Chapitre 6 Etimation d un ratio Dan ce chapitre, nou étudion l etimation d un ratio qui et une fonction non linéaire de deux totaux L etimation ur un domaine qui et un exemple d application de l etimation d un ratio et détaillée 61 Etimation d un ratio 611 Introduction Exemple 1 Suppoon une population de ménage, y k le revenu du ménage k et z k le nombre de peronne compoant le ménage Le revenu moyen par tête dan cette population et : R = y k = t y t z z k R et ce qu on appelle un ratio, c et-à-dire le rapport de deux totaux ur une même population Exemple 2 La proportion d électeur qui, dan une élection préidentielle, choiient un candidat particulier et le rapport : ombre de votant qui choiient le candidat / ombre de uffrage exprimé Cette proportion doit être etimée comme un ratio car la taille de la population, c et-à-dire le nombre d électeur qui votent n et pa connue 612 Cadre général de l etimation d un ratio On dipoe d un plan de ondage de probabilité incluion, et l n échantillon et obtenu par ce plan et on oberve y k,z k,k On etime le ratio R par le quotient de etimateure H-T de totaux : ˆR = ˆt yπ (61) ˆt zπ C et un etimateur non linéaire et on ne peut donc pa calculer exactement on epérance mathématique ou en obtenon une expreion approchée par une technique claique en ondage : la linéariation Epérance mathématique et variance approchée de ˆR Appelon f la fonction de totaux qui donne le ratio : f(y, z) =y/z et écrivon le développement de Taylor à l ordre 1 de f et au voiinage de y 0 = t y et z 0 = t z On obtient : ˆR t y t z R t z (ˆt zπ t z )+ 1 t z (ˆt yπ t y ) 3
4 CHAPITRE 6 ESTIMATIO D RATIO ou ˆR R + 1 y k Rz k (62) t z Prenant l epérance mathématique deeux côtée (62), on obtient : E( ˆR) R L etimateur ˆR et an biai au premier ordre La variable ν k = 1 t z (y k Rz k ) (63) et appelée linéariée de R = t y /t z On voit ur (62) que la variance linéariée de ˆR, c et-à-dire la variance du côté droit de (62), n et autre que la variance de ν k, etimateur du total de la linéariée On peut donc appliquer le réultat obtenu pour l etimation d un total par le valeurilatée : ( ) var( ˆR) ν k var = π Δ kl ˇν k kˇν l où ˇν k = ν k / On ne connaît ni R ni t z, on le remplace donc par R et t z pour obtenir une etimation de variance : var( ˆR) = Δ kl ˇ νkˇ νl l où ν k =(y k Rz k )/ t z ote La linéariée et un outil claique pour approcher le variance etimateur complexe L ouvrage de Tillé contient un développement général ur cette notion Si on a utilié un plan de taille fixe on utiliera le expreione variance correpondante ou allon voir préciément la ituation pour un plan SI 613 Etimation d un ratio dan un plan SI Par un plan SI(,n) qui donne un échantillon an une population, on obtient y k,z k, k L etimateur du ratio et ˆR = t y t z = y z (64) On applique enuite le formule pécifique au plan SI pour l etimation de la variance du total ν k de la linéariée On obtient aini ( var( ˆR) 1 2 Sν, 2 = 1 ( 1 t 2 2 z Sy Rz, 2 (65) ( var( ˆR) 1 = 2 ˆν = 2 ( 1 t 2 z y ˆRz, var( ˆR) = 1 ( 1 z 2 y ˆRz, (66) avec ˆν = 1 n 1 ( ν k ν) 2 C et la formule (66) qu on utilie pour le calcul pratique Si nouétaillon Sy Rz, 2 nou obtenon : Sy Rz, 2 = 1 1 [(y k Rz k ) (y Rz)] 2 = y 2RS yz, + R 2 Sz 2 (67)
62 ESTIMATIO SR DOMAIE 5 où S yz, = 1 1 (y k y)(z k z) et la covariance entre y et z ur On a de même, en vue de calcul pratique : y ˆRz, = S2 y 2 RS yz, + R 2 z 62 Etimation ur un domaine L etimation ur un domaine et une quetion trè étendue L expoé qui uit n et qu un traitement trè élémentaire, mai qui montre une utiliation de l etimation d un ratio 621 Introduction On veut ouvent, à l occaion d un ondage, etimer le total d une variable d intérêt, non eulement ur la population ur laquelle le plan de ondage et défini mai aui ur une ou de ou-population de non prie en compte par le plan Dan le préent chapitre, la ou-population particulière à laquelle appartient chaque élément de l échantillon et contatée aprè ondage On appelle domaine et on note d, toute ou-population pour laquelle on veut une etimation éparée du total et de la moyenne et de intervallee confiance aocié Si la ou-population d intérêt repréente une fraction aez importante de, le technique ordinaire qu on va voir d abord, donnent de bon réultat Pour un petit domaine, c et-à-dire pour une ou-population qui ne repréente qu une petite fraction de, il e peut que l échantillon prélevé par un plan ur ne contienne que peu d élémentu domaine Le etimateur uuel riquent d avoir une forte erreur quadratique On met en œuvre de etimateur utiliant de l information auxiliaire ou n abordon pa cette quetion dan cette préentation purement introductive Exemplee domaine n domaine et ouvent une région géographique, ( Small area etimation déigne l enemble de technique pour de petitomaineéfini géographiquement) L unité et par exemple le ménage, le domaine un canton et on veut etimer le revenu moyen de ménage par canton n domaine peut être une marque commerciale de voiturean la population de voiture vendue une certaine année dan un pay On veut etimer de parte marché L information exhautive et connue avec retard ne étude par ondage peut fournir rapidement une information fiable Pour une région géographique donnée, un domaine peut être l enemble de habitant ayant eu une certaine maladie On et aui amené à faire de l etimation ur un domaine quand la bae de ondage, c et-à-dire l organiation de la population contient trictement la population d intérêt 622 Etimation ur un domaine - notion élémentaire On appelle domaine une ou-population d de taille d, d et le ondage porte ur On note, l le probabilité incluion, Δ kl le covariancee indicatrice incluion et l échantillon ur obtenu On oberve y k aini que l appartenance éventuelle au domaine, k oton = d, le ou-échantillon contaté appartenir à d La taille n d de et aléatoire On enviage l etimation du total t y,d d une variable d étude y ur d et de a moyenne : y d t y,d = d y k y d = t y, d d { 1 i k d Introduion z dk = 0 inon
6 CHAPITRE 6 ESTIMATIO D RATIO On peut maintenant écrire : t y,d = y kz dk, d = z dk L etimation du total ur d et aini ramenée à un problème ur la population ur laquelle on a un plan de ondage D autre part la moyenne ur d e note : y d = y kz dk, (68) elle apparaît comme un ratio On peut maintenant écrire le etimateur : z dk t y,d = y kz dk / = y k / (69) et comme d et ouvent inconnue, l écriture de d comme un total, permet de définir : d = z dk = 1 (610) Enfin on applique la technique d etimation d un ratio pour etimer la moyenne ur d 1 L etimateur de la moyenne retenu et le rapport de etimateure totaux de numérateur et dénominateur : ỹ d = y k z dk = z dk t y,d d (611) 2 La linéariée et : ν k = 1 d (y k z dk y d z dk ) La variance approchée de ỹ d et donc : var app (ỹ d )= 1 d 2 Δ kl Comme z dk =0i k/ d, ceci e réduit à var app (ỹ d )= 1 d 2 y k z dk y d z dk d Δ kl y k y d y l z dl y d z dl y l y d 3 Enfin la variance approchée et etimée par : var(ỹ d )= 1 2 d Δ kl l y k ỹ d y l ỹ d 623 Ca un plan SI et Si le plan et SI(,n) ur alor : d = n d n, ỹ d = t y,d = n n y k n d n = y d y k (612)
62 ESTIMATIO SR DOMAIE 7 Poon v k = z dk (y k y d ), on vérifie facilement que v k =0 ou etimon maintenant la variance de ỹ d à l aide de réultat (64)à(66) L etimation de la variance et : var(ỹ d )= 1 ( 1 z 2 d ( ) n 2 ( 1 Syz 2 d y d z d, = n d v et Finalement : (n 1) yz d y d z d, = v2 k = v 2 k + v 2 k ( n var(y d )= n d v 2 k =(n d 1) y, v 2 k =0 ) 2 ( 1 nd 1 n 1 S2 y, 1 f Sy, 2 n d d Remarque et complément 1 Dan l etimation ur un domaine, il ne faut pa oublier que le plan porte ur, une population qui contient trictement le domaine, d où la néceité d introduire la variable z d pour e ramener à 2 Obervon que t y,d et baé ur un échantillon de taille aléatoire : n d = card() d Donc, pratiquement, on n attachera pa la même confiance à une telle etimation elon qu elle et baée ur peu ou ur beaucoup d obervation On peut cependant calculer la taille moyenne du ouéchantillon : E(n d )= z dk = d On peut aini avoir, avant tirage de l échantillon, i le domaine era bien repréenté en moyenne On peut de même calculer la variance de la taille