Approche expérimentale ANALYSE SPECTRALE D UN SIGNAL PERIODIQUE Objectifs : - S initier au traitement FFT du logiciel LatisPro - Etudier le spectre d amplitude d un signal carré - Etudier les limites de l algorithme FFT. Le spectre d amplitude des signaux est calculé par un logiciel appelé FFT («Fast Fourier Transform» ou transformée de Fourier rapide). I Spectre d'un signal carré : * Lancer le logiciel Latis Pro. * Ouvrir le fichier carre FFT par la séquence : Fichier / Ouvrir (ou icône Ouvrir fichier) Répertoire Latis Pro / exemples S affichent alors : en fenêtre n 1 : un signal carré appelé EA0, en fenêtre n 2 : son spectre appelé S_Amplitude. 11 Mesures sur le signal : * Dans la fenêtre Paramètres, située à gauche de l écran, cliquer sur l icône Liste des courbes. Menu Outils / Mesures Automatiques (ou icône Mesures Automatiques). Glisser EA0 de la liste des courbes, située dans la fenêtre Paramètres, vers la fenêtre de dialogue. * Relever alors : - la fréquence f signal du signal carré x(t) - son amplitude M - sa valeur efficace. A-t-on M =? Pourquoi? 2 12 Mesures sur le spectre : Nous allons mesurer les fréquences et les amplitudes des raies du spectre en utilisant le réticule, puis comparer ces mesures aux valeurs théoriques. * Sélectionner le spectre S_Amplitude en cliquant sur la fenêtre n 2. * Appeler le réticule par un clic droit de la souris. Par un deuxième clic droit de la souris, choisir Lié à la courbe / S_Amplitude. * Positionner ensuite le réticule sur chacune des raies, afin de mesurer les fréquences f nexp et les amplitudes nmexp correspondantes.
* Reporter les valeurs expérimentales f nexp et nmexp sur le tableur de OpenOffice (appelé Classeur). Comparer : - le numéro n th de l harmonique à n n n =. n n relatif exp th th - l amplitude théorique à l amplitude expérimentale Quelques indications : la valeur absolue s obtient par ABS( ) π s obtient par PI( ) Conclusion : n f nexp exp =, en calculant par exemple l écart fsignal 4 M nmth = pour n impair. nπ Enregistrer le fichier OpenOffice sur son home. Il servira au complément 1 si on en a le temps. II Influence des harmoniques : * Sortir du mode réticule de LatisPro, par un clic droit de la souris - Terminer. 21 Mode synthèse : * Dans le menu Traitements, appeler le sous-menu Calculs spécifiques / Synthèse harmonique. Dans la fenêtre de dialogue, choisir Synthèse simplifiée. Glisser EA0 de la liste des courbes, située dans la fenêtre Paramètres, vers le champ Courbe de la fenêtre de dialogue. Enfoncer le bouton Calcul, puis fermer la fenêtre de dialogue. * Dans la Fenêtre n 1, supprimer le graphe de EA0 en pointant «EA0 en V» (sur l axe des ordonnées) clic droit Retirer. Faire de même en Fenêtre n 2 pour «S_Amplitude en V». * Zoomer avec la loupe le spectre de la fenêtre n 2 (clic droit Loupe+), afin d afficher le spectre jusqu à environ l harmonique 9. Sortir ensuite du mode Loupe (clic droit Terminer). Bien faire apparaître l axe des ordonnées f = 0 en cliquant sur le spectre, et en translatant la souris vers la droite, tout en maintenant le clic gauche. 22 Modification du spectre du signal : (voir modèles de spectres page suivante) * Sélectionner le spectre en fenêtre n 2. Clic droit de la souris Pointeur. a] Effet d une raie en f = 0 : * Ajouter une composante continue, en positionnant le pointeur sur l axe des ordonnées f = 0, puis en cliquant avec la souris. Quel est l effet sur le signal synthétisé? b] Effet d une raie basse fréquence : * Supprimer la raie en f = 0. Ajouter ensuite une raie basse fréquence. Quel est l effet sur le signal synthétisé? c] Effet d une raie haute fréquence : * Supprimer la raie basse fréquence. Ajouter ensuite une raie haute fréquence. Quel est l effet sur le signal synthétisé?
III Reconstitution d un signal à partir de ses harmoniques : Nous allons à présent observer la reconstitution d un signal carré, harmonique par harmonique. * Sortir et rentrer dans le logiciel LatisPro, afin d avoir une configuration propre. Ouvrir le fichier Synthese calculée situé dans le répertoire Latis Pro / exemples. La fenêtre n 1 visualise le signal reconstitué pas à pas, La fenêtre n 2 visualise chaque harmonique ajouté. Le lancement de la synthèse se fait par F2. On observe alors la reconstitution jusqu à l harmonique 19 du signal carré. * Observer : - les ondulations de Gibbs, qui s'atténuent au fur et à mesure de la prise en compte d harmoniques d'ordre supérieur. - la corrélation entre hautes fréquences et variations temporelles brusques (discontinuités et non dérivabilités). Ondulations de Gibbs Que devient l amplitude de l harmonique d ordre n lorsque n tend vers l infini? Cette propriété s applique-t-elle à tout signal, et pourquoi?
IV Limites de l algorithme FFT : * Sortir et rentrer dans le logiciel LatisPro, afin d avoir une configuration propre. 41 Effet de bords : Le signal n est connu que sur une durée d observation totale T 0 finie. Pour calculer le spectre, le logiciel FFT périodise la partie de signal de durée T o. Il est donc nécessaire que T o soit un multiple entier de la période du signal, sinon le spectre calculé est déformé par effet de bords, comme le montre l illustration ci-dessous : * Ouvrir le fichier Signaux Divers, situé dans le répertoire Latis Pro / exemples. Fermer les fenêtres des autres signaux, et afficher le signal sinusoïdal en plein écran, en cliquant deux fois sur le nom de sa fenêtre. * Dans le menu Traitements, appeler le sous-menu Calculs spécifiques / Analyse de Fourier. Glisser le signal sinusoïdal de la liste des courbes (fenêtre Paramètres à gauche de l écran) vers le champ Courbe de la fenêtre de dialogue. Dans la partie Avancé de la fenêtre de dialogue, régler Sélection de périodes à Manuelle. Sélectionner une partie du signal sinusoïdal ne correspondant pas à un nombre entier de périodes (par exemple : 3,5 périodes). Enfoncer le bouton Calcul, puis fermer la fenêtre de dialogue. Observer le spectre obtenu et constater sa déformation. Latis Pro permet d annuler ce défaut en réglant Sélection de périodes à Automatique. Lorsqu on étudie le spectre d un signal périodique inconnu, il est nécessaire de sélectionner un nombre entier de périodes pour s affranchir de l effet de bords, et donc visualiser correctement le spectre.
42 Mise en évidence de raies parasites : * Sortir et rentrer dans le logiciel LatisPro, afin d avoir une configuration propre. Ouvrir à nouveau le fichier carre FFT, situé dans le répertoire Latis Pro / exemples. * Dans le menu Traitements, appeler le sous-menu Calculs spécifiques / Analyse de Fourier. Dans la partie Avancé de la fenêtre de dialogue, régler le Niveau de validité à 0%. Appuyer ensuite sur le bouton Calcul en haut à droite de la fenêtre de dialogue. Fermer la fenêtre de dialogue. * Zoomer suffisamment le spectre au niveau de l axe des fréquences pour faire apparaître les raies parasites : Raies utiles 1 δ f = T 0 Raies parasites Les raisons de leur existence sont les suivantes: - Le spectre affiché est calculé par l'ordinateur à partir de l algorithme FFT approchant le spectre réel. - Le signal n'est connu par l'ordinateur que sous la forme de N échantillons. Pour des raisons liées à l'algorithme FFT, ce dernier est optimisé lorsque N est une puissance de 2 (N = 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192,...). - Le signal n est connu que sur une durée d observation totale T 0 finie (signal tronqué). L algorithme FFT calcule des valeurs de raies tous les (δ f s appelle encore résolution de la FFT). δ f = Il est possible de diminuer l amplitude des raies parasites : - en augmentant le nombre N d échantillons du signal (mais cela augmente la durée de calcul), - en diminuant la résolution δ f, donc en augmentant la durée d observation T 0 du signal. Le niveau de validité de n% permet de supprimer l affichage des raies d amplitude inférieure à n% de la valeur de la raie d amplitude maximale, avec n réglable de 0 à 80. Il faut naturellement être sûr que les raies éliminées sont bien des raies parasites. 1 T. 0 Complément 1 : VALEUR EFFICACE D UN SIGNAL * Reprendre le fichier OpenOffice du paragraphe 12. * Comparer la valeur efficace du signal carré étudié à calculant par exemple l écart relatif. ˆ 9 2 = n, où nm n = n = 1 2, en Quelques indications : la valeur absolue s obtient par ABS( ) la racine carrée s obtient par RACINE( ). Rappel de la relation de Parseval : + 2 2 2 = + n n = 1 x Conclusion :
Complément 2 : FENETRES DE PONDERATION Le signal, dont on calcule le spectre par le logiciel FFT, peut être décrit comme l'échantillonnage sur N points du signal tronqué suivant : ( ) = ( ) ( ) ˆ x t x t. rectt 0 t dans lequel rect To (t) est une fonction valant 1 sur l'intervalle [0,T o ] et 0 sinon. rect To 1 T 0 t Cette troncature du signal s'appelle "effet de fenêtre", et la fonction rect To (t) a pour nom "fenêtre rectangulaire", ou "fenêtre naturelle". D'autres fenêtres ont été élaborées, telle la fenêtre de Hamming dont le but est de diminuer l'influence des échantillons prélevés en début et en fin d'acquisition. * Ouvrir à nouveau le fichier carre FFT. Dans la partie Avancé de la fenêtre de dialogue de l Analyse de Fourier : - régler le Niveau de validité de l Analyse de Fourier à 0%, - régler Fenêtre de pondération à Hamming. Appuyer sur le bouton Calcul, et fermer la fenêtre de dialogue. * Zoomer une première fois le spectre pour qu il occupe la fenêtre d affichage de manière optimale. Comment sont modifiées les raies utiles? (On rappelle que l amplitude du fondamental vaut 1M = 5,15V) * Zoomer une seconde fois aux pieds des deux premières raies utiles, afin de faire apparaître les raies parasites. Les raies parasites sont-elles modifiées? En conclusion de l étude : Lorsqu on étudie le spectre d un signal inconnu : - la fenêtre de Hamming permet de distinguer les fréquences utiles des fréquences parasites - on mesure ensuite les amplitudes des raies utiles en revenant en fenêtre naturelle. fenêtre de Hamming :