Devoir commun de mathématiques n 1 : Seconde Générale et Technologique Le mardi 11 décembre 018 Sujet B Nom : Prénom : Classe : Durée de l épreuve : 1 heure 0 minutes. Seules les calculatrices mode examen sont autorisées et le mode examen devra être activé pendant l épreuve. La qualité de la rédaction et de la présentation entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Le sujet comporte exercices indépendants. LE SUJET SERA RENDU AVEC LA COPIE. Exercice 1 : / 7 Exercice : / Exercice : / 8 Exercice : / 8 Exercice : / Exercice : / 7 Total : / 0 Exercice 1. (7 points) Partie A - Étude de la fonction f Soit la représentation graphique d une fonction f donnée ci-dessous. 1 1 C f 1. Quel est l ensemble de définition de f?. Par lecture graphique, quelle est l image de par la fonction f?. Le point A(; ) appartient-il à la courbe C f? Justifier.. Par lecture graphique, combien admet-il d antécédent(s)?. Résoudre graphiquement l inéquation f(x) < 0.. Dresser le tableau de variation complet de la fonction. 7. (a) Déterminer le maximum et le minimum de la fonction f sur [ ; ]. Préciser en quelles valeurs ils sont atteints. (b) Déterminer le maximum de la fonction f sur [; ]. Préciser en quelle valeur il est atteint. Partie B - Étude de la fonction g On considère la fonction g définie sur [ ; ] par g(x) = 0, x x. 1. Calculer l image de par la fonction g. (. Calculer g 1 ). Le résultat doit être présenter sous la forme d une fraction. 1
. Compléter, à l aide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant : x 0 1 g(x). On note C g la courbe représentative de la fonction g. Tracer C g dans le repère donné page 1.. Résoudre graphiquement l équation f(x) = g(x). Exercice. ( points) Cet exercice est proposé par vos professeurs de mathématiques de troisième! Dans un jeu vidéo on a le choix entre trois personnages : un guerrier, un mage et un chasseur. La force d un personnage se mesure en points. Tous les personnages commencent au niveau 0 et le jeu s arrête au niveau 0. Cependant ils n évoluent pas de la même façon : Le guerrier commence avec 0 points et ne gagne pas d autre point au cours du jeu. Le mage n a aucun point au début mais gagne points par niveau Le chasseur commence à 0 points et gagne points par niveau. 1. Au début du jeu, quel est le personnage le plus fort? Et quel est le moins fort?. Compléter le tableau ci-contre : Niveau 0 1 10 1 0 Points du guerrier Points du mage Points du chasseur. À quel niveau le chasseur aura-t-il autant de points que le guerrier?. Dans cette question, x désigne le niveau de jeu d un personnage. Associer chacune des expressions suivantes à l un des trois personnages : chasseur, mage ou guerrier. f(x) = x ; g(x) = 0 ; h(x) = 0 + x.. Dans le repère ci-dessous, les fonctions g et h sont représentées. Tracer la représentation graphique de la fonction f. 7 Points 70 0 0 0 C g 0 C h 0 1 10 Niveau 1 7 8 9 10 11 1 1 1 1 1 17 18 19 0. Déterminer à l aide du graphique, le niveau à partir duquel le mage devient le plus fort. Laisser apparents les traits de construction sur le graphique.
Exercice. (8 points) Un directeur d un grand parc d attractions décide d étudier le temps d attente aux caisses à l entrée de son parc. Pour cela, il note les temps d attente en minutes de 100 clients le lundi et le vendredi. 1. Étude de l échantillon du lundi Le lundi, il obtient la répartition suivante : Temps d attente (en min) 1 7 8 9 10 Nombre de clients (effectifs) 10 11 1 1 1 1 Effectifs cumulés croissants (a) Compléter la dernière ligne du tableau. (b) Déterminer la médiane de cette série statistique. Justifier la réponse. (c) Déterminer le premier et le troisième quartile de cette série statistique. Justifier les réponses. (d) Le directeur décide d ouvrir une caisse supplémentaire si plus de 1% des clients attendent 7 minutes ou plus en caisse. Doit-il ouvrir une nouvelle caisse le lundi?. Étude de l échantillon du vendredi Le directeur compare les temps d attente en début et en fin de semaine. Il étudie donc la série des temps d attente du vendredi. 0 18 Effectifs 1 1 1 10 8 0 0 1 7 8 9 10 11 1 1 Temps d attente en minutes Calculer le temps d attente moyen le vendredi pour l échantillon étudié. On détaillera le calcul.. Comparaison des deux échantillons Les clients qualifient d acceptable un temps d attente inférieur ou égal à minutes. Pour chacune des informations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse : (a) «Le vendredi, au moins un quart des clients ont un temps d attente inférieur ou égal à trois minutes en caisse.» (b) «Il y a autant de clients qui trouvent le temps d attente acceptable le lundi que le vendredi.»
7, Exercice. (8 points) Soit (O; I, J) un repère orthonormé. 1 J O I 1 7 1. Placer les points A(1; ), B(; ) et C(; 1) dans le repère ci-dessus.. En détaillant votre démarche, démontrer que le triangle ABC est isocèle en B.. On admet que AC = 0. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point K, où K est le milieu de [AC]. Placer K dans le repère.. (a) Placer dans le repère le point D, symétrique du point B par rapport à K. (b) Démontrer, par le calcul, que les coordonnées du point D sont (0; ).. Justifier que le quadrilatère ABCD est un carré. Exercice. ( points) Cet exercice est proposé par vos professeurs de mathématiques de troisième! Pour illustrer l exercice, la figure ci-dessous a été faite à main levée. Les longueurs sont données en centimètres. C F,8 A B D G E Les points D, F, A et B sont alignés, ainsi que les points E, G, A et C. De plus, les droites (DE) et (FG) sont parallèles. 1. Montrer que le triangle AFG est un triangle rectangle.. Justifier pourquoi le triangle ADE est rectangle et préciser en quel point.. Les droites (F G) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier.
Exercice. (7 points) Cet exercice peut être entièrement traité sur le sujet. Voici un algorithme de calcul. Partie A. Saisir x (1) y prend la valeur x () y prend la valeur y () z prend la valeur x () z prend la valeur z + () x prend la valeur y z () Afficher x (7) 1. Compléter les tableaux ci-dessous présentant le contenu des variables à chaque étape de l algorithme : x y z Ligne 1 Ligne Ligne Ligne Ligne Ligne Ligne 7 x y z Ligne 1 Ligne Ligne Ligne Ligne Ligne Ligne 7. Si on choisit un nombre quelconque x comme nombre de départ, parmi les expressions suivantes, quelle est celle qui donne le résultat obtenu par le programme de calcul? Justifier. A = x + x B = (x ) (x + ) C = ( x + ) (x ). Ninon prétend que l expression D = x + 19x 10 donne les mêmes résultats que l expression C pour toutes les valeurs de x. L affirmation de Ninon est-elle vraie? Justifier en utilisant les méthodes de développement ou de factorisation.. Nina prétend que l expression E = (x ) (x 7)(x ) donne les mêmes résultats que l expression B pour toutes les valeurs de x. L affirmation de Nina est-elle vraie? Justifier en utilisant les méthodes de développement ou de factorisation.
Partie B. La figure ci-dessous donne le schéma d un programme de calcul. Choisir un nombre Multiplier ce nombre par Ajouter à ce nombre Soustraire Multiplier par Ajouter les deux nombres obtenus 1. Justifier que si le nombre de départ est 1, alors le résultat obtenu est 1. On complétera les rectangles vides disponibles dans la figure.. Compléter les lignes ci-dessous pour que l algorithme corresponde au programme de calcul ci-dessus. Saisir x (1) y prend la valeur x () y prend la valeur... () z prend la valeur x + () z prend la valeur... () x prend la valeur... () Afficher x (7)