Table des matières Chapitre 5 Régimes transitoires des systèmes du premier ordre. 1 Position du problème, hypothèses et notations 3 2 Un premier exemple, le circuit RC série 3 2.1 Description du circuit RC série................................ 3 2.2 Établissement de l équation différentielle dans le cas d une réponse à un échelon..... 3 2.3 Comment résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants? 3 2.4 Un outil graphique : le portrait de phase.......................... 4 2.5 Résolution de l équation différentielle à l aide des conditions initiales............ 4 2.6 Interprétation des résultats.................................. 4 2.7 À vous de jouer : régime libre du circuit RC série...................... 5 2.8 Étude énergétique d une charge et d une décharge d un condensateur........... 5 3 Un second exemple, le circuit RL série 5 3.1 Description du circuit RL série............................... 5 3.2 Établissement de l équation différentielle dans le cas d une réponse à un échelon..... 5 3.3 Résolution de l équation différentielle à l aide des conditions initiales............ 6 3.4 Interprétation des résultats.................................. 6 3.5 À vous de jouer : régime libre du circuit RL série...................... 6 4 Généralisation : les systèmes d ordre 1 6
Les prérequis du lycée Fonction exponentielle ; Dérivées, primitives et intégrales des fonctions usuelles ; Mécanique (système, référentiel, bilan des forces, lois de Newton, théorème de l énergie mécanique) ; Chimie : loi de Beer-Lambert. Les prérequis de la prépa Lois de Kirchhoff ; Conventions d orientation ; Loi d Ohm, courant à travers un condensateur, tension aux bornes d une bobine ; Continuité de la tension aux bornes d un condensateur ; Continuité du courant traversant une bobine ; Puissance et énergie consommées par un dipôle ; Équations différentielles linéaires ; solutions générales et particulières... 2/16 20 septembre 2016
1 Position du problème, hypothèses et notations (Prise de note) 2 Un premier exemple, le circuit RC série 2.1 Description du circuit RC série 2.2 Établissement de l équation différentielle dans le cas d une réponse à un échelon (Démo à savoir refaire par coeur) L évolution de la tension aux bornes du condensateur soumis à un échelon de tension est décrite par l équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants du C (t) + 1 dt τ u C(t) = E τ où τ = RC est la constante de temps caractéristique du circuit, C la capacité du condensateur, R la résistance du résistor et E le f.e.m. constante de la source supposée idéale du tension. 2.3 Comment résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants? Résolution (à la sauce physique) d une équation différentielle linéaire d ordre 1 à coefficients constants Définition : On appelle équation différentielle homogène une équation différentielle où le second membre b est nul. Dans le cas contraire, c est une équation différentielle avec second membre. Vous montrerez en mathématique que la solution générale y d une équation différentielle linéaire est la somme de la solution générale y 0 de l équation différentielle linéaire homogène et d une solution particulière y 1 de l équation différentielle linéaire avec second membre. La solution générale d une équation différentielle linéaire homogène d ordre 1, donc de la forme dy(t) + ay(t) = 0 est une fonction exponentielle de la forme dt y 0 : t A exp( at). 3/16 20 septembre 2016
où A est une constante réelle. Cette constante pourra être déterminée à l aide d une condition initiale. Une solution particulière d une l équation différentielle linéaire d ordre 1, donc de la forme dy(t) + ay(t) = b est une fonction constante dt y 1 : t b a. La solution générale de l équation différentielle linéaire d ordre 1 est donc une fonction de la forme y : t A exp( at) + b a. Remarques la solution générale est plutôt une forme générale de solution. Il ne reste plus qu à déterminer la constante A avec une condition initiale. Par exemple, si on donne y(0) = Y 0, on obtient y(0) = Y 0 A exp(0) + b a = Y 0 y(0) = Y 0 A = Y 0 b a. On peut donc conclure que l unique solution du problème de Cauchy dy(t) dt y(0) = Y 0 + ay(t) = b est la fonction y : t (1 exp( at)) b a. 2.4 Un outil graphique : le portrait de phase 2.5 Résolution de l équation différentielle à l aide des conditions initiales (Démo à savoir refaire par coeur) 2.6 Interprétation des résultats Application 1 : Temps de charge 4/16 20 septembre 2016
On constate qu au bout de quelques τ, le condensateur est chargé. Au bout de combien de temps est-il chargé à 95 99? 2.7 À vous de jouer : régime libre du circuit RC série On branche un résistor de résistance R et un condensateur C initialement chargé (u C (0 + ) = E) et un interrupteur ouvert. i R C u C À l instant t = 0, on ferme l interrupteur. Donner l évolution de la tension u C aux bornes du condensateur. (Démo à savoir faire par coeur) 2.8 Étude énergétique d une charge et d une décharge d un condensateur Application 2 : Bilan énergétique d une charge (d après TSI 2005) 1 Exprimer l énergie E c emmagasinée par le condensateur lorsque sa charge est terminée en fonction de C et de E. 2 Déterminer, à partir des résultats de la partie précédente, l expression de l énergie E j dissipée par effet Joule dans la résistance au cours de la charge. On exprimera E j en fonction de C et de E. 3 Montrer, à partir des résultats de la partie précédente, que l énergie E g fournie par le générateur au cours de la charge est égale à E g = CE 2. Vérifier la conservation de l énergie au cours de la charge du condensateur. 4 Définir et calculer le rendement énergétique ρ de la charge du condensateur par le générateur à travers une résistance non inductive. 3 Un second exemple, le circuit RL série 3.1 Description du circuit RL série 3.2 Établissement de l équation différentielle dans le cas d une réponse à un échelon (Démo à savoir refaire par coeur) 5/16 20 septembre 2016
3.3 Résolution de l équation différentielle à l aide des conditions initiales (Démo à savoir refaire par coeur) 3.4 Interprétation des résultats 3.5 À vous de jouer : régime libre du circuit RL série On branche en série un générateur de f.e.m. E, un interrupteur 3 positions, un résistor de résistance R et une bobine d inductance L. R i E L u L À l instant t = 0, on court-circuite l ensemble R + L. Établir l expression de la tension aux bornes de la bobine. (Démo à savoir refaire par coeur) 4 Généralisation : les systèmes d ordre 1 Définition : On appelle système d ordre 1 tout système physique (électronique, mécanique, chimique...) dont l évolution de ses paramètres est décrit par une équation différentielle linéaire d ordre 1. 6/16 20 septembre 2016
Le programme : ce qu il faut savoir faire Notions et contenus 6. Circuit linéaire du premier ordre Régime libre, réponse à un échelon. Capacités exigibles Réaliser pour un circuit l acquisition d un régime transitoire du premier ordre et analyser ses caractéristiques. Confronter les résultats expérimentaux aux expressions théoriques. (TP 6). Distinguer, sur un relevé expérimental, régime transitoire et régime permanent au cours de l évolution d un système du premier ordre soumis à un échelon (Exo 2). Interpréter et utiliser les continuités de la tension aux bornes d un condensateur ou de l intensité dans une bobine (Paragraphes 2.5, 2.7, 3.3, 3.5 ; Exos 1, 3, 6, 7 et 8). Établir l équation différentielle du premier ordre vérifiée par une grandeur électrique dans un circuit comportant une ou deux mailles (Paragraphes 2.2, 2.7, 3.2, 3.5 ; Exos 1, 3, 6, 7 et 8). Prévoir l évolution du système, avant toute résolution de l équation différentielle, à partir d une analyse s appuyant sur une représentation graphique de la dérivée temporelle de la grandeur en fonction de cette grandeur (Paragraphes 2.4 ; Exo, 3). Déterminer analytiquement la réponse temporelle dans le cas d un régime libre ou d un échelon. Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire (Paragraphes 2.5, 2.7, 3.3, 3.5 ; Exos 6). Stockage et dissipation d énergie. Réaliser des bilans énergétiques Outils mathématiques 2. Équations différentielles Équations différentielles linéaires à coefficients. Capacités exigibles Identifier l ordre. Mettre l équation sous forme canonique. (Paragraphe 2.3). 7/16 20 septembre 2016
Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants : y + ay = f(x) Trouver la solution générale de l équation sans second membre (équation homogène). 8/16 20 septembre 2016
TD n 5 - Régimes transitoires des circuits du premier ordre Exercice 1 : Études temporelles et énergétiques de la charge d un condensateur (d après TSI 2005) Charge d un condensateur à travers une résistance Un dipôle comporte entre deux bornes A et B une résistance R et un condensateur de capacité C placés en série. On place aux bornes A et B du dipôle un générateur de tension idéal de force électromotrice constante E et un interrupteur K. Initialement le circuit est ouvert et le condensateur déchargé. Soit v s la tension aux bornes du condensateur. À l instant t = 0, on ferme l interrupteur K. K i(t) A R E C v s (t) B 1 Quel est le comportement du condensateur au bout d un temps très long (infini) après la fermeture de l interrupteur? En déduire les valeurs correspondantes de v s et de l intensité i dans le circuit au bout d un temps très long. 2 Établir l expression de la tension v s (t) au cours du temps (pour t 0). Trouver à partir de cette expression la valeur de v s (t) pour un temps très long. Vérifier que cette valeur correspond au comportement du condensateur prévu dans la question 1. 3 Donner l allure de la courbe représentative de la fonction v s (t) en précisant son asymptote. Calculer la valeur de la pente de la courbe à t = 0. Tracer la tangente à l origine et calculer les coordonnées du point d intersection de cette tangente avec l asymptote. 4 Déterminer, en fonction de τ, l expression du temps t 1 à partir duquel la charge du condensateur diffère de moins de 1 de sa charge finale. On donne ln 100 = 4, 6. 5 Déterminer l expression de l intensité i(t) du courant qui circule dans le circuit pour t 0. (L orientation de i(t) est précisée sur le schéma). Étude énergétique de la charge du condensateur 6 Exprimer l énergie E c emmagasinée par le condensateur lorsque sa charge est terminée en fonction de C et de E. 7 Déterminer, à partir des résultats de la partie précédente, l expression de l énergie E j dissipée par effet Joule dans la résistance au cours de la charge. On exprimera E j en fonction de C et de E.
8 Montrer, à partir des résultats de la partie précédente, que l énergie E g fournie par le générateur au cours de la charge est égale à E g = CE 2. Vérifier la conservation de l énergie au cours de la charge du condensateur. 9 Définir et calculer le rendement énergétique ρ de la charge du condensateur par le générateur à travers une résistance non inductive. Amélioration du dispositif Afin d améliorer le rendement de la charge du condensateur, on effectue celle-ci en deux étapes. On considère pour cela le montage suivant : 1 K i(t) A R E 2 E 2 C v s (t) À la date t = 0, le condensateur étant déchargé, on ferme l interrupteur K dans la position 1 (phase 1). Lorsque la charge sous la tension E 2 est terminée, on bascule K dans la position 2 (phase 2) et on procède à la charge du condensateur sous la tension E. 10 Quelle est l énergie E g1 fournie par le générateur au cours de la première phase de charge? Quelle est l énergie E c1 emmagasinée par le condensateur au cours de la première phase de charge? Ces résultats pourront être déduits des questions précédentes. 11 Quelle est l équation différentielle vérifiée par la tension v s au cours de la deuxième phase de charge? En prenant pour origine des temps (t = 0) la date à laquelle on bascule l interrupteur de la position 1 dans la position 2, déterminer l expression de v s (t) en fonction du temps au cours de la deuxième phase de charge. 12 En déduire, en fonction du temps, l expression de l intensité i(t) qui traverse le circuit au cours de la deuxième phase de charge. 13 En utilisant les expressions de v s et de i en fonction du temps, déterminer : l expression de l énergie E g2 fournie par le générateur au cours de la deuxième phase de charge en fonction de C et E ; l expression de l énergie E c2 emmagasinée par le condensateur au cours de la deuxième phase de charge en fonction de C et E. 14 Calculer le rendement ρ de la charge du condensateur lorsque cette dernière est effectuée en deux étapes. 15 Compte tenu des rendements obtenus lors de la charge du condensateur avec les deux méthodes précédentes, indiquer comment il faudrait procéder pour faire tendre le rendement de la charge du condensateur vers 1. Aucun calcul n est demandé dans cette question, juste une réponse argumentée. B 10/16 20 septembre 2016
Exercice 2 : Relevés expérimentaux On a relevé l évolution du la tension aux bornes d un condensateur lors de sa charge, ainsi que celle du courant le traversant. Tension u C (t) aux bornes d un condensateur. Courant i(t) traversant le condensateur. 1 Déterminer, à l aide des relevés, les valeurs de la résistance R et de la capacité C du circuit RC série. 1) R 1.10 4 Ω, C 1.10 8 F. Exercice 3 : Réponse temporelle d un circuit RC à un échelon de courant 11/16 20 septembre 2016
On étudie la charge q(t) du condensateur dans le circuit ci-contre. I R C i R i C La source de courant est idéale, de courant électromoteur égal à I. Le condensateur idéal, de capacité C, étant initialement non chargé, on ferme l interrupteur à l instant t = 0. 1 Écrire, pour t 0, l équation différentielle régissant l évolution de la charge q(t). 2 Déterminer les expressions de la charge q(t), et des courants i C (t) et i R (t), pour t < 0 et t 0. Quelle est la constante de temps τ du circuit? 3 Tracer les chronogrammes de q C (t), i C (t) et i R (t). 1) dq(t) + 1 dt RC q(t) = I ; t 2) q(t) = RC(1 e RC )I, i c (t) = Ie t RC, i r (t) = (1 e t RC )I. Exercice 4 : Un problème analogue : la chute avec frottements Extrait du chapitre 14 À l instant initial t = 0, on lâche, sans vitesse initiale, une balle qu on pourra assimiler à un point matériel M de masse m. Lors de sa chute, l air exerce une force de frottement fluide proportionnelle à l opposée de la vitesse de la balle : f = λ v. 1 Déterminer les dimensions, puis l unités S.I. de λ. 2 Définir le système et préciser le référentiel d étude. 3 Faire un bilan des actions mécaniques. 4 En appliquant la seconde loi de Newton m d v dt = F, établir l équation différentiellevérifiée par la vitesse de la balle. 5 La résoudre à l aide de la condition initiale. 6 Commenter. 3) d v dt + λ v = g ; m 4) Exercice 5 : v(t) = ( (1 exp ( λ m t)) m g λ. Un problème analogue : Spectrophotométrie et loi de Beer- Lambert La spectrophotométrie est la mesure de densité optique ou absorbance d une solution colorée. La solution reçoit un rayonnement électromagnétique et absorbe certaines radiations. Soit I 0 l intensité lumineuse d un faisceau monochromatique (longueur d onde λ) à l entrée d une cellule de longueur l, contenant une substance absorbance dissoute en concentration C dans un solvant non absorbant. Soit I t l intensité à la sortie de la cellule ou intensité transmise. 12/16 20 septembre 2016
Lors de la traversée d une tranche d épaisseur dx, le flux lumineux absorbé di est proportionnel à : l épaisseur dx ; le flux lumineux incident I(x) ; la concentration de l espèce absorbante C di = k I(x) C dx (< 0 car absorbé). 1 Mettre l équation différentielle sous forme canonique. 2 La résoudre. 3 On appelle absorbance ou densité optique la grandeur A = log I 0 I t. Exprimer A en fonction de la longueur de la cuve l, de la concentration C et de ε = constitue la loi de Beer-Lambert. k. Ceci ln 10 4 Une solution de diiode de concentration inconnue est placée dans une cuve de longueur l = 1 cm. On mesure l absorbance A = 3, 1. Quelle est la concentration de la solution. On donne A(25 mmol.l 1 ) = 1, 25. 1) di(x) dx + I(x) δ 62 mmol.l 1.. = 0 avec δ = 1 ; 2) I(x) = I kc 0 exp( x ) ; 3) A = lcε ; 4) C = δ 13/16 20 septembre 2016
Pour s entraîner seul(e) - 5. Régimes transitoires des circuits du premier ordre Questions de cours 1 2 3 4 Établir la continuité du courant traversant une bobine. Établir la continuité de la tension aux bornes d un condensateur. Établir l expression de la tension aux bornes d un condensateur lors de sa charge ; de sa décharge. Établir l expression du courant traversant une bobine réelle lors de sa mise sous tension. Exercice 7 : Réponse temporelle d un circuit RC à un échelon de tension Le générateur est un générateur de tension E continue. À t = 0, on ferme l interrupteur, le condensateur étant initialement non chargé. r R i E r C 1 Déterminer l évolution temporelle de l intensité i du courant traversant le condensateur. 1) i(t) = CE e t τ avec E = r E et τ = (R + rr r + r r + r )C. Exercice 8 : Trois résistances et une bobine Le circuit étudié comporte trois résistances R 1, R 2 et R 3, une bobine parfaite d inductance L, un générateur de f.é.m. E et un interrupteur K. 1 Initialement, la bobine n est parcourue par aucun courant. À l instant t = 0, on ferme l interupteur K. Établir la loi d évolution de i(t) et déterminer le courant I en régime permanent dans la bobine. On posera τ = L(R 2 +R 3 ) R 1 R 2 +R 2 R 3 +R 3 R 1. 2 Le courant d intensité Iest établi, on ouvre à t = 0 (réinitialisation du temps!). Déterminer la nouvelle loi donnant i(t) et l énergie dissipée par effet Joule dans les résistances. On posera τ = L R 1 +R 2. 1) i(t) = I(1 exp( t τ )) avec I = ER 2 R 1 R 2 +R 2 R 3 +R 3 R 1 ; 2) i(t) = I exp( t τ et E j = 1 2 LI2. Exercice 9 : Un problème analogue : évolution de la température affichée par un thermomètre À la date t = 0, on plonge un thermomètre indiquant θ 0 = 20 C dans un liquide à la température θ 1 = 60 C. Une variation brutale de ce type est appelée échelon. On assimile le thermomètre à un système du premier ordre, de constante caractéristique de temps τ = 10 s.
1 Quelle est l évolution de la température lue sur le thermomètre? 1) θ(t) = (θ 1 θ 0 )(1 exp( t τ )) + θ 0. Exercice 10 : Un problème analogue : Réaction chimique d ordre 1 Extrait du chapitre 12 Un réaction chimique d ordre 1 est une réaction chimique dans laquelle la vitesse volumique v(x) = d[x] de disparition des réactifs est proportionnelle à leurs concentrations [X]. C est le cas de la réaction dt de décomposition du peroxyde d hydrogène en solution aqueuse (eau oxygénée) : H 2 O 2(aq) = H 2 O l + 1 2 O 2g 1 En posant k la constante de proportionnalité entre la vitesse volumique de disparition du péroxyde d hydrogène et sa concentration (k est appelé constante de vitesse, et s exprime ici en s 1 ), établir l équation différentielle vérifiée par la concentration en péroxyde d hydrogène. 2 À t = 0, on introduit une quantité n 0 = 1 mmol.l 1 dans un volume V = 100 ml d eau. Résoudre l équation différentielle. 1) d[h 2O 2 ] + k[h dt 2 O 2 ] = 0 ; 2) [H 2 O 2 ](t) = n 0 exp ( kt). V Exercice 11 : Détermination expérimentale des caractéristiques d une bobine On souhaite déterminer les caractéristiques (L, r) d un bobinage réel modélisé par l association série d une inductance L et d une résistance interne r. On applique une tension créneau u g (t), de période T, évoluant entre 0 et 10 V, aux bornes d un circuit constitué de la bobine réelle associée en série avec un résistor de résistance R 0. On relève la tension u 0 (t) aux bornes de R 0. Le générateur délivrant u g (t) est doté d une résistance de sortie R S = 1, 0 Ω. L expérience est réalisée avec deux valeurs de R 0, respectivement R 01 = 5, 0 Ω et R 02 = 2, 0 Ω. 1 On suppose a priori que pour le bobinage étudié L est de l ordre de 1 H et que r est de l ordre de 1 Ω. Quelle valeur de fréquence peut-on conseiller pour le générateur? (Justifier la réponse). 2 En exploitant les relevés expérimentaux ci-dessous, présentant la tension u 0 en fonction du temps, déterminer les durées caractéristiques (constantes de temps) τ 1 et τ 2 relatives à l évolution de l intensité i(t) traversant le bobinage, obtenues respectivement pour R 01 = 5, 0 Ω et R 02 = 2, 0 Ω. Les graphes fournis correspondent à une acquisition de u 0 (t) réalisée sur une demi-période du générateur pour deux valeurs différentes de R 0. Ces courbes sont proposées à deux échelles différentes. 15/16 20 septembre 2016
3 Établir une expression littérale de r en fonction des grandeurs τ 1, τ 2, R S, R 01 et R 02. 4 Évaluer numériquement r. 5 Déduire la valeur de L des mesures précédentes. 2) τ 1 = 0, 068 s, τ 1 = 0, 104 s ; 4) r = 2, 7 Ω ; 5) L = 0, 59 H. 16/16 20 septembre 2016