CHAPITRE 1. Suites arithmetiques et géometriques. Rappel 1. On appelle suite réelle une application de

HAPITRE 1 Suites arithmetiques et géometriques Rappel 1 On appelle suite réelle une application de dans, soit est-à-dire pour une valeur de la variable appartenant à la suite prend la valeur, ie : On notera une telle suite ), 1 DÉFINITION DES SUITES ARITHM ÉTIQUES Définition : suite arithmetique) Soient et! deux réels La suite "#$ définie par % '&! est appelée une suite arithmetique est appelé la raison de la suite )* On a +,! Pour cette raison! est appelé le premier terme Exemple 1 Soit )%- premier terme -, raison / Soit )%10 '&32 premier terme 2, raison 0 Propriété 1 Soit )4"#$ une suite arithmetique de premier terme + et de raison On a pour tout entier, )65 7819&

L En effet, :5 7; '&1<=&>+?&> )+& 9& Théorème 1 Admis) " est une suite arithmetique de raison si et seulement si @65 7A 9& La propriété précédente montre que la condition est nécéssaire La condition suffisante se montre en utilisant le principe de réccurence 2 PROPRIÉTÉS DES SUITES ARITHMÉTIQUES Soit 4"#$ une suite arithmetique de raison Propriété 2 B%D,& BE B#F#G&HDI1J&H+ pour E K Exemple 2 Soit " une suite arithmetique On suppose que le L < ième terme vaut - et le M ième terme vaut < Determiner la raison et le premier terme de la suite Pour montrer le premier point de la propriété on écrit &H+ N E &H+ et on fait la différence DIO BE d ou le résultat en ajoutant P au deux membre de l égalité Pour montrer le second point de la propriété on écrit F# BE &> )+ D E &>+ on fait la somme de ces expressions et on met en facteur, soit F#G&HDQR BE & E &> )+&> )+ On a le résultat si on remarque que )%1 &H+, puisque BE & E 1 On peut appliquer le deuxième point de la propriété pour calculer la somme des &S< premiers termes de la suite Précisemment on a Théorème 2 Soit T U )+&VW7&YX6X6XZ&V la somme des [&Y< premiers termes de la suite On a la formule suivante On écrit T U +&H '&1<= T +&HW7W&1X6X6X=&>#F7&H T 9&H#F7&X6X6X6&>7W&> )+ et on additionne en regroupant de la façon suivante LT \R+&H&]W7&>F7^&X6X6X6&]F7W&HW7^&9&H+_

L L hacune des expressions entre parenthèse valent )`&B+ d apres la propriété ci-dessus omme il y a?&1< expressions de ce type on obtient directement L4T Ua+`&>* '&1<6Z D ou le résultat en divisant l expression par L Exemple 3 Montrer que la somme des premiers entiers vaut 8 '&1<= Propriété 3 Soient b et E deux entiers Soit c4" la suite definie par cdefg:54 pour tout ḧ suite arithmetique de premier terme et de raison bn Soit i UN,&Hfj54A&>kfj54l&X6X6X6&>$fj54 On a i U Alors c4* est une D,&>:fj54 '&1<= Exemple 4 Soit 4" 7 une suite arithmetique de raison k 7 et de premier terme k Pour Ömn<, calculer i UW7W&Ho&Hp&1X6X6X=&>kqF7 3 DÉFINITION DES SUITES G ÉOMETRIQUES Définition : suite géometrique) Soient et + deux réels On appelle suite géometrique de raison et de premier terme Exemple 5 )+ la suite définie par \+sr Soit )%- premier terme <, raison - Soit )%O< premier terme <, raison < Soit )% 7 kt premier terme <, raison <=u L Propriété 4 Soit 4 une suite géometrique de premier terme + et de raison On a pour tout entier, )65 78 r, Preuve Soit "#$ une suite géometrique de premier terme + et de raison, alors :5 7v )+sr :5 7 )+sr r rl+sr rlw e qui est le résultat voulu Théorème 3 Admis) 4 est une suite géometrique de raison si et seulement si 65 7s r,w Preuve La propriété précédente montre que la condition est nécéssaire La condition suffisante se montre en utilisant le principe de réccurence 4 PROPRIÉTÉS DES SUITES GÉOMETRIQUES Soit 4"#$ une suite géometrique de raisonsx Propriété 5 Soit un entier positif ou nul / On suppose que W+ x /

r B%DJr F# pour E K B#F#lrlDQyr,)+ pour EzK Preuve Pour montrer le premier point de la propriété on écrit comme )+ x / etsx / alors D x )+8r D )+8r / et on peut faire la division de par D, soit )+sr N +8r #F# d ou le résultat en multipliant par { les deux membre de l égalité Pour montrer le second point de la propriété on écrit #F# )+8r D )+8r on fait le produit de ces expressions et on met en facteur, soit F#JrGDIR BE & E &H+&H+ #F#Jr,D )+sr #F# )+sr,+8r )+sr,+8r )+sr, #F# r,+sr F# e qui est le résultat voulu On va calculer la somme des premiers éléments de la suite On a Théorème 4 - Soit T 1 )+&YW7W&1X6X6X6&H la somme des?&1< premiers termes de la suite On a les formules suivantes a Si O<, T UR '&<=@r, )+ b SiSx O<, T U 65 7 + < Preuve Supposons d abord que }x ~<, on écrit T +&HW7W&1X6X6X6&HF7W&Hw r T rl+& r,w7w&1x6x6x6& r,#f7w& r,w W7W&Hk&1X6X6X6&H &>:5 7l Si on fait la difference de la dernière egalité par la première on obtient r T T U1:5 7 + On met T en facteur dans le membre de gauche de l égalité et on divise par obtient 65 7 + T U < e qui démontre b) < et ainsi on

ˆ r r f f f f Si maintenant <, la suite est constante donc f\~ )+ pour tout b entier naturel positif et donc T U+&H+&1X6X6X:&H+9 On fait la somme de +` '&1< fois, ainsi T UR '&<=@r, )+ e qui démontre a) Propriété 6 Soient b et E deux entiers Soit c4" la suite definie par cdefg:54 pour tout ḧ suite géometrique de premier terme I1 )+sr et de raison Soit i UN,&Hfj54A&>kfj54l&X6X6X6&>$fj54 alors, Preuve a Si O<, i Ua '&1<6@rl+ b SiSx O<, i U ƒ 65 7 fj54z D f < Alors c4* est une Pour la suite c4, il suffit d ecrire c= fg654% +8r fg654 +8r fg +8r f^ +8r r Ainsi c* est une suite géometrique de premier terme c4+,1dq+8r Pour calculer la somme i on remarque que i \c#+s&>cd7w&>ck`&1x6x6x:&yc# Donc sisx O< d après le théorème on a i \ c=65 7 c#+ < Si on remplace c#65 7 par ƒ :5 7 ƒfj54z, c#+ par D et #ˆ par W 65 7 fj54z D i U f < on obtient et de raison #ˆ e que l on voulait démontrer Si ~<, les suites ) et c=* sont constantes égales à +_ d où le résultat a)

HAPITRE 2 Intérêts simples et composés 1 INTRODUTION Définitions : Petit Larousse) - Intérêt nm du lat interest, il importe) Somme que le débiteur paie au créancier en rémunération de l argent prêté - Taux d intérêt nm taux provient de taxer) rapport, en pourcentage, de l intérêt annuel et de la somme empruntée Plutôt que de parler d argent prêté ou de somme empruntée, on parlera de capital primitif ou de capital initial Précisons mathématiquement le sens de ses définitions Soit T + le capital primitif fournit à une banque La banque devient débiteur de ce capital Au bout d un an on récupère ce capital auquel on ajoute les intérets La banque versera donc la somme T 78 Š T + On a alors les relations T 7; T +`&HŠ T 7; T +#"<G& T +&dš où représente les intérets annuels versés Par défintions le taux d interêt, noté, est le rapport

2 INTÉRÊT SIMPLE Définition : Petit Larousse) - Intérêt simple Intérêt perçu sur le capital primitif non accru de ses intérêts L intérêt simple Š$Œ du capital T +, placé pendant le temps au taux, est ŠZŒŽ T + P est compté en année Exemple 6 Supponsons que l on place le capital T +lo< /4/4/ euros, au taux annuel de 4 pendant ans Les interḙts perçus sont donc de Šol~< /4/4/ r r u< /4/ Soit Š ~< M* euros La définition des intérêts simples revient à considerer que les intérêts acquis pendant n importe quel temps sont proportionnels aux intérêts acquis au bout d un ans, étant le coefficient de proportionnalités Mathématiquement on l ecrit sous la forme du résultat suivant Résultat 1 - Si on place à intérḙts simples le capital primitif de T + au taux annuel de, la valeur acquise du capital au bout de années est de T Œ T +Jr' <Q& r, où est un réel quelconque on alcule facilement les intérḙts perçus, noté ŠŒ, par la formule Š:Œ T +r r a alcul des intérêts au bout d un certain nombre de mois On note le taux d intérêt annuel, T + le capital primitif et Š les intérêts acquis après un ans On a Š T +r On va calculer à partir de la formule les interets acquis après mois, noté Š6 D après la formule, servant de définition, pour calculer Š$ il suffit de multiplier Š par le nombre de mois compté en année, soit u< L < mois vaut <=u< L d année, L mois valent L u< L d année, etc) Ainsi ŠZ H rlš < L Et donc la somme perçu après b mois,t > T +`&HŠZ, peut s ecrire T H T += <G& r < L b alcul des intérêts au bout d un certain nombre de jours On utilise la même méthode que la section précédente On note le taux d intérêt annuel, T + le capital primitif et Š les intérêts acquis après un ans On a Š? T +8r On va calculer à partir de la formule les interets acquis après jours, noté ŠZ D après la formule, servant de définition, pour calculer Š il suffit de multiplier Š par le nombre de jours compté en année, soit u M4/ < jours vaut <=u M/ d année, L jours valent L u M4/ d année, etc remarque: Une année fiscale vaut M4/ jours) Ainsi Šg rlš M4/ Et donc la somme perçu après jours,t, T +&HŠ, peut s ecrire T J T += <G& r M4/

+ c Intérêts précomptés et taux effectifs de placement Définition : On parle d intérêts précomptés lorsque l on perçoit les intérêts le jour même du placement Exemple 7 On place le capital T + pour le taux annuel de pour une durée de jours Les intérḙts à percevoir sont alors de Š_ w gšq oœ+ omme les intérḙts sont précomptés on dépose la somme T + et on repart avec Š jours plus tard on récupère T + Dans tout les cas on touche T +s&>š Définition : Taux effectifs de placement: est le taux annuel ˆ pour lequel, si on dépose la somme T + ˆ T + Šg, on récupère au bout de jours la somme T ˆ T + e taux vaut donc par définition ˆ T`ˆ T`ˆ + Š T ˆ T + Š Théorème 5 On a la relation ˆ < ž šÿ oœ+ Preuve Soit Pˆ le taux d intérêt effectif On doit avoir d après la formule sur les intérêts journaliers la relation en remplaçant T ˆ et T ˆ Exemple 8 T ˆ + par leur valeur on obtient T + ˆ <A& ˆ M4/ T +Ja T + Š $ <G& ˆ M4/ T +, T +="< * <Qa"< * "<,& ˆ M4/ <G& ˆ M4/ <G& ˆ M4/ M4/ A <=u{"< * M4/ M4/ < ˆ R < M4/ oœ+ ˆ < oœ+ On suppose que on à un capital initial de T +9 < /4// euros que l on place avec un taux annuel < /* Les intérḙts au bout d un ans sont donnés par ŠS T + < L/ euros Si on touche de suite les intérḙts, on place < /4/4/ euros et on récupère < L/ euros, ce qui revient à placer < //4/ < L/ h4 / euros et on récupèra < /4/4/ euros dans un ans Ainsi le taux d intérḙt effectif vaut ˆ Š T + Š

k Œ Soit ˆ < L/ 4 / ~< M - 3 INTÉRÊT OMPOSÉ Définition : Petit Larousse) - Intérêt composé Intérêt perçu sur un capital formé d un capital primitif accru de ses intérêts accumulés jusqu à l époque de l échéance Le capital T +, placé au taux pour < Euro, devient au bout de années T U T +="<G& Que signifie cette définition? Soit T + notre capital placé à intérêts composés au taux annuel de Si nous retirons notre capital au bout d un ans celui ci aura la valeur de T 7 somme de notre capital primitif et des intérêts valant Š478 T +Žr Soit T 78 T +r9 <`& Ainsi au bout d un ans notre capital est de T 7 Dire que l on perçoit des intérêt sur un capital formé d un capital primitif accru de ses intérḙts accumulés signifie que l année suivante les intérêts seront calculer à partir de T 7 et non de T +, contrairement au cas des intérêts simples Ainsi au bout de la deuxième année notre capital sera de T k somme du capital au bout d un ans et des intérêts, calculé à partir de T 7, valant Š$kl T 7Žr Soit T kl T 7@r <G&, ce qui s ecrit en fonction de T + sous la forme T k9 T +ArU"<l& Ainsi en continuant ce même raisonnement on obtient la formule générale T 65 78 T { <s& ce qui est equivalent à dire que T \ T +r9 <8& Voir cours sur les suites géométriques) On a donc le résultat suivant Résultat 2 - Si on place à intérḙts composés le capital primitif de T + au taux annuel de, la valeur acquise du capital au bout de années est de T U T +sr%"<,& Exemple 9 Determiner la valeur acquise d un capital de [ /4/ Euros placé à intérḙts composés au taux annuel de L4 pendant ans La différence fondamentale entre les intérêts simples et les intérêts composés est d autant plus visible losqu on considère les intérêts acquis au bout d une certaine période qui n est plus necessairement un nombre d années On a le résultat Résultat 3 - Si on place à intérḙts composés le capital primitif de T + au taux annuel de, la valeur acquise du capital au bout de années est de T Œª T +Ir}"<\&, où est un réel quelconque par exemple on a a alcul des intérêts au bout d un certain nombre de mois On note le taux d intérêt annuel, T + le capital primitif et Š les intérêts composés acquis après un ans On a Š} T +Ar On va calculer à partir de la formule le capital acquis après mois, noté T D après la formule, servant de définition, pour calculer la valeur acquise T au bout de mois on ecrit T Y T +r <A& 4«puisque < mois vaut e<=u< L d année, L mois valent L u< L d année, etc, mois valent u< L d année b alcul des intérêts au bout d un certain nombre de jours

Œ «Œ «On utilise la même méthode que la section précédente On note le taux d intérêt annuel, T + le capital primitif et Š les intérêts acquis après un ans On a Š? T +8r On va calculer à partir de la formule le capital acquis après jours, noté T D après la formule, servant de définition, pour calculer T au bout de jours on ecrit T J T +8r <G& I Ÿ Ÿ± puisque < jours vaut <=u M4/ d année, L jours valent L u M4/ d année, etc, jours valent u M4/ d année Exemple 10 On place < /4/4/ Euros à un taux annuel de La valeur acquise au bout de - mois s ecrit < /4/4/ r8 <4 / *Ž² Q³ < /*L4 4 Euros La valeur acquise au bout de - mois et M jours s ecrit < //4/ r%"<4 / 4 Ÿ± ³ < /*L 2 / Euros < mois = / jours) Si ce capital est placé le < / juin L/4/ <, sa valeur acquise le L 2 Octobre L// < sera, < /4/4/ rw"<4 / 4 Ÿ± Ÿµ ³ < /*L Ṕj2- Euros 20+31+31+30+27=139 jours) 4 TAUX EQUIVALENTS ET TAUX PROPORTIONNELS Les travaux effectués jusqu à maintenant ne considère que des taux d intérêts annuel sur lequel les intérêts sur toutes autres périodes sont calculés soit à intérêts simples, soit à intérêts composés) En fait les théories précédentes peuvent évidemment être efféctuées en prenant, plutôt qu un taux d intérêt annuel, un taux d intérêt périodique, pour une période quelconque Par exemple pour une période d un mois, d un jours, de 10 ans etc Exemple 11 Supposons que la période considérée est le mois On note le taux d intérets mensuel Si on place à intérets composés le capital T + au taux mensuel, après une période de mois, où est un réel quelconque, la valeur acquise sera de T Œ T += <G& l On retrouve la mḙme formule que pour les intérḙts composés, mis à part que cette fois ci est une durée comptée en mois Supposons que la période considérée est le trimestre On note Œ le taux d intérets trimestriel Si on place à intérets simples le capital T + au taux trimestriel Œ, après une période de Œ mois, où Œ est un réel quelconque, la valeur acquise sera de T Œ º¹G T +="<,& Œ 8r Œ Z On retrouve la mḙme formule que pour les intérḙts simples, mis à part que cette fois ci Œ est une durée comptée en trimestre Nous allons formaliser cela On choisi une période telle que E périodes soit égales à un ans On note le taux d intérêts annuel, le taux d intérets périodique et T + le capital initial a taux equivalent On suppose que le placement est effectué à intérêts composés, ainsi les valeurs acquises du capital sont de T +# <A& au bout de années avec le taux, T +# <A& # Œ¼» au bout de périodes avec le taux On peut se demander quelle peut-être la relation entre et pour que la valeur acquise sur le capital primitif au bout d un ans soit la même que l on considère le taux annuel ou le taux périodique

½ ½ ½ Définition : taux equivalents) - Si les valeurs acquises, à interêts composés, aux bouts d un ans sont égales, les taux sont dits equivalents Résultat 4 - Si IR"<G&» < ou si O <G& # < Alors les taux sont equivalents En effet, les valeurs acquises à intérêts composés, au bout d un ans sont de T 78 T += <G& l dans le cas du taux annuel et de T I T += <G& # dans le cas du taux périodique Un calcul simple nous donne alors que T 7A T si et seulement si a <G&» <, ou encore si et seulement si O <G& # < b taux proportionnels On suppose que le placement est effectué à intérêts simples, ainsi les valeurs acquises du capital sont de T +# <A& r au bout de années avec le taux, T +# <A& Jr # au bout de périodes avec le taux On peut se demander quelle peut-être la relation entre et pour que la valeur acquise sur le capital primitif au bout d un ans soit la même que l on considère le taux annuel ou le taux périodique Définition : taux proportionnels) - Si les valeurs acquises, à interêts simples, aux bouts d un ans sont égales, les taux sont dits equivalents Résultat 5 - Si I alors les taux sont proportionnels En effet, les valeurs acquises à intérêts simples, au bout d un ans sont de T 78 T += <G& l dans le cas du taux annuel et de T Q T +="<,& E r #l dans le cas du taux périodique Un calcul simple ½ nous donne alors que T 7A T si et seulement si E r, ou encore si et seulement si I c exemple de calcul Exemple 12 On place une somme de < //4/ francs au taux annuel de < L4

À quel taux equivalent mensuel cela correspond-t-il? On suppose que l on compte les intérḙts mensuel à intérḙts composés On note ¾ 7k le taux d intérḙts mensuel equivalent la valeur acquise, à intérḙts composés, du capital aprḙs < L mois O< ans), au taux mensuel ¾ 7k est de < /4/4/ r <G& ¾ 7kZ 7k et au taux annuel est de < /4/4/ r <G&1< L, le taux equivalent est celui pour lequel ces valeurs sont les mḙmes, c est-à-dire lorsqu on à l egalité < /4// r%"<,& ¾ 7kZ soit et finalement ¾ 7k,R <4$< L <G& ¾ 7kZ 7k 7k O< /4/4/ r <4:< L O<4:< L <y / /4/ -44% / ¼ 4 Ainsi le taux equivalent mensuel est de / À 4 À quel taux proportionnel mensuel cela correspond-t-il? On suppose que l on compte les intérḙts mensuel à intérḙts simples On note 7k le taux d intérḙts mensuel equivalent la valeur acquise, à intérḙts simples, du capital aprḙs < L mois ~< ans), au taux mensuel 7k est de < /4/4/ r <G&< L r 7kZ et au taux annuel est de < /4/4/ r <G&1< L, le taux proportionnel est celui pour lequel ces valeurs sont les mḙmes, c est-à-dire lorsqu on à l egalité < /4/4/ r <G&1< L r 7kZ8O< /4// r%"<4:< L soit et finalement <G&< L r 7k,O<4:< L 7kl / $< L ~< < L Ainsi le taux proportionnel mensuel est de < 5 SUITE D ANNUITÉ a Valeur acquise d une suite d annuité - as des intérêts simples Exemple 13 On verse tous les mois une somme fixe au taux d intérḙts annuel pendant mois Quelle est le capital obtenu après le dernier versement On remarque que à l issus du b -ième mois on à effectué b &1< versement donc Soit Ž7 la valeur acquise par le premier versement On a W7Á &YÁ <=l < L

 L L» Ä L Ä Ä» Soit k la valeur acquise par le deuxième versement On a klá &YÁ < L Soit o la valeur acquise par le troisième versement On a olá &YÁ l < L Soit f la valeur acquise par le b -ième versement On a f9]á &3Á < b l L Soit )#F7 la valeur acquise par le <= -ième versement On a F78]Á &3Á <=l < L Soit ) la valeur acquise par le -ième et dernier versement On a \žá Ainsi le capital obtenu après les versements est la somme T UW7W&Hk&Ho&1X6X6X:&H qui est la somme d une suite arithmétique de premier terme +,]ÁR"< Á 7k Ainsi W7&H T UàSoit en remplaçant Soit finalement T U Á &3Á 7k T %žá  '& < L L l <=&3Á 8 <6 7k et de raison T U]Á  <G& u L <= < L Ä Remarque: Si on place T +,žá le premier jours on récupère au bout de < mois T et donc le taux effectif est de ˆ u L b Valeur acquise d une suite d annuité - as des intérêts composés On choisit une période par exemple le mois) telle que E période soit égale á un ans On verse périodiquement une somme fixe T + au taux d intérêts annuel pendant période Quelle est le capital obtenu, à intérêts composés après le dernier versement Premièrement, on sait que la valeur acquise après une période est de T +#"<8& Si on pose a"<& la valeur acquise à la suite de périodes sera de T + Deuxième ment On remarque que à l issus du b -ième mois on à effectué b &< versement donc Soit la valeur acquise par le -ième et dernier versement On a \ T +y puisque on ne touche pas d intérêts sur le dernier versement Soit #F7 la valeur acquise par le <6 -ième versement, On a #F7s T +r

Soit )f la valeur acquise par le b -ième versement On a )f91#f7s T +sr FNf Soit )o la valeur acquise par le troisième versement On a )o, T +sr #FNo Soit )k la valeur acquise par le deuxième versement On a )k, T +sr #FNk Soit 7 la valeur acquise par le premier versement On a 78 T +sr #F7 Ainsi le capital obtenu après les versements est la somme T UW7W&Hk&Ho&1X6X6X:&H Si on pose, pour b Å<4 L $ ƒ g, cfªæ#fnf alors cf6 est une suite géometrique de premier terme c+,fn+g1u T + et de raison, et T U1c#+s&>cD7&Hc#k&1X6X6X=&>c##F7 donc Soit en remplaçant c# par T +8r T U c= < c#+ et c+ par T + on obtient T U T +r T + < < T U T + < Soit finalement, en remplaçant par sa valeur Remarque 1 Soit <l& T U T + <G& "<G& t» <» <» < le taux equivalent au taux annuel durant la période choisi, et telle que E période valent une année Si on fait le mḙme calcul que précédemment, on obtient < T U T + < ette fois-ci on remplace par sa valeur en fonction de, c est-à-dire l expression donnant T, pour obtenir <G& T U T + # < `&H<, dans Ainsi lorsque on fera le calcul d un capital acqui après une suite de versement périodique constant, on préferera choisir le taux d intérḙt correspondant à cette période et equivalent au taux annuel Ainsi on aura directement la dernière formule Exemple 14 On verse < /4/4/ francs tous les ans sur un livret au taux de par ans Après le -ième versement on dispose de, puisque E ~<, I / /* et z1, "<4 TÇ O< //4/  /* Ç < a< / /4/4/ rlṕ -*Ṕ< / P ƒ* ž -*Ṕ:< / F /* Ä

Ä c Remboursement d un emprunt On suppose que l on emprunte la somme T au taux annuel de, à intérêts composés On effectue le remboursement par versements réguliers à intervalles réguliers par exemple tous les mois, tous les trimestres) On note le taux d intérêts correspondant à cette période peut être le taux proportionnel ou le taux equivalent,) Soit! le montant de chaque remboursement On va regarder ce qui se passe pendant les remboursements On emprunte la somme T, on doit donc la somme de T +l T Après une période on rembourse! La somme du est donc de T + accru de ses intérêts durant cette période moins la somme remboursée de! est-à-dire que l on doit T 7 T +# <G& #! T "<G& #! Après la seconde période on rembourse à nouveau! La somme du maintenant est donc de T 7 accru de ses intérêts durant une période moins la somme remboursée de! està-dire que l on doit T k, T 7"<G& #! a T "<G& #! $ <G& #! d ou T kj T "<G& # k! <G& #! Après la troisième période on rembourse encore! La somme du maintenant est donc de T k accru de ses intérêts durant une période moins la somme remboursée de! està-dire que l on doit T o, T k="<g& #! a T "<G& # k! <G& #! $ <G& #! d ou T ol T "<G& # o! <G& # k! <G& #! on continue de la même façon et on aura à la b -ième la somme du de T fy T <G& # f! <G& # ff7 ƒ! "<G& #! et au bout de -ième période on doit avoir T U T "<G& #! "<l& # F7 ƒ! "<l& #! omme on suppose que l on a effectué totalement le remboursement à la -ième période, on / c est à dire que l on a suppose donc que T U e que l on peut ecrire D où la formule où encore T <A& #! "<G& # F7 & ƒ=&! "<,& #&! "<G& T <G& #! Â # < Ä <G& T! Â # < N <G& # < "<,& T! Â # FD Ä