Le filtrage est une opération qui consiste à modifier le signal reçu pour, de façon très vague, l améliorer. Les applications du filtrage sont très variées, allant de la compression d image et de sons (JPEG et MP3) à de l amortissement actif dans les suspensions de véhicules. Notons aussi que les applications du filtrage en physique fondamentale sont innombrables, en particulier pour réduire les incertitudes de mesures. Nous allons donc poser les bases théoriques du filtrage, en nous contentant d un filtrage linéaire le plus simple possible, et dont les propriétés sont particulièrement utiles, puis nous verrons comment le filtrage est induit par les propriétés des dipôles présent dans le montage électrique. I Signaux périodiques I. Décomposition d un signal périodique On considère une fonction s(t) périodique de période T. On montre, sous certaines conditions mathématiques, qu il est possible de décomposer cette fonction en une série dite de Fourier s(t) = s 0 + + n= (a n cos(nωt) + b n sin(nωt)) avec ω = 2π T et n entier naturel. Le coefficient s 0 représente la valeur de la moyenne du signal s(t) sur une période, telle que définie au chapitre précédent. Les coefficient de la série, appelés coefficients de Fourrier, peuvent se calculer avec les formules suivantes 2 : a n = 2 T t0 +T t 0 s(t) cos(nωt) dt et b n = 2 T t0 +T t 0 s(t) sin(nωt) dt La fonction s n (t) = a n cos(nωt) + b n sin(nωt) est l harmonique de rang n, et plus la rang est élevé, plus la pulsation et la fréquence sont élevées. L harmonique de rang n = est appelé fondamental. Enfin, concernant les propriétés mathématiques, la série est une série dont les termes tendent assez rapidement vers 0. Remarque Il est important de comprendre le lien entre le rang de l harmonique et l échelle temporelle : plus n est grand, plus le terme s n (t) décrit une fonction qui oscille rapidement. Plus n est grand, plus on a accès à des détails fins du comportement temporel du signal. Exemple de décomposition en série de Fourier On considère un signal triangulaire pair de période T et de valeur moyenne non nulle égale à s 0. Le calcul des coefficients de Fourier donne la décomposition suivante fonction de classe C par morceaux. 2 Hors programme s(t) = s 0 4(s max s min ) π 2 + n=0 cos[(2n + )ωt] (2n + ) 2
On constate que le caractère pair implique l absence de termes en sinus. Les courbes représentatives de la décomposition pour des séries dont on a coupé les termes supérieurs à p sont présentées ci dessous 3 2 p = p = 3 p = 5 p = 7 s(t) 0 0 2 4 6 8 0 t On remarque qu avec l augmentation de p, les détails de la fonction sont d autant mieux rendus, en particulier les variations brusques au niveau des maximum et des minimum. La propriété de décroissance rapide des coefficients se traduit par les corrections apportées en passant de p à p + 2. I.2 Notion de spectre Développement en série de Fourier que la décomposition précédente peut se mettre sous la forme suivante 3 s(t) = s 0 + On peut, en utilisant les formules trigonométriques, montrer + n= c n cos(nωt + ϕ n ) Cette écriture représente le développement en série de Fourier de s(t) : s 0 est la moyenne de la fonction s(t) sur une période, le terme n = est le fondamental, dont la période est la même que la période du signal, les termes suivants sont les harmoniques d ordre n. Le calcul des c n (comme celui des a n et b n ) n est pas au programme. Spectre du signal Le spectre est constitué par le graphique donnant l amplitude c n en fonction de la fréquence ou de la pulsation. Comme le spectre est discret, il prend la forme de bâtons d une hauteur proportionnelle à l amplitude de l harmonique de fréquence f n = 2πnω. Il est en général inutile de 3 Nous avons utilisé des propriétés analogues pour donner les différentes formes de solution de l équation de l oscillateur harmonique. 2
représenter le spectre pour des harmoniques de rang très élevé en raison de la décroissance rapide des coefficients du développement de Fourier (exemple du signal triangulaire). 0 8 6 4 2 0 0 2 3 4 5 6 7 Remarque Ce qui a été dit dans cette partie peut se généraliser aux fonctions non périodiques, en particuliers les fonctions périodiques définies sur un intervalle fini, en utilisant la transformée de Fourier. II II. Fonction de transfert d un quadripôle Quadripôle Un quadripôle est un circuit électrique qui comporte quatre bornes, deux bornes d entrée et deux bornes de sortie. Généralement, l entrée est connectée à un générateur ou à la sortie d un autre quadripôle, qu on nommera source de manière générale. Le circuit branché à la sortie du quadripôle est appelé charge. i e Source u e Quadripôle u s Charge On ne s intéresse qu aux quadripôles linéaires, c est à dire constitués de dipôles linéaires, en régime sinusoïdal. i s II.2 Fonction de transfert Dans la figure précédente, on remarque que l entrée du quadripôle est en convention récepteur alors que la sortie est en convention générateur, ce qui est cohérent avec le rôle du circuit vu depuis la source ou depuis la charge. La fonction de transfert du quadripôle H(jω) est alors définie par H(jω) = U s U e où on a utilisé les tensions en notation complexe u e (t) = U e exp(iωt) et u s (t) = U s exp(iωt). Elle est caractérisée par 3
un module, appelé gain G(ω) = H(jω), un argument qui est le déphasage entre les tensions d entrée et de sortie ϕ(ω) = arg(h(jω)) Remarque très importante fonction de transfert : Le caractère linéaire est primordial dans l intérêt même de calculer la un caractère non linéaire provoque des couplages entre les différentes fréquences du signal car (exp(jωt) 2 = exp(2jωt), il permet donc l utilisation effective de la notation complexe pour résoudre l équation différentielle, il permet aussi d utiliser la décomposition en série de Fourier pour évaluer quel est l effet du quadripôle linéaire sur chaque fréquence indépendamment des autres. Influence de la charge La charge influence en général la tension en sortie. On calculera donc les fonctions de transfert en boucle ouverte, c est à dire avec une charge d impédance infinie (voir TD). De manière équivalente, cela signifie que pour calculer la fonction de transfert en boucle ouverte d un quadripôle, il faut considérer que l intensité qui en sort est nulle, ce qui est bien pratique pour utiliser le diviseur de tension. II.3 Impédance d entrée et de sortie Lorsqu une source est branchée sur un quadripôle, et éventuellement une charge, on peut modéliser l ensemble quadripôle/charge par une impédance Z E à laquelle est directement branchée la source produisant la tension u E et le courant i E. L impédance d entrée du système est alors donnée par Z E = u E i E De manière symétrique, le quadripôle et les sources de tensions placées avant le quadripôle se comportent vus de la charge comme un générateur de Thévenin de fém Hu E dont l impédance interne est l impédance de sortie du quadripôle Z S. Ordre de grandeurs En pratique, on retiendra les ordres de grandeur suivant pour un GBF Z S = 50 Ω, pour un oscilloscope Z E = MΩ, pour un multimètre numérique (en voltmètre), Z E = 0 MΩ. 4
II.4 Quadripôles en cascade On considère deux quadripôles en cascade u E Quad u Si Quad 2 u S Les fonctions de transfert en sortie ouverte sont H et H 2. On note Z E et Z S les impédances d entrée et de sortie du quadripôle et Z E2 et Z S2 les impédances d entrée et de sortie du quadripôle 2. La fonction de transfert totale s écrit H = u S u E = u S u Si u Si u E H H 2 l inégalité provenant du fait que le premier quadripôle n est pas en sortie ouverte. Le quadripôle 2 joue le rôle de charge pour le quadripôle, ce qui modifie la fonction de transfert. En utilisant les notions d impédances d entrée et de sortie, u Si est la tension aux bornes du générateur de Thévenin du premier quadripôle, mais aussi la tension aux bornes de l impédance d entrée du deuxième quadripôle, ce qui donne le schéma suivant Quadripôle Quadripôle 2 Z S Z S2 u E u Si u S Z E H u E Z E2 H 2 u Si On applique la relation du diviseur de tension au circuit du milieu En sortie, on peut aussi écrire Z E2 u Si = H u E Z E2 + Z S H 2 u Si = u S car le quadripôle 2 est en sortie ouverte, ce qui implique que i s = 0, donc que u ZS2 = 0. On a donc pour la fonction de transfert totale H = u S u Si u Si u E = H 2 H Z E2 Z E2 + Z S On a deux cas dans lesquels la fonction de transfert est le produit des deux fonctions en sortie ouverte : Z E2 Z S, dans ce cas u Si = H u E = Z E2 i Si, ce qui implique que i Si est négligeable, et le quadripôle se comporte alors comme en sortie ouverte. Z S = 0 ce qui correspond au fait que le premier quadripôle se comporte comme une source de tension parfaite. 5
Retour sur les aspects expérimentaux Compte tenu de ce qui vient d être démontré Un GBF est dans la position du quadripôle. Pour que le GBF fonctionne correctement, il faut donc que son impédance de sortie soit faible devant l impédance du circuit. Numériquement, il faut donc que l impédance du circuit soit supérieure à 50 Ω, ce qui peut être problématique lorsqu on étudie des circuits de très faible résistance (RLC de facteur de qualité correct par exemple), un oscilloscope ou un voltmètre numérique sont dans la situation du quadripôle 2. Pour qu ils fonctionnent correctement, il faut donc que leur impédance d entrée soit supérieure à celle du circuit, ce qui explique les très grandes impédances d entrées des appareils de mesure. Concrètement, leur très grande impédance assure qu aucun courant ne rentre dans les appareils et qu on peu donc considérer les circuits sur lesquels ils font des mesures en sortie ouverte. Filtres en cascade De manière générale, quand on souhaite associer plusieurs filtre en cascade, il faut s assurer qu ils ont une faible impédance de sortie et une grande impédance d entrée. Dans les montages électroniques usuels, ces fonctions sont (entre autres) assurées par un composant appelé amplificateur linéaire intégré (ALI). II.5 II.5. Filtres linéaires Principe du filtrage Le filtrage consiste à modifier le signal en modifiant l importance relative des fréquences. Les applications sont très nombreuses : suppression de bruit de grésillement (à haute fréquence) d un enregistrement, suppression de certaines fréquence dans un objectif de compression du signal (principe du MP3), sélectionner une fréquence particulière d émission pour choisir une chaine de télévision, de radio, ou une bande de fréquence pour téléphone portable. II.5.2 Type de filtres La bande passante d un filtre correspond par définition à la bande ω pour laquelle la valeur du gain est supérieure G max / 2. La ou les pulsations pour lesquelles G(ω) = G max / 2 sont les fréquences de coupure du filtre ω c. Un filtre idéal est un filtre pour lequel le gain est constant dans la bande passante. Les filtres se répartissent en quatre grandes catégories (plus quelques autres, on pourra penser au filtre déphaseur) : Filtre passe bas qui laisse passer les basses fréquences et coupe les fréquences supérieures à la fréquence de coupure ω c. Filtre passe haut qui laisse passer les hautes fréquences et coupe les fréquences inférieures à la fréquence de coupure ω c. 6
Filtre passe bande qui laisse passer les fréquences comprises entre deux pulsations de coupure ω c et ω c2 et coupe les fréquences en dehors de la bande passante. Filtre coupe bande qui effectue le travail opposé au filtre passe bande. Il coupe les fréquences comprises entre deux pulsations de coupure ω c et ω c2 et laisse passer ou amplifie les fréquences en dehors de la bande passante. Ordre du filtre Les filtres sont composés de composants linéaires. Les fonctions de transferts vont donc être des fractions composées de polynôme en jω. La plus haute puissance de jω est l ordre du filtre. C est aussi l ordre de l équation différentielle décrivant le système. II.6 Échelle logarithmique Il est courant d avoir à représenter de grandes plages de fréquence. C est par exemple le cas quand on étudie les performances d un système de restitution du son, puisque l oreille peut entendre des sons de fréquences comprises entre 20 Hz et 20 khz. Pour assurer un intérêt à la représentation graphique, on représente les courbes en échelle logarithmique en abscisse 04 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0 0 0 0 2 0 3 0 4 De la même manière en ordonnée, on utilise plutôt le gain en décibels, défini par G db = 20 log(g) = 20 log( H ) qui est un nombre sans dimension. On retiendra que multiplier le gain par 0 revient à l augmenter de 20 db. II.7 Diagramme de Bode On appelle diagramme de Bode d un filtre l ensemble des deux courbes suivantes, tracées en fonction de ω en échelle logarithmique : gain en décibels de la fonction de transfert G db = 20 log(g) = 20 log( H ), 7
Déphasage de la fonction de transfert en radian ϕ = arg(h). Lorsqu on travaille avec le gain en décibels, la définition des fréquences de coupure s adapte. Une division de l amplitude max par 2 correspond à une diminution du gain ( ) Gmax 20 log = 20 log(g max ) 20 log( 2) = G db,max 3 2 La fréquence de coupure est donc définie par la bande à 3 db. II.8 Notion de gabarit Un gabarit est un ensemble de contraintes imposées par un cahier des charges au constructeur du filtre. On distinguera sur celui-ci trois types de zone : la bande passante, les bandes affaiblies et les bandes de transition. La bande passante est caractérisée par son gain nominal(souvent égal à ) et par l erreur maximum admise sur celui-ci. On appellera parfois cette erreur le taux d ondulation en bande passante. La bande affaiblie, qui aura toujours un gain nominal nul, sera caractérisée par le gain maximum admissible. Les bandes de transition sont uniquement définies par leurs largeurs spectrales. Le gabarit ainsi défini ne précise rien sur le déphasage, mais souvent, on souhaite que le filtre ne déphase pas du tout dans sa bande passante. II.9 Diagramme asymptotique Le tracé d un diagramme de Bode point par point est en général très fastidieux. Il est plus intéressant de tracer son diagramme asymptotique, qui consiste à utiliser une expression approchée de la fonction de transfert en déterminant son équivalent dans les différents domaines de fréquences envisagées. Il est par exemple intéressant de noter le comportement asymptotique du gain lorsque ω 0 et ω +. Il est habituel de l exprimer en db/décade c est à dire le gain ou la perte pour une multiplication par 0 de la pulsation. II.0 Caractère intégrateur ou dérivateur d un filtre Comme on l a vu lors de l introduction de la représentation complexe, les opérations de dérivation et d intégration se traduisent respectivement par une multiplication et une division par jω. En retour, un filtre qui, souvent de manière asymptotique, possède une fonction de transfert qui est proportionnelle à jω possède, dans le domaine temporel, un caractère dérivateur. De même, un filtre qui, de manière asymptotique, possède une fonction de transfert qui est inversement proportionnelle à jω possède, dans le domaine temporel, un caractère intégrateur. 8
III III. Exemples de filtres simples Filtre passe bas du premier ordre On considère le circuit représenté sur la figure suivante : R u e C u s On peut en faire une première analyse qualitative : à basse fréquence, le condensateur est équivalent à un circuit ouvert, donc aucun courant ne circule dans la résistance (car le filtre est en sortie ouverte), donc u S = u E, à haute fréquence, le condensateur est équivalent à un fil, donc u S = 0. Le comportement du filtre est donc de laisser passer les fréquences basses et de couper les hautes fréquences : c est donc un filtre passe bas. Fonction de transfert L application de la formule du diviseur de tension permet d obtenir U s = Z C U Z R + Z e = C jcω R + U e = jcω + jrcω U e où U e et U s sont les amplitudes complexes des tensions d entré et de sortie. La fonction de transfert s écrit alors H(jω) = U s U e = + jrcω Le dénominateur étant de degré en jω, le filtre est d ordre. On introduit la pulsation réduite x = ω/ω 0 avec ω 0 = /RC qui permet d écrire le filtre sous sa forme canonique H(jx) = + jx D une manière plus générale, tout filtre passe bas du premier ordre peut se mettre sous la forme canonique suivante : H(jx) = H 0 + jx où H 0 est le gain statique (i.e en régime permanent). Gain, phase et pulsation de coupure Le gain se déduit de la fonction de transfert G(x) = H(jx) = + x 2 9
tout comme la phase (le cosinus de l argument est ici positif) ϕ = arg(h(jx)) = arg( + jx) = arctan(x) La pulsation de coupure est telle que G(x c ) = 2 puisqu ici le gain maximum vaut. On obtient alors = x c = ω c = ω 0 = + x 2 2 RC Diagramme de Bode Le gain en décibels se calcule facilement G db = 20 log G = 0 log( + x 2 ) On s intéresse d abord aux asymptotes : à basse fréquence, x 0 et G db = 0, à haute fréquence x + et + x 2 x 2, alors G db 20 log(x). C est dans le diagramme de Bode en échelle logarithmique une droite de pente 20 db/decade. Par ailleurs, G(x) /jx =, ce qui correspond à un caractère intégrateur du filtre. La courbe représentative du gain en décibels donne alors, où l on observe que le gain pour x = vaut bien 3 db 0 0 GdB 20 30 40 0 2 0 0 0 x 0 0 2 Concernant la phase, les asymptotes sont les suivantes à basse fréquence, x 0 et ϕ = 0, à haute fréquence x + et ϕ = π 2 ce qui donne la courbe suivante 0
0 0.5 ϕ.5 0 2 0 0 0 0 0 2 x
III.2 Filtre passe haut d ordre un On considère le circuit représenté sur la figure suivante : C u e R u s On peut en faire une première analyse qualitative : à basse fréquence, le condensateur est équivalent à un circuit ouvert donc u S = 0, car aucun courant ne circule alors dans le conducteur ohmique, à haute fréquence, le condensateur est équivalent à un fil, donc u S = u e. Le comportement du filtre est donc de laisser passer les fréquences hautes et de couper les basses fréquences : c est donc un filtre passe haut. Fonction de transfert L application de la formule du diviseur de tension permet d obtenir U s = Z R U Z R + Z e = R C R + U e = jcω + U e jrcω où U e et U s sont les amplitudes complexes des tensions d entré et de sortie. La fonction de transfert s écrit alors H(jω) = U s U e = + jrcω = jrcω + jrcω Le dénominateur et le numérateur étant de degré en jω, le filtre est d ordre. On introduit la pulsation réduite x = ω/ω 0 avec ω 0 = /RC qui permet d écrire le filtre sous sa forme canonique H(jx) = + jx = jx + jx D une manière plus générale, tout filtre passe haut du premier ordre peut se mettre sous la forme canonique suivante : où H 0 est le gain à haute fréquence. jx H(jx) = H 0 + jx Gain, phase et pulsation de coupure Le gain se déduit de la fonction de transfert G(x) = H(jx) = + x 2 2
tout comme la phase (le cosinus de l argument est ici positif) ( ϕ = arg(h(jx)) = arg + ) ( ) = arctan jx x La pulsation de coupure est telle que G(x c ) = 2 puisqu ici le gain maximum vaut. On obtient alors = = ω c = ω 0 = + 2 x c RC x 2 Diagramme de Bode Le gain en décibels se calcule facilement G db = 20 log G = 0 log ( + x ) 2 On s intéresse d abord aux asymptotes : à basse fréquence x 0, et + /x 2, alors G x 2 db 20 log(x). C est dans le diagramme de Bode en échelle logarithmique une droite de pente 20 db/decade. Par ailleurs, G(x) jx =, ce qui correspond à un caractère dérivateur du filtre. à haute fréquence x + et G db = 0. La courbe représentative du gain en décibels donne alors, où l on observe que le gain pour x = vaut bien 3 db 0 0 GdB 20 30 40 0 2 0 0 0 x 0 0 2 Concernant la phase, les asymptotes sont les suivantes à basse fréquence, x 0 et ϕ = π 2, à haute fréquence x + et ϕ = 0 ce qui donne la courbe suivante 3
.5 ϕ 0.5 0 0 2 0 0 0 x 0 0 2 4
III.3 Filtre passe bas du deuxième ordre On considère le circuit représenté sur la figure suivante : R L u e C u s On peut en faire une première analyse qualitative : à basse fréquence, le condensateur est équivalent à un circuit ouvert donc l intensité qui traverse le conducteur ohmique est nulle, puisqu on est en sortie ouverte. Par ailleurs, la bobine est équivalente à un fil, donc la tension à ses bornes est nulle, donc u s = u e à haute fréquence, le condensateur est équivalent à un fil, donc u S = 0. Le comportement du filtre est de laisser passer les fréquences basses et de couper les hautes fréquences : c est donc un filtre passe bas. Fonction de transfert L association série entre la bobine et le conducteur ohmique donne Z eq = R + jlω. L application de la formule du diviseur de tension permet ensuite d obtenir U s = Z C U Z eq + Z e = C jcω R + jlω + U e = jcω jcrω LCω 2 + U e où U e et U s sont les amplitudes complexes des tensions d entré et de sortie. La fonction de transfert s écrit alors H(jω) = U s U e = jcrω LCω 2 + Le dénominateur et le numérateur étant de degré 2 en jω, le filtre est d ordre 2. On introduit la pulsation réduite x = ω/ω 0 avec ω 0 = / LC et Q = RCω 0 qui permet d écrire le filtre sous sa forme canonique H(jx) = x 2 + j x Q D une manière plus générale, tout filtre passe bas du deuxième ordre peut se mettre sous la forme canonique suivante : où H 0 est le gain à fréquence nulle. H(jx) = H 0 x 2 + j x Q On reconnait une forme qui ressemble à celle de l amplitude de la résonance en tension. Ce n est évidemment pas un hasard puisque u s est la tension aux bornes du condensateur. On va donc pouvoir utiliser les résultats du chapitre précédent. 5
Gain et phase Le gain se déduit de la fonction de transfert G(x) = H(jx) = ( x 2 ) 2 + ( x Q ) 2 tout comme la phase ϕ = arg(h(jx)) = π ( 2 + arctan Q ) x2 x Rappelons que la valeur Q = / 2 distingue les courbes qui présentent une résonance et celles qui n en présentent pas. Diagramme de Bode Le gain en décibels se calcule facilement G db = 20 log G = 0 log ( ( x 2 ) 2 + ( ) ) x 2 Q On s intéresse d abord aux asymptotes : à basse fréquence x 0 et G(x) 0, ( 2 à haute fréquence x + et ( x 2 ) 2 + x Q) x 4, alors G db 40 log(x). C est dans le diagramme de Bode en échelle logarithmique une droite de pente 40 db/decade. La courbe représentative du gain en décibels donne alors 20 0 Q = 5 Q = 3 Q = Q = 0.3 GdB 20 40 0 2 0 0 0 x 0 0 2 Concernant la phase, les asymptotes sont les suivantes à basse fréquence, x 0 et ϕ = 0, à haute fréquence x + et ϕ = π ce qui donne la courbe suivante 6
0 Q = 5 Q = 3 Q = Q = 0.3 ϕ 2 3 0 2 0 0 0 0 0 2 x Remarque Le filtre passe haut d ordre deux qui est hors programme s obtient en ajoutant π à la phase et en effectuant une symétrie par rapport à l axe log x = 0 pour le gain. 7
III.4 Filtre passe bande du deuxième ordre On considère le circuit représenté sur la figure suivante : L C u e R u s On peut en faire une première analyse qualitative : à basse fréquence, le condensateur est équivalent à un circuit ouvert et la bobine à un fil donc l intensité qui traverse le conducteur ohmique est nulle, puisqu on est en sortie ouverte, on a donc u s = 0, à haute fréquence, le condensateur est équivalent à un fil, et la bobine à un circuit ouvert donc u S = 0 aussi. Le comportement du filtre est de couper les fréquences basses et hautes : c est donc un filtre passe bande. Fonction de transfert L association série entre la bobine et le condensateur donne Z eq = jcω + jlω. L application de la formule du diviseur de tension permet ensuite d obtenir U s = Z R Z eq + Z R U e = R R + jcω + jlω U e = + j ( Lω R )U e RCω où U e et U s sont les amplitudes complexes des tensions d entré et de sortie. La fonction de transfert s écrit alors H(jω) = U s U e = + j ( Lω R ) RCω Le dénominateur et le numérateur étant de degré 2 en jω, le filtre est d ordre 2. On introduit la pulsation réduite x = ω/ω 0 avec ω 0 = / LC et Q = RCω 0 qui permet d écrire le filtre sous sa forme canonique H(jx) = + jq ( x x ) que l on peut réécrire en faisant apparaitre le même dénominateur que pour le filtre passe bas du deuxième ordre, en multipliant numérateur et dénominateur par jx Q H(jx) = j x Q x 2 + j x Q D une manière plus générale, tout filtre passe bas du deuxième ordre peut se mettre sous les formes canoniques suivantes : H(jx) = H 0 + jq ( j x Q x ) = H 0 x x 2 + j x Q 8
où H 0 est le gain à fréquence nulle. On reconnait une forme qui ressemble à celle de l amplitude de la résonance en intensité. Ce n est évidemment pas un hasard puisque u s est la tension aux bornes du conducteur ohmique. On va donc pouvoir s appuyer sur les résultats du chapitre précédent. Gain et phase Le gain se déduit de la fonction de transfert G(x) = H(jx) = + Q ( 2 x x ) 2 La phase s obtient facilement en utilisant la deuxième forme H(jx) = j x Q x 2 + j x Q où l argument du numérateur est π/2 et où le dénominateur est le même que dans le cas du filtre passe bas d ordre 2. On a alors ϕ = arg(h(jx)) = arctan (Q ) x2 x Rappelons que la valeur Q = / 2 distingue les courbes qui présentent une résonance et celles qui n en présentent pas. Diagramme de Bode Le gain en décibels se calcule facilement G db = 20 log G = 0 log ( ( + Q 2 x ) ) 2 x On s intéresse d abord aux asymptotes : à basse fréquence x 0 et + Q 2 ( x ) 2 x Q 2, donc G x 2 db 20logQ + 20 log(x). C est dans le diagramme de Bode en échelle logarithmique une droite de pente 20 db/decade, à haute fréquence x + et + Q 2 ( x x) 2 Q 2 x 2, alors G db 20logQ 20 log(x). C est dans le diagramme de Bode en échelle logarithmique une droite de pente 20 db/decade. La courbe représentative du gain en décibels donne alors, 9
20 0 Q = 5 Q = 3 Q = Q = 0.3 GdB 20 40 0 2 0 0 0 x 0 0 2 Concernant la phase, les asymptotes sont les suivantes à basse fréquence, x 0 et ϕ = π 2, à haute fréquence x + et ϕ = π 2 et la courbe s obtient en translatant la courbe du passe bas d ordre 2 de π/2. Acuité de la résonance et sélectivité du filtre On a montré dans le chapitre précédent que l acuité de la résonance était liée au facteur de qualité. Plus précisément, dans le cas de la résonance en intensité, on a montré que la largeur de la bande passante ω, correspondant à la bande telle que l intensité est supérieure à I max / 2 est telle que Q = ω 0 ω Cette expression est donc la même pour la bande passante à 3 db du filtre. 20
III.5 Filtrage d un signal périodique En revenant sur le début du chapitre, on cherche donc à filtrer un signal périodique e(t). Si celui ci est sinusoïdal de pulsation ω, alors e(t) = E m cos(ωt) on peut simplement écrire que la sortie du filtre s(t) est s(t) = G(ω)E m cos(ωt + ϕ(ω)) où G(ω) et ϕ(ω) représentent le gain et le déphasage dus au filtre à la fréquence ω. Si le signal e(t) est simplement périodique, alors on peut le décomposer en série de Fourier s(t) = s 0 + + n= c n cos(nωt + φ n ) et chaque composante 4, y compris s 0, voit son amplitude (gain de la fonction de transfert) et sa phase (phase de la fonction de transfert) modifiée s(t) = G(0)s 0 + + n= G(nω)c n cos(nωt + φ n + ϕ(nω)) 4 On dit merci à la linéarité du filtre! 2