Dérivation Activités préparatoires Les fonctions vues en classe de Première Soit f et g les fonctions définies sur par x + 4x et g(x) x + 4,x x +. On note f et g les courbes représentatives de f et de g dans le plan rapporté à un repère. Calculer f (x) et g (x). Consulter f (x) 4x + 4. g (x) x + 9x. Rappel On donne, figure, un tracé de f et g. f 6 4 0 8 6 4 0 8 6 4 y 0 4 x g 4 6 Identifier les courbes f et g sur le graphique. fig. Calculer f ( ), puis tracer la tangente à f au point d abscisse. Consulter f ( ) 8.. Calculer g (), puis tracer la tangente à g au point d abscisse. g () 9. Rappel. Calculer f ( ), puis tracer la tangente à f au point d abscisse. f ( ) 0. Dérivation
Activités préparatoires 4 Déterminer l équation réduite de la tangente T à g au point d abscisse 0. Consulter g (0), donc l équation réduite de T est de la forme y x + b. Le point de coordonnées (0 ; g(0)), c est-à-dire le point de coordonnées (0 ; ) appartient à T, donc ses coordonnées vérifient l équation de T : 0 + b, équivalente à b. L équation réduite de T est y x +. Rappel Dérivées des fonctions usuelles ; opérations sur les fonctions dérivables La calculatrice permet d obtenir, pour une fonction f donnée et un nombre a choisi, le nombre f (a). Modèle CASIO menu RUN EXE optn CALC d/dx entrer la fonction, valeur de x. Modèle TEXAS math 8 (nbredérivé(), entrer la fonction, x,t,q,n (X), valeur de x. Soit f et g les fonctions définies sur [0, ; 0] par x et g(x) x. À l aide de la calculatrice, compléter le tableau suivant (arrondir les valeurs à 0,00 près si nécessaire). x 0,, 0 f (x) 0,7 6,7 7 00 g (x) 4 0,444 0, 0, 0,0 Soit s et p les fonctions définies sur [0, ; 0] par s(x) + g(x) et p(x).. Exprimer s(x) et p(x) en fonction de x. s(x) + g(x) x + x. p(x) x.. À l aide de la calculatrice, compléter le tableau suivant. x 0,, 0 s (x), 6,0,7 6,888 99,99 p (x), 6, 4 4 600. En utilisant les résultats obtenus à la question, compléter le tableau suivant. x 0,, 0 g (x), 6,0,7 6,888 99,99 f (x), 6, 4 4 600
Activités préparatoires 4. En comparant les résultats des questions. et., quelle conjecture peut-on faire sur la fonction dérivée de la somme de fonctions (f + g)? sur la fonction dérivée du produit d une fonction par un nombre réel (kf)? (f + g) f + g ; (kf ) kf (k ). Soit u et v les fonctions définies sur [0, ; 0] par u(x) et v(x) x.. Vérifier que g(x) u(x) v(x). u(x) v(x) x g(x).. Choisir une valeur de x pour montrer que u v u v. On choisit par exemple x : u v () g () 0, et u () v () 0 0 ; ainsi, u v u v. Dérivées et sens de variation d une fonction Soit f la fonction définie sur [ 4 ; 4] par x. On donne, figure, un tracé x + de sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère. y, 0, 4,,, 0, 0 0,,,, 4 x 0,, fig. Déterminer le ou les intervalles où la fonction est strictement croissante, c est-à-dire où la courbe monte. f est strictement croissante sur l intervalle ] ; [.. Déterminer le ou les intervalles où la fonction est strictement décroissante, c est-à-dire où la courbe descend. f est strictement décroissante sur les intervalles [ 4 ; [ et ] ; 4].. Dresser le tableau de variation de f. ( 4) f( 4) ( 4) + 7 ; ( ) f( ) ( ) +, ; f() +, ; f(4) 4 4 + 7. x 4 4, 7, 7
Activités préparatoires Soit f la fonction définie sur [ 4 ; 4] par f (x) x + (f est la fonction dérivée (x + ) de f ). Étudier le signe de f (x) ; présenter le résultat dans un tableau. f (x) x + (x + ). f (x) 0 équivaut successivement à x + 0 ; ( x + ) 0 ; ( + x)( x) 0 ; + x 0 ou x 0 ; x ou x. (x + ) > 0, donc f (x) a le même signe que le numérateur x + (polynôme du second degré). Ce polynôme x + est du signe de a (a ), donc négatif à l extérieur de ses racines et et positif entre ses racines. On en déduit le tableau de signe de f (x) : x 4 4 f (x) 0 + 0 4. À l aide de la question., déterminer : le sens de variation de f sur le ou les intervalles où f (x) > 0 ; Sur l intervalle où f (x) > 0, c est-à-dire sur ] ; [, f est strictement croissante. le sens de variation de f sur le ou les intervalles où f (x) < 0. Sur les intervalles où f (x) < 0, c est-à-dire sur [ 4 ; [ et sur ] ; 4], f est strictement décroissante.. Compléter le tableau suivant. x 4 4 Signe de f (x) 0 + 0, Sens de variation de f 7, 7 On s intéresse aux points d abscisses et. À l aide de la figure et du tableau de signe de la question, compléter les phrases suivantes en utilisant l un des termes ou l une des valeurs suivants : maximum, signe, s annule, minimum,,,,,,. f( ), est un minimum local ; on constate que la dérivée s annule en et change de signe en. f(), est un maximum local ; on constate que la dérivée s annule en et change de signe en. 4
Applications Calculs de dérivées Voir Cours et. Soit f la fonction définie sur par 0x. f est de la forme ku, avec u(x) x et k 0. La formule à appliquer est (ku) ku. On a u (x) x. Ainsi, f (x) 0 x 0x. Voir Méthode 4 6 Soit f la fonction définie sur [0, ; ] par x + x 0. f est de la forme u + v w, avec u(x) x, v(x) et w(x) 0. x La formule à appliquer est (u + v w) u + v w. On a u (x) x, v (x) x Ainsi, f (x) x + x 0 x et w (x) 0. x. Soit f la fonction définie sur ]0 ; ] par 7 x. f est de la forme ku, avec u(x) et k 7. x La formule à appliquer est (ku) ku. On a u (x) x. Ainsi, f (x) 7 x 7 x. Soit f la fonction définie sur [0, ; 0] par 4x + x. f est de la forme u + v, avec u(x) 4x et v(x) x. La formule à appliquer est (u + v) u + v. On a u (x) 4 x 8x et v (x) x x. Ainsi, f (x) 8x + x 8x x. Soit f la fonction définie sur par x + x 4x +0. f est de la forme u + v w + z, avec u(x) x, v(x) x, w(x) 4x et z(x) 0. La formule à appliquer est (u + v w + z) u + v w + z. On a u (x) x x, v (x) x 4x, w (x) 4 4 et z (x) 0. Ainsi, f (x) x + 4x 4. Soit f la fonction définie sur par 4x 6x x + 4. f est de la forme u v w + z, avec u(x) 4x, v(x) 6x, w(x) x et z(x) 4. La formule à appliquer est (u v w + z) u v w + z. On a u (x) 4 x x, v (x) 6 x x, w (x) et z (x) 0. Ainsi, f (x) x x.
Applications 7 8 9 0 Soit f la fonction définie sur [ ; 0] par x + 4 x. f est de la forme u, avec u(x) x + 4 et v(x) x. v La formule à appliquer est u v u v uv v. On a u (x) et v (x). (x ) ( x + 4) Ainsi, f (x) 0x + + 0x 8 (x ) (x ) (x ). Soit f la fonction définie sur [0 ; ] par x x +. f est de la forme u v, avec u(x) x et v(x) x +. La formule à appliquer est u v u v uv. v On a u (x) et v (x) x. Ainsi, f (x) (x + ) (x ) x (x + ) x + 6x + 0x (x + ) x + 0x + (x + ). Soit f la fonction définie sur [0 ; 0] par f est de la forme u v x +., avec u(x) et v(x) x +. La formule à appliquer est u v u v uv. v On a u (x) 0 et v (x). Ainsi, f (x) 0 (x + ) ( ) (x + ) (x + ). Soit f la fonction définie sur par 0 x. f est de la forme u v, avec u(x) 0 et v(x) x. La formule à appliquer est u v On a u (x) 0 et v (x) x. u v uv v. Ainsi, f (x) 0 x 0 x (x ) 0x x 4 0 x. Soit f la fonction définie sur par x + x + 4. f est de la forme u + v, avec u(x) x et v(x) La formule à appliquer est (u + v) u + v. On a u (x) 4x et v (x) Ainsi, f (x) 4x + 0 (x + 4) (x + 4) 6 (x + 4) 4x 6 (x + 4). 6 x +4. 6 (x + 4).
Applications 4 Application de la dérivation, étude d une fonction Une entreprise fabrique chaque semaine x kilogramme d un produit (0 < x < 4) ; le coût unitaire de production est modélisé par la fonction f définie par x 0x + 700. Déterminer le coût unitaire de production d un kilogramme de produit lorsque l entreprise en a fabriqué 40 kg. f(40) 40 0 40 + 700 00 ; le coût unitaire de production d un kilogramme de produit lorsque l entreprise en a fabriqué 40 kg est 00.. Tracer la courbe représentative de f sur l écran d une calculatrice ou sur tableur.. Pour quelle quantité de produit fabriqué le coût unitaire de production semblet-il minimal? Justifier ce résultat en utilisant les propriétés des fonctions polynômes de degré. Le coût unitaire de production semble minimal pour kg de produit fabriqué. Le minimum de la fonction polynôme de degré est atteint en x b a, soit x ( 0). Montrer que le coût total de production du produit peut être modélisé par la fonction c définie sur [0 ; 4] par c(x) x 0x + 700x. c(x) x x(x 0x + 700) x 0x + 700x. Chaque kilogramme de produit est vendu 988.. Déterminer le bénéfice b(x) réalisé par la vente de x kilogramme de produit. b(x) 988x c(x) 988x (x 0x + 700x) x + 0x + 88x.. Calculer b (x), puis étudier son signe. b (x) x + 00x + 88. b (x) est un polynôme de degré. b 4ac 00 4 ( ) 88 46. Les racines de b (x) sont : x b a x b + a 00 9 46 ( ) 00 + 9 46 ( ) 00 6 6 00 + 6 6 6 et 8 [0 ; 4]. a < 0, donc b (x) < 0 à l extérieur de ses racines et b (x) > 0 entre ses racines. Sur l intervalle [0 ; 4], on obtient le tableau b (x) de signe suivant : + 0. Dresser le tableau de variation de la fonction b. b(0) 0 + 0 0 + 88 0 0. b(6) 6 + 0 6 + 88 6 8. b(4) 4 + 0 4 + 88 4 08. x 0 6 4 x 0 6 4 b (x) + 0 b(x) 7 0 8 08 Voir Cours et. Voir Méthode Voir Cours 4.
Applications Pour quelle quantité de produit fabriqué et vendu, l entreprise réalise-t-elle un Voir bénéfice maximal? Quel est ce bénéfice maximal? L entreprise réalise un bénéfice maximal pour 6 kg de produit fabriqué et vendu. Le bénéfice maximal est 8. Cours 4. Voir Méthode 6 Compléter le tableau de valeurs suivant. x 0 0 0 40 4 b(x) 87 6 6 880 9 7 760 8 6 640 8 4 7 0 08 7 On donne, figure, un tracé de la courbe représentative de la fonction c. Ajouter celui de la courbe représentative de la fonction b, ainsi que celui de la droite d équation y 988x. 8 000 6 000 4 000 000 0 000 8 000 6 000 4 000 000 0 000 8 000 6 000 4 000 000 0 000 8 000 6 000 4 000 000 0 y y 988x y b(x) 0 0 0 40 4 x fig 8 Retrouver graphiquement le résultat de la question, d une part avec la courbe représentative de la fonction b, d autre part avec la courbe représentative de la fonction c et la droite. La courbe représentative de b permet de voir que le maximum de b est atteint pour x 6. C est pour cette valeur que la distance entre la courbe représentative de la fonction c et la droite d équation y 988x est maximale. 8
Exercices E a) f (x) x x x. b) f (x) 4x x + x + x. E a) f (x) x. b) f (x) 8x. E a) f (x) 6 x. b) f (x) 8 x. E4 a) f (x) 8x 4x. b) f (x) x x + 6x. E a) f (x) 6x + 0x. b) f (x) 6x 6x + 0. E6 a) f (x) 0x + x 4 x. b) f (x) x 6x + + x. E7 a) f (x) 9x. b) f (x) 8 x. E8 a) f (x) x + 4. b) f (x) x + 4 x. E9 a) (0,x 4)(x 0,) ; x 8x 0,x +. f (x) x 6x 0,. b) (x )(x + ) ; x 4 + 9x. f (x) 8x + 8x. E0 a) (x ) 4x x + 9. f (x) 8x. b) ( + x) + 0x + x. f (x) 0 + 0x. E a) f (x) (x + ). b) f (x) (x + ). 9 E a) f (x) b) f (x) x. E ( x ). a) f (x) 4x + 4 (x + ). b) f (x) x 6 x. E4 a) f (x) x 4x + (x ). b) f (x) 4x x 8 (x + ). E a) f (x) b) f (x) 9x + E6 7 (x 4). a) f (x) + x. b) f (x) x + (x + ). (x + ). E7 a) f (x) + x. b) f (x) x E8 a) f (x) x + b) f (x) x x. x. x. E9 a) f (x) x + x (x + 4). b) f (x) x + ( x). E0 a) f (x) + x. b) f (x) 4 4x. E a) f (x) b) f (x) x + x. x 4 x.
Exercices E a) f (x) x + x (x + 4). b) f (x) (x + ) + 9 ( x). E a) f (x) x. x 0 f (x) 0 + b) f (x) 8x + 4. E4 x 0, 0 a) f (x) 6x +. x 4 b) f (x) x. E x f (x) a) f (x) x + 6x x(x + ). f (x) > 0 à l extérieur de ses racines et 0 ; f (x) < 0 entre ses racines et 0. x 6 0 0 0 0 + b) f (x) 6x 6x 6x( x ). f (x) < 0 à l extérieur de ses racines et 0 ; f (x) > 0 entre ses racines et 0. E6 x 0 f (x) 0 + 0 a) f (x) x + x 6. f (x) est un polynôme du second degré ; 8. x b a 8 et x b + + 8 a. f (x) > 0 à l extérieur de ses racines et ; f (x) < 0 entre ses racines et. x 0 0 + b) f (x) 6x 0x + 6. f (x) est un polynôme du second degré ; 6. x b a 0 6 6 et x b + 0 + 6 a 6. f (x) > 0 à l extérieur de ses racines et ; f (x) < 0 entre ses racines et. x 4 4 0 0 + E7 a) f (x) x < 0. x 0, f (x) b) f (x) 4 + x > 0. x 4 E8 a) f (x) 6 ( x + ) > 0. x b) f (x) 9 ( x) < 0. x 0 4 f (x) E9 a) f (x) x (x + ). x 0 0 b) x ; f (x) 4 x > 0. 0
Exercices E0 x 4 a) f (x) 4x 6. x, f (x) 0 + 9, f(,), est un minimum local. b) f (x) x 4. x 0 6 f( ) est un maximum local. E a) f (x) x 4. 46 x 4 f (x) 0 +,, f(), est un minimum local. b) f (x) x 6. 0, x 0 6 0 0 7 9 f( 6) 7 est un maximum local. E a) f (x) x 6x x(x ). f (x) > 0 à l extérieur de ses racines 0 et ; f (x) < 0 entre ses racines 0 et. x 0 0 0 + f(0) est un maximum local et f() est un minimum local. b) f (x) x (x )(x + ). f (x) > 0 à l extérieur de ses racines et ; f (x) < 0 entre ses racines et. x 0 0 + 6 6 f( ) est un maximum local et f() est un minimum local. E a) f (x) x + x +. f (x) est un polynôme du second degré ; 6, x b a 6 ( ) et x b + + 6 a ( ). f (x) < 0 à l extérieur de ses racines et ; f (x) > 0 entre ses racines et. x + f (x) 0 + 0 7 f 7 est un minimum local et f() est un maximum local. b) f (x) 6x + 6x +,. f (x) est un polynôme du second degré ; 0, x 0 0,. f (x) 0 (signe de a). x 0, + 0 + E4 a) f (x) 6 (x + ) < 0. x 0 6 f (x) 0 4
Exercices b) f (x) (4x + ) < 0. x f (x) E a) f (x) (x ) > 0. x 0 b) f (x) (x + ) > 0. 0 9 x 0, E6 a) f (x) 8 ( x) > 0. x + b) f (x) 8 (4x + ) > 0. x 0 0 E7 a) f (x) + ( + x) > 0. x + b) f (x) 4 x < 0. x 0 f (x) E8 a) f (x) ( x) + > 0.,8 x + b) f (x) (x + ) < 0. x 0 f (x),7 E9 a) f (x) 4 x x 4 (x )(x + ). x x Sur I [ ; + [, x > 0 et x + > 0, donc f (x) a le même signe que x. x + f (x) 0 + 6 f() est un minimum local.
Exercices b) f (x) x x ( + x)( x). x x Sur I ]0 ; ], x > 0 et + x > 0, donc f (x) a le même signe que x. x 0 0 f() est un maximum local. E40 7 : y 7x +. E4 7 : y x +., b) On retrouve bien les résultats de la question. b).. a) L équation réduite de la tangente 7 à au point d abscisse est y 0,x,. b) Tracés de et 7 sur l écran d une calculatrice. E4. r(x) 0x.. a) Tracés des courbes représentatives des fonctions c et r sur l écran d une calculatrice. E4 7 : y x +. E4 7 : y x. E44. Tracé de sur l écran d une calculatrice.. a) f semble strictement décroissante sur ] ; 4]. x 4 f (x),8 b) semble couper l axe des abscisses au point de coordonnées ( 0, ; 0) et l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; ).. a) f (x) (x + ) < 0. b) f (x) < 0, donc f est strictement décroissante sur ] ; 4]. 4. a) 0 équivaut successivement à x + 0 ; ; (x + ) ; x + ; x ; x 0,. x + f(0). b) Le bénéfice semble être maximal pour x 0 (écart maximal entre la courbe et la droite).. a) b(x) r(x) c(x) 0x (x 0x + 00) x + 60x 00. b) b (x) x + 60. c) x 0 0 60 b (x) + 0 d) x 0 0 60 b (x) + 0 b(x) 00 400 00 e) Le bénéfice est maximal pour 0 vases fabriqués et vendus. E46 Partie A. c(0) 700. Le coût de production, en euros, de 0 tables est 700.. c(0) 70. Le coût unitaire, en euros, pour 0 tables 0 produites est 70.
Exercices Partie B. a) x + 0 + 00. x b) f() 7 et f() 79. Le coût unitaire pour tables produites est 7 et le coût unitaire pour tables produites est 79.. a) Tracé de la courbe représentative de f sur l écran d une calculatrice. b) Le coût unitaire est inférieur ou égal à 80 entre 4 et 6 tables produites (on peut aussi utiliser la table de la calculatrice). c) Le coût unitaire semble minimal pour 0 tables produites.. a) f (x) 00 x. b) f (x) 00 x x 00 (x + 0)(x 0). x x Sur I [ ; 0], x > 0 et x + 0 > 0, donc f (x) a le même signe que x 0. x 0 0 f (x) 0 + f(0) a été arrondi à 0, près. 70 8, 4. Le coût unitaire est minimal pour 0 tables produites. Le coût unitaire minimal est 70. E47 Partie A. a) Le coût de production de 0 paires de chaussures est 976. b) Le coût unitaire moyen de paires de chaussures est 0,. c) La valeur de la cellule B6 correspond au coût de production de 9 paires de chaussures. La valeur de la cellule C8 correspond au coût unitaire moyen de paires de chaussures.. a) Dans la cellule B, on a entré la formule A^+6*A+6. b) Dans la cellule C, on peut entrer la formule B/A. c) En cliquant dans la cellule B, on lit la formule A^+6*A+6.. Le coût unitaire moyen semble minimal pour 6 paires de chaussures fabriquées. Partie B. a) x + 6 + 6. x b) f (x) 6 x x 6 x (x + 6)(x 6) x. c) Sur I [ ; 0], x > 0 et x + 6 > 0, donc f (x) a le même signe que x 6. x 6 0 f (x) 0 + 7, 48 4, f(0) a été arrondi à 0, près.. Pour que le coût unitaire moyen soit minimal, il faut fabriquer 6 paires chaussures. Le coût correspondant est 48. E48 Partie A. a) c(0) 00. Ce nombre représente les frais fixes. b) Le coût de production semble maximal pour 000 boissons produites. Ce coût est 00. c) x 0 000 00 c (x) + 0 c(x) 00 00 0 d) Le coût de production est égal à 0 euros pour 00 et 00 boissons produites. 4
Exercices. a) Le bénéfice de cette entreprise est nul pour 000 boissons produites et vendues. b) L entreprise fera un bénéfice à partir de la 00 e boisson vendue. Son bénéfice est maximal pour 00 boissons vendues et est égal à 0 0 000. Partie B Pour tout x de [0 ; 00], r(x),x et c(x) x + x + 00. 000. b(x) r(x) c(x),x x 000 + x + 00 x 0,x 00. 000. b (x) 00 x 0,.. x 0 0 00 b (x) 0 + b(x) 00 6, 000 4. L entreprise réalise une perte record pour 0 boissons produites et vendues. Le montant de cette perte est 6,0. E49 Partie A. r(x) x p(x) x (7, 0,x) 7,x 0,x.. a) La valeur lue dans la cellule B6 correspond au coût de fabrication journalier, en centaines d euros, de 6 lots de jouets. La valeur lue dans la cellule C6 correspond au prix de vente d un lot, en centaines d euros, lorsque l entreprise vend 6 lots. La valeur lue dans la cellule D6 correspond à la recette, en centaines d euros, pour 6 lots vendus. b) La recette, pour 9 lots vendus, est 4 00. c) Dans la cellule B, on a entré la formule 0,*A^,6*A^+,6*A 0. d) Dans la cellule C, on a entré la formule 7, 0,*A. e) Dans la cellule D, on a entré la formule A*C.. Pour que l entreprise réalise chaque jour un bénéfice, elle doit produire et vendre entre et lots (la courbe représentative de la fonction r est située au-dessus de celle de c). 4. Le bénéfice semble être maximal pour 8 lots vendus (écart maximum entre les deux courbes). Partie B. a) r(x) c(x) 7,x 0,x (0,x,6x +,6x 0) 0,x +,x 4,4x + 0. b) f (x) 0,6x + 6,6x 4,4.. f (x) est un polynôme du second degré ; 9. x b a 6,6 9 ( 0,6) 8 et x b + 6,6 + 9 a ( 0,6). f (x) < 0 à l extérieur de ses racines et 8 ; f (x) > 0 entre ses racines et 8. x 8 4 f (x) 0 + 0,8,,6 7,6. Le bénéfice journalier est maximal pour 8 lots fabriqués et vendus. Ce bénéfice maximal est 60. E0 A. Sur tableur. B.. a) f() se lit dans la cellule B. b) Dans la cellule B8, on lit la valeur de f(8). c) L image de 9, par f est 99,6 (cellule B).. a) f semble strictement croissante sur [0 ; 8[ et strictement décroissante sur ]8 ; ]. b) Le maximum de f sur [0 ; ] semble être 0. C.. f (x) x + 4x.. f (x) x + 4x x(8 x). f (x) < 0 à l extérieur de ses racines 0 et 8 ; f (x) > 0 entre ses racines 0 et 8.. x 0 8 f (x) 0 + 0 6 0 4. Le maximum de f sur [0 ; ] est 0. 6
Exercices D.. Le bénéfice journalier lorsque l entreprise vend 90 cartons est environ 99 (99,6).. Le nombre de cartons à fabriquer et vendre chaque jour pour avoir un bénéfice maximal est 800. Ce bénéfice maximal est 0. E A.. Le pas de graduation sur l axe des abscisses est et le pas de graduation sur l axe des ordonnées est 000.. L ensemble des solutions de l inéquation < 0 sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessous de l axe des abscisses, soit l intervalle [8 ; 00].. f semble être strictement croissante sur [0 ; [ et strictement décroissante sur ] ; 00]. 4. Le maximum de f semble être 8 000, atteint pour x. B.. f (x) x + 68x.. f (x) x + 68x x(6 x). f (x) < 0 à l extérieur de ses racines 0 et 6 ; f (x) > 0 entre ses racines 0 et 6.. x 0 6 00 f (x) 0 + 0 0 87 808 4. Le maximum de f sur [0 ; 00] est 87 808. 60 000. < 0 équivaut successivement à x + 84x < 0 ; x (84 x) < 0 ; 84 x < 0, car x 0 ; x > 84. C.. L entreprise doit fabriquer et vendre entre et 8 lots de mobilier urbain pour réaliser un bénéfice.. L entreprise doit fabriquer et vendre 6 lots de mobilier urbain pour réaliser un bénéfice maximal. Le montant de ce bénéfice maximal est 87 808. E Partie A. Tracé de et de la droite d équation y 80 sur l écran d une calculatrice.. a) f semble être strictement décroissante sur [ ; 0[ et strictement croissante sur ]0 ; 0]. b) Le minimum de f semble être 70. c) L ensemble des solutions de l inéquation < 80 semble être l intervalle ]0 ; 40[. Partie B. f (x) 400 x.. f (x) 400 x x 400 (x + 0)(x 0). x x Sur I [ ; 0], x > 0 et x + 0 > 0, donc f (x) a le même signe que x 0.. x 0 0 f (x) 0 + 70 4. Le minimum de f sur [ ; 0] est 70. Partie C 88. Pour que le coût unitaire moyen soit minimal, l entreprise doit fabriquer 0 sacs ; ce coût est 70.. L entreprise réalise un bénéfice lorsqu elle fabrique entre 0 et 40 sacs (le coût unitaire moyen est inférieur au prix d un sac). QCM. Réponse b.. Réponse a.. Réponse b. 4. Réponse b.. Réponse b. 6. Réponse c. 7. Réponse c. 8. Réponse b. 9. Réponse c. 6