ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ OLIVIER COLLIER Exercice 1 Le calcul de la banque. 1 Au bout de deux ans, la banque aurait pu, en prêtant la somme S 1 au taux d intérêt r pendant un an, obtenir la somme S 1 1 + r = S1 + r a1 + r. Il lui reste donc à rembourser la somme S = S1 + r a1 + r a, soit, avec S = 1 e, r = 4% et a = e, S = 63 8. Voici le tableau complété, où les sommes sont arrondies au centime à chaque itération. Capital Annuités restant dû 1 14 8 S 1 8 85 8 63 8 S 63 8 65 811, 43 811, S 3 43 811, 45 563,65 3 563,65 S 4 3 563,65 4 56, 56, S 5 Détermination du montant de l annuité. 1 D une part, la banque place la somme S k au taux r, et d autre part, l entreprise rembourse la somme a. D où S k+1 = S k 1 + r a. On a donc, pour tout entier j compris entre 1 et n 1, S j+1 a r = S j a r 1 + r, d où 3 On a alors S k = a r + S a r 1 + rk. S n = a r + S a r 1 + rn = S1 + r n = a r a = rs1 + rn 1 + r n 1. 1 + r n 1 4 Avec les données de la partie précédente, on obtient a = 46, 71e. De plus, avec cette valeur de a, on a le tableau suivant, qui conirme que la valeur trouvée pour a est la bonne. 1
OLIVIER COLLIER Capital Annuités restant dû 1 14 46,71 81 537,9 S 1 81 537,9 84 798,78 46,71 6 336,7 S 6 336,7 64 89,51 46,71 4 366,8 S 3 4 366,8 44 61,47 46,71 1 598,76 S 4 1 598,76 64,71 46,71 S 5 Une expression de S. 1 A partir de la ormule de a, on obtient S = a r 1 + r n 1 1 + r n. On reconnaît une suite géométrique dont on peut calculer la somme partielle : n 1 1 1 + r n+1 = 1 + r k 1 1 + r 1 1 =... = 1 1 + r n 1 r 1 + r n. k=1 D où le résultat. Exercice Le coeicient de Gini est un nombre variant de à 1, où signiie l égalité paraite tout le monde a le même revenu et 1 signiie l inégalité totale une personne a tout le revenu, les autres n ont rien, cas extrême du maître et de ses esclaves. Il se calcule par rapport à la onction dont la représentation graphique est la courbe de Lorenz qui associe à chaque part de la population ordonnée par revenu croissant, la part que représente ses revenus. C est le rapport de la surace A qui sépare la courbe de Lorenz de la situation étudiée en gras et du triangle de surace A+B. On a aussi G = A = 1 B. Exercice 3 1 Le capital placé la deuxième année est égal à 1+t/1 euros. Les intérêts perçus en les plaçant au taux de t 1% sont donc de 1 + t/1t 1 euros, et d autre part, selon l énoncé, de 151 euros. D où 1 + t/1t 1 = 151. En développant cette équation, on trouve que t + 99t 856 =. La résolution, en tenant compte que t > 1, donne t = 3. Exercice 4 1 L impôt s élève à 8, = 16 euros. La diérence est de centimes d euros.
ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ 3 Exercice 5 1 Quelque soient x, y réels positis et quelque soit λ réel, on a Uλx, λy = λx,8 λy, = λx,8 y,. U est donc homogène de degré 1. L utilité est donc proportionnelle aux sommes dépensées. Le problème est de maximiser Ux, y sous la contrainte xp 1 + y = S, ce qui revient à maximiser la onction déinie sur [, S / ] par x = U x, S x. Or est dérivable sur son ensemble de déinition et pour tout x dans [, S / ], D où x =, 8x, S x,, x,8 S x,8. x = x =, 8 S. Ce point est donc potentiellement un extremum, et l énoncé demande d admettre qu il s agit d un maximum. U sous la contrainte de cette question est donc maximisée par, 8S /,8, S /,. Application numérique : Le maximum est atteint en 1, 7 à 1 près. 3 Si les prix sont maintenant p 1 et p, le consommateur, pour une somme investie S 1, a pour utilité maximale, 8 S 1 p 1,8, S 1 p Pour avoir égalité des deux utilités avant et après l augmentation des prix, il aut donc que,. p S 1 = S 1,8 p,. 4 a On a donc p V 1/ = 1 1,8 p,. b On peut réécrire cette ormule comme V 1/ = 1 p 1,8 1 p,, qui est une moyenne géométrique des indices des prix avec les coeicients, 8 et,. 5 L indice de Laspeyres est déini par L 1/ = 1 x p 1 + y p x + y, où x =, 8S / et y =, S / sont les quantités des biens B 1 et B maximisant l utilité au temps t =. 6 En remplaçant dans l expression de l indice de Laspeyres, on trouve L 1/ =, 8 1 p 1 +, 1 p 1,
4 OLIVIER COLLIER et donc l indice de Laspeyres est une moyenne arithmétique des indices des prix, avec les poids, 8 et,. 7 a Etant donné l inégalité rappelée dans l énoncé, l indice de Laspeyres est plus grand que l indice vrai du coût de la vie. b Application numérique : V 1/ = 138, 64 et L 1/ = 138, 67 à 1 près. Exercice 8 Appelons p A et p B les prix moyens respectivement dans les magasins A et B avant les soldes, et p + A et p+ B les prix moyens après les soldes. L énonce se traduit par p A =, 9p B, p + B =, 5 1, p B, p + A =, 6p A, d où p + A =,6,9,5 1, p A =, 9p + B. Il vaut donc mieux aller dans le magasin A, qui est 1% moins cher que B. Exercice 9 1 a Le point D a pour coordonnées, 5,, 5. Cela signiie que la moitié la plus pauvre des employés de l entreprise vit avec un quart des ressources. b Les 1% des salariés les mieux rémunérés se partagent environ 18% des richesses. a L indice de Gini est le double de l aire située entre la courbe et la première diagonale. Il est compris entre, indiquant alors une répartition égalitaire des richesses, et 1, indiquant une répartition totalement inégalitaire. b Par la méthode des trapèzes, on peut estimer l intégrale de A par, 5 +, 5 +, 15 +, 3 +, 5 +, 75 +, 1 +, 14 +, 18 +, 5 +, 75 +, 33 +, 39 +, 455 +, 55 +, 6 +, 68 +, 77 +, 86 +, 95 =, 3333, et donc, on peut estimer le coeicient de Gini par 1, 3333 =, 3334. La répartition des richesses au sein de l entreprise est donc assez inégalitaire. c Si on augmente les salaires d un même pourcentage, on ne modiie pas la courbe de Lorentz, ni le coeicient de Gini. 3 a L aire sous la courbe de Lorentz est égale à l intégrale de sa onction associée. L aire du triangle sous la diagonale est égale à l intégrale de la onction x x. Donc γ = x dx x dx = b D après la question précédente, on a [ x ] 1 [ x 3 ] 1 γ A = 3 = 1 3. x x dx.
ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ 5 4 a La onction B est dérivable sur son intervalle de déinition et pour tout x [, 1], B x = x + 1ex 1 >. Donc B est partout dérivable et pour tout x [, 1], B x = x + ex 1 >. Donc est positive, strictement croissante et convexe sur [, 1]. La onction C est dérivable sur son intervalle de déinition et pour tout x [, 1], C x = 3x +1 >. Donc C est partout dérivable et pour tout x [, 1], C x = 3x >. Donc est positive, strictement croissante et convexe sur [, 1]. b En utilisant une intégration par parties, c On a γ C < γ A < γ B. γ B = = 1 xe x 1 dx [xe x 1] 1 e x 1 dx = 1 e 1 = e 1. x x 3 γ C = dx [ x = 4 x4 ] 1 8 = 1 8.