Sommaire SUITES GEOMETRIQUES... 2 CONTINUITE... 4 FONCTION EXPONENTIELLE... 5 PROBABILITES CONDITIONNELLES... 7 FONCTION LOGARITHME NEPERIEN... 9 INTEGRATION... 10 LOIS A DENSITE... 11 INTERVALLE DE FLUCTUATION - ESTIMATION... 13 CONVEXITE... 15 ALGORITHMIQUE... 16 1
SUITES GEOMETRIQUES Une entreprise du secteur «Bâtiments et travaux publics» doit réduire la quantité de déchets qu elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s engage, à terme, à rejeter moins de 20 000 tonnes de déchets par an. En 2007, l entreprise rejetait 40 000 tonnes de déchets. Depuis cette date, l entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu elle rejette de 15% par rapport à la quantité rejetée l année précédente, mais elle produit par ailleurs 600 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités. Pour tout nombre entier naturel n, on note r n la quantité, en tonnes, de déchets pour l année (2007 + n). On a donc r 0 = 40 000. 1) a) Calculer r 1 et r 2. b) Justifier que, pour tout nombre entier naturel n : r n+1 = 0,85r n + 600. 2) a) A l aide des droites d équation y = x et y = 0,85x + 600, construire sur un graphique en escalier qui fera figurer sur l axe des abscisses les termes r 0, r 1, r 2 et r 3. On pourra utiliser un repère orthonormé avec comme échelle 5 000 tonnes représentées par 1 cm en abscisse et en ordonnée. b) Conjecturer à partir de ce graphique le sens de variation de la suite (r n ) et sa limite. 3) Soit (s n ) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par s n = r n 4000. a) Démontrer que la suite (s n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Pour tout nombre entier naturel n, exprimer s n en fonction de n. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n : r n = 36 000 0,85 n + 4 000. c) La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d une année sur l autre? Justifier. d) Déterminer la limite de la suite (r n ). e) Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en 2011. 4) A partir de quelle année, le contexte restant le même, l entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement? 1) a) Une diminution de 15% correspond à un coefficient multiplicateur de 1 15 100 = 0,85 Donc r 1 = 0,85 r 0 + 600 = 0,85 40 000 + 600 = 34 600 Donc r 2 = 0,85 r 1 + 600 = 0,85 34 600 + 200 = 30 010 b) En passant d une année à l autre la quantité de déchets est diminuée de 15% (soit une multiplication par 0,85) 2) a) et augmentée d une part fixe de 600. On a donc bien r n+1 = 0,85r n + 600. b) Il semble que la suite (r n ) soit décroissante et que lim r n = 4 000 3) a) s n+1 = r n+1 4 000 = 0,85r n + 600 4000 = 0,85 (s n + 4000) 3400 s n+1 = 0,85s n + 0,85 4000 3400 2
s n+1 = 0,85s n s 0 = r 0 4 000 = 40 000 4 000 = 36 000 Donc (s n ) est la suite géométrique de premier terme s 0 = 36 000 et de raison q = 0,85. b) s n = s 0 q n = 36 000 0,85 n Et r n = s n + 4 000 = 36 000 0,85 n + 4 000 c) r n+1 r n = (36 000 0,85 n+1 + 4 000) (36 000 0,85 n + 4 000) r n+1 r n = 36 000 0,85 n (0,85 1) = -1 800 0,85 n Or pour tout nombre entier naturel n, -5 400 0,85 n < 0. Donc r n+1 < r n La suite (r n ) est donc décroissante : la quantité de déchets rejetée diminue d une année sur l autre. d) comme 0 < 0,85 < 1 alors lim s n = 0 Et comme r n = s n + 4 000, alors lim r n = 4 000 e) 2011 = 2007 + 4 u 4 = 36 000 0,85 4 + 4 000 22 792 La quantité de rejets en 2011 peut être estimée à environ 22 792 tonnes. 4) On cherche le plus petit entier n tel que r n < 20 000. Année n r(n) 2007 0 40000 2008 1 34600 2009 2 30010 2010 3 26108,5 2011 4 22792,225 2012 5 19973,3913 2013 6 17577,3826 2014 7 15540,7752 Le calcul des premiers termes de la suite (r n ) permet d affirmer que c est à partir de 2012 que l entreprise réussira à respecter son engagement. 3
f est la fonction définie sur [-2 ;3] par : CONTINUITE f(x) = x 3-3x² + 6 a) Dresser le tableau de variation de f. b) Montrer que l équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [-2 ;3]. c) En déduire le tableau de signes de f(x) sur [-2 ;3]. d) A l aide de la calculatrice, déterminer l arrondi de α au centième. a) f en tant que polynôme est dérivable sur Y. f (x) = 3x² - 6x = 3x(x 2) Tableau de signes de f (x) : x -2 0 2 3 3x - 0 + + x 2 - - 0 + f'(x) + 0-0 + On en déduit le tableau de variation de f : x f' -2 f(x) -14 f(-2) = (-2) 3-3 (-2)² + 6 = -8-3 4 + 6 = -8-12 + 6 = -14 f(0) = 0 3 0 + 6 = 6 f(2) = 2 3-3 2² + 6 = 8 12 + 6 = 2 f(3) = 3 3-3 3² + 6 = 27 27 + 6 = 6 b) Comme f est strictement croissante sur [-2 ;0] et f(-2) < 0 et f(0) > 0, alors d après la propriété des valeurs intermédiaires il existe un réel α [-2 ;0] tel que f(α) = 0. D après le tableau des variations de f, on a de plus si x [0 ;3] alors f(x) > 0. Donc l équation f(x) = 0 admet bien une unique solution α dans l intervalle [-2 ;3]. c) Tableau de signes de f(x) sur [-2 ;3] : + x -2 α 3 f(x) - 0 + 0 6-2 2 + 6 3 d) En utilisant une méthode de recherche par - 1,20 balayage sur la calculatrice, on obtient : α 4
FONCTION EXPONENTIELLE On a représenté ci-dessus la courbe C d une fonction g définie et dérivable sur [0 ;8] ainsi que la tangente T à cette courbe en son point de coordonnées (0 ;7). On désigne par g la fonction dérivée de la fonction g. PARTIE A 1) Préciser la valeur du réel g(0). 2) On admet que la tangente T passe par le point de coordonnées (4 ;-2,8). Justifier que la valeur exacte de g (0) est -2,45. 3) On admet que la fonction g est définie sur l intervalle [0 ;8] par : g(x) = a) Démontrer que pour tout réel x de [0 ;8], on a g (x) = a e bx où a et b sont des nombres réels. + 1 -abe bx (e bx + 1)². b) En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels a et b. 1) g(0) = 7 2) g (0) est la pente de la tangente T. Soit -2,8 7 4-0 = -2,45. 3) g(x) =a 1 v(x) en posant v(x) = ebx + 1 g (x) = -a v (x) (v(x))² Or v (x) = be bx Donc g (x) = b) g(0) = 7 -abe bx (e bx + 1)². g (0) = -2,45 Donc g(x) = a e 0 = 7 a = 7 2 = 14 + 1 14 e 0,7x + 1. -abe 0 9,8 (e 0 = -2,45-14b = -2,45 4 b = + 1)² 14 = 0,7 5
PARTIE B On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est x, en centaines d euros. D après une étude de marché, l offre f(x) et la demande g(x) pour cet objet, en centaines d unités, sont définies pour tout x positif ou nul par : f(x) = e 0,7x 1 et g(x) = 14 e 0,7x + 1. 1) Représenter, sur l intervalle [0 ;3], la courbe associée à la fonction f dans le repère ci-dessus. 2) Si le prix de vente unitaire de l objet est 300, combien d objets (à l unité près) les consommateurs sont-ils prêts à acheter? 3) Déterminer le prix de vente unitaire de l objet, arrondi à dix euros près, pour que la demande soit de 350 objets? 4) a) Donner une valeur approchée au dixième de l unique solution de l équation f(x) = g(x). On appelle «prix d équilibre» le prix permettant l égalité entre l offre et la demande. Quel est le prix d équilibre, arrondi à dix euros près. b) Au prix d équilibre, quelle est la valeur commune de l offre et de la demande, arrondie à dix unités près? c) Quel est le chiffre d affaire, arrondi à mille euros près, généré par les ventes au prix d équilibre? 1) 2) On calcule une valeur approchée de g(3) = 14 e 0,7 3 + 1 = 14 e 2,1 + 1 1,527. Si le prix de vente unitaire de l objet est 300, les consommateurs sont prêts à acheter environ 153 objets. 3) a) On lit l'abscisse du point d'intersection des courbes représentant les fonctions f et g. On lit environ : 1,9. Le prix d'équilibre est donc environ égal à 190. 6
PROBABILITES CONDITIONNELLES Dans un lycée, 60% des élèves de Terminale sont des filles et 40% d entre elles ont choisi la filière ES. On sait par ailleurs que 50% des garçons ont choisi cette filière. On choisit au hasard un élève de Terminale. a) Représenter l expérience par un arbre pondéré. b) Calculer la probabilité que l élève choisi soit une fille de la section ES. c) Calculer la probabilité que l élève choisi soit en section ES. d) L élève choisi est en section ES. Quelle est la probabilité que ce soit une fille? a) 0,4 ES 0,6 Fille 0,6 Autre série 0,5 ES 0,4 Garçon 0,5 Autre série b) Soit F l évènement «l élève est une fille.» Soit ES l évènement «l élève est en série ES». On calcule la probabilité P(F ES) = P(F) P F (ES) = 0,6 0,4 = 0,24 c) Les évènements F et F forment une partition de l univers. Donc, d après la formule des probabilités totales, on a : P(ES) = P(F ES) + P( F ES) = P(F) P F (ES) + P F (ES ) Soit P(ES) = 6 0,4 + 0,4 0,5 = 0,24 + 0,2 = 0,44. d) P ES (F) = P(ES F) P(ES) = 0,24 0,44 = 6 11 L élève choisi étant en série ES, la probabilité que ce soit une fille est 6 11. Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert : un assortiment de macarons, choisi par 50 % des clients ; une part de tarte tatin, choisie par 30 % des clients. 20 % des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts. Le restaurateur a remarqué que : parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80 % prennent un café ; parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60 % prennent un café ; parmi les clients n ayant pas pris de dessert, 90 % prennent un café. On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note p la probabilité associée à cette expérience aléatoire. On note : M l évènement : «Le client prend un assortiment de macarons» ; T l évènement : «Le client prend une part de tarte tatin» ; 7
P l évènement : «Le client ne prend pas de dessert» ; C l évènement : «Le client prend un café» et C l évènement contraire de C. 1) P(T) = 30 100 = 0,3 et P T(C) = 60 100 = 0,6 2) 0,2 0,3 0,6 0,4 0,2 0,9 0,1 3) a) L événement M C représente un client qui prend un macaron et un dessert. P(M C) = 0,5 0,8 = 0,4 b) Les événements M, T et P forment une partition de l univers ; donc d après la formule des probabilités totales : P(C) = P(M C) + P(T C) + P(P P) = 0,5 0,8 + 0,3 0,6 + 0,2 0,9 = 0,4 + 0,18 + 0,18 = 0,76 4) On cherche la probabilité conditionnelle P C (M) = P(C M) P(C) = 0,4 0,76 0,53 5) a) Les 6 valeurs possibles pour la somme dépensée par un client sont : 18 ; 18 + 2 = 20 ; 18 + 6 = 24 ; 18 + 7 = 25 ; 18 + 6 + 2 = 26 ; 18 + 7 + 2 = 27. b) Somme s i 18 20 24 25 26 27 p(si) 0,02 0,18 0,5 0,2 = 0,1 0,3 0,4 = 0,12 0,5 0,8 = 0,4 0,3 0,6 = 0,18 On vérifie que 0,02 + 0,18 + 0,1 + 0,12 + 0,4 + 0,18 = 1 c) E(S) = 18 0,02 + 20 0,18 + 24 0,1 + 25 0,12 + 26 0,4 + 27 0,18 = 24,62 La somme moyenne dépensée par un client pour un repas est de 24,62. 8
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN Une entreprise produit et vend des pièces pour hélicoptères. Sa production mensuelle, comprise entre 100 et 600 pièces, est intégralement vendue. Le bénéfice mensuel, en dizaines de milliers d euros, est modélisé par la fonction f définie sur l intervalle [1 ;6] par : f(x) = -x² + 10x 9 8 ln x. où x est le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines de pièces. -2(x 1)(x 4) a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l intervalle [1 ;6], f (x) =. x b) Etudier le signe de f (x) sur l intervalle [1 ;6]. c) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [1 ;6]. d) Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal? Calculer ce bénéfice arrondi à l euro près. a) f est dérivable sur [1 ;6] car les fonctions x -x² + 10x 9 est dérivable sur Y et la fonction x -8 ln x est dérivable sur ]0 ; + [. f (x) = -2x + 10 8 x = -2x² + 10x 8 x x f' 1 f(x) 0 = + -2(x² - 5x + 4) x 4 = 15-8 ln 4-2(x 1)(x 4) x b) Sur l intervalle [1 ;6], f (x) est du signe de P(x) = -2(x 1)(x 4) Tableau de signes : x 1 4 6-2(x 1) 0 - - x - 4-0 + P(x) 0 + 0 - c) Tableau de variation de f : - 6 15-8 ln 6 f(1) = -1² + 10 1 9-8 ln 1 = -1 + 10 9-8 0 = 0 f(4) = -4² + 10 4 9-8 ln 4 = -16 + 40 9-8 ln 4 = 15-8 ln 4 f(6) = -6² + 10 6 9-8 ln 6 = -36 + 60 9-8 ln 6 = 15-8 ln 6 d) Le maximum de f est atteint pour x = 4 soit pour 400 pièces produites. La valeur de ce maximum est 15-8 ln 4 3,9096 ce qui correspond au bénéfice maximum de 39 010. Vérification en visualisant la représentation graphique de f : 9
INTEGRATION 1 ère partie : Étude d une fonction On considère la fonction f définie sur [0 ; 5] par = 8. 1. Montrer que f (x) = xe x où f désigne la fonction dérivée de f sur [0 ; 5]. 2. Dresser le tableau de variations complet de de f sur [0 ; 5]. 3. a) Montrer que l équation f (x) = 0 admet sur [0 ; 5] une unique solution a. b) Montrer que 2, 040 < a < 2, 041. c) En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de f (x) en fonction des valeurs de x sur [0; 5]. 4. a) Montrer que la fonction g définie sur [0 ; 5] par = 2 8 est une primitive de f sur [0 ; 5]. b) Calculer la valeur exacte de. 1) f(x) = u(x) v(x) e x 8 avec u(x) = x et v(x) = e x f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) - e x Or u (x) = 1 et v (x) = e x Donc f (x) = 1 e x + xe x e x = xe x 2) Sur [0 ;5] x e x 0 ; donc f est croissante sur [0 ;5]. f(0) = 0 e 0 e 0 8 = 0 1 8 = -7 et f(5) = 5 e 5 e 5 8 = 4e 5 8 586 3) a) f est continue et strictement croissante sur [0 ;5] et f(0) < 0 et f(5) > 0 ; donc d après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = 0 admet une solution unique a appartenant à l intervalle [0 ;5]. b) Avec la calculatrice, f(2,040) -0,0017 < 0 et f(2,041) = 0,014 > 0 Donc 2,040 < a < 2,041 4) a) g (x) = e x + xe x 2e x 8 = xe x e x 8 = f(x) Donc g est bien une primitive de f sur [0 ;5] b) = g(5) g(3) = (5e 5 2e 5 8 5) - (3e 3 2e 3 8 3) = 3e 5 e 3-16 2 ème partie : Application à une situation économique Une entreprise fabrique x milliers d objets avec x appartenant à [0; 5]. La fonction f de la 1 ère partie modélise les bénéfices ou les pertes de l entreprise en centaine d euros. Pour une quantité x donnée, si f (x) est positif, l entreprise réalise un bénéfice, et si f (x) est négatif, l entreprise subit une perte. En utilisant les résultats de la 1 ère partie, répondre aux questions suivantes en justifiant : 1. À partir de combien d objets produits, l entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices? 2. L entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5 milliers d objets. Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur [3 ; 5]. (On donnera le résultat arrondi à l euro près). 1) On résout l inéquation f(x) 0 : soit x a Soit x > 2,041 L entreprise commence à réaliser des bénéfices à partir de 2041 objets produits. 2) La valeur moyenne est µ = 1 5-3 5 1 f(x)dx = 3 2 (3e5 e 3 16) 204,58 La valeur moyenne du bénéfice sur [3 ; 5] est donc environ 20 458. 10
Contrôle du poids d une pièce LOIS A DENSITE Une entreprise fabrique des pièces en grande série. Une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505. L entreprise dispose d une machine de contrôle des pièces fabriquées. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur la masse d une pièce en grammes. On admet que X suit une loi normale d espérance mathématique 7,5 et d écart-type σ. a) Après une période de production, la machine de fabrication a subi un dérèglement brutal. L écart-type σ vaut alors 0,015. Calculer la probabilité qu une pièce soit conforme. b) Calculer la valeur de σ pour laquelle la probabilité qu une pièce soit conforme est égale à 0,99. On posera Y = X 7,5 et on exprimera les conditions portant sur Y. σ c) On suppose que σ vaut 0,002 et qu à la suite d un nouveau dérèglement, la variable aléatoire X suit la loi normale d espérance 7,502 et d écart-type 0,002. Calculer la probabilité qu une pièce soit conforme. a) On cherche P(7,495 X 7,505) avec µ = 7,5 et σ = 0,015 A l aide de la calculatrice, on obtient : Ou bien à l aide de la formule d un tableur suivante : =LOI.NORMALE.N(7,505;7,5;0,015;VRAI) - LOI.NORMALE.N(7,495;7,5;0,015;VRAI) Ou bien à l aide de l outil «Calculs de probabilité» de GeoGebra : La probabilité qu une pièce soit conforme est donc environ égale à 0,261. b) On cherche σ tel que P(7,495 X 7,505) = 0,99 avec µ = 7,5. Soit P( -0,005 σ Y 0,005 σ ) = 0,99 La variable aléatoire Y suit la la loi normale centrée et réduite N(0 ;1). 11
On pose u = 0,005 σ. P( -0,005 σ Y 0,005 ) = 0,99 P(-u Y u) = 0,99 σ P(Y u) P(Y -u) = 0,99 P(Y u) (1 - P(Y u)) = 0,99 2 P(Y u) 1 = 0,99 P(Y u) = 1,99 2 P(Y u) = 0,995 A l aide de la fonction FracNormale d une calculatrice TI, on obtient Avec un tableur, on utilise la formule : =LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE.N(0,995) On a donc u 2,5783 Soit 0,005 σ 2,5783 D où : σ 0,005 2,5783 0,00194 Pour que la probabilité qu une pièce soit conforme soit égale à 0,99 il faut prendre pour σ une valeur proche de 0,00194. c) On cherche P(7,495 X 7,505) avec µ = 7,502 et σ = 0,002 Avec la calculatrice : Avec un tableur : =LOI.NORMALE.N(7,505;7,502;0,002;VRAI)-LOI.NORMALE.N(7,495;7,502;0,002;VRAI) Ou bien à l aide de l outil «Calculs de probabilité» de GeoGebra : La probabilité que la pièce soit conforme avec µ = 7,502 et σ = 0,002 est environ égale à 0,933. 12
INTERVALLE DE FLUCTUATION - ESTIMATION On jette 300 fois un dé à 6 faces et on obtient 39 fois le 5. a) En supposant que le dé est équilibré, quelle est la probabilité d obtenir le 5? b) Déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion 5 obtenus pour échantillon de taille 300. c) Au seuil de 95%, doit-on rejeter l hypothèse selon laquelle le dé est équilibré? Justifier la réponse. a) La probabilité demandée est 1 6. b) L intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est : I = 1 6-1,96 I [0,124 ;0,209] 1 6 1 1 6 300 ;1 6 + 1,96 1 6 1 1 6 300 = 1 6-1,96 2160 ; 1 6 + 1,96 2160 c) La fréquence obtenue à l issue des 300 lancers est : 39 300 = 13 100 = 0,13. 0,13 I : on peut donc accepter l hypothèse selon laquelle le dé est équilibré. L entreprise Médiamétrie mesure l audience des chaines de télévision en France en se basant sur un échantillon constitué des membres du panel ayant indiqué leur présence devant leur téléviseur. On considère dans cet exercice que ces échantillons sont aléatoires. a) Combien de téléspectateurs doivent avoir indiqué leur présence pour pouvoir construire un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 d amplitude inférieure ou égale à 7%? b) Un mardi à 14 h, sur 1 435 téléspectateurs, 512 regardaient la première chaîne. Déterminer l intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de téléspectateurs de la première chaîne à ce moment. c) Un samedi à 21 h 30, sur 9 351 téléspectateurs, 3 337 regardaient la deuxième chaîne. Déterminer l intervalle de confiance au seuil de 0,95 de la proportion de téléspectateurs de la deuxième chaîne à ce moment. d) Ces résultats permettent-ils d émettre une conclusion générale sur les audiences des deux chaînes? a) L amplitude de l intervalle de confiance d un échantillon de taille n est égale à 2 n. On veut donc que 2 n 0,07 Soit : 2 0,07 Soit : n 2 0,07 2 ² 0,07 Soit n Soit n 817 n Il faut donc au minimum un panel de 817 téléspectateurs. b) L intervalle de confiance à 95% pour la première chaîne est : I 1 = 512 1435-1 1435 ; 512 1435 + 1 I 1 [0,330 ;0,383] 1435 13
c) L intervalle de confiance à 95% pour la deuxième chaîne est : I 2 = 3337 9351-1 9351 ;3337 9351 + 1 9351 I 2 [0,346 ;0,368] d) Les deux intervalles ne sont pas disjoints : on ne peut pas affirmer que l audience d une chaîne est supérieure à celle de l autre. 14
Vrai - Faux CONVEXITE Pour chacune des cinq affirmations, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier f est la fonction définie sur Y par : f(x) = (x² - 4x + 5)e x 1) La fonction f est décroissante sur Y. 2) Pour tout nombre réel x, f (x) = (x² - 1)e x 3) f est convexe sur [-1 ;1]. 4) Dans un repère, la courbe représentative de la fonction f admet un unique point d inflexion. 5) Pour tout nombre réel x, f(x) > x 3-4x² + 5x 1) La fonction f est dérivable sur Y en tant que produit de deux fonctions dérivables sur Y. f (x) = (2x 4) e x + (x² - 4x + 5)e x = (x² - 2x + 1)e x = (x - 1)² e x Pour x réel, (x - 1)² 0 et e x 0 ; donc f (x) 0 Donc f est croissante sur Y. L affirmation est donc fausse. 2) f (x) = 2 (x - 1)e x + (x - 1)²e x = (x - 1)e x (2 + x - 1) = (x + 1)(x - 1)e x f (x) = (x² - 1)e x L affirmation est donc vraie. 3) Pour x [-1 ;1], x + 1 0 et x - 1 0 ; donc (x + 1)(x - 1) 0 et f (x) 0 Donc f est concave sur [-1 ;1]. L affirmation est donc fausse. 4) f' (x) = 0 (x + 1)(x - 1)e x = 0 x = -1 ou x = 1 Tableau de signes de f (x) x - -1 1 + x + 1-0 - + x - 1-0 + f (x) - 0 + 0 - f (x) s annule en changeant de signe pour x = -1 et x = 1. Donc la courbe représentative de la fonction f admet deux points d inflexion. L affirmation est donc fausse. 5) Pour tout x réel, on sait que e x > x Le discriminant de x² - 4x + 5 = 0 est = (-4)² - 4 5 = 16 20 = -4 < 0 Donc x² - 4x + 5 > 0 pour tout x réel. Donc (x² - 4x + 5) e x > (x² - 4x + 5) x Soit f(x) > x 3-4x² + 5x. L affirmation est donc vraie. 15
ALGORITHMIQUE Une association décide d ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris. Le centre ouvre ses portes le 1 er janvier 2013 avec 115 oiseaux. Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1 er janvier d une année restent présents le 1 er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année. On s intéresse au nombre d oiseaux présents dans le centre au 1 er janvier des années suivantes. La situation peut être modélisée par une suite (u n ) admettant pour premier terme u 0 = 115, le terme u n donnant une estimation du nombre d oiseaux l année 2013 + n. 1. Calculer u 1 et u 2. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats? 2. Les spécialistes déterminent le nombre d oiseaux présents dans le centre au 1 er janvier de chaque année à l aide d un algorithme. a. Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l algorithme 3 permet d estimer le nombre d oiseaux présents au 1 er janvier de l année 2013 + n. Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu. Variables : Variables : Variables : U est un nombre réel U est un nombre réel U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers i et N sont des nombres entiers i et N sont des nombres entiers Début Début Début Saisir une valeur pour N Saisir une valeur pour N Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 0,6 U + 120 à U Affecter 0,4 U + 115 à U Affecter 0,4 U + 120 à U Fin Pour Fin Pour Fin Pour Afficher U Afficher U Afficher U Fin Fin Fin algorithme 1 algorithme 2 algorithme 3 b. Donner, pour tout entier naturel n, l expression de u n+1 en fonction de u n. 3. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n 200. a. Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser v 0. b. Exprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. c. En déduire que pour tout entier naturel n, u n = 200 85 0,4 n. d. La capacité d accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant? Justifier la réponse. Chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au 1er janvier. Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l on suppose que l évolution du nombre d oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. 1) u 1 = 115 0,4 + 120 = 46 + 120 = 166 et u 2 = 166 0,4 + 120 = 66,4 + 120 = 186,4 186 Il convient d arrondir les résultats à l unité près. 2) a) L algorithme 1 ne convient pas car l instruction à l intérieur de la boucle Pour : «Affecter 0,6 U + 120 à U» est erronée (le coefficient multiplicatif doit être 0,4 et non 0,6). L algorithme 2 ne convient pas car l initialisation de la variable U (correspondant au premier terme u 0 de la suite) est effectuée à l intérieur de la boucle Pour alors que cette instruction doit être placée avant la boucle Pour. b) u n+1 = 0,4u n + 120 3) a) v n+1 = u n+1 200 = 0,4u n + 120 200 = 0,4(v n + 200) 80 = 0,4v n + 0,4 200 80 16
v n+1 = 0,4v n + 80 80 = 0,4v n Donc (v n ) est bien une suite géométrique de raison 0,4. v 0 = u 0 200 = 115 200 = - 85 b) Comme (v n ) est la suite géométrique de raison q = 0,4 et de premier terme -85, alors sa définition explicite est : v n = v 0 q n = - 85 0,4 n. c) On en déduit l expression explicite du terme de rang n de la suite (u n ) : u n = 200 + v n = 200-85 0,4 n. d) On peut montrer que la suite (u n ) est croissante et que sa limite est 200. (En effet, la limite de -85 0,4 n est 0 (car 0 < 0,4 < 1)) La capacité d accueil du centre est donc suffisante. n Date u(n) Somme des (un) 0 01/01/2013 115 115 1 01/01/2014 166 281 2 01/01/2015 186 467 3 01/01/2016 195 662 4 01/01/2017 198 860 5 01/01/2018 199 1059 Entre le premier janvier 2013 et le 31 décembre 2018, le nombre d oiseaux présents dans le centre sera : u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 1059 Le montant total des subventions perçues sur cette période par le centre sera donc environ : 1059 20 = 21 180. Longueur au hasard O B A I On choisit au hasard deux points A et B sur un segment de longueur 1. On veut déterminer la probabilité p que la longueur AB soit supérieure ou égale à 0,5. Faute de savoir calculer directement p, nous allons simuler cette expérience un grand nombre de fois. 1) Si A a pour abscisse a dans le repère (O ; OI) et si B a pour abscisse b, quelle est la distance AB? 2) Voici un algorithme pour simuler n expériences : Entrée Saisir n Traitement S prend la valeur 0 Pour i variant de 1 à n a prend la valeur nombre aléatoire de [0 ;1[ b prend la valeur nombre aléatoire de [0 ;1[ Sortie l prend la valeur (a b)² Si alors S prend la valeur.. FinSi FinPour F prend la valeur S/n Afficher f 17
a) Dans la boucle «pour», que contient la variable? b) Complétez les parties manquantes de l algorithme. c) Que contiennent les variables S et f à la sortie de la boucle «pour»? 3) a) Traduisez l algorithme précédent en un programme adapté à votre ordinateur ou à votre calculatrice. b) Faites tourner ce programme et notez les résultats obtenus pour : n = 100 n = 1 000 n = 10 000 (si votre équipement le permet!) 4) a) A l aide des résultats précédents, donnez une estimation de p en utilisant l intervalle de confiance au niveau 0,95. b) Si l on veut une estimation de p au niveau 0,95 avec un intervalle d amplitude 2 10-2, quelle valeur de n faut-il prendre? Note : On peut montrer que p est égal à 0,25. 1) AB = b a = (b a)² 2) a) La variable l contient la longueur AB. b) Entrée Saisir n Traitement S prend la valeur 0 Pour i variant de 1 à n a prend la valeur nombre_aléatoire(0 ;1) b prend la valeur nombre_aléatoire(0 ;1) l prend la valeur (a b)² Si l >= 0,5 Alors S prend la valeur S + 1. FinSi FinPour f prend la valeur S/n Sortie Afficher f c) S contient le nombre de segments simulés aléatoirement dont la longueur est supérieure ou égale à 0,5 parmi les n expériences et f la fréquence correspondante. 3) a) Programme écrit avec AlgoBox b) Exécution avec n = 100 : Exécution avec n = 1000 : Exécution avec n = 10 000 : 18
Programme pour TI-83 ou TI-84 : :Input N :0 S :For(I,1,N) :rand A :rand B :abs(b-a) L :If L>0.5 :Then :S+1 S :End :End :S/N F :Disp F Programme pour TI-NSpire : Define lgseg()= Prgm :Request "Saisir n",n :s:=0 :For i,1,n :a:=rand() :b:=rand() :l:=abs(b-a) :If l 0.5 Then :s:=s+1 :EndIf :EndFor :f:=((s)/(n)) :Disp approx(f) :EndPrgm 4) a) La fréquence obtenue par les simulations est proche de 0,25. L intervalle de confiance au niveau 0,95 est donc : I n = Vérification avec les simulations : Pour n = 100, I 10 = [0,15 ;0,35] (on vérifie que 0,24 I 100.) Pour n = 1000, I 1000 [0,218 ;0,282] (On vérifie que 0,254 I 1000.) Pour n = 10000 ; I 10000 = [0,24 ;0,26] (On vérifie que 0,2563 I 10000.) Ces 3 vérifications confirment bien qu une estimation de p est 0,25. b) L amplitude de I n est 2 n. 0,25 1 n ; 0,25 + 1 n On souhaite 2 n 2 10-2 Soit : 2 2 10-2 n Soit n 10 2 Soit n 10 4 Pour avoir une estimation de p au niveau 0,95 avec un intervalle d amplitude 2 10-2, n doit être égal à 10 000. 19