Exrcic Corrigé du contrôl n 7. La droit (IK) st contnu dans l plan (ABFE), la droit (BC) st contnu dans la plan (BCGF). L intrsction d cs dux plans st la droit (BF). Si ls droits (IK) t (BC) étaint sécants, lur point d intrsction appartindrait à (BF). Or ls trois droits n sont pas concourants car (IK) coup (BF) n K t (BC) coup (BF) n B. par conséqunt ls droits (IK) t (BC) n sont pas sécants.. (a) Ls droits (IK) t (AB) sont coplanairs t sécants n un point M. M (AB) donc M st un point du plan (ABC). M st donc l point d intrsction d la droit (IK) avc l plan (ABC). Ls droits (JK) t (BC) sont coplanairs t sécants n un point N. N (BC) donc N st un point du plan (ABC). N st donc l point d intrsction d la droit (JK) avc l plan (ABC). (b) (AI) st parallèl à (CJ) donc cs droits sont coplanairs. AI = 3 CJ, donc AIJC n st pas un parallélogramm. Ls droits (IJ) t (AC) sont coplanairs t n sont pas parallèls, lls sont donc sécants n un point P. (MN) st l droit d intrsction ds plans (ABC) t (IJK). P st un point d l intrsction d cs dux plans, donc P (MN). 3. (IJK) coup la fac ABFE suivant l sgmnt [IK] t la fac BCGF suivant l sgmnt [KJ]. Si dux plans sont parallèls, tout plan qui coup l un coup l autr t ls droits d intrsction sont parallèls. On a (ADHE) parallèl à (BCGF) t (DCGH) parallèl à (ABFE). L plan (IJK) coup la fac ADHE suivant un sgmnt passant par I parallèl à [KJ] t la fac DCGH suivant un sgmnt passant par J parallèl à [IK]. Montrons qu l quadrilatèr IKJH st un parallélogramm : IH = IE + EH = AE + AD. KJ = KB + BC + CJ = FB + BC + CG = AE + AD + AE = AE + AD. On a donc IH = KJ. On n conclut qu la sction du cub par l plan (IJK) st l parallélogramm IKJH.
H G E F +J + I D C + K A B M N Exrcic. Soit M(x; y; z). M d si t sulmnt si ls vcturs AM t AB sont colinéairs, c st à dir si t sulmnt si il xist un rél t tl qu AM = t AB. AB(; 3; ) t AM(x ; y + ; z + ). x = t x = + t M d t R, y + = 3t t R, y = 3t. z + = t z = t Un rprésntation paramétriqu d d st donc bin : x = + t y = 3t, t R. z = t. L vctur w( ; ; ) st un vctur dirctur d d. Ls vcturs AB t w n sont pas colinéairs car lurs coordonnés n sont pas proportionnlls, par conséqunt ls droits d t d n sont pas parallèls, lls sont soit sécants, soit non coplanairs. Chrchons lur intrsction. + t = t t + t = t = t 3t = + t 3t t = 3 3t ( t) = 3 t = t t t = t ( t) = t = t t = 5 t = C systèm n admt pas d solution donc d d =. On n déduit qu ls droits d t d n sont pas coplanairs. 3. Ls vcturs u t v n sont pas colinéairs, donc ls vcturs AB, u t v sont coplanairs si t sulmnt si il xist dux réls a t b tls qu AB = a u + b v.
AB = a u + b v = a 3 = a 5b = b a = 3 = 8 + 5 b = { a = b = On a donc : AB = u v. On n déduit qu la droit d st soit strictmnt parallèl au plan P, soit contnu dans l plan P. L point A st un point d P si t sulmnt si ls vcturs CA, u t v sont coplanairs. CA(; ; ) CA = a u + b v = a = a 5b = b CA = u v, donc A P. d P donc la droit d st contnu dans P. a = = + 5 b = { a = b = 3
Exrcic 3. (a) ( + ln x) = t x = 0 avc x > 0 donc, par quotint f(x) =. x 0 x 0 x 0 ln(x) (b) Par croissancs comparés, = 0. x Pour tout x ]0; + [, f(x) = x ln(x) + x. x = 0 donc, par produit, x x ln x x = 0. = 0 donc, par somm, x f(x) = 0. (c) Comm f(x) =, C admt un asymptot vrtical d équation x = 0. x 0 Comm f(x) = 0, C admt un asymptot horizontal d équation y = 0.. (a) Pour tout x ]0; + [ : f (x) = x x ( + ln x) x x x ln x ln x x = x = x 3. (b) ln x > 0 ln x < x <. Pour tout x ]0; + [, x 3 > 0 donc f (x) a l mêm sign qu ln x. On n déduit l tablau d sign d f (x) : x 0 + f (x) + 0 (c) Et l tablau ds variations d la fonction f : x 0 + f (x) + 0 f(x) 0 3. (a) f(x) = 0 + ln x = 0 x =, donc C coup l ax ds abscisss n un sul point d absciss. (b) On n déduit, à l aid du tablau d variation d f, l sign d f(x) : x 0 + f(x) 0 +. (a) f st continu t positiv sur I n = f(x)dx [ [ ; + donc I n = n f(x)dx. D après l tablau [ d ] variation, on a : pour tout x ;, 0 f(x) donc, d après ls inégalités d la moynn : 0 I ( ), soit 0 I.
(b) Pour tout x ]0; + [ : F (x) = x x + + ln x = + ln x = f(x). x F st donc un primitiv d f sur ]0; + [. ( ) ln n (c) I n = F(n) F = +. n (d) I n = n ln n n +. = 0 t, par croissancs comparés, n + n On a donc : I n =. n + x ln n n + n = 0. 5