GRANDEURS ELECTRIQUES

GRANDEURS ELECTRIQUES I) L intensité du courant électrique : La charge électrique ne peut ni être créé, ni détruite. Elle ne peut qu être échangée. Conséquence : Un générateur ne peut pas créer des charges. Il fournit de l énergie aux charges pour leur permettre de se déplacer à travers les éléments conducteurs. Définition: Le "courant" ou "intensité" I mesure la charge qui traverse la section droite S d'un conducteur par unité de temps dtet est donc donné par : Exemple : Si I = 10mA dans un conducteur métallique de section S, quel est le nombre d électrons qui traversent cette section pendant une seconde? Réponse : avec dq = nombre d électrons.charge d un électron. Soit dq = I.dt = 0,01 Coulomb Nombre d électrons = 0,01/1,610-19 = 60 million de milliards!!!! II) Tension et potentiel électrique : Le mouvement des charges qui constitue le courant électrique dans une région de l espace provient d un déséquilibre de nature électrique dans cette espace. On définit en chaque point de l espace un champ scalaire noté V(M) appelé potentiel électrique. Cela va être défini en électromagnétisme. Retenons que lorsque le potentiel électrique n est pas uniforme il apparaît un champ électrique E. Les porteurs de charge sont soumis à une force électrique F = qe qui leur communique un mouvement d ensemble. Ils engendrent alors un courant électrique. La description d une portion de circuit fait appel à deux notions : L intensité du courant électrique La différence de potentiel électrique entre deux points du conducteur. U AB = V(A) V(B) 1

U AB < 0 U AB > 0 V(A)>V(B) la flèche indique le sens positif de la différence de potentiel entre les points A et B. Les potentiels V sont définis à une constante près. Seule, la différence de potentiel a un sens physique. I) Loi d OHM : LOIS DE L ELECTROCINETIQUE Pour de nombreux conducteurs, la tension électrique aux bornes du conducteur est proportionnelle à l intensité du courant traversant le conducteur. U AB = V(A) V(B) = R R en ohm; I en ampère; U en Volt. G= / U AB G : la conductance en Siemens S. Cas particulier : Conducteur métallique cylindrique de section S, de longueur l et de résistivité Conclusion : La résistance d un fil conducteur est négligeable devant les autres résistances. R fil = 0 et donc U fil = 0V II) Lois de KIRCHHOFF 2

Les lois de Kirchhoff en électrocinétique (à ne pas confondre avec celle de la thermodynamique et de l'optique) expriment les propriétés physique de la charge et du champ électrique et sont donc au nombre de deux (une loi pour chaque). Elles vont nous permettre sans faire appel à l'artillerie mathématique implicitement cachée derrière d'obtenir simplement des résultats forts pertinents. Vocabulaire : Un "noeud" d'un circuit est une interconnexion où arrivent 3 fils ou plus. Une "branche" est un tronçon de circuit situé entre deux noeuds. Enfin, une "maille" est un ensemble de branches formant une boucle fermée. Le dipôle est caractérisé par la réponse du courant I à une différence de potentiel U entre ses bornes : c'est à dire par la courbe caractéristique: On choisit un sens arbitraire pour chaque courant. Le courant réel est une grandeur algébrique. 3

II.1) LOI DES NOEUDS La loi des noeuds (implicitement il s'agit simplement de la conservation du courant) exprime la conservation de la charge qui signifie que la somme des courants sortant d'un noeud est égale à la somme des courants entrant. Autrement dit, la somme algébrique des courants est nulle en tout noeud d'un circuit tel que: Pour cela, il faut choisir un signe pour les courants entrant et le signe contraire pour les courants sortant Remarque: Cette loi exprime tout simplement l'équation de conservation de la charge (ou de continuité de la charge. II.2) LOI DES MAILLES La loi des mailles (implicitement il s'agit simplement de la conservation de l'énergie) exprime le fait que lorsqu'une charge parcourt un circuit fermé (chemin fermé), l'énergie qu'elle perd en traversant une partie du circuit est égale à l'énergie qu'elle gagne dans l'autre partie. Ainsi, la somme algébrique des potentiels le long d'une maille est nulle telle que : Pour cela, il faut choisir arbitrairement un sens de parcours de la maille et convenir que les tensions dont la flèche pointe dans le sens du parcours sont comptées comme positives et les autres comme négatives. Remarque: Cette loi exprime tout simplement du fait que le champ électrique (Coulombien) est un champ conservatif. Loi d additivité des tensions : (relation de Chasles) 4

U AC = U AB +U BC Application : Indiquer à côté de chaque flèche la tension qu'elle représente. 1. Quelle est celle qui est nulle? 2. Combien peut-on définir de mailles dans ce circuit? Ecrire la loi des mailles pour quatre d'entre elles 3. On donne U DJ =24V U CD = - 5V U AB = 12V U HG = -2V Calculer les valeurs de toutes les autres tensions représentées. 4. On décide que V(J)=0V. Que représente alors J pour ce circuit? 5. Calculer les potentiels de tous les autres points. COMPOSANTS PASSIFS ET COMPOSANTS ACTIFS Il existe deux familles de dipôles : les dipôles passifs et les dipôles actifs. Un dipôle actif fournit de l énergie électrique au circuit auquel il est connecté. Un dipôle passifconsomme de l énergie. Sa caractéristique passe par l origine. U = 0V I = 0A. La courbe 1 représente la caractéristique d un dipôle actif, 2 et 3 représentent la caractéristique d un dipôle passif. Exemples de dipôles actifs : Un générateur de tension ; une pile ; une batterie ; une source de courant Exemples de dipôles passifs : Une résistance ohmique, une diode un condensateur. 5

Résistance ohmique Source de tension idéale Source de courant idéale 6

Sources électriques Une source de tension est idéale lorsque la tension mesurée à ses bornes est égale à E indépendante du courant qu elle délivre. Sa résistance interne est nulle. Une source de courant est idéale lorsque l intensité du courant est égale à J indépendante de la tension aux bornes de la source. Sa résistance interne est infinie. Il n existe pas dans la vie de modèle de source de courant. On simule une source de courant à partir d une source de tension. Une source de courant ou tension est indépendante lorsque la tension ou le courant fourni par la source est indépendant des autres paramètres du circuit électrique. A l opposé des sources indépendantes, il existe des sources liées. Leur tension ou courant dépend de la valeur de la tension ou de l intensité du courant d un élément du montage électrique. Exemples : Sources liées ou contrôlées source de tension contrôlée par une tension (1), source de tension contrôlée par un courant (2), source de courant contrôlée par une tension (3), source de courant contrôlé par un courant (4). + + + + U = k.u U = k.i I = h.u I = g.i 7

PUISSANCE ET ENERGIE ELECTRIQUES Lorsqu'on fait fonctionner diverses lampes à incandescence normalement, c'est-à-dire sous leur tension nominale, on s'aperçoit que certaines éclairent mieux que d'autres. Une lampe de projecteur de diapositives (24V) éclaire plus que la lampe d'un lustre dont la tension est 230V. La grandeur en relation avec l'éclairement de ces lampes, ce n'est ni la tension, ni l'intensité mais la puissance électrique. C est la quantité d énergie consommée ou fournie par unité de temps. Cette puissance s'exprime en watt (symbole W). P = La puissance électrique est fournie par le générateur et elle est consommée par le récepteur. La puissance nominale d'un récepteur est la puissance consommée par l'appareil en fonctionnement normal. Elle est en général indiquée par le fabricant. En continu, pour un dipôle parcouru par un courant I ayant à ses bornes une tension U la puissance électrique est définie par : P = U.I. Puissance Appareils 1mW = 10-3 W montre - DEL laser 1W lampe de poche 1kW (kilowatt) = 10 3 W appareil électroménager 1MW (mégawatt) = 10 6 W moteur de TGV 1GW (gigawatt) = 10 9 W centrale électrique L énergie électrique fournie ou reçue par un dipôle dépend de la tension aux bornes du dipôle, de l intensité du courant circulant dans le dipôle et du temps de fonctionnement du dipôle. E = U.I.. avec E en Joule, I en ampère, U en volt et t en seconde. 8

Comment démarrer l étude d un circuit? De manière générale : 1) Toujours avoir en tête la grandeur recherchée et en fonction de quelles autres grandeurs on cherche à l exprimer. 2) Faire apparaître les nœuds (et les bornes utiles) et les nommer. 3) Repérer les résistances qui sont en série ou bien en dérivation et les remplacer par les éléments équivalents. Si cela ne fait pas disparaître la grandeur qui vous intéresse. Attention : certaines associations ne sont ni en série ni en dérivation! 4) Imposer le sens du courant dans les branches et les nommer. 5) Placer et nommer les tensions orientées en respectant les conventions récepteur ou générateur pour chaque dipôle. 6) Appliquer la loi des nœuds et la loi des mailles. Exemple : Déterminer l expression des courants qui traversent chaque branche en fonction des éléments du montage. Comment déterminer l intensité traversant une résistance? L intensité traversant une résistance peut s obtenir en appliquant : La loi d Ohm : si on connait R et la tension à ses bornes. La loi des nœuds : si l on connait les autres intensités arrivant à ce nœud ; Le diviseur de courant : si on connait les deux résistances en parallèle et le courant qui arrive à la borne d entrée de cette association en parallèle. Déterminer le courant i. La source de courant fournit une intensité de courant I. 9

Comment déterminer la résistance équivalente? Déterminer la résistance équivalente entre les points A et B. On nomme les nœuds. On représente les courants entrant et sortant. On voit qu il n y a aucune association simple de résistance à mettre en série ou en dérivation. Il faut exprimer U AB = Réq.I On utilise les lois de Kirchhoff. Après avoir défini les différents courants, on applique la loi des mailles dans la maille ADBCA pour chercher une relation entre i 1 et i U AD +U DB +U BC +U CA = 0 soit: R 2 (I- i 1 )+R 1( I - i 1 +i) -R 2 ( i 1 -i)-r 1 i 1 = 0 (R 2 +R 1) I = i 1 (2R 2 + 2 R 1 ) (R 2 + R 1 )i ce qui donne : I = 2i 1 -i On pourra encore écrire : i = 2i 1 -I Ce qui permet de simplifier le schéma : 10

La loi des mailles DBCD donne : U DC +U BD +U CB = 0 soit : -R (2i 1 I)-R 1 i 1 +R 2 (I-i 1 ) = 0 d où i 1 = Expression de la tension entre A et B donne : I U AB = U AD +U DB soit: U AB = R 2 (I-i 1 ) +R 1 i 1 En remplaçant i 1 par son expression on trouve : U AB = D où la résistance équivalente entre les points A et B correspond à R éq = Comment déterminer une tension aux bornes d une résistance? La loi d Ohm : si on connait R et l intensité I. La loi des mailles : si l on connait les autres tensions de la maille; Le diviseur de tension si la maille remplit les conditions d application du diviseur de tension. I Calcul de la tension u : u= R.i si l on connaît la valeur de i u= e u R1 u R2 si l on connaît u R1 et u R2 u = diviseur de tension 11

Complément sur les dipôles passifs On abordera dans nos études de circuits deux dipôles importants : le condensateur et la bobine. Le condensateur est un élément capable d emmagasiner ou de restituer de l énergie électrique. On peut assimiler un condensateur à un récipient que l on peut remplir de charges électriques, et qu il peut restituer dans un circuit externe. Un condensateur est défini par sa capacité C exprimée en Farad. La capacité du condensateur s exprime de la façon suivante : Les bobines sont des dipôles qui présentent la particularité de s'opposer aux variations de l'intensité du courant d'un circuit. Les bobines sont caractérisées par leur inductance L en Henry et leur résistance R en Ohm. Dans un circuit comportant un dipôle RL, le courant s'installe ou se désinstalle progressivement. Relations électriques d un condensateur : La charge des armatures du condensateur est donnée par la relation suivante: 12

L intensité du courant est alors I = I = C soit en remplaçant la quantité d électricité par son expression L'énergie électrostatique stockée dans le condensateur est donnée par la relation suivante: Ec =. Le calcul de l intégrale donne le résultat ci-contre. Relations électriques pour une bobine : La tension aux bornes d une bobine d inductance L et de résistance négligeable s exprime par : U L = Remarque : La relation précédente montre qu en continu la tension aux bornes d une bobine de résistance négligeable est nulle. L énergie emmagasinée ou restituée par une bobine est définie par : E L =. Le calcul de l intégrale donne : E L = 13

ETUDE D UN CIRCUIT ÉLECTRIQUE Dans un circuit électrique les différents dipôles actifs ou passifs peuvent être en série, en parallèle ou bien ni l un ni l autre. Dans une maille des éléments sont en série lorsqu ils sont traversés par la même intensité du courant. Exemple : a b c Les trois dipôles sont traversés par le même nombre d électrons donc par le même courant. Rappelons que les charges électriques ne peuvent s accumuler ou disparaître dans un circuit électrique. Les trois éléments sont en série. Dans le cas où les dipôles sont de même nature (par exemples des résistances ou des sources de tension), on peut les remplacer par un dipôle équivalent égal à la somme des valeurs de tous les autres en série. Ce qui s écrit : R éq = pour des résistances en série. U éqgéné = éé pour des sources de tension en série. Des dipôles sont en dérivation ou(en parallèle) lorsqu ils se trouvent entre deux points nœuds. Exemple : noeud noeud On remarque que les deux dipôles sont placés dans deux branches arrivant aux mêmes points nœuds. Dans le cas où les dipôles des différentes branches sont de même nature (par exemple des résistances ou des sources de courant) on peut les remplacer par un dipôle unique équivalent à : R éq = On pourra aussi exprimer la conductance équivalente : G éq = 14

Dans le cas où des sources de courant sont en dérivation, on pourra écrire : I G = Associations impossibles On ne peut pas associer deux sources de courant en série et deux sources de tension en parallèle. Cas particuliers : Lorsqu une source de tension est en série avec une source de courant, la source de courant fixe l intensité du courant dans la branche. On peut donc enlever la source de tension, elle n a aucun impact sur le fonctionnement du circuit. Lorsqu une source de tension est en dérivation avec une source de courant, la source de tension fixe la valeur de la tension entre les deux points nœuds. Dans ce cas on peut supprimer la source de courant. Elle n a aucun impact sur le fonctionnement du circuit. Diviseur de tension On utilise la méthode du diviseur de tension pour le calcul de la tension aux bornes d un dipôle linéaire passif, sans avoir besoin de calculer l intensité du courant traversant ce dipôle. Cependant il faut faire attention pour son application. Pour utiliser cette méthode de calcul le circuit d étude ne doit pas contenir des points nœuds. Lorsque n résistances sont en série, la tension aux bornes de l une d entre elles par exemple R 1 est calculée par : U R1 éé Exemple d application du diviseur de tension : Soit le montage électrique suivant : On donne R 1 = 100; R 2 = 150 ; R 3 = 100 ; R 4 = 200 ; R 5 = 100 15

1) Effectuer les groupements de dipôles possibles afin d avoir une maille unique. 2) Calculer la tension aux bornes de la résistance R 3. Diviseur de courant Il existe une méthode équivalente pour déterminer l intensité du courant circulant dans un circuit ayant des branches en dérivation. La relation qui permet de calculer le courant est définie par : I k = Exemple : I générateur de courant I 2 I R1 I 1 R2 I 2 = Modélisation d un dipôle linéaire : La modélisation d un dipôle consiste à le remplacer par un circuit équivalent (répondant aux mêmes équations) constitués de dipôles idéaux. L équation de la caractéristique d un dipôle dont le fonctionnement électrique est linéaire est de la forme : U =ai+b ou I = a U+b Lorsque cette caractéristique passe par l origine, le dipôle est passif. Pour un générateur de tension on a la caractéristique qui obéit à l équation : U = E R.I avec E la force électromotrice et R la résistance interne. Pour un générateur de courant on a la caractéristique qui obéit à l équation : I = J - G.U Le modèle du générateur de tension est appelé modèle de Thévenin. Le modèle du générateur de courant est appelé modèle de Norton. Ces deux représentations sont duales. En effet G = E = J.R Dans la suite du cours on notera J = I N ; R = R Th ou R N et E = E th. 16

Exemples de calcul avec des sources liées. Exemple. I Déterminer la tension U AB en fonction de E sachant que g.r = 0,5 On associe les deux résistances R qui sont en dérivation entre les points A et B. ce qui donne une résistance équivalente égale à R/2. La loi des mailles permet d écrire E +V U AB = 0 (1) La loi d ohm permet d écrire U AB = (2) Au point nœud on écrit I AB = gv + I (3) La loi d ohm permet d écrire V = -RI (4) L équation (2) et (4) permettent d écrire : U AB = = V ( soit - 0,25V. V = - 4 U AB L équation (1) s écrit : E-5U AB = 0 U AB = - E/5 Exemple. II Déterminer en fonction des éléments du montage la tension U AB La loi des mailles permet d écrire : 17

U AB = V +U R2 +U R1 Or les bornes A et B sont dans l air, donc aucun courant ne peut circuler dans la résistance R 2. Par conséquent U AB = V +U R1 La loi d ohm permet d écrire U R1 = R 1 J = V D où U AB =(1. Exercices d application : Calculer la résistance équivalente de chaque montage vue des bornes A et B : R 1 = 100 ; R 2 = 150 ; R 3 = 100 ; R 4 = 500 18

LES THÉORÈMES DE L ÉLECTRICITÉ Théorème de superposition : Dans un réseau électrique linéaire, le courant (ou la tension) dans une branche quelconque est égal à la somme algébrique des courants (ou des tensions) obtenus dans cette branche sous l effet de chacune des sources indépendantes prise isolément, toutes les autres étant remplacées par leur résistance interne. Théorème de Thévenin On peut remplacer tout circuit linéaire qui alimente par les bornes A et B un dipôle D, par un générateur de tension idéale Eth en série avec une résistance Rth La tension Eth du générateur est égale à la différence de potentiel mesurée entre A et B quand on débranche le dipôle D. On dira les bornes A B à vide. La résistance Rth est égale à la résistance mesurée entre A et B lorsque toutes les sources autonomes sont remplacées par leurs résistances internes. Théorème de Norton On peut remplacer tout circuit linéaire, qui alimente par les bornes A et B un dipôle D, par un générateur de courant idéale I N en parallèle avec une résistance R N. L intensité I N est égale au courant de court circuit entre A et B, lorsqu on débranche le dipôle D. La résistance R N se calcule de la même manière que la résistance du générateur de Thévenin. Théorème de Millmann Ce théorème très pratique permet de déterminer la différence de potentiel aux bornes de plusieurs branches en parallèle. 19

On considère un nœud auquel aboutissent branches ; les potentiels V i des extrémités des branches sont tous définis par rapport à un même potentiel de référence V réf ; R i est la résistance de la branche et G i sa conductance. La loi des nœuds s'écrit : En remplaçant par la conductance G i, l expression ci-dessus devient : Le potentiel du point par rapport à celui de la référence commune est donc : Exemple Sur le schéma ci-dessus, on prend le point comme origine des potentiels. On a donc : 20

Remarque Soit le courant dans la branche. Il peut être intéressant d'écrire le théorème de Millmann sous la forme suivante : Le théorème de Millmann (qui est une autre façon d'écrire la loi des nœuds) permet dans de nombreux cas de résoudre rapidement un réseau mais il faut l'appliquer correctement. Conseil Lors de la mise en œuvre, ne pas oublier de faire figurer au dénominateur les branches dont le potentiel de l'extrémité est nul!(voir la branche AM) Exemple : 1. Déterminer les éléments E th, R th,et I n des modèles de Thévenin et de Norton équivalent du dipôle actif linéaire situé à gauche des bornes A et B. 2. Calculer la tension U DB en utilisant le théorème de superposition et le théorème de Millmann. D R3 A R1 E1 R2 R4 E2 B E 1= 40V;E 2 = 24 V ; R 1 = 1 ; R 2 = 9 ; R 3 = 2,1 ; R 4 = 2. Modèle de Thévenin Calcul de Eth : On enlève le dipôle à droite de A et B. dans ce cas pas de courant dans R 3. R3 A R1 R2 E1 B 21

U AB vide = E th = on utilise le diviseur de tension. Calcul de Rth La résistance de Thévenin R th se calcule en éteignant la source autonome E 1. R th = ( R1//R2) +R 3 soit :R th = + Le générateur de Thévenin équivalent au circuit à gauche de AB est : A Eth Rth B Modèle de Norton Calcul de In On court-circuite les bornes A et B R3 A R1 R2 E1 On calcule l intensité du courant I AB = In. B D R1 Réq E1 B R 2 et R 3 sont à présent en dérivation. On les remplace par une résistance équivalente Réq. 22

La tension U DB = é é par conséquent le courant I n = La résistance de Norton se calcule de la même façon que celle de Thévenin. Le modèle de Norton équivalent au circuit placé à gauche des points A et B est : In Rn Théorème de superposition On éteint la source E 2. Le schéma du circuit devient : D R1 Réq E1 B Avec Réq 1 = (R 3 +R 4 )//R 2 En utilisant le diviseur de tension on calcule U DB1. é é De même on éteint la source E 1. Le schéma du circuit initial devient : D R3 A R1 R2 R4 E2 R 1 et R 2 sont en dérivation. On les remplace par une résistance équivalente. En utilisant le é diviseur de tension on obtient U DB2 = é U DB = U DB1 +U DB2 soit U DB = Théorème de Millmann Calculons U DB é é U DB = qu on peut encore écrire : U DB = é é 23

CIRCUITS ÉLECTRIQUES EN RÉGIME SINUSOÏDAL Généralités : 24

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2-2-Ecriture complexe d une grandeur sinusoïdale u(t) = U M cos ( représente la partie réelle du nombre complexe U M. De même u (t) = U M sin ( représente la partie imaginaire du nombre complexe U M. En physique on utilise généralement la partie réelle du nombre complexe associée à une fonction sinusoïdale. 28

La tension u 1 (t) s écrit : u 1 (t) = U 1M sin () La tension u 2 (t) s écrit : u 2 (t) = U 2M sin ( ) Avec = -36 ou rad. U 1M = 10V et U 2M = 8V 2 1000 rad/s. L écriture en nombre complexe des expressions précédentes est : =(,0) =(, ) II. Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal II.1Etude d un circuit en régime établi. Notation complexe Les dipôles passifs linéaires utilisés en régime sinusoïdal sont essentiellement la résistance, la bobine et le condensateur. L étude de ces éléments en régime sinusoïdal nécessite la résolution d équations différentielles ou l utilisation de la notation complexe des grandeurs sinusoïdales. L exemple ci-dessous traite les deux possibilités d étude. 29

On applique au circuit composé d une résistance et d une bobine pure une tension sinusoïdale alternative u(t) = U M cos (). Le courant qui circule dans la maille, la tension mesurée aux bornes de chaque dipôle a la même fréquence que la tension de la source. Par contre, il peut exister un déphasage entre la tension aux bornes d un dipôle et l intensité du courant qui circule dans ce même dipôle. En effet, la loi d Ohm couplée à la loi des mailles permet d écrire : u (t) = u R (t) +u L (t) soit u(t) = R i(t)+l U M cos () = R i(t)+l (1) (1) Est appelée une équation différentielle du premier ordre. Sa solution est composée de deux termes : le terme sans second membre et la solution particulière. Solution sans second membre: R i(t)+l = 0 La solution de cette équation différentielle est de la forme i(t) = K c est la solution du régime transitoire. La solution particulière : C est celle qu on trouve en annulant toutes les dérivées de l équation (1). Soit : U M cos () = R i(t) La solution particulière de cette équation différentielle est de la forme : i(t) = A cos ()+B sin(). La solution de l équation différentielle (1) est la somme des deux solutions trouvées. Pour notre exemple on suppose le régime établi donc on considérera uniquement la solution particulière. L équation (1) s écrit donc: U M cos () = R(A cos ()+B sin())+l(a sin()+ B cos ()) Cette équation se résout en identifiant les termes en cosinus et ceux en sinus. Soit : U M = RA+L On en déduit A = Donc i(t) = et RB-LA 0 d où B = et B = cos () + sin (). La tension d entrée étant sinusoïdale toutes les grandeurs courants et tensions le sont aussi. 30

Ce qui peut s écrire par : i(t) = I(t) cos ( ) (2) avec I(t) = 2 2 2 2 2 2 et Arctan soit i(t) = cos( Autre méthode : On utilise à présent la notation complexe. U M cos () est la partie réelle de l expression U M. En effet cos () + j sin (). On peut donc écrire : U M cos () = R (U M. En appliquant la notation complexe à l expression du courant i(t) = I M cos( ) = R (I M, on peut écrire : i(t) = avec I M. I M est appelé le phaseur du courant i(t). En effet il représente le module et la phase de la grandeur sinusoïdale. On écrit. En remplaçant it par sa nouvelle expression dans 1 on obtient : R +jl = U M D où : (R+jL) = U M (3) Ce qui s écrit en isolant : = avec Arctan Comme i(t) = = R cos ( II.2 Utilisation des phaseurs dans les circuits électriques Cas de la résistance ohmique : La loi d Ohm s applique en régime sinusoïdal comme en continu. La tension aux bornes d une résistance est donc u R (t) = Ri(t). Soit : =R La tension mesurée aux bornes d une résistance n est pas déphasée par rapport au courant qui circule dans la résistance. 31

Cas de la bobine : On a précédemment vu que la tension aux bornes d une bobine est définie par : u L (t) = L. Sachant que i(t)s écrit sous la forme complexe : i(t) = = I M cos( ) = avec I M, la tension u L (t) s écrit : u L (t) =jl. En écriture phaseur on a = jl. On posera l impédance complexe d une bobine parfaite la grandeur = jl. Son module est L. L unité de l impédance est en OHM D où = = jl. On remarque que la tension aux bornes du condensateur est déphasée de par rapport au courant qui circule dans la bobine Cas d un condensateur : La tension mesurée aux bornes d un condensateur est définie par : u(t)=. En utilisant l expression phaseur de l intensité, =. On posera = l impédance du condensateur. D où = = 1 On remarque que la tension aux bornes du condensateur est en retard de par rapport au courant qui circule dans le condensateur. 32

Allure de la courbe de tension et du courant en régime sinusoïdal Généralisation : En régime sinusoïdal, la loi d ohm s écrit : = avec l impédance complexe de la partie du circuit étudié. D une manière générale = R+jX où R est la partie réelle appelée résistance et X la partie imaginaire appelée réactance. Pour X<0, la réactance est capacitive (condensateur). Dans le cas contraire elle est inductive (bobine). On définit l admittance par l inverse de l impédance. = é 1 : : = 33

Résumé : Ou Bobine idéale Rappel sur les bobines La réactance d une bobine est proportionnelle à la fréquence. X L = jl La bobine réelle ayant une résistance non nulle, R = r L L impédance d une bobine réelle est : X L = jl Si f est petit (en DC f = 0Hz) X L = 0 Z L = r L Si f est grand X L Z L = X L 34

Associations d impédances III. Générateurs sinusoïdaux 35

IV. Lois de Kirchhoff et théorèmes en régime sinusoïdal Exemples : Exemple.1 Toutes les lois et règles utilisées en continu restent valables en régime sinusoïdal lorsqu on les utilise pour décrire l état du circuit en valeurs instantanées ou à l aide des phaseurs. 36

u(t) est une tension sinusoïdale définie par u(t) =U M cos. Déterminer l expression temporelle du courant qui circule dans le montage. La méthode choisie est celle de l utilisation du phaseur. L utilisation du diviseur de tension conduit à exprimer. avec tan L expression temporelle de la tension aux bornes de la résistance s écrit : u R (t) = cos ( En utilisant la loi d Ohm, l expression temporelle du courant s écrit : i(t) = u R (t)/r i(t) = Exemple.2 cos ( E(t) = E cos et i(t) = I cos ( Expliciter l expression de à l aide des éléments du montage. Il faut donc exprimer l intensité du courant qui circule dans le montage ci-dessus. En utilisant la loi des mailles en notation phaseur, on trouve : ce qui donne : soit I = et arctan = - 37

PUISSANCE EN RÉGIME PÉRIODIQUE Nous allons nous intéresser particulièrement à l étude de la puissance en régime sinusoïdal monophasé. On définira : la puissance instantanée La puissance moyenne Il existe différentes puissances en électricité. La puissance active, la puissance réactive et la puissance apparente (puissance complexe). Leur étude sera développée dans les paragraphes suivants. I) Puissance instantanée et puissance moyenne La puissance instantanée reçue ou fournie par un composant est définie par : p(t) = u(t).i(t). Pour un régime sinusoïdal l expression de la puissance instantanée s écrit : p(t) = U M cos(. I M cos(. p (t) = 2+cos () On remarque que l expression de la puissance instantanée comporte deux termes. L un est fonction du temps, l autre indépendant du temps. p (t) est une grandeur algébrique. Elle peut être positive ou négative. La puissance moyenne est le résultat du calcul de la valeur moyenne de la puissance instantanée. P moy <p(t>= La puissance active P dissipée dans un dipôle est égale à la valeur moyenne de la puissance instantanée p(t). La puissance active s exprime en Watt et se mesure avec un Wattmètre. La puissance active ne dépend que des valeurs efficaces de l intensité du courant, de la tension et du déphasage qui peut exister entre ces deux grandeurs. En effet P moy = 1 0 2 cos()) dt 2 Le calcul de l intégrale donne : cos () car la valeur moyenne d un signal sinusoïdal est nulle. Nous avons déjà évoqué le mot tension ou courant efficace dont les expressions en régime sinusoïdal sont I eff = et U eff = En posant = on peut écrire P moy = cos ( = U eff. I eff. cos( Dans le cas d un dipôle purement résistif, la puissance moyenne est P moy =. Cette puissance est toujours positive. Dans le cas d une inductance pure, le déphasage entre le courant et la tension étant de + la puissance moyenne est nulle. Dans le cas d un condensateur, le déphasage entre le courant et la tension étant de -, la puissance moyenne est nulle.

L expression de la puissance moyenne consommée par une résistance parcourue par un courant d amplitude maximale I M étant P moy = on peut écrire aussi cette expression en remplaçant 2 l intensité du courant par. On a alors P moy =. Le calcul de l intégrale donne le résultat ci-dessous : P moy = = On peut en déduire la relation : La tension efficace U eff représente la valeur de la tension continue qui fournirait la même puissance à la résistance R. De la même façon on peut dire que I eff est la valeur de l intensité du courant continu qui fournirait la même puissance à la résistance R. II) Etude de la puissance en utilisant l écriture complexe : On a vu que la fonction sinusoïdale pouvait aussi être représentée par une écriture complexe. Soit u(t) = U M cos( ) en écriture phaseur on a : et i(t) = I M cos( ) en écriture phaseur La puissance moyenne qu on a déjà calculé est : cos() On remarquera que l expression de la puissance moyenne représente la partie réelle du nombre complexe = (cos()+ avec On posera =.On peut rapprocher cette expression de = avec é. S est la puissance complexe exprimée en V. A. Son module est U eff. I eff. La partie réelle de l expression de S étant la représentation de la puissance active, la partie imaginaire représente la puissance réactive Q. En posant = P+jQ on en déduit P = (cos() et Q = La puissance réactive concerne le condensateur et la bobine. Expression de la puissance réactive Q d une résistance. On sait que le déphasage entre le courant qui circule dans une résistance R et la tension à ses bornes est nul. Donc = 0 Par conséquent la puissance réactive Q d une résistance est nulle. Expression de la puissance réactive Q d une bobine pure. On sait que le déphasage entre la tension à ses bornes le courant qui circule dans une bobine est +. Donc = 1 Par conséquent la puissance réactive Q d une bobine est = rappel : Expression de la puissance réactive Q d un condensateur. On sait que le déphasage entre la tension à ses bornes et le courant qui circule dans un condensateur est. Donc = -1 Par conséquent la puissance réactive Q d un condensateur est = rappel : De même exprimons la puissance complexe d une résistance, bobine et condensateur ; Pour une résistance : = U Reff =R

Pour une bobine : = = jl Pour un condensateur : = U Ceff = -jc Exemple d application : =90j ; = -30j ; Z R = 180 Exprimer le courant qui circule dans le circuit étudié. Le générateur de tension est défini par : = 3 III) Théorème de Boucherot Définition : Dans un réseau quelconque, monophasé, série, parallèle ou mixte, la puissance active totale des récepteurs ou générateurs est la somme des puissances actives individuelles, la puissance réactive totale des générateurs ou récepteurs est la somme des puissances réactives individuelles mais la puissance apparente totale des récepteurs ou générateurs n'est pas égale à la somme des puissances apparentes individuelles. Etant donné qu il y a conservation de l énergie, la somme des puissances actives des générateurs est égale à la somme des puissances actives des récepteurs. De même, la somme des puissances réactives des générateurs est égale à la somme des puissances réactives des récepteurs. Exemple d application : équation horaire écriture exponentielle écriture polaire u(t)= U 2 sin(ωt+θ u ) U=U M.e jθu U =[U M,θ u ] i(t)= I 2sin(ωt+θ i ) I=I M.e jθi I =[I M,θ i ] Soit un circuit composé d un générateur de tension 3. en série avec une résistance de 10 et d une bobine d impédance = 10j. Faites le bilan des puissances et vérifier le théorème de Boucherot. Réponses : On calcule l expression du courant := soit : = = P R = R =9/20W Q L = = 9j/20 V.A.R. Pg = = 3 1 = j(9/20) +(9/20) = Qg +Pg On voit bien que P R = P g et Q g = Q L le théorème de Boucherot est vérifié. FIN