le temps d attente avant la première réalisation. Alors P (T > t) = P (X = 0) = e c c 0 /0! = e λt et donc T suit une loi exponentielle de paramètre λ. Plus généralement, soit T le temps écoulé entre deux réalisations successives. Alors T Exp(λ). MTH2302D: Lois continues 21/30
Absence de mémoire Si X Exp(λ) alors pour tous s, t > 0, P (X > s + t X > t) = P (X > s). MTH2302D: Lois continues 22/30
Exemple 5 À un poste de péage sur une autoroute, il arrive en moyenne 5 voitures par minute selon un processus de Poisson. Une voiture arrive à 12h00. 1. Quelle est la probabilité que la voiture suivante arrive après 12h02? 2. Si la deuxième voiture arrive à 12h02, quelle est la probabilité qu aucune autre voiture n arrive avant 12h03? 3. Quel est le temps moyen entre deux arrivées? MTH2302D: Lois continues 23/30
Exemple 6 La durée de fonctionnement d un transistor suit une loi exponentielle et est en moyenne de 20,000 heures (= 1/λ). Un tel transitor, utilisé à une fin particulière, fonctionne déjà depuis 20,000 heures. Quelle est la probabilité que ce transistor fonctionne au moins 30,000 heures? MTH2302D: Lois continues 24/30
Fiabilité Soit T la durée de vie (durée de fonctionnement sans panne) d une pièce d équipement. Alors R(a) = P (T > a) = 1 F T (a) est la probabilité que la pièce fonctionne au temps a. On appelle R(a) la fiabilité de la pièce au temps a. MTH2302D: Lois continues 25/30
Exemple 7 Considérons un système constitué de deux composants A et B en parallèle fonctionnant indépendamment. Supposons que la durée de vie de A et B suive une loi exponentielle de moyenne 3 ans. Calculer la fiabilité du système pour une année. MTH2302D: Lois continues 26/30
1. Loi uniforme 2. Loi exponentielle 3. Lois gamma / Weibull / bêta MTH2302D: Lois continues 27/30
Loi gamma Fonction gamma Γ(x) = t=0 t x 1 e t dt pour x > 0. Loi gamma : X Γ(α, λ) avec α, λ > 0 f X (x) = λ Γ(α) (λx)α 1 e λx pour x > 0. MTH2302D: Lois continues 28/30
Loi gamma (suite) Γ ( 1 2) = π, Γ(1) = 1, Γ(i) = (i 1)! pour tout entier i > 0. Γ(x) = (x 1)Γ(x 1) pour x > 1. Si X Γ(α, λ), alors E(X) = α/λ et V(X) = α/λ 2. Si α = 1, alors X Exp(λ). Si X Γ(α = n, λ) avec n entier, alors F X (x) = 1 F Y (n 1) avec Y Poi(c = λx). Si X 1, X 2..., X n sont des v.a. indépendantes qui suivent toutes une loi Exp(λ), alors X = X 1 + X 2 +... + X n suit une loi Γ(α = n, λ) (loi d Erlang). Exemple 8 Calculer P (X < 5) si X Γ(α = 5, λ = 0.5). MTH2302D: Lois continues 29/30
Loi de Weibull : X W(λ, β) avec λ, β > 0 f X (x) = λβx β 1 e λxβ pour x > 0. Loi bêta : X Be(α, β) avec α, β > 0 f X (x) = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) xα 1 (1 x) β 1 pour 0 < x < 1. Voir exercice 6.24 page 147. MTH2302D: Lois continues 30/30