Série d Exercices Thierry Ané Exercice n 1 Vous souhaitez investir 50000 euros pour une durée de 9 mois. Votre courtier vous propose les deux produits suivants : un produit d assurance versant un taux actuariel de 4.95% en base annuelle et capitalisation trimestrielle, un produit du marché monétaire versant 5% en proportionnel ex-post. Expliquez quel placement vous allez choisir en calculant les intérêts reçus dans les deux cas. Exercice n 2 Un investisseur souhaite effectuer un placement pour une durée de 6 mois. Il a sélectionné les trois actifs suivants : 1. Un Bon du Trésor de durée de vie 6 mois qui cote 4 % en taux proportionnel précompté. 2. Un Billet de Trésorerie de durée de vie 9 mois cotant 3.8% en taux proportionnel postcompté. 3. Une obligation de durée de vie 2 ans versant un coupon annuel de 3 % et cotant 4.1% en taux actuariel annuel à capitalisation annuelle. En anticipant une gamme des taux plate dans 6 mois à 3.5% (en taux actuariel annuel à capitalisation annuelle), quel investissement doit-il privilégier? Exercice n 3 Un trésorier décide de placer en bons du trésor à 13 semaines de valeur nominale 10 millions d euros du 30 juin au 30 septembre ( 92 jours). Le taux précompté à l émission est de 7.28%. 1. Quelle est la cote à l émission de ce bon du trésor et quelle est la somme que le trésorier doit payer? 1
Le 31 août, il veut récupérer ses fonds et sa banque lui trouve une contrepartie prête à racheter les bons du trésor. Le taux d intérêt post-compté en vigueur sur le marché monétaire est de 7.15%. 2. Quelle somme va-t-il récupérer le 31 août? 3. Calculez le taux de rendement réalisé sur l opération et expliquez le gain ou la perte réalisée. Exercice n 4 1 ) Vous disposez de deux millions d euros que vous voulez placer pendant 5 mois. Que choisissez vous entre : Un Bon du Trésor de durée 7 mois, cotant à l émission 93.85. Un produit obligataire in fine de taux facial 8.8% durée trois ans cotant 100, de coupon couru nul. Un Billet de Trésorerie de durée 5 mois, qui cote 96.70 sur le marché secondaire. 2 ) En supposant que vous voulez vous assurer de la rentabilité réalisée sur votre investissement quel produit faut-il choisir? Exercice n 5 Vous venez d obtenir un prêt immobilier de 1 million d euros au taux fixe de 12% (taux actuariel annuel à capitalisations annuelles) de durée 25 ans remboursable mensuellement par échéances constantes. 1. En supposant que le premier remboursement mensuel a lieu le 28 février 2008 pour un prêt signé le 01 février 2008, quel sera le capital restant dû (CRD) le 01 février 2009 (Raisonner en mois entiers)? 2. En supposant le premier remboursement mensuel le 28 février 2009 pour ce même prêt signé le 01 février 2008, quel sera le capital restant dû (CRD) le 28 février 2013? 2
Exercice n 6 Un particulier veut emprunter la somme de 800000 euros auprès d une banque. Les conditions offertes sont les suivantes : Taux nominal : 6 % (actuariel base annuelle à capitalisations semestrielles) Frais de dossier : 0.20%, Mode de remboursement : semestrialités constantes, Durée de l emprunt : 5 ans, Assurance : 0.60%. 1. Dresser le tableau d amortissement de l emprunt. 2. Ecrire la formule permettant d obtenir le taux effectif global (TEG) de l emprunt. Il s agit d un taux actuariel en base semestrielle et à capitalisation semestrielle. 3. En admettant que le TEG obtenu par la formule précédente est 3.34%, donnez le TEG sous la forme d un taux actuariel en base annuelle et à capitalisation annuelle. Exercice n 7 Soit un prêt de 2 millions d euros au taux actuariel annuel à capitalisation annuelle de 3 % de durée de vie 4 ans. 1. Calculez le montant des échéances si le prêt est à échéances constantes annuelles. 2. Même question s il s agit d un prêt à amortissement constant du capital. 3. Trouvez le montant des échéances annuelles si celles-ci sont maintenant supposées dégressives et vérifient la propriété suivante : la première échéance est 4 fois plus forte que la quatrième, la deuxième échéance est 3 fois plus forte que la quatrième, la troisième échéance est 2 fois plus forte que la quatrième. 3
Exercice n 8 Un particulier veut emprunter la somme de 1000000 euros auprès d une banque pour financer l acquisition d une résidence principale. Les conditions offertes par les banques A et B sont décrites ci-après : Banque A Banque B Taux Nominal 4% 5% Frais de dossier 0.80% 0,20% Mode de Remboursement Semestrialités Annuités Duréée de l'emprunt (années) 4 6 Frais d'assurance 0.60% 0.40% 1. Dresser le tableau de financement de chaque emprunt 2. Ecrire pour chaque emprunt la formule de calcul du Taux Effectif Global de l emprunt. 3. On suppose que les TEG donnés par la formule écrite au 2. sont respectivement de 2.4886% et de 5.4633% pour les emprunts auprès des banques A et B. Calculer le TEG annuel actuariel en base période de chaque emprunt puis le TEG actuariel annuel en capitalisation annuelle. Quel emprunt choisir? Exercice n 9 Soit un prêt de durée 6 ans à échéances semestrielles suivantes : Semestre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Échéance 15 000 15 000 15 000 15 000 12 000 12 000 12 000 12 000 10 000 10 000 10 000 10 000 1. Le taux d intérêt actuariel annuel est de 8%. Calculez le capital emprunté. 2. Quel est le coût réel pour l emprunteur (annuel et semestriel) sachant que la banque prélève 5000 francs pour les frais de dossier. 3. Calculez le capital restant dû après 2 ans et demi (i.e. juste après la 5 ème échéance). 4
Exercice n 10 Considérez les 5 projets d investissement qui génèrent les flux suivants Projet t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 A -100 55 60.5 2 2 B 0-200 110 121 4 C -80 50 55.5 2 0 D -180 116 126 20 2 E -100 220-120 0 0 Sauf mention du contraire, ces 5 projets sont supposés être indépendants. Indiquez si les propositions qui suivent vous paraissent correctes ou non, et dans chaque cas, justifiez brièvement votre réponse. a. «L utilisation du critère de la VNP ne peut conduire à accepter A et à rejeter B». b. «Les projets A et B ont le même TRI ; donc ; si ces deux projets étaient mutuellement exclusifs, il serait indifférent de choisir A ou B». c. «Si les projets A et C doivent être entrepris, le projet D doit également être entrepris». d. «Si le taux d intérêt à court terme (t < 3) est de 10% et le taux d intérêt à long et moyen terme de 15%, il convient d entreprendre les quatre premiers projets». e. «Le projet E devrait être entrepris du moment que le taux d intérêt est positif». Exercice n 11 Sur le marché, les produits suivants sont disponibles : - Bon du trésor 6 mois de valeur faciale $1000 cotant $985.22 - Obligation à coupon fixe 4% de valeur faciale $250, de durée de vie restante 1 an, cotant 3.2% - Obligation à coupon fixe 2% de valeur faciale $100, de durée de vie restante 2 an, cotant 3.6% - Zero coupon de durée de vie 4 ans, de valeur faciale $500 cotant 4% Calculer les taux zero-coupon actuariel 6mois, 1 an, 2ans, 3 ans et 4 ans. 5
Exercice n 12 Une banque consent à ses clients des prêts personnels à 5 ans dans les conditions suivantes : le client paie en années 1,2,3,4,5 des intérêts simples sur la somme empruntée et rembourse le principal en année 5 (principe d amortissement in fine). On suppose que, lors de chaque paiement, les clients ont une certaine probabilité de défaut, auquel cas ce paiement n est pas effectué, ni tous ceux qui suivent. Mais la banque réussit à ce moment-là à récupérer une partie du principal grâce à divers titres que le client détient auprès d elle. On donne le tableau suivant : Groupe Taux consenti Probabilité % du principal par la banque de défaut récupéré A 35% 0.25 50% B 25% 0.20 60% C 20% 0.15 80% Pensez vous que les taux consentis par la banque soient équitables? (On supposera une gamme des taux d emprunts d état plate à 10%). Exercice n 13 Vous sélectionnez sur le marché les obligations suivantes : Maturité Taux Facial Taux actuariel 1 an 9.0% 6.0% 2 ans 6.0% 6.5% 4 ans 8.0% 7.8% Calculez les taux zero-coupon R ( 0,1), R(0,2), R(0,3) et R(0,4) en expliquant précisément comment est construit le taux R (0,3). 6
Exercice n 14 Sur le marché spot on constate que les taux proportionnels ex-post pour des opérations de prêt-emprunt de durée 2 mois et 6 mois sont respectivement de 3% et 4.5%. Expliquez les opérations financières à effectuer pour s assurer les conditions d un prêt de durée 4 mois débutant dans 2 mois sur un nominal de 100000 euros. Calculez le taux proportionnel ex-post de ce placement ou, si vous préférez, le montant d intérêts reçus en fin de placement. Exercice n 15 Sur les marchés, vous constatez les conditions suivantes : taux proportionnel ex-post spot à 3 mois : 3.5% taux proportionnel ex-post spot à 7 mois : 4.2% taux proportionnel ex-post forward du 4 mois dans 3 mois : 4.5% Montrer que l on peut construire un arbitrage. Détailler les opérations à réaliser et préciser le gain attendu de cet arbitrage. Exercice n 16 Un gestionnaire de portefeuille détiens 16 obligations de durée de vie 3 ans qui versent annuellement un coupon de 3.2% sur un nominal de $200. Le taux de marché en base annuelle et capitalisation annuelle est actuellement de 4%. Craignant des variations de la courbe des taux, le gestionnaire souhaiterait immuniser son portefeuille en utilisant les deux produits obligataires suivants: - Zéro-coupon deux ans de valeur faciale $120, - Rente perpétuelle versant un coupon annuel de 2.5% sur une valeur faciale de $180. 1. Calculer le prix, la duration et la sensibilité de chacun des trois produits. 2. Déterminez les nombres x et y de zéro-coupons et de rentes perpétuelles nécessaires à la couverture. Précisez si les produits doivent être pris en position longue ou courte. 7
Exercice n 17 Le 28/03/08 vous détenez en portefeuille 100 M en valeur nominale de l OAT 1, 28/06/10 de taux facial k = 5 1 %. Les taux de marché sont tous à R = 7 %. Vous souhaitez immuniser ce portefeuille contre les risques de taux en utilisant les produits suivants : 2 BTAN 28/04/09 de taux facial k 2 = 4% OAT 3 28/03/11 de taux facial k 3 = 7% 1. Calculez les cotes plein coupon et les durations (ou les sensibilités) des trois produits. 2. Donnez la composition (en valeurs nominales) du portefeuille d immunisation Exercice n 18 1. Un zero-coupon de durée de vie deux ans cote aujourd hui 94. Quelle est sa duration? 2. Vous voulez investir 2 M sur 4 mois. On vous propose un placement obligataire au taux de 7% et un Bon du Trésor du marché secondaire de durée 4 mois cotant aujourd hui 98,24%. Que choisissez vous? 3. Sur le marché, vous constatez que le prix d une obligation à taux révisable Libor 3 mois de durée de vie restante 38 mois cote 100. Par ailleurs le taux d intérêt pour des opérations de durée 2 mois est de 8% (base annuelle, capitalisation trimestrielle). Le taux Libor 3 mois qui prévalait un mois plus tôt est de 7%. Allez-vous acheter de cette obligation? Exercice n 19 Deux sociétés A et B souhaitent effectuer un emprunt de 10 millions d euros sur 5 ans. La première souhaite emprunter à taux variable et la seconde à taux fixe. Les conditions qu elles se voient offrir par leurs banques respectives sont les suivantes : Emprunt Taux Fixe Emprunt Taux Variable Société A 5% 8 LIBOR + 0.3% Société B 6.30% LIBOR + 0.8%
Construisez un swap faisant intervenir un market maker se rémunérant à 0.2% et qui soit équitable pour les deux sociétés. Exercice n 20 Une institution financière a emprunté un nominal de 100 in fine à 8% (taux en base annuelle à capitalisation trimestrielle) auprès d une banque. Voulant payer du variable, elle est entrée dans un contrat de swap avec un market maker. Sous les termes de ce contrat, elle doit payer trimestriellement le taux Pibor 3 mois révisable au market maker qui en retour lui paie 7,50% sur une base trimestrielle. La maturité des deux opérations était de 3 ans. Un an et demi après la signature des contrats de swap et d emprunt, l institution financière fait défaut, avant le paiement des coupons courus. Les taux sont alors à 9% (taux en base annuelle à capitalisation trimestrielle). Le Pibor 3 mois valait 8.8% trois mois plus tôt. Calculer les pertes réalisées par le market maker et la banque débitrice. Expliquer pourquoi le risque de défaut sur un swap est noté plus faiblement que sur un emprunt. Exercice n 21 Selon les termes d un contrat de swap, une institution financière s est engagée à payer un taux fixe (paiements trimestriels), et elle reçoit le Libor 3 mois sur un nominal de 100 M$. A la signature du swap les taux sur le marché étaient tous égaux à 6% (taux base annuelle, capitalisation trimestrielle). 9
Le swap a aujourd hui une durée de vie résiduelle de 13 mois. Le niveau des taux est maintenant égal à 7% (taux base annuelle, capitalisation trimestrielle). Le Libor 3 mois valait 6.5% deux mois plus tôt. Calculer la valeur de ce swap. 10