MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quinzième cours Détermination des valeurs actuelle et accumulée d une annuité de début de période pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l intérêt Détermination des valeurs actuelle et accumulée d une annuité de début de période pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l intérêt Détermination des valeurs actuelle et accumulée d une annuité continue 1
Détermination des valeurs actuelle et accumulée d une annuité de début de période pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l intérêt Détermination des valeurs actuelle et accumulée d une annuité continue Détermination des valeurs actuelle et accumulée d une annuité pour laquelle les paiements forment une suite arithmétique Considérons une annuité de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par n: la durée de l annuité en période de capitalisation, par i le taux d intérêt par période de capitalisation et par i (m) le taux nominal d intérêt équivalent à i. La valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité est notée par Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux d escompte équivalent à i, d (m) est le taux nominal d escompte équivalent à d. 2
Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux d escompte équivalent à i, d (m) est le taux nominal d escompte équivalent à d. Si nous considérons une rente perpétuelle de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par i: le taux d intérêt par période de capitalisation et par i (m) : le taux nominal d intérêt équivalent à i. Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où d est le taux d escompte équivalent à i, d (m) est le taux nominal d escompte équivalent à d. Considérons une annuité pour laquelle un paiement de dt dollars est fait au temps t. Ces paiements sont faits continûment pendant n périodes de capitalisation. Le total des paiements faits pendant une période de capitalisation est 1. Le taux d intérêt par période de capitalisation est le taux effectif d intérêt i Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité par 3
Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où δ est le taux instantané d intérêt équivalent à i. Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où δ est le taux instantané d intérêt équivalent à i. Considérons une annuité ayant n paiements dont le premier est de P dollars et les paiements suivants sont obtenus en ajoutant Q dollars avec chaque paiement. Ces paiements sont faits en fin de période et nous supposerons que la période de paiement coïncide avec la période de capitalisation de l intérêt. Ainsi le premier paiement est de P dollars, le deuxième est de (P + Q) dollars, le troisième est de (P + 2Q) dollars, ainsi de suite jusqu au dernier au montant de (P + (n - 1)Q) dollars. Noter que Q peut être négatif. Tout ce que nous supposerons est que (P + (n - 1)Q) > 0. 4
Le diagramme d entrées et sorties est le suivant: La valeur actuelle est alors La valeur accumulée à la fin de la n e période (au dernier paiement) de cette annuité formant une suite arithmétique est 5
Exemple 1: Anastasia a accumulé 300 000$. Elle veut acheter une rente versant à la fin de chaque mois R dollars pour la première année et avec chaque année, ce versement mensuel diminue de R/50 dollars. Le taux d intérêt est le taux nominal d intérêt i (12) = 6%. Le premier versement a lieu un mois après l achat de la rente. La durée de la rente est de 20 ans. Exemple 1: (suite) Les montants mensuels de la k e année sont de Les paiements de cette annuité ne forment pas une suite arithmétique. Nous ne pouvons donc pas appliquer directement la formule vue plus précédemment pour calculer sa valeur actuelle. Cependant nous pouvons remplacer les 12 paiements d une année par un paiement annuel équivalent. Exemple 1: (suite) Les douze paiements mensuels de la k e année sont équivalents à un seul paiement en fin d année égal à la valeur accumulée par ces 12 paiements. Ainsi ces douze paiements mensuels sont équivalents au paiement de à la fin de la k e année. 6
Exemple 1: (suite) Nous obtenons ainsi une annuité consistant en 20 paiements faits en fin d année. Le k e paiement est Les paiements de cette annuité forment une suite arithmétique pour laquelle (avec nos notations précédentes) Exemple 1: (suite) Pour poursuivre nos calculs, il nous faut déterminer le taux effectif d intérêt i équivalent au taux nominal d intérêt i (12) = 6%, parce que cette nouvelle annuité a des paiements annuels. Ce taux équivalent i est i = 6.167781182%. Exemple 1: (suite) L équation de valeur à t = 0 est Nous obtenons que R = 2531.92$. 7
Pour certaines annuités dont les paiements forment une suite arithmétique, il existe des notations particulières. Nous traiterons deux cas: Annuité croissante Pour certaines annuités dont les paiements forment une suite arithmétique, il existe des notations particulières. Nous traiterons deux cas: Annuité croissante Annuité décroissante Annuité croissante: Il s agit d une annuité de fin de période ayant n paiements, dont le premier est de 1$ et pour laquelle les paiements subséquents sont obtenus en additionnant 1$ avec chaque paiement. Il s agit d une annuité dont les paiements forment une suite arithmétique avec P = 1 et Q = 1 (selon nos notations précédentes) 8
Annuité croissante: (suite) La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période de paiement est notée par La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période de paiement est notée par Annuité croissante: (suite) Nous obtenons en posant P = 1 et Q = 1 dans nos formules précédentes que et Annuité décroissante: Il s agit d une annuité de fin de période ayant n paiements, dont le premier est de n dollars et pour laquelle les paiements subséquents sont obtenus en soustrayant 1$ avec chaque paiement. Il s agit d une annuité dont les paiements forment une suite arithmétique avec P = n et Q = -1 (selon nos notations précédentes) 9
Annuité décroissante: (suite) La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période de paiement est notée par La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période de paiement est notée par Annuité décroissante: (suite) Nous obtenons en posant P = n et Q = -1 dans nos formules précédentes que et Exemple 2: Barnabé a emprunté 20 000$. Le taux d intérêt du prêt est le taux effectif i = 7% par année. Il rembourse ce prêt en faisant 12 paiements à la fin de chaque année. Le premier paiement est de R dollars fait un an après le prêt. Le deuxième est de 2R dollars, le troisième est de 3R dollars et ainsi de suite jusqu au sixième paiement inclusivement, chaque paiement subséquent augmentant de R dollars. Le septième paiement est de 6R dollars, le huitième paiement est de 5R dollars, et ainsi de suite jusqu au douzième paiement inclusivement, chaque paiement subséquent diminuant de R dollars. Le douzième paiement est de R dollars. Déterminons R. 10
Exemple 2: (suite) Le diagramme d entrées et sorties est le suivant: Exemple 2: (suite) L équation de valeur à t = 0 est c est-à-dire Donc R = 727.63 $. Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquels les paiements sont en progression géométrique 11
Annuité en progression géométrique: Considérons une annuité de fin de période ayant n paiements, dont le premier est de 1$ et pour laquelle les paiements forment une progression géométrique de raison (1 + k), où k > -1, c est-à-dire les paiements sont obtenus en multipliant successivement le paiement précédent par (1 + k). Annuité en progression géométrique: (suite) Ainsi le premier paiement est de 1 dollar, le second est de (1 + k) dollars, le troisième est de (1 + k) 2 dollars et ainsi de suite. Le m e paiement est de (1 + k) (m - 1) dollars. Le dernier paiement est de (1 + k) (n - 1). Annuité en progression géométrique: (suite) Dans ce qui suivra, nous noterons par i: le taux d intérêt par période de paiement, par L: la valeur actuelle de cette annuité au début de la première période et par X: la valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période. 12
Annuité en progression géométrique: (suite) Le diagramme d entrées et sorties est le suivant: Annuité en progression géométrique: (suite) Nous obtenons algébriquement que la valeur actuelle L est Annuité en progression géométrique: (suite) Le diagramme d entrées et sorties est le suivant: 13
Annuité en progression géométrique: (suite) Nous obtenons algébriquement que la valeur accumulée X est 14